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3 Sistemas de Equa¸c ˜oes Lineares

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MATB45 - Lista 1 de Exerc´ıcios

Samuel Feitosa

1

Geometria Anal´ıtica Plana

Exerc´ıcio 1. Resolva emRa equac¸˜ao

p

x2+9+px26x+10=5.

2

N ´umeros Complexos

Exerc´ıcio 2. Sejamm,n,pinteiros positivos dados. Suponha que podemos cobrir um tabuleirom×nusando pec¸as 1×p, sem sobras ou superposic¸ ˜oes de pec¸as. Prove que pdividem ou pdividen.

Exerc´ıcio 3.

a) Mostre que

z4+z3+z2+z+1=z2+z 2+1

2

−5z

2

4

b) Deduza a partir do item anterior que cos(2π/5) =

5−1 4 Exerc´ıcio 4.

a) Sejam Ae B dois v´ertices consecutivos de um dec´agono regular de centroO. A bissetriz do ˆangulo∠ABOintersecta AOemC. SeCO=le AO=R, mostre que os triˆangulos ABCe ABOs˜ao semelhantes para concluir que

l R =

Rl l .

b) Conclua do item anterior quel= (

5−1)R 2 c) Determine o valor de cos 18◦

Exerc´ıcio 5. Encontre todas as soluc¸ ˜oes de(z1)n =zn. Exerc´ıcio 6.

a) Sejaw= −1+i

3

2 . Prove que

1+wk+w2k=       

3 se 3|k

0 caso contr´ario

b) Usando o Bin ˆomio de Newton, mostre que

k≡0 (mod 3)

n k

= 1

3·(2

n+2 cos(2π 3 )).

Exerc´ıcio 7. (ITA) Para cadan, temos que

1−

4n

2

+

4n 4

−. . .−

4n 4n2

+1

´e igual a:

a)(−1)n·22n b) 22n c)(1)n·2n d)(1)n+1·22n e)(−1)n+1·2n.

Exerc´ıcio 8. Sejam α = cos(2π/7) +isin(2π/7), p = α+ α2+α4eq=α3+α5+α6.

a) Mostre quep+q=−1 epq=2

b) Conclua do item anterior que

sin(2π/7) +sin(4π/7) +sin(8π/7) =

7 2 .

3

Sistemas de Equa¸c ˜oes Lineares

Exerc´ıcio 9. Resolva o sistema de equac¸ ˜oes

                                

2x1+x2+x3+x4+x5=6

x1+2x2+x3+x4+x5=12

x1+x2+2x3+x4+x5=24

x1+x2+x3+2x4+x5=48

(2)

Exerc´ıcio 10. Resolva o sistema de equac¸ ˜oes abaixo.                                                         

x1+x2+x3=6

x2+x3+x4=9

x3+x4+x5=3

x4+x5+x6=−3

x5+x6+x7=−9

x6+x7+x8=−6

x7+x8+x1=−2

x8+x1+x2=2.

4

Matrizes e Determinantes

Exerc´ıcio 11. Dˆe um exemplo de um par(A,B)de matrizes quadradas de ordem 2 comAB6=BA.

Exerc´ıcio 12.

1. Encontre uma matriz real (A)2×2, n˜ao nula, tal que

A2 = 0. ´E poss´ıvel escolher A com todas as entradas n˜ao negativas e pelo menos uma positiva?

2. Dadoninteiro positivo, dˆe um exemplo de uma matriz (A)n×n tal queAk=0.

Exerc´ıcio 13. Considere a matriz

A=    

1 2 3 3

2 −2 −4 2    

a) Encontrev= (x1,x2,x3,x4)6= (0, 0, 0, 0)tal queAvT=0.

b) Conclua a partir do item anterior, que o sistema linear homogˆeneo de 4 equac¸ ˜oes e 4 inc ´ognitas associado a matriz AT·A´e poss´ıvel e indeterminado.

c) Conclua a partir do item anterior quedet(AT·A) =0.

Exerc´ıcio 14. 1. Prove que(AB)T=BTAT.

2. Mostre que AAT ´e uma matriz sim´etrica.

3. Mostre quedet(A) =det(At).

Exerc´ıcio 15. SeM=V(a1,a2, . . . ,an)´e uma matriz de Van-dermonde. Mostre que

det(M) =

i<j

(ai−aj).

Exerc´ıcio 16. Determine a inversa da Matriz realn×ndada por                     

0 1 1 . . . 1 1

1 0 1 . . . 1 1

1 1 . .. ... 1 1

..

. ... . .. ... ... ...

