Modelagem, identificação e controle de um pêndulo invertido de duas rodas

(1)

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WAGNER DE SOUZA CHAVES

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2020

(2)

MODELAGEM, IDENTIFICA¸

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AO E CONTROLE DE UM

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ENDULO INVERTIDO DE DUAS RODAS

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre.

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Area de concentra¸cão: Ciências Mecânicas Linha de pesquisa: Sistemas Dinâmicos Orientador: Adailton Silva Borges

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Coorientador: Marcio Aurelio Furtado Montezuma

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a

CORN´

ELIO PROC ´

OPIO

2020

(3)

Modelagem, identificação e controle de um pêndulo invertido de duas rodas / Wagner de Souza Chaves. – 2020.

95 p. : il. color. ; 31 cm.

Orientador: Adailton Silva Borges.

Coorientador: Marcio Aurelio Furtado Montezuma.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Cornélio Procópio, 2020.

Bibliografia: p. 87-91.

1. Pêndulo. 2. Engenharia de protótipos. 3. Equilíbrio. 4. Engenharia Mecânica – Dissertações. I. Borges, Adailton Silva, orient. II. Montezuma, Marcio Aurelio Furtado, coorient. III. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.

CDD (22. ed.) 620.1

Biblioteca da UTFPR - Câmpus Cornélio Procópio Bibliotecário/Documentalista responsáve l:

(4)

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Av. Alberto Carazzai, 1640 - 86.300-000- Cornélio Procópio – PR.

Tel. +55 (43) 3133-3789 / e-mail: [email protected] / www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/ppgem

Título da Dissertação Nº 046:

“Modelagem, Identificação e Controle de Um Pêndulo

Invertido De Duas Rodas

”.

Por

Wagner de Souza Chaves

Orientador: Prof. Dr. Adailton Silva Borges

Esta dissertação foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA – Área de Concentração: Ciências Mecânicas, linha de pesquisa: Sistemas Dinâmicos, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM – da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio, às 13h30min do dia 03 de ABRIL de 2020. O trabalho foi aprovado pela Banca Examinadora, composta pelos professores:

_______________________________

Prof.Dr.Adailton Silva Borges

(Orientador – UTFPR-CP)

_________________________________

Prof. Dr. Cristiano Marcos Agulhari

(UTFPR-CP)

_______________________________

Prof. Dr. Luiz Henrique Geromel

(5)

Agrade¸co a Deus por me dar a oportunidade de chegar nesta etapa da minha vida e por me guiar durante os momentos de dificuldade.

Aos professores Adailton Silva Borges e Marcio Aurelio Furtado Montezuma pela orienta¸c˜ao, apoio e incentivo durante o desenvolvimento deste projeto.

Aos amigos do laborat´orio LASISC, Eduardo Hideki, Matheus Mollon, Lucas Niro, Wanderlei Malaquias, Umberto Xavier e Gabriel Rossato pelo auxilio, coopera¸c˜ao e amizade.

A minha namorada Karina Pereira, aos meus pais Walfredo Chaves e Eloi Penha, e as minhas irm˜as Val´eria e Vanessa pelo apoio e carinho.

(6)

(7)

CHAVES, Wagner. Modelagem, Identifica¸cão e Controle de um Pêndulo Invertido de Duas Rodas. 2020. 95 f. Disserta¸cão – Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Mecânica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2020.

Esta disserta¸cão apresenta a constru¸cão de uma planta didática de um pêndulo invertido de duas rodas, assim como a prototipagem virtual da mesma utilizando o software MSC ADAMS. Por meio desta ferramenta foi poss´ıvel estudar e simular o comportamento dinâmico deste sistema instável, multiváriavel e não linear. O modelo matemático para representar a dinâmica do sistema foi obtido utilizando o método de Newton-Euler. Em seguida, contro-ladores de equil´ıbrio e dire¸cão foram projetados para fazer o robô percorrer uma trajetória equilibrando-se de forma automática. A técnica de controle robusto H∞ via LMI foi utilizada

e incertezas não estruturadas foram consideradas no modelo matemático do sistema. Por fim, o controlador projetado foi aplicado no protótipo virtual utilizando co-simula¸cão entre o MSC ADAMS e o MATLAB/Simulink e os resultados foram comparados com o controle apli-cado no modelo matemático. Após validado, o sistema de controle foi apliapli-cado ao protótipo real. Palavras-chave: Pêndulo invertido de duas rodas. Prototipagem virtual. Controle de equil´ıbrio e dire¸cão. Controle robusto H∞.

(8)

CHAVES, Wagner. Design, Identification and Control of a Two Wheeled Inverted Pendulum. 2020. 95 f. Disserta¸cão – Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Mecânica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2020.

This dissertation presents the construction of a two-wheeled inverted pendulum educational board, as well as its virtual prototyping using the MSC ADAMS software. Through this tool it was possible to study and simulate the dynamic behavior of this unstable, multivariable and nonlinear system. The mathematical model to represent the system dynamics was derived using Newton-Euler method. Then, balance and direction controllers were designed to make the robot travel through a path while it balances by itself. The robust control technique H∞ via LMI was

used and unstructured uncertainties were considered in the mathematical model of the system. Finally, the designed controller was applied to the virtual prototype using co-simulation between MSC ADAMS and MATLAB/Simulink and the results were compared with the control applied in the mathematical model. Once validated, the control system was applied to the real prototype. Keywords: Two-wheeled inverted pendulum. Virtual prototyping. Balance and direction control. Robust control H∞.

(9)

Figura 1 – Vers˜oes de pˆendulo invertido. . . 18

Figura 2 – (a) Segway. (b) Hoverboard. . . 18

Figura 3 – Movimentos de um TWIP. . . 21

Figura 4 – Projeto JOE de Grasser et al. (2002). . . 22

Figura 5 – (a) Protótipo de Ooi (2003). (b) Protótipo de Carlsson e Örbäck (2009). . 23

Figura 6 – Sistema de controle de Grasser et al. (2002). . . 24

Figura 7 – Projeto nBOT de Anderson (2013). . . 27

Figura 8 – Projeto de Solis et al. (2009). . . 28

Figura 9 – Kit de desenvolvimento. . . 28

Figura 10 – LEGO NXTway-GS. . . 29

Figura 11 – TWIP constru´ıdo. . . 31

Figura 12 – Corpo intermedi´ario. . . 31

Figura 13 – Rodas utilizadas. . . 32

Figura 14 – Motores utilizados. . . 33

Figura 15 – Circuito el´etrico do motor PMDC. . . 34

Figura 16 – Placa controladora. . . 34

Figura 17 – Driver de acionamento. . . 35

Figura 18 – M´odulo GY-86. . . 36

Figura 19 – Fus˜ao dos sensores utilizando Filtro de Kalman. . . 36

Figura 20 – Estima¸c˜ao do ˆangulo de pitch. . . 37

Figura 21 – Decodificador de quadratura. . . 38

Figura 22 – Baterias utilizadas. . . 39

Figura 23 – Circuito LM259. . . 39

Figura 24 – Diagrama de corpo livre do TWIP constru´ıdo. . . 40

Figura 25 – Sistema de referˆencias adotado. . . 41

Figura 26 – Experimento de pesagem das pe¸cas do TWIP. . . 47

Figura 27 – Modelo 3D do TWIP. . . 48

Figura 28 – Etapas da prototipagem virtual do TWIP. . . 51

Figura 29 – Prot´otipo virtual do TWIP. . . 52

Figura 30 – Juntas do prot´otipo virtual. . . 52

Figura 31 – For¸cas e torques aplicadas no prot´otipo virtual. . . 53

Figura 32 – Diagrama de blocos de um controle por realimenta¸c˜ao de estados. . . 55

Figura 33 – Sistema incerto. . . 57

Figura 34 – Sistema de controle no MATLAB/Simulink. . . 65

Figura 35 – Unidade de transforma¸c˜ao. . . 66

(10)

Figura 39 – Sinais de referˆencia para ˙XRM e ˙ψ aplicados em momentos diferentes. . . . 68

Figura 40 – Sinais de referˆencia para ˙XRM e ˙ψ aplicados simultaneamente. . . 68

Figura 41 – Sinais de referˆencia para ˙XRM e ˙ψ fazerem o TWIP subir uma rampa. . . . 69

Figura 42 – Rampa constru´ıda no ADAMS. (a) Vista em três dimensões. (b) Vista lateral. 69 Figura 43 – Simula¸cão do controle aplicando um distúrbio no TWIP. . . 71

Figura 44 – A¸c˜ao do controlador ao aplicar um dist´urbio no TWIP. . . 71

Figura 45 – Simula¸cão do controle aplicando sinais de referência em tempos diferentes. 72 Figura 46 – A¸cão do controlador ao aplicar sinais de referência em tempos diferentes. . 72

Figura 47 – Simula¸cão do controle aplicando sinais de referência simultâneos. . . 73

Figura 48 – A¸cão do controlador ao aplicar sinais de referência simultâneos. . . 74

Figura 49 – TWIP subindo uma rampa de 10 graus. . . 74

Figura 50 – Simula¸c˜ao do controle com o TWIP subindo uma rampa. . . 75

Figura 51 – A¸c˜ao do controlador com o TWIP subindo uma rampa. . . 75

Figura 52 – Peso de 0,1 Kg adicionado ao TWIP. . . 76

Figura 53 – Simula¸c˜ao do controle aplicado no sistema adaptado - Estados. . . 78

Figura 54 – Simula¸c˜ao do controle aplicado no sistema adaptado - Torques. . . 78

