APOSTILA PROF. ANDRÉ ARBEX HALLACK

(1)

Andr´e Arbex Hallack

(2)

(3)

1 Sistemas Lineares 1

1.1 Corpos . . . 1

1.2 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . 3

1.3 Sistemas equivalentes . . . 4

1.4 Opera¸c˜oes elementares sobre as equa¸c˜oes de um sistema - como produzir sistemas equivalentes . . . 5

1.5 Matrizes . . . 6

1.6 Opera¸c˜oes elementares sobre linhas de uma matriz . . . 9

1.7 Matrizes linha-reduzidas `a forma em escada . . . 10

1.8 Multiplica¸c˜ao de matrizes . . . 14

1.9 Matrizes invert´ıveis . . . 16

1.10 Determinantes . . . 19

2 Espa¸cos Vetoriais 27 2.1 Defini¸c˜ao e exemplos . . . 27

2.2 Subespa¸cos Vetoriais . . . 31

2.3 Combina¸c˜oes lineares: gera¸c˜ao de subespa¸cos . . . 39

2.4 Dependˆencia e independˆencia linear . . . 44

2.5 Base e dimens˜ao de um espa¸co vetorial . . . 46

3 Transforma¸c˜oes Lineares 59 3.1 Defini¸c˜ao e exemplos . . . 59

3.2 Resultados imediatos . . . 64 i

(4)

3.4 Transforma¸c˜oes injetoras, sobrejetoras, bijetoras . . . 71

3.5 Isomorfismos . . . 73

3.6 Representa¸c˜ao de transforma¸c˜oes por matrizes . . . 76

3.7 Composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes lineares . . . 84

3.8 Posto e Nulidade de uma transforma¸c˜ao linear . . . 87

4 Formas Canˆonicas 89 4.1 Autovalores e autovetores . . . 89

4.2 Obtendo autovalores e autovetores . . . 93

4.3 Forma diagonal: a primeira forma canˆonica . . . 97

4.4 Polinˆomio minimal (ou m´ınimo) . . . 101

4.5 Matriz companheira . . . 109

4.6 A forma canˆonica de Jordan . . . 110

5 Espa¸cos com Produto Interno 117 5.1 Produto interno . . . 117

5.2 Ortogonalidade . . . 119

5.3 Norma . . . 123

5.4 Angulo entre dois vetores . . . 125ˆ 5.5 Ortogonaliza¸cão; Proje¸cão ortogonal: a melhor aproxima¸cão; Complemento ortogonal . 126 5.6 Tipos especiais de operadores lineares . . . 136

A Respostas dos exerc´ıcios 143

(5)

Sistemas Lineares

1.1 Corpos

Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas opera¸c˜oes:

Adi¸c˜ao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x + y ∈ IK. Multiplica¸c˜ao: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x.y ∈ IK.

Suponhamos que estas duas opera¸c˜oes possuam as seguintes propriedades:

1. x + y = y + x para todos (∀) x, y ∈ IK ; (comutatividade da adi¸c˜ao)

2. x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ IK ; (associatividade da adi¸c˜ao)

3. Existe um ´unico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x ∀x ∈ IK ; (elemento neutro da adi¸c˜ao)

4. A cada x ∈ IK corresponde um único elemento (−x) ∈ IK tal que x + (−x) = 0 ; (simétrico na adi¸cão)

5. x.y = y.x ∀x, y ∈ IK ;

(comutatividade da multiplica¸c˜ao) 6. x.(y.z) = (x.y).z ∀x, y, z ∈ IK ;

(associatividade da multiplica¸c˜ao)

7. Existe um único elemento não-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x ∀x ∈ IK ; (elemento neutro da multiplica¸cão)

(6)

8. Para cada x 6= 0 em IK existe um ´unico elemento x−1 (ou 1/x) em IK tal que x.x−1 = 1 ; (inverso na multiplica¸c˜ao)

9. x.(y + z) = x.y + x.z ∀x, y, z ∈ IK .

(distributividade da multiplica¸cão com rela¸cão à adi¸cão)

O conjunto IK, munido das duas opera¸c˜oes com as propriedades acima, ´e denominado um CORPO.

Exemplos:

A) O conjunto Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } dos números inteiros, com as opera¸cões usuais, não é um corpo.

B) O conjunto Q = { p/q : p, q ∈ Z, q 6= 0 } dos números racionais, com as opera¸cões usuais, é um corpo.

C) O conjunto IR dos números reais (que fazemos corresponder geometricamente aos pontos de uma reta orientada), com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão, é um corpo.

D) O conjunto C = { x + iy : x, y ∈ IR } dos n´umeros complexos, onde (

x é a parte real de x + iy , y é a parte imaginária de x + iy i2 = −1

com as opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão, dadas por: Adi¸cão: (x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+ x2) + i(y1+ y2)

Multiplica¸c˜ao: (x1+ iy1).(x2+ iy2) = (x1x2− y1y2) + i(x1y2+ x2y1), ´e um corpo.

Observa¸c˜oes:

• Os elementos de um corpo IK ser˜ao chamados ESCALARES. • Neste curso iremos trabalhar com os corpos IR e C .

(7)

1.2 Sistemas de Equa¸

c˜

oes Lineares

Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determina¸cão de n escalares (elementos de IK) x1, x2, ..., xn que satisfa¸cam às condi¸cões:

(*)            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2 .. . ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

onde y1, y2, ..., ym e aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, s˜ao elementos dados de IK.

Defini¸cão 1.1. (*) é dito um SISTEMA DE m EQUAÇ ÕES LINEARES A n INC ÓGNITAS. Uma SOLUÇ ÃO do sistema (*) é uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de escalares em IK que satisfaz

simultane-amente `as m equa¸c˜oes.

Observa¸cão: Se, em particular, y1 = y2 = ... = ym = 0, então o sistema é chamado um

SIS-TEMA HOMOG ÊNEO e, neste caso, a n-upla (0, 0, ..., 0) será uma solu¸cão, denominada SOLUÇ ÃO TRIVIAL.

Exemplos:

A) x = 5, y = 3, z = −1, ou seja (5, 3, −1), é (a única) solu¸cão do sistema linear:      2x − y + 2z = 5 −x + 3y − z = 5 x + 2y + 3z = 8 B) O sistema linear      2x − y = 7 −x + 3y = 4 x + 2y = 10

n˜ao admite nenhuma solu¸c˜ao.

C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema:      2x + y − 3z = 0 x − y + z = 0 x + 2y − z = 0

D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homogˆeneo:      2x + y − 3z = 0 x − y + z = 0 x + 2y − 4z = 0

(8)

E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear: (

ix + 2y = 3 − 6i 3x + y = 2

F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema (

2x + y − z = 1 −x − y + z = 2

1.3 Sistemas equivalentes

Seja (x1, x2, ..., xn) uma solu¸c˜ao do sistema (*).

Dados m escalares c1, c2, ..., cm em IK, temos

       c1(a11x1+ ... + a1nxn) = c1y1 .. . ... cm(am1x1+ ... + amnxn) = cmym

Somando as m equa¸c˜oes, temos uma nova equa¸c˜ao

(c1a11+ ... + cmam1)x1+ ... + (c1a1n+ ... + cmamn)xn= (c1y1+ ... + cmym)

Esta equa¸cão é dita uma COMBINAÇ ÃO LINEAR das equa¸cões do sistema (*) e é imediato que a solu¸cão (x1, x2, ..., xn) atende a esta equa¸cão.

(Exemplo)

Consequˆencia:

Se tivermos um outro sistema de equa¸c˜oes lineares:

(**)            b11x1 + b12x2 + ... + b1nxn = z1 b21x1 + b22x2 + ... + b2nxn = z2 .. . ... ... ... bk1x1 + bk2x2 + ... + bknxn = zk

no qual cada uma das k equa¸cões é combina¸cão linear das equa¸cões de (*), então toda solu¸cão de (*) ´

e tamb´em uma solu¸c˜ao de (**).

Observa¸cão: Pode acontecer de (**) ter solu¸cões que não são solu¸cões de (*). Isto não ocorrerá se também cada equa¸cão de (*) for uma combina¸cão linear das equa¸cões de (**).

(9)

Defini¸cão 1.2. Dizemos que dois sistemas de equa¸cões lineares são EQUIVALENTES se cada equa¸cão de cada sistema for combina¸cão linear das equa¸cões do outro sistema.

Temos ent˜ao o

Teorema 1.3. Sistemas equivalentes de equa¸cões lineares têm exatamente as mesmas solu¸cões.

Nosso objetivo: Dado um sistema de equa¸c˜oes lineares, vamos tentar produzir um outro sistema equivalente ao sistema dado e que seja mais f´acil de resolver!

1.4 Opera¸

c˜

oes elementares sobre as equa¸

c˜

oes de um sistema - como

produzir sistemas equivalentes

Consideremos as seguintes opera¸c˜oes, chamadas ELEMENTARES, sobre as equa¸c˜oes de um sis-tema linear:

(i) multiplica¸cão de uma equa¸cão por um escalar não-nulo;

(ii) substitui¸cão de uma equa¸cão pela soma dela com uma outra equa¸cão multiplicada por um escalar; (iii) troca entre duas equa¸cões.

Qualquer uma destas opera¸cões irá produzir um sistema equivalente (e, portanto, com as mesmas solu¸cões) ao sistema original. Assim, basta produzirmos um sistema mais fácil de resolver.

Exemplos: A) ( 2x + y = 5 −x − 2y = 2 B)      2x − y = 7 −x + 3y = 4 x + 2y = 10 C)      2x − y − 3z = 0 x − y + z = 0 x + 2y − 4z = 0

Observa¸cão: Ao realizar opera¸cões elementares sobre as equa¸cões dos sistemas lineares, buscando produzir sistemas equivalentes mais simples de resolver, nós trabalhamos efetivamente apenas com os coeficientes aij e os escalares y1, ..., ym. Isto motiva a defini¸cão de um novo tipo de objeto.

(10)

1.5 Matrizes

Defini¸cão 1.4. Uma MATRIZ m × n sobre um corpo IK é uma fun¸cão A do conjunto dos pares de inteiros (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n em IK. Os elementos da matriz A são os escalares A(i, j) = aij ∈ IK.

