UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Câmpus Curitiba
Diretoria de Graduação e Educação Profissional Departamento Acadêmico de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 − Profª Silvana Heidemann Rocha
DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Exemplo de notação de função real de uma variável real: 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ, 𝑦 = 𝑓(𝑥)
1 INTRODUÇÃO
Derivada de uma função real de uma variável real é uma técnica matemática usada para:
• estudar taxas de variação instantânea de grandezas físicas, tais como:
o velocidade instantânea (variação do deslocamento em relação à variação do tempo);
o aceleração instantânea (variação da velocidade em relação à variação do tempo);
o inflação econômica (variação de preço em relação à variação do tempo);
o número de bactérias numa cultura (taxas de crescimento ou de decrescimento);
o intensidade dos tremores de um terremoto;
o variação da tensão elétrica;
• aproximar grandezas cujo cálculo exato é difícil (por meio de diferenciais);
• resolver problemas de otimização (maximização, minimização);
• cálculo do limite de função envolvendo indeterminações do tipo 0 0 e
∞
∞ (por meio da regra de L’Hospital);
• determinar o coeficiente angular da reta tangente a uma curva, em qualquer ponto dessa curva;
• determinar o gráfico de uma função (intervalos de crescimento e de decrescimento;
pontos de máximo e de mínimo, intervalos onde a concavidade é voltada para cima ou para baixo, pontos de inflexão, assíntotas);
• resolver equações diferenciais (equações cujo propósito, em geral, é determinar a função y=f(x), a partir do conhecimento da variação de y em relação à variação de x).
2 TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 2.1 TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE y EM RELAÇÃO A x, NO INTERVALO [x,x+x]
Considere uma função real f , definida por y= f(x). Quando a variável independente x varia de um valor x a x+x, a correspondente variação de y será y= f(x+x)− f(x). O quociente
x x f x x f x y
−
= +
( ) ( )
é denominado taxa de variação média de y em relação a x. Também é comum aparecer a notação
h a f h a
ym = f( + )− ( ) para representar a variação média de y= f(x) quando x varia num intervalo [a, a+h].
2.1 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DE y EM RELAÇÃO A x EM x=a Para uma função real f , definida por y= f(x), o quociente
x x f x x f x
y
x
x
−
= +
→
→
) ( ) lim (
lim0 0
é denominado taxa de variação instantânea de y em relação a x ou, simplesmente, taxa de variação de y em relação a x, desde que esse limite exista.
Também é comum aparecer a notação yi =
h a f h a f
h
) ( ) lim (
0
− +
→ para representar a variação instantânea de y= f(x)quando x=a, desde que esse limite exista.
3 INCREMENTOS DAS VARIÁVEIS x E y, E RAZÃO INCREMENTAL
Seja a função real f , definida por y= f(x). Se a variável independente x varia de x1 a x2, define-se o acréscimo ou incremento de x, denotado por x, como
x = x2 - x1 em que x1 é o valor inicial de x e x2 é seu valor final.
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denominada acréscimo ou incremento de y, denotado por y, e definida como
) ( )
(x2 f x1 f
y= −
ou y= f(x1+x)− f(x1) em que f(x1) é o valor inicial de y e f(x2)é seu valor final.
O quociente
x x f x x f x y x
x
x f x f x y
−
= +
−
= −
( ) ( )
ou ) ( )
( 1 1
1 2
1
2 é denominado razão
incremental ou razão dos acréscimos, e significa que, a partir de x1, y está variando em x
y
por unidade de x.
4 DEFINIÇÃO DE DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Seja f uma função real definida por y= f(x) e contínua em um intervalo I.
A derivada de f , denotada por f´, é uma função definida por x
x f x x f x
x y f
x
x
−
= +
=
→
→
) ( ) lim (
lim ) (
0 0
´ quando esse limite existe.
Alguns autores usam a definição
h x f h x x f
f
h
) ( ) lim (
) (
0
´ = + −
→ , desde que o limite exista.
Observação:
• A notação f´(x) lê-se: f linha de x;
• f´(x) é a notação baseada em notações de Isaac Newton (século XVI).
5 OUTRAS NOTAÇÕES DE DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Dx f(x) ou f(x)
dx
d ou (x) dx
df (lê-se: derivada de f em relação a x, no ponto x);
Dx y ou dx
dy (lê-se: derivada de y em relação a x);
Essas notações acima são baseadas em notações de Leibniz (século XVI).