1 1 . . . 0 1

1 1 . . . 1 0                     

Dica: Defina A+I = Me prove que existem αe βtais que A−1=αI+βM.

Exerc´ıcio 17. (Desafio) SejamA1,A2, . . . ,An+1subconjuntos n˜ao vazios de{1, 2, . . . ,n}. Prove que existem conjuntos de ´ındices disjuntos e n˜ao vaziosI,J⊂ {1, 2, . . . ,n+1}tais que

[

k∈I

Ak=

[

k∈J

Ak.

Exerc´ıcio 18. Mostre que(AT)T =A.

Exerc´ıcio 19. Determine o n ´umero de matrizes quadradas A de ordem 3 que s˜ao sim´etricas e que possuem todos as suas entradas no conjunto{0, 1, 2}.

Exerc´ıcio 20. Alguns n ´umeros reais est˜ao escritos nas casa de uma matrizn×nde modo que a soma total dos n ´umeros escritos ´e positiva. Mostre que existe alguma permutac¸˜ao das colunas da matriz de modo que a soma dos n ´umeros escritos nas casas da diagonal principal da nova matriz ´e positiva. Exerc´ıcio 21. Alguns asteriscos est˜ao escritos nas casas de uma matrizm×n(m < n), de modo que existe pelo menos um asterisco em cada coluna. Nas demais casas est˜ao escritos o n ´umero 0. Mostre que que existe um asterisco Atal que lA>cA, ondelaecAdenotam as quantidade de asteriscos na linha e coluna de A, respectivamente.

Exerc´ıcio 22. Sejam m e n inteiros maiores que 1. Seja S = {1, 2, 3, . . . ,n}, e sejam A1,A2, . . . ,Am suconjuntos de

S. Assuma que para quaisquer dois elementos x e y emS, existe um conjuntoAital que ouxest´a emAieyn˜ao est´a em

Aiouxn˜ao est´a em Aieyest´a emAi. Prove quen≤2m.

Exerc´ıcio 23. Com os d´ıgitos 1 e 2 formamos 5 n ´umeros de nd´ıgitos de tal forma que dois quaisquer destes n ´umeros coin-cidam em exatamentemcasas decimais e n˜ao existe nenhuma casa decimal onde coincidam os 5 n ´umeros. Demonstre que:

2 5 ≤ m n ≤ 3 5.

5

Equa¸c ˜oes Alg´ebricas

Exerc´ıcio 24.

(3)

b) Fornec¸a uma definic¸˜ao de f(x) =xr, parar∈Q. Exerc´ıcio 25. Definaii.

Exerc´ıcio 26. Prove os seguintes resultados:

1. (Teorema da Unicidade) SeP(x)eQ(x)s˜ao polin ˆomios, cada um de grau no m´aximo n, e P(xi) = Q(xi) para

i=1, 2, . . . ,mondex1,x2, . . . ,xm s˜ao n ´umeros distintos e

m>n, ent˜aoPeQs˜ao polin ˆomios idˆenticos.

2. (Relac¸ ˜oes de Girard) Dada a equac¸˜ao P(x) = anxn+

an1xn−1+an−2xn−2+. . .+a1x+a0 =0(an 6=0)cujas ra´ızes s˜aor1,r2,r3, . . . ,rntemos:

S1 = r1+r2+. . .+rn

= −ana−1

n

S2 = r1r2+r1r3+r1r4+. . .+rn−1rn

= an−2

an

S3 = r1r2r3+r1r2r4+. . .rn−2rn1rn

= −ana−3

n . . .

Sh =

n h

produtos de a′is

= (−1)han−h

an . . .

Sn = r1r2. . .rn= (−1)na0

an

3. (Ra´ızes Complexas) Se uma equac¸˜ao polin ˆomial de co-eficientes reais admite a raiz z = a+bi (b 6= 0) com multiplicidadep, ent˜ao essa equac¸˜ao admite a raiza−bi com multiplicidadep.

4. (Ra´ızes M ´ultiplas) Se r ´e raiz de multiplicidade m da equac¸˜ao f(x) =0, ent˜aor´e raiz de multiplicidadem−1 da equac¸˜ao f′(x) =0.

5. (Polin ˆomio Interpolador de Lagrange) Sejam x0,x1, . . . ,xmn ´umeros distintos, ent˜ao o polin ˆomio

P(x) = n

k=0

bk

j6=k

xxj

xk−xj

!

satisfazP(xi) =bie degP<m+1

6. (Frac¸ ˜oes Parciais) Se f(x)´e um polin ˆomio de grau menor quen, ent˜ao a frac¸˜ao

f(x)

(xx1)(x−x2)· · ·(x−xn),

onde x1,x2, . . . ,xn s˜ao n n ´umeros distintos , pode ser representada como soma denfrac¸ ˜oes parciais

A1

xx1

+ A2

xx2

+. . .+ An xxn, onde A1,A2, . . .Ans˜ao constantes.