Figura 55 – Leitura dos estados do TWIP real. . . 79

Figura 56 – Posi¸c˜ao das rodas. . . 79

Figura 57 – Estrutura de funcionamento do TWIP real. . . 80

Figura 58 – Sinais de referˆencia para o TWIP real. . . 80

Figura 59 – Respostas do controle aplicado ao TWIP Real. . . 81

Figura 60 – Torques aplicados ao TWIP real. . . 82

Figura 61 – Tens˜oes de armadura aplicados aos motores reais. . . 82

Figura 62 – TWIP com rodas alteradas. (a) Projeto com as rodas originais. (b) Projeto com as rodas alteradas. . . 83

Figura 63 – TWIP constru´ıdo. (a) Sistema f´ısico. (b) Modelo 3D no SolidWorks. (c) Prot´otipo virtual no MSC ADAMS. . . 84

Figura 64 – Fotos de experimentos com o sistema de controle aplicado ao TWIP real. . 85

Figura 65 – Bancada constru´ıda. . . 92

Figura 66 – Diagrama de funcionamento da bancada constru´ıda. . . 92

Figura 67 – Sinal utilizado para excitar os motores PMDC. . . 94

(11)

Quadro 1 – Trabalhos classificados de acordo o m´etodo de modelagem utilizado. . . . 23 Quadro 2 – Trabalhos classificados de acordo a estrat´egia de controle adotada. . . 26 Quadro 3 – Componentes da bancada constru´ıda. . . 93

(12)

Tabela 1 – Especifica¸c˜oes dos motores . . . 32

Tabela 2 – Parˆametros dos motores PMDC . . . 33

Tabela 3 – S´ımbolos utilizados na modelagem do TWIP. . . 41

Tabela 4 – Parˆametros identificados para o modelo do TWIP . . . 48

Tabela 5 – Atrito entre as rodas e o ch˜ao . . . 53

Tabela 6 – Entradas e sa´ıdas do prot´otipo virtual . . . 53

Tabela 7 – Sistema do TWIP adaptado . . . 76

Tabela 8 – Modelo matem´atico adaptado . . . 77

(13)

TWIP Two Wheeled Inverted Pendulum

MIP Mobile Inverted Pendulum

GDL Graus de Liberdade

LQR Linear Quadratic Regulator

PID Proporcional, Integral e Derivativo

SMC Slide Mode Control

LMI Linear Matrix Inequalities

LTR Loop Transfer Recovery

ISE Integral Square Error

RC R´adio Controlado

CC Corrente Cont´ınua

PMDC Permanent Magnetic Direct Current

KDS Kinets Design Studio

PWM Pulse Width Modulation

IMU Inertial Measurement Unit

SPI Serial Peripheral Interface

LASISC Laborat´orio de Sistemas de Controle LIT Linear e Invariante no Tempo

CAD Computer-Aided Design

MBS Multibody system

(14)

TL Torque aplicado na roda esquerda

TR Torque aplicado na roda direita

θL Posi¸c˜ao angular da roda esquerda

θR Posi¸c˜ao angular da roda direita

XL Posi¸c˜ao linear da roda esquerda

XR Posi¸c˜ao linear da roda direita

HT L For¸ca de atrito entre a roda esquerda e o ch˜ao

HT R For¸ca de atrito entre a roda direita e o ch˜ao

fd Dist´urbio externo aplicado no centro de gravidade do TWIP

XRM Posi¸c˜ao do TWIP

θp Angulo de pitch do corpo intermedi´arioˆ

Mp Massa do corpo intermedi´ario

ψ Angulo de yaw do corpo intermedi´arioˆ Dw Distˆancia entre as rodas do TWIP

ML Massa da roda esquerda

MR Massa da roda direita

Mw Massa das rodas iguais

R Raio das rodas

Jp Momento de in´ercia do corpo intermedi´ario no eixo Z

Jr Momento de in´ercia do corpo intermedi´ario no eixo Y

JL Momento de in´ercia da roda esquerda no eixo Z

JR Momento de in´ercia da roda direita no eixo Z

Jw Momento de in´ercia das rodas iguais no eixo Z

(15)

Cψ A¸c˜ao de controle para o subsistema rota¸c˜ao

X, Y, Z Sistema de coordenadas g Acelera¸c˜ao da gravidade Br Atrito viscoso do rotor

Jr In´ercia do rotor

Ke Constante el´etrica

Kt Constante de torque

La Indutˆancia da bobina de armadura

Ra Resistˆencia de armadura

x Vetor de estados

u Vetor de entradas

y Vetor de sa´ıdas medidas

A Matriz de estados

B Matriz de entrada

C Matriz de sa´ıda

D Matriz de transmiss˜ao direta

I Matriz identidade

λ Vetor de autovalores

(16)

1 – INTRODU ¸CÃO . . . 17 1.1 JUSTIFICATIVA . . . 19 1.2 OBJETIVOS . . . 19 1.2.1 Objetivo Geral . . . 19 1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 20 1.3 ORGANIZA¸CÃO DO TRABALHO . . . 20 2 – REVISÃO DE LITERATURA . . . 21

2.1 MODELAGEM MATEM´ATICA DO TWIP . . . 21

2.2 METODOLOGIAS DE CONTROLE . . . 24

2.3 ASPECTOS PRÁTICOS DA CONSTRU¸CÃO DO PROT ÓTIPO . . . 26

3 – METODOLOGIA . . . 30

3.1 CONSTRU¸C˜AO DO TWIP . . . 30

3.1.1 Corpo Intermedi´ario e Rodas . . . 30

3.1.2 Motores de Corrente Cont´ınua . . . 32

3.1.3 Placa Controladora . . . 34

3.1.4 Driver de Acionamento . . . 35

3.1.5 Sensor Inercial . . . 35

3.1.6 Leitor de Encoder . . . . 38

3.1.7 Baterias e Alimenta¸c˜ao do Circuito . . . 38

3.2 MODELAGEM MATEM´ATICA DOS 3 GDL DO TWIP . . . 39

3.2.1 Equa¸c˜oes de Movimento das Rodas . . . 42

3.2.2 Equa¸c˜oes de Movimento do Corpo Intermedi´ario . . . 43

3.2.3 Representa¸c˜ao em Espa¸co de Estados . . . 45

3.2.4 Desacoplamento do Sistema . . . 46

3.3 IDENTIFICA¸CÃO DOS PARÂMETROS FÍSICOS . . . 47

3.4 AN´ALISE DO MODELO LINEAR . . . 49

3.5 SISTEMAS MULTI-CORPOS E PROTOTIPAGEM VIRTUAL . . . 50

3.5.1 Constru¸c˜ao do Prot´otipo Virtual no MSC ADAMS . . . 50

3.6 ESTRAT´EGIA DE CONTROLE . . . 54

3.6.1 Estabilidade Segundo Lyapunov . . . 54

3.6.2 Controle por Realimenta¸c˜ao de Estados . . . 55

3.6.3 Controle Robusto H∞ . . . 56

3.6.4 An´alise de Incertezas no Modelo Matem´atico . . . 59

(17)

3.7 SOFTWARE DE SIMULA¸C˜AO . . . 65

4 – AN´ALISE E DISCUSS˜AO DOS RESULTADOS . . . 70

4.1 SIMULA¸C˜AO APLICANDO UM DIST´URBIO NO TWIP . . . 70

4.2 SIMULA¸C˜AO APLICANDO SINAIS DE REFERˆENCIA PARA VELOCIDADE LONGITUDINAL E PARA VELOCIDADE DE GIRO DO TWIP EM MOMEN-TOS DIFERENTES . . . 71

4.3 SIMULA¸C˜AO APLICANDO SINAIS DE REFERˆENCIA PARA VELOCIDADE LONGITUDINAL E PARA VELOCIDADE DE GIRO DO TWIP SIMULTANE-AMENTE . . . 73

4.4 SIMULA¸C˜AO DO TWIP SUBINDO UMA RAMPA . . . 74

4.5 AN´ALISE DE ROBUSTEZ DO SISTEMA DE CONTROLE . . . 76

4.6 RESULTADOS PR´ATICOS DO SISTEMA DE CONTROLE . . . 79

5 – CONCLUS˜AO . . . 83

5.1 CONSTRU¸C˜AO DO PROT ´OTIPO . . . 83

5.2 SISTEMA DE CONTROLE . . . 84

5.3 PROBLEMAS ENFRENTADOS . . . 85

5.4 TRABALHOS FUTUROS . . . 86

Referˆencias . . . 87

APÊNDICE A–Bancada para realiza¸cão de experimentos e aquisi¸cão de dados 92 APÊNDICE B–Identifica¸cão dos parâmetros dos motores PMDC . . . 94

(18)

1 INTRODU ¸C˜AO

Pesquisas relacionadas ao pêndulo invertido sempre tiveram destaque nos laboratórios de controle e robótica ao redor do mundo (BOUBAKER, 2013). Isso acontece porque trata-se de um sistema instável e não linear que necessita de um controle ativo para mantê-lo em equil´ıbrio. Essas caracter´ısticas fazem do pêndulo invertido o exemplo mais clássico e didático no estudo de dinâmica e controle, sendo este sistema tipicamente utilizado por pesquisadores e alunos para realizar modelos experimentais, validar a eficiência de novas técnicas de controle e verificar sua implementa¸cão (SANTOS, 2015).

Além disso, o problema de auto-equil´ıbrio é de fundamental importância em diversos outros sistemas práticos da engenharia. Por exemplo, em aeronáutica o modelo do pêndulo invertido é semelhante ao modelo do lan¸camento de um foguete (OGATA; MAYA; LEONARDI, 2003). A fim de manter a posi¸cão correta durante a subida, um sistema de controle torna-se necessário.

