Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
Objetivo
Conhecer, compreender e utilizar o Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem) como ferramenta de contagem.
Se liga
Nesta aula, estamos entrando no estudo de análise combinatória e, por isso, é muito importante saber o que é um fatorial e como calcular! Para isso, temos uma introdução neste material explicando 😊.
Curiosidade
Você já se perguntou quantas configurações diferentes existem para placas de carros? Ou quantas senhas possíveis de 4 digitos podemos escolher para bloquear o celular? Ou, ainda, quantas combinações de cadeado podemos fazer? A resposta para todas essas perguntas está no Princípio Fundamental da Contagem. Este material vai te ensinar a técnica para calcular de quantas maneiras podemos combinar decisões.
Teoria
Antes de começarmos a estudar análise combinatória, é fundamental sabermos o que é um fatorial.
Fatorial (!)
O fatorial é uma operação aplicada apenas a números naturais e é definido da seguinte maneira:
( 1) ( 2) ... 3 2 1
! 0! 1 para m 2
1! 1
m m m m
− −
= =
=
Ou seja, o fatorial de um número é o produto dele pelo antecessor e assim sucessivamente, até que o antecessor seja 1.
Ex.:
2! = 2 ∙ 1 = 2 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5.040 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40.320
Princípio fundamental da contagem
Essa técnica básica de contagem visa a calcular o número de possibilidades de ocorrência de um evento E, composto por uma série de subeventos independentes: E1, E2, E3... Na composição do evento E, escolhe-se apenas umas das possibilidades de cada um de seus subeventos. Representamos os totais de possibilidades pelas quais os eventos podem ocorrer por:
n(E): número de possibilidades do evento E n(E1): número de possibilidades do evento E1
Podemos enunciar que o número de possibilidades de ocorrência do evento E é dado por:
( ) ( ) ( )
1 2... ( )
nn E = n E n E n E
Exemplo:
Maria possui 3 camisas, 2 calças e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?
Observe as opções de Maria:
Sapato 1 - OPÇÃO 1 Calça 1
Sapato 2 - OPÇÃO 2 Camisa 1
Sapato 1 - OPÇÃO 3 Calça 2
Sapato 2 - OPÇÃO 4 Sapato 1 - OPÇÃO 5 Calça 1
Sapato 2 - OPÇÃO 6 Camisa 2
Sapato 1 - OPÇÃO 7 Calça 2
Sapato 2
- OPÇÃO 8 Sapato 1 - OPÇÃO 9 Calça 1
Sapato 2 - OPÇÃO 10 Camisa 3
Sapato 1 - OPÇÃO 11 Calça 2
Sapato 2 - OPÇÃO 12
Considerando o evento E como as maneiras diferentes como ela pode se vestir e aplicando as informações das opções de Maria na fórmula, temos:
𝑛(𝐸) = 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12
Exercícios de fixação
1.
Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De quantas maneiras distinta Arnaldo poderá vestir-se?a) 18 b) 30 c) 90 d) 108
2.
Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4 opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida?a) 512 b) 1024 c) 525 d) 2056
3.
Quantos números de três algarismos distintos existem?a) 648 b) 981 c) 936 d) 999
4.
Juninho brincava com um dado e notou que também possuía uma moeda em seu bolso. Como era um garoto muito esperto e amava matemática, decidiu descobrir quantas possibilidades de resultados distintos há ao lançar uma moeda e um dado. Qual foi o número corretamente encontrado por ele?a) 6 b) 8 c) 12 d) 36
5.
De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?a) 6 b) 12 c) 36 d) 240
Exercícios de vestibulares
1.
(Enem PPL – 2019) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para transmitir músicas a partir do seu computador para o rádio do seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves seletoras e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência diferente de transmissão. A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada pora) 6.
b) 8.
c) 12.
d) 16.
e) 24.
2.
(UERJ – 2003) Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem. O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a:a) 6
b) 24 c) 64
d) 168 e) 232
3.
(Enem – 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
4.
(Enem – 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
5.
(Enem PPL – 2014) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas. Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado pora) 100.
b) 90.
c) 80.
d) 25.
e) 20.
6.
(Enem – 2002) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001 Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010
No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve- se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.
Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é:
a) 14.
b) 12.
c) 8.
d) 6.
e) 4.
7.
(UNEB) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se esqueceu da senha.Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que 5 e o quarto e último era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha?
a) 13 b) 60 c) 75 d) 78 e) 80
8.
(Enem – 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
a) 20 . 8! + (3!)² b) 8! . 5! . 3!
c) 8!.5!.3!
28 d) 8!.5!.3!
2² e) 16!
28
9.
(Enem – 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.O coeficiente de melhora da alteração recomendada é a) 626
106 b) 62!
10!
c) 62!4!
10!56!
d) 62! − 10!
e) 626− 106
10.