6 INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Seja uma função real f , definida por y= f(x). A derivada f' pode ser interpretada como uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y= f(x), em x. Essa interpretação é denominada interpretação geométrica de derivada. Ainda, a derivada f' pode ser interpretada como uma função cujo valor em x é a taxa de variação instantânea de y em relação a x. Essa interpretação é denominada interpretação física de derivada.
No caso da taxa de variação instantânea referir-se à variação do deslocamento em relação à variação do tempo, o que dá a velocidade instantânea, tem-se a interpretação cinemática de derivada.
Além disso, se a taxa de variação instantânea referir-se à variação da velocidade em relação à variação do tempo, tem-se a grandeza física denominada 'aceleração instantânea'.
7 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL, EM UM PONTO
Seja f uma função real definida por y= f(x)e contínua em um intervalo I.
A derivada de f , no ponto x0, denotada por f´(x0), é definida por
0 0 0
´ ( ) ( )
lim ) (
0 x x
x f x x f
f x x −
= −
→ , ou por
x x f x x f x
x y
f x x x
x
−
= +
=
→
=
→
) ( ) lim (
lim )
( 0 0
0 0 0
´
0 , quando tal limite existe.
8 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA DERIVADA OU DERIVADAS LATERAIS Definição 1
Se a função real f , com y= f(x), está definida em x0, então a derivada à direita de f em x0, denotada por f+´(x0), é definida por
) ( 0
´ x f+ =
0 0) ( ) lim (
0 x x
x f x f
x
x −
−
→ + , ou por
) ( 0
´ x f+ =
x x f x x f
x
−
+
→ +
) ( )
lim ( 0 0
0 , desde que o limite exista.
Definição 2
Se a função real f , com y= f(x), está definida em x0, então a derivada à esquerda de f em x0, denotada por f−´(x0), é definida por
) ( 0
´ x f− =
0 0) ( ) lim (
0 x x
x f x f
x
x −
−
→ − , ou por
) ( 0
´ x f− =
x x f x x f
x
−
+
→ −
) ( )
lim ( 0 0
0 , desde que o limite exista.
8.1 OUTRAS NOTAÇÕES PARA DERIVADAS LATERAIS )
( 0
´ x
f+ também pode ser denotada por f´(x0+), e f−´(x0) por f´(x0−).
Quando existem as derivadas à direita e à esquerda, num ponto, e elas são iguais, diz-se que a função é derivável nesse ponto.
9 PONTO ANGULOSO
Quando as derivadas à direita e à esquerda em x0 existem e são diferentes, diz-se que o ponto P(x0, f (x0)) é um ponto anguloso do gráfico da função real f , ou seja, a função real f não é derivável em x0 e, consequentemente, não admite reta tangente em P.
10 DOMÍNIO DA DERIVADA
O domínio da (função) derivada de uma função real f , definida por y= f(x), é um conjunto formado por todos os valores de x para os quais f é derivável.
11 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
Teorema: Toda função real derivável num ponto é contínua nesse ponto.
Demonstração (para o caso de uma função real de uma variável real):
Deve-se mostrar que se f é derivável em x0, então f é contínua em x0. Isto equivale a:
Se
0 0 0
) ( ) lim ( lim
0 0 x x
x f x f x
y
x x x
x x −
= −
= →
→
existe
=
→ ( ) ( )
lim
; x em definida está
seja, ou existe, ) (
0
0 0
0
x f x f
f(x) x
f
x x
. Segue a demonstração:
Como, por hipótese,
0 0) ( ) lim (
0 x x
x f x f
x
x −
−
→ existe, então f(x0) existe.
Fazendo,
( ) ( )
( ) ( ) 0. ´( ) 0lim . ) lim
( ) . ( lim
) ( ) ( lim
lim 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0 0
0
=
− =
− −
=
−
− −
=
−
=
→ → → →
→ f x
x x
x f x x f
x x x
x f x x f x x
f x f y
x x x
x x
x x
x x x
vem:
0 ( ) ( )
0( ) ( )
0( ) ( )
00 0
0 0
0 0
lim lim
lim 0
lim lim
0 ) ( ) (
lim f x f x f x f x f x f x f x f x
x x x
x x
x x
x x
x x
x − = − = = =
→
→
→
→
→
→ .
Portanto,
Se
0 0) ( ) lim (
0 x x
x f x f
x
x −
−
→ existe, temos:
→ ( )= ( ) lim
existe;
) (
0 0
0
x f x f x f
x x
. Logo, f é contínua em x0, como se queria demonstrar.
Observação: A recíproca nem sempre é verdadeira, ou seja, se f é contínua em x0 não implica que f seja derivável em x0, por exemplo, f pode ter um ponto anguloso emP(x0, f (x0)).
