Instituto de Matemática, Estatística e Computação
Científica
Ester Cristina Fontes de Aquino Rosa
Funções de Relaxação Cinéticas Fracionárias
CAMPINAS 2017
Funções de Relaxação Cinéticas Fracionárias
Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em matemática aplicada.
Orientador: Edmundo Capelas de Oliveira
Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pela aluna Ester Cristina Fon-tes de Aquino Rosa, e orientada pelo Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira.
Campinas 2017
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Rosa, Ester Cristina Fontes de Aquino,
R71f RosFunções de relaxação cinéticas fracionárias / Ester Cristina Fontes de Aquino Rosa. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
RosOrientador: Edmundo Capelas de Oliveira.
RosTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Ros1. Equações diferenciais fracionárias. 2. Laplace, Transformada de. 3. Processos de relaxação. 4. Mittag-Leffler, Funções de. 5. Debye, Modelo de. 6. Havriliak-Negami, Modelo de. 7. Completa monotonicidade (Funções). I.
Oliveira, Edmundo Capelas de, 1952-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Fractional kinetic relaxation functions Palavras-chave em inglês:
Fractional differential equations Laplace transformation
Relaxation processes Mittag-Leffler functions Debye model
Havriliak-Negami model
Complete monotonicity (Functions)
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutora em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Edmundo Capelas de Oliveira [Orientador] Marcio José Menon
Arlene Cristina Aguilar Bruto Max Pimentel Escobar Eliana Contharteze Grigoletto
Data de defesa: 30-11-2017
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). EDMUNDO CAPELAS DE OLIVEIRA
Prof(a). Dr(a). MARCIO JOSÉ MENON
Prof(a). Dr(a). ARLENE CRISTINA AGUILAR
Prof(a). Dr(a). BRUTO MAX PIMENTEL ESCOBAR
Prof(a). Dr(a). ELIANA CONTHARTEZE GRIGOLETTO
Agradeço a Deus por ter me dado vida, saúde, fé e força para lutar em busca dessa conquista. Agradeço ao meu caro orientador e professor Edmundo pela confiança em mim depositada, pelo apoio e disponibilidade em sua orientação. E, ainda, pela amizade e pela liberdade que me deu na elaboração deste trabalho.
Agradeço ao professor Jayme pelas sugestões que enriqueceram meu trabalho. À CAPES pelo apoio financeiro.
Agradeço aos funcionários e professores do Imecc que desde a minha graduação sempre me foram muito amigáveis, outra razão que fez desse Instituto minha segunda casa por vários anos. Agradeço ao meu marido Marcus Vinicius, o qual me incentivou, me apoiou e sempre me fez acreditar que eu conseguiria, apesar de nossas condições não serem ideais.
Quando assumi essa empreitada éramos só nós dois, agora, ao fim dela, podemos comemorar em número duplicado porque a vida nos sorriu e nos deu dois filhos, Miguel e Murilo, meus príncipes, meninos abençoados que me fazem aprender muito sobre o amor e cujos sorrisos me acalentam e renovam todos os dias as minhas forças. A eles também sou grata.
Agradeço à minha irmã Claudia que esteve sempre comigo.
Agradeço aos meus familiares e amigos paulistas e fluminenses pelo afeto e proximidade. Agradeço aos colegas e amigos do doutorado, mestrado e graduação com quem compartilhei de modo muito positivo e acalentador escassas horas de convívio social.
Ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica e à UNICAMP que fornece-ram todo o suporte técnico e computacional para a realização deste trabalho.
Ao introduzir um operador diferencial fracionário de ordem 𝛾 ∈ (0, 1], em termos da deri-vada de Riemann-Liouville, generalizamos, neste trabalho, as equações cinéticas que modelam o processo de relaxação em dielétricos. As novas equações diferenciais fracionárias produzidas recebem o nome de equações de relaxação cinéticas fracionárias e suas soluções, denominadas funções de relaxação cinéticas fracionárias, são dadas em termos das funções de Mittag-Leffler. Essas funções de relaxação cinéticas fracionárias generalizam as funções de relaxação cinéticas associadas aos modelos de Debye, Cole-Cole, Cole-Davidson e Havriliak-Negami, uma vez que essas últimas são recuperadas quando fixamos o parâmetro de derivação fracionária 𝛾 na uni-dade.
Analisamos, também, o comportamento gráfico dessas funções na variável tempo. Nesse sentido, estudamos a completa monotonicidade dessas funções. Para tanto, usamos como ferramenta teórica, o teorema de Bernstein sobre a completa monotonicidade de funções e, junto com ele, a fórmula de inversão de Titchmarsh. Além disso, construímos gráficos em 2D e 3D para ilustrar as funções presentes na discussão desse trabalho.
Palavras-chave: Equações diferenciais fracionárias, Riemann-Liouvillle, Transformada de
Laplace, Função de relaxação, Funções de Mittag-Leffler, Debye, Cole-Cole, Cole-Davidson, Havriliak-Negami, Completa monotonicidade.
By introducing a fractional differential operator of order 𝛾, which belongs to the interval (0, 1], defined in terms of the Riemann-Liouville derivative, we generalize the kinetic equations used to model relaxation processes in dielectrics. We called the resulting new fractional differential equations fractional kinetic relaxation equations; their solutions, called fractional kinetic ation functions, can be written in terms of Mittag-Leffler functions. Fractional kinetic relax-ation functions generalize the kinetic relaxrelax-ation functions associated with the Debye, Cole-Cole, Cole-Davidson and Havriliak-Negami models, since these functions are recovered when we make the fractional parameter 𝛾 equal to unit. We analyse the graphical behavior of some of these functions in the time variable. We also study the complete monotonicity of the new functions with the help of Bernstein’s theorem on the complete monotonicity of functions, together with Titchmarsh’s inversion formula. We also present some 2D and 3D graphics of the functions studied.
Keywords: Fractional differential equations, Riemann-Liouvillle, Laplace transform,
Re-laxation functions, Mittag-Leffler functions, Debye, Cole-Cole, Cole-Davidson, Havriliak-Negami, Complete monotonicity.
Dedicatória Agradecimentos
1 Funções Especiais e Transformadas Integrais 16
1.1 Funções especiais . . . 16
1.1.1 A função gama . . . 17
1.1.2 As funções de Mittag-Leffler . . . 17
1.2 Transformada de Fourier . . . 20
1.2.1 Definição e propriedades básicas da transformada de Fourier . . . 20
1.2.2 Transformada de Fourier da derivada . . . 22
1.2.3 Transformada de Fourier da convolução . . . 22
1.3 A transformada de Mellin . . . 23
1.3.1 Definição e exemplos . . . 23
1.3.2 A integral de Mellin-Barnes nas representações das funções de Mittag-Leffler . . . 25
1.4 Transformada de Laplace . . . 26
1.4.1 Teorema da translação . . . 29
1.4.2 Transformada de Laplace da derivada de ordem inteira . . . 30
1.4.3 Transformada de Laplace da convolução . . . 31
2 Cálculo Fracionário e Equações de Relaxação Fracionárias 32 2.1 Derivada de Riemann–Liouville . . . 33
2.1.1 Breve revisão sobre a integral de ordem inteira . . . 33
2.1.2 Definição da derivada fracionária de Riemann–Liouville . . . 35
2.1.3 Fórmula integral de Cauchy . . . 39
2.1.4 Regra de Leibniz generalizada . . . 41
2.1.5 Transformada de Laplace da derivada de Riemann–Liouville . . . 45
2.1.6 Equação de relaxação fracionária envolvendo a derivada de Riemann–Liouville . . . 45
2.2 Derivada de Caputo . . . 46
2.2.1 Definição . . . 46
2.2.2 Transformada de Laplace da derivada de Caputo . . . 48
2.2.3 Equação de relaxação fracionária envolvendo a derivada de Caputo . . . 49
3.2 O modelo de Debye . . . 53
3.3 Modelo de Cole-Cole . . . 56
3.4 Modelo de Cole-Davidson . . . 60
3.5 Modelo de Havriliak-Negami . . . 61
3.6 Funções empíricas clássicas . . . 64
4 Formalismo da Função Memória e as Equações Cinéticas 66 4.1 A equação da função memória . . . 66
4.2 As equações de relaxação cinéticas . . . 70
4.3 As soluções das equações de relaxação cinéticas . . . 72
5 Equações de Relaxação Cinéticas Fracionárias 76 5.1 Equações de relaxação fracionárias . . . 76
5.2 O modelo de Debye fracionário . . . 77
5.3 O modelo de Cole-Cole fracionário . . . 78
5.4 O modelo de Cole-Davidson fracionário . . . 78
5.5 O modelo de Havriliak-Negami fracionário . . . 80
5.6 Constante dielétrica complexa . . . 81
6 Estudo Sobre a Monotonicidade de Funções no Cálculo Fracionário 84 6.1 Definição . . . 85
6.2 Teorema de Bernstein . . . 87
6.3 A fórmula de Titchmarsh . . . 93
6.4 A função de Mittag-Leffler de um e dois parâmetros . . . 96
6.5 A função de Kilbas e Saigo . . . 97
6.6 Um caso particular da função de Mittag-Leffler de três parâmetros . . . 99
7 Monotonicidade das Funções de Relaxação Cinéticas 106 7.1 As funções de relaxação cinéticas . . . 106
7.2 As funções de relaxação cinéticas fracionárias . . . 109
Conclusões e Considerações Finais 118
A A função H de Fox 120
B A função de Wright generalizada 121
C Funções hipergeométricas 122
D Representação integral para a inversa da função gama 126 E Relação entre as funções de Mittag-Leffler de dois parâmetros 129 F Resíduo da função gama nos polos 𝑧 = −𝑛, com 𝑛 natural 130
Introdução
O cálculo fracionário tem se firmado como uma generalização do clássico cálculo diferencial e integral [63, 65]. Nas últimas três décadas, a investigação nesse ramo se intensificou encon-trando aplicações em vários ramos da ciência como na física, na matemática, na química, nos sistemas de finanças, na economia e na engenharia [21, 61, 64]. Para exemplificar mencionamos as seguintes aplicações: no controle fracionário de sistemas de engenharia; no avanço de cálculo das variações e controle ótimo para sistemas dinâmicos fracionários; em ferramentas e técnicas analíticas e numéricas; nas explorações fundamentais das relações constitutivas mecânicas, elé-tricas e térmicas e outras propriedades de diversos materiais de engenharia, tais como polímeros visco-elásticos, espumas, géis, e tecidos de origem animal; em compressão fundamental da onda e fenômenos de difusão, suas medições e verificações; na bioengenharia e aplicações biomédicas; na modelagem térmica de sistemas de engenharia, tais como freios e máquinas-ferramentas e, por fim, em imagem e processamento de sinal [12, 34, 48, 59, 66, 79, 80, 96, 97].
Os experimentos em materiais dielétricos têm sido representados, desde o início de seu es-tudo, através das funções empíricas de suscetibilidade conforme modeladas, primeiramente, por Debye (D) em 1929 [23], depois pelos irmãos Cole (C-C) [14, 15] e, posteriormente, nos trabalhos de Cole-Davidson (C-D) [16, 17] e Havriliak-Negami (H-N) [44, 45]. Diferentes formas de tratar essas leis foram estudadas pelos pesquisadores, entre eles, Weron e seus colaboradores [53, 98, 99, 100]. Nos últimos anos, no entanto, alguns pesquisadores vêm tratando o processo de relaxação anômala sob a ótica do cálculo fracionário [4, 32, 33, 77, 81]. Entre outras rela-ções estabelecidas, são feitas, por exemplo, associarela-ções entre as funrela-ções respostas do modelo de relaxação e as funções de Mittag-Leffler, as últimas emergentes do cálculo fracionário (isto é, através da transformada de Laplace da suscetibilidade complexa 𝑠 = 𝑖𝜔) [20, 35, 37, 73]. Outras vezes essa conexão é estabelecida ampliando-se os modelos associados aos processos de relaxa-ção através de equações que envolvam derivada e integral fracionárias [19, 24, 30, 40, 46, 54]. Essa última proposta de conexão dos modelos de relaxação com o cálculo fracionário é atual na medida em que segue a existente tendência da matemática moderna de generalizar as equações diferenciais, parciais ou ordinárias. Essa generalização ocorre de maneira diversificada com a substituição das derivadas de ordem inteira pelas várias derivadas fracionárias definidas na literatura [13, 48, 82]. Garra et al. usaram, por exemplo, a derivada de Hilfer-Prabhakar para generalizar equações clássicas da física matemática, entre elas, a equação do calor [31].
Usando a definição da derivada fracionária de Caputo, Fabrizio et al. substituíram a derivada de ordem inteira pela derivada fracionária na equação de Cattaneo-Maxwell, que também mo-dela a condução de calor [26].
Mainardi e Gorenflo generalizam o modelo clássico de viscoelasticidade linear substituindo a derivada de primeira ordem do modelo clássico de Newton por uma derivada fracionária de ordem 𝜐 ∈ (0, 1) [68]. Nesse mesmo trabalho, os pesquisadores discutem, também, a generali-zação do modelo de relaxação (exponencial). Ao discutir esses dois modelos fracionários, ambas as derivadas fracionárias, de Caputo e de Riemann-Liouville, são confrontadas, bem como as condições iniciais em cada caso. Sibatov et al. fazem uma aplicação de um inovador algoritmo numérico para a solução da equação fracionária da função resposta associada ao modelo de Havriliak-Negami [91]. Já no trabalho [76] os pesquisadores discutem a relaxação anômala em dielétricos associada ao modelo C-C, através de equações de ordem fracionária. Esses últimos são alguns, entre outros trabalhos, onde o processo de relaxação em dielétricos também tem sido discutido com o uso dos operadores do cálculo fracionário [78, 95].
Nessa abordagem, as funções de Mittag-Leffler com um, dois e três parâmetros emergem, mui-tas vezes, como soluções no estudo dessas equações diferenciais fracionárias [36].
Nesse contexto, com a introdução de um parâmetro de derivação fracionária o qual admite valores no intervalo (0, 1], torna-se possível generalizar as equações cinéticas associadas aos processos de relaxação em dielétricos, suas soluções são dadas, também, em termos das funções de Mittag-Leffler [87]. Nessa generalização a ser proposta o não emprego do operador fracio-nário de Caputo se deve ao fato de seu uso acarretar a eliminação do parâmetro de derivação fracionário no desenvolvimento algébrico da resolução das equações diferenciais fracionárias de relaxação. Assim, o operador fracionário a ser escolhido é o de Riemann-Liouville.
Em se tratando de um modelo físico, bem como de sua generalização, o que segue do equacio-namento de um sistema dielétrico e do cálculo de sua função solução (que é, nesse caso, uma função de relaxação na variável tempo) é a investigação do comportamento gráfico dessa função. Como representativa de um fenômeno de dispersão, o que se espera é que seja decrescente e positiva. No trabalho [62] foi analisado o comportamento assintótico da função de relaxação, dada em termos das funções de Mittag-Leffler, nos limites de tempo 𝑡 → 0 e 𝑡 → ∞. Nessa linha de pesquisa, Garra e Garrappa também analisaram o comportamento da função de relaxação, dessa vez, associado ao modelo de Havriliak-Negami [29].
Uma propriedade um pouco mais "forte"e desejada da função solução é a completa monotonici-dade [86]. As funções completamente monótonas têm aplicações notáveis em diferentes ramos da ciência. Por exemplo, elas desempenham um importante papel na teoria do potencial, na teoria da probabilidade, na física, em análise numérica e assintótica e em combinatória.
No passado recente, vários autores mostraram que numerosas funções, que são definidas em termos das funções gama, poligama e outras funções especiais, são completamente monótonas e usaram esse fato para derivar novas desigualdades interessantes [1, 7, 50, 70].
Na literatura encontramos alguns textos nos quais se discute a completa monotonicidade das funções de Mittag-Leffler [20, 67, 71, 72, 92].
Nesse âmbito de investigação científica o qual foi exposto até aqui, está a pesquisa desenvolvida e dissertada nesse trabalho. Ele está distribuído, para fins didáticos, em sete capítulos. Assim, elencamos, a seguir, o conteúdo de cada capítulo.
Para começar, consideremos a transformada integral dada pela expressão
𝑔(𝜔) =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝑡)𝐾(𝜔, 𝑡)𝑑𝑡,
onde 𝑔(𝜔) é a transformada integral da função 𝑓(𝑡) pelo núcleo 𝐾(𝜔, 𝑡).
Na física, essa relação é, muitas vezes, interpretada no âmbito tempo-frequência. Assim, revi-samos, no primeiro capítulo, três tipos de transformadas integrais. Começamos com a apresen-tação da mais abrangente delas que é a transformada de Fourier. A partir dessa, definimos a transformada de Mellin e, por último, apresentamos o estudo da transformada de Laplace que, somando-se ao fato de ser a mais utilizada, tem papel fundamental na resolução das equações diferenciais fracionárias.
Antes de explanar sobre as transformadas integrais, nesse capítulo, definimos a função gama e as funções de Mittag-Leffer, as quais estão presentes nos principais resultados desse trabalho. Exemplificamos com uma aplicação onde usamos a transformada de Laplace para resolver a equação de relaxação de ordem inteira. Essa resolução só foi possível através do cálculo da transformada de Laplace inversa de uma função produto dada em termos da função de Mittag-Leffler.
No segundo capítulo estudamos a derivada de Riemann-Liouville e a derivada de Caputo. Nos estendemos mais no estudo da primeira, uma vez que ela é usada na generalização da equação de relaxação cinética.
Como exemplo de aplicação, resolvemos a equação de relaxação fracionária ora com o uso da derivada de Riemann-Liouville, ora com o uso da derivada de Caputo, mostramos então, uma relação entre as duas soluções obtidas.
O material dielétrico, ao sofrer uma ação que o tire do seu equilíbrio termodinâmico, reagirá, ao fim dessa ação, no esforço de buscar o equilíbrio inicial. Nesse cenário, a polarização de um dielétrico possui efeito de memória, ou seja, o valor da polarização em um determinado instante depende de todos os valores do campo elétrico em momentos anteriores.
Dessa forma, no terceiro capítulo, conseguimos, pelo princípio da superposição, desenvolver a seguinte relação ˜𝜀(𝑠) =∫︁ ∞ 0 (︃ −𝑑𝜙 𝑑𝑡 )︃ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡= L [︃ −𝑑𝜙(𝑡) 𝑑𝑡 ]︃ (𝑠),
onde ˜𝜀(𝑠) é a permissividade dielétrica complexa normalizada e 𝜙(𝑡) é a função de relaxação. A função de resposta dielétrica 𝑓(𝑡) é a função que representa a resposta do dielétrico quando exposto à ação de um campo elétrico e sua relação com a função relaxação 𝜙(𝑡) é dada por
𝑓(𝑡) = −𝑑𝜙(𝑡)/𝑑𝑡 .
Em seguida, ainda no terceiro capítulo, deduzimos a expressão empírica da permissividade dielétrica complexa normalizada associada ao modelo de Debye, que foi o primeiro modelo sugerido para descrição do processo de relaxação em dielétricos, na variável frequência. Em seguida, apresentamos as constantes dielétricas complexas associadas aos modelos de Cole-Cole, Cole-Davidson e Havriliak-Negami e mostramos o locus das mesmas, no plano complexo, em função da variação da frequência.
Em continuação, sob a ótica dos operadores de projeção de Mori-Zwanzig deduzimos, no quarto capítulo, a equação diferencial da função de relaxação na variável temporal, associada, num pri-meiro momento, à função memória. Manipulando essa última equação, junto com as funções empíricas clássicas e a equação que a associa a permissividade dielétrica complexa normalizada à função de relaxação, obtivemos as equações de relaxação cinéticas associadas aos modelos de
Debye, de Cole-Cole, de Cole-Davidson e de Havriliak-Negami.
Resolvemos essas equações de relaxação cinéticas, através da aplicação da transformada de La-place, e suas soluções, dadas em termos das funções de Mittag-Leffler, as quais denominamos de funções de relaxação cinéticas. Através da construção de gráficos, mostramos o comportamento dessas últimas funções.
No capítulo cinco, com a introdução de um parâmetro 𝛾 com 0 < 𝛾 ≤ 1 generalizamos as equa-ções de relaxação cinéticas obtidas e resolvidas no capítulo anterior. As equaequa-ções de ordem fracionária 𝛾 nomeamos equações de relaxação cinéticas fracionárias. Essas também produzem soluções em termos das funções de Mittag-Leffler as quais se constituem em modelos generali-zados das soluções das equações de relaxação cinéticas. As soluções das equações de relaxação cinéticas fracionárias recebem o nome de funções de relaxação cinéticas fracionárias.
No capítulo seis vamos estudar as preliminares teóricas necessárias para o estudo do comporta-mento gráfico dessas funções de relaxação cinéticas fracionárias e não fracionárias. Interessados em analisar a completa monotonicidade dessas funções, revisamos então, nesse capítulo, o con-ceito de função completamente monótona e outras ferramentas teóricas mais usuais na literatura atual para a discussão desse aspecto do comportamento gráfico das funções. Assim, apresenta-mos o teorema de Bernstein, a fórmula de Titchmarsh, entre outros. Discorreapresenta-mos sobre alguns exemplos encontrados na literatura e que são pertinentes para nosso trabalho. Em um de nossos exemplos, construímos gráficos em 2D e 3D da função distribuição para ilustrar a conclusão sobre sua completa monotonicidade.
De posse dessa teoria e das estratégias envolvidas nesse estudo, analisamos, no capítulo sete, a completa monotonicidade das funções de relaxação cinéticas e das funções de relaxação cinéti-cas fracionárias.
Essa análise se dá com a investigação sobre quais restrições devem ser impostas aos parâ-metros envolvidos em cada uma dessas funções que garantem sua completa monotonicidade. Para tanto, estudamos o comportamento gráfico das funções em questão com a variação desses parâmetros (todos eles delimitados no intervalo (0, 1]) e, baseado no teorema de Bernstein, analisamos suas respectivas distribuições espectrais.
Na fase posterior aos sete capítulos, apresentamos as conclusões do trabalho e o estudo futuro que nos é apontado em decorrência do que foi desenvolvido até aqui. Depois disso, seguem seis apêndices. Nos três primeiros, apresentamos as definições de três funções que são menciona-das nos capítulos da tese; são elas: a função H de Fox, a função de Wright generalizada e as funções hipergeométricas, respectivamente. No quarto apêndice demonstramos a representação integral para a inversa da função gama, representação essa que foi utilizada no sexto capítulo para demonstrar a completa monotonicidade da função de Mittag-Leffler generalizada, definida por Schneider. No quinto apêndice demonstramos uma importante relação entre as funções de Mittag-Leffler de dois parâmetros. Por fim, no sétimo apêndice calculamos o resíduo da função gama nos polos de ordem inteira não positivas.
Capítulo 1
Funções Especiais e Transformadas
Integrais
Dentre as várias funções especiais encontradas na literatura, revisamos, aqui, aquelas que aparecerão de forma recorrente no nosso trabalho, começando pela função gama.
Diferente da maneira como elencamos nesse capítulo, alguns autores não consideram a função gama uma função especial. Sua importância está, principalmente, em sua utilidade para o desenvolvimento de novas funções as quais aparecem em aplicações da física. Dentre as funções nas quais a função gama aparece envolvida, estão as funções de Mittag-Leffler.
As funções de Mittag-Leffler foram introduzidas no início do século XX e sua conexão com o cálculo fracionário fez sua importância aumentar, uma vez que elas emergem como soluções de equações diferenciais fracionárias com coeficientes constantes [36, 42, 82], em particular as equações de relaxação cinéticas fracionárias, como mostramos nesse trabalho.
Assim, começamos esse capítulo apresentando as definições da função gama e das funções de Mittag-Leffler de um, dois e três parâmetros.
Em seguida revisamos as transformadas integrais, que aparecem ora como alternativas na repre-sentação das funções acima mencionadas, como acontece com as transformadas de Mellin, ora como poderosa ferramenta na resolução das equações diferenciais fracionárias, como a transfor-mada de Laplace e, por fim, como auxiliar na dedução de importante fórmula usada no estudo da completa monotonicidade das funções no cálculo fracionário, como é o caso da transformada de Fourier.
1.1
Funções especiais
Nesta seção revisamos a definição da função gama e as definições das funções de Mittag-Leffler de um, dois e três parâmetros. Todas elas aparecem como solução ou mesmo envolvidas nas soluções das equações diferenciais fracionárias, em particular, na equação de relaxação anômala.
1.1.1
A função gama
A função gama pode ser definida através da integral imprópria Γ(𝑧) = ∫︁ ∞
0
𝑒−𝑢𝑢𝑧−1𝑑𝑢, (1.1.1)
com 𝑧 ∈ IC e Re(𝑧)> 0.
Podemos estender ainda essa definição para IC − {0, −1, −2, −3, . . . } da seguinte forma Γ(𝑧) = ∑︁∞ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝑘!(𝑧 + 𝑘) + ∫︁ ∞ 1 𝑒−𝑢𝑢𝑧−1𝑑𝑢. (1.1.2)
Na Figura 1.1 temos o gráfico da função gama para valores reais de 𝑡.
t (t) ΓΓ Γ -4 -2 2 4 -10 -5 5 10
Figura 1.1: Função gama.
Ainda, como Γ(𝑧 + 1) = 𝑧Γ(𝑧) temos Γ(𝑛 + 1) = 𝑛! para todo número 𝑛 natural.
1.1.2
As funções de Mittag-Leffler
A função de Mittag-Leffler de um parâmetro
A função de Mittag-Leffler, cujo nome recebido é dado por seu autor, o matemático sueco Gosta Mittag-Leffler(1846-1927), é definida como
𝐸𝑎(𝑧) =
∞
∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘
Γ(𝑎𝑘 + 1), 𝑎 ∈IC, com Re(𝑎) > 0. (1.1.3)
Essa função, por depender de um único parâmetro 𝑎, ficou oficialmente nomeada como função de Mittag-Leffler de um parâmetro [74, 75]. Ela generaliza a função exponencial, isto é, para
𝑎 = 1, 𝐸1(𝑧) = exp(𝑧). Para 0 < 𝑎 < 1 e |𝑧| < 1 a função de Mittag-Leffler de um parâmetro
A função de Mittag-Leffler de dois parâmetros
A função de Mittag-Leffler de dois parâmetros é definida a partir da introdução de um segundo parâmetro e generaliza a anterior [25]. Quem primeiro estudou a generalização da função de Mittag-Leffler foi Wiman [106], posteriromente, Humbert e Agarwal apresentaram a generalização com a introdução de um segundo parâmetro [5, 49].
Assim, segue a definição dada por
𝐸𝑎,𝑏(𝑧) =
∞
∑︁
𝑘=0
𝑧𝑘
Γ(𝑎𝑘 + 𝑏), 𝑎, 𝑏 ∈ IC, com Re(𝑎) > 0 e Re(𝑏) > 0. (1.1.4) Quando 𝑏 = 1 recuperamos a função de Mittag-Leffler de um parâmetro, isto é, 𝐸𝑎,1(𝑧) = 𝐸𝑎(𝑧).
Uma outra generalização da função de Mittag-Leffler desse tipo foi introduzida por Kilbas e Saigo [56, 57] em termos de uma função especial na forma
𝐸𝛼,𝑚,𝛽(𝑧) = ∞ ∑︁ 𝑘=0 𝑐𝑘𝑧𝑘, 𝑐0 = 1, 𝑐𝑘 = 𝑘−1 ∏︁ 𝑖=0 Γ(𝛼(𝑖𝑚 + 𝛽) + 1) Γ(𝛼(𝑖𝑚 + 𝛽 + 1) + 1), 𝑘 ∈IN0 = {1, 2, . . . }, (1.1.5)
onde o produto vazio é interpretado como a unidade; 𝛼, 𝛽 ∈ IC, 𝑚 ∈ IR, 𝑚 > 0, Re(𝛼)> 0 e
𝛼(𝑖𝑚 + 𝛽) ̸= {−1, −2, . . . } com 𝑖 = 0, 1, 2, . . . .
Para 𝑚 = 1 temos que essa função é um múltiplo da função de Mittag-Leffler de dois parâmetros
𝐸𝛼,1,𝛽 = Γ(𝛼𝛽 + 1)𝐸𝛼,𝛼𝛽+1(𝑧), (1.1.6)
onde Re(𝛼)> 0 e 𝛼(𝑖 + 𝛽) ̸= {−1, −2, . . . }.
A função de Mittag-Leffler de três parâmetros
A função de Mittag-Leffler com três parâmetros foi introduzida por Prabhakar em 1971, por isso alguns autores se referem a ela como função do tipo Prabhakar. Assim, a função de Mittag-Leffler de três parâmetros é definida como [84]
𝐸𝑎,𝑏𝑐 (𝑧) = ∞ ∑︁ 𝑘=0 (𝑐)𝑘 Γ(𝑎𝑘 + 𝑏) 𝑥𝑘 𝑘!, (1.1.7)
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ IC, com Re(𝑎)> 0, Re(𝑏)> 0 e Re(𝑐)> 0.
Ainda a notação (𝑐)𝑘 é o conhecido símbolo de Pochhammer1 dado por
(𝑐)𝑘 := 𝑐(𝑐 + 1)(𝑐 + 2) · · · (𝑐 + 𝑘 − 1) =
Γ(𝑐 + 𝑘)
Γ(𝑐) , 𝑘 ∈IN. (1.1.8)
Enfim, mencionamos uma função, dada em termos da função de Mittag-Leffler de três parâme-tros, que nos será útil no desenvolvimento deste trabalho.
Logo, consideremos a função produto a seguir
𝑒𝑐𝑎,𝑏(𝑧) = 𝑧𝑏−1𝐸𝑎,𝑏𝑐 [−(𝜎𝑧)𝑎], (1.1.9)
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ IC, com Re(𝑎)> 0, Re(𝑏)> 0, Re(𝑐)> 0 e 𝜎 ∈ IR*.
Representamos o comportamento gráfico de alguns casos particulares dessa função.
Observemos, primeiro, o gráfico do caso particular dessa função quando 𝑏 = 𝑐 = 𝜎 = 1, e 𝑧 = 𝑡 nas Figuras 1.2 e 1.3.
Para o caso particular em que 𝑎 = 𝑐 = 𝜎 = 1 e 𝑧 = 𝑡 temos as representações gráficas dadas pelas Figuras 1.4 e 1.5. E, por fim, os gráficos para o caso particular em que 𝑐 = 𝜎 = 1 e 𝑧 = 𝑡 nas Figuras 1.6 e 1.7. φ t 20 40 60 80 100 0.20 0.25 0.30 (a) 𝑎 = 0.3 φ t 20 40 60 80 100 0.05 0.10 0.15 0.20 (b) 𝑎 = 0.5 φ t 20 40 60 80 100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 (c) 𝑎 = 0.8
Figura 1.2: A função 𝜙(𝑡) = 𝐸𝑎(−𝑡𝑎) para 0 < 𝑎 < 1.
φ t 20 40 60 80 100 -0.010 -0.005 0.005 (a) 𝑎 = 1.3 φ t 20 40 60 80 100 -0.0015 -0.0010 -0.0005 0.0005 (b) 𝑎 = 1.7 φ 20 40 60 80 100 -0.10 -0.05 0.05 0.10 (c) 𝑎 = 1.9
Figura 1.3: A função 𝜙(𝑡) = 𝐸𝑎(−𝑡𝑎) para 1 < 𝑎 < 2.
t φ 5 10 15 20 -0.10 -0.05 (a) 𝑏 = 0.2 φ t 5 10 15 20 -0.10 -0.05 0.05 (b) 𝑏 = 0.5 t φ 5 10 15 20 -0.015 -0.010 -0.005 0.005 (c) 𝑏 = 0.9 Figura 1.4: A função 𝜙(𝑡) = 𝑡𝑏−1𝐸 1,𝑏(−𝑡) para 0 < 𝑏 < 1.
φ t 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 (a) 𝑏 = 1.3 φ t 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 (b) 𝑏 = 1.7 φ t 2 4 6 8 10 0.70 0.75 0.80 (c) 𝑏 = 1.9 Figura 1.5: A função 𝜙(𝑡) = 𝑡𝑏−1𝐸 1,𝑏(−𝑡) para 1 < 𝑏 < 2. φ t 10 20 30 40 50 -0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.005 0.010 (a) 𝑏 = 0.2 φ t 10 20 30 40 50 -0.0010 -0.0005 (b) 𝑏 = 0.4 φ t 10 20 30 40 50 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 (c) 𝑏 = 0.6 φ t 10 20 30 40 50 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 (d) 𝑏 = 0.8 Figura 1.6: A função 𝜙(𝑡) = 𝑡𝑏−1𝐸 𝑎,𝑏(−𝑡𝑎), com 𝑎 = 0.5.
1.2
Transformada de Fourier
1.2.1
Definição e propriedades básicas da transformada de Fourier
Seja 𝑓(𝑥) uma função absolutamente integrável em (−∞, ∞), sua transformada de Fourier, denotada por F {𝑓(𝑥)} = 𝐹 (𝑘), 𝑘 ∈ IR é definida pela integral
F {𝑓(𝑥)} = 𝐹 (𝑘) = √1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (1.2.1)
onde F é chamado operador da transformada de Fourier.
Como o operador F é definido somente para funções absolutamente integráveis, isso o restringe em aplicações na física [22]. Apesar disso, a transformada de Fourier é uma ferramenta muito utilizada na medida em que, através dela, as funções que, inicialmente aparecem nas equações definidas no domínio do tempo, passam a ser representadas no domínio da frequência. As-sim, certas operações tornam-se muito mais simples de serem efetuadas e os resultados mais esclarecedores.
φ t 50 100 150 200 -3 × 1028 -2 × 1028 -1 × 1028 1× 1028 2× 1028 3× 1028 4× 1028 (a) 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2 φ t 50 100 150 0.5 1.0 1.5 2.0 (b) 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3 Figura 1.7: A função 𝜙(𝑡) = 𝑡𝑏−1𝐸
𝑎,𝑏(−𝑡𝑎), com 𝑎 e 𝑏 maiores que 1.
A transformada de Fourier inversa denotada por F−1{𝐹(𝑘)} = 𝑓(𝑥) é definida por
F−1{𝐹(𝑘)} = 𝑓(𝑥) = √1
2𝜋
∫︁ ∞
−∞
𝑒𝑖𝑘𝑥𝐹(𝑘)𝑑𝑘, (1.2.2)
onde F−1 é chamado de operador inverso da transformada de Fourier.
Claramente, tanto F quanto F−1 são operadores integrais lineares.
Propriedades básicas da transformada de Fourier
Consideremos o número 𝑎 ∈ IR* e a notação adotada para o conjugado do número complexo
com uma barra, então a transformada de Fourier tem as seguintes propriedades: 1. F {𝑓(𝑥 − 𝑎)} = 𝑒−𝑖𝑘𝑎F {𝑓(𝑥)}, 2. F {𝑓(𝑎𝑥)} = 1 |𝑎|𝐹 (︁𝑘 𝑎 )︁ , 3. F {𝑓(−𝑥)} = F {𝑓(𝑥)}, 4. F {𝑒𝑖𝑎𝑥𝑓(𝑥)} = 𝐹 (𝑘 − 𝑎), 5. F {𝐹 (𝑥)} = 𝑓(−𝑘), 6. ∫︀∞ −∞𝐹(𝑘)𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘 = ∫︀∞ −∞𝑓(𝜉)𝐺(𝜉 − 𝑥)𝑑𝜉, onde 𝐺(𝑘) = F {𝑔(𝑥)}.
Por ser mais notória em nosso trabalho, provamos, a seguir, a primeira propriedade. Desenvolvendo o primeiro membro, obtemos
F {𝑓(𝑥 − 𝑎)} = √1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑓(𝑥 − 𝑎)𝑑𝑥 = √1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘(𝜉+𝑎) 𝑓(𝜉)𝑑𝜉, (1.2.3) ou seja, F {𝑓(𝑥 − 𝑎)} = 𝑒−𝑖𝑘𝑎√1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑘𝜉𝑓(𝜉)𝑑𝜉 = 𝑒−𝑖𝑘𝑎F {𝑓(𝑥)}. (1.2.4)
1.2.2
Transformada de Fourier da derivada
Se 𝑓(𝑥) é continuamente diferenciável e 𝑓(𝑥) → 0 quando |𝑥| → ∞, então
F {𝑓′(𝑥)} = (𝑖𝑘)F {𝑓(𝑥)} = 𝑖𝑘𝐹 (𝑘). (1.2.5)
De fato, temos por definição o seguinte F {𝑓′(𝑥)} = √1
2𝜋
∫︁ ∞
−∞
𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑓′(𝑥)𝑑𝑥, (1.2.6)
a qual, integrando por partes, fornece F {𝑓′(𝑥)} = √1 2𝜋[𝑓(𝑥)𝑒 −𝑖𝑘𝑥]∞ −∞+ 𝑖𝑘 √ 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑖𝑘)𝐹 (𝑘). (1.2.7)
Como 𝑓(𝑥) é 𝑛 vezes continuamente diferenciável e 𝑓(𝑘)(𝑥) → 0 quando |𝑥| → ∞ para
𝑘 = 1, 2, . . . , (𝑛 − 1), então a transformada de Fourier da 𝑛-ésima derivada é dada por
F {𝑓(𝑛)(𝑥)} = (𝑖𝑘)𝑛F {𝑓(𝑥)} = (𝑖𝑘)𝑛𝐹(𝑘), (1.2.8)
onde aplicamos repetidamente o resultado dado em (1.2.5).
1.2.3
Transformada de Fourier da convolução
Consideremos, primeiramente, a convolução de duas funções integráveis 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), deno-tada por 𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥) e definida por
𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥) = √1 2𝜋
∫︁ ∞
−∞
𝑓(𝑥 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉. (1.2.9)
Se F {𝑓(𝑥)} = 𝐹 (𝑘) e F {𝑔(𝑥)} = 𝐺(𝑘), então a transformada de Fourier do produto de convolução 𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥) é dado por
F {𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥)} = 𝐹 (𝑘)𝐺(𝑘), (1.2.10)
ou, de outro modo
𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥) = F−1{𝐹(𝑘)𝐺(𝑘)}, (1.2.11) ou, equivalentemente, ∫︁ ∞ −∞ 𝑓(𝑥 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉 = ∫︁ ∞ −∞ 𝑒𝑖𝑘𝑥𝐹(𝑘)𝐺(𝑘)𝑑𝑘. (1.2.12)
De fato, considerando o produto de convolução definido por
𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥) =
∫︁ ∞
−∞𝑓(𝑥 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉, (1.2.13)
e, ainda, a definição da transformada de Fourier dada pela equação (1.2.1) temos o seguinte F {𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥)} = 2𝜋1 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥 ∫︁ ∞ −∞𝑓(𝑥 − 𝜉)𝑔(𝜉)𝑑𝜉. (1.2.14)
Logo, F {𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥)} = 2𝜋1 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑘𝜉𝑔𝜉𝑑𝜉 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑘(𝑥−𝜉)𝑓(𝑥 − 𝜉)𝑑𝑥. (1.2.15)
Assim, substituindo 𝜂 = 𝑥 − 𝜉, obtemos F {𝑓(𝑥) * 𝑔(𝑥)} = 2𝜋1 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘𝜉 𝑔𝜉𝑑𝜉 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘𝜂 𝑓(𝜂)𝑑𝜂 = 𝐺(𝑘)𝐹 (𝑘), (1.2.16)
e, com isso, provamos a equação (1.2.10).
1.3
A transformada de Mellin
Nessa seção apresentamos a definição da transformada de Mellin bem como de sua inversa. Relacionamos, em seguida, esses operadores com a função gama e as funções de Mittag-Leffler de um, dois e três parâmetros.
1.3.1
Definição e exemplos
A transformada de Mellin, bem como sua inversa são definidas a partir da transformada de Fourier e de sua inversa, respectivamente,
F {𝑔(𝜉)} = 𝐺(𝑘) = √1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞𝑒 −𝑖𝑘𝜉 𝑔(𝜉)𝑑𝜉 (1.3.1) e F−1{𝐺(𝑘)} = 𝑔(𝜉) = √1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞𝑒 𝑖𝑘𝜉 𝐺(𝑘)𝑑𝑘. (1.3.2)
Introduzindo a mudança de variável 𝑒𝜉 = 𝑥 e 𝑖𝑘 = 𝑐 − 𝑝, com 𝑐 constante, nas equações (1.3.1)
e (1.3.2), obtemos, respectivamente 𝐺(𝑖𝑝 − 𝑖𝑐) = √1 2𝜋 ∫︁ ∞ 0 𝑥𝑝−𝑐−1𝑔(ln 𝑥)𝑑𝑥 (1.3.3) e 𝑔(ln 𝑥) = √1 2𝜋 ∫︁ 𝑐+𝑖∞ 𝑐−𝑖∞ 𝑥𝑐−𝑝𝐺(𝑖𝑝 − 𝑖𝑐)𝑑𝑝. (1.3.4) Agora, considerando, √1 2𝜋𝑥 −𝑐𝑔(ln 𝑥) ≡ 𝑓(𝑥) e 𝐺(𝑖𝑝 − 𝑖𝑐) ≡ ˜𝑓(𝑝) definimos a transformada de
Mellin de 𝑓(𝑥) e sua transