caderno do PROFESSOR ensino fundamental 8 a - SÉRiE volume matemática

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto

Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete

Fernando Padula

Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas

Valéria de Souza

Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima EXECUÇÃO

Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção

Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger

GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:

Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger

COORDENAÇÃO TÉCNICA

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores

Ghisleine Trigo Silveira

AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor

Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti

Equipe Editorial

Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico)

APOIO

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8a _{série, volume 4 /} Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-439-1

1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.3:51

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi-dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de

revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5

_{- a 8}

_{- séries do Ensino}

Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.

Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente

completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.

O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das

aprendi-zagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.

A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa

elabo-ração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as

aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho!

Paulo Renato Souza

S

umáRio

São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5

Ficha do Caderno 7

orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 11

Situação de Aprendizagem 1 – A natureza do número Pi (π) 11

Situação de Aprendizagem 2 – A razão π no cálculo do perímetro e da

área do círculo 19

Situação de Aprendizagem 3 – Cilindros 33

Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidade e Geometria 40

Orientações para Recuperação 46

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a

compreensão do tema 47

S

ão PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Caros(as) professores(as),

Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de

documen-tos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos

professores em 2009.

Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para

que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo

reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em

diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos

pro-fessores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento

coletivo e a cooperação entre eles.

A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez

favore-cer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada,

significativa e motivadora de ensinar aos alunos.

Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez

ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos

conhe-cimentos dos alunos.

Maria Inês Fini

F

iChA do CAdERno

Circunferências, círculos e cilindros

nome da disciplina:

área:

Etapa da educação básica:

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

temas e conteúdos:

temas e conteúdos:

o

RiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS

conteú-do disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimes-tres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteú-dos, as competências pessoais envolvidas, espe-cialmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corres-ponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará os assuntos com mais ou menos aprofundamento, ou seja, esco-lherá uma escala adequada para o tratamento de cada um. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra pode ser tratado de modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do con teúdo do bimes-tre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no

entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequa-damente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As ati-vidades são independentes e podem ser explo-radas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situa ções de Aprendizagem, mas a expec-tativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Cader-no, sempre que possível, recursos disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro-posta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.

Conteúdos básicos do bimestre

O conteúdo central do 4o _{bimestre da 8}a

série do Ensino Fundamental são os cálculos métricos envolvendo o círculo e o cilindro. A medida do perímetro, da área e do volume de figuras circulares está diretamente ligada ao nú-mero pi, representado pela letra π do alfabeto grego. Esse número já havia sido apresentado aos alunos na 6a _{série do Ensino Fundamental,}

dentro do estudo da proporcionalidade e das razões geométricas. Naquela situação, basta-va aos alunos o conhecimento de que a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro era constante e valia aproximada-mente 3,14. Agora, na 8a _{série, o π adquire}

no-vos significados, e seu uso será ampliado para a realização de cálculos de perímetros, áreas e volumes de figuras circulares.

A Situação de Aprendizagem 1 trata justa-mente da ampliação do significado do núme-ro π. Partindo de uma abordagem histórica que mostra o desafio intelectual que repre-sentou o cálculo dessa razão durante séculos, propomos uma reflexão abrangente sobre as características particulares desse que é um dos mais famosos números da Matemática. Nesta série, os alunos são confrontados com o fato de π ser um número irracional, ou seja, que apresenta infinitas casas decimais não periódicas. Ao final da Situação de Apren-dizagem, propomos uma atividade de inves- tigação estatística envolvendo os dígitos decimais do número π.

Na Situação de Aprendizagem 2, o foco se desloca para o uso do número π no cálculo do perímetro e da área do círculo. São propostas diversas situações, envolvendo atividades de medida de objetos circulares, demonstrações, aproximações do valor de π e problemas rela-cionados ao cálculo de áreas e perímetros de figuras circulares. Vale destacar dois problemas exemplares abrangendo o uso do π. O primeiro, de caráter mais prático, envolve a determina-ção do diâmetro da roda de um automóvel e a distância percorrida por ele. O segundo, mais teórico, refere-se a um problema milenar en-volvendo o cálculo de medidas de figuras cir-culares, que ficaram conhecidas como lúnulas de Hipócrates.

A Situação de Aprendizagem 3 aborda os cálculos métricos relacionados ao cilindro, fazendo uma analogia com a fórmula do vo-lume do prisma reto. A demonstração formal, baseada no Princípio de Cavalieri, será feita na 2a _{série do Ensino Médio.}

mais curiosos da história da Matemática: a agulha de Buffon. A discussão sobre esse pro-blema traz inúmeros elementos para pensar a natureza do conhecimento matemático.

Lembramos que as atividades propostas neste Caderno têm como objetivo apoiar a prática do professor. Dessa forma, elas po-dem e devem ser transformadas e aplicadas de acordo com a necessidade e realidade de cada turma e de cada professor. Deve ficar a critério do professor a escolha de quais atividades ex-plorar e de como integrá-las ao seu programa. Acreditamos, contudo, que as sugestões aqui apresentadas possam contribuir efetivamente na direção de um ensino e de um aprendizado mais significativo da Matemática.

Quadro geral de conteúdos do 4

_bimestre

da 8

_{- série do Ensino Fundamental}

unidade 1 - O significado da razão π.

unidade 2 - Perímetro da circunferência. unidade 3 - Área do círculo.

unidade 4 - Área de setores circulares. unidade 5 - Problemas métricos

envol-vendo perímetro e área de figuras cir-culares.

unidade 6 - Área e volume do cilindro. unidade 7 - Problemas métricos envol-

vendo área e volume do cilindro.

S

ituAçõES dE APREndizAgEm

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1

A NAtuREzA DO NúMERO Pi (

π

)

Roteiro para aplicação da

Situação de Aprendizagem 1

Poucos números são tão intrigantes como o π. Ele é um dos poucos números que têm um nome próprio, desvinculado da nomencla-tura decimal. É representado por um símbolo diferente dos demais, a letra grega π. Pertence ao “estranho” conjunto dos números irracio-nais, e suas casas decimais crescem indefinida-mente, sem aparentar nenhum tipo de padrão previsível. Além disso, está diretamente rela-cionado a uma das figuras mais importantes da Geometria, o círculo. Apesar de tudo isso, nossos alunos frequentemente desconhecem o significado desse número.

O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é a ampliação do significa-do significa-do número π. Embora ele já tenha sisignifica-do

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: panorama histórico do número π; cálculo do π por aproximação; números

irracionais; frequência e porcentagem.

Competências e habilidades: compreender o número π como produto de uma construção

histórica; compreender as características que fazem do π um número irracional; construir uma tabela de frequências e calcular porcentagens.

Estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π; pesquisa

sobre o número π; atividade de investigação estatística sobre as casas decimais do π.

apresentado na 6a _{série, no estudo das razões}

constantes nas formas geométricas, é impor-tante resgatar com os alunos o significado do π como a razão entre o comprimento da cir-cunferência e seu diâmetro.

Na 8a _{série, com o conhecimento dos}

núme-ros irracionais, o número π já pode ser apresen-tado como um número irracional, ou seja, um número cuja representação decimal é infinita e não periódica. Em outras palavras, uma razão que não pode ser representada por nenhuma fração entre números inteiros. O valor de π só pode ser representado numericamente por meio da aproximação por um número racional (3 ou 3,1 ou 3,14 ou 3,141, etc.).

argumentos que mostrem aos alunos por que ele pode ser continuamente calculado, com uma precisão cada vez maior. Apresentare-mos uma aproximação do valor de π com 260 casas decimais para ilustrar o fato de que não há nenhuma regularidade no apare-cimento dos algarismos decimais.

As atividades propostas a seguir constituem uma fonte de informação para o professor tra-balhar o significado do π em sala de aula. Elas devem complementar o trabalho que já é feito com os alunos. Não há necessidade de abordar todas as atividades dessa Situação de Aprendi-zagem. Deve ficar a critério do professor a forma de explorá-las e a escolha daquelas que são mais adequadas ao seu curso.

No Caderno do Aluno estão propostas atividades envolvendo os aspectos discutidos nesta Situação de Apren dizagem.

Atividade 1 – uma perspectiva histórica

Ao ensinar o número π, frequentemente os alunos nos fazem perguntas bastante pertinentes:

Afinal de contas, quem “inventou” o π? Por que ele tem infinitas casas decimais? Qual valor devemos lhe atribuir? Por que se calcula o π com tantas ca-sas decimais? Para que serve esse número?

tais questões nos levam a refletir sobre a importância da construção do significado no ensino da Matemática. Apresentar o número π somente com base em sua definição formal não é suficiente para garantir um significado amplo desse conceito. É preciso ir além, tra-zendo para a sala de aula outras situações que ampliem tal significado.

A história constitui um excelente recurso a fa-vor da construção do significado dos conceitos em qualquer área do conhecimento. Na Matemática, particularmente, ela é de fundamental importân-cia para evitar visões cristalizadas ou excessiva-mente simplistas. Ainda que alguns livros tratem a Matemática como um conhecimento pronto e acabado, é importante que os alunos saibam que o que estudamos hoje é fruto de muito trabalho e pesquisa de pessoas que lhe dedicaram tempo e esforço no decorrer da história da humanidade.

A ideia do número π não nasceu pronta, muito menos a constatação de que ele é um número for-mado por infinitas casas decimais. A busca pelo valor exato de π ocupou os matemáticos desde a Antiguidade. Os egípcios já sabiam que esse valor era constante para qualquer circunferência e va-lia um pouco mais que 3. Há menção dessa razão até mesmo na Bíblia, que considerava π igual a 3. Matemáticos de diferentes culturas e épocas de-bruçaram-se sobre esse número, tentando enten-dê-lo e calculá-lo com o máximo de precisão.

Embora ele venha sendo estudado desde tempos antigos, o nome e o símbolo usados para representá-lo só surgiram posteriormente. Atri bui-se a Leonard Euler, no século XVIII, a popularização do uso da letra grega π para re-presentar a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. A letra π é a pri-meira da palavra grega peripheria ( ), cujo significado é circunferência, ou seja, o contorno ou perímetro de um círculo.

e sites que tratam desse assunto. Pode-se solici-tar aos alunos que façam uma pesquisa sobre o número π. Alguns temas que podem ser propos-tos para orientar essa pesquisa são: o cálculo do π na Antiguidade (Egito, Grécia, Mesopotâmia, China, etc.); as aproximações do π desde a An-tiguidade até hoje; o recorde mundial de cálculo dos algarismos de π; a aleatoriedade dos alga-rismos, etc. Alguns desses assuntos serão trata-dos, de forma pontual, neste Caderno.

Nesse tipo de atividade, é importante que o professor oriente os alunos sobre alguns proce-dimentos de pesquisa: determinar o objeto a ser pesquisado; as informações a serem procuradas; como elas devem ser registradas; os cuidados que se deve ter com relação aos sites na internet, etc. Além disso, o professor pode sugerir biblio-grafia e sites para auxiliar a pesquisa.

Atividade 2 – o valor de

π por

aproximação

talvez um dos grandes desafios no ensino do número π seja convencer os alunos da sua irracionalidade, ou seja, que se trata de um nú-mero cuja representação decimal é infinita e não periódica. Alguns alunos podem questio-nar esse fato com razão, pois não há evidência, à primeira vista, que indique que a divisão en-tre o comprimento da circunferência e seu diâ-metro não seja um número racional.

A constatação de que π é um número irracional demorou muito para ser construí-da e aceita. Muitos matemáticos, ao longo construí-da história, trataram o π como racional, ou seja, passível de ser transformado em fração. Para os egípcios, o valor de π era equivalente a 256

81 ,

que, em termos decimais, equivale a 3,16. Na Mesopotâmia, esse valor era 25

8, ou 3,125. Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século II d.C., conseguiu calcular o valor de π como 377

120, que é, apro-ximadamente, igual a 3,1416, uma aproxima-ção muito boa para a época.

A irracionalidade de π só foi demonstrada no século XVIII. A prova desse fato, contu-do, é complexa demais para ser apresentada no Ensino Fundamental. Podemos, no entan-to, apresentar argumentos que mostrem que o valor de π pode ser continuamente calculado, com uma precisão cada vez maior, sem limite.

O método de aproximações sucessivas, de-senvolvido por Arquimedes no século III a.C., constitui um excelente exemplo para ilustrar a ideia de que π apresenta essas características. Vejamos, a seguir, as linhas gerais do raciocí-nio de Arquimedes.

Atividade 3 – o método de Arquimedes

Perímetro do polígono inscrito < Comprimento da circunferência < Perímetro do polígono circunscrito

Para simplificar o problema, vamos consi-derar que a medida do diâmetro da circunfe-rência seja unitária. Assim, o comprimento da circunferência será igual ao valor da razão π, e os números obtidos, aproximações por falta e por excesso desse valor.

Valor subestimado <

Valor de

π < superestimadoValor

A primeira aproximação foi feita com dois hexágonos regulares, um inscrito e outro circuns-crito à circunferência, como mostra a figura:

L₆ l₆

Considerando o diâmetro da circunferência igual a 1 e, portanto, o raio igual a 0,5, obte-mos o valor 3 para o perímetro do hexágono inscrito e de, aproximadamente, 3,46 para o cir-cunscrito. Assim, aproximando por hexágonos, Arquimedes obteve o seguinte intervalo para o valor de π: 3 < π < 3,46.

Arquimedes dobrou sucessivamente o nú-mero de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Calculando o perímetro desse polígono inscrito e circunscrito, obteve um valor entre

3,1408 e 3,1428, aproximação muito boa para

a época.