´

E conveniente descrever uma matriz exibindo seus elementos em uma tabela retangular com m linhas e n colunas: A =       a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .. . ... . .. ... am1 am2 ... amn       As m-uplas verticais       a11 a21 .. . am1       ...       a1n a2n .. . amn      

s˜ao as chamadas colunas da matriz A.

As n-uplas horizontais a11 a12 ... a1n ... am1 am2 ... amn s˜ao as chamadas linhas da matriz A.

Um elemento aij est´a disposto na linha i e na coluna j.

Tamb´em denotaremos uma matriz A com m linhas e n colunas por Am×n.

Exemplos: A) A =    2 1 −3 0 0 1  

´e uma matriz 3 × 2 sobre IR.

B) B = " 2i 7 √2 + 5i 3 2 4 0 i # ´

e uma matriz 2 × 4 sobre C.

Igualdade de Matrizes: Duas matrizes Am×n e Br×s s˜ao iguais quando m = r, n = s e

aij = bij, 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, ou seja, quando possuem os mesmos n´umeros de linhas e colunas, e

(11)

Alguns tipos de matrizes

A) Matriz Quadrada: Uma m × n matriz ´e dita quadrada quando tem o mesmo n´umero de linhas e colunas (m = n). Exemplo: A2×2= " i 1 −2 1 #

A diagonal principal de uma matriz quadrada A = (aij)n×nconsiste nos elementos a11, a22, ..., ann.

B) Matriz Diagonal: Uma matriz A = (aij) ´e diagonal quando ´e quadrada e seus elementos que

não estão na diagonal principal são todos nulos, ou seja, aij = 0 se i 6= j.

Exemplo: B =    3i 0 0 0 1 0 0 0 3₅   

Um exemplo especial de matriz diagonal é a chamada matriz identidade: ela é uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

Denotaremos uma n × n matriz identidade por In×n ou simplesmente I quando for claro

(pelo contexto) qual a ordem da matriz.

C) Matriz Nula: Uma matriz A = (aij)n×m ´e dita nula se aij = 0 para todo i, j, 1 ≤ i ≤ n e

1 ≤ j ≤ m. A matriz nula ser´a representada por O.

D) Matriz Triangular Superior: Uma matriz A = (aij) ´e triangular superior quando ´e quadrada

e seus elementos abaixo da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, aij = 0 se i > j.

Exemplo: D =       1 9 0 −6 0 1₆ −2 i 0 0 0 8 0 0 0 1      

E) Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A = (aij) ´e triangular inferior quando ´e quadrada e

seus elementos acima da diagonal principal s˜ao todos nulos, isto ´e, aij = 0 se i < j.

Exemplo: E =    6 0 0 4 5₆ 0 2 1 1   

(12)

F) Matriz Coluna: Matriz formada por uma ´unica coluna. Exemplo: N =    6 2 8   

G) Matriz Linha: Matriz formada por uma ´unica linha. Exemplo:

P =h −1 0 −6i 6 3₄ i

Adi¸c˜ao de matrizes e multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar

Adi¸c˜ao de matrizes: A soma das matrizes Am×n e Bm×n ´e a m × n matriz denotada por A + B

e dada por: A + B =       a11+ b11 a12+ b12 . . . a1n+ b1n a21+ b21 a22+ b22 . . . a2n+ b2n .. . ... . .. ... am1+ bm1 am2+ bm2 . . . amn+ bmn      

Multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar: Se k ∈ IK, o produto k.A ´e a m × n matriz denotada por kA e dada por:

kA =      

k.a11 k.a12 . . . k.a1n

k.a21 k.a22 . . . k.a2n

..

. ... . .. ... k.am1 k.am2 . . . k.amn

     

Tamb´em definimos : −A = (−1).A e A − B = A + (−1).B

Propriedades B´asicas : Sejam A, B e C matrizes quaisquer m × n sobre um corpo IK e k1, k2 ∈ IK escalares em IK. Valem as seguintes propriedades:

(1) A + (B + C) = (A + B) + C (2) A + O (matriz nula) = A (3) A + (−A) = O (matriz nula) (4) A + B = B + A

(5) k1(A + B) = k1A + k1B

(6) (k1+ k2)A = k1A + k2A

(7) (k1k2)A = k1(k2A)

(8) 1.A = A

(13)

1.6 Opera¸

c˜

oes elementares sobre linhas de uma matriz

Ao buscar as solu¸c˜oes de um sistema linear

(*)            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2 .. . ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

realizamos opera¸cões elementares sobre as equa¸cões do sistema até produzir um sistema equivalente mais simples de resolver.

Neste processo, n´os essencialmente trabalhamos com os coeficientes aij e com os escalares y1, ..., ym.

`

As opera¸cões elementares sobre as equa¸cões do sistema (*) correspondem, portanto, opera¸cões “semelhantes” sobre as linhas da matriz

      a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .. . ... . .. ... am1 am2 ... amn y1 y2 .. . ym      

chamada a MATRIZ COMPLETA (ou AMPLIADA) do sistema (*). (Exemplo)

Defini¸cão 1.5. Se A e B são m × n matrizes sobre um corpo IK, dizemos que B é LINHA-EQUIVALENTE a A se B pode ser obtida aplicando-se sobre A uma sequência finita de opera¸cões elementares sobre linhas.

Resumindo:

Sistema Linear

opera¸c˜oes elementares sobre as equa¸c˜oes

−→ Sistema equivalente mais simples

l l

Matriz completa do sistema

opera¸c˜oes elementares sobre as linhas

−→ Matriz linha-equivalente mais simples

(14)

1.7 Matrizes linha-reduzidas `

a forma em escada

Defini¸cão 1.6. Uma matriz m × n é LINHA-REDUZIDA À FORMA EM ESCADA se as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

1. o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a 1;

2. cada coluna que cont´em o primeiro elemento n˜ao nulo de uma linha tem todos os seus outros elementos iguais a 0;

3. toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas n˜ao nulas;

4. o primeiro elemento n˜ao-nulo da primeira linha ocorre “antes”(em termos de coluna) do primeiro elemento n˜ao-nulo da segunda linha, que por sua vez ocorre “antes” do primeiro elemento n˜ ao-nulo da terceira linha, e assim por diante ...

Exemplos: A =    1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0    B =    0 1 −3 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0    C =    0 2 1 1 0 −3 0 0 0    D =    1 0 2 0 0 0 0 −1 2   

Teorema 1.7. Toda matriz Am×né linha-equivalente a uma única matriz linha-reduzida à forma em

escada. Exemplos: A)      2x − y = 7 −x + 3y = 4 x + 2y = 10 B) ( ix + 2y = 3 − 6i 3x + y = 2 C) ( 2x + y − z = 1 −x − y + z = 2

(15)

Exerc´ıcios:

1) Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2 × 2, 2 × 3 e 3 × 3 que est˜ao na forma linha-reduzida `a forma escada.

2) Resolva os seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares pelo m´etodo do escalonamento:

rea-lizando as 3 opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema até que a matriz dos coeficientes fique linha-reduzida à forma escada, produzindo assim um sistema equivalente (portanto com as mesmas solu¸cões do original) e mais fácil de resolver:

a. ( 2x + y = 5 x − 3y = 6 b. ( √ 3x − iy = 0 x − y = −3 + i√3 c. ( x − 2y + 3z = 0 2x + 5y + 6z = 0 d.            2x − y + 3z = 11 4x − 3y + 2z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 e.      ix + z = 2i 2x − iz = 4 −ix + z = −i f.      y + 3z = −2 2x + y − 4z = 3 2x + 3y + 2z = −1 g.      x − 2y + 3z = 0 2x − y + 2z = 0 3x + y + 2z = 0 h.      3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y − z = 0

(16)

i.      x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14 2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2 x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1 j.      x − 3y + z = 2 −2x + 3y − 3z = −1 2x − 9y + z = 5 k.      x + 3y − 2z = 4 − 4i −ix + 2y + z = 8 x + y − z = 1 l. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1 m. ( 2x − i√2y = 0 ix + y = 0 n. ( x + y + z = 4 2x + 5y − 2z = 3 o.      x + y + z = 4 2x + 5y − 2z = 3 x + 7y − 7z = 5 p.            2y + 2z = 0 x + y + 3z = 0 3x − 4y + 2z = 0 2x − 3y + z = 0 q.            x + y + z + w = 0 x + y + z − w = 4 x + y − z + w = −4 x − y + z + w = 2 r.      −2x + y + 5z = 0 x − 2y − 4z = −3i x − y − 3z = −i

(17)

3) Determine k para que o sistema abaixo admita solu¸c˜ao (e exiba a solu¸c˜ao):      −4x + 3y = 2 5x − 4y = 0 2x − y = k

4) Determine k para que o sistema homogêneo abaixo admita solu¸cão não trivial (e exiba-a):      2x − 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + kz = 0

5) Dado o sistema linear      3x + 5y + 12z − w = −3 x + y + 4z − w = −6 2y + 2z + w = 5 (a) Discuta a solu¸c˜ao do sistema.

(b) Acrescente a equa¸c˜ao 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistema imposs´ıvel.

6) Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as solu¸cões) tenha      x + y + kz = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y − z = 1 (a) Solu¸cão única.

(b) Infinitas solu¸c˜oes. (c) Nenhuma solu¸c˜ao.

7) Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares:      x − 2y + z = y1 2x + 4y + z = y2 5y − z = y3− 1

(a) Quais as condi¸c˜oes (se houver) sobre y1, y2 e y3 para que o sistema acima tenha solu¸c˜ao ?

(b) Cite uma terna (y1, y2, y3) tal que o sistema acima tenha solu¸c˜ao.

(18)

1.8 Multiplica¸

c˜

ao de matrizes

Defini¸c˜ao 1.8. Sejam Am×n e Bn×p matrizes sobre um corpo IK. O PRODUTO DE A POR B ´e

uma m × p matriz C = A.B dada por: cij = n X r=1 airbrj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj. Exemplos: A) A =    2 −1 1 0 3 4   , B = " 1 −2 5 3 4 0 # B) C = " 1 0 −1 1 # , D = " 5 −1 2 15 4 8 #

Observa¸cão: O produto AB de A por B só está definido quando o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.