7. (F ´ormulas de Newton) Seja

Sp=x1p+x2p+. . .+xpn

ondex1,x2, . . . ,xn s˜ao as ra´ızes de

xn+c1xn−1+. . .+cn =0

Ent˜ao

S1+c1=0,

s2+c1S1+2c2=0,

s3+c1S2+c2S1+3c3=0,

. . . Sn+c1Sn−1+. . .+cn−1S1+ncn =0,

e

Sp+c1Sp−1+. . .+cnSpn=0 para p>n.

Exerc´ıcio 27. Determinar o resto da divis˜ao de x2+x+1 porx+1.

Exerc´ıcio 28. Um polin ˆomio P(x) quando dividido por (x+2) d´a resto 5 e, quando dividido por(x−2), d´a resto 13. Dividindo-seP(x) por(x2−4)obt´em-se um restoR(x). CalcularR(1).

Exerc´ıcio 29. Se o polin ˆomioP(x)dividido por(x2)deixa resto 6, divido por(x+1)deixa resto 2 e dividido por(x−1) deixa resto 4, determinar o resto da divis˜ao deP(x)por(x−

2)(x−1)(x+1).

Exerc´ıcio 30. Determine p e q em termos de m, sabendo-se que o polin ˆomio x3+px+q ´e divis´ıvel pelo polin ˆomio

x2+mx1.

Exerc´ıcio 31. Qual ´e o maximo divisor comum dexm1 e xn−1?

Exerc´ıcio 32. Determine quais das express ˜oes abaixo pos-suem ra´ızes repetidas. Em caso afirmativo, fatore a express˜ao.

a) x2−6x+9=0.

b) y2+14y+25=0.

c) z2−8z−16=0.

d) x2+x+1/4=0.

e) 16z2−24z+9=0.

Exerc´ıcio 33. Encontre o valor de

2020·2018·2016·2014+16 sem usar calculadora. Exerc´ıcio 34. Fatores as express ˜oes

1. t2−49.

2. 369x2.

3. 121a2b4−c2.

(4)

Exerc´ıcio 35. Resolva a equac¸˜aox1=x3.

Exerc´ıcio 36. Determinempara que a equac¸˜ao(m+1)x2 2mx+ (m+5) =0 possua ra´ızes reais e desiguais.

Exerc´ıcio 37. Determine m para que a func¸˜ao quadr´atica y=mx2(1+m)x+1 s ´o admita uma ´unica raiz real.

Exerc´ıcio 38. O conjunto dos valores inteiros e positivos de mpara os quais a equac¸˜aox2−5mx+2m=0 tem ambas as ra´ızes reais e distintas ´e

1. {0, 1, 2, . . .}

2. {4, 5, 6, . . .}

3. {1, 2, 3}

4. {1, 2, 3, . . .}

5. NRA

Exerc´ıcio 39. Se r ´e raiz de multiplicidade m da equac¸˜ao polinomial f(x) = 0, mostre quer ´e raiz de multiplicidade m−1 da equac¸˜ao f′(x) =0.

Exerc´ıcio 40. Prove quenxn+1(n+1)xn+1 ´e divis´ıvel por (x−1)2.

Exerc´ıcio 41. Encontre a soma das ra´ızes, reais e n˜ao reais,

da equac¸˜aox2001+

1 2−x

2001 .

Exerc´ıcio 42. Sen > 1, mostre que (x+1)n−xn−1 = 0 possui raiz m ´ultipla se, e somente se,n−1 ´e um m ´ultiplo de 6

Exerc´ıcio 43. Seb < 0, ent˜ao as ra´ızes x1 e x2da euqac¸˜ao 2x2+6x+b=0, satisfazem a condic¸˜ao x1

x2 +

x2

x1

<k, em quek ´e igual a (A)−3 (B)−5 (C)−6 (D)−2

Exerc´ıcio 44. Sex3108x+432 tem uma raiz com multipli-cidade 2, encontre todas as suas ra´ızes.

Exerc´ıcio 45. Encontre todos os valores deytais que

(y2+y−6)(y2−6y+9)−2(y2−9) =0.

