MÉTODOS DEPERTURBAÇÃO APLICADOS AO DESENVOLVIMENTO
DA CAMADA LIMITE INTERNA
Cláudio C. Pellegrini
1, Cláudia R. S. Mendes
2, Alisson D. Macedo-Vitor
21. Universidade Federal de São João del-Rei, Depto. Ciências Térmicas e dos Fluidos, Praça. Frei Orlando 170,
São João del-Rei, MG, 36.307-904, pelle@ufsj.edu.br. 2. Universidade Federal de São João del-Rei, Depto. de Ciências Naturais, Praça Dom Helvécio 74, São João del-Rei, MG, 36.307-904
RESUMO: O presente trabalho estuda a dinâmica da camada limite interna sobre uma mudança abrupta de rugosidade superficial do terreno em atmosfera neutra, utilizando a Técnica das Variáveis Intermediárias. A análise difere de trabalhos anteriores, pois prevê dois estiramentos de coordenada simultâneos, nas direções horizontal e vertical. Segue-se da análise uma divisão bidirecional da camada limite interna no espaço dos parâmetros usados no estiramento de coordenadas, baseada nos termos de maior ordem de grandeza na equa-ção da quantidade de movimento na direequa-ção horizontal. Como resultado, a técnica empregada oferece supor-te masupor-temático para algumas caracsupor-terísticas conhecidas da camada limisupor-te insupor-terna e aponta outras novas. Entre elas destaca-se o fato da camada limite interna apresentar na região de desenvolvimento toda a sua extensão vertical dominada por efeitos viscosos.
ABSTRACT: PERTURBATION METHODS APPLIED TO THE DEVELOPMENT OF THE INTERNAL BOUNDARY LAYER. This work presents a study of the dynamics of the internal boundary layer over an abrupt change of surface roughness, under neutral atmosphere, employing the Intermediate Variable Tech-nique. The analysis is different from previous works because it uses double coordinate stretching, in the ho-rizontal and vertical directions simultaneously. The analysis yields a bidirectional division of the internal boundary layer in the space of the parameters used for the coordinate stretching, based upon the greater order of magnitude terms in the momentum equation in the horizontal direction. As a result, the analysis gives mathematical support to some well-known characteristics of the internal boundary layer and suggests some new ones. Among them, is the fact that the internal boundary layer has all of its vertical extension dominated by viscous effects in its developing region.
Palavras-chave: camada limite atmosférica, métodos de perturbação, mudança abrupta de rugosidade.
1. INTRODUÇÃO
A dinâmica da camada limite atmosférica (CLA) é um problema matematicamente tão complexo que pouco interesse tem surgido em se propor soluções analíticas para ele em anos recentes. Além disto, o desen-volvimento acelerado dos microcomputadores tem contribuído para que tais soluções sejam vistas como estudos trabalhosos e que pouco tem a acrescentar ao entendimento do problema. O presente trabalho em-prega um método de perturbação simples para estudar a CLA desenvolvendo-se sobre um terreno com mu-dança abrupta de rugosidade, para tentar mostrar que estudos empregando métodos analíticos em CLA ainda valem à pena.
Métodos de perturbação são uma ferramenta que nos permitem tratar analiticamente problemas com-plexos que diferem de um semelhante problema simples apenas por um parâmetro adimensional pequeno, . Em geral, a solução do problema complexo é descrita por uma expansão assintótica, sendo esperado que quanto menor , maior a exatidão do resultado. A Técnica das Variáveis Intermediárias (TVI) é uma das muitas técnicas da Teoria de Perturbações. Ela é proveniente da técnica de Expansões Assintóticas Combi-nadas, na qual está, de fato, implícita. Através da TVI, pode-se determinar os termos dominantes em uma equação governante de um determinado fenômeno.
Estudos anteriores empregando a TVI não são numerosos. Em micrometeorologia especificamente, nossa busca não mostrou outros trabalhos que não fossem do próprio autor e de seu grupo. Pellegrini e Bods-tein (2005) estudaram o escoamento atmosférico sobre uma colina em atmosfera neutra. Posteriormente, Pellegrini (2006a, b, c) estudou a CLA sobre superfícies planas em atmosfera estratificada. Finalmente, Pel-legrini e Macedo-Vitor (2007) utilizaram a TVI para estender as análises anteriores à equação do fluxo verti-cal de quantidade de movimento horizontal turbulento em atmosfera neutra.
O presente trabalho estende a análise de Pellegrini (2006a, b, c) para a CLA desenvolvendo-se sobre uma superfície com uma mudança abrupta de rugosidade. A análise difere das anteriores, pois prevê dois
estiramentos de coordenada simultâneos, o que, de acordo com nosso levantamento bibliográfico, é inédito. Resulta da análise uma divisão bidirecional da CLI no espaço dos parâmetros usados no estiramento de co-ordenadas e referente aos termos da equação da quantidade de movimento.
2.
ANÁLISE MATEMÁTICA E RESULTADOS
As forçantes superficiais que atuam na CLA variam no espaço, frequentemente de forma que pode ser considerada matematicamente descontínua, formando camadas limite internas (CLI). Exemplos são as mu-danças de rugosidade superficial encontradas na transição de pasto para floresta, de oceano pra a terra firme, de uma cultura agrícola para outra, do meio rural para o urbano (e vice-versa). A figura 1 ilustra a estrutura típica da CLI em duas dimensões sobre uma mudança abrupta de rugosidade, perpendicular à direção do vento. A origem da coordenada horizontal é o ponto de descontinuidade.
Fig. 1. Modelo da formação da camada limite interna após uma mudança abrupta de rugosidade
Neste trabalho, estudaremos a CLI desenvolvida sob a CLA neutra. O ponto de partida matemático do estudo são as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento na direção x para a CLA em regime estacionário (Arya, 2001, por exemplo):
´ ´ 0 e u w u w x z x z , (1) 2 2 1 2 2 0 1 p ´ ´ ´ ´ u u u u u w u u u w x z x x z x z . (2)
Aqui, todas as variáveis tem o significado habitual. Os símbolos representam médias temporais dos va-lores instantâneos associados, com as barras omitidas por simplicidade, exceto na equação turbulenta da con-servação da massa, em que u e w representam as flutuações turbulentas em si. A pressão e a massa especí-fica foram divididas em uma componente correspondente ao estado básico ( , , )p0 0 0 e um desvio ( , , )p1 1 1 ,
sendo o estado básico um gás ideal em equilíbrio hidrostático. As forças de Coriolis, o aquecimento diabáti-co e a divergência de radiação foram desprezados, diabáti-como de diabáti-costume em estudos de CLA.
Para a análise do problema por Métodos de Perturbação, os símbolos de ordem O, Os e o serão usa-dos aqui como em Pellegrini (2006a), com o símbolo o sendo substituído por quando necessário.
As equações anteriores podem ser adimensionalizadas utilizando relações semelhantes às propostas por Pellegrini (2006a): 1 1 2 0 * * ; ; ; ; ; ; x z c c c p x z u w u w X Z U W P U W L L U W U u w . (3)
Aqui, Lx e Lz são os comprimentos característicos da CLI nas direções x e z, respectivamente. No es-tudo que se segue não há necessidade de defini-los rigorosamente, mas é importante mencionar que Lz deve ser tomado como a altura da CLI (e não da CLA) para ser representativo. A velocidade característica Uc também não exige definição rigorosa, desde que Uc u* e que Uc u* (o vento geostrófico não é a
veloci-dade típica no limite da CLI). O valor 0Uc2 é usado como fator de escala para a pressão devido ao fato de p1 Camada limite interna zi Vento CLA
ser a pressão dinâmica na eq. (2). As velocidades de atrito usadas na adimensionalização de u' e w' são
definidas por u* ( ´ ´)u w 1/ 2s e
1/ 3 * ( ´ ´ i/ )s
w w gz , com ( )s denotando valores na superfície e zi sendo a altura da CLA.
Substituindo as eqs. (3) nas eqs. (1), obtemos a forma adimensional da equação da conservação da massa, ou seja U/ X (L W LUx c/ z g) W/ Z 0 e U´/ X (L wx */L uz *) W´/ Z 0. Contudo, se
/ 1
x c z g
L W LU ou L W LUx c/ z g 1, segue-se que W/ Z 0 e, portanto, w/ z 0. Devido à condi-ção de contorno à superfície, isto implica que w 0 em toda a CLI, o que não se verifica observacionalmen-te. O mesmo raciocínio se aplica a L wx */L uz *. Logo, devemos ter L W LUx c/ z g O(1) e L wx */L uz * O(1),
implicando que
´ ´
0 e 0
U W U W
X Z X Z . (4)
A versão adimensional da eq. (2), obtida de forma semelhante, é
2 2 2 1 * 2 2 ´ ´ ´ ´ R P U U U U U W U U U W X Z X X Z X Z , (5)
em que * u U*/ g, L L Lz/ x e R 1/ Re são os parâmetros pequenos e Re U Lg x. A relação
/ (1)
x c z g
L W LU O , obtida da análise anterior, foi usada para simplificar os termos advectivos da eq. (5). Para o estiramento da coordenada vertical usamos Z Z/ Z, em que Z é um parâmetro pequeno que pode variar continuamente no intervalo 0,1. Para estudar a região próxima ao ponto de mudança de rugosi-dade, a coordenada X também será esticada, através de X X/ X, sendo X um parâmetro independente de Z, variando no mesmo intervalo. Tal procedimento é inédito em micrometeorologia, de acordo com nos-so levantamento bibliográfico. Da aplicação das definições anteriores às eqs. (4) e (5) resulta,
' ' 0 e 0 X X Z Z U W U W X Z X Z , (6) 2 2 2 1 * 2 2 2 2 x z x z ´ ´ ´ ´ 1 1 A P T T V V X X R X Z Z X Z P U U U U U W U U U W X Z X X Z X Z . (7)
Para referência posterior, os termos do lado esquerdo da equação (7) serão denominados termos advec-tivo e representados em conjunto por A. Os termos do lado direito serão, por ordem, denominados de pressão (P), de turbulência (T) e de viscosidade (V). Como os termos de A e P são de mesma ordem de grandeza, independente de X e Z eles serão representados conjuntamente por AP.
O raciocínio anteriormente aplicado às eqs. (4) mostra que os termos das eqs. (6) devem ser da mesma ordem de grandeza. Aplicada à eq. (7), esta conclusão mostra que as parcelas componentes do termo advec-tivo e o termo de pressão devem ser sempre de mesma ordem de grandeza, independentemente de X e Z. Esta conclusão já foi obtida anteriormente por Pellegrini (2006b) no caso de estiramento apenas na direção vertical. Aqui, como lá, a análise em separado das eqs. (6) levaria a conclusões incorretas (w 0,w' 0 em toda a CLA), indicando a necessidade de uma adimensionalização de u e w baseada em valores variáveis. Como resultado, a forma válida das eqs. da conservação da massa em toda a CLI são as próprias eqs. (1).
Para estabelecer uma relação de ordem entre os termos da eq. (7), definindo quais termos predominam em que regiões da CLI, estenderemos aqui o procedimento usado em Pellegrini (2006b) para duas direções coordenadas. Como a eq. (7) depende de mais de um parâmetro pequeno, é necessário, antes de mais nada, estabelecer uma relação de ordens de grandeza entre eles. Pellegrini e Bodstein (2005) mostraram que
4 *
R pode ser usada, pois tem suporte observacional e Pellegrini (2006b) mostrou que esta relação é sufi-ciente para a análsie mesmo em atmosfera estratificada. Nos cálculos que se seguem este relação será sempre considerada.
Tomando a ordem de grandeza de cada termo da eq. (7) como a dos parâmetros pequenos que o multi-plicam, inicialmente comparamos tais valores dois a dois de todas as maneiras possíveis, obtendo uma lista
de relações entre X e Z.necessária para que os termos da eq. (7) sejam de mesma ordem. Cada uma destas relações (coluna 2 da Tabela 1) pode ser interpretada como uma curva no espaço dos parâmetros X e Z (figura 2) e representa o lócus dos pontos nos quais dois dos termos da eq. (7) têm a mesma ordem de gran-deza. Dependendo dos valores de X e Z, entretanto, é possível que estes termos não sejam os predominan-tes (de maior ordem) em todo o espaço dos parâmetros. Para garantir isto, é necessário comparar sua ordem à dos outros termos. Estas comparações geram restrições que foram listadas nas colunas 3 e 4 da Tabela 1 e que foram usadas para restringir o domínio de validade das curvas da coluna 2. Os resultados aparecem na fig. 2. Finalmente, os termos dominantes nas regiões entre as curvas foram determinados permitindo a X variar enquanto Z permanecia constante e vice-versa. Os cálculos não são mostrados na Tab. 1, mas os re-sultados também foram incluídos na fig. 2.
Termos Curva fig. 2 Restrições em X Restrições em Z AP e Tz 2 *( ) Z X 4 * X R ; X R 2 * Z R AP e Vx X R 2 * Z R ; Z R AP e Vz 2 ( ) Z R X 4 * X R ; X R Z R; 2 * Z R AP, Tx e Tz, Vx e Vz X Z X R Z R Tx e Vx 2 * X R 2 * X R 2 * Z R Tx e Vz 2 1 2 * ( ) X R Z 2 1 * X R ; 2 * X R 2 * Z R Tz e Vx 2 2 * ( ) X R Z X R; 2 * X R 2 * Z R Tz e Vz Z R *2 X R *4; X R
Tabela 1. Comparação dos termos da eq. (7)
Fig. 2 – Termos dominantes na eq. (7). AP = advecção + pressão, T = turbulência, V = viscosidade. Símbolos: designa região, designa curva e designa ponto
A representação da fig. 2 exige atenção ao seguinte detalhe. Ao representar por uma curva uma relação de ordens de grandeza, como por exemplo, X Z (para a região em que Vx e Vz são de mesma ordem),
tem-se a impressão que a região possui espessura zero no espaço de parâmetros, o que não é verdade. Apenas optou-se por representar desta forma para simplificar a figura. As curvas devem ser entendidas como regiões estendendo-se um pouco em torno de si próprias. O mesmo acontece com os pontos, definidos pelo encontro de curvas, e que também devem ser entendidos como regiões.
AP + Vx AP Tz Vz Vz Vx Vx AP + Vz+Tz AP + Vz+Vx AP + Tz Vz+ Tz AP + Vz Vz + Vx Vz Z 2 * R R 4 * R R X
3. DISCUSSÃO E CONCLUSÕES
A figura 2 confirma algumas características conhecidas da CLI e aponta algumas novas. Em relação a pontos distantes da descontinuidade, tanto a revisão apresentada em Savelyev e Taylor (2005) quanto a aná-lise dos dados obtidos do túnel de vento de Cheng e Castro (2002) sugerem uma estrutura de duas camadas para a CLI. Nosso estudo corrobora esta idéia, se identificarmos as regiões AP e AP + Tz com camada de
transição, a região Tz com a camada em equilíbrio e reconhecermos que a região Vz, geralmente identificada
como a camada interfacial, não é mencionada por ser extremamente delgada. Nesta comparação, a sub-camada rugosa, que aparece na descrição de Cheng e Castro (2002) como uma sub-região da sub-camada em equilíbrio, pode ser identificada com a região Tz + Vz. Em ambas as descrições, a identificação da região Tz
com a camada em equilíbrio segue-se do fato que ambas implicam na existência de um perfil logarítmico de velocidades, sob certas condições. A existência da camada AP + Tz só concorda parcialmente com Arya
(2001), pois este afirma ser possível eliminar o termo de pressão da equação sem eliminar o termo advectivo. No que diz respeito a pontos mais próximos da descontinuidade, o estudo aponta que a região de ajuste do perfil de velocidades é limitada por X O( R *4) (se a definirmos como o intervalo entre a origem e a
região onde a Lei Logarítmica passa a ser válida). Usando valores típicos para Re, u*, Ug e Lx (Pellegrini, 2006b), tem-se esta região restrita a 20 m da descontinuidade. Este resultado confirma, pelo menos em or-dem de grandeza, a conclusão de Cheng e Castro (2002) de que a região de ajuste é pequena. Um detalhe interessante é a existência de uma sub-região dentro desta, delimitada por X O( )R onde as tensões visco-sas (Vx ou Vz ) predominam até o topo da CLI, sugerindo que no início de seu desenvolvimento a CLI é tão
rasa que toda sua extensão vertical (tomando
L
z , valores de ZO
(1)
implicam o topo da CLI) é dominada por efeitos viscosos. Após esta região (no sentido X), os cálculos apontam que a CLI passa a apresentar uma única região (no sentido tradicional das soluções por Métodos de Perturbação – ver p.ex. Pellegrini, 2006b) dominada por efeitos de advecção, pressão e viscosidade, mas sem efeitos de turbulência (em primeira ordem de aproximação), de forma que não se verifica ainda o perfil logarítmico de velocidades. A intenção do presente estudo foi aprimorar o entendimento sobre a dinâmica da CLI em atmosfera neutra usando Métodos de Perturbação. Este é, contudo, um trabalho em andamento e espera-se que o tempo e posteriores estudos consolidem algumas conclusões aqui obtidas, mas modifiquem outras.AGRADECIMENTOS: Os autores AGRADECEM ao CNPq e à FAPEMIG pelo apoio financeiro concedi-do através das bolsas de iniciação científica concedi-do segunconcedi-do e terceiro autores e à FAPEMIG pelo custeamento das despesas de participação no evento.
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARYA, S. P. Introduction to micrometeorology, 2nd ed, Academic Press. 2001. 420 pp.
PELLEGRINI, C.C. and BODSTEIN, G.C.R.. ‘A modified logarithmic law for neutrally stratified flow over low-sloped hills’. 2005. J. App. Meteor..44 (6), 900—916.
PELLEGRINI, C.C.. ‘A review on perturbation techniques applied to the study of the stratified atmospheric boundary layer’. In: CBMet,14., 2006, Florianópolis. 2006a. CD-ROM
PELLEGRINI, C.C.. ‘A study of the stratified atmospheric boundary layer through perturbation techniques: part I: conservation of mass and horizontal momentum’. In: CBMet, 14., 2006, Florianópolis, 2006b, CD-ROM
PELLEGRINI, C.C.. ‘A study of the stratified atmospheric boundary layer through perturbation techniques: part II: conservation of energy and vertical momentum’. In: CBMet, 14., 2006, Florianópolis. 2006c. CD-ROM
SAVELYEV, S. A. and TAYLOR, P. A, ‘Internal Boundary Layers: I. Height formulae for neutral and dia-batic flows’, Boundary-Layer Meteorology. 2005, 115, 1-25.
CHENG, H. and CASTRO, I. P. Near-wall flow development after a step change in surface roughness. Boundary-Layer Meteorology. 2002. 105, 411-432