O método de Arquimedes mostra que é pos-sível obter aproximações do valor de π tão pre-cisas quanto desejarmos, bastando aumentar, continuamente, o número de lados dos polígo-nos. Ptolomeu, no século II d.C., calculou o va-lor de π a partir de um polígono de 720 lados, e obteve um valor próximo a 3,14167. No sé-culo III d.C., o chinês Liu Hui conseguiu obter o valor de 3,14159 com um polígono de 3 072 lados. No final do século V d.C., o matemático tsu Chung-Chih, usando polígonos com 24 576 lados, obteve um número entre 3,1415926 e 3,1415927. Muitos outros matemáticos aplica-ram o método de Arquimedes para obter apro-ximações cada vez mais precisas do valor de π.

Como o número de lados dos polígonos inscrito e circunscrito pode crescer indefinida-mente, com uma aproximação crescente entre seus perímetros e o comprimento da circunfe-rência (π), podemos concluir que o valor de π pode ser calculado cada vez mais precisamen-te, sem que se chegue ao final dos cálculos. O método de Arquimedes, levado ao limite, pode ser um bom argumento para convencer os alu-nos de que π tem infinitas casas decimais.

Atividade 4 – o cálculo das casas

decimais do

π

Como vimos anteriormente, o número π vem sendo estudado há muito tempo pelos matemáticos. Apesar disso, ele ainda é um dos

poucos números conhecidos desde a Antiguida-de que continua sendo atualmente fonte Antiguida-de mui-tas pesquisas. Procura-se descobrir novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, com o maior número possível de casas decimais.

O cálculo do π com o maior número pos- sível de algarismos tem sido um desafio para os matemáticos. A evolução desse cálculo foi sur-preendente a partir do momento em que o com-putador entrou em cena. Para se ter uma ideia desse avanço, em 1873, William Shanks conse-guiu obter o valor de π com 707 dígitos. Fazendo os cálculos manualmente, ele levou 15 anos para realizar essa tarefa. Com o advento da computa-ção, associado ao descobrimento de métodos de cálculo mais poderosos e eficientes, o número de dígitos de π obtidos saltou para a casa dos mi-lhões. um dos últimos recordes foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e takahashi que, em 2002, conseguiram obter o valor de π com mais de um trilhão de casas decimais.

É importante ressaltar, contudo, que, na prática, não precisamos conhecer o valor de π com tantas casas decimais. Na maioria das apli-cações, uma aproximação do valor de π com duas casas (3,14) é bastante adequada para ga-rantir precisão em construções, desenhos, etc. Em cálculos científicos, uma aproximação com quatro casas decimais é mais do que suficien-te. Por exemplo, o valor de π com 11 casas de-cimais permitiria calcular a circunferência da terra com uma precisão de milímetros.

Atividade 5 – tratamento da informação:

a frequência dos dígitos de π

O fato de π ser um número irracional, por si só, não é o fator que determina o grau de dificuldade em relação ao seu cálculo. Exis-tem números irracionais cuja representa-ção decimal é previsível, como o número 3,10110111011110... . Nesse caso, embora irracional, é possível identificar um padrão de crescimento nos algarismos decimais. O π, por sua vez, é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação

decimal não mostra nenhuma regularidade, pois seus algarismos se distribuem aleatoriamente.

A atividade de investigação que propomos a seguir tem como principal objetivo fazer com que o aluno verifique, na prática, a distri-buição aleatória dos algarismos que compõem a parte decimal do número π. Com base na sequência dos 260 primeiros algarismos de π, eles deverão analisar a frequência de aparição de cada algarismo e calcular sua porcentagem em relação ao total.

1. Podemos iniciar a atividade

questionan-do os alunos sobre o significaquestionan-do questionan-do termo

aleatório. No dicionário Aurélio1_, encon-tramos a seguinte acepção: dependente de

fatores incertos, sujeitos ao acaso; casual, fortuito, acidental. No contexto do estudo

do número π, a aleatoriedade está relacio-nada à dificuldade de prever a sequência dos algarismos que compõem a parte de-cimal desse número.

2. Em seguida, apresentamos aos alunos a

seguinte imagem:

© Cone

xão Editorial

Solicite a eles que observem atentamente a imagem e tentem identificar algum tipo de padrão que se repete nas cores, ou se há algu-ma lógica na distribuição das cores ao longo da imagem. Dificilmente eles encontrarão al-gum padrão na sequência de cores exposta.

Essa figura é, na verdade, a representa-ção das primeiras 260 casas decimais do

número π, em que cada algarismo foi subs-tituído por uma cor. Por exemplo, os cin-co primeiros quadrados cin-correspondem a 3,1415, onde o 3 é representado pelo azul, o 1 pelo vermelho, o 4 pelo amarelo e o 5 pelo laranja. traduzindo as cores em números, obtemos a representação das 260 casas de-cimais do número π. 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 6 2 8 6 2 0 8 9 9 0 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2

3. Peça a eles que construam uma tabela

de frequência contendo o número de vezes em que cada algarismo aparece na parte decimal. Em seguida, devem calcular a frequência relativa, isto é, a

razão entre o número de aparições do algarismo e o total de algarismos con-siderados, expressa em porcentagem. A tabela obtida deve apresentar os se-guintes resultados:

Algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 total

Frequência 22 26 30 24 30 26 25 17 32 28

260

Porcentagem 8,5% 10,0% 11,5% 9,2% 11,5% 10,0% 9,6% 6,5% 12,3% 10,8% 100%

4. A seguir, proponha que analisem os

da-dos obtida-dos e respondam às seguintes questões:

a) Qual é o algarismo que mais aparece na

sequência? Com que frequência relativa?

É o algarismo 8, com frequência relativa de 12,3%.

b) Qual é o algarismo que menos

apare-ce na sequência? Com que frequência relativa?

É o 7, com frequência relativa de 6,5 %. c) Qual a diferença entre a maior e a

me-nor frequência?

d) Se a distribuição fosse equilibrada entre

todos os algarismos, qual deveria ser a frequência relativa de cada um?

Deveria ser de 10%.

5. Comentários sobre os resultados obtidos.

É importante comentar que as frequências obtidas são relativas a uma amostra de 260 algarismos. Se, por exemplo, aumentássemos a amostra para 780 algarismos, o número com a maior frequência não seria mais o 8, e sim o 1 (11,4%) e, com a menor frequência, seria o 5 (9,1%). A diferença entre o número de maior frequência e o de menor frequência cairia para 2,3% pontos porcentuais.