Propriedades:

1. Seja A uma m × n matriz

se Im×m ´e a m × m matriz identidade, ent˜ao Im×m.A = A

se In×n ´e a n × n matriz identidade, ent˜ao A.In×n = A

2. Seja A uma m × n matriz

se Op×m´e a p × m matriz nula, ent˜ao Op×m.A = Op×n (p × n matriz nula)

se On×s ´e a n × s matriz nula, ent˜ao A.On×s = Om×s (m × s matriz nula)

3. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e Cp×n, temos:

A(B + C) = AB + AC .

4. Dadas matrizes An×p, Bm×n e Cm×n, temos:

(B + C)A = BA + CA .

5. Dadas matrizes Am×n, Bn×p e Cp×k, temos:

A(BC) = (AB)C .

6. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e qualquer escalar λ, temos:

(19)

Observa¸cão: Em geral AB 6= BA (o produto de matrizes não é comutativo). Por exemplo: A =    1 −1 1 −3 2 −1 −2 1 0    e B =    1 2 3 2 4 6 1 2 3    Temos que, AB = O3×3 e BA =    −11 6 −1 −22 12 −2 −11 6 −1   

Consequências importantes da defini¸cão de multiplica¸cão de matrizes:

1a) Cada linha da matriz C = AB é uma combina¸cão linear das linhas de B. A combina¸cão linear que “fornece” a i-ésima linha de C é dada pela i-ésima linha de A.

(Exemplo)

2a) Cada coluna da matriz C = AB é uma combina¸cão linear das colunas de A. A combina¸cão linear que “fornece” a j-ésima coluna de C é dada pela j-ésima coluna de B.

(Exemplo)

3a) Todo sistema linear (*)            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2 .. . ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym

pode ser descrito por uma ´unica equa¸c˜ao matricial AX = Y , onde:

A =       a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .. . ... . .. ... am1 am2 ... amn       ´

e a matriz dos coeficientes do sistema, X =       x1 x2 .. . xn       e Y =       y1 y2 .. . ym      

Observa¸c˜ao: Uma solu¸c˜ao (x1, x2, ..., xn) do sistema corresponde a uma matriz

X =       x1 x2 .. . xn      

que satisfaz `a equa¸c˜ao AX = Y.

(20)

Exerc´ıcio:

Considere o sistema (

x + 6y − 8z = 1

2x + 6y − 4z = 0 , que na forma matricial fica " 1 6 −8 2 6 −4 # .    x y z   = " 1 0 #

(a) Verifique que a matriz X1 =

   −1 1/3 0  

 ´e uma solu¸c˜ao particular para o sistema.

(b) Resolva o sistema e verifique que toda solu¸cão é da forma X = λ.    −4 2 1   +    −1 1/3 0    (c) Mostre que λ.    −4 2 1    é a solu¸cão de " 1 6 −8 2 6 −4 # .    x y z   = " 0 0 #

(d) Generalize os resultados obtidos acima e mostre que toda solu¸cão de um sistema linear AX = Y é a soma de uma solu¸cão do sistema homogêneo AX = 0 com uma solu¸cão particu-lar de AX = Y .

4a) Consideremos um sistema linear AX = Y como (*).

Se existir uma n × m matriz eA tal que (

e

A.A = In×n

A. eA = Im×m

, então o sistema possui uma única solu¸cão dada por X = eA.Y .

(Exemplo)

1.9 Matrizes invert´ıveis

Defini¸cão 1.9. Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK é dita INVERTÍVEL se existir uma n × n matriz B tal que B.A = A.B = In×n. Neste caso B é dita a INVERSA da matriz A e

escrevemos B = A−1. (Exemplo)

(21)

Observa¸c˜oes:

1. Se A é invert´ıvel, então A−1 também é invert´ıvel e (A−1)−1 = A.

2. Se A e B são invert´ıveis, então AB também é invert´ıvel e (AB)−1 = B−1A−1.

Teorema 1.10. Seja A uma n × n matriz quadrada sobre um corpo IK. Temos: A ´e uma matriz

invert´ıvel ⇐⇒

Cada sistema AX = Y

possui uma ´unica solu¸c˜ao ⇐⇒

A ´e linha-equivalente `a n × n matriz identidade

Procedimento para invers˜ao de matrizes:

Consideremos a matriz A2×2=

"

2 1 −1 −2

#

e o problema de determinar a inversa de A, se ela existir.

Estaremos procurando uma matriz B = "

b11 b12

b21 b22

#

tal que A.B = " 1 0 0 1 # . ´

E f´acil ver que este problema ´e equivalente a resolver os seguintes sistemas lineares (escritos na forma matricial): " −2 1 3 1 # . " b11 b21 # = " 1 0 # " −2 1 3 1 # . " b12 b22 # = " 0 1 #

Para resolvermos estes sistemas, executamos sobre a matriz completa de cada um deles as opera¸c˜oes elementares sobre linhas at´e transformar a matriz A dos coeficientes em uma matriz linha-reduzida `

a forma em escada (A será invert´ıvel se, e só se, for linha-equivalente à 2 × 2 matriz identidade).

Porém, como a matriz dos coeficientes de ambos os sistemas é a mesma (A), podemos resolver os sistemas simultaneamente. Para tal, colocamos a matriz identidade ao lado de A e realizamos sobre I2×2 a mesma sequência de opera¸cões sobre linhas que aplicada à matriz A deverá produzir a

identidade.

A matriz resultante ser´a a inversa da matriz A.

(22)

Exerc´ıcios:

1) Considere as seguintes matrizes:

A =       2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1 −1 0 0 3       B =       3 −3 −3 2 −5 6 6 −4 4 −5 −4 3 1 −1 −1 1      

(a) Obtenha os produtos: A.B e B.A .

(b) Sabemos que cada sistema abaixo possui uma ´unica solu¸c˜ao (por que ?). Obtenha-as diretamente.            3x − 3y − 3z + 2w = 2 −5x + 6y + 6z − 4w = −1 4x − 5y − 4z + 3w = 3 x − y − z + w = 1            2x + y = 0 x − z + w = 1 y + z + w = −2 −x + 3w = 0

(c) Verifique as solu¸c˜oes obtidas.

2) O objetivo deste exerc´ıcio (dirigido) é mostrar que se A e B são duas n × n matrizes tais que A.B = In×n , então B.A = In×n (ou seja, na defini¸cão de matriz invert´ıvel, basta que um dos

produtos seja verificado).

Suponhamos ent˜ao que A e B sejam duas n × n matrizes tais que A.B = In×n .

1o _{passo: Mostre que o sistema homogˆ}_{eneo BX = O s´}_{o admite a solu¸c˜}_{ao trivial.}

2o passo: Conclua que cada sistema BX = Y admite uma ´unica solu¸c˜ao.

3o passo: Sem utilizar o resultado do Teorema 1.10, mostre diretamente do resultado do 2o passo que existe uma n × n matriz C tal que B.C = In×n .

4o passo: Conclua que C = A obrigatoriamente e portanto B.A = In×n .

3) Identifique quais matrizes, entre as dadas abaixo, s˜ao invert´ıveis, obtenha as inversas (caso sejam invert´ıveis) e verifique as inversas.

(Sugestão: Realize opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz até obter uma matriz linha-reduzida à forma escada e use que uma matriz An×né invert´ıvel se, e somente se, A é linha-equivalente

` a n × n Matriz Identidade In×n) A =    −2 −1 1 5 3 −1 3 1 −3    B = " i −1 1 + 2i −3 # C =    1 0 1 −1 3 1 0 1 1   

(23)

1.10 Determinantes

Seja (x, y) uma solu¸c˜ao do seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares: (

a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

que na forma matricial ´e escrito como: " a11 a12 a21 a22 # . " x y # = " b1 b2 # ou AX = Y sendo A = " a11 a12 a21 a22 #

a matriz dos coeficientes do sistema, X = " x y # e Y = " b1 b2 #

Multiplicando cada equa¸c˜ao por constantes adequadas e somando-as, buscando “isolar” x e y nas equa¸c˜oes do sistema, chegamos a:

(a11a22− a12a21).x = (b1a22− a12b2) e (a11a22− a12a21).y = (a11b2− b1a21). Se (a11a22− a12a21) 6= 0 , podemos obter: x = (b1a22− a12b2) (a11a22− a12a21) e y = (a11b2− b1a21) (a11a22− a12a21) .

Existe portanto uma forte rela¸c˜ao entre o n´umero (a11a22− a12a21) e o sistema A.X = Y dado.

Temos ent˜ao:

Defini¸c˜ao 1.11. Seja A = "

a11 a12

a21 a22

#

uma 2 × 2 matriz (de n´umeros reais ou complexos).

Definimos o DETERMINANTE da matriz A ( det A ou |A| ) como: det A = a11a22− a12a21.

O racioc´ınio e a defini¸cão anteriores podem ser generalizados de forma que possamos definir o determinante de uma matriz de ordem n × n , com n ≥ 3 , através de um método conhecido como Desenvolvimento de Laplace.

(24)

Defini¸c˜ao 1.12. Seja A =       a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .. . ... . .. ... an1 an2 ... ann      

uma n × n (n ≥ 3) matriz sobre um corpo IK

(IR ou C).

Escolhendo qualquer linha i ∈ {1, 2, ..., n} , definimos

det A =

n

X

j=1

aij∆ij = ai1∆i1+ ai2∆i2+ ... + ain∆in

sendo ∆ij (COFATOR do elemento aij da matriz A) o escalar dado por

∆ij = (−1)i+j. det A(i|j).

onde A(i|j) ´e a (n − 1) × (n − 1) matriz obtida retirando-se de A a linha i e a coluna j.

Obs.: O resultado independe da linha i escolhida. (Exemplos)

Observa¸cão: Em geral, para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem maior ou igual a 4 é conveniente combinar as propriedades dos determinantes (a seguir) com a defini¸cão (Desenvolvi-mento de Laplace).

Propriedades fundamentais dos determinantes:

A) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz quadrada por uma constante, ent˜ao seu determinante fica multiplicado por esta constante.

B) Trocando a posi¸c˜ao de duas linhas de uma matriz quadrada, seu determinante muda de sinal.

