- Tanto a radiação que deixa uma superfície quanto a radiação que chega em uma superfície tem característica direcional.

12.3-INTENSIDADE DE RADIAÇÃO

- Tanto a radiação que deixa uma superfície quanto a radiação que chega em uma superfície tem característica direcional.

- Para calcular E, J e G e q^"_rad esses efeitos direcionais devem ser considerados.

- Para levar em consideração esses efeitos define-se uma grandeza chamada de intensidade de radiação .I

- Devido a sua natureza, o tratamento matemático da radiação térmica envolve o uso do sistema de coordenadas esféricas.

12.3.1-Definições matemáticas

- ÂNGULO PLANO DIFERENCIAL: definido por uma região entre os raios de um círculo e é medido como a razão entre o comprimento de arco dl sobre o círculo e o raio

r do círculo:

r

d

α

- ÂNGULO SÓLIDO DIFERENCIAL: definido por uma região entre os raios de uma esfera e é medido como a razão entre a área dA sobre a esfera e o quadrado do raio da _n esfera:

r2

d

ω

- SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS: um ponto nesse sistema é definido pelo raio r da esfera, pelo ângulo de zênite

θ

φ

) , , (^r θ φ P

- Considere a emissão em uma direção particular a partir de um elemento com área superficial dA ₁ :

EMISSÃO DE RADIAÇÃO A PARTIR DE UMA ÁREA DIFERENCIAL dA ₁

PARA UM ÂNGULO SÓLIDO ^d

ω

PONTO SOBRE dA ₁

A ÁREA dA ATRAVÉS DA QUAL A _n RADIAÇÃO PASSA CORRESPONDE

A UM ÂNGULO SÓLIDO

DIFERENCIAL d QUANDO VISTA

ω

- CÁLCULO DO ÂNGULO SÓLIDO ^d

ω

θ r x

θ

θ

sin x r

r

x ⇒ =

=

x φ

d LADO1

θ φ

φ θ

r

d x LADO1 sin

sin 1 LADO 1

LADO = ⇒ =

=

2 LADO r

θ

d

θ

θ

d = LADOr 2 ⇒ LADO2 =

φ θ θ θ

φ

θ

dA_n = LADO1×LADO 2 = ( sin )( ) = ² sin

= ⇒

= ₂ ² sin ₂ r

d d r

r

d

ω

θ θ φ

- A partir de dA a radiação pode ser emitida em qualquer direção definida por uma ₁ hemisfério hipotético (uma semi-esfera).

- O ângulo sólido total, associado ao hemisfério completo pode ser obtido pela integração de ^{d de}

ω

φ

φ

π

φ θ θ

ω ^{d d}

d = sin

φ θ θ

ω ^{π π d d}

hd

∫ ∫

∫

[

]

ω ^{π π d}

hd

∫

∫

π φ

ω ^{π d}

hd

∫

∫













+



 



− 

=

= = 2

0

1 0

) 0 2 cos(

cos 123

43 2 1

∫ [ ]

∫

h

12.3.2-INTENSIDADE DE RADIAÇÃO

- Define-se I (intensidade de radiação espectral) como: taxa na qual energia radiante _λ é emitida no comprimento de onda

λ

λ λ

λ ω φ θ

θ

λ λ

d d

dA I dq

⋅

= ⋅ ) cos ,

, (

1

m)]

sr [W/(m² ⋅ ⋅µ

- Define-se dq : taxa na qual a radiação de comprimento de onda _λ

λ

λ

λ

- Combinando as definições de ^I_λ(

λ

θ

φ

⋅ ⇒

⋅ =

=

θ ω λ θ ω

φ θ

λ

λ dA d

dq d

dq d

I dA

cos cos

) 1 , , (

1 1

ω θ

φ θ

λ

λ

λ I dA d

dq = ( , , ) ₁ cos ⋅

- A unidade de dq é _λ [W/µm]

- Substituindo a expressão de ^{d em}

ω

1,

"

dA dq

dq_λ = _λ obtém-se:

φ θ θ θ

φ θ λ ω

θ φ

θ

λ ^λ _λ

λ

λ I d d

dA d dq

dA I

dq ( , , ) cos ( , , )cos sin

1

1 ⋅ ⇒ = ⋅

=

φ θ θ θ

φ θ

λ

λ

λ I d d

dq^" = ( , , )cos ⋅sin (fluxo de radiação espectral) [W/(m² ⋅µm)]

- A expressão acima permite calcular os fluxos térmicos radiantes conhecida a distribuição espectral e direcional da intensidade de radiação ^I_λ(

λ

θ

φ

- Essa expressão será utilizada para se determinar E, J e G e q_rad^" .

12.3.3-RELAÇÃO COM A EMISSÃO

- PODER EMISSIVO HEMISFÉRICO ESPECTRAL, ^E_λ (

λ

λ

λ λ

- Usando o fluxo de radiação espectral:

∫ ∫

∫∫

= _λ ^{π π} _λ

λ ⁽λ^{) dq"} ₀² ₀ ^{2 I} _, ⁽λ^,θ^,φ^)cosθ ^sinθ^dθ^dφ

E _e

- Note que ^E_λ (

λ

- PODER EMISSIVO HEMISFÉRICO TOTAL, ,E (W/m²): é a taxa na qual a radiação é emitida por unidade de área em todos os comprimentos de onda possíveis e em todas as direções possíveis.

λ φ θ θ θ

φ θ λ λ

λ ^{π π} _λ

λ d I d d d

E

E ⁼

∫

∫ ∫ ∫

- Usualmente o termo HEMISFÉRICO é omitido e fala-se em PODER EMISSIVO ESPECTRAL ^E_λ (

λ

- Embora a distribuição direcional da emissão de uma superfície varie de acordo com a superfície, existe um caso especial que fornece uma aproximação razoável para muitas superfícies.

- Esse caso é o emissor difuso, onde a intensidade da radiação emitida é independente da direção, ou seja:

) ( )

, ,

( _,

, λ θ φ _λ λ

λ ^e I ^e

I =

- Da definição do PODER EMISSIVO ESPECTRAL ^E_λ (

λ

∫ ∫

∫ ∫

⋅

=

⋅

= ^{π π} _{λ λ} ^{π π}

λ⁽

λ

λ

θ

θ

θ

φ

λ

θ

θ

θ

φ

u e

e

∫

∫

∫ ∫









= 











= 

= ^π

π π π λ

π π λ

λ λ φ λ φ λ ₀² θ φ

2

0 2

, 2

0

2

0 2 ,

2 0

2 , 0

2 ) sin

2 ( )

( )

( u d I d

I d

udu

I _{e e e}

∫

∫

∫



 



= 



 



= 



 



 −

= ^π _λ ^π _λ ^π

π

λ

λ

π φ

λ

φ

λ

φ

2

0 2

2

, ( )

2 1 2

) 1 2 (

) 0 ( sin )

2 ( ) sin

( d I d I d

I _{e e e}

 ⇒



 



=  ( )

2

2

π

λ

- Da definição do PODER EMISSIVO TOTAL E :

{

θ θ φ λ θ

π π

λ

λ d d d

I E

u

∫ ∫ ∫

=

⋅

= _{0 0}² ₀ ² _, ( )cos sin

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫









= 











= 

= 0

2 0

2

0 2 0 ,

2 0

2

0 2 0 ,

2 0

2

0 ,

2 ) sin 2 (

) ( )

( ^π

π

π π λ

π π λ

λ λ ^ududφ^dλ ^I λ ^{u d}φ^dλ ^I λ θ ^dφ^dλ

I _{e e e}

λ φ λ

λ π φ

λ

π π

λ d d I d d

I _e

∫ ∫

∫ ∫



 



= 



 



 −

= _{0 0}² _{0 0}² _,

2

0 2

2

, 2

) 1 2 (

) 0 ( sin )

2 ( ) sin

(

 ⇒



 



= 



 



= 

∫

∫ ∫

2

, 0 ( )

2 2 1

) 2 (

1 ^I_{λ e}

λ

φ

λ π

λ

λ

π

- I é a intensidade total da radiação emitida e o ângulo _e π tem a unidade esterorradianos.

12.3.4-RELAÇÃO COM A IRRADIAÇÃO

- Os conceitos anteriores podem ser estendidos para a radiação incidente. Tal radiação pode ter sua origem na emissão e reflexão que ocorrem em outras superfícies.

- IRRADIAÇÃO HEMISFÉRICA ESPECTRAL, ^G_λ (

λ

λ

λ λ

- Usando o fluxo de radiação espectral:

∫ ∫

∫∫

= _λ ^{π π} _λ

λ ⁽λ^{) dq"} ₀² ₀ ^{2 I} _, ⁽λ^,θ^,φ^)cosθ ^sinθ^dθ^dφ

G _i

- Note que ^G_λ (

λ

- IRRADIAÇÃO HEMISFÉRICA TOTAL, G , (W/m²): é a taxa na qual a radiação incide por unidade de área em todos os comprimentos de onda possíveis e em todas as direções possíveis.

λ φ θ θ θ

φ θ λ λ

λ ^{π π} _λ

λ d I d d d

G

G ⁼

∫

∫ ∫ ∫

- Usualmente o termo HEMISFÉRICO é omitido e fala-se em IRRADIAÇÃO ESPECTRAL ^G_λ (

λ

- Embora a distribuição direcional da irradiação sobre uma superfície varie de acordo com a superfície, existe um caso especial que fornece uma aproximação razoável para muitas superfícies.

- Esse caso é uma superfície difusa, onde a intensidade da radiação incidente é independente da direção, ou seja:

) ( )

, ,

( _,

, λ θ φ _λ λ

λ ⁱ I ⁱ

I =

- Da definição da IRRADIAÇÃO ESPECTRAL ^G_λ (

λ

∫ ∫

∫ ∫

⋅

=

⋅

= ^{π π} _{λ λ} ^{π π}

λ⁽

λ

λ

θ

θ

θ

φ

λ

θ

θ

θ

φ

u i

i

∫

∫

∫ ∫









= 











= 

= ^π

π π π λ

π π λ

λ λ φ λ φ λ ₀² θ φ

2

0 2

, 2

0

2

0 2 ,

2 0

2 , 0

2 ) sin

2 ( )

( )

( u d I d

I d

udu

I _{i i i}

∫

∫

∫



 



= 



 



= 



 



 −

= ^π _λ ^π _λ ^π

π

λ

λ

π φ

λ

φ

λ

φ

2

0 2

2

, ( )

2 1 2

) 1 2 (

) 0 ( sin )

2 ( ) sin

( d I d I d

I _{i i i}

 ⇒



 



=  ( )

2

2

π

λ

- Da definição da IRRADIAÇÃO TOTAL G :

{

θ θ φ λ θ

π π

λ

λ d d d

I G

u

∫ ∫ ∫

=

⋅

= _{0 0}² ₀ ² _, ( )cos sin

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫









= 











= 

= 0

2 0

2

0 2 0 ,

2 0

2

0 2 0 ,

2 0

2

0 ,

2 ) sin 2 (

) ( )

( ^π

π

π π λ

π π λ

λ λ ^ududφ^dλ ^I λ ^{u d}φ^dλ ^I λ θ ^dφ^dλ

I _{i i i}

λ φ λ

λ π φ

λ

π π

λ d d I d d

I _i

∫ ∫

∫ ∫



 



= 



 



 −

= _{0 0}² _{0 0}² _,

2

0 2

2

, 2

) 1 2 (

) 0 ( sin )

2 ( ) sin

(

 ⇒



 



= 



 



= 

∫

∫ ∫

2

, 0 ( )

2 2 1

) 2 (

1 ^I_{λ i}

λ

φ

λ π

λ

λ

π

- I é a intensidade total da radiação incidente e o ângulo _i π tem unidade esterorradianos.

12.3.5-RELAÇÃO COM A RADIOSIDADE PARA SUPERFÍCIE OPACA

- RADIOSIDADE HEMISFÉRICA ESPECTRAL, ^J_λ (

λ

λ

λ λ

- Usando o fluxo de radiação espectral:

∫ ∫

∫∫

= _λ ^{π π} _{λ +}

λ ⁽λ^{) dq"} ₀² ₀ ^{2 I} _, ⁽λ^,θ^,φ^)cosθ ^sinθ^dθ^dφ

J _{e r}

- Note que ^J_λ (

λ

r

I_λ,e₊ se baseia na área projetada ^dA₁cosθ.

- RADIOSIDADE HEMISFÉRICA TOTAL, ,J (W/m²): é a taxa na qual a radiação é emitida por unidade de área em todos os comprimentos de onda possíveis e em todas as direções possíveis.

λ φ θ θ θ

φ θ λ λ

λ ^{π π} _λ

λ d I d d d

J

J =

∫

∫ ∫ ∫

0 2 0

2

0 ,

0 ( ) ( , , )cos sin

- Usualmente o termo HEMISFÉRICO é omitido e fala-se em RADIOSIDADE ESPECTRAL ^J_λ (

λ

- Embora a distribuição direcional da radiosidade de uma superfície varie de acordo com a superfície, existe um caso especial que fornece uma aproximação razoável para muitas superfícies.

- Esse caso é o emissor difuso e refletor difuso, onde a intensidade da radiação emitida é independente da direção, ou seja:

) ( )

, ,

( _,

, λ θ φ _λ λ

λ ^{e r} I ^{e r}

I ₊ = ₊

- Da definição da RADIOSIDADE ESPECTRAL ^J_λ(

λ

∫ ∫

∫ ∫

= ^{π π} _{λ λ} ^{π π}

λ⁽

λ

λ

θ

θ

θ

φ

λ

θ

θ

θ

φ

u r

e r

e

∫

∫

∫ ∫









= 











= 

= _{+ + +} ^π

π π π λ

π π λ

λ λ φ λ φ λ ₀² θ φ

2

0 2

, 2

0

2

0 2 ,

2 0

2 , 0

2 ) sin

2 ( )

( )

( u d I d

I d

udu

I _{e r e r e r}

∫

∫

∫

+ 



 



= 



 



= 



 



 −

= ^π _λ ^π _λ ^π

π

λ λ ₀² π φ _, λ ₀² φ _, λ ₀² φ

2

0 2

2

, ( )

2 1 2

) 1 2 (

) 0 ( sin )

2 ( ) sin

( d I d I d

I _{e r e r e r}

 ⇒



 



=  ₊ ( )

2

2

π

λ

- Da definição da RADIOSIDADE TOTAL J :

{

θ θ φ λ θ

π π

λ

λ d d d

I J

u r

∫ ∫ ∫

+ ⋅ =

= _{0 0}² ₀ ² _, ( )cos sin

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫









= 











= 

= 0

2 0

2

0 2 0 ,

2 0

2

0 2 0 ,

2 0

2

0 ,

2 ) sin 2 (

) ( )

( ^π

π

π π λ

π π λ

λ λ ^ududφ^dλ ^I λ ^{u d}φ^dλ ^I λ θ ^dφ^dλ

I _{e r e r e r}

λ φ λ

λ π φ

λ

π π

λ d d I d d

I _{e r}

∫ ∫

∫ ∫



 



= 



 



 −

= 0

2

0 ,

0 2 0

2

0 2

2

, 2

) 1 2 (

) 0 ( sin )

2 ( ) sin

(

 ⇒



 



= 



 



= 

∫

∫ ∫

+ 0 ,

0

2

, 0 ( )

2 2 1

) 2 (

1 ^I_{λ e r}

λ

φ

λ π

λ

λ

π

- I_e+r é a intensidade total da radiação emitida e o ângulo π tem unidade esterorradianos.

12.3.6-RELAÇÃO COM O FLUXO RADIANTE LÍQUIDO PARA SUPERFÍCIE OPACA

- O FLUXO RADIANTE LÍQUIDO, q^"_rad (W/m²), é a diferença entre as radiações saindo e as radiações entrando na superfície: q_rad^" = J −G

- Utilizando as definições anteriores de J e G obtém-se:

λ φ θ θ θ

φ θ

π π λ

λ d d d

I

q_rad ⁼

∫ ∫ ∫

"

sin cos

) , , (

λ φ θ θ θ

φ θ

π π λ

λ d d d

I _i

∫ ∫ ∫

− 0 2 0

2

0 , ( , , )cos sin