Conforme já havíamos mencionado, um dos interesses em calcular grandes quantidades de dígitos do π é verificar se a distribuição de seus dígitos é aleatória ou não. Os cálculos já realizados tendem a confirmar essa conjectu-ra. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do π, Kanada e takahashi obtiveram a seguinte distribuição:

Algarismo Frequência Porcentagem

0 20 000 030 841 10,00002% 1 19 999 914 711 9,99996% 2 20 000 136 978 10,00007% 3 20 000 069 393 10,00003% 4 19 999 921 691 9,99996% 5 19 999 917 053 9,99996% 6 19 999 881 515 9,99994% 7 19 999 967 594 9,99998% 8 20 000 291 044 10,00015% 9 19 999 869 180 9,99993% total

200

000

000

000

Como é possível notar, a frequência relativa dos algarismos se aproxima muito de 10%, evi-denciando um equilíbrio entre os algarismos e confirmando a aleatoriedade dos dígitos de π.

Considerações sobre a avaliação

Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que os alunos tenham am-pliado seu conhecimento sobre o número π. A perspectiva histórica, os inúmeros estudos e pesquisas realizadas, a aproximação de Arqui-medes, o cálculo gigantesco dos pesquisadores japoneses, a aleatoriedade dos algarismos de π são algumas características que fazem desse número um dos objetos matemáticos mais in-trigantes dentro dessa disciplina. Passar pelo Ensino Fundamental sem saber o significado do número π é ser privado de uma das heranças culturais mais valiosas da humanidade.

Ainda que não seja possível tratar desse assunto de forma completa, esperamos que o professor consiga levar para a sala de aula ao menos uma das atividades desenvolvidas. Acreditamos que esse conhecimento mais deta lhado do número π vai contribuir para uma aprendizagem mais significativa da Matemática.

O professor poderá incluir uma ou outra questão a respeito das características do nú-mero π nas avaliações do bimestre. É impor-tante que essas questões contemplem algumas características importantes, por exemplo:

que o número

que esse valor não pode ser expresso por f

meio de uma razão entre inteiros, ou seja, é um número irracional;

que é possível obter aproximações cada vez f

melhores e com mais dígitos das casas de-cimais do π.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2

A RAzãO

π

NO CÁLCuLO DO PERíMEtRO E

DA ÁREA DO CíRCuLO

Conteúdos e temas: comprimento da circunferência; cálculo de área por aproximação; a área

do círculo; proporcionalidade e área de setores circulares.

Competências e habilidades: compreender o significado do π como razão entre o

comprimen-to da circunferência e seu diâmetro; resolver problemas relacionados ao comprimencomprimen-to da circunferência; compreender o método de aproximação para o cálculo da área do círculo; determinar a área do círculo e de setores circulares.

Estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π;

ativi-dade experimental para determinação da razão ; ativiativi-dade prática para o cálculo da área do círculo por aproximação; problemas e exercícios envolvendo o cálculo do perímetro e da área de círculos, setores e outras figuras geométricas.

Roteiro para aplicação da Situação

de Aprendizagem 2

O número π está diretamente ligado ao cálculo de medidas das figuras circulares. A determinação do perímetro da circunferên-cia, da área do círculo e do volume do cilin-dro e da esfera envolvem diretamente essa razão. Assim, nesta Situação de Aprendiza-gem, apresentaremos algumas atividades re-lacionadas à utilização do π em cálculos de áreas e perímetros de figuras circulares.

Dependendo do conhecimento prévio dos alunos, o professor pode iniciar esse estudo com o uso de uma atividade experimental envolven-do a medida de objetos circulares. O objetivo

da atividade 1 é retomar a ideia de que o π é a razão geométrica constante presente em qual-quer circunferência e que relaciona a medida de seu comprimento com seu diâmetro. uma atividade similar foi proposta no Caderno da 6a _{série, no âmbito do estudo da}

proporcio-nalidade e das razões. Na 8a _{série, contudo,}

essa atividade resultará na determinação da fórmula do perímetro da circunferência.

fórmula. Resolvemos desenvolver um proble-ma prático relacionado às especificações da roda de um automóvel. Empregando a fórmu-la do comprimento da circunferência, é pos-sível resolver alguns problemas envolvendo o cálculo de distâncias percorridas por um auto-móvel em função do tamanho das suas rodas. O cálculo da área do círculo é o foco das atividades 3, 4 e 5. Diferentemente da área dos polígonos, a determinação da área de figuras circulares foi um desafio para muitas gerações de matemáticos desde a Antiguidade. Apresen-taremos três situações distintas envolvendo a determinação de uma fórmula para o cálculo da área do círculo. A primeira tem caráter histórico. A segunda, caráter experimental. E a terceira, caráter teórico. Dentro do seu programa, o pro-fessor pode escolher o desenvolvimento de uma ou mais atividades. O importante, neste caso, é que o aluno consiga se apropriar significativa-mente da fórmula da área do círculo.

As duas últimas atividades abrangem a reso-lução de problemas geométricos envolvendo o cálculo da área de círculos e setores circulares. Na atividade 7, apresentamos uma importante relação ligada ao teorema de Pitágoras e um

problema clássico da Antiguidade, que ficou conhecido como as lúnulas de Hipócrates.

Atividade 1 –

π e o comprimento da

circunferência: significado

Sugerimos que o professor proponha, ini-cialmente, a seguinte atividade prática envol-vendo o cálculo da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.

Roteiro de trabalho – Solicite aos alunos que

tragam objetos circulares de seu cotidiano para a aula, tais como moedas, CDs, discos de vinil, copos, etc. Divida a classe em grupos, distribua fitas métricas aos alunos e peça para que eles meçam o diâmetro e o contorno circular desses objetos. Oriente-os na melhor maneira de fazer isso, principalmente com relação à medida do contorno da circunferência.

Desenhe uma tabela na lousa e anote os resul-tados obtidos pelos grupos na medição de cada objeto. Peça para que eles calculem a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro para cada objeto. Vamos, a título de ilustração, consi-derar as medidas obtidas a partir de três objetos: um CD, uma lata e uma moeda. Os resultados ex-perimentais estão anotados na tabela a seguir.

objeto

F001

F002

F003

Circunferência C 38,4 cm 20,6 cm 7,8 cm

diâmetro d 12 cm 7,1 cm 2,5 cm

Razão C ___ _d 3,2 2,9 3,1

Observação: medidas aproximadas.

Analisando os resultados, os alunos devem perceber que, embora os objetos medidos se-jam diferentes em tamanho, as razões obtidas se aproximam de um valor comum. No exem-plo acima, os valores obtidos ficaram entre 2,9 e 3,2. Na média, eles se aproximaram de 3,06.

Essa razão, obtida experimentalmente, pode variar um pouco dependendo do objeto ou do processo de medida. Quanto mais preciso for o processo de medida e mais perfeita a circun-ferência dos objetos, mais a razão obtida se aproximará do valor constante 3,14. Para uma circunferência ideal, essa razão vale π.

Se a razão entre o comprimento C da cir-cunferência e seu diâmetro d vale π, então podemos escrever que: C

D = π.