(UERJ – 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:
O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:
a) 624 b) 676 c) 715 d) 720
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Gabaritos
Exercícios de fixação
1. C
Número de opções de camisetas: 5 Número de opções de bermudas: 6 Número de opções de chinelos: 3
Pelo Principio Fundamental da Contagem:
5 ∙ 6 ∙ 3 = 90 2. B
Cada uma das 5 questões possui 4 opções distintas.
Pelo PFC:
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1024 3. A
Para que o número tenha 3 algarismos, o zero não pode ser utilizado nas centenas. Podemos então utilizar qualquer dos algarismos de 1 a 9, ou seja, temos 9 opções.
Analisando as dezenas, podemos utilizar o zero e qualquer um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas centenas. Temos então 9 opções.
Analisando agora o algarismo das unidades, podemos utilizar um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas dezenas ou nas centenas. Temos então 8 opções.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
9 ∙ 9 ∙ 8 = 648
4. C
Ao lançarmos uma moeda e um dado, temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (2 possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que para cada uma das 2 possibilidades da moeda há outras 6 no dado.
Portanto, o evento tem duas etapas, com 2 possibilidades na primeira, e 6 na segunda.
Fazendo 2 x 6, encontramos o total de 12 possibilidades!
5. D
Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma, temos que:
𝑃5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240. Portanto, as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras.
Exercícios de vestibulares 1. D
Como cada chave pode assumir apenas duas posições, pelo Princípio Multiplicativo, é imediato que a resposta é
2 2 2 2 16 =
2. B
Temos a seguinte configuração:
_ _ _ _ 0000
Só podemos usar 4 algarismos para o primeiro dígito e não podemos repetir.
Assim: 4.3.2.1 = 24 maneiras.
3. B
De acordo com o enunciado, temos as seguintes variações que podem ser obtidas para a paisagem:
Fundo Casa Palmeira
Azul Verde Cinza
Azul Verde Verde
Azul Amarela Cinza
Azul Amarela Verde
Cinza Azul Verde
Cinza Verde Verde
Cinza Amarela Verde
Totalizando sete.
4. A
O número total de possibilidades de uma personagem esconder um dos 5 brinquedos em um dos 9 cômodos é 6 . 5 . 9 = 270.
Já que as respostas devem ser sempre diferentes, algum aluno acertou a resposta, porque “há 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas”.
5. A
Temos que a nova senha será no formato:
_****_
No início e no final, usaremos apenas vogais, ou seja, 5 possibilidades. Porém, existe a diferença entre vogais maiúsculas e minúsculas. Ou seja, agora temos 10 possiblidades: a, e, i, o, u, A, E, I, O e U.
Por fim, teremos 10 possibilidades para o início e 10 para o final:
10 ∙ 10 = 100 vezes o número das senhas antigas.
6. D
𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏 ∙ −𝟏(𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒕𝒂𝒔) − 𝟏(𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒃𝒓𝒂𝒏𝒄𝒂𝒔) = 𝟔
7. E
1º número é 8 = 1 possibilidade
2º número é par ( pode ser 2, 4, 6, 8 ) = 4 possibilidades
3º número é menor que 6 (pode ser 1, 2, 3, 4) = 4 possibilidades 4º número é ímpar ( pode ser 1, 3, 5, 7, 9 ) = 5 possibilidades Multiplique as possibilidades
1 . 4 . 4 . 5 = 80 8. B
Para esse cliente alugar os 16 filmes que são lançamentos, vão ser necessárias 8 locações, pois podemos alugar apenas 2 filmes por vez.
O número de formas diferentes de alugar esse filme é dado por 8.7.6.5.4.3.2.1 = 8!
O número de formas diferentes de alugar os 5 filmes de comédia, nas 5 primeiras locações, é de 5.4.3.2.1
= 5!
O número de formas diferentes de alugar os 3 filmes de drama, nas últimas 3 locações, é de 3.2.1 = 3!
Logo, o número de formas distintas é de 8!.5!.3!
9. A
Antigamente, havia 10 possibilidades para cada dígito (algarismos de 0 a 9). Após a recomendação do especialista, além dessas 10 possibilidades, outras 52 seriam possíveis, sendo as 26 letras minúsculas e as 26 maiúsculas do alfabeto. Sendo a senha composta por seis dígitos, podendo ter repetição, pelo princípio multiplicativo, havia 106 maneiras de se criar a senha; com a nova maneira, esse número passa a ser 626. Portanto, a razão pedida é 626/106.
10. A
Os conjuntos devem ser formados por 5 cartas, sendo 4 de mesmo valor e uma de outro valor qualquer.
Há 13 escolhas diferentes de quadra (quatro cartas de valor 2, quatro cartas de valor 3, e assim sucessivamente). Para cada quadra escolhida, restam 52 - 4 = 48 cartas, dentre as quais 1 poderá completar o conjunto de 5 cartas. Então, há 13 × 48 = 624 resultados distintos em que se poderá obter uma quadra, retirando-se cinco cartas desse baralho.