Até mesmo o próprio corpo humano é um bom exemplo de uma estrutura que usa mecanismos de auto-equil´ıbrio para ficar em pé e caminhar (SANTOS, 2015). Devido a isso, habilidades de auto-equil´ıbrio humano são adotados na robótica para robôs b´ıpedes (BOBROW, 2015). O conceito de auto-equil´ıbrio de um robô também é baseado no modelo do pêndulo invertido (GOHER; TOKHI, 2010).

Recentemente surgiu a tecnologia Riding Assist utilizada em motocicletas da empresa Honda, que consiste de um motor elétrico capaz de mexer o guidão da moto para equilibrá-la parada ou em baixas velocidades impedindo que ela caia (HONDA, 2017).

Pode-se dizer então que o pêndulo invertido é um excelente ponto de partida para estudo de dinâmica e controle.

Por ser uma das referências mais importantes na área de controle e robótica, diferentes versões de pêndulo invertido surgiram ao longo dos anos, oferecendo novos desafios interessantes para a teoria de controle. Os mais comuns são o Pêndulo Furuta (IBÁÑEZ; AZUELA, 2007), Pêndulo com Roda de Rea¸cão (SPONG; CORKE; LOZANO, 2001) e o Pêndulo Invertido Duplo (CHENG et al., 1996) como mostra a Figura 1.

Al´em destes, destaca-se o Pˆendulo Invertido de Duas Rodas (TWIP - Two Wheeled

Inverted Pendulum), também conhecido na literatura como Pêndulo Invertido Móvel (MIP -Mobile Inverted Pendulum) ou Robô Auto-equilibrista (Self-Balancing Robot), no qual consiste

de duas rodas independentes conectadas ao longo de um único eixo em um corpo intermediário (MUHAMMAD et al., 2011). Esta categoria de robôs de duas rodas possuem maior habilidade de girar em torno de si mesmo e consequentemente, maior manobrabilidade em espa¸cos estreitos que os robôs de 4 rodas. Devido a isso, o TWIP não é de interesse apenas teórico mas também prático tendo impulsionado diversas aplica¸cões e estudos na área de mobilidade e entretenimento, como exemplo, cadeira de rodas robótica (TAKAHASHI; ISHIKAWA; HAGIWARA, 2001),

(19)

Figura 1 – Vers˜oes de pˆendulo invertido.

a) Pêndulo invertido linear (convencional) b) Pêndulo invertido duplo

c) Pêndulo invertido rotacional (Furuta) d) Pêndulo invertido com roda de reação

Fonte: Adaptado de Quanser (2019a), Quanser (2019b) e INTECO (2019).

ve´ıculos para transporte urbano (BALOH; PARENT, 2003), andador rob´otico inteligente para pessoas com mobilidade reduzida (SILVA; SUP, 2017), transportador de bagagens (TAKEI; IMAMURA et al., 2009) e ainda robˆos de transporte pessoal com grande sucesso comercial como o Segway PT (Personal Transporter ) e o Hoverboard mostrados na Figura 2.

Figura 2 – (a) Segway. (b) Hoverboard.

a) b)

Fonte: Autoria pr´opria.

(20)

educacional para modelagem e estudo de técnicas de controle, visto que este sistema possui um alto grau de aplicabilidade e é uma boa plataforma para investigar a eficiência de vários controladores.

Este trabalho apresenta também uma metodologia para constru¸cão de um protótipo virtual para esta categoria de robôs de duas rodas, o qual pode ser de grande interesse para pesquisadores e estudantes que desejam estudar este sistema. Além disso, será aplicado um controle robusto H∞ para equilibrar o TWIP e fazê-lo percorrer uma trajetória utilizando

co-simula¸cão entre o ADAMS e o MATLAB/Simulink. De acordo com ˙Ilgen et al. (2016), há pouco conhecimento literário em simula¸cão e controle de pêndulos invertidos de uma ou mais rodas usando o ADAMS e MATLAB, portanto este desenvolvimento poderá contribuir com o meio cient´ıfico.

1.1 JUSTIFICATIVA

Robôs móveis estão cada vez mais presentes na sociedade e são usados amplamente em diversas aplica¸cões, incluindo explora¸cão, busca, resgate, transporte e entretenimento (CHAN; STOL; HALKYARD, 2013). O que torna este estudo muito significativo do ponto de vista prático.

Além do mais, a constru¸cão de um TWIP possibilitará o estudo de técnicas de controle de forma experimental, aplicadas em um sistema multivariável e não linear. Devido ao fato de ser didático, o robô constru´ıdo pode ser utilizado como ferramenta de aprendizado em sistemas de controle para futuros alunos e pesquisadores do laboratório.

Destaca-se também as contribui¸cões oferecidas ao meio cient´ıfico, uma vez que nesta pesquisa apresenta-se detalhadamente a modelagem matemática do TWIP sintetizada a partir de outros trabalhos como Grasser et al. (2002), Silva e Sup (2017), Abidin et al. (2017) e Ooi (2003). Apresenta-se um projeto de controle H∞ para fazer o TWIP seguir uma trajetória

equilibrando-se automaticamente com algum grau de robustez nas incertezas do modelo matemático. Descreve-se a constru¸cão de um protótipo virtual para valida¸cão do sistema de controle e, mostra-se como o sistema de controle é aplicado ao protótipo real. Apresenta-se também uma compara¸cão entre os resultados da simula¸cão e os resultados reais mostrando que o protótipo virtual possu´ı comportamento semelhante ao TWIP real em malha fechada. São poucas as publica¸cões que compararam resultados simulados com resultados reais para TWIPs. 1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo Geral

Este projeto de pesquisa tem como objetivo construir uma planta educacional de um TWIP, assim como o prot´otipo virtual do mesmo usando o software MSC ADAMS para estudo e an´alise de sistemas de controle.

(21)

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos

• Construir o protótipo mecânico e eletrônico do TWIP;

• Construir o prot´otipo virtual do TWIP utilizando modelagem multicorpos com o software MSC ADAMS.

• Obter o modelo matemático que representa a dinâmica do protótipo; • Identificar os parâmetros do modelo matemático;

• Analisar as incertezas e o erro propagado dos parâmetros do modelo matemático; • Projetar controladores de equil´ıbrio e dire¸cão utilizando controle robusto H∞ via LMI;

• Desenvolver um programa no MATLAB para resolver o problema de otimiza¸c˜ao do controle H∞ e determinar os ganhos;

• Simular o sistema de controle aplicado ao modelo matemático com o MATLAB/Simulink; • Aplicar os controladores ao protótipo virtual por meio de co-simula¸cão entre o MSC

ADAMS e o MATLAB/Simulink;

• Aplicar os controladores ao prot´otipo real;

• Utilizar sinais de referˆencia para avaliar as caracter´ısticas de resposta no tempo do sistema com os respectivos controladores;

• Comparar os resultados do controle aplicado ao modelo matemático, ao protótipo virtual e ao protótipo real.

1.3 ORGANIZA¸C˜AO DO TRABALHO

Para melhor compreens˜ao do texto este trabalho foi dividido em 5 cap´ıtulos, sendo cada um descrito abaixo:

• Cap´ıtulo 1:Introdu¸c˜ao sobre o tema abordado, justificativa e objetivos que devem ser alcan¸cados;

• Cap´ıtulo 2: Apresenta a revisão da literatura realizada, abordando os principais assuntos como modelagem matemática do TWIP, metodologias de controle frequentemente utilizadas e sobre aspectos práticos da constru¸cão do protótipo;

• Cap´ıtulo 3: Apresenta a metodologia de desenvolvimento do projeto, abordando a constru¸cão do TWIP, modelagem matemática dos 3 graus de liberdade, identifica¸cão dos parâmetros f´ısicos, análise do modelo linear, prototipagem virtual, estratégia de controle utilizada e o software de simula¸cão;

• Cap´ıtulo 4: Neste capitulo é realizada a análise e discussão dos resultados alcan¸cados; • Cap´ıtulo 5: São apresentadas as considera¸cões finais sobre este trabalho e também

(22)

2 REVIS˜AO DE LITERATURA

Este cap´ıtulo apresenta uma breve contextualiza¸cão sobre o tema, onde são mostradas informa¸cões de trabalhos realizados destacando os principais tópicos para esta pesquisa: modelagem matemática do TWIP (Se¸cão 2.1), metodologias de controle (Se¸cão 2.2) e sobre aspectos práticos da constru¸cão do protótipo (Se¸cão 2.3).

2.1 MODELAGEM MATEM´ATICA DO TWIP

Existem muitos trabalhos na literatura a respeito de TWIP, sua caracter´ıstica instável e ampla aplica¸cão do ponto de vista prático despertaram o interesse de muitos pesquisadores e entusiastas ao redor do mundo. Devido a isso, diversos modelos matemáticos foram propostos para representar a dinâmica deste sistema, alguns contemplando os três graus de liberdade e outros contemplando apenas dois.

Na Figura 3 pode-se verificar os 3 graus de liberdade e os respectivos movimentos que o TWIP pode realizar no espa¸co: deslocamento angular ao longo do eixo Z (ˆangulo de pitch), deslocamento angular ao longo do eixo Y (ˆangulo de yaw ) e o deslocamento longitudinal ao longo do eixo X.

Figura 3 – Movimentos de um TWIP.

Corpo intermediário Rodas coaxiais Plano vertical Ângulo de pitch (Ɵ𝑃) Ângulo de yaw (_Ψ) Deslocamento longitudinal (_𝑋_𝑅𝑀)

𝑥

𝑧

𝑦

Fonte: Adaptado de Chan, Stol e Halkyard (2013).