C) a11 a12 ... a1n .. . ... ... bi1+ ci1 bi2+ ci2 ... bin+ cin .. . ... ... an1 an2 ... ann = a11 a12 ... a1n .. . ... ... bi1 bi2 ... bin .. . ... ... an1 an2 ... ann + a11 a12 ... a1n .. . ... ... ci1 ci2 ... cin .. . ... ... an1 an2 ... ann

(25)

E) Se A é uma n × n matriz e Até sua transposta, ou seja, At_ij = Aji (as colunas de At são as linhas

de A e as linhas de At s˜ao as colunas de A, ordenadamente), ent˜ao det At= det A .

Observa¸c˜ao: Esta ´ultima propriedade nos permite estender as propriedades anteriores referentes a linhas para propriedades semelhantes referentes a colunas.

Tamb´em temos, como det At = det A, que det A = Pn

i=1aij∆ij, ou seja, o Desenvolvimento de

Laplace na nossa defini¸c˜ao pode ser feito “ao longo” das colunas da matriz A.

F) Seja "

A B O C

#

uma n × n matriz na forma de blocos, onde A e C s˜ao matrizes quadradas

e O ´e uma matriz nula, ent˜ao det " A B O C # = det A. det C (Exemplos)

A matriz adjunta: caracteriza¸c˜ao das matrizes invert´ıveis

Seja A =       a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n .. . ... . .. ... an1 an2 ... ann      

uma n × n matriz quadrada.

Chamamos de MATRIZ ADJUNTA DE A, `a transposta da matriz dos cofatores de A

adj A =       ∆11 ∆12 ... ∆1n ∆21 ∆22 ... ∆2n .. . ... . .. ... ∆n1 ∆n2 ... ∆nn       t =       ∆11 ∆21 ... ∆n1 ∆12 ∆22 ... ∆n2 .. . ... . .. ... ∆1n ∆2n ... ∆nn       (Exemplo)

Teorema 1.13. Seja A uma n × n matriz sobre um corpo IK. Ent˜ao: A. adj A = adj A.A = (det A).In

(26)

Finalmente, chegamos ao resultado pretendido:

Teorema 1.14. Seja A uma n × n matriz sobre um corpo IK. Ent˜ao: A ´e invert´ıvel ⇐⇒ det A 6= 0

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Se A é invert´ıvel, então existe uma n × n matriz B tal que A.B = In×n. Segue então

det A. det B = det(A.B) = det I = 1 ⇒ det A 6= 0 . (⇐) Se det A 6= 0 , segue do Teorema anterior que

1

det A(A. adj A) = 1

det A( adj A.A) = 1

det A(det A).In. Logo A. 1 det A adj A = 1 det A adj A .A = In. Portanto A ´e invert´ıvel, e A−1= 1 det A adj A .

Resumo dos principais resultados deste cap´ıtulo: Seja A uma n × n matriz sobre um corpo IK.

Ent˜ao

Cada sistema linear AX = Y possui uma ´unica solu¸c˜ao. m

O sistema homogˆeneo AX = O possui apenas a solu¸c˜ao trivial X = O. m

A ´e linha-equivalente `a n × n matriz identidade In×n.

m A ´e invert´ıvel.

m det A 6= 0 .

(27)

Exerc´ıcios: 1) Dada a matriz A =    2 1 −3 0 2 1 5 1 3   calcule (a) adj A (b) det A (c) A−1

2) Prove as seguintes propriedades dos determinantes, utilizando outras propriedades conhecidas ou a pr´opria defini¸c˜ao de determinante:

(a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz s˜ao nulos, ent˜ao seu determinante ´

e igual a 0 (zero).

(b) Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) iguais então seu determinante é igual a 0 (zero). (c) Se em uma matriz quadrada, duas linhas (ou colunas) têm seus elementos correspondentes pro-porcionais, o determinante é igual a 0 (zero).

(d) O determinante de uma matriz n˜ao se altera se somarmos a uma linha (coluna) uma outra linha (coluna) multiplicada por uma constante.

Para cada uma das propriedades acima, dˆe um exemplo com uma aplica¸c˜ao da propriedade.

3) Propriedade: O determinante de uma matriz triangular An×n ´e igual ao produto dos elementos

de sua diagonal principal.

(a) Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) 4 × 4. (Sugestão: Use Laplace)

(b) O que vocˆe pode dizer sobre o determinante da matriz abaixo ?

      λ − 2 0 0 0 1 λ − 2 0 0 52 27 λ + 1 0 0 π √3 5      

4) Identifique, entre as matrizes dadas, quais s˜ao invert´ıveis, obtenha as inversas (daquelas que forem invert´ıveis) e verifique as inversas.

(Sugest˜ao: Para identificar as invert´ıveis, calcule os determinantes e use que uma matriz An×n ´e

(28)

A =    1 0 1 1 2 3 0 2 2    B =    2 0 −1 3 0 2 4 −3 7    C = " 2 + i 3 1 2 − i # D =       4 −1 2 −2 3 −1 0 0 2 3 1 0 0 7 1 1       E =    1 0 2 1 1 4 2 2 4    F =       2 3 1 −2 5 3 1 4 0 1 2 2 3 −1 −2 4       G =       3 −3 −3 2 −5 6 6 −4 4 −5 −4 3 1 −1 −1 1       H =         3 0 0 0 0 19 18 0 0 0 −6 π −5 0 0 4 2 √3 0 0 8 3 5 6 −1         J =       0 −i −2 i 1 −1 i 1 0 −1 1 −i 1 1 1 0       L = " 6 2 11 4 # M =       1 1 3 9 −2 1 6 3 0 0 3 −1 0 0 −1 1       N =    2 −3 7 1 0 3 0 2 −1    P =    2 0 i 1 −3 −i i 1 1    Q = " 2 −4 −5i 7i # R =       1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1      

5) Calcule os determinantes das matrizes do exerc´ıcio anterior.

6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira ou falsa (considere matrizes n × n). Se for verdadeira, justifique-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo mostrando que é falsa: (a) Se I é a matriz identidade, então det I = 1

(b) Se A ´e invert´ıvel ent˜ao det A−1 = _{det A}1

(c) Para todas matrizes A e B temos que det(A + B) = det A + det B (d) Para todas matrizes A e B temos que det(AB) = det(BA)

(e) Se existe uma matriz invert´ıvel P tal que B = P−1.A.P ent˜ao det B = det A (f) Se det A = 1 ent˜ao A−1 = A

(29)

7) Para cada um dos n × n sistemas homogêneos AX = λX (λ ∈ IK) dados a seguir (“arrume” os sistemas e observe que são de fato homogêneos), fa¸ca:

(1) Determine os valores de λ para os quais o sistema admite pelo menos uma solu¸cão não trivial. (Sugestão: CX = 0 só admite a solu¸cão trivial X = 0 se, e somente se, det C 6= 0).

(2) Obtenha as solu¸c˜oes de AX = λX para os valores de λ obtidos no item anterior.

a. (

−3x + 4y = λx

−x + 2y = λy Sobre o corpo IR

b.      5x − 6y − 6z = λx −x + 4y + 2z = λy 3x − 6y − 4z = λz Sobre o corpo IR c.    1 −3 1 3 1 1 0 0 −1   .    x y z   = λ.    x y z    Sobre o corpo IR d.    1 −3 1 3 1 1 0 0 −1   .    x y z   = λ.    x y z    Sobre o corpo C

Observando que o sistema homogêneo AX = λX corresponde a (A − λI)X = 0 (onde I é a n × n matriz identidade) e baseado na resolu¸cão dos ´ıtens (1) e (2) acima, descreva a condi¸cão sobre λ para que AX = λX possua pelo menos uma solu¸cão não trivial.

Obs.: No futuro, ao estudarmos as transforma¸c˜oes lineares, ser´a fundamental obtermos uma

matriz n˜ao nula X =       x1 x2 .. . xn      

tal que, dada uma n × n matriz A, AX seja um m´ultiplo

(30)

(31)

Espa¸

cos Vetoriais

Ao estudarmos o “plano” IR2, o “espa¸co tridimensional” IR3, o conjunto Mm×n(IK) das m × n

matrizes sobre um corpo IK, o conjunto P (IK) = {anxn+ ... + a1x + a0, ai∈ IK} dos polinˆomios com

coeficientes num corpo IK ou o conjunto C(IR) das fun¸cões f : IR → IR cont´ınuas, por exemplo, com suas opera¸cões usuais de adi¸cão e de multiplica¸cão por escalar, come¸camos a perceber uma “estrutura comum” a todos estes conjuntos (com estas opera¸cões).

Seria ent˜ao natural estudar esta estrutura da maneira mais geral poss´ıvel, de modo que os resul-tados obtidos possam ser aplicados a todos os conjuntos que possuam esta estrutura.

A estrutura comum à qual nos referimos acima é a estrutura de espa¸co vetorial e a Álgebra Linear estuda (de modo geral) os espa¸cos vetoriais, bem como certos tipos de fun¸cões naturais entre espa¸cos vetoriais, as chamadas transforma¸cões lineares.

2.1 Defini¸

c˜

ao e exemplos

Defini¸cão 2.1. Um ESPAÇ O VETORIAL SOBRE UM CORPO IK é um conjunto V , cujos objetos são denominados VETORES, munido de duas opera¸cões:

• Adi¸c˜ao de vetores: que associa a cada par de vetores u, v em V um vetor u + v ∈ V ;

• Multiplica¸c˜ao por escalar: que associa a cada escalar a ∈ IK e cada vetor u ∈ V um vetor a.u ∈ V ,

as quais possuem as seguintes propriedades:

(32)

EV.1) u + v = v + u ∀u, v ∈ V

EV.2) u + (v + w) = (u + v) + w ∀u, v, w ∈ V

EV.3) Existe um ´unico vetor 0 ∈ V , chamado o VETOR NULO, tal que u + 0 = u ∀u ∈ V EV.4) Para cada vetor u ∈ V , existe um ´unico vetor −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 (nulo) EV.5) 1.u = u ∀u ∈ V

EV.6) (a.b).u = a.(b.u) ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V EV.7) a.(u + v) = a.u + a.v ∀a ∈ IK, ∀u, v ∈ V EV.8) (a + b).u = a.u + b.u ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V

Exemplos:

A) Consideremos o conjunto IR2 = {(x, y) : x, y ∈ IR} com as opera¸cões usuais de adi¸cão e de multiplica¸cão por escalar:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2

a.(x, y) = (ax, ay) ∀a ∈ IR, ∀(x, y) ∈ IR2

Identificamos geometricamente IR2 com o plano cartesiano (estudado na geometria anal´ıtica):

Figura 2.1: Um ponto (vetor) no plano cartesiano

(33)

B) Consideremos o conjunto IR3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ IR} com as opera¸cões usuais de adi¸cão e de multiplica¸cão por escalar:

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2) ∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ IR3

a.(x, y, z) = (ax, ay, az) ∀a ∈ IR, ∀(x, y, z) ∈ IR3

Identificamos geometricamente IR3 com o espa¸co euclidiano “tridimensional”:

Figura 2.2: Um ponto (vetor) no espa¸co tridimensional

IR3, com as opera¸c˜oes usuais acima, ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo IR.