Exemplo:
Esboce o gráfico da função real f definida por f(x) =
−
−
−
−
2 ou 2 se , 4
2 2
se , 4
2 2
x x
x
x
x .
Após, calcule as derivadas laterais em x=−2 e x=2. a) f é contínua em x=−2 e x=2? Justifique.
b) f é derivável em x=−2 e x=2? Justifique.
12 FUNÇÃO DERIVÁVEL NUM INTERVALO ABERTO ]𝑎, 𝑏[
Definição
Uma função real f , definida por y= f(x), é derivável em um intervalo aberto ]𝑎, 𝑏[ se )
( ) (
' x
dx x df
f = existe para todo x pertencente a ]𝑎, 𝑏[ .
13 FUNÇÃO DERIVÁVEL NUM INTERVALO FECHADO [𝑎, 𝑏]
Definição
Uma função real f , definida por y= f(x), é derivável em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏]
se '( ) (x) dx x df
f = existe para todo x pertencente a ]𝑎, 𝑏[ e se os seguintes limites existem:
)
´( a f+ =
a x
a f x f
a
x −
−
→ +
) ( )
lim ( e f−´(b) =
b x
b f x f
b
x −
−
→ −
) ( ) lim (
14 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA OU REGRA DA CADEIA
15 DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
16 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DEFINIDA:
16.1 IMPLICITAMENTE 16.2 PARAMETRICAMENTE
17 DERIVADAS SUCESSIVAS OU DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR
18 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES REAIS, POR MEIO DOS SINAIS DAS DERIVADAS
18.1 EXTREMOS ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO Definição
Seja a função real R
x f y R D
x f
) (
:
→
=
. Diz-se que x0D é ponto de máximo absoluto ou ponto de máximo global de f se para todo xD, f(x) f(x0). Diz-se que
f (x0) é o valor máximo de f . Definição
Seja a função real R
x f y R D f
x ( )
:
→
=
. Diz-se que x0D é ponto de mínimo absoluto ou ponto de mínimo global de f se para todo xD, f(x) f(x0). Diz-se que f (x0) é o valor mínimo de f .
Teorema de Weierstrass
Seja a função real R
x f y b a
x f
) ( ]
, [
:
→
=
uma função contínua em todo seu domínio.
Então f assume máximo e mínimo absoluto em [ , ]
b a .
Esse teorema informa que se não houver pontos de máximo e mínimo absoluto no intervalo aberto ]𝑎, 𝑏[então a função assumirá seus valores máximo e mínimo absolutos em 𝑥 = 𝑎 e em 𝑥 = 𝑏.
18.2 EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO Definição
Seja a função real R
x f y R D f
x ( )
:
→
=
. Diz-se que:
a) x0 D é ponto de máximo relativo ou ponto de máximo local de f se existir um intervalo aberto I, contendo x0, tal que f(x) f(x0), para todo xID.
b) x0 D é ponto de mínimo relativo ou ponto de mínimo local de f se existir um intervalo aberto I, contendo x0, tal que f(x) f(x0), para todo xID.
Observação: Os pontos de máximos ou mínimos (sejam globais ou relativos) de uma função real são também denominados pontos extremos da função. Os pontos de máximos ou mínimos relativos são denominados, ainda, extremos relativos.
Exemplo:
Proposição
Suponha que '( ) (x) dx x df
f = existe para todos os valores de 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ e que f tem um extremo relativo em x0, com ax0 b. Se f'(x0)existe, então f'(x0)=0.
Geometricamente, essa proposição diz que se f tem um extremo relativo em x0 e se )
( ' x0
f existe, então o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal no ponto onde x=x0 . Essa proposição diz, ainda, que se f'(x0) existe, a condição f'(x0)=0 é uma condição necessária para a existência de um extremo relativo em x0 . No entanto, essa não é uma condição suficiente, pois se f'(x0)=0 a função f pode ter ou não um extremo relativo em x0 .
Exemplo:
Observações
• No gráfico (i), anterior, f'(0)=0, porém x=0 não é extremo relativo em ]𝑎, 𝑏[, pois x=0 não atende a definição de extremo relativo.
• No gráfico (ii), anterior, x0 é um extremo relativo em ]𝑎, 𝑏[, no entanto f'(x0) não existe.
• No gráfico (iii), anterior, x0 não é um extremo relativo em ]𝑎, 𝑏[, pois x0 não atende a definição de extremo relativo.