As principais abordagens usadas pelos pesquisadores para descrever as equa¸cões diferenciais são a técnica de Newton-Euler, onde é necessário analisar as for¸cas e torques atuantes sobre o sistema, e a formula¸cão de Euler-Lagrange onde são analisadas as energias cinética e potencial do sistema.

(23)

Em Ha e Yuta (1994) o autor propõe modelar o TWIP de forma semelhante a um pêndulo invertido convencional. Para isso utilizou-se a formula¸cão de Euler-Lagrange e obteve-se um modelo com apenas dois graus de liberdade, o primeiro referente ao ângulo de inclina¸cão do chassi (pitch), e o segundo referente ao ângulo de rota¸cão das rodas que permitem obter o deslocamento longitudinal do robô. Sendo assim, o modelo não pode fornecer todas informa¸cões sobre a dinâmica do sistema, pois matematicamente o robô só poderia deslocar-se em linha reta.

Alguns anos depois Grasser et al. (2002) desenvolveu um trabalho no qual foi constru´ıdo o robô JOE mostrado na Figura 4. Neste trabalho, é proposto um modelo matemático que contempla os 3 graus de liberdade do sistema incluindo o ângulo de yaw, o qual não havia sido considerado no modelo de Ha e Yuta (1994).

Figura 4 – Projeto JOE de Grasser et al. (2002).

Fonte: Grasser et al. (2002).

Obteve-se então, a partir das equa¸cões de movimento de Newton-Euler, um modelo linearizado em espa¸co de estados do TWIP com seis variáveis que descrevem totalmente a dinâmica do sistema. Contudo, devido às simplifica¸cões matemáticas realizadas, verificou-se que a dinâmica do ângulo yaw não depende dos outros dois graus de liberdade, possibilitando separar o modelo matemático em dois subsistemas independentes:

1. O primeiro descrevendo a dinâmica do ângulo pitch e também o deslocamento longitudinal; 2. O segundo descrevendo a dinâmica do ângulo yaw.

Outros trabalhos como Silva e Sup (2017), Nawawi, Ahmad e Osman (2008) e Wu, Liang e Wang (2011) tamb´em fazem uso da mesma metodologia de Grasser et al. (2002).

Da mesma forma, em Bature et al. (2014) pode-se encontrar um modelo que contempla os três graus de liberdade com dois subsistemas independentes, porém obtido a partir da formula¸cão de Euler-Lagrange, bem como nos trabalhos de Axelsson e Jung (2011), Dai et al. (2015), Barreto et al. (2013), Yamamoto (2008) e Herrera, Jiménez e Al-Hadithi (2014).

Outra metodologia interessante utilizando as equa¸cões de Newton-Euler foi desenvol-vida por Ooi (2003) e posteriormente por Carlsson e Örbäck (2009) que apresentam um modelo

(24)

simplificado com os dois graus de liberdade principais, inclina¸cão do robô (ângulo pitch) e seu deslocamento longitudinal. Ambos os modelos levam em considera¸cão a dinâmica elétrica dos motores de corrente cont´ınua e passam a ter como variável de atua¸cão do sistema a tensão de armadura dos motores, diferentemente do trabalho de Grasser et al. (2002) que usa os torques nas rodas como variável de atua¸cão. Os protótipos de Ooi (2003) e Carlsson e Örbäck (2009) são mostrados na Figura 5a e Figura 5b, respectivamente.

Figura 5 – (a) Protótipo de Ooi (2003). (b) Protótipo de Carlsson e Örbäck (2009).

(a) (b)

Fonte: Adaptado de Ooi (2003) e Carlsson e ¨Orb¨ack (2009).

Para melhor compreensão, no Quadro 1 os trabalhos citados anteriormente são classificados de acordo com o método utilizado para modelar a dinâmica do TWIP.

Quadro 1 – Trabalhos classificados de acordo o m´etodo de modelagem utilizado. M´etodo utilizado

Graus de liberdade

Inclina¸c˜ao do TWIP (ˆangulo de pitch) e

Deslocamento longitudinal Deslocamento longitudinal e Dire¸cão do TWIP (ângulo de yaw) Equa¸cões de movimento de Newton-Euler Ooi (2003) Carlsson e Örbäck (2009) Grasser et al. (2002) Silva e Sup (2017),

Nawawi, Ahmad e Osman (2008) Wu, Liang e Wang (2011)

Formula¸c˜ao de Euler-Lagrange Ha e Yuta (1994) Bature et al. (2014) Axelsson e Jung (2011) Dai et al. (2015) Barreto et al. (2013) Yamamoto (2008)

Herrera, Jim´enez e Al-Hadithi (2014) Fonte: Autoria pr´opria.

(25)

2.2 METODOLOGIAS DE CONTROLE

Para fazer o TWIP equilibrar-se e seguir uma trajetória de referência nas duas dimensões do plano é essencial a utiliza¸cão de projetos de controle. Na literatura há uma abundância de estratégias que podem ser aplicadas para atingir tal objetivo, sendo algumas dependentes do modelo matemático que representa o sistema e outras dependentes do conhecimento e experiência do projetista baseadas em observa¸cões no protótipo real.

Para as técnicas que precisam do modelo matemático, geralmente lineariza-se o sistema em torno de seu ponto de opera¸cão vertical para posteriormente calcular o controlador. Em Grasser et al. (2002) e Nawawi, Ahmad e Osman (2008) utiliza-se a técnica de aloca¸cão de polos para obter os dois controladores do sistema desacoplado: Kθ para equilibrar o robô e

movimentá-lo em linha reta e Kδ para controlar a dire¸cão do robô (ângulo de yaw ) como mostra

a Figura 6. Sendo que XRM ´e o deslocamento longitudinal, VRM ´e a velocidade longitudinal, θP

é o ângulo de pitch, ωP é a velocidade do ângulo de pitch, δ é ângulo de yaw, ˙δ é a velocidade

do ângulo de yaw, VRM C e ˙δC são os sinais de referências, fdp, fdRL e fdRR são as perturba¸cões.

Em seguida ´e realizada uma pondera¸c˜ao entre as respostas dos dois controladores Cθ e Cδ

para obter os torques CL e CR que os motores devem aplicar nas rodas.

Figura 6 – Sistema de controle de Grasser et al. (2002).

Fonte: Grasser et al. (2002).

Em Silva e Sup (2017) utiliza-se a mesma metodologia de controle, no entanto os ganhos s˜ao calculados a partir da t´ecnica de controle LQR (Linear Quadratic Regulator ).

No trabalho de Ooi (2003) é realizada uma abordagem diferente, o autor utiliza um modelo matemático de 2 graus de liberdade apenas para projetar um controlador que equilibre o sistema e o fa¸ca ficar em uma determinada posi¸cão como se estivesse em um trilho. Para obter os ganhos o autor avalia dois métodos: Aloca¸cão de pólos e o LQR. No entanto, o atrito entre as rodas e o chão fazem com que elas girem muitas vezes em velocidades diferentes ocasionando desvio no trajeto do robô e até mesmo quedas. Para resolver isso, o autor propõe

(26)

a utiliza¸cão de um controle PID sintonizado utilizando Ziegler-Nichols para controlar o ângulo de dire¸cão yaw do robô.

Em Ruan e Chen (2010) ´e proposto um m´etodo baseado em controle robusto H∞, no

qual o autor considera erros de modelagem e distúrbios externos na representa¸cão em espa¸co de estados do TWIP. Dessa forma o problema foi modelado utilizando uma abordagem LMI (Linear Matrix Inequalities) e obteve-se um controlador para equilibrar o TWIP em uma posi¸cão fixa com a capacidade do sistema ser robusto a interferências. No trabalho de Ashfahanil et al. (2017) o autor utiliza um método semelhante, mas combina com o controle H∞ o método

LTR (Loop Transfer Recovery ) para recuperar a propriedade de robustez do controlador após a lineariza¸cão do sistema e a utiliza¸cão do Filtro de Kalman para obter o sinal de inclina¸cão do TWIP.

No trabalho de Muhammad et al. (2013) apresenta-se uma metodologia diferente da convencional, no qual o autor lineariza o modelo matemático em 14 pontos de opera¸cão diferentes e obtém para cada modelo um controlador utilizando o método de aloca¸cão de polos. Dessa forma, o algoritmo proposto seleciona os ganhos do controlador em tempo de execu¸cão de acordo com o ângulo de inclina¸cão do TWIP. Seus resultados são comparados com um projeto de controle convencional (desenvolvido a partir de um modelo linearizado em um único ponto de opera¸cão) e conclui-se que ambos os métodos são capazes de equilibrar o TWIP, porém a metodologia proposta apresenta uma robustez maior a distúrbios externos.

Há também na literatura alguns trabalhos que não linearizam o modelo matemático para projetar o controlador, ou seja, desenvolvem o sistema de controle utilizando técnicas não lineares. No projeto de Dai et al. (2015) são desenvolvidos dois controladores independentes utilizando a técnica SMC (Sliding Mode Control), um para controlar o equil´ıbrio e outro para controlar o ângulo de yaw. Outros trabalhos como Huang et al. (2009) e Wu, Liang e Wang (2011) também utilizam a técnica SMC.

Dentre as técnicas que não precisam de modelo matemático, pode-se destacar o PID sintonizado de forma emp´ırica como em Chee et al. (2006) e Abidin et al. (2017). Nestes trabalhos os autores avaliam uma estratégia de controle que utiliza 3 PIDs em cascata, um para equilibrar o TWIP e os outros dois para controlar a velocidade de cada roda de forma independente. Destacam-se também os trabalhos que utilizam controladores inteligentes como o Fuzzy em Chiu e Peng (2006) no qual obteve-se resultados satisfatórios equilibrando o TWIP.