Exerc´ıcio 46. Seja α 6= 1 raiz de x71 = 0. Obter um polin ˆomio com coeficientes inteiros que tenhaa=Re(α)como raiz. (Notac¸˜ao: α=Re(α) +i·Im(α).

Exerc´ıcio 47. Sejam f1(x),f2(x), . . . ,f2001(x) polin ˆomios a coeficientes reais. Para cada inteiro positivonexiste um par (i,j) com 1 ≤ i < j ≤ 2001 tal que n ´e raiz da equac¸˜ao

fi(x) = fj(x). Mostre que entre os 2001 polin ˆomios acima

existem pelo menos dois iguais.

Exerc´ıcio 48. a) Determine a func¸˜ao polinomial P, do ter-ceiro grau, que apresenta uma raiz nula e satisfaz a condic¸˜aoP(x−1) =P(x) +25x2para todox real.

b) Calcular, em func¸˜ao de n, a soma 25+100+225+. . .+ (5n)2.

Exerc´ıcio 49. Sepeqs˜ao n ´umeros complexos, comq6=0 e se as ra´ızes da equac¸˜ao x2+px+q2tˆem o mesmo m ´odulo,

prove que|p| ≤2|q|.

Exerc´ıcio 50. Seja

f(x) =x4+x3+x2+x+1.

Encontre o resto da divis˜ao de f(x5)por f(x).

Exerc´ıcio 51. SejaP(x,y)um polin ˆomio emxeytal que: (i) P(x,y) ´e sim´etrico, i.e.,

P(x,y) =P(y,x);

(ii) x−y ´e um fator deP(x,y), i.e.,

P(x,y) = (x−y)Q(x,y).

Prove que(x−y)2 ´e um fator deP(x,y).

Exerc´ıcio 52. Determine uma constantektal que o polin ˆomio

P(x,y,z) = x5+y5+z5

+ k(x3+y3+z3)(x2+y2+z3)

tenha como o fatorx+y+z. Mostre que, para este valor dek, P(x,y,z)tem como fator(x+y+z)2.

Exerc´ıcio 53. se x2+y2+z2 = 49 e x+y+z = x3+y3+ z3=7, encontrexyz.

Exerc´ıcio 54. Suponha quex+y+z=0 , mostre que:

(x5+y5+z5)

5 =

(x3+y3+z3)

3 ×

(x2+y2+z2) 2

Exerc´ıcio 55. Sejam a, b e c n ´umeros reais n˜ao nulos tais que a + b + c = 0. Calcule os poss´ıveis valores de:

(x3+y3+z3)2(x4+y4+z4)

(x5+y5+z5)2 .

Exerc´ıcio 56. Um certo polin ˆomiop(x)quando dividido por x−a,x−b,x−cdeixa restosa,b,crespectivamente. Qual ´e o resto de p(x) quando dividido por (x−a)(x−b)(x−c)? (a,b,cs˜ao distintos).

Exerc´ıcio 57. Sejama,b,cinteiros , n˜ao todos iguais a zero. Mostre que seax2+bx+ctem uma raiz racional ent˜ao pelo menos um dentrea,b,c´e par.

Exerc´ıcio 58. Seaebs˜ao reias distintos, prove que a equac¸˜ao (a−b)xn+ (a2−b2)xn−1+. . .+ (an−bn)x+an+1−bn+1=0 tem no m´aximo uma raiz real.

Exerc´ıcio 59. Qual o coeficiente dex2quando

(1+x)(1+2x)(1+4x). . .(1+2nx)

´e expandido?

Exerc´ıcio 60. (Desafio) Um trimin ˜o ´e um retˆengulo 3×1. um monomin ´o ´e um ´unico quadrado. Determine o numero de maneiras de se cobrir um tabuleiro 8×8 usando 21 trimin ´os e 1 monomin ´o.

(5)
(6)

Respostas e Solu¸c ˜oes.

1. Considere no plano cartesiano os pontos F, D e E de coordenadas(x, 0),(0, 3)e(3,−1), respectivamente. Podemos associar as distˆancias entre alguns pontos aos radicais dados:

DF = px2+9

FE = q

(x3)2+12

= px26x+10

DE = √9+16

= 5.

Pela desigualdade triangular,

p

x2+9+q(x3)2+12 = DF+FE

≥ DE

= 5.

Com igualdade apenas quando D, F e E s˜ao colineares. Portando, o pontoFdeve coincidir com a intersec¸˜aoGentre DEe o eixoOx, ou seja,x=9/4.