Portanto, a fórmula para o comprimento da circunferência é: C = π . D ou C = 2 . π . r, onde r é o raio da circunferência.

uma forma de interpretar esse resultado é a se-guinte: quando o diâmetro de um círculo é 1, sua circunferência mede π. Essa ideia está representa-da na sequência de imagens a seguir, em que uma circunferência gira sobre uma reta numerada, cuja unidade é o diâmetro dessa circunferência.

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 33,14 ₄

Ao final de uma volta completa, a circunfe-rência terá percorrido aproximadamente 3,14 unidades equivalentes ao seu diâmetro.

Os livros didáticos geralmente trazem inúme-ros problemas de aplicação da fórmula do com-primento da circunferência. Esses problemas ora trabalham com o cálculo da circunferência a partir de um raio dado, ora fazem o caminho inverso, ou seja, a partir da medida da circunfe-rência, solicitam a determinação do raio.

É importante que o professor apresente al-guns problemas ligados a situações do coti-diano, para que o aluno vivencie o uso desse conhecimento em algum contexto conhecido. Existem muitas situações que podem ser ex-ploradas: a medida da circunferência de uma praça circular, a extensão de uma pista de corrida circular ou cujas extremidades sejam circulares, etc. Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos um problema relacionado ao tamanho das rodas de um automóvel e a distância por ele percorrida.

Atividade 2 – o problema da roda de um

automóvel

todo pneu de automóvel possui um código de identificação com informações a respeito de suas dimensões. Ele é escrito da seguinte for-ma: xxx/yy Rdd, em que:

xxx é a medida da largura do pneu, em mi-f

límetros;

yy é a razão entre a altura e a largura do f

pneu, em porcentagem; R é o tipo de pneu, radial; f

dd é o diâmetro da roda, em polegadas (1 po-f

legada vale aproximadamente 2,54 cm).

altura do pneu

diâmetro da roda

largura do pneu

um pneu, por exemplo, identificado com o código 205/65 R15, mede 205 mm de largura. Sua altura é equivalente a 65% da largura, portanto, mede 205 . 0,65 = = 133,25 mm ou 13,325 cm. Já o diâmetro interno da roda mede 15 polegadas, ou 15 . 2,54 = 38,1 cm.

Assim, o diâmetro total da roda do carro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda interna com o dobro da altura do pneu.

Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm.

Conhecendo o diâmetro, é possível obter a medida da circunferência do pneu, bastando aplicar a fórmula C = π . D.

C_pneu = 3,14 . 64,75 = 203,315 cm, ou, aproxi-madamente, 2,03 metros.

Assim, um giro de uma roda com essas es-pecificações corresponde a uma distância per-corrida de, aproximadamente, 2 metros. Com essas informações, pode-se propor alguns pro-blemas para os alunos. Em virtude da comple-xidade de alguns cálculos, sugere-se o uso de calculadora nas atividades a seguir.

1. Calcule quantos metros cada uma das

rodas a seguir percorre por giro:

Diâmetro da roda interna: 15 . 2,54 = 38,1 cm

Diâmetro total = 2 . 9,75 + 38,1 = 57,6 cm Circunferência da roda:

3,14 . 57,6 = 180,86 cm 7 1,81 m A roda 195/50 R15 percorre 1,81 metro por giro.

b) Roda de aro 16: 205/60 R16

Altura do pneu: 60% . 205 = 123 mm = 12,3 cm Diâmetro da roda interna: 16 . 2,54 = 40,64 cm Diâmetro total = 2 . 12,3 + 40,64 = 65,24 cm Circunferência da roda:

3,14 . 65,24 = 204,85 cm 7 2,05 m

A roda 205/60 R16 percorre 2,05 metros por giro.

c) Roda de aro 17: 210/65 R17 Altura do pneu:

65% . 210 = 136,5 mm = 13,65 cm Diâmetro da roda interna: 17 . 2,54 = 43,18 cm

Diâmetro total = 2 . 13,65 + 43,18 = 70,48 cm Circunferência da roda:

3,14 . 70,48 = 221,31 cm 7 2,21 m A roda 210/65 R17 percorre 2,21 metros por giro.

2. O hodômetro é um instrumento usado

para medir a distância percorrida por um automóvel. Ele funciona com um con-junto de engrenagens ligadas ao eixo das rodas do carro. Dependendo do tamanho

das rodas, o hodômetro é regulado para registrar a quilometragem percorrida em função do número de giros do eixo.

©Ab

lestock

Suponhamos que um automóvel venha com uma configuração de fábrica compatível com ro-das de aro 15 (item a da atividade anterior).

a) Calcule quantos giros a roda deve

reali-zar para que o hodômetro registre 1 km rodado.

Da atividade anterior, sabemos que a roda de aro 15 tem uma circunferência de 1,81 metro. Portanto, para que o hodômetro registre 1 km, ou 1 000 metros, serão necessários 1 000 1,81 = 552,5 giros da roda.

b) Determine quantos giros o eixo da roda

realiza em uma viagem de 200 km.

200 . 552,5 = 110 500 giros.

c) Suponha que o dono do carro trocou

as rodas originais por outras, de aro 17 (item c da atividade anterior). Determi-ne quantos quilômetros o hodômetro registrará para fazer a mesma viagem do item anterior.

é de 2,21 metros. Em um quilômetro, ou 1 000 metros, serão necessários 1 000 ÷ 2,21 ≅

≅ 452,5 giros, menos do que com a roda de

aro 15 (552,5 giros). Em 200 quilômetros, a roda girará 200 . 452,5 = 90 500 vezes. Contudo, o hodômetro estava regulado para registrar 1 quilômetro a cada 552,5 giros. Por-tanto, a quilometragem registrada na viagem será de 90 500 ÷ 552,5 = 163,8 quilômetros.

Esse problema mostra que, se não forem feitos ajustes no hodômetro, ao se trocar as rodas de um carro por outras de diâmetros diferentes, o registro de quilometragem apre-sentará dados incorretos. Nesse exemplo, houve uma diferença de quase 40 km no re-gistro da quilometragem percorrida em uma viagem de 200 km.

O cálculo da área do círculo

Determinar a área de um polígono é uma tarefa relativamente simples. Afinal, trata-se de uma figura formada por segmentos de re-tas. Além disso, qualquer polí gono pode ser decomposto em triângulos de diferentes ta-manhos, e a fórmula da área de um triângu-lo é conhecida. Contudo, achar a área de uma figura curva é um desafio bem maior. Não conseguimos decompor um círculo em triângulos, pois os segmentos de reta não se ajustam à curva da circunferência. Por essa razão, calcular a fórmula da área de um cír-culo foi um dos problemas mais instigantes da história da Matemática. Apresentaremos, a seguir, algumas atividades relacionadas à de-terminação da área do círculo.

Atividade 3 – A área do círculo no

antigo Egito

Novamente, vamos recorrer à história da Matemática para dar significado à deter-minação da fórmula da área do círculo, em vez de apresentá-la pronta para os alunos.

um dos registros mais antigos da determi-nação da área do círculo encontra-se no Papiro

de Rhind. Esse papiro, escrito pelo escriba

Ahmes no antigo Egito há mais de 3 500 anos, contém uma série de problemas matemáticos, entre eles, um que trata do cálculo da área do círculo. uma versão simplificada desse proble-ma seria a seguinte: consideremos um círculo de raio r inscrito em um quadrado cujo lado mede 3 unidades.

Retirando-se do quadrado os quatro triân-gulos situados nos seus cantos, a figura que so-bra é o octógono, cuja área é uma aproximação da área do círculo.

A_octógono = A_quadrado – 4 . A_triângulo A_octógono = 9 – 4 . 1

2 = 7

usando-se a fórmula atual para a área do círculo, o resultado seria muito próximo:

A_círculo = π . r2 _{7 3,14 . (1,5)}2 _{7 7,06}

A diferença seria de apenas 6 centésimos. Fazendo o cálculo inverso, verificamos que os egípcios trabalhavam com um valor de π de 3,11, uma aproximação bastante precisa para a época.

7 = π (1,5)2

π 7 7 ÷ 2,25 π 7 3,11

Atividade 4 – Calculando a área de um

círculo por aproximação

Nesta atividade, os alunos vão calcular a área de um círculo com base em aproximações por quadrados. Para isso, devem providenciar dois tipos de papel quadriculado, um com quadra-dos de 1 cm de lado e outro com quadraquadra-dos de 0,5 cm de lado. uma alternativa possível é o uso de papel milimetrado, que tem quadrados com ambas as medidas necessárias.

Parte 1 – Solicite aos alunos que desenhem duas

circunferências de raio igual a 4 cm no papel com o quadriculado maior, usando um compasso. O centro das circunferências deve coincidir com o vértice de um dos quadrados, como mostra a figu-ra a seguir. Em seguida, os alunos deverão colorir e contar os quadrados que limitam as circunfe-rências por dentro e por fora. No primeiro caso, será a menor aproximação da área do círculo, e no outro, a maior. Como cada quadrado tem área igual a 1 cm², a soma dos quadrados em cada caso corresponderá à área da figura colorida.

Aproximação por excesso 60 quadrados de 1 cm² Área = 60 cm²

Nesse caso, os alunos devem perceber que a aproximação é muito grosseira, pois a área do círculo estaria entre 32 cm² e 60 cm², que é um intervalo muito grande. Contudo, a média entre os dois valores resulta em 46 cm².

Parte 2 – Os alunos devem desenhar as mesmas

circunferências usando o papel com o quadricu-lado menor. Agora, pergunte-lhes qual é a área de cada quadrado. Eles devem perceber que, como os lados medem 0,5 cm, a área de cada quadrado será igual a 0,5 . 0,5 = 0,25 cm².

Aproximação por falta

164 quadrados de lado 0,5 cm.

A área de cada quadrado é, assim, 1 4 da área do quadrado anterior: 0,25 cm²

Área = 164 . 0,25 = 41 cm²

Aproximação por excesso 224 quadrados de lado 0,5 cm Área = 224 . 0,25 = 56 cm²

usando o papel com o quadriculado menor, eles devem obter uma aproximação melhor para a área do círculo, situada dentro de um intervalo menor (entre 41 e 56 cm²). A média entre os dois valores resulta em uma área de 48,5 cm². A área desse círculo, calculada pela fórmula π . r2_{, é igual a 50,2 cm². Portanto,}

usando quadradinhos menores, a aproximação feita ficou mais próxima do valor real.

Atividade 5 – uma maneira de calcular a

área do círculo

Depois de problematizar histórica e expe-rimentalmente o cálculo da área do círculo, vamos apresentar uma das demonstrações clássicas dessa fórmula.

Primeiro, divide-se o círculo em 48 setores circulares, como mostra a figura ao lado.

C = 2 . π . r

r

Em seguida, cortam-se os setores e rearranjam-se da seguinte forma:

C = 2 . π . r Reposiciona-se metade dos setores em

sen-tido oposto, de modo a encaixá-los conforme mostram as figuras abaixo:

π . r

Quanto maior for o número de setores em que o círculo for dividido, mais o setor circu-lar se aproximará de um triângulo isósceles. A base será cada vez menor, e os lados do triângulo se aproximarão da medida do raio r

do círculo. Assim, no limite, para um número infinito de setores circulares, a área da figura será igual à área de um retângulo de base igual à metade do perímetro da circunferência (π . r) e altura igual ao raio r.

π . r

r

Portanto, a área do círculo será igual a: A_retângulo = base . altura = (π . r) . r = π . r2 _{= A}

círculo

Atividade 6 – área de setores circulares

circunferência e o ângulo central correspondente no Caderno do 3o _{bimestre da 6}a _{série. Podemos}

ampliar essa noção, estendendo-a para os seto-res circulaseto-res. Se a área de um círculo é x, então a área do semicírculo é x

2 ; do mesmo modo, um setor circular correspondente a um ângulo central de 90º, que equivale a 1

4 dos 360º da circunferência, terá área igual a 1

4 de x. Generalizando, para um setor circular cor-respondente a um ângulo central αº, sua área corresponderá a αº 360º da área do círculo. αº

Sugerimos propor aos alunos alguns exer-cícios envolvendo o cálculo da área de seto-res circulaseto-res.

1. Calcule a área do setor circular

repre-sentado a seguir.

60º 2 cm

(60º ÷ 360º) . π . 22 ₌ 2π

3 A área do setor vale 2π

3 cm

2_{, ou 2,09 cm}2

2. Determine o raio do círculo a seguir,

sabendo que o setor circular correspon-de a 3

4 desse círculo e tem área igual a 108π cm2_. 108 π cm2 Se o setor corresponde a 3 4 do círculo, então, a área do setor é A_s = 3 4 . π . r2. Logo, 108π = 3 4 . π . r2 r2 _{= 144} r = 12 O raio do círculo é de 12 cm.

3. Determine o ângulo central que

correspon-de ao setor circular representado a seguir.

62,5 π cm2

10 cm

Se a área do setor vale 62,5π cm2_{, então:}

A_s =

ª

º

62,5π =

ª

º

α = 62,5π . 360

100π = 225º

Atividade 7 – Problemas envolvendo o

cálculo de áreas e o teorema de Pitágoras

Propomos, a seguir, uma sequência de exercí-cios que envolvem o cálculo de áreas de círculos, setores e figuras afins. As situa ções exploradas utilizam o teorema de Pitágoras, que já é de co-nhecimento dos alunos.

Os triângulos retângulos representados a seguir têm hipotenusa a e catetos b e c. A figura a seguir é uma imagem que traduz o teorema de Pitágoras, enunciado da seguinte forma: “O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.

Nesta figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos dois quadrados for-mados, respectivamente, sobre os catetos b e c.

C c A a B b

Assim, temos a expressão: a2 _{= b}2 _{+ c}2

Podemos explorar essa relação em outras figuras além do quadrado.

1. Mostre que, de modo análogo ao

teo-rema de Pitágoras, a área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos construídos sobre os dois catetos.

C c A a B b

A área do círculo correspondente à hipote-nusa é C_a 5 p.

ª

º

As áreas dos círculos relativos aos ca-tetos b e c valem, respectivamente,

C_b 5 p.b____ ₄ 2 e C_c 5 p.c____ ₄ 2

Somando-se as áreas obtidas, temos: C_b 1 C_c 5 p.b____ ₄ 2 1 p.c____ ₄ 2 5 __________ p(b2 1 c₄ 2) Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 _{+ c}2 _{= a}2

Portanto, __________ p(b2 1 c₄ 2) 5 p.a____ ₄ 2 5 C_a, ou seja, C_b +C_c = C_a.

Dessa forma, verificamos que o teorema de Pitágoras vale não apenas para os quadrados formados sobre os lados de um triângulo re-tângulo, mas também para círculos de diâme-tro igual a esses lados.

2. Mostre que esse princípio vale também

para as figuras a seguir.

a) Complementar do semicírculo em

C c A a B b

A área da figura colorida é a diferença entre a área do quadrado de lado igual ao lado do triângulo e o semicírculo de diâmetro igual a esse lado. Assim, a área da figura relativa à hipotenusa é A_a = a2 _{– 1} __ 2 · π

ª

º

As áreas das figuras relativas aos catetos b e c valem, respectivamente,

A_b= b2 e A_c = c2

8 ( – )   8 π 8 ( – )8 π Somando-se as áreas obtidas, temos:

A_b+A_c = b2 + c2 = b2+c2 8 8 8 8 8 8 ( – )π ( – )π ( – )π .( ) A_b+A_c = b2 + c2 = b2+c2 8 8 8 8 8 8 ( – )π ( – )π ( – )π .( )

Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 _{+ c}2 _{= a}2

Portanto, A_b+A_c = ( – )8 .(b +c )= ( – ).a = a ·( – )=A_a 8 8 8 8 8 2 2 2 2 π π _π A_b+A_c= ( – )8 .(b +c )= ( – ).a = a ·( – )=A_a 8 8 8 8 8 2 2 2 2 π π _{π , ou seja,} A_b + A_c = A_a b) Setores circulares. C c A a B b

A figura colorida é um setor circular de 90º com raio igual ao lado do triângulo. Assim, a área do setor circular relativo à hipotenusa é

S_a= 1 a = a

4 4

2 2

. .π π.

As áreas dos círculos relativos aos catetos b

e c valem, respectivamente,

S_b=π.b2   e S_c =π.c2

4 4

Somando-se as áreas obtidas, temos: S_b+S_c =π.b2   + π.c2 =π(b2+c2)

4 4 4

Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 _+c2 _{= a}2

Portanto, π(b c ) π.a S_a

2 2 2

4 4

+ _{= = , ou seja,}

S_b + S_c = S_a

1

4 da área do círculo de raio l é igual à área do círculo de diâmetro l.

As atividades anteriores mostraram que as áreas das figuras construídas com base nos la-dos de um triângulo retângulo obedecem à re-lação de Pitágoras. É possível provar que isso vale para qualquer figura, desde que elas sejam semelhantes entre si. Vamos usar esse fato para o desenvolvimento da próxima atividade.

C c A a B b C c A a B b C c A a B b

As lúnulas de Hipócrates

um dos desafios matemáticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguida-de foi a quadratura do círculo. Esse problema implica determinar um método que permita construir um quadrado de área igual à de um círculo com o diâmetro dado. Em termos prá-ticos, o problema se reduz a encontrar uma re-lação entre o lado do quadrado e o diâmetro do círculo, o que envolverá o número π.

Como sabemos hoje, esse problema só pode ser resolvido por meio de aproximações, pois o π é um número irracional e não pode ser representado por uma razão entre inteiros. Contudo, consta que foi Hipócrates de Chios (460 a.C.) o descobridor do primeiro caso de quadratura de figura curvilínea, quando mos-trou que a soma das áreas de duas “lúnulas” era igual à área de um triângulo retângulo. Lú-nulas são figuras curvilíneas delimitadas por dois arcos de circunferência. Apresentamos a seguir a demonstração desse fato.

Parte 1 – Construção das lúnulas

Ache os pontos médios (m_a, m_b e m_c) dos la-dos do triângulo. Construa um semicírculo com centro nos pontos médios dos catetos b e c.

M_b M_a

Construa um semicírculo com centro no ponto médio da hipotenusa, voltado para o interior do triângulo.

M_a

As lúnulas são as figuras formadas entre os semicírculos dos catetos e o semicírculo da hipotenusa.

Parte 2 – demonstração

Sejam L_b e L_c as lúnulas relativas aos cate-tos b e c. R_b e R_c são os segmentos circulares limitados pelos catetos b e c. SC_a, SC_b e SC_c são os semicírculos relativos aos lados a, b e c do triângulo. Seja t a área do triângulo retân-gulo AbC. Então, podemos escrever que:

t = SC_a – (R_b + R_c) (I) L_c L_b R_c B A C R_b

Consideremos também que as áreas dos semicírculos representados a seguir obedecem

ao teorema de Pitágoras, como visto anterior-mente, ou seja, SC_a = SC_b + SC_c (II)

C c A a B b

As áreas das lúnulas L_b e L_c valem, respec-tivamente:

L_b = SC_b – R_b e L_c = SC_c – R_c

Então, a soma das áreas das lúnulas é dada por:

L_b + L_c = SC_b – R_b + SC_c – R_c, ou L_b + L_c = SC_b + SC_c – (R_b + R_c)

Considerando a relação (II), podemos es-crever que L_b + L_c = SC_a – (R_b + R_c).

Comparando com a relação (I), concluí-mos que L_b + L_c = t.

Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo retângulo.

Considerações sobre a avaliação

forma de trabalhar a Matemática com signifi-cado. O professor deve avaliar quais delas po-dem ser incorporadas ao seu curso, de forma a ampliar o conhecimento dos alunos.

Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos consigam re-solver problemas envolvendo o perímetro e a área do círculo e de suas partes. Além disso, espera-se que tenham compreendido o signi-ficado do π como razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.

A avaliação do aprendizado dos alunos deve ser feita continuamente, ao longo das atividades

desenvolvidas. A atividade experimental 4 é importante na construção do significado do cálculo de áreas circulares por aproximação. Já as atividades 2, 6 e 7 envolvem cálculos e reso-lução de problemas. Nesses momentos, deve-se avaliar o aproveitamento dos alunos e suas difi-culdades, verificando se conseguem realizar os cálculos envolvidos.

A maioria dos livros didáticos traz uma sé-rie de problemas abrangendo o cálculo de perí-metros e áreas de figuras circulares. O professor poderá selecionar alguns deles para a elabora-ção de fichas de exercícios e avaliações.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3

CILINDROS

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: área da superfície cilíndrica; volume de um prisma reto; volume do

cilindro; unidades de medida de capacidade.

Competências e habilidades: saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geo-

métricos: prismas, pirâmides e corpos redondos; conhecer o nome e o significado dos principais elementos de um prisma e de um cilindro; calcular a área total e o volume de um cilindro; realizar corretamente transformações de unidades de medida de capacidade.

Estratégias: desenhar a planificação de um cilindro e construí-lo com base nessa

planifi-cação; resolver problemas envolvendo o cálculo do volume de embalagens com formato de cilindro.

Roteiro para aplicação da Situação

de Aprendizagem 3

Nas Situações de Aprendizagem ante-riores, o foco do estudo foram as relações métricas nas figuras circulares planas.

Iremos explorar as principais relações mé-tricas que caracterizam um tipo particular de cilindro, o reto. Propomos uma atividade para o aluno desenhar a planificação do cilindro e construí-lo a partir dela. Desse modo, ele irá se familiarizar com os elementos e as partes que formam um cilindro, o que será de funda-mental importância para chegar às fórmulas da área e do volume.

Os cálculos da área e do volume devem ser apresentados e problematizados, de modo que o aluno seja capaz de resolver problemas básicos envolvendo formas cilíndricas. A fór-mula da área da superfície do cilindro pode ser obtida com os conhecimentos já adqui-ridos, como a área do retângulo e a área do círculo. No caso do volume, não há necessi-dade de se demonstrar a fórmula a partir do Princípio de Cavalieri, o que será feito mais adiante, na 2a _{série do Ensino Médio. O} mais importante, na 8a _{série, é fazer com que o} aluno consiga interpretar e dar sentido a essas fórmulas, percebendo a presença da constante π e o número de dimensões envolvidas.

Atividade 1 – Figuras espaciais:

características

Professor, antes de iniciar o estudo das lações métricas no cilindro, é fundamental re-tomar com os alunos alguns dos conceitos já estudados nas séries anteriores. A distinção en-tre prismas, pirâmides e corpos redondos deve ser relembrada para situar o cilindro dentro do conjunto dos sólidos geométricos. Além disso, é muito importante avaliar o vocabu-lário geométrico dos alunos. Nessa etapa, a

linguagem desempenha um papel fundamen-tal na construção do conhecimento geomé-trico. Os alunos devem saber o que é aresta, vértice, face, plano, segmento de reta, etc.

A atividade a seguir tem por objetivo reco-nhecer as principais características e elemen-tos de um cilindro a partir da comparação com um prisma.

1. Apresente aos alunos as figuras de um

cilindro e de um prisma, ambos retos.

a) Descreva as principais semelhanças e

diferenças entre os dois sólidos.

b) Indique na figura o nome dos principais

elementos que formam esses sólidos.

No caso do prisma reto, a medida da aresta lateral é a altura do sólido. No cilindro reto, é a geratriz. vértice aresta face geratriz base

Atividade 2 – A planificação do cilindro e

sua área

Podemos introduzir a ideia da área do cilin-dro com base em sua planificação. Sugerimos a construção, com régua e compasso, de uma planificação do cilindro que possa ser monta-da em uma folha de tamanho A4.

1a _{etapa – Desenhando a planificação.} As medidas sugeridas para a planificação são: diâmetro dos círculos: 6 cm;

f

dimensões do retângulo: base igual a f

6 . 3,14 ≅ 18,8 cm e altura de 5 cm.

2a _{etapa – Montagem do cilindro com base} na planificação.

dica: os alunos podem usar fita adesiva para juntar as partes do cilindro.

3a _{etapa – Cálculo da área superficial do} cilindro.

Nessa etapa, os alunos deverão calcular a área da superfície do cilindro usando as medidas sugeridas para a planificação (diâmetro das cir-cunferências igual a 6 cm e altura do retângulo igual a 5 cm). A própria planificação do cilindro já sugere as etapas a serem consideradas nesse cálculo: as duas bases circulares e um retângulo.

dados: diâmetro do círculo = 6 cm (raio = 3 cm)

As áreas das bases correspondem às áreas dos círculos de raio 3 cm. Portanto,

área das bases = 2 . área do círculo = 2 . (π . r2₎ ≅

≅ 2 . 3,14 . 32≈ 56,5 cm2

Já a área lateral corresponde à área do retân-gulo de base igual ao comprimento da circunferên-cia (2 . π . r) e altura igual a 5 cm. Portanto,

área lateral = área do retângulo = base . altura =

= (2 . π . r) . 5 ≈ 2 . 3,14 . 3 . 5 ≈ 94,2 cm2

A área total da superfície do cilindro corres-ponde à soma das áreas das bases com a área da superfície lateral:

área do cilindro = área das bases + área lateral =

= 56,5 + 94,2 = 150,7 cm2

Ao final, pergunte aos alunos se o resul-tado é compatível com o problema. Eles de-vem avaliar se 150 cm2 _{é uma medida possível}

para a área do cilindro. uma forma de fazer essa verificação é comparar a área obtida com a área da folha de papel onde foi feita a pla-nificação. As dimensões de uma folha A4 são de, aproximadamente, 21 cm por 30 cm. Por-tanto, sua área é de 21 . 30 = 630 cm2_{, que é,}

aproximadamente, 4 vezes maior que a área obtida. Parece razoável, considerando que a planificação ocupou uma fração do papel A4. Insista com os alunos a respeito desse tipo de procedimento. Ele pode ajudar a detectar erros nos cálculos, o que é frequente aconte-cer. Se, por exemplo, o resultado obtido for 1 507 cm2_{, ao compará-lo com a área do papel,}

será possível identificar um erro relacionado às casas decimais.

4a _{etapa – Generalização}

Peça aos alunos que escrevam uma fórmula para a área de qualquer cilindro reto, a partir do raio r das bases e da altura h do cilindro.

A área da base é a área do círculo, ou seja,

π . r2_{. E a área lateral é a área de um}

retân-gulo em que um lado tem o comprimento da circunferência da base (2 . π . r) e o outro lado

mede h.

A_cilindro = 2 . A_base +A_lateral

A_base =

π

A_lateral = 2 .

π

A_cilindro = 2 . π . r2 _{+ 2 . π . r . h}

ou A_cilindro = 2 . π . r (r + h)

Atividade 3 – do prisma ao cilindro: volume

O volume de um prisma já foi apresentado aos alunos na 7a _{série. Retomaremos essa noção} para introduzir o cálculo do volume do cilindro. Nesta Situação de Aprendizagem, trataremos exclusivamente de prismas e cilindros retos, ou seja, cuja superfície lateral é perpendicular aos planos das bases. A ampliação para casos de prismas e cilindros oblíquos será abordada no Caderno da 2a _{série do Ensino Médio.}