C) Consideremos o conjunto IRn= {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ IR, i = 1, ..., n}, onde est´a fixado n ∈ IN,

com as opera¸c˜oes:

(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1+ y1, x2+ y2, ..., xn+ yn) ∀ (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn

a.(x1, x2, ..., xn) = (ax1, ax2, ..., axn) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn

IRn, com as opera¸c˜oes usuais acima, ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo IR.

n = 1 ⇒ IR (reta) n = 2 ⇒ IR2 (plano) n = 3 ⇒ IR3 (espa¸co tridimensional)

Observa¸c˜ao: Analogamente, considerando Cn= {(x1, x2, ..., xn) : xi∈ C, i = 1, ..., n}

(n ∈ IN fixado) com as opera¸c˜oes usuais, temos que Cn ´e um espa¸co vetorial sobre C.

D) Fixados m, n ∈ IN, o conjunto Mm×n(IK) das m × n matrizes sobre um corpo IK (IR ou C), com

(34)

E) O conjunto P (IK) = {anxn+ ... + a1x + a0 : ai ∈ IK} dos polinˆomios sobre um corpo IK (IR ou

C), com as opera¸cões usuais de adi¸cão e de multiplica¸cão por escalar, é espa¸co vetorial sobre o corpo IK.

F) Seja X um conjunto não vazio. Fixado um corpo IK (IR ou C), consideremos o conjunto F (X; IK) = {f : X → IK} das fun¸cões de X em IK, com as seguintes opera¸cões:

Dadas f, g ∈ F (X; IK), definimos (f + g) : X → IK como (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀ x ∈ X. Dados a ∈ IK e f ∈ F (X; IK), definimos (af ) : X → IK como (af )(x) = a.f (x) ∀ x ∈ X. F (X; IK), com as opera¸c˜oes acima, ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo IK.

G) Consideremos o conjunto IR∞= {(x1, x2, x3, ...) : xi ∈ IR, i = 1, 2, 3, ...}, com as opera¸c˜oes:

(x1, x2, x3, ...) + (y1, y2, y3, ...) = (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3, ...) ∀ (x1, x2, ...), (y1, y2, ...) ∈ IR∞

a.(x1, x2, x3, ...) = (ax1, ax2, ax3, ...) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ...) ∈ IR∞

IR∞, com as opera¸c˜oes acima, ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo IR.

H) Consideremos IR2 com as seguintes opera¸c˜oes:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2

a(x, y) = (ax, y) ∀ a ∈ IK, ∀(x, y) ∈ IR2

Com estas opera¸cões, IR2 não é um espa¸co vetorial sobre IR.

De fato, tomando a = 1, b = −3 ∈ IR e u = (2, 5) ∈ IR2 , temos (a + b).u = (−2).u = (−4, 5) mas a.u + b.u = (2, 5) + (−6, 5) = (−4, 10) e assim o conjunto IR2 , COM AS OPERAÇ ÕES ACIMA, não possui a propriedade (EV.8), não sendo portanto um espa¸co vetorial.

Algumas consequências “imediatas” da defini¸cão de espa¸co vetorial: (a) Se w + u = w + v então u = v ;

Como existe (−w) no espa¸co tal que w + (−w) = 0 , temos: w + u = w + v ⇒ (−w) + (w + u) = (−w) + (w + v) ⇒ (−w + w) + u = (−w + w) + v ⇒ 0 + u = 0 + v ⇒ u = v.

(b) Se 0 é o vetor nulo e a ∈ IK é um escalar qualquer, então a.0 = 0 ;

Temos: (a.0) + 0 = a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 e da´ı segue de (a) acima que 0 = a.0 . (c) Dados 0 ∈ IK e u ∈ V , temos 0.u = 0 ;

(35)

(d) Se a.v = 0 ent˜ao a = 0 (zero) ou v = 0 (vetor nulo) ;

Se a 6= 0 ent˜ao a possui um inverso multiplicativo a−1 e assim temos: 0 = a−1.0 = a−1.(a.v) = (a−1.a).v = 1.v = v e portanto a = 0 ou v = 0.

(e) (−1).u = −u .

(−1).u + u = (−1).u + 1.u = (−1 + 1).u = 0.u = 0 e como o inverso aditivo do vetor u ´e ´unico devemos ter necessariamente (−1).u = −u

Exerc´ıcios:

1) Descreva o vetor nulo de cada um dos espa¸cos vetoriais abaixo (nos quais são consideradas as opera¸cões usuais de adi¸cão de vetores e de multiplica¸cão por escalar) :

(a) IR2 (b) IR3 (c) IRn (d) Cn (e) M2×3(C)

(f) P (IR) (polinˆomios com coeficientes em IR) (g) F (IR) = {f : IR → IR} (fun¸c˜oes de IR em IR)

2) Em cada item abaixo definimos em IR2 opera¸cões de adi¸cão de vetores e de multiplica¸cão por escalar com as quais IR2 não é espa¸co vetorial. Mostre (através de contra-exemplos), em cada caso, quais propriedades de espa¸cos vetoriais não são atendidas pelas opera¸cões dadas:

(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, 2y1+ 2y2)

a.(x, y) = (ax, ay)

(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

a.(x, y) = (ay, ax)

3) Seja V = {(1, x, 2) ; x ∈ IR} munido das opera¸c˜oes: (1, x1, 2) + (1, x2, 2) = (1, x1+ x2, 2) ∀ (1, x1, 2), (1, x2, 2) ∈ V

a.(1, x, 2) = (1, ax, 2) ∀ a ∈ IR, ∀ (1, x, 2) ∈ V

Mostre que V ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo IR e obtenha o vetor nulo de V .

2.2 Subespa¸

cos Vetoriais

Defini¸cão 2.2. Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo IK. Um subconjunto W ⊂ V é dito um SUBESPAÇ O VETORIAL DE V quando W também é um espa¸co vetorial se considerarmos W munido das mesmas opera¸cões de adi¸cão de vetores e de multiplica¸cão por escalar definidas em V .

(36)

Teorema 2.3. Sejam V um espa¸co vetorial sobre um corpo IK e W ⊂ V . W ´e um subespa¸co vetorial de V se, e somente se:

(i) O vetor nulo de V pertence a W (0 ∈ W ) (ii) Dados u, v ∈ W , ent˜ao u + v ∈ W

(iii) Dados u ∈ W e a ∈ IK, ent˜ao a.u ∈ W .

Exemplos:

A) Seja W = {(x, −2x) : x ∈ IR} ⊂ IR2 (opera¸c˜oes usuais). W ´e um subespa¸co vetorial do IR2. ´

E claro que o vetor nulo do IR2 , (0, 0) , per-tence a W . (1)

Dados u = (x, −2x) e v = (y, −2y) em W , temos u + v = (x + y, −2x − 2y) ∈ W . (2)

Dados u = (x, −2x) e a ∈ IR , temos a.u = (ax, −2ax) ∈ W . (3)

Por (1), (2) e (3) segue (do Teorema acima) que W ´e subespa¸co vetorial do IR2 .

Figura 2.3: Subespa¸co W ⊂ IR2

B) Seja S = {(x, x2) : x ∈ IR} ⊂ IR2. S n˜ao ´e subespa¸co do IR2.

Se tomarmos a = 3 ∈ IR e u = (−2, 4) ∈ S , temos a.u = (−6, 12) 6∈ S .

Assim o subconjunto S não atende ao item (iii) do Teorema acima e portanto S não é sub-espa¸co vetorial do IR2 .

Figura 2.4: O subconjunto S ⊂ IR2 n˜ao ´e sub-espa¸co vetorial do IR2

(37)

C) Seja W = {(x1, 0, x3, x4) : x1, x3, x4 ∈ IR} ⊂ IR4. W ´e um subespa¸co do IR4.

´

E imediato que o vetor nulo do IR4, (0, 0, 0, 0), pertence a W . (1)

Dados u = (x1, 0, x3, x4), v = (y1, 0, y3, y4) ∈ W , temos u + v = (x1+ y1, 0, x3+ y3, x4+ y4) ∈ W .(2)

Dados a ∈ IR e u = (x1, 0, x3, x4) ∈ W , temos a.u = (ax1, 0, ax3, ax4) ∈ W . (3)

Por (1), (2) e (3) segue que W ´e subespa¸co vetorial do IR4.

D) Sejam W =            X =       x1 x2 .. . xn       tais que AX = O           

⊂ M_n×1(IR) , A ∈ Mm×n(IR) fixada.

W é o conjunto solu¸cão do sistema linear homogêneo AX = O. W é subespa¸co de Mn×1(IR).

De fato, ´e claro que o vetor nulo de Mn×1(IR), a n × 1 matriz nula, pertence a W , pois todo sistema

linear homogˆeneo admite trivialmente a matriz nula como solu¸c˜ao. (1)

Se X1 , X2 ∈ W , temos A(X1+ X2) = AX1+ AX2= O + O = O e assim X1+ X2 ∈ W . (2)

Dados a ∈ IR e X ∈ W , temos A(aX) = a(AX) = aO = O e assim aX ∈ W . (3) Por (1), (2) e (3) segue que W ´e subespa¸co vetorial de Mn×1(IR).