Observa¸c˜ao: Um problema relacionado que admitiria a mesma abordagem por meio de Geometria Anal´ıtica seria o:

Qual o menor valor da func¸˜ao real

f(x) =pa2+x2+q(bx)2+c2,

ondea,b,cs˜ao reais positivos?

Repetindo o argumento anterior, se E = (b,−c), D = (0,a) e F = (x, 0), temos

f(x) = FE+FDe pela desigualdade triangular f(x) ≥ DE onde a igualdade ocorre apenas se D, F e Es˜ao colineares. O ponto de intersec¸˜ao de DEe o eixo Ox ´e (ab/a+c, 0) e, pontanto, o m´ınimo ocorre emx= ab

a+c.

2. Suponha que podemos cobrir o tabuleiro como se pede, e note inicialmente quep ≤max{m,n}. Particione o tabuleiro emmlinhas 1×nencolunas 1×m, numerando as linhas do mesmo de cima para baixo, de 1 am, e as colunas da esquerda para a direita, de 1 a n (como em uma matriz m×n). Em seguida escreva, na casaijdo tabuleiro, o n ´umero complexo ξi+j, ondeξ=cis2pπ. A soma dos n ´umeros escritos nas casas do tabuleiro ´e

(ξ+ξ2+· · ·+ξn)(ξ+ξ2+· · ·+ξm) =

ξ2(ξn−1)(ξm−1) (ξ−1)2 , (1)

Agora calculemos essa soma de outra forma.Como estamos su-pondo ser poss´ıvel cobrir o tabuleiro como pedido, os n ´umeros escritos numa mesma pec¸a podem ser agrupados em conjun-tos de pn ´umeros, correspondentes `aspcasas horizontais ou verticais cobertas por cada pec¸a 1×putilizada. Tais conjuntos de pn ´umeros d˜ao origem a somas de um dos tipos

ξi+j+ξi+(j+1)+· · ·+ξi+(j+p−1) ou

ξi+j+ξ(i+1)+j+· · ·+ξ(i+p−1)+j,

conforme a pec¸a 1×p seja respectivamente horizontal ou vertical. Mas cada uma de tais somas ´e igual a

ξi+j(1+ξ+· · ·+ξp−1) =ξi+j·ξ

p1

ξ−1 =0,

e portanto a soma de todos os n ´umeros escritos no tabuleiro ´e tamb´em igual a 0. Segue ent˜ao de(ξn−1)(ξm−1) =0, ou ainda que

cis2nπ

p =1 ou cis2mπp=1.

Por fim, ´e imediato que tais igualdades equivalem ao fato de pdividirnoum.

7. Sei2=−1, temos

(i+1)4n =

4n

k=0

4n

k

ik

((i+1)2)2n =

2n

j=0

4n

2j

i2j+

2n1

j=0

4n 2j+1

i2j+1

(2i)2n =

2n

j=0

4n

2j

(−1)j+i

2n1

j=0

4n 2j+1

(−1)j

! .

Como (2i)2n = (1)n22n ´e n ´umero real, podemos concluir que

2n

j=0

4n

2j

(−1)j = (−1)n22n

2n−1

j=0

4n 2j+1

(−1)j = 0.

(7)

9. Somando todas as equac¸ ˜oes, obt´em-se:

6(x1+x2+x3+x4+x5) =186,

ou seja,x1+x2+x3+x4+x5=31. Nota-se que a primeira

equac¸˜ao pode ser escrita comox1+x1+x2+x3+x4+x5=

x1+31 = 6 e da´ı segue que x1 = −25. De forma an´aloga,

obt´em-se os demais resultados repetindo o procendimento com as outras equac¸ ˜oes. Assim,x2=−19,x3=−7,x4=17,

x5=65.

10. Somando todas as equac¸ ˜oes, temosx1+x2+x3+x4+

x5+x6+x7+x8=

0

3 =0. Somando agora primeira, quarta e s´etima equac¸ ˜oes, obtemosx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+

x8+x1= 0+x1 =6−3−2=1, ou seja x1 =1. De forma

an´aloga podemos obter as demais inc ´ognitas. x2=2, x3=3,

x4=4,x5=−4,x6=−3,x7=−2,x8=−1.

13.

a) Uma poss´ıvel soluc¸˜ao ´ev= (1, 1, 1, 2).

b) Como AvT = 0, segue que AT·AvT = AT0 = 0. Como

(0, 0, 0, 0)sempre ´e soluc¸˜ao do sistema homogˆeneo,

pode-mos concluir que ele ´e poss´ıvel e indeterminado.

c) A partir da Regra de Cramer e do item anterior, como o sistema ´e poss´ıvel e indeterminado, temosdet(AT·A) =0.

Observac¸˜ao: Uma soluc¸˜ao que apela para alguns resultados de ´Algebra Linear: o posto deAe AT ´e no m´aximo 2 e assim o posto do produto delas tamb´em ´e no m´aximo 2. Como o posto deAT·A´e menor que 4, devemos terdet(AT·A) =0.

16. ComoM2=n·M, segue que

M2−I−n·M+n·I = (n−1)·I

(MI)(M+In·I) = (n1)I

A( 1

n−1·M−I) = I.

Portanto,A−1= 1

n−1·M−I.

17. Para cada conjunto Ai construa um vetor vi = (xi1,xi2, . . . ,xin) com xij = 0 se j ∈/ Ai e xij = 1 se j ∈ Ai. Como o conjunto de vetores{v1,v2, . . . ,vn+1} ´e L.D. emRn,

existem reaisc′is, n˜ao todos nulos, tais que c1v1+c2v2+. . .+cn+1vn+1=0

Se I ´e o conjunto dos coeficientes positivos e Jo conjunto dos coeficientes negativos, para que todas as entradas da soma anterior sejam nulas, devemos ter

[

kI

Ak =

[

kJ

Ak.

18. Sejam aij as entradas da matriz A. Ent˜ao AT = (bij) combij=aji. Consequentemente, as entradas de(AT)T, que s˜ao dadas porbji, correspondem aaij, ou seja, s˜ao iguais as entradas deA.

19. Podemos escolher os 3 elementos da diagonal principal de 3·3·3 = 33 maneiras. Uma vez que eles tenham sido escolhidos, basta escolhermos as entradasa12,a13ea23, pois

as outras entradas ser˜ao sim´etricas a elas em relac¸˜ao a diagonal principal. Podemos escolher essas entradas de 3·3·3= 33

maneiras. Assim, o total de matrizes ´e 33·33=36.

A=        

a11 a12 a13

a22 a23

⋆ ⋆ a33        

20. Imagine que a matriz ´e um tabuleiro e crie um cilindro como indicado na figura abaixo. Esse cilindro pode ser decom-posto emndiagonais disjuntas que comec¸am em um extremo do cilindro e terminam no outro. Como a soma de todos os n ´umeros do tabuleiro ´e positiva, pelo menos uma das diago-nais ter´a soma positiva. Ela correponde a uma permutac¸˜ao das colunas do tabuleiro que satisfaz as condic¸ ˜oes do problema.

21. Para exemplificar o m´etodo da soluc¸˜ao, considere a matriz

       

0 ⋆ 0 0

00

0 ⋆ 0 ⋆        

Dada a matriz do problema, construa duas outras matrizes auxiliares, trocando apenas as entradas com asteriscos, a pri-meira em que a entradaaij ´e igual ao inverso da quantidade de asteriscos da linhai e a segunda em que a entradabij ´e igual ao inverso da quantidade de asteriscos da coluna. As matrizes associadas ao exemplo anterior s˜ao:

A=        

0 1 0 0

1/2 0 1/2 0

0 1/2 0 1/2         B=        

0 1/2 0 0

1 0 1 0

0 1/2 0 1        

(8)

22. (Extra´ıdo da Olimp´ıada B ´ulgara) Considere uma matriz m×nem que na entrada aijescrevemos 1 se j∈ Si e 0 caso contr´ario. A condic¸˜ao dada implica que n˜ao existem duas colunas iguais. Como o n ´umero m´aximo de colunas distintas com os s´ımbolos 0’s e 1’s ´e 2m, para que n˜ao exista repetic¸˜ao delas, devemos tern2m.

23. Considere uma matriz 5×nna qual cada linha cont´em os n d´ıgitos dos n ´umeros dados. Para cada par de linhas, podemos contar o n ´umero de colunas em que elas coincidem. Somando o n ´umero obtido para cada um dos(52) =10 pares de linhas, obtemos o n ´umero 10m. Por outro lado, como existem n colunas e em cada uma existem no m´aximo 4 e no m´ınimo 2 n ´umeros de um mesmo tipo, o n ´umero total de pares de entradas coincidentes em duas linhas ´e limitado superiormente por(42)n e inferiormente por((32) + (22))n, ou seja,

4n≤10m≤6n

que produz

2 5 ≤

m n ≤

3 5.

24.

1. Sem´e ´ımpar, definax1/mcomo o ´unico n ´umero realytal queym= x. Para ver que esse n ´umero existe e ´e ´unico, basta ver queg:RRdada porg(y) =ym ´e crescente e sobrejetiva. Quando m ´e par, a situac¸˜ao exisge mais cuidado, pois n˜ao existeyreal tal queym=x. Parax>0, definaycomo o ´unico real positivo tal queym=x.

2. Se r ´e um racional positivo, digamosr= m/ncomme ninteiros positivos, definaxr como(xm)1/n, sempre que esta exista (veja o item anterior para saber quando ela

existe emR). Sex6=0, definax−r = 1 xr.

Observac¸˜ao: Com essas definic¸ ˜oes, ´e poss´ıvel mostrar que as leis usuais de expoentes s˜ao v´alidas para os expoentes racionais: xr·xs =xr+s,(xr)s =xrse(xy)r =xryr.

27. Aplicando o Algoritmo da divis˜ao, temos

x2+x+1 x+1

−x2−x x

1

Portanto, o resto ´e 1. Como x = −1 ´e a raiz de x+1, o resto tamb´em poderia ser obtido substituindo esse valor no polin ˆomio dado: (−1)2+ (1) +1=1.

28. Como x24 = (x2)(x+2) tem grau 2, podemos

escreverR(x) =ax+bcomo o resto deP(x)porx2−4, com

a,b∈R. As duas informac¸ ˜oes iniciais podem ser traduzidas

comoR(−2) =5 eR(2) =13. Portanto,

−2a+b = 5 2a+b = 13.

Resolvendo o sistema, obtemosb=9 e a=2. Logo,R(x) =

2x+9 eR(1) =11.

29. Como(x2)(x1)(x+1)tem grau 3, podemos escrever R(x) = ax2+bx+c como o resto de P(x) por(x2)(x

1)(x+1). As informac¸ ˜oes do enunciado podem ser traduzidas

comoR(2) =6,R(−1) =2 eR(1) =4. Ou seja,

4a+2b+c = 6 a−b+c = 2 a+b+c = 4.

Resolvendo o sistema, encontramosa=1/3,c=8/3,b=1. AssimR(x) =x2/3+x+8/3.

30. Pelo Algoritmo da Divis˜ao, temos

x3+px+q = (x2+mx−1)(x−m) +

+ (x(m2+1) +p)−m+q)

Para que a divis˜ao seja exata, devemos ter p = −m21 e

q=m.

31. Sem>n, temos

xm−1=xm−n(xn−1) + (xm−n−1)

Da´ı, mdc(xm−1,xn−1) = mdc(xn−1,xm−n−1). Ou seja, comec¸ando com o par de expoentes (m,n), o m´aximo divi-sor correspondente ´e o mesmo obtido com o par(m−n,n). Realizando sucessivamente a operac¸˜ao de subtrair o menor elemento do par do maior, podemos trocar o par de expoentes (m,n) por pares (m′,n′) com m′+n′ < m+n. Essa troca sucessiva para quando obtemos um par(d,d)com n ´umeros iguais. Ao longo desse processo, como o divisores comuns de(m,n)e(mn,n)s˜ao os mesmos, podemos concluir que

d=mdc(m,n). Portantomdc(xn1,xm1) =xmdc(m,n)1.

32. Seα´e raiz dupla deax2+bx+c=0, ent˜aoax2+bx+c= a(x−α)2e=b24ac=0.

1. Sim, poisx26x+9= (x3)2.

2. N˜ao, pois∆=1961006=0.

3. Sim, poisz2−8z−16= (z−4)2.

4. Sim, poisx2+x+1/4= (x+1/2)2.

(9)

33. Note que

(x+3)(x+1)(x−1)(x−3) +16 =

(x29)(x21) +16 =

(x2−5−4)(x2−5+4) +16 =

(x25)2−16+16 =

(x2−5)2

Na express˜ao dada, basta fazerx=2017. Assim,

2020·2018·2016·2014+16=20172−5

34.

1. t2−49= (t−7)(t+7).

2. 369x2= (63x)(6+3x).

3. 121a2b4−c2= (11ab2−c2)(11ab2+c2).

4.

8x2(100−9y2) = 8x2(10−3y)(10−3y).

35. Elevando ambos os membros ao quadrado, as ra´ızes da equac¸˜ao dada tamb´em s˜ao ra´ızes dex−1=x2−6x+9, ou seja, x2−7x+9 = 0. As ra´ızes dessa equac¸˜ao s˜ao x = 5 e x=2. Como essa ´ultima raiz n˜ao satisfaz a equac¸˜ao dada, a ´unica soluc¸˜ao ´ex=5.

36. Para que as ra´ızes sejam desiguais, devemos ter ∆ =

4m24(m+5)(m+1)>0, ou seja,m<−5/6.

37. Para que exista uma ´unica raiz, devemos ter∆ = (1+

m)24m=0, ou seja,(m1)2=0. Portantom=1.

38. Para que as ra´ızes sejam distintas, devemos ter ∆ =

25m28m>0, ou seja,m(25m8)>0. Como devemos ter

m>0, segue que 25m−8>0, ou seja,m>8/25. Resposta itemD.

39. Ser ´e raiz de multiplicidadem, podemos escrever f(x) = (x−r)mq(x). Da´ı

f′(x) = m(x−r)m−1q(x) + (x−r)mq′(x) = (x−r)m−1(mq(x) + (xr)q(x)).

Comoxrn˜ao dividemq(x), a multiplicidade derem f′(x) ´em1.

40. Primeira solu¸c˜ao: Para cadak≥1, sabemos que 1 ´e raiz dexk−1, pois 1k−1=0. Da´ı, podemos escrever

xn1 = (x1)(xn−1+xn−2+. . .+x+1)

= (x−1)×

× ((xn−1−1) + (xn−2−1) +. . .+ (x−1) +n)

= (x−1)(q(x)(x−1) +n)

= (x−1)2q(x) +n(x1).

Portanto,

nxn+1−(n+1)xn+1 =

(nx−(n+1))(xn−1) +n(x−1) =

(x−1)2q(x)(nx−(n+1)) +n2(x−1)2 = (x−1)2(q(x)(nx−(n+1)) +n2).

Segunda Solu¸c˜ao: Pelo Algoritmo da Divis˜ao, podemos escrever nxn+1 −(n+1)xn +1 = r(x)(x −1)2+ (ax+

b). Como 1 ´e ra´ız do membro esquerdo, temos a+ b = 0. Derivando a func¸˜ao polinomial, obtemos n(n+1)xn−n(n+1)xn−1=r′(x)(x−1)2+2r(x)(x1) +a.

Usando quex =1 ´e raiz do lado esquerdo, obtemos a= 0. Da´ı,ax+b=0 e o polin ˆomio dado ´e divis´ıvel por(x1)2.

41. Trata-se de um polin ˆomio de grau 2000. Ser ´e raiz, ent˜ao 1

2−rtamb´em ´e raiz. Portanto, ao parearmos as ra´ızes que somam 1/2, obtemos soma 1000·1/2=500.

42. Seja fn(x) = (x+1)n−xn−1. Se r ´e uma raiz dupla,

ent˜ao fn′(r) =0. Temos fn′(x) =n(x+1)n−1−nxn−1e assim as ra´ızes de fn′(x)s˜ao os valoresrtais que(r+1)n−1=rn−1. Comor ´e uma raiz de fn(x), ent˜ao

(r+1)nrn1=0

(r+1)(r+1)n−1−r·rn−1−1=0 (r+1)n−1=1.

De modo quer+1 ´e uma raizn1-´esima da unidade. Como (r+1)n1 = rn1, tomando o m ´odulo de ambos os lados,

|rn−1| = 1, e ent˜ao|r| = 1. Sabendo que |r+1| = |r| = 1, segue que 0,rer+1 s˜ao v´ertices de um triˆangulo equil´atero no plano complexo e da´ır ´e uma raiz primitiva c ´ubica da unidade. Assim,r+1 ´e uma raiz primitiva 6-´esima da unidade. Entretanto,r+1 ´e tamb´em uma raizn−1-´esima da unidade. Logo, 6|(n−1). Como essas implicac¸ ˜oes s˜ao revers´ıveis, vale a volta da afirmac¸˜ao.

43. A resposta ´e a letraD. Comox1+x2=−3 ex1x2=b/2,

segue que

x1

x2+

x2

x1 =

x21+x22 x1x2 =

(x1+x2)2−2x1x2

x1x2

=

18 b −2.

Comob<0, segue que 18/b<0 e da´ı18

b −2<−2.

44. Sejara raiz deP(x) =x3108x+432 com multiplicidade

2. Ent˜ao P′(x) tamb´em tem raiz r. De P′(x) = 3x2108 e

(10)

valores deremP(x), temos P(6) =0. Portanto, a raiz com multiplicidade 2 ´e 6. Como a soma das ra´ızes deP(x)´e igual a 0, segue que a terceira ra´ız ´e−12. Assim,as ra´ızes s˜ao 6, 6 e

−12.

45. A equac¸˜ao dada pode ser fatorada como

[(y2)(y3)−2](y3)(y+3) =0.

Referências

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