Por fim, verificou-se os trabalhos que realizaram compara¸cões entre diferentes técnicas de controle aplicadas ao TWIP. Em Bature et al. (2014) foram analisados os controladores Fuzzy, LQR e PID sintonizado experimentalmente. Neste trabalho conclui-se que o controlador Fuzzy apresentou os melhores resultados analisando tempo de assentamento, tempo de subida e porcentagem de sobre-sinal da resposta. Já em Villacrés et al. (2016) comparou-se os controladores PID, LQR e SMC onde concluiu-se que o SMC apresentou os melhores resultados analisando a capacidade de rejei¸cão a disturbios e a ISE (Integral Square Error ) entre a reposta do sistema e a referência.

(27)

No Quadro 2 pode-se verificar os trabalhos citados anteriormente de acordo com a estrat´egia de controle adotada.

Quadro 2 – Trabalhos classificados de acordo a estrat´egia de controle adotada. Estrat´egia de controle Trabalhos

Aloca¸c˜ao de polos

Grasser et al. (2002) Nawawi, Ahmad e Osman (2008)

Ooi (2003) Muhammad et al. (2013) LQR Silva e Sup (2017) Ooi (2003) Bature et al. (2014) Villacr´es et al. (2016) Controle robusto Ruan e Chen (2010)

Ashfahanil et al. (2017) SMC

Dai et al. (2015) Huang et al. (2009) Wu, Liang e Wang (2011)

Villacr´es et al. (2016) PID sintonizado Chee et al. (2006) Abidin et al. (2017) Bature et al. (2014) Villacr´es et al. (2016)

Fuzzy Chiu e Peng (2006)

Bature et al. (2014) Fonte: Autoria pr´opria.

2.3 ASPECTOS PRÁTICOS DA CONSTRU¸CÃO DO PROT ÓTIPO

Nesta se¸cão serão discutidos os assuntos relacionados à constru¸cão de protótipos de TWIP. Na literatura pode-se encontrar muitos trabalhos que desenvolvem e fabricam estes robôs, no entanto são poucos que apresentam e discutem sobre os materiais utilizados.

Para construir este robô, basicamente tentou-se observar em outros trabalhos quais foram os sensores utilizados para realizar a medi¸cão dos 3 graus de liberdade e também quais tipos de motores foram utilizados para atuar no sistema.

Em Ooi (2003) foi desenvolvido um TWIP de 1,13 Kg. Para determinar a inclina¸cão do robô (ângulo de pitch) utilizou-se um filtro de Kalman sobre os sinais de um giroscópio HITEC GY-130 e um inclinômetro SEIKA N3, e para obter a posi¸cão longitudinal utilizou-se a média entre os dois encoders conectados nos motores de corrente cont´ınua do lado direito e esquerdo do chassi. O ângulo de dire¸cão yaw não foi obtido pois escolheu-se um modelo de 2 graus de liberdade para representar o sistema.

Em Silva e Sup (2017) foi projetado um andador rob´otico para pessoas com mobilidade reduzida utilizando o mesmo principio do TWIP. Utilizou-se um sensor inercial ADIS16300 da

(28)

ANALOG DEVICES para medir a inclina¸cão do robô, e o deslocamento longitudinal também foi obtido por meio da média dos dois encoders conectados aos motores. Para o ângulo de

yaw não foi utilizado sensor, o valor do estado foi calculado usando informa¸cões da posi¸cão

individual de cada roda e da distˆancia entre elas. Para atua¸c˜ao foram utilizados 2 motores

brushless de corrente cont´ınua HT03002-E01.

No trabalho de Chee et al. (2006) foram utilizados 2 medidores de distância SHARP GP2D12, um para obter a posi¸cão longitudinal e outro para obter a inclina¸cão do robô. Segundo o autor, a escolha dos materiais para constru¸cão da estrutura é de extrema importância porque o chassis deve ser robusto, simétrico e o centro de gravidade deve ser o mais alto poss´ıvel. Para atuar no sistema foram utilizados 2 motores de corrente cont´ınua GM8712 da fabricante PITTMAN, e dois drivers L293B para acionar os motores.

Há também projetos que fazem uso de motores de passo como atuadores, semelhante aos usados em impressoras 3D e máquinas CNC. Segundo Kung (2019), devido ao surgimento de drivers acess´ıveis para acionamento de motores de passo, sua utiliza¸cão tornou-se muito popular nos últimos anos na constru¸cão desta categoria de robôs de duas rodas.

Existem ainda projetos dispon´ıveis na internet que descrevem todos os materiais utilizados para constru¸cão de um TWIP, como o nBOT desenvolvido por David P. Anderson. Neste projeto também utilizou-se 2 motores GM8712 da PITTMAN e para medir o ângulo de

pitch utilizou-se o inclinˆometro FAS-G da MicroStrain. Pode-se verificar o robˆo contru´ıdo na

Figura 7.

Figura 7 – Projeto nBOT de Anderson (2013).

Fonte: Anderson (2013).

Em Solis et al. (2009) apresenta-se um trabalho interessante com propósito educacional. Segundo o autor, o rápido aumento de plataformas robóticas no cotidiano dos japoneses representa uma ótima oportunidade para introduzir os conhecimentos básicos de sistemas robóticos aos estudantes universitários de engenharia mecânica da Universidade de Waseda no Japão. Para isso é proposta a constru¸cão de um TWIP de baixo custo para estudo de teorias de controle e robótica, além disso o projeto constru´ıdo proporciona aos estudantes facilidades na personaliza¸cão de sua estrutura, como altera¸cões no centro de massa usando um peso que pode ser fixado em várias posi¸cões da haste e também rodas com op¸cões diferentes

(29)

de tamanho. De acordo com Solis et al. (2009), as modifica¸cões no sistema possibilitam aos estudantes melhor entendimento sobre os fatores que podem afetar a estabilidade dos sistemas de controle enquanto fazem experimentos reais e não apenas por meio de simula¸cão. Neste trabalho também é apresentado um estudo de caso realizado com 5 alunos onde eles montam o TWIP e desenvolvem controladores PD de acordo com a configura¸cão da estrutura. Na Figura 8a pode se verificar o desenho do projeto com as dimensões em mil´ımetros, e na Figura 8b é mostrado a fotografia de um estudante realizando a sua montagem.

Figura 8 – Projeto de Solis et al. (2009).

(a) (b)

Fonte: Solis et al. (2009).

Pode-se encontrar também kits de desenvolvimento que são comercializados na internet, alguns de baixo custo como o encontrado no site AliExpress mostrado na Figura 9. A proposta destes kits de desenvolvimento é fazer com que qualquer pessoa possa construir um TWIP sem ter conhecimento aprofundado de engenharia e controle. Para isso são utilizados materiais acess´ıveis e placas eletrônicas de código fonte aberto. Neste produto, o kit contém um Arduino para desenvolvimento do algoritmo de controle, um sensor inercial MPU6050 para medir o ângulo de pitch, 2 motores GM37 com encoders acoplados e 2 drivers TB6612 para acionar os motores. Além disso, um código fonte com controle de equil´ıbrio e dire¸cão é disponibilizado para que o comprador possa utilizá-lo e modificá-lo como desejar.

Figura 9 – Kit de desenvolvimento.

(30)

Pode-se verificar que existem trabalhos na literatura como Manikandan et al. (2018) que utiliza um TWIP semelhante ao kit citado anteriormente.

Há também kits didáticos mais sofisticados como o LEGO Mindstorms NXT que é destinado a estudantes de controle e robótica. Com este kit é poss´ıvel construir o NXTway-GS que é um TWIP como mostra a Figura 10.

Figura 10 – LEGO NXTway-GS.

Sensor ultrassônico Motor DC do lado direito + encoder rotacional Motor DC do lado esquerdo + encoder rotacional Giroscópio Fonte: Yamamoto (2008).

Após analisar as tecnologias utilizadas por outros autores para constru¸cão de um TWIP, no próximo cap´ıtulo apresenta-se os materiais e métodos selecionados para a constru¸cão deste projeto.

(31)

3 METODOLOGIA

Neste cap´ıtulo são apresentados os materiais e métodos utilizados no desenvolvimento deste projeto. Inicialmente será mostrado o TWIP constru´ıdo (Se¸cão 3.1). Em seguida apresenta-se o deapresenta-senvolvimento do modelo matemático do sistema (Se¸cão 3.2), a identifica¸cão de apresenta-seus respectivos parâmetros (Se¸cão 3.3) e a análise do modelo linear (Se¸cão 3.4). Posteriormente será apresentada a proposta da constru¸cão de um protótipo virtual (Se¸cão 3.5) e por fim, apresenta-se a estratégia de controle utilizada (Se¸cão 3.6) com os softwares constru´ıdos para realizar as simula¸cões (Se¸cão 3.7).

3.1 CONSTRU¸C˜AO DO TWIP

O TWIP consiste de duas rodas independentes conectadas em um corpo intermediário no qual geralmente são montadas as placas eletrônicas de controle (MUHAMMAD et al., 2011). Deve haver um motor entre as rodas e o corpo para gerar torque, fazendo as rodas se moverem impedindo que o corpo ca´ıa (IMAMURA; TAKEI et al., 2008). A placa controladora de um TWIP requer sensores para medir o ângulo de inclina¸cão (pitch), o ângulo de dire¸cão (yaw ), o deslocamento longitudinal e as suas respectivas velocidades. Para isso, acelerômetros, giroscópios e encoders nos motores são necessários (KIM; LEE; KIM, 2011).

Sendo assim foram selecionados os materiais necess´arios para a constru¸c˜ao deste projeto e o resultado pode ser visto na Figura 11.

A seguir descreve-se cada um dos itens, suas caracter´ısticas e o motivo de sua escolha. 3.1.1 Corpo Intermedi´ario e Rodas

No corpo intermediário são anexados os dois motores de corrente cont´ınua e todos os componentes eletrônicos. Para simplificar a montagem, o corpo intermediário foi dividido em 2 partes:

• Base de alum´ınio: É a parte da estrutura que precisa ser mais resistente, nela são conectados os suportes de acr´ılico onde são fixados os motores. Para esta base foi utilizado um perfil estrutural de alum´ınio de 281 mil´ımetros de comprimento;

• Torre de acr´ılicos: Consiste de três pe¸cas de acr´ılico com 3 mil´ımetros de espessura cada, posicionados horizontalmente e conectados por separadores de 40 mil´ımetros. Na pe¸ca inferior realizou-se as fura¸cões para serem conectados os drivers de acionamento dos motores e a placa leitora de encoder. Na pe¸ca mediana pode-se conectar a placa controladora, as fura¸cões são compat´ıveis com as placas do Arduino Uno, Arduino Mega ou a FRDM-K64 da NXP. Na pe¸ca superior pode-se conectar até 2 baterias e um sensor inercial que contenha giroscópio e acelerômetro, pode-se utilizar a placa GY-86 ou o módulo WIT MOTION que são facilmente encontrados na internet. Além disso um

(32)

Figura 11 – TWIP constru´ıdo.

Corpo intermediário (chassis)

Roda esquerda Roda direita

Drivers de acionamento e leitor do

encoder

Placa controladora e sensor inercial Baterias e circuito de alimentação

Base Motor de corrente

contínua com encoder

circuito para derivar a tens˜ao da bateria e alimentar a placa controladora pode ser colocado na pe¸ca superior.

Na Figura 12 pode-se verificar o corpo intermedi´ario montado. Figura 12 – Corpo intermedi´ario.

Base de alumínio Suporte do motor esquerdo Suporte do motor direito Peça inferior Peça mediana Peça superior Torre de acrílicos

As rodas escolhidas possuem 80 mil´ımetros de diâmetro e são as mesmas utilizadas em automodelismo nos carros RC (Rádio Controlados). Essas rodas tem a vantagem de terem pneus

(33)

próprios, conexão padrão sextavada e são facilmente encontradas na internet em diferentes tamanhos. Para conectar as rodas aos motores são utilizados acoplamentos próprios para esta categoria de rodas. Pode-se verificar as rodas e pe¸cas utilizadas na Figura 13.

Figura 13 – Rodas utilizadas.

Acoplamentos _{Rodas com} pneus

3.1.2 Motores de Corrente Cont´ınua

O motor CC é uma máquina capaz de converter a energia elétrica em energia mecânica por meio da intera¸cão de um campo magnético com condutores de corrente elétrica (CHAPMAN, 2013).

Neste projeto foram utilizados dois motores de corrente cont´ınua de imã permanente (PMDC - Permanent Magnetic Direct Current). Esta categoria de motores possuem uma particularidade, o enrolamento de campo localizado no estator é substitu´ıdo por um imã permanente, resultando em uma constru¸cão mais simples. Contudo, o espa¸co necessário para os imãs permanentes é inferior ao exigido pelos enrolamentos de campo e, portanto, os motores PMDC geralmente são menores (FITZGERALD; JR; UMANS, 2006). Além do rotor e do estator, o motor PMDC possui o comutador e as escovas como pe¸cas fundamentais.

O modelo escolhido foi o A202629 do fabricante Maxon, o par de motores j´a cont´em

encoders com resolu¸c˜ao de 500 contagens por revolu¸c˜ao. Na Figura 14 pode-se ver os motores

utilizados e na Tabela 1 são mostradas as suas especifica¸cões. Tabela 1 – Especifica¸cões dos motores.

Tensão nominal Redu¸cão Torque máximo Velocidade base

24 V 20,25:1 150 N.cm 400 RP M

(34)

Figura 14 – Motores utilizados.

Encoder

Na Tabela 2 pode-se verificar os parâmetros construtivos do PMDC, para determiná-los utilizou-se uma bancada constru´ıda para realiza¸cão de experimentos mostrada no Apêndice A e detalhes sobre a obten¸cão dos valores são mostrados no Apêndice B.

Tabela 2 – Parˆametros dos motores PMDC.

Parˆametro S´ımbolo Valor m´edio

Atrito viscoso do rotor Br[N m.s/rad] 0,0031

In´ercia do rotor Jr[Kg.m2] 0,0021

Constante el´etrica Ke[V.s/rad] 0,6630 Constante de torque Kt[N m/A] 0,6630 Indutˆancia da bobina de armadura La[H] 8,3297x10−5

Resistˆencia de armadura Ra[Ohm] 4,7385 Fonte: Autoria pr´opria.

Considere agora o circuito elétrico do motor PMDC mostrado na Figura 15, sendo que Va é a tensão de alimenta¸cão da armadura, Ia é a corrente de armadura, eb é uma tensão

induzida que se opõe à tensão de alimenta¸cão, ˙θm é a velocidade do rotor, Tm é o torque

eletromagn´etico do motor e Tc ´e um torque de carga.

Pode-se utilizar as leis de Kirchoff para equacionar o circuito do motor PMDC, Va− RaIa− La˙Ia− eb = 0, (1)

sendo que a tensão induzida eb é diretamente proporcional à velocidade do rotor,

eb = Ke˙θm, (2)

e Ke ´e uma constante el´etrica. Portanto

(35)

Figura 15 – Circuito el´etrico do motor PMDC.

+

-𝑉

𝑎

𝑅

𝑎

𝐿

𝑎

𝑒

𝑏

𝑇

𝑚

, Ɵ

𝑚

𝐽

𝑟

𝐵

𝑟

𝑇

𝑐

𝐼

𝑎

Fonte: Adaptado de Ooi (2003).

Pode-se verificar na Tabela 2 que a indutˆancia da bobina de armadura La´e

aproxima-damente zero e portanto ser´a desconsiderada, ent˜ao

Va− RaIa− Ke˙θm = 0. (4)

Sabe-se tamb´em que o motor produz um torque eletromagn´etico Tm proporcional a

corrente de armadura Ia dado por

Tm = KtIa, (5)

sendo Kt uma constante de torque. Pode-se então substituir a Equa¸cão (5) na Equa¸cão (4)

para obter uma rela¸c˜ao entre Va e Tm que ser´a utilizada posteriormente:

Va =

Ra

Kt

Tm+ Ke˙θm. (6)

3.1.3 Placa Controladora

Para aquisi¸c˜ao de dados e controle utilizou-se a placa FRDM-K64F da NXP mostrada na Figura 16.

Figura 16 – Placa controladora.

(36)

Esta placa possui um microcontrolador MK64FN1M0VLL12 de 1 MB de memória flash, 256 KB de memória RAM e frequência de processamento de 120 MHz. Além disso a placa já tem um circuito interno para grava¸cão e depura¸cão do código e seus pinos são compat´ıveis com os pinos da placa Arduino Uno.

Para o desenvolvimento de algoritmos utilizou-se a ferramenta gratuita KDS (Kinets

Design Studio) tamb´em fornecida pela NXP.

3.1.4 Driver de Acionamento

Para fazer a interface entre os motores e a placa controladora, drivers de acionamento s˜ao necess´arios. Neste projeto foram utilizadas duas placas IBT-2 que possuem o componente BTS7960 como circuito de Ponte-H (Half-Bridge).

Por meio deste componente ´e poss´ıvel controlar o sentido e a velocidade de rota¸c˜ao dos motores utilizando sinais PWM (Pulse Width Modulation) gerados pela placa controladora.

Esta placa foi selecionada, pois o BTS7960 pode fornecer até 43A, o que possibilita utilizar motores de potências maiores sem a necessidade de altera¸cões nos circuitos elétricos.

Figura 17 – Driver de acionamento.

3.1.5 Sensor Inercial

Para controlar o equil´ıbrio de um TWIP é conveniente a utiliza¸cão de sensores que forne¸cam informa¸cões precisas e confiáveis, no entanto tais sensores podem ser muito caros. Uma alternativa é utilizar a fusão de sensores, na qual o sinal de vários sensores são combinados para fornecer uma estimativa precisa. Para isso é comum a utiliza¸cão do Filtro de Kalman como em Ooi (2003) e Neves (2017) para estimar os ângulos de Euler (Roll, Pitch e Yaw ).

Neste trabalho, para medir a inclina¸cão do TWIP foi utilizado o módulo GY-86 mostrado na Figura 18. Este módulo contém uma IMU (Inertial Measurement Unit) de 6 eixos

(37)

denominada MPU-6050, que fornece a leitura dos 3 eixos de um acelerˆometro e os outros 3 eixos de um girosc´opio.

Figura 18 – M´odulo GY-86.

As informa¸cões do acelerômetro e giroscópio foram então combinadas utilizando um Filtro de Kalman para estimar o ângulo de pitch (θp) e sua velocidade ( ˙θp), na Figura 19

pode-se ver o diagrama que representa a fus˜ao dos sensores.

Figura 19 – Fus˜ao dos sensores utilizando Filtro de Kalman.

Filtro de Kalman Acelerômetro Giroscópio Ɵ𝑘 Ɵ𝑘− Ɵ𝑝 ω𝑏𝑖𝑎𝑠

Verifique que ˆθk é o ângulo de pitch obtido pelo acelerômetro,

ˆ θk= atan2(ax, q a2 y+ a 2 z), (7)

sendo ax, ay, az as acelera¸cões nas dire¸cões X, Y e Z, respectivamente. A variável θ − k é o

ângulo de pitch calculado pela integra¸cão discreta do sinal do giroscópio, θ− k = θk−1+ (ωgyro− ωbias | {z } ˙ θp )Ts, (8)

sendo θk−1 o valor do ângulo na itera¸cão anterior, ωgyro é o sinal medido do giroscópio em

rad/s, Ts é o tempo de amostragem, ωbias é um valor de compensa¸cão do giroscópio que será

(38)

Pode-se então obter o ângulo de pitch (θp) e o valor de compensa¸cão do giroscópio

(ωbias) a cada itera¸c˜ao k fazendo

" θp ωbias # = " θ− k ω− bias # + Kk(ˆθk− θ − k), (9)

sendo Kk o ganho de Kalman dado por

Kk = P − k H ′ (HP− k H ′ + R)−1 , (10)

onde H = [1 0], R é a covariância do ru´ıdo de medi¸cão, P−

k ´e a estimativa da covariˆancia do

erro de predi¸cão mostrado na Equa¸cão (11) e Q é a covariância do ru´ıdo do processo. P_k− = " 1 −Ts 0 1 # Pk−1 " 1 0 −Ts 1 # + QTs. (11)

Ao final de cada itera¸cão k, deve-se realizar o cálculo da nova estimativa da covariância do erro de predi¸cão, fazendo

Pk = (I − KkH)P −

k , (12)

onde I ´e a matriz identidade e Pk ´e inicialmente uma matriz nula.

Semelhante a Neves (2017), neste projeto adotou-se Q = " 0,001 0 0 0,003 # , (13) e R = 0,03. (14)

Na Figura 20 pode-se verificar a compara¸cão do ângulo de pitch obtido pelo acelerô-metro com o estimado pelo Filtro de Kalman.

Figura 20 – Estima¸c˜ao do ˆangulo de pitch.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 Tempo (s) -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Ângulo (rad/s) Acelerômetro Filtro de Kalman 14 14.5 15 15.5 16 -0.1 0 0.1

(39)

3.1.6 Leitor de Encoder

Uma das formas de se obter a posi¸cão longitudinal do TWIP é sabendo o raio das rodas e suas respectivas posi¸cões angulares. Para isso pode-se utilizar encoders acoplados aos motores que tem por objetivo gerar pulsos conforme o rotor gira. Tais pulsos formam dois sinais em forma de quadratura o qual devem ser contados para saber a posi¸cão do rotor e a dire¸cão do movimento.

Para realizar a contagem dos pulsos de ambos encoders foi utilizada uma placa decodificadora de quadratura desenvolvida no laborat´orio LASISC. Esta placa faz interface para dois LS7366R (circuito integrado que realiza a contagem de quadratura) e pode ser vista na Figura 21.

Figura 21 – Decodificador de quadratura.

Dessa forma, a placa controladora FRDM-K64 pode realizar a leitura da contagem de cada encoder por meio da comunica¸c˜ao SPI (Serial Peripheral Interface) e obter a posi¸c˜ao angular do motor fazendo

θM = Cq((2π/2000)/20,25), (15)

sendo θM a posi¸c˜ao do motor em rad/s, Cq a contagem de quadraturas obtida, 2000 ´e o

número de pulsos geradas pelo encoder a cada volta completa do rotor e 20,25 é a rela¸cão de engrenagens.

3.1.7 Baterias e Alimenta¸c˜ao do Circuito

Para fornecer a alimenta¸cão dos motores foram utilizadas duas baterias de Li-Po de 11,1 V ligadas em série, totalizando 22,2 V. Isso é necessário para que os motores Maxon A202629 possam funcionar próximos a sua tensão nominal de 24 V. As baterias utilizadas são mostradas na Figura 22.

(40)

Figura 22 – Baterias utilizadas.

A tensão de 5 V necessária para alimentar a placa controladora, encoders, decodificador de quadratura, IMU e driver de acionamento foi derivada da tensão de uma das baterias utilizando o circuito LM259 mostrado na Figura 23.

Figura 23 – Circuito LM259.

3.2 MODELAGEM MATEM´ATICA DOS 3 GDL DO TWIP

Para desenvolver um sistema de controle eficiente, deve-se obter um modelo matem´a-tico que represente adequadamente a dinˆamica do sistema.

Nesta se¸cão, apresenta-se uma metodologia semelhante a utilizada por Grasser et al. (2002), Silva e Sup (2017) e Abidin et al. (2017) para obter o modelo em espa¸co de estados que contempla os 3 GDL do TWIP. Assim como nestes trabalhos, foi utilizado o método de Newton-Euler para obter as equa¸cões que descrevem o deslocamento longitudinal, o ângulo de

(41)

Inicialmente a dinˆamica dos motores PMDC ser´a desconsiderada pois, segundo Grasser

et al. (2002) sua constante de tempo ´e pequena comparada `a constante de tempo do TWIP.

Considere então o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 24. Observe que ao aplicar os torques TL e TR nas rodas, isso produzirá uma acelera¸cão ¨XRM que fará o robô se

movimentar para frente. No entanto, devido a essa acelera¸cão ¨XRM o corpo intermediário irá

se inclinar no sentido oposto produzindo uma for¸ca tangencial Ftan e uma for¸ca normal FN

devido ao momento angular criado no corpo com rela¸c˜ao ao eixo de rota¸c˜ao das rodas. Figura 24 – Diagrama de corpo livre do TWIP constru´ıdo.

𝑉𝐿 𝐻_𝐿 𝐻_𝑇𝐿 𝑋_𝐿 𝑇_𝐿 Ɵ𝐿 𝑉𝑅 𝐻𝑅 𝐻_𝑇𝑅 𝑇_𝑅 Ɵ𝑅 𝑋𝑅 Ɵ𝑃 𝐹𝑡𝑎𝑛 𝐹_𝑔 𝐹𝑁 𝑓𝑑

𝑋

_𝑅𝑀 𝑋 𝑌 (𝐻_𝐿+𝐻_𝑅) (𝑉_𝐿+𝑉_𝑅)

Observe também que Fg é a for¸ca gravitacional, fd é um distúrbio aplicado no centro

de massa do corpo intermediário, HT L e HT R são os atritos entre as rodas e o chão, HL, HR,

VL e VR são for¸cas de rea¸cão entre o corpo intermediário e as rodas, θp é o ângulo de pitch, θL

e θR são os ângulos das rodas com rela¸cão ao eixo Z. Pode-se verificar na Figura 25 o sistema

de referências adotado e os principais s´ımbolos e variáveis usados estão listados na Tabela 3. Pode-se então utilizar as rela¸cões de Newton-Euler para determinar o movimento linear e angular das rodas e do corpo intermediário conforme a Equa¸cão (16) e Equa¸cão (17), respectivamente.

X

Fx = m¨x (16)

X

(42)

Figura 25 – Sistema de referˆencias adotado.

𝑌

𝑋

𝑍

Ψ 𝑪𝑮 𝑙 𝐷𝑤 𝐻𝐿 𝐻_𝑅

Tabela 3 – S´ımbolos utilizados na modelagem do TWIP.

S´ımbolo Descri¸c˜ao Unidade

TL, TR Torques aplicados nas rodas N.m

θL, θR Posi¸c˜ao angular das rodas rad

XL, XR Posi¸c˜ao linear das rodas m

HT L, HT R For¸cas de atrito entre as rodas e o ch˜ao N

HL, HR, VL, VR For¸cas de rea¸c˜ao entre as rodas e o corpo intermedi´ario N

fd Dist´urbio externo aplicado no centro de gravidade N

XRM Posi¸c˜ao do TWIP m

θp Angulo de pitch do corpo intermedi´arioˆ rad

Mp Massa do corpo intermedi´ario Kg

ψ Angulo de yaw do corpo intermedi´arioˆ rad

Dw Distˆancia entre as rodas m

ML e MR Massa de ambas as rodas Kg

R Raio das rodas m

CG Centro de gravidade

-Jp Momento de in´ercia do corpo intermedi´ario no eixo Z Kg.m2

Jr Momento de in´ercia do corpo intermedi´ario no eixo Y Kg.m2

JL, JR Momento de in´ercia de ambas as rodas no eixo Z Kg.m2

l Distˆancia entre o CG e o eixo das rodas m

(43)

3.2.1 Equa¸c˜oes de Movimento das Rodas

Para a roda esquerda pode-se verificar que,

MLX¨L= HT L− HL (18)

e

JLθ¨L= TL− HT LR. (19)

Pode-se eliminar a vari´avel de atrito HT L reescrevendo a Equa¸c˜ao (18),

HT L= MLX¨L+ HL

e substituindo o resultado na Equa¸c˜ao (19):

JLθ¨L= TL− MLR ¨XL− HLR, (20)

pode-se então obter a for¸ca de rea¸cão HL entre a roda esquerda e o corpo intermediário

HL= −

JL

Rθ¨L+ TL

R − MLX¨L. (21)

De forma an´aloga, pode-se obter a for¸ca de rea¸c˜ao HR entre a roda direita e o corpo

intermedi´ario HR= − JR R θ¨R+ TR R − MRX¨R. (22)

Para obter a for¸ca de rea¸cão total entre as rodas e o corpo intermediário pode-se somar a Equa¸cão (21) e a Equa¸cão (22), obtendo

(HL+ HR) = − JL Rθ¨L+ TL R − MLX¨L− JR R θ¨R+ TR R − MRX¨R, (23) mas considerando que as rodas s˜ao iguais

JL= JR = Jw,

ML= MR= Mw,

(24) ent˜ao, a Equa¸c˜ao (23) se torna

(HL+ HR) = −Mw( ¨XL+ ¨XR) −

Jw

R(¨θL+ ¨θR) + 1

R(TL+ TR). (25) Sabendo que a posi¸cão do TWIP será a média entre as posi¸cões das duas rodas,

XRM =

XL+ XR

2 , (26)

e tamb´em considerando a rela¸c˜ao entre o deslocamento angular e o deslocamento linear θL+ θR=

XL+ XR

R , (27)

a Equa¸cão (25) que representa a for¸ca de rea¸cão total entre as rodas e o corpo intermediário torna-se: (HL+ HR) = −2(Mw+ Jw R2) ¨XRM + 1 R(TL+ TR). (28)

(44)

3.2.2 Equa¸c˜oes de Movimento do Corpo Intermedi´ario

Sabe-se que o TWIP possui 3 GDL possibilitando deslocamento na dire¸cão X, rota¸cão em torno do eixo Z, e rota¸cão em torno do eixo Y . Pretende-se determinar as equa¸cões diferenciais para as três variáveis que representam esses movimentos: ¨XRM, ¨θp e ¨ψ.

Considere então as rea¸cões sobre o corpo intermediário. Pode-se verificar que

(Mp+ 2Mw) ¨XRM = (HL+ HR) + fd− Ftancos θp+ FN sin θp. (29)

Substituindo a Equa¸cão (28) na Equa¸cão (29), então (Mp+ 2Mw) ¨XRM = −2(Mw +

Jw

R2) ¨XRM +

1

R(TL+ TR) + fd− Ftancos θp+ FNsin θp, sendo

Ftan = Mpl ¨θp,

FN = Mpl ˙θp 2

. (30)

Usando a Equa¸c˜ao (30) e agrupando ¨XRM, tem-se

(Mp+ 4Mw + 2 Jw R2) ¨XRM = 1 R(TL+ TR) + fd− Mpl cos θpθ¨p+ Mpl ˙θp 2 sin θp. (31)

Isolando ent˜ao ¨XRM, determina-se a primeira rela¸c˜ao.

¨ XRM = 1 R(TL+ TR) + fd− Mpl cos θpθ¨p+ Mpl ˙θp 2 sin θp Mp+ 4Mw+ 2J_Rw2 . (32)

A segunda rela¸cão pode ser obtida considerando a rota¸cão do corpo intermediário em torno do eixo Z. Pode-se dizer que

Jpθ¨p = Fgl sin θp+ MpX¨RMl cos θp+ fdl cos θp, (33)

sendo

Fg = Mpg

e g ´e a acelera¸c˜ao gravitacional.

Portanto, isolando ¨θp tem-se a segunda rela¸c˜ao.

¨ θp =

Mpgl sin θp+ MpX¨RMl cos θp + fdl cos θp

Jp

. (34)

Antes de continuar, a Equa¸cão (32) e a Equa¸cão (34) precisam ser linearizadas em torno de um ponto de equil´ıbrio. Considerando então que o TWIP pode ter um deslocamento vertical muito pequeno (θp ≈ 0), pode-se utilizar a Equa¸cão (35) para obter as equa¸cões

linearizadas. cos θp = 1, sin θp = θp, ˙θ2 p = 0. (35)

(45)

Portando, tem-se ¨ XRM = 1 R(TL+ TR) + fd− Mpl ¨θp Mp+ 4Mw+ 2J_Rw2 (36) e ¨ θp = Mpglθp+ MpX¨RMl + fdl Jp . (37)

Substituindo primeiramente a Equa¸c˜ao (36) na Equa¸c˜ao (37), verifica-se que ¨ θp = Mpglα β θp+ Mpl Rβ (TL+ TR) + Mpl + lα β fd, (38)

e substituindo a Equa¸c˜ao (38) na Equa¸c˜ao (36), tem-se ¨ XRM = − M2 pl 2 g β θp+ 1 Rα− M2 pl 2 Rαβ (TL+ TR) + 1 α − M2 pl 2 αβ − Mpl2 β fd, (39) sendo α = Mp+ 4Mw+ 2 Jw R2, (40) e β = Jpα + M 2 pl 2 . (41)

A Equa¸cão (38) e a Equa¸cão (39) representam a dinâmica do deslocamento longitudinal e da rota¸cão em torno do eixo Z (ângulo de pitch). No entanto ainda falta obter a equa¸cão que representa a rota¸cão em torno do eixo Y (ângulo de yaw ). Para isso, considerando a Figura 25, pode-se dizer que

ψ = XL− XR Dw

, (42)

e que a somatória dos momentos com rela¸cão ao eixo Y será Jrψ = (H¨ L− HR)

Dw

2 . (43)

Substituindo a Equa¸cão (21) e a Equa¸cão (22) na Equa¸cão (43), considerando ainda que as rodas são iguais, tem-se

2 Jr Dw ¨ ψ = −Mw( ¨XL− ¨XR) − Jw R (¨θL− ¨θR) + 1 R(TL− TR), (44) pode-se então utilizar a Equa¸cão (42) na Equa¸cão (44) para obter a equa¸cão dinâmica que representa a rota¸cão em torno do eixo Y

¨ ψ = 1 Rρ(TL− TR), (45) sendo que ρ = 2 Jr Dw + MwDw+ JwDw R2 . (46)

(46)

3.2.3 Representa¸c˜ao em Espa¸co de Estados

A representa¸c˜ao em espa¸co de estados de um sistema LIT (Linear e Invariante no Tempo) cont´ınuo pode ser escrito na seguinte forma:

˙x = Ax + Bu,

y = Cx + Du, (47)

sendo que x é o vetor de estados, o ponto indica a derivada temporal, u é o vetor de entradas, y é o vetor de sa´ıdas medidas e A, B, C e D são matrizes constantes para um sistema linear (OGATA; MAYA; LEONARDI, 2003).

Então da Equa¸cão (38), Equa¸cão (39) e Equa¸cão (45), tem-se:            ˙ XRM ¨ XRM ˙θp ¨ θp ˙ ψ ¨ ψ            =            0 1 0 0 0 0 0 0 A23 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A43 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0                       XRM ˙ XRM θp ˙θp ψ ˙ ψ            +            0 0 0 B21 B22 B23 0 0 0 B41 B42 B43 0 0 0 B61 B62 0               TL TR fd    , y = Ix + 0u, (48)

sendo I a matriz identidade,

A23 = − M2 pl 2 g β , (49) B21= B22= 1 Rα− M2 pl 2 Rαβ, (50) B23 = 1 α − M2 pl 2 αβ − Mpl2 β , (51) A43 = Mpglα β , (52) B41 = B42= Mpl Rβ , (53) B43 = Mpl + lα β , (54) B61 = −B62= 1 Rρ (55)

(47)

3.2.4 Desacoplamento do Sistema

A Equa¸cão (48) apresenta a caracter´ıstica dinâmica do TWIP em torno de um ponto de opera¸cão no qual o ângulo θp é muito pequeno. Pode-se verificar que neste ponto o sistema

torna-se desacoplado, ou seja, a dinâmica do deslocamento longitudinal e do ângulo pitch [XRM X˙RM θp ˙θp] não interferem na dinâmica do ângulo de yaw [ψ ˙ψ]. Portando pode-se

separar o sistema de 3 GDL em 2 subsistemas independentes,       ˙ XRM ¨ XRM ˙θp ¨ θp       =       0 1 0 0 0 0 A23 0 0 0 0 1 0 0 A43 0             XRM ˙ XRM θp ˙θp       +       0 0 0 B21 B22 B23 0 0 0 B41 B42 B43          TL TR fd    , (56) e " ˙ψ ¨ ψ # = " 0 1 0 0 # " ψ ˙ ψ # + " 0 0 0 B61 B62 0 #   TL TR fd    . (57)

Note que fd é um distúrbio que age sobre o centro de massa do corpo intermediário,

portanto n˜ao deve ser utilizado para controlar o sistema. Apenas TL e TR que s˜ao os torques

aplicados nas rodas pelos motores podem ser utilizados para atuar no sistema.

Para impôr a dinâmica desejada ao TWIP pretende-se controlar de forma independente o equil´ıbrio do robô (Subsistema da Equa¸cão (56)) e o movimento de rota¸cão em torno do eixo Y (Subsistema da Equa¸cão (57)). Portanto, deve-se projetar dois controladores, um produzindo uma a¸cão de controle Cθ, correspondente ao controle de equil´ıbrio e outro produzindo uma

a¸c˜ao de controle Cψ, correspondente ao controle de rota¸c˜ao em torno de Y .

Para aplicar estes torques no TWIP, deve-se converter as respostas dos controladores Cθ e Cψ para os torque dos motores TL e TR. Ent˜ao considere uma unidade de transforma¸c˜ao

dada por " TL TR # = " D11 D12 D21 −D22 # " Cθ Cψ # , (58)

sendo que D11, D12, D21 e D22 s˜ao valores para ponderar a importˆancia de cada controlador.

Os dois subsistemas tornam-se • Subsistema ”Pˆendulo”:       ˙ XRM ¨ XRM ˙θp ¨ θp       =       0 1 0 0 0 0 A23 0 0 0 0 1 0 0 A43 0             XRM ˙ XRM θp ˙θp       +       0 B2 0 B4       Cθ, (59) • Subsistema ”Rota¸c˜ao”: " ˙ψ ¨ ψ # = " 0 1 0 0 # " ψ ˙ ψ # + " 0 B6 # Cψ (60)