E) Se A ´e uma 3 × 3 matriz sobre IR e Y 6=    0 0 0  

 ent˜ao o conjunto solu¸c˜ao do sistema n˜

ao-homogêneo AX = Y dado por W =      X =    x y z    tais que AX = Y      ⊂ M_3×1(IR) não é um sub-espa¸co de M3×1(IR). ´

E imediato que a 3 × 1 matriz nula (vetor nulo de M3×1(IR)) n˜ao pertence a W , pois um sistema

linear não-homogêneo não admite a matriz nula como solu¸cão. Portanto o conjunto solu¸cão de um sistema linear não homogêneo não é um subespa¸co vetorial (resultado geral).

F) Uma n × n matriz A é dita simétrica quando At= A (A é igual a sua transposta).

Seja W = {A2×2: At= A} ⊂ M2×2(IR), ou seja, W =

(" a b b c # : a, b, c ∈ IR ) .

Então W (conjunto das 2 × 2 matrizes simétricas sobre IR) é um subespa¸co de M2×2(IR).

Não é dif´ıcil verificar que a 2 × 2 matriz nula é simétrica, a soma de matrizes simétricas é uma matriz simétrica e a multiplica¸cão de uma matriz simétrica por um escalar qualquer resulta em uma matriz simétrica. Portanto, o conjunto W das 2×2 matrizes simétricas é um subespa¸co vetorial de M2×2(IR) .

(38)

G) Seja P3(IK) = {a0+ a1x + a2x2+ a3x3 : ai∈ IK} ⊂ P (IK) o conjunto dos polinˆomios de grau ≤ 3

sobre um corpo IK (IR ou C). P3(IK) ´e um subespa¸co vetorial de P (IK).

O polinˆomio nulo o(x) = 0 (vetor nulo de P (IK) ) pertence a P3(IK) . A soma de dois polinˆomios

de grau menor ou igual a três é ainda um polinômio de grau menor ou igual a três. A multiplica¸cão de um polinômio de grau menor ou igual a três por um escalar qualquer é ainda um polinômio de grau menor ou igual a três. Assim, P3(IK) é subespa¸co vetorial de P (IK) .

H) Seja A = {f : IR → IR tais que f (−x) = f (x) ∀x ∈ IR} ⊂ F (IR) o subconjunto das fun¸cões pares. A é um subespa¸co de F (IR). Analogamente, o subconjunto das fun¸cões ´ımpares em F (IR), dado por B = {f : IR → IR tais que f (−x) = −f (x) ∀x ∈ IR}, também é um subespa¸co vetorial de F (IR). De fato: (1) A fun¸cão nula o : IR → IR dada por o(x) = 0 para todo x ∈ IR é uma fun¸cão par. (2) Se f e g são fun¸cões pares, temos: (f + g)(−x) = f (−x) + g(−x) = f (x) + g(x) = (f + g)(x) e assim f + g é também uma fun¸cão par. (3) Se f é uma fun¸cão par e a um escalar qualquer, temos (af )(−x) = a.f (−x) = a.f (x) = (af )(x) e assim (af ) é também uma fun¸cão par.

Por (1), (2) e (3) segue que o conjunto das fun¸cões pares A é um subespa¸co vetorial do espa¸co de todas as fun¸cões de IR em IR. O resultado para B (fun¸cões ´ımpares) é análogo.

I) Consideremos o espa¸co IR∞ de todas as sequˆencias de n´umeros reais. Denotaremos por coo o

subconjunto de IR∞ formado pelas sequências que têm um número FINITO de termos não nulos, ou seja, as sequências que são nulas a partir de um determinado termo.

Por exemplo: (1, −3, π, 0,√2, 0, 0, 0, . . .) ∈ coo e (1, 1, 1, . . . , 1, . . .) 6∈ coo.

coo ´e um subespa¸co vetorial de IR∞.

´

E claro que a sequˆencia nula (0, 0, 0, . . . , 0, . . .) (vetor nulo de IR∞) pertence a coo, a soma de duas

sequências em cooé uma sequência em coo e a multiplica¸cão de uma sequência em coo por um escalar

qualquer ´e ainda uma sequˆencia em coo.

Portanto coo ´e subespa¸co vetorial de IR∞.

Observa¸c˜oes:

1. Fixado u ∈ V , o conjunto W = {a.u : a ∈ IK} ⊂ V é um subespa¸co vetorial de V . (exerc´ıcio) 2. O subconjunto W = {0} ⊂ V , formado apenas pelo vetor nulo 0 ∈ V , é um subespa¸co de V , denominado SUBESPAÇ O NULO. (imediato)

3. Todo espa¸co V ´e subespa¸co de si mesmo. (imediato)

(39)

Exerc´ıcios:

1) Considere C2 = {(x, y) ; x, y ∈ C} que, com as opera¸cões usuais de adi¸cão de vetores e de multiplica¸cão por escalar, é espa¸co vetorial sobre o corpo C.

Temos que IR2 = {(x, y) ; x, y ∈ IR} ⊂ C2 _{. IR}2 _´_{e subespa¸}_{co vetorial de C}2 _{? Justifique.}

2) Considere os espa¸cos V dados abaixo munidos das opera¸cões usuais de adi¸cão de vetores e de multiplica¸cão por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespa¸co vetorial de V e prove que sua resposta está correta:

(a) V = IR2, W =(x, x3_{) ; x ∈ IR}

(ilustre geometricamente) (b) V = IR2, W = {(3y, y) ; y ∈ IR} (ilustre geometricamente)

(c) V = IR2, W = {(x, 3x) ; x ∈ IR ; x ≥ 0} (ilustre geometricamente) (d) V = IR2, W = {(x, 2x − 1) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente) (e) V = IR3, W = IR2

(f) V = IR3, W =(x, y, z) ∈ IR3_{; y = 3z − x} (g) V = IR3, W = {(3a − b, 2a + b, a − 2b) ; a, b ∈ IR}

(h) V = IR3, W ´e o conjunto dos vetores do IR3 com pelo menos uma coordenada ≥ 0 (i) V = IR4 , W =(x, y, z, w) ∈ IR4 ; 2x + y − w = 0 e z = 0

(j) V = C4 , W ´e o conjunto dos vetores do C4 que tˆem pelo menos duas coordenadas iguais (k) V = IR4 , W = {(x, y, x, z) ; x, y, z ∈ IR}

(l) V = IR5 , W ´e o conjunto dos vetores do IR5 com duas ou mais coordenadas nulas (m) V = C3, W =_{(x, y, z) ∈ C}3 ; x.y = 0 (n) V = IRn, W = {(x, 2x, 3x, . . . , nx) ; x ∈ IR} (o) V = M2×2(C) , W = ( " a 0 0 b # ; a, b ∈ C )

(p) V = M3×3(IR) , W ´e o conjunto das matrizes triangulares superiores

(40)

por elementos iguais.

(r) V = M2×2(C) , W =A ∈ V ; At= −A

(matrizes anti-sim´etricas) (s) V = M4×4(IR) , W = {A ∈ V ; det A = 0} (t) V = M2×2(IR) , W = ( " 0 1 0 a # ; a ∈ IR )

(u) V = P (IR) , W é o conjunto dos polinômios de grau par, acrescido do polinômio nulo (v) V = F (IR) , W = {f : IR → IR ; f (−7) = 0}

(w) V = F (IR) , W = {f : IR → IR ; f (1) = 1}

(x) V = F (IR) , W = {f : IR → IR ; f (x + 2π) = f (x) ∀ x ∈ IR} (conjunto das fun¸c˜oes peri´odicas de per´ıodo 2π)

(y) V = IR∞ , W = `∞ = conjunto das sequências LIMITADAS de números reais, ou seja, (x1, x2, x3, . . .) está em `∞ quando existir algum número real M tal que |xi| ≤ M para todos os

termos xi da sequˆencia.

Por exemplo: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, . . . ∈ `∞ e (1, −2, 1, −4, 1, −6, 1, −8, 1, −10, 1, . . .) 6∈ `∞.

(z) V = IR∞, W é o conjunto das sequências de números reais que têm uma quantidade INFINITA de termos iguais a zero.

Nosso objetivo agora será construir subespa¸cos a partir de outros subespa¸cos dados. Como sub-espa¸cos são ainda subconjuntos dos espa¸cos vetoriais nos quais estão inseridos, é natural tentarmos usar as opera¸cões de interse¸cão, união entre conjuntos para tentar produzir outros subespa¸cos:

Teorema 2.4 (Interse¸c˜ao de subespa¸cos). Se W1 e W2 s˜ao subespa¸cos de um espa¸co vetorial V ,

então sua interse¸cão W1∩ W2 é também um subespa¸co de V .

Observa¸c˜ao: O resultado acima pode ser generalizado para interse¸c˜ao de uma fam´ılia qualquer (finita ou infinita) de subespa¸cos vetoriais de V .

(41)

Exemplos:

A) Consideremos os conjuntos W1 = {(x, y, z) ∈ IR3 ; 3x − y + 2z = 0} ⊂ IR3 e

W2 = {(x, y, z) ∈ IR3; x + 2y + z = 0} ⊂ IR3, subespa¸cos de IR3 (veja exemplo D).

´

E fácil ver que a interse¸cão W1∩ W2 é dada por

W1∩ W2= (x, y, z) ∈ IR3 ; 3x − y + 2z = 0 e x + 2y + z = 0

(a interse¸cão é solu¸cão de um sistema linear homogêneo com as duas equa¸cões acima).

Resolvendo o sistema, chegamos a W1 ∩ W2 = { (5y, y, −7y) ; y ∈ IR} = { y.(5, 1, −7) ; y ∈ IR} .

Note que W1∩ W2 ´e de fato um subespa¸co do IR3 (uma reta passando pela origem) e que este

resul-tado era esperado, uma vez que W1 e W2 s˜ao dois planos n˜ao-paralelos no IR3.

B) Sejam W1= (" a b c 0 # ; a, b, c ∈ C ) , W2= (" a 0 0 b # ; a, b ∈ C ) ⊂ M_2×2_(C).

W1 e W2 s˜ao subespa¸cos de M2×2(C) (verifique!). Obtenha W1∩ W2.

Pela simples descri¸c˜ao dos subespa¸cos W1 e W2 chegamos diretamente a

W1∩ W2= (" a 0 0 0 # ; a ∈ C )

Observa¸cão: Com a interse¸cão de subespa¸cos, obtemos naturalmente novos subespa¸cos MENORES que os dados. Se pretendemos, indo em outra dire¸cão, obter subespa¸cos MAIORES que certos sube-spa¸cos dados, somos naturalmente levados a tentar fazer a união de subespa¸cos. Porém, é fácil obter contra-exemplos (tente) para mostrar que EM GERAL A UNI ÃO DE SUBESPAÇ OS N ÃO É UM SUBESPAÇ O. Por este motivo, se desejamos obter subespa¸cos maiores que certos subespa¸cos dados, devemos usar o conceito de SOMA DE SUBESPAÇ OS:

Defini¸c˜ao 2.5. Dados k subconjuntos S1, S2, ..., Sk⊂ V (espa¸co vetorial), definimos sua SOMA como

S1+ S2+ ... + Sk= {v = u1+ u2+ ... + uk: ui ∈ Si} ⊂ V .

Teorema 2.6 (Soma de subespa¸cos). Se W1 e W2 s˜ao subespa¸cos de um espa¸co vetorial V , ent˜ao

sua soma W1+ W2 ´e tamb´em um subespa¸co de V .

Observa¸cão: O resultado acima é imediato também para a soma W1+ ... + Wk de uma cole¸cão

(42)

Defini¸c˜ao 2.7. Sejam W1 e W2 dois subespa¸cos de um espa¸co V . Quando W1 ∩ W2 = {0} ent˜ao

W1+ W2 ´e chamada SOMA DIRETA DE W1 E W2 e denotada por W1⊕ W2.

Exemplos: A) Sejam W1 = (" a b c 0 # ; a, b, c ∈ C ) , W2= (" a 0 0 b # ; a, b ∈ C ) ⊂ M2×2(C). J´a temos W1+ W2 ⊂ M2×2(C) . (1)

Dada qualquer matriz A = " a b c d # ∈ M_2×2_{(C), temos A = A}₁+ A2, com A1 = " 0 b c 0 # ∈ W₁ e A2= " a 0 0 d # ∈ W₂

ou seja, A ∈ W1+ W2 . Da´ı resulta M2×2(C) ⊂ W1+ W2 . (2)

Por (1) e (2) podemos concluir que W1+ W2 = M2×2(C) e essa soma não é direta, pois (já vimos

que) W1∩ W26= {0} .

B) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} e W2= {(0, 0, z) : z ∈ IR} subespa¸cos do IR3.

J´a temos W1+ W2 ⊂ IR3 . (1)

Dado qualquer vetor u = (x, y, z) ∈ IR3, temos u = u1+ u2, com

u1 = (x, y, 0) ∈ W1 e u2 = (0, 0, z) ∈ W2

ou seja, u ∈ W1+ W2. Da´ı resulta IR3 ⊂ W1+ W2 . (2)

Por (1) e (2) podemos concluir que W1+ W2= IR3 e essa soma ´e direta, pois W1∩ W2 = {(0, 0, 0)} .

Escrevemos ent˜ao IR3= W1⊕ W2 . Exerc´ıcios: 1) Sejam W1=(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0 e W2 =(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x − y − z + t = 0 (subespa¸cos de IR4). Determine W1∩ W2. 2) Sejam W1=(x, y, z, t) ∈ IR4 ; 2x + y − t = 0 e z = 0 e W2 =(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x + y = 0 e z − t = 0 (subespa¸cos de IR4). Determine W1∩ W2.

3) Sejam W1 = {(x, y, 0) ; x, y ∈ IR} , W2= {(z, z, z) ; z ∈ IR} ⊂ IR3.

Mostre que W1 e W2 s˜ao subespa¸cos de IR3 e que IR3= W1⊕ W2.

4) Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2) , sejam W1 e W2 respectivamente as retas que passam pela

(43)

5) Sejam W1= (" a a 0 0 # ; a ∈ IR ) , W2= (" b 0 0 b # ; b ∈ IR ) ⊂ M2×2(IR).

Obtenha W1+ W2 e responda se esta soma ´e direta.

2.3 Combina¸

c˜

oes lineares: gera¸

c˜

ao de subespa¸

cos

Defini¸cão 2.8. Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo IK. Uma COMBINAÇ ÃO LINEAR dos vetores v1,v2, ..., vn∈ V é um vetor

v = a1v1+ a2v2+ ... + anvn

onde a1, a2, ..., an s˜ao escalares do corpo IK.

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Consideremos os vetores v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).

O vetor u = (−3, −1, 5) ´e uma combina¸c˜ao linear de v1 e v2, pois u = (−3).v1+ 5.v2.

De fato: (−3).(1, 2, 0) + 5.(0, 1, 1) = (−3, −6, 0) + (0, 5, 5) = (−3, −1, 5) = u .

Já o vetor w = (2, 3, −3) não é combina¸cão linear de v1 e v2, pois não existem a, b ∈ IR tais

que w = a.v1+ b.v2 .

De fato, para que um vetor v = (x, y, z) ∈ IR3 seja combina¸c˜ao linear de v1 e v2, devemos ter

a, b ∈ IR tais que (x, y, z) = a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) = (a, 2a + b, b) , ou seja, devemos ter      a = x 2a + b = y b = z

Resolvendo o sistema acima (inc´ognitas a e b), obtemos a = x, b = z, com y = 2x + z . Isto significa que, para que v = (x, y, z) seja combina¸c˜ao linear de v1 e v2, devemos ter y = 2x + z e o vetor

w = (2, 3, −3) n˜ao satizfaz essa condi¸c˜ao (note que o vetor u = (−3, −1, 5) satisfaz).

B) Seja V = P (IR) (espa¸co dos polinˆomios em IR). Consideremos combina¸c˜oes lineares dos vetores v1 = 1, v2 = x2, v3 = x3.

O polinˆomio p(x) = 4x3− x2_{+ 2 ´}_{e uma combina¸}_c˜_{ao linear dos polinˆ}_{omios v}

1, v2 e v3, pois

p = 2.v1 + (−1).v2+ 4.v3 . É também fácil ver que o polinômio q(x) = x3− 4x2+ 2x − 7 não é

(44)

C) Seja M2×2(C). Sejam A = " 1 0 0 0 # e B = " 0 0 0 1 # . A matriz M = " 3i 0 0 −2 # ´

e claramente uma combina¸c˜ao linear das matrizes A e B acima, pois

M = 3i.A + (−2).B . É também fácil ver que a matriz N = " −3 i 0 1 # não é combina¸cão linear de A e B.

Note que as combina¸c˜oes lineares de A e B s˜ao exatamente as matrizes da forma "

a 0 0 b

#

, ou seja, as 2 × 2 matrizes diagonais de n´umeros complexos.

O conjunto de todas as combina¸cões lineares dos vetores de um subconjunto S ⊂ V é um sub-espa¸co de V , denominado SUBESPAÇ O GERADO PELO CONJUNTO S e denotado por [S] .

Observa¸c˜oes:

1. Se, em particular, S = {v1, v2, ..., vn} ´e finito , escrevemos W = [v1, v2, ..., vn] para denotar o

subespa¸co gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn.

2. Se W1 = [S1] e W2 = [S2] ent˜ao W1+ W2 = [S1∪ S2] (exerc´ıcio: tente provar).

3. Se duas matrizes m × n em um corpo IK (IR ou C) são linha-equivalentes, então os espa¸cos de IKn gerados pelos vetores linha de cada matriz são exatamente os mesmos. Isto decorre do fato de que se duas matrizes são linha-equivalentes, então cada cada linha de cada uma delas é combina¸cão linear das linhas da outra.

Por exemplo: Consideremos a matriz A =    1 −2 0 −1 1 1 −2 −1 5  

 . Ela ´e linha-equivalente `a matriz

(escalonada-reduzida) B =    1 0 −2 0 1 −1 0 0 0  

 (verifique, escalonando a matriz A at´e obter B).

Segue da observa¸cão acima que o subespa¸co do IR3 gerado pelos vetores (1, −2, 0), (−1, 1, 1) e (−2, −1, 5) é o mesmo subespa¸co gerado por (1, 0, −2) e (0, 1, −1) (note que o vetor nulo (0, 0, 0) não tem efeito algum na gera¸cão do subespa¸co).

Note também que, como a matriz B é escalonada reduzida (e bem mais simples que A), fica mais fácil descrever as combina¸cões lineares das linhas de B do que as combina¸cões lineares das linhas de A, apesar de serem os mesmos conjuntos (subespa¸co gerado). Retomaremos essa idéia nos exemplos a seguir.

(45)

Exemplos:

A) Seja V = IR3. Sejam v1 = (1, 2, 0) e v2= (0, 1, 1). W = [v1, v2] = ?

J´a vimos anteriormente que

W = [v1, v2] = (x, y, z) ∈ IR3; y = 2x + z = { (x, 2x + z, z) ; x, z ∈ IR}

Observemos que W (subespa¸co do IR3 gerado por v1 e v2 = conjunto de todas as combina¸c˜oes

lineares de v1 e v2) ´e um plano que passa pela origem:

Figura 2.5: W = Subespa¸co gerado por v1 e v2

B) Seja S = {1, x, x2, x3} (conjunto de polinômios). O subespa¸co W = [1, x, x2, x3] ⊂ P (IR) gerado por S é o conjunto de todas as combina¸cões lineares de 1, x, x2_{, x}3_{, ou seja...}

[S] = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d ; a, b, c, d ∈ IR = P} 3(IR) C) Dadas A = " 1 0 0 0 # , B = " 0 0 0 1 # ∈ M_2×2_{(C), encontre W = [A, B].} J´a vimos que W = [A, B] = ( " a 0 0 b # ; a, b ∈ C )

D) Dado qualquer (x, y, z) ∈ IR3, temos: (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) e com isso IR3 ⊂ [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] . Como j´a temos (trivialmente) [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] ⊂ IR3 podemos concluir que

(46)

E) Seja V = M2×2(IR). Obtenha geradores para o seguinte subespa¸co de V : W = ( " a b b 0 # ; a, b ∈ IR ) ⊂ M_2×2(IR) Temos: W = ( " a b b 0 # ; a, b ∈ IR ) = ( " a 0 0 0 # + " 0 b b 0 # ; a, b ∈ IR ) = = ( a. " 1 0 0 0 # + b. " 0 1 1 0 # ; a, b ∈ IR ) = " " 1 0 0 0 # , " 0 1 1 0 # #

F) Obtenha geradores para o subespa¸co do IR3 dado por:

W = (x, y, z) ∈ IR3; 2x − y + 3z = 0 Temos:

W = (x, y, z) ∈ IR3; 2x − y + 3z = 0 = { (x, 2x + 3z, z) ; x, z ∈ IR } = = { x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1) ; x, z ∈ IR } = [(1, 2, 0), (0, 3, 1)]

G) Consideremos os vetores u1 = (1, 2, 0, −1), u2 = (1, 1, −1, 3), u3 = (1, 4, 2, −3) no IR4. ´E

poss´ıvel obter um conjunto menor de geradores para o mesmo subespa¸co [u1, u2, u3] ⊂ IR4 ?