0 x0 x0
(i) (ii) (iii)
y
O x
y=f(x)
No gráfico ao lado:
• são os pontos extremos de f;
• f( ) e f( ) são os máximos relativos;
• f( ) e f( ) são os mínimos relativos.
a b a b
a
b
y y y
x x x
Conclusão
Dos gráficos (i), (ii) e (iii), e da proposição, anteriores, conclui-se que:
• num ponto de extremo relativo a derivada primeira da função pode ser nula ou pode não existir;
• a derivada primeira pode ser nula ou pode não existir, num ponto do domínio da função, sem no entanto esse ponto ser extremo relativo.
• para que x0D(f) seja extremo relativo é necessário que x0 seja ponto crítico da função real f , definindo-se ponto crítico como um ponto em que a derivada primeira é nula ou não existe. Aqui D(f) é o domínio de f .
19 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE EXTREMOS RELATIVOS DE UM FUNÇÃO
Para que um ponto x0D(f) seja extremo relativo de f é necessário que x0 seja ponto crítico, isto é, a derivada primeira é nula ou não existe em x0 .
20 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Definição
Uma função real f definida num intervalo aberto (a,b) é crescente nesse intervalo se para todo x1(a,b) e x2(a,b), com x1x2, tem-se f(x1) f(x2) .
Definição
Uma função real f definida num intervalo aberto (a,b) é decrescente nesse intervalo se para todo x1(a,b) e x2(a,b), com x1 x2, tem-se f(x1) f(x2) .
Observação
Se uma função real é apenas crescente ou decrescente num intervalo, diz-se que é uma função monótona nesse intervalo.
Proposição
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b]e derivável no intervalo aberto (a,b).
• Se f'(x)0 para todo x(a,b), então f é crescente em [a,b];
• Se f'(x)0para todo x(a,b), então f é decrescente em [a,b].
21 DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
21.1 CRITÉRIO DA DERIVADA PRIMEIRA
Seja f uma função real contínua em todo um intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b), exceto derivável possivelmente num ponto x0(a,b).
i) Se f'(x)0 para todo xx0 e f'(x)0 para todo xx0, então x0 é ponto de máximo relativo ou local;
ii) Se f'(x)0para todo xx0 e f'(x)0 para todo xx0, então x0 é ponto de mínimo relativo ou local.
O item i) diz que se 𝑓 é crescente à esquerda de x0 e decrescente à direita de x0 , então x0 é ponto de máximo relativo.
O item ii) diz que se 𝑓 é decrescente à esquerda de x0 e crescente à direita de x0 , então x0 é ponto de mínimo relativo.
21.2 CRITÉRIO DA DERIVADA SEGUNDA
Seja f uma função real contínua e derivável até a segunda ordem num intervalo )
,
(a b , onde 𝑓′ e 𝑓′′ são também contínuas em (a,b) . Seja x0(a,b) tal que f'(x0)=0 . Então:
i) Se f ''(x0)0, x0 é ponto de máximo local de f ; ii) Se f ''(x0)0, x0 é ponto de mínimo local de f .
Demonstração do item i)
Como a função f '' é contínua e f ''(x0)0 em (a,b), então existe um intervalo aberto I contendo x0 no qual f ''(x)< 0 .
Como f ''(x0)0 tem-se que 𝑓′ é decrescente em I e como f'(x0)=0 conclui-se que em I, à esquerda de x0 tem-se f'(x)> 0 , e à direita de x0 tem-se f'(x)< 0. Portanto x0 é um ponto de máximo local.
De forma semelhante prova-se o item ii).
22 CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Definição
Uma curva tem concavidade voltada para cima, num intervalo aberto (a,b), se todos os pontos da curva se encontram acima da reta tangente, em qualquer ponto dessa curva no intervalo considerado.
Geometricamente, à medida que se avança sobre a curva, da esquerda para a direita, a reta tangente gira no sentido anti-horário. Como, geometricamente, f'(x) é a inclinação da reta tangente à curva, constata-se que no intervalo (a,b) a derivada 𝑓′ é crescente.
Dessa forma também é possível definir uma função real f como côncava para cima no intervalo (a,b) se 𝑓′ é crescente, nesse intervalo.
Definição
Uma curva tem a concavidade voltada para baixo, num intervalo (a,b), se todos os pontos da curva se encontram abaixo da reta tangente, em qualquer ponto desta curva no intervalo considerado.
Geometricamente, à medida que se avança sobre a curva, da esquerda para a direita, a reta tangente gira no sentido horário. Como, geometricamente, f'(x) é a inclinação da reta tangente à curva, constata-se que no intervalo (a,b) a derivada 𝑓′ é decrescente.
Dessa forma, também é possível definir uma função real f como côncava para baixo no intervalo (a,b) se 𝑓′ é decrescente, nesse intervalo.
