1 2 MatrizeseDeterminantes formulário

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(1)DEFINIÇÃO E QUESTÕES DE LINGUAGEM Define-se o produto cartesiano de dois conjuntos P 1 e P 2 como sendo o conjunto formado pelos pares ordenados x 1 , x 2 , com x 1 P 1 e x 2 P 2 . P 1 P 2 x 1 , x 2 : x i P i , i 1, 2. MATRIZES E DETERMINANTES DE NÚMEROS REAIS. Matriz de números reais do tipo n p é toda a aplicação A : £1, 2, . . . , n¤ £1, 2, . . . , p v IR que a cada par i, j faz corresponder um número real a ij . Usa-se a seguinte tabela para representar A:. – Igualdade: Duas matrizes de M np , A ¡a ij ¢ e B ¡b ij ¢ dizem-se iguais se e só se a ij b ij , quaisquer que sejam i 1, 2, . . . , n e j 1, 2, . . . , p. – Submatriz duma matriz A é qualquer matriz que se obtenha de A por supressão de linha(s) e/ou coluna(s). Em particular, cada uma das linhas duma matriz (resp. colunas), pode ser vista, ela própria, como uma matriz; é a chamada matriz linha (resp. matriz coluna). Sendo Li . a 11 a 12 . . . a 1p A. B. E. L2. A. B. B. a n1 a n2 . . . a np José Maria Estrela Graça Salazar ISCAL - Matemática I, 2006/07, turmas CD11, CD12 e FD12. A. 2. 1 2. 1. 2. ,. 0 "1. B. 4. 0 "1 2 0. 0. 1 "1 0 C. ,. 0 "1 2 0. 3. Ln. Por uma questão se simplificação pode representar-se a matriz por A ¡a ij ¢ np ou apenas por A ¡a ij ¢. O conjunto de todas as matrizes de números reais do tipo n p designa-se por M np IR ou, mais simplesmente por M np .. – Matriz quadrada de ordem n é uma matriz do tipo n n. – A M nn diz-se triangular superior se a ij 0, i j. Por exemplo,. 0. 0. – A M nn diz-se uma matriz triangular inferior se e só se a ij 0, i j. – Matriz diagonal é uma matriz simultaneamente triangular superior e triangular inferior, ou seja, com a ij 0, i p j. Matriz escalar é a matriz diagonal com a ii a jj , i, j. Matriz identidade é a matriz escalar em que a ii 1, i 1, 2, . . . , n e representa-se por I n , ou somente I. – Matriz nula é uma matriz com todos os elementos nulos, sendo usuais as seguintes representações: ¡0¢ np , ¡0¢, 0 np , ou somente 0. – Transposta de A é a matriz que se obtém de A trocando as linhas pelas colunas; representa-se por A T e para A ¡a ij ¢ np , tem-se A T ¡a ji ¢ pn .. i 1, 2, . . . n. L1. a 21 a 22 . . . a 2p B. ,. a i1 a i2 . . . a ip. pode ainda considerar-se a seguinte representação de A:. np. Analogamente, pode-se representar A por: A . C1 C2 . . . Cp. , np. onde C j j 1, 2, . . . , p representam as colunas de A.. 1. 2. OPERAÇÕES ALGÉBRICAS. 3. Multiplicação de matrizes Esta operação generaliza o produto interno de vectores em referencial ortornormado. Recorde-se que em IR n se tem: x 1 , x 2 , . . . , x n y 1 , y 2 , . . . , y n x 1 y 1 x 2 y 2 . . . x n y n. 1. Adição de matrizes Sendo A ¡a ij ¢ np e B ¡b ij ¢ np define-se a soma de A com B: A B ¡s ij ¢, com s ij a ij b ij , i 1, 2, . . . , n, j 1, 2, . . . , p. Dadas A ¡a ij ¢ np e B ¡b ij ¢ pq define-se o produto AB como sendo a matriz de M nq cujo elemento p ij se obtém da seguinte forma: p ij a i1 b 1j a i2 b 2j . . . . a ip b pj. 2. Multiplicação duma matriz por um número real Sendo A ¡a ij ¢ np e ) IR, define-se o produto )A, multiplicando cada elemento de A por ): )A ¡)a ij ¢ np. Somam-se os produtos dos elementos da linha L i de A com os elementos da coluna C j de B ( L i C j ): coluna j w. Em particular, define-se a subtração de matrizes: sendo A, B M np , A " B A "1 B. w. linha. Tem-se, por exemplo, A " A ¡0¢ e 2A A A, entre outras propriedades que adiante se referem.. coluna j. i. ¯. B. B. B. B. a i1. a i2. .... a ip. B. B. B. B. .... b 1j. .... .... b 2j. .... B. B. B. b pj. .... .... . .... B. .... p ij. .... .... B. .... .... ª. linha i. – A nn diz-se simétrica se e só se A A T . 3. 4. – Em particular, se A é uma matriz quadrada então pode-se fazer o produto de A por si própria que se representa por A 2 . Se n Z faz sentido falar ainda de A n . – Note-se que o produto de matrizes não é comutativo; por exemplo, sendo A. 1. 2. "1 1. "1 "2. B. ,. "1. 1. "1 2 "1. e C. 1. tem-se "3 0. AB . AC . 0. 3. 4. "1. 2 "1. 1. 1. BA . ;. BC . ;. 1. "2 "1 "1 "4 1 2. – Os produtos CA e CB nem sequer se definem!. 6. "4. "1 1. 1. 0. 5. – A matriz identidade é o único elemento neutro da multiplicação; de facto, se I e I U são neutros na multiplicação então I I IU IU. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ADIÇÃO: 1. A B B A, A, B M nm 2. A B C A B C , A, B, C M nm 3. A ¡0¢ A, A M nm 4. A "A ¡0¢, A M nm. I U é neutro. MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL:. MULTIPLICAÇÃO: 1. AB C ABC , A M nm , B M mp , C M pq. – associatividade. 2. AB C AB AC, A M nm , B, C M mp. – distributividade à esquerda. 3. B C A BA CA, B, C M nm , A M mp. – distributividade à direita. 7. 1. 2. 3. 4.. )A B )A )B, ) IR, A, B M nm ) * A )A *A, ), * IR, A M nm )AB )A B A)B , ) IR, A M nm , B M mp )* A )*A *)A , ), * IR, A M nm. TRANSPOSIÇÃO: 1. A B T A T B T , A, B M nm 2. AB T B T A T , A M nm , B M mp. 4. A¡0¢ ¡0¢ 7 ¡0¢A ¡0¢, A M nm 5. AI m A 7 I n A A, A M nm A matriz identidade: I k ¡- ij ¢ kk ,. I é neutro. c/. - ij . 1. se. ij. 0. se. ipj. 3. A n T A T n , A M kk , n IN 4. )A T )A T , A M nm 5. I T I, I 8.

(2) EQUAÇÕES MATRICIAIS: · X " *) A *1 C – Em virtude da associatividade da multiplicação, a solução resulta da multiplicação à esquerda por A "1. 1. )A *X C, ) IR, * IR \£0¤ 2. AX B, A regular · X A "1 B 3. XA B, A regular · X BA. "1. – Analogamente, a solução resulta da multiplicação à direita pela matriz inversa de A. – Definição: Uma matriz quadrada A diz-se regular ou invertível se e só se existe uma matriz, que se representa por A "1 , tal que AA "1 A "1 A I. – Exemplo 1: Se uma matriz quadrada A tem uma fila nula, por exemplo, L i ¡0¢, então A não tem inversa; de facto, se existisse B tal que AB I, então para o elemento - ii de I ter-se-ia:. 1 - ii L i C i ¡0¢C i 0 ¦¦ de A. (absurdo!). de B. – Exemplo 2: Se uma matriz quadrada A. tem duas filas proporcionais, por exemplo, L i )L j. i p j então A não tem inversa; de facto, se existisse B tal que AB I, então para o elemento - ii de I ter-se-ia:. 1 - ii L i C i ) L j C i ) - ji ) 0 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ de A. de B. de B. de A. (absurdo!). – As condições de invertibilidade duma matriz serão adiante estudadas. Surgirão na sequência do conceito de dependência linear e ainda, na sequência da noção de determinante.. Algumas consequências da não comutatividade: – É uma consequência da não comutatividade o facto de não se poder atribuir um significado à expressão BA , mesmo no caso em que A seja uma matriz invertível. A divisão de matrizes não se define. Em geral, BA "1 p A "1 B, o que não acontecia no universo dos números reais. – Sendo A e B duas matrizes quadradas, pode calcular-se A B 2 . Atendendo à propriedade distributiviva da multiplicação sobre a adição tem-se A B 2 A B A B A 2 AB BA B 2 . Como em geral AB p BA então o quadrado da soma não é igual a A 2 2AB B 2 . – Analogamente, A B A " B A 2 " AB BA " B 2 em vez de A 2 " B 2 . – Na expressão AB AC a matriz A é um factor comum à esquerda e logo AB AC AB C . Analogamente se uma matriz fôr um factor comum à direita então a expressão pode ser factorizada; BA CA B C A. Na expressão AB CA, o factor A não pode ser colocado em evidência.. Observações: – A propriedade 1 é óbvia. – Atendendo à lei do contra-recíproco de 2 resulta ainda que filas completas dependentes implicam filas incompletas dependentes. O seguinte exemplo, dá indicações sobre a trivialidade desta afirmação: 5. 2 4 10. 1 2 3. B. ,. 1. As linhas duma matriz dizem-se linearmente dependentes se e só se uma delas é combinação linear das restantes, ou seja, se existem coeficientes ) k IR tais que: L i ) 1 L 1 ) 2 L 2 . . . ) i"1 L i"1 ) i1 L i1 . . . ) n L n 2. Chama-se característica duma matriz e representa-se por rA , ao número máximo de filas linearmente independentes. ' Como é óbvio, também pode ser definida por: rA max rB :. B é submatriz de A ou B A. ' As linhas duma matriz dizem-se linearmente independentes se e só se nenhuma delas é combinação linear das restantes. Definem-se de forma análoga os conceitos de (in)dependência linear para colunas e prova-se que. A M nm. que falar de característica de linha e característica de coluna.. 11. contrário, se completarmos as colunas de A a relação de dependência poderá ser ou não ser afectada: A. 1 2. 5. ,. 2 4 10. C. 1 2. 5. 6. ,. 2 4 10 12. – Demonstração de 3: Sendo A ¡a ij ¢ nn , com a ij 0 para ) 1 L 1 ) 2 L 2 . . . ) n L n ¡0¢ 1n , corresponde o equações lineares (em escada):. D. 1 2. 5. 6. Exercício: Sem efectuar qualquer cálculo, indique a característica das matrizes:. 2 4 10 11. 2. 1. 5. 3 1. 2 ,. 0 "1 5 2. i j, à equação seguinte sistema de. 0. 0. 1. 3. 0 1 0 ,. 0 "1 1. 3 0. 0. ) 1 a 11 0. 2 1 3 1. ) 1 a 12 ) 2 a 22 0. 0 0 1 1. 0. 0 0 0. 0. 2 1 3 ,. 0 0 0. 2 1 3 1 ,. 0 0 0 2. B. 0 0 1 0 0 0. 0 0 0 0 ,. 0 0 1 1 0 0 1 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. ) 1 a 1n ) 2 a 2n . . . ) n a nn 0. 2 4 6 10. A matriz A é uma matriz de filas incompletas de B e esta tem as filas linearmente dependentes: L 2 2L 1 . Obviamente que em A também se mantém a dependência (por mais colunas que se suprimissem). Ao. Como a 11 é não nulo, resulta da 1ª equação ) 1 0. Substituindo na 2ª equação e atendendo a que a 22 p 0, sai ) 2 0 e, assim sucessivamente até à n " ésima equação, conclui-se que ) i 0, i 1, 2, . . . , n.. 12. 13. OPERAÇÕES DE JACOBI A característica duma matriz não se altera em face das seguintes operações – condensação:. 14. 2. "3. 4. v. 2. "3. 4. 3. 1. 5. 2L 2 "3L 1. 0. 11. "2. "1. 0. "1. 2L 3 L 1. 0. "3. 2. 0. 2. 0. 0. 2. 0. C. O1) Troca de filas paralelas O2) Multiplicar uma fila por um número real não nulo O3) Adicionar a uma fila uma combinação linear das restantes. v. 2. "3. 4. 1. 2. 0. 3. v. 1. 2. 0. 3. 0. 11. "2. 3. 1. 2. "1. L 2 "3L 1. 0. "5. 2. "10. 11L 3 3L 2. 0. 0. 16. 5. 5. 2. 5. L 3 "5L 1. 0. "5. 2. "10. 11L 4 "2L 2. 0. 0. 4. 7. 4. 4. 1. L 4 "7L 1. 0. "10. 4. "20. E. rC 3. v. 1. 2. 0. 3. 0. "5. 2. "10. L 3 "L 1. 0. 0. 0. 0. L 4 "2L 1. 0. 0. 0. 0. rE 2. Exemplos: A. 2. . 1. B. v. 1. 2. 2L 2 "L 1. 1. 5. 3. 2. v. 5. 3. 2. 2. 2. 0. 5L 2 "2L 1. 0. 4. "4. 4. 0. 1. 5L 3 "4L 1. 0. "12. "3. 15. rA rA T ,. – é igual o número máximo de linhas e de colunas linearmente independentes. Aliás, se assim não fosse, ter-se-ia. 10. Propriedades: 1. As linhas duma matriz são independentes se e só se a única combinação linear nula é a de coeficientes todos nulos 2. Filas incompletas independentes implicam filas completas independentes 3. Toda a matriz triangular de elementos principais não nulos tem filas independentes. 1 2. Definições:. de I. 9. A. DEPENDÊNCIA LINEAR E CARACTERÍSTICA. 0. 1 1. ,. rA 2 D. v. L 3 3L 2. 5. 3. 2. 0. 4. "4. 0. 0. "15. ,. 1. 2. 0. "1. "1. 0. 2. 1. 0. 2. 2. 0. 1. 0. 2. "1. L2. v. 1. 2. 0. "1. L1. 0. 2. 2. 0. 0. 2. 2. 0. 0. "2. 2. 0. L 4 "L 1. v. 1. 2. 0. "1. 0. 2. 2. 0. L 3 "L 2. 0. 0. 0. 0. L 4 L 2. 0. 0. 4. 0. F. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. ,. rF 4. elementos principais não nulos. rB 3 rD 3. 16. matriz triangular com. 17.

(3) A condensação por linhas da matriz ampliada, ou seja, da matriz. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A equação matricial AX B, onde A ¡a ij ¢ np , X . T. x1 x2 . . . xp. T. e B. b1 b2 . . . bn. A|B . a 21 x 1 a 22 x 2 . . . a 2p x p b 2 B. B. B. B. a 21 a 22 . . . a 2p. b2. B. E. que satifaz a. y. bn. – Se rA rA|B k p então temos um sistema possível indeterminado com grau de indeterminação GI p " k. Quer isto dizer que a solução geral pode ser escrita deixando p " k variáveis livres e escrevendo as restantes em função destas. Temos um sistema impossível se e só se rA rA|B .. A|B . 2. 2. 1. 2. v. 2. 2. 1. 2. 2. 1. 3. 8. L 2 "L 1. 0. "1. 2. 6. 2. 5. 3. "12. L 3 "L 1. 0. 3. 2. "14. 16. 16. 0. 12. 4L 2 "L 3. 0. "4. 0. 20. 0. 0. 8. 4. 1 L 1 4L 2 16 " 14 L 2 1 8. L3. Resolução do sistema de. x " 2y 3z 0. equações lineares definido por:. 2x " y 4z 3. . 0. 23 4. 0. 1. 0. "5. 0. 0. 1. 1 2. 1 "1. a. 2. 1. 0. 2. "1 b. "1. 1. 1. 1. 3. v. 1. 1. 1. 3. 0. 0. 2. 5. 2. 1. "2. 3. 0. L 2 "L 1. 0. "3. 2. "3. 0. 0. 0. a. b"1. 2. "1. 4. 3. L 3 "L 2 "L 1. 0. 0. 0. 0. 5 " 3 z2 2 z1 3. X. 0. ,. 2. 1. 2. 0. "1. 2. 6. 0. 0. 8. 4. 23 4. 1 2. "5. T. .. 3. Se a matriz completa dum sistema de equações lineares, depois de condensada, fôr. O sistema é possível indeterminado com GI 1. Da 2ª linha resulta "3y 2z "3 ou seja y 23 z 1. Substituindo na 1ª equação, vem x 23 z 1 z 3 ou seja x " 53 z 2. Uma solução geral é:. No entanto, é de salientar que para um sistema de n equações lineares a n incógnitas, como o anterior, ou seja, para um sistema definido por AX B, com A M nn e rA n (sistema possível determinado), a condensação da matriz A|B até uma matriz I | X conduz à solução do sistema, que é precisamente a matriz coluna X. ' . 1. O sistema é possível determinado com solução X . xyz 3. A|B. L 3 3L 2. 2. 20. Observação – outro processo: 2.. v. v. v. 8L 1 "L 3. 19. De notar que ao fim da 2ª passagem de condensação do sistema anterior, da 3ª linha resulta de imediato 8z 4, ou seja z 1/2 e, substituindo este valor na 2ª equação (2ª linha), obtém-se " y 2z 6 · y 2 1 " 6 "5 2 Substituindo na 1ª eq. os valores de y e z, obtém-se o valor de x 2x 2 "5 1 2 · x 23 2 4 Isto corresponde à resolução do sistema pelo chamado método misto (adição ordenada substituição) que, do ponto de vista do cálculo manual, torna mais rápido o cálculo da solução.. 2x y 3z 8 2x 5y 3z "12. z. – Se fôr rA rA|B p (número de incógnitas), o sistema é possível determinado (solução única).. 18. 2x 2y z 2. x. B. B. a n1 a n2 . . . a np. À matriz A chama-se matriz do sistema ou matriz dos coeficientes das incógnitas. X é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos independentes.. Exemplos: 1. Calcular a matriz X . corresponde à resolução do sistema pelo método de adição ordenada, também conhecido por método de redução. Temos um sistema possível se e só se rA rA|B :. a n1 x 1 a n2 x 2 . . . a np x p b n. À matriz A ampliada de B (coluna dos termos independentes) chama-se matriz ampliada do sistema ou matriz completa do sistema e representa-se por A|B.. b1. B. representa o seguinte sistema de n equações lineares com p incógnitas: a 11 x 1 a 12 x 2 . . . a 1p x p b 1. a 11 a 12 . . . a 1p. um grau de indeterminação (uma variável livre). z IR. então têm-se os seguintes casos (discussão): – a p 0 7 b IR · rA rA|B 4 O sistema é possível determinado – a 0 7 b 1 · rA rA|B 3 O sistema é possível indeterminado com GI 1 – a 0 7 b p 1 · rA 3 p 4 rA|B O sistema é impossível. z. ' X é a transformada da coluna B (termos independentes), pelo processo de condensação.. 21. 22. 4. Para qualquer sistema de eqs lineares que seja representado por A|B . 1 "1. a. "1. 0. a. 0. 0. 0. 0. aa " 1 . b"1. tem-se a seguinte discussão: – a p 0 7 a p 1 7 b IR · rA rA|B 3 (igual ao nº de incógnitas) O sistema é possível determinado – a 0 7 b 1 · rA rA|B 1 O sistema é possível indeterminado com GI 2 – a 0 7 b p 1 · rA 1 p rA|B 2 Sistema impossível – a 1 7 b 1 · rA rA|B 2 Sistema possível indeterminado com GI 1 – a 1 7 b p 1 · rA 2 p rA|B 3 Sistema impossível. INVERTIBILIDADE Se as filas duma matriz A nn são linearmente dependentes, ou seja, se uma delas é uma combinação linear das restantes, por exemplo L n ) 1 L 1 ) 2 L 2 . . . ) n"1 L n"1. Por troca de linhas podemos sempre arranjar a matriz de modo que uma das linhas dependentes seja a L n. então A não é invertível; de facto, se existisse B que fosse inversa de A então seria AB I n ¡- ij ¢, com - ii 1, i e - ij 0, i p j. Como - ij se obtém multiplicando a linha L i de A pela coluna C j de B, ter–se-ia: 1 - nn L n C n ) 1 L 1 ) 2 L 2 . . . ) n"1 L n"1 C n ) 1 L 1 C n ) 2 L 2 C n . . . ) n"1 L n"1 C n ) 1 - 1n ) 2 - 2n . . . ) n"1 - n"1 n ¦ ¦ 0. 0. 0 (absurdo!). 0. Mais geralmente, tem-se a seguinte propriedade: ' Propriedade: A M nn é invertível se e só se as suas filas são linearmente independentes, ou seja, se e só se rA n. ' . 24. 23. Outras propriedades: 1. A inversa duma matriz, quando existe, é única. dem: Se B e C são inversas de A então BAC BA C B BI C é inversa de A. A multiplicação é associativa. . IC. 2. Se A é uma matriz invertível e ) IR \ £0¤ então também são invertíveis A T e )A, tendo-se A T "1 A "1 T e )A "1 )1 A "1 . dem: Atendendo à transposição do produto tem-se: 7 A T A "1 T A "1 A T I T I A "1 T A T AA "1 T I T I )A )1 A "1 ) . 1 ). AA "1 I. 7. )1 A "1 )A . 1 ). )A "1 A I. 3. Se A e B são matrizes invertíveis então também o são AB e BA tendo-se AB "1 B "1 A "1 e BA "1 A "1 B "1 dem: AB B "1 A ."1 ABB "1 A "1 AIA "1 AA "1 I B "1 A ."1 AB B "1 A "1 A B B "1 IB B "1 B I. A 2ª parte da demonstração não será feita aqui.. 25. C. B é inversa de A. 26.

(4) CÁLCULO DA INVERSA DUMA MATRIZ REGULAR. 2. 3 "2. 1 0 0. v. 2. 3. "2. O cálculo pode ser feito por recurso à resolução de sistemas de equações lineares. Calcular a inversa de A ¡a ij ¢ nn é resolver AX I n , com X ¡x ij ¢ nn . Resolvem-se os seguintes n sistemas de eqs lineares:. 2. 2. 0. 0 1 0. L 2 "L 1. 0. "1. 2. "4 0. 1. 0 0 1. L 3 2L 1. 0. 6. "3. x 1i. 1. x 2i. Xi . 0. , B1 . B. 0 1. , B2 . B. B. v. 0 0. , . . . , Bn . B. L 3 6L 2. x ni. 0. 0. 1. coluna i de X. coluna 1 de In. coluna 2 de In. coluna 2 de In. v. 3. "2. 1. 0. 0. 9L 1 2L 3. 0. "1. 2. "1. 1. 0. 9L 2 "2L 3. 0. 0. 9. "4. 6. 1. 18. L 1 3L 2. 0. "2. 0. 3. "9 0. "1 "3 "2. 0. 0. "4. 9. 6. x " 2y " z 0 "x 5y 3z 0. 1. 1. 1. 1. v. 1. 1. 1. 1. 1. "2. "1. 0. L 2 "L 1. 0. "3. "2. "1. "1. 5. 3. 0. L 2 L 1. 0. 6. 4. 1. v L 3 2L 1. 1. 1. 1. 1. 0. "3. "2. "1. 1. 0. 0. 0. "1. v 3L 3 7L 2. v. 3L 1 L 2. 1. 1. 1. 0. 0. 0. L 2 "L 1. 0. "3. "2. "1. 1. 0. 1. L 3 2L 1. 0. 7. 5. 2. 0. 1. 0. 1. 3. 0. 0. v. 1. 1. 1. 1. 0. 0. L 1 "L 3. 1. 1. 0. 2. "7. "3. 0. "3. "2. "1. 1. 0. L 2 2L 3. 0. "3. 0. "3. 15. 6. 0. 0. 1. "1. 7. 3. 0. 0. 1. "1. 7. 3. 3. 0. 0. 3. "6. "3. 1. 0. 0. 1. "2. "1. 0. "3. 0. "3. 15. 6. 0. 1. 0. 1. "5. "2. 0. 1. A solução: X A "1 B . "1. 1 L 3 1 1 " 3 L2. 7. 3. 0. 1. "2. "1. 1. 1. "5. "2. 0. "1. 7. 3 33. "4x 3z "3. 1. 1 6 1 3 2 3. 1 9 " 49. 0 1 0 0 0 1 I3. " 29. x X. 2 9 1 9. y. A "1 B . 1 18. z. 0. 0. "1. 1. 1 . 1 "1. 7. 3. "2. 3. "4. 2. 2. 6. 4. 1. "8. 12. 2. "3. 11. . 1 18. "2 "10. A "1. ' . é equivalente ao seguinte sistema. 2. Considere o seguinte sistema de equações lineares: xyz 1 x " 2y " z 0. ) 1 " 2) 2 5) 3 0. "2x 5y 3z 0. 1. 1. "1. 0. v. 1. 1. "1. 0. 1. "2. 5. 0. L 2 "L 1. 0. "3. 6. 0. 1. "1. 3. 0. L 2 "L 1. 0. "2. 4. 0. v 3L 3 "2L 2. a. Escreva-o usando notação matricial. b. Resolva o sistema por explicitação da matriz das incógnitas. Resolução:. 1. 1. "1. 0. 0. "3. 6. 0. 0. 0. 0. 0. a. Em notação matricial o sistema é definido por AX B, onde. A. 1. 1. 1. "2 "1. "2 5. x. 1 , X. 1 e B. y z. 3. 0 0. Fazendo, por exemplo, ) 3 1, obtém-se ) 2 2 e ) 1 "1. Conclui-se que "L 1 2L 2 L 3 0, ou seja, L 3 L 1 " 2L 2 .. 3.. 32. — ) p "2 7 * IR · rA rA|B 3 (nº incógnitas) O sistema é possível determinado. Considere o seguinte. xz 1. sistema de equações lineares:. "y ) 1 z * " 1. — ) "2 7 * 0 · rA rA|B 2 O sistema é possível indeterminado com GI 1. a. Discuta-o em função dos parâmetro reais ) e *. b. Para ) "2 e * 0 determine uma solução geral.. — ) "2 7 * p 0 · rA 2 p rA|B 3 O sistema é impossível b. Para os valores indicados o sistema é possível indeterminado. Resolução:. v. 0. " 19. 1 0 0. ")x " 2y 0 1. "1. 6. 31. v. 5. "4. 9. 2x 2y 1. de equações lineares definido por:. 29. b. Cálculo da matriz inversa de A: "2. 0. Por exemplo, considere-se o sistema. )1 )2 " )3 0. 30. 1. 0. Da 2ª equação resulta "3) 2 6) 3 0, ou seja ) 2 2) 3 . Substituindo na 1ª equação, obtém-se ) 1 2) 3 " ) 3 0, ou seja, ) 1 ") 3 .. Como rA 2 p 3 rA|B , conclui-se que o sistema é impossível.. "2. "1 "3 "2. Pode então verificar-se que resolver ' corresponde a condensar a matriz A T ampliada da matriz nula ¡0¢ 31 :. Resolução: a.. 0. 2. ) 1 " ) 2 3) 3 0. a. Mostre que o sistema é impossível. b. Sendo A a matriz do sistema, escreva, se possível, uma linha como combinação linear das restantes.. 0. 12. "9 0. 1 L 18 1 " 19 L 2 1 L 9 3. "4. 0. xyz 1. 1. 1. 0. v. b. A equação ) 1 L 1 ) 2 L 2 ) 3 L 3 0 de equações lineares:. 1. Considere o seguinte sistema de eqs lineares:. 1. 18 27 0. 28. EXERCÍCIOS. 1. Se o sistema de equações lineares definido por AX B é tal que A é uma matriz invertível então AX B é equivalente a X A "1 B. Isto prova que o sistema tem solução única – sistema possível determinado.. 0 1. 2x 3y " 2z 2. v. 2. 27. 1. 2. Como a matriz do sistema é a matriz do exemplo anterior, tem-se:. Uma vez que os sistemas têm em comum a matriz A então podemos resolvê-los todos de uma só vez! Considera-se a matriz A ampliada com cada uma das B i , ou seja, ampliada com a matriz identidade. Condensa-se A|I até uma matriz I|X, obtendo-se a matriz X A "1 (ver observação da pág 21). Segue-se um exemplo de cálculo da matriz inversa:. A|B . Resolução de sistemas por recurso à matriz inversa. 0 0. I3. A. AX 1 B 1 , AX 2 B 2 , . . . , AX n B n onde. 1. "1 1 0. "). a.. "2. 0. v. 0 L1. 1. 0. 1. 1. 0. "1. )1. *"1. v. 1. 0. 1. L 2 )L 1. 0. "2. ). ). 0. "1. )1. *"1. 1. x. 1 L2. v 2L 3 "L 2. 34. 0. 1. 1. "). "2. 0. 0. 0. "1. )1. *"1. 1. 0. 1. 1. 0. "2. ). ). 0. 0. )2. 2* " 2 " ). 1. 0. 1. 1. 0. "2. "2. "2. 0. 0. 0. 0. 2ª equação: "2y " 2z "2 · y 1 " z 1ª equação: x z 1 · x 1 " z Solução geral: X . T. 1"z. 1"z 35. z. ,. z IR.

(5) DETERMINANTES DE MATRIZES QUADRADAS É possível definir uma função linear que associa a cada matriz quadrada um único número real, chamado determinante de A, que se representa por |A| ou detA e com as seguintes propriedades fundamentais (axiomas): AX1. Decomposição: Se existe ) IR tal que L i )L Ui L UUi então: L1. L1. B Li. L1. B. B. L Ui. ). B. . Ln. Ln. UU. 1. O3) Por uma questão de simplicação de escrita soma-se à última linha uma combinação linear das restantes:. a 11 a 12. L2. a 21 a 22. L n"1. a 11. a111. . a111. O3 L 2 "a 21 L 1. ) 1 L 1 ) 2 L 2 . . . ) n"1 L n"1. a 12. L1. L1. L1. L1. L2. L2. L2. L2. L2. . . . ) n"1. B. B. . B. L n"1. L n"1. L n"1. L n"1. L n"1. Ln. L1. L2. L n"1. Ln. a 12. 0. a 11 a 22 " a 12 a 21. 0. 0. 4. Omite-se a demonstração de a e c . Quanto a b é uma consequência 1 . de a ; de facto, |A||A "1 | |AA "1 | |I| 1, donde |A "1 | |A| 40. REGRA DE CRAMER. EXERCÍCIOS. O sistema de n equações lineares a n incógnitas definido por AX B é possível determinado se e só se |A| p 0. O valor de cada variável x i pode obter-se dividindo por |A| o valor do determinante da matriz que se obtém de A substituindo a sua coluna i pela coluna dos termos independentes: coluna i w. B. B. 1. O cálculo do determinante duma matriz 4 4, por dois processos: a) Usando apenas condensação: 2. 2. 1. 1. . 3. "1. "2. 2. 1 22. 2. 2. 1. 1. 2L 2 "3L 1. 0. "8. "7. 1. . 1 2282. 2. 2. 1. 1. 0. "8. "7. 1. C. b1. C. a 1n. 2. 1. 0. 2. L 3 "L 1. 0. "1. "1. 1. 8L 3 "L 2. 0. 0. "1. 7. E. B. B. B. "5. 1. 4. 3. 2L 4 5L 1. 0. 12. 13. 11. 2L 4 3L 2. 0. 0. 5. 25. bi. C. a in. B. B. B. E. B. a n1. C. bn. C. a nn. . B Lj. . B. B. . B. B. B. Li. Lj. Li. B. B. B. B. . 1 2282. A. L4. 5L 3. 2. 2. 1. 1. 0. "8. "7. 1. 0. 0. "1. 7. 0. 0. 0. 60. 43. 0 AX2 . B. Li. 0, donde. B. B. Lj. B. Lj. . B. . B. AX1. Li. Lj. ". B. B. Lj. Li. Lj. Li. B. B. B. B. – Definição: Menor complementar do elemento a ij de A é o determinante da matriz que se obtém de A por supressão da sua linha i e da sua coluna j. Designa-se por |A ij |.. O determinante duma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos duma fila pelos respectivos complementos algébricos.. APLICAÇÃO AO CÁLCULO DA INVERSA – Propriedades: i A adjA |A|I, A M nn 1 ii Se A é regular então A "1 |A| adjA . b) Usando condensação e teorema de Laplace:. B. 42. L j L i. 41. a 11. xi . . B. AX1. L j L i. TEOREMA DE LAPLACE. 3. Designando por B a matriz triangular que se obtém de A por efeito da condensação, podemos afirmar que |B| )|A|, com ) p 0. Pelo AX3, A é invertível se só se |B| p 0 (os elementos principais de B são todos não nulos) e como ) p 0, isto é equivalente a ter-se |A| p 0.. 39. C. . B. AX2. – Definição: Chama-se matriz adjunta de A à transposta da matriz que se obtém de A, substituindo cada a ij pelo seu complemento algébrico a ij .. a 11. a 11 a 22 " a 12 a 21. L1. a i1. B Lj. – Definição: Chama-se complemento algébrico do elemento a ij de A a: a ij "1 ij |A ij |.. a 11 a 21 a 11 a 22. AX3 . 0. B Lj. 38. O2 . AX1. ) 2. B Li. Daqui resulta. 2. Se ambos os elementos da 1ª coluna são nulos então o determinante é nulo, bem como a expressão a 11 a 22 " a 12 a 21 0a 22 " a 12 0 0. Se a 11 p 0 então. L1. B. B. B Li. 37. 1. O2) É um caso particular do axioma 1 (multilinearidade) – fazer L i 0.. )1. B Lj. Li. 4. Determinante de produtos, inversas e transpostas: a) |AB| |A||B| 1 b) Se A é regular então |A "1 | |A|. 36. B. B Li. c) |A T | |A|. Em consequência, demonstram-se ainda as seguintes propriedades:. . 0 . B L i L j. 3. Matrizes regulares: Só é nulo o determinante duma matriz com filas linearmente dependentes, ou seja, A é regular se e só se |A| p 0.. AX2. Anulação: É nulo o determinante duma matriz com 2 linhas iguais. AX3. Matrizes triangulares: O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.. Ln. a 11 a 22 " a 12 a 21. a 21 a 22. Demonstrações: 1. O1) Atendendo aos axiomas 1 e 2 tem-se:. 0 AX2 . B. Ln. a 11 a 12. 2. Se A M 22 então |A| . L UUi. B. 1. Efeito das Operações de Jacobi: O1) O determinante muda de sinal por troca de quaisquer 2 filas paralelas. O2) Multiplicando uma fila por um número o valor do determinante vem multiplicado por esse número. O3) O determinante não se altera se somarmos a uma fila uma combinação linear das restantes.. . 2 "8 "1 60 15 2282. 2. 2. 1. 1. . 3. "1. "2. 2. 2. 1. 0. "5. 1. 4. . 1 22. 2. 2. 1. 1. 2L 2 "3L 1. 0. "8. "7. 1. 2. L 3 "L 1. 0. "1. "1. 1. 3. 2L 4 5L 1. 0. 12. 13. 11. 2"1 11 2282. Teorema de Laplace aplicado à 1ª coluna. . "8. "7. 1. 0. "1. 7. 0. 5. 25. . . 1 2282. 2. 2. 1. 1. 0. "8. "7. 1. 8L 3 "L 2. 0. 0. "1. 7. 2L 4 3L 2. 0. 0. 5. 25. "8 "1 11 282. Teorema de Laplace aplicado à 1ª coluna. "1 "25 " 35 15 22. 44. "1. 7. 5. 25.

(6) 2 "2 2 2. Seja A . 0 2. 2 "2 2 b) Pela alínea a). 1. 0 2. 1 "1 0 a 11 "1 11. Resolução: a). a 21 "1 21. . 0 2. 1 2. 2 "2 2. 1. 1 "1 0. 2L 3 "L 1. 0 2. 1. 0 0. "2. 1 2. . 2. 2 1. "4 p 0. 0 "2. a 31 "1 31. Como o |A| "4 p 0, conclui-se que as suas filas são linearmente independentes, pelo que é invertível.. ¯ C3¬ C2. 2. 1. "1. 0. "2. 2. "1. 0. "2. 2. 2. 1. 1; a 12 "1 12. . . . "2; a 22 "1 22. "6; a 32 "1 32. 1. "2 "6. 1. "2 "2. "2. 0. AdjA . 2. b) i. Para a 0,. 2. 2a. "1. b. ¯. 2. 2a. "1. b. "4. "1 " 3a. "3. 1. L 2 2L 1. 0. "1 a. "5. 1 2b. "2. "1. L 3 L 1. "1. "2 2a. 0. ¯. 2. "1. 2a. b. 0. "5. "1 a. 1 2b. 0. "2. "2 2a. "1 b. 5L 3 "2L 1. "2. a 11 "1 11. "1 b. 2. "1. 2a. b. 0. "5. "1 a. 1 2b. 0. 0. "8 8a. "7 b. a 21 "1 21. a 31 "1 31. 0. 1. 1. 0. 2. 2. 1. 0. 2. 2. 0. 1. – a 1 7 b 7 « rA rA|B 2. Sistema Possível Indeterminado, com GI 1. – a 1 7 b p 7 « rA 2 p 3 rA|B .. y. "1. 1. "3. "2 "1 "1 | A |. . "1. "3. "2. "1. 0. "1. "2. 1. 0. "1. "1. "3. A. 1 2. 2. 0. "1. 0. 1. "5. L 3 L 1. 0 "1 "2. 2 "1 11 . 1. "5. "1 "2. "16. "1. . 1. 2a. "4. "1. "3. "2. "1. 0 "2 5a "7. "2. L 3 2L 1. 0 "2 2a "2. 0. "2 5a "7 "2 2a "2. "10 4a. detA " I 3 detI 3 · "10 4a 1 · a 11 4 51. "2. 1. "1. 2. "2. 0. 2. . 0. . 4. "3 "1. "2. "1; a 32 "1 32. "5 T. Assim, AdjA ¡a ij ¢ . 2. "1. "2. "1. 2. "1. "4. "3. a) Discutir, em função dos parâmetros reais a e b, o sistema de equações lineares definido por AX B. b) Sendo a b 0: i. Calcular AdjA . ii. Usar a alínea anterior para resolver AX B. iii. Utilizando a Regra de Cramer, confirmar o valor de y obtido na alínea anterior. c) Determinar os valores de a para os quais detA " I 3 detI 3 .. 0 "1. 2;. a 13 "1 13. "4; a 23 "1 23. a 33 "1 33. 10;. "4 "2. "1. 6. |A| . "2. 2. 0. "2. "2. 2. 0. "1. 0. "1. . 2. 0. "1. "1. "3. L 2 2L 1. 0. "1. "5. L 3 L 1. 0. "2 4. "4. 2 "4. "1. "2. "4 10. 6. 4. Teorema. . 7 8. d. d"1. 1 2. 0. 1. 2a. 2b. 2c. "2. A. ". "2. 1 16. "5 "1. XA B". 1 16. "2. 5 " 16. " 18. 2. "4 10. 6. 4. 1 8 3 8. 1 4 " 14. 2. "1. 2. 4, calcular. 1. 1. b. 0. 1. c. 2. 1. « AX 1. d " 12. d. d"1. 1 2. 0. 1. 2a. 2b. 2c. d. d. d. . 1 2. 0. 1. 2a. 2b. 2c. " 0. 2. "4 10. 1. 6. 4. "2. "1. AX 1 e multiplicação de L 2 por 2. Multiplicação de L 3 por 12. Transpondo |A||A T |. . 0. d 2. «. «d. «d. "1. 1 2. 0. 1. 2a. 2b. 2c. 0. 52. ". "2. "2. ". "14 6. 1. 1. 1. 0. 2. 2a. 2b. 2c. 1. 1. 1. 1. 0. 2. a. b. c. 1. 1. a. 1. 0. b. 1. 2. c. 1. 4. 4. 4. 4 C 1 —C 3. «. "d. a. 1. 1. b. 0. 1. c. 2. 1. 4«. 53. 3 " 16. 3 1 16. 4. " 12. "5. "2. 1 16 " 58 1 8. 50. a. "1. "2. "1. "5 "1. Resolução: Note-se que d p 0, uma vez que, caso contrário, o determinante teria que ser 0 em vez de 4.. decomposição do determinante. 2 "1 11. de Laplace. Logo,. "1. 2. 2. d" 2. 1 "1. z. 47. "4. a 22 "1 22. 2;. "1. L 2 4L 1. 1 "1 11. 2. "2. "1. 4. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes e sabendo que. "4 "2 " 3a "3 "2. . "2. b e B. y. b) ii. A solução do sistema obtém-se do facto de, para matrizes 1 AdjA , há que invertíveis, se ter AX B · X A "1 B. Como A "1 |A| calcular o valor do determinante de A:. "5; a 12 "1 12. 1. "16. 2a. "1. x X. ;. 3 2 1 2. 1 2 1 2. " 14. 2. 1. "1. 2a. "4 "1 " 3a "3. 49. L 2 2L 1. 1. "2; a 33 "1 33. . A "1 . ,. "2. c) Cálculo de detA " I 3 : detA " I 3 . "2; a 23 "1 23. . 0. "1. 0. Sistema Impossível.. b) iii. Regra de Cramer para calcular o valor de y: 0. a 13 "1 13. 4. 48. 2. 1;. " 14. – a p 1 7 b IR « rA 3 rA|B . Sistema Possível Determinado.. "4. 3. Sejam A . 46. Resolução: a) Condensando a matriz completa do sistema ¡A|B¢:. "2. AdjA " 14 AdjA . "2. 45. ¡A|B¢ . 1 |A|. 1 "1 0. a) Verificar que as linhas de A são linearmente independentes. b) Recorrendo a determinantes, calcular A "1 .. 2 "2 2. 2 "4. Logo A "1 . 1. a. 1. 1. b. 0. 1. c. 2. 1. " 4d. . 7 8 " 38. "16.

(7)