A resposta será SIM se algum dos vetores acima for combina¸cão linear dos demais (pois neste caso não precisaremos dele para gerar o mesmo subespa¸co). Pensando nisso, vamos montar a matriz A cujas linhas são os vetores dados e escaloná-la. A situa¸cão em que algum dos vetores (linhas) é combina¸cão dos demais ocorre quando a única matriz escalonada reduzida que é linha-equivalente a A possui uma ou mais linhas nulas.

A =    1 2 0 −1 1 1 −1 3 1 4 2 −3    ↔ . . . ↔    1 0 −2 0 0 1 1 0 0 0 0 1   

Como a única matriz escalonada reduzida que é linha-equivalente a A não possui nenhuma linha nula, segue que nenhum dos vetores originais é combina¸cão linear dos demais e portanto neste caso não é poss´ıvel obter um conjunto menor de geradores para o subespa¸co W = [u1, u2, u3] .

(47)

Exerc´ıcios: 1) Responda V ou F, justificando: (a) " 4 −4 −6 16 # ´ e combina¸c˜ao linear de " 1 2 3 4 # , " −1 2 3 −4 # , " 1 −2 −3 4 # (b) (1, −1, 2) ∈ [(1, 2, 3), (3, 2, 1)] (c) [(−5, 3, 2), (3, −1, 3)] = IR3

2) Descreva o subespa¸co W ⊂ M3×2(IR) gerado por

   0 0 1 1 0 0    ,    0 1 0 −1 1 0    ,    0 1 0 0 0 0   . O vetor    0 2 3 4 5 0    pertence a W ?

3) Sejam U o subespa¸co de IR3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespa¸co de IR3 gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1) . Mostre que IR3 = U ⊕ W .

4) Sejam V = M3×3(C) , W1 o subespa¸co de V formado pelas matrizes triangulares inferiores e

W2 o subespa¸co de V formado pelas matrizes triangulares superiores. Descreva W1∩ W2. Mostre

que V = W1+ W2. A soma V = W1+ W2 ´e direta ? Justifique. Obtenha conjuntos de vetores que

geram W1, W2 e W1∩ W2.

5) Considere V = IR3. Exprima o vetor z = (1, −3, 10) como combina¸c˜ao linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0), e w = (2, −3, 5). Responda: z ∈ [u, v] ? Justifique.

6) Dados os vetores u1 = (0, 1, −2), u2 = (−1, 0, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, −1, 0) em IR3, descreva

os subespa¸cos W1 = [u1, v1] , W2 = [u2, v2] , W1∩ W2 e obtenha geradores de W1∩ W2.

7) Seja W o subespa¸co de M2×2(C) definido por

W = ( " 2a a + 2b 0 a − b # ; a, b ∈ C ) " 0 −2i 0 i # ∈ W ? " 0 2 3i 1 # ∈ W ? " 4i 4 0 −2 + 3i # ∈ W ?

8) Mostre que os polinˆomios 1 − x3_{, (1 − x)}2_{, 1 − x e 1 geram o espa¸}_{co P}

3(IR) dos polinˆomios

(48)

9) Dados os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0, −1) no IR3, obtenha um conjunto

mais simples (se poss´ıvel menor) de vetores que gere o mesmo subespa¸co que v1, v2 e v3. A partir da´ı,

descreva esse subespa¸co e responda se o vetor v = (2, 2, 1) est´a nesse subespa¸co.

10) Para cada subespa¸co obtido no segundo exerc´ıcio da primeira lista da Se¸c˜ao 2.2, da letra (a) at´e a letra (u), obtenha um conjunto de vetores que gera o subespa¸co.

2.4 Dependˆ

encia e independˆ

encia linear

Defini¸cão 2.9. Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo IK. Um conjunto não-vazio S ⊂ V é dito LINEARMENTE INDEPENDENTE (L.I.) quando nenhum vetor de S é combina¸cão linear dos demais elementos de S, ou então quando S é composto apenas de um vetor não-nulo. Do contrário, ou seja, se S = {0} ou algum vetor de S é combina¸cão linear de outros vetores de S, então S é dito LINEARMENTE DEPENDENTE (L.D.)

O resultado abaixo facilita a identifica¸cão da dependência ou independência linear.

Teorema 2.10. Um subconjunto S ⊂ V ´e linearmente independente (L.I.) se, e somente se, sempre que c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 com v1, v2, ..., vn ∈ S e c1, c2, ..., cn ∈ IK, ent˜ao obrigatoriamente

c1 = c2 = ... = cn = 0, ou seja, “a ´unica combina¸c˜ao linear de vetores de S capaz de produzir o

vetor nulo, 0, ´e aquela em que todos os escalares s˜ao iguais a 0 (zero)” .

Exemplos:

A) V = IR3, v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).

Se a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) = (0, 0, 0), temos (a, 2a + b, b) = (0, 0, 0) . Resolvendo o sistema linear homogˆeneo, obtemos a = b = 0 obrigatoriamente e portanto os vetores (1, 2, 0) e (0, 1, 1) s˜ao L.I.

B) V = IR3, S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2, −3, 1) }.

Se a.(1, 2, 0) + b.(0, 1, 1) + c.(−2, −3, 1) = (0, 0, 0), temos (a − 2c, 2a + b − 3c, b + c) = (0, 0, 0), o que nos leva ao seguinte sistema linear homogˆeneo

     a − 2c = 0 2a + b − 3c = 0 b + c = 0

o qual admite solu¸c˜oes n˜ao-triviais ( { (2c, −c, c) ; c ∈ IR} ). Portanto o conjunto S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2, −3, 1)} ´

(49)

C) S = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } ⊂ IR3 ´e L.I.

D) “As linhas n˜ao-nulas de uma m×n matriz linha reduzida `a forma escada (escalonada-reduzida) sobre IK correspondem a um conjunto LI de vetores do IKn”.

Exemplo: Seja S = { (1, 0, −1 + 2i, 0), (0, 1, 3 − i, 0), (0, 0, 0, 1)} ⊂ C4 . Como a 3 × 4 matriz

A =    1 0 −1 + 2i 0 0 1 3 − i 0 0 0 0 1   

é escalonada-reduzida, segue da observa¸cão acima que o conjunto S é L.I. (fa¸ca também as contas nesse exemplo e tente enxergar porquê a observa¸cão funciona).

Observa¸cões: (Consequências imediatas da defini¸cão) 1. Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD.

2. Se S é LD e S ⊂ Q então Q é LD. 3. Se S é LI e R ⊂ S então R é LI.

Exerc´ıcios:

1) Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo IK. Dados dois vetores u, v ∈ V , mostre que eles são linearmente dependentes (LD) se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro.

2) Determinar trˆes vetores em IR3 que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer deles sejam linearmente independentes.

3) Considere os espa¸cos V dados abaixo munidos das opera¸cões usuais de adi¸cão de vetores e de multiplica¸cão por escalar. Para cada caso abaixo, responda se S ⊂ V é um conjunto de vetores LI (linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes) em V .

(a) V = C3 , S = {(1, 1, 1), (i, 2i, i), (2, 1, 2)} . (b) V = IR3, S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} . (c) V = IR3, S = {(1, 2, 3), (2, 1, −2), (3, 1, 1), (4, −1, −2)} . (d) V = IR2, S = {(1, 1), (−1, 1)} . (e) V = M2×2(C) , S = ( " 1 1 0 0 # , " 1 0 0 1 # , " 1 1 1 1 # ) .

(50)

(f) V = P (IR) , S = x3− 5x2_{+ 1, 2x}4_{+ 5x − 6, x}2_{− 5x + 2}_.

(g) V = P2(C) , S =1, x + i, (x + i)2 .

2.5 Base e dimens˜

ao de um espa¸

co vetorial

Defini¸c˜ao 2.11. Um conjunto β ⊂ V (espa¸co vetorial sobre um corpo IK) ´e dito ser uma BASE de V quando:

(i) β gera V (qualquer vetor de V ´e combina¸c˜ao linear de vetores de β);

(ii) β ´e linearmente independente (LI).

Exemplos:

A) V = IR3 e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} .

Já vimos que [α] = IR3 (α gera o IR3) e α é L.I. Portanto α é uma base do IR3 (a chamada BASE CAN ÔNICA DO IR3).

B) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .

β é L.I. (pois possui dois vetores e nenhum deles é múltiplo escalar do outro). Para ver qual o espa¸co gerado por β, vamos escalonar a matriz que tem os vetores de β como linhas:

" 1 1 −1 2 # ↔ " 1 1 0 3 # ↔ " 1 1 0 1 # ↔ " 1 0 0 1 #

Da´ı o espa¸co gerado por β é o mesmo espa¸co gerado por {(1, 0), (0, 1)} (base canônica do IR2), ou seja, β gera o IR2 todo. Portanto β é uma base do IR2.

C) Sejam W = [(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2, −3, 1)] e γ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2, −3, 1)} .

Já vimos que o espa¸co gerado por (1, 2, 0) e (0, 1, 1) é dado por { (x, 2x + z, z) ; x, z ∈ IR}. Sendo assim, é fácil ver que (−2, −3, 1) está neste espa¸co, ou seja, é combina¸cão linear dos demais vetores. Portanto o conjunto γ é L.D., não sendo portanto base de W (apesar de gerar W ).