Proposição
Seja f uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e derivável até segunda ordem no intervalo (a,b).
i) Se f ''(x)> 0 para todo x(a,b), então f é côncava para cima em (a,b); ii) Se f ''(x)< 0 para todo x(a,b), então f é côncava para baixo em (a,b).
O item i) diz que, sendo f ''(x) a declividade da reta tangente ao gráfico de f', nos intervalos em que 𝑓′ é crescente o ângulo de inclinação da reta tangente é agudo em qualquer ponto desse intervalo (ou seja, a declividade dada por f ''(x) é positiva).
Semelhantemente se explica o item ii).
Definição
Um ponto P(x0, f (x0)) do gráfico de uma função contínua f é denominado ponto de inflexão, se existe um intervalo (a,b) contendo x0 , tal que uma das seguintes situações ocorra:
i) f é côncava para cima em (a,x0) e côncava para baixo em (x0,b) ; i) f é côncava para baixo em (a,x0) e côncava para cima em (x0,b) .
Observação
Para um ponto ser ponto de inflexão, a função real deve ser derivável até segunda ordem, nesse ponto.
Exemplo:
No gráfico acima:
• (x1, f (x1)) não é ponto de inflexão, pois a função real f não é derivável em x1 ;
• (x2, f (x2)) é ponto de inflexão e a reta tangente nesse ponto corta o gráfico.
y
O x
23 ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Para se esboçar o gráfico de uma função real f , definida por y= f(x), siga os seguintes passos:
1º) Determine o domínio de f ;
2º) Calcule os pontos de interseção de f com os eixos coordenados (se não requerer muito cálculo)
(isto é, calcule os valores de x para os quais y=0, e, ainda, os valores de y para os quais x= 0 )
3º) Obtenha a derivada primeira e a derivada segunda de f ;
4º) Determine o domínio da derivada primeira;
5º) Encontre os pontos críticos de f
(isto é, encontre os valores de x que tornam 𝑓′ nula ou para os quais não existe 𝑓′, sendo x no domínio de f . Lembre-se: os pontos críticos são os candidatos a pontos de máximos ou mínimos locais)
6º) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f
(isto é, determine os valores de x que tornam f'(x)> 0 e f'(x)< 0, sendo x no domínio de f )
7º) Encontre os pontos de máximos relativos e os pontos de mínimos relativos
(ou seja, verifique se os pontos críticos são pontos de máximos locais ou pontos de mínimos locais;
utilize o critério da primeira derivada ou o critério da segunda derivada)
8º) Determine os intervalos onde f tem concavidade voltada para cima e onde f tem concavidade voltada para baixo
(isto é, determine os valores de x que tornam f ''(x)> 0 e f ''(x)< 0, sendo x no domínio de f )
9º) Encontre os pontos de inflexão de f ;
10º) Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, se existirem
(ou seja, calcule lim
𝑥→−∞𝑓(𝑥) e lim
𝑥→+∞𝑓(𝑥) para ver se f tem assíntota horizontal;
e, caso existam pontos 𝑥 = 𝑎 , no domínio de f , candidatos a serem assíntotas verticais, calcule 𝑥→𝑎lim−𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎+𝑓(𝑥) para verificar se 𝑥 = 𝑎 é realmente uma assíntota vertical de f ) 11º) Esboce o gráfico de f .
24 TEOREMAS FUNDAMENTAIS SOBRE DERIVADAS
24.1 TEOREMA DE ROLLE (matemático francês, 1652-1719)
Seja uma função real f , definida por y= f(x), contínua em [a,b] e derivável em ]𝑎, 𝑏[.
Se f(a)= f(b)=0, então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que f'(c)=0. Demonstração:
Se f é contínua em [a,b], f(a)= f(b)=0 e, ainda, 𝑓 tem uma derivada finita 𝑓′ em cada ponto x do intervalo ]𝑎, 𝑏[, tem-se dois casos a serem considerados:
1º caso: y= f(x)=0 (ou seja, 𝑓 é constante em ]𝑎, 𝑏[, uma vez que f(a)= f(b)=0):
Se y= f(x)=0, então f'(x)=0 ∀ x ∈ ]𝑎, 𝑏[. Consequentemente, qualquer 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[
pode ser tomado como o ponto c.
2º caso: y= f(x)0 ( ou seja, 𝑓 não é constante em (a,b), uma vez que f(a)= f(b)=0):
Como 𝑓 é contínua em [a,b], pelo teorema de Weierstrass, existem valores máximo e mínimo de 𝑓 em [a,b].
Como 𝑓 não é constante em [a,b] e f(a)= f(b)=0, 𝑓 apresentará intervalos de crescimento e decrescimento em ]𝑎, 𝑏[.
b x [ O
a y
P
x y
a b
P
] ou [ ]
c
c
a [ b x
y
y=f(x)=0 ]
Se f(x) começa crescendo, f(x) não pode crescer sempre, pois f(b)=0. Logo, há um ponto x=c onde a função começa a decrescer, sendo esse um ponto de máximo.
Como 𝑓 é derivável em todo o intervalo ]𝑎, 𝑏[, então f'(c)=0.
Se f(x) começa decrescendo, f(x)não pode decrescer sempre, pois é nula em b. Logo, há um ponto c onde a função começa a crescer, sendo esse um ponto de mínimo.
Como 𝑓 é derivável em todo o intervalo ]𝑎, 𝑏[, então f'(c)=0.
Se f(x) começa constante, num determinado ponto f(x) crescerá e decrescerá ou decrescerá e crescerá, pois f(b)=0. De qualquer forma, como a derivada primeira existe em todo o intervalo ]𝑎, 𝑏[, há sempre um ponto c onde a função assumirá ponto de máximo ou mínimo. Assim, f'(c)=0 .
Observação
No caso abaixo, não vale o teorema de Rolle, pois em x=c a função não derivável.
Nesse caso, c é a abscissa de um ponto anguloso.
Exemplo:
Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas para a função
3 / 1 3 /
4 3
)
(x x x
f = − , no intervalo [0, 3]. Após, determine o valor de c no intervalo ]0, 3[ tal que 0
) ( ' c =
f . Na sequência, faça o gráfico dessa função. (Resp.: c=3/4).
a c b x y
24.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO (OU TEOREMA DE LAGRANGE – matemático italiano, 1736-1813)
Seja uma função real f , definida por y= f(x), contínua em [a,b] e derivável em ]𝑎, 𝑏[.
Então, existe pelo menos um x=c, em ]𝑎, 𝑏[ , tal que f'(c)=
a b
a f b f
−
− ( ) )
( .
Interpretação geométrica do teorema:
A declividade da reta PQ é
a b
a f b f
−
− ( ) )
( .
O teorema do valor médio estabelece que se a função real f é contínua em [a,b] e derivável em ]𝑎, 𝑏[, então existe pelo menos um ponto c entre a e btal que a reta tangente à curva de f , em c, é paralela à corda que une os pontos P(a,f(a)) e Q(b,f(b)), isto é, à reta secante à f nos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) .
Assim, dada uma reta secante ao gráfico de uma curva derivável, é sempre possível encontrar pelo menos um ponto situado entre os dois pontos de interseção da reta secante com a curva, tal que a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante.
Demonstração:
Sejam os pontos P(a,f(a)) e Q(b,f(b)). A equação da reta PQ que passa por P(a,f(a)) e tem declividade
a b
a f b f
−
− ( ) )
( é dada por:
− =
− a b
a f b
f( ) ( )
a x
a f y
−
− ( ) =
y ( ) ( )( )
)
( x a
a b
a f b a f
f −
− + −
y
O x
y=h(x)
a b
f(a) f(b)
c
h(c) f(c)
P
Q
R g(c)
y=f(x)
Fazendo y=h(x), tem-se uma função real h definida por )
)( ( ) ) (
( )
( x a
a b
a f b a f
f x
h −
− + −
=
que é uma função polinomial de grau um, e, portanto, contínua e derivável em todo o seu domínio.
Seja g uma função real definida por g(x)= f(x)−h(x), x[a,b], em que g determina a distância vertical entre um ponto (x,f(x)) do gráfico de f e o ponto correspondente na reta secante PQ. Então:
) ( ) ( )
(x f x h x
g = − g(x)= f(x)− f(a)− ( ) ( )( ) a a x
b a f b
f −
−
−
Como g é contínua em [a,b], derivável em ]a,b[, pois f e h são contínuas em [a,b] e deriváveis em ]𝑎, 𝑏[, e, ainda, g(a)=g(b)=0, uma vez que g(a)= f(a)−h(a)=0 e
0 ) ( ) ( )
(b = f b −h b =
g , então a função g satisfaz o teorema de Rolle. Assim, existe c em ]𝑎, 𝑏[ tal que g'(c)=0 .
Como g(x)= f(x)−h(x) e ( ) ( )( ) )
( )
( x a
a b
a f b a f
f x
h −
− + −
= , então derivando g em
relação a x, vem:
−
=
−
= ´( ) '( ) ´( ) ´( ) )
´(x f x h x g x f x
g b a
a f b f
−
− ( ) ) (
Em c, tem-se:
−
= ´( ) )
´(c f c
g ( ) ( ) 0
− =
− a b
a f b f
a b
a f b c f
f −
= −
( ) ( )
)
´(
ou, ainda,
) ( )
´(
) ( )
(b f a f c b a
f − = −
Observação
Pode existir mais de um valor c(a,b) tal que
a b
a f b c f
f −
= ( )− ( ) )
´( .
Exemplo 1:
Verifique se a função real definida por y=3 x satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio entre os pontos A(0,0) e B(8,2). Caso satisfaça, determine o valor de c, com
) 8 , 0
(
c , onde a reta tangente ao gráfico de y é paralela à reta secante que passa por A e B. Na sequência, esboce o gráfico da função dada e as respectivas reta tangente e reta secante.
(Resp.: c= 1,5396...).
Exemplo 2
Equação da reta tangente à curva de uma função real dada na forma paramétrica Seja a função real, denotada na forma paramétrica por
=
= ) (
) (
t f y
t g
x , com tI , cujo gráfico está representado a seguir, sendo I um intervalo. A cada t pertencente ao intervalo I , a função paramétrica associa um ponto (g(t),f(t)) em
R
2 , onde f e g são funções reais definidas em I , eR
2 = R x R .Se f e g são deriváveis em I , t0I e g'(t0)0, a declividade da reta secantes à curva de
=
= ) (
) (
t f y
t g
x , nos pontos (g(t0),f(t0)) e (g(t),f(t)), é dada por
) ( ) (
) ( ) (
0 0
t g t g
t f t f
−
− .
Assim, o coeficiente angular da reta tangente à curva de
=
= ) (
) (
t f y
t g
x , no ponto ))
( ), (
(g t0 f t0 , é dado por:
) ( ) (
) ( ) lim (
0 0
0 g t g t
t f t f
t
t −
−
→ =
)
´(
)
´(
) ( ) (
) ( ) ( lim
0 0
0 0 0
0
0 g t
t f t
t t g t g
t t
t f t f
t
t =
−
−
−
−
→
e a equação da reta tangente em (g(t0),f(t0)) é dada por:
)) ( )(
´(
) ) ´(
) ( (
) ( )
´(
)
´(
0 0
0 0
0 0 0
0 x g t
t g
t t f
f t y
g x
t f y t g
t
f = + −
−
= − x y
g(t0) f(t0)
g(t) f(t)
s
24.3 TEOREMA DE CAUCHY (matemático francês, 1789-1857)
Se f e g são duas funções reais contínuas em [a,b], deriváveis em ]𝑎, 𝑏[e g'(x)0 para todo 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, então existe um número real 𝑧 ∈]𝑎, 𝑏[ , tal que .
)
´(
)
´(
) ( ) (
) ( ) (
z g
z f a g b g
a f b
f =
−
−
Interpretação geométrica do teorema:
Geometricamente, esse teorema estabelece que para uma função real, dada na forma paramétrica por
=
= ) (
) (
t f y
t g
x , t[a,b], a declividade da reta secante s à curva de
=
= ) (
) (
t f y
t g
x , nos
pontos (g(a),f(a)) e (g(b),f(b)), é dada por
) ( ) (
) ( ) (
a g b g
a f b f
−
− .
Como em ]𝑎, 𝑏[existe um ponto (g(z),f(z)) tal que a reta tangente t, nesse ponto, é paralela à reta secantes, o coeficiente angular da reta t é
)
´(
)
´(
z g
z
f . Assim, para esse z, tem-se:
− =
− ) ( ) (
) ( ) (
a g b g
a f b f
)
´(
)
´(
z g
z f
Demonstração:
i) As hipóteses f e gsão contínuas em [a,b], deriváveis em ]a,b[ e g'(x)0 para todo x]a,b[, implicam em g(a) g(b) .
Pelo Teorema do Valor Médio, existe um c em ]𝑎, 𝑏[ tal que
a b
a g b c g
g −
= ( )− ( ) )
(
' .
Como g'(x)0 para todo x]a,b[, então 0
) ( ' c
g ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
b g a g a
g b a g
b a g b
g −
−
−
f(a) f(b)
x y
g(a) g(b)
s
t
g(z) f(z)
ii) Seja a função real h, definida por [ ( ) ( )]
) ( ) (
) ( ) ) (
( ) ( )
( g x g a
a g b g
a f b a f
f x f x
h −
−
− −
−
= ,
com 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[, onde h(a)=h(b)=0 .
A função h satisfaz o Teorema de Rolle, pois h é contínua em [a,b] e derivável em [
,
]a b , uma vez que f e g são contínuas em [a,b] e deriváveis em ]𝑎, 𝑏[e, ainda, ).
( ) (a g b
g Além disso, h(a)=h(b)=0. Portanto, existe 𝑧 ∈]𝑎, 𝑏[ tal que h'(z)=0 .
Derivando [ ( ) ( )]
) ( ) (
) ( ) ) (
( ) ( )
( g x g a
a g b g
a f b a f
f x f x
h −
−
− −
−
= em relação a x, vem:
) ( ) ' ( ) (
) ( ) ) (
( ' ) (
' g x
a g b g
a f b x f
f x
h −
− −
=
Em x=z, tem-se:
0 ) ( ) ' ( ) (
) ( ) ) (
( ' ) (
' =
−
− −
= g z
a g b g
a f b z f
f z
h =
−
− ) ( ) (
) ( ) (
a g b g
a f b f
)
´(
)
´(
z g
z
f , pois g´(z) 0.
24.4 TEOREMA DE L´HOSPITAL OU REGRA DE L’HOSPITAL (Marquês de l’Hospital, França, 1712)
Sejam as funções reais f e g deriváveis num intervalo aberto I , exceto deriváveis possivelmente, em um ponto a, aI, com g'(x)0 para todo x a em I .
i) Se lim ( )=lim ( )=0
→
→ f x g x
a x a
x e ,
)
´(
)
lim ´( L
x g
x f
a
x =
→ então L
x g
x f x
g x f
a x a
x = =
→
→ ´( )
) lim ´(
) (
)
lim (
(seja L finito ou infinito)
ii) Se = =
→
→ ( ) lim ( )
lim f x g x
a x a
x e ,
)
´(
)
lim ´( L
x g
x f
a
x =
→ então L
x g
x f x
g x f
a x a
x = =
→
→ ´( )
) lim ´(
) (
)
lim (
(seja L finito ou infinito)
Demonstração do item i)
Se
0 0 ) (
)
lim ( =
→ g x x f
a
x (indeterminação) e L
x g
x f
a
x =
→ ´( ) )
lim ´( (ou seja,
)
´(
) lim ´(
x g
x f
x→a existe, seja ele finito ou infinito), deve-se provar que L
x g
x f
a
x =
→ ( ) )
lim ( .
Se f e g forem contínuas em x=a, então f(a)=g(a)=0 .
Se f e gnão forem contínuas em x=a, considera-se, então, duas funções reais F e G, definidas por
=
=
a se , 0
a se ), ) (
( x
x x x f
F e
=
=
a se , 0
a se ), ) (
( x
x x x g
G , que são contínuas em
a
x= e em todo o intervalo I , pois
) ( 0 ) ( lim ) (
limF x f x F a
a x a
x = = =
→
→ e limG(x) lim g(x) 0 G(a)
a x a
x = = =
→
→ .
Nesse segundo caso, seja xI, xa. Como para todo xa em I , f e g são deriváveis e g'(x)0 as funções F e Gsatisfazem as hipóteses do Teorema de Cauchy no intervalo [x,a] ou [a,x]. Segue, então, que existe um número real z, entre a e x, tal que
− =
− ) ( ) (
) ( ) (
a G x G
a F x F
)
´(
)
´(
z G
z F
Como F(x)= f(x), G(x)=g(x), F(a)=0, G(a)=0, F'(z)= f'(z) e G'(z)= g'(z), vem ) =
( ) (
x g
x f
)
´(
)
´(
z g
z f
Como z está entre a e x, quando x→a tem-se que z→a . Logo, z L
g z f z
g z f x
g x f
a z a
x a
x = = =
→
→
→ ´( )
) lim ´(
)
´(
) lim ´(
) (
) lim (
Observações
• Se f e g forem contínuas em x=a, então f(a)=g(a)=0, e a demonstração é semelhante.
• A condição g(x)0 para todo xa em I é necessária para a regra de L´Hospital, pois se 𝑔 fosse nula para algum x em I , xa, e como g(a)=0 , pelo Teorema de Rolle, segue que existiria um número real c entre x e a tal que g'(c)=0, o que geraria uma contradição.
• A regra de L´Hospital também é válida para os limites laterais (se x→ a+ ou x→a−), bem como, para os limites no infinito (x→+ ou x→−).
• A regra de L’Hospital só é válida se as indeterminações forem do tipo 0/0 ou / . Para as demais indeterminações, a função dada deve ser trabalhada algebricamente, a fim de surgir 0/0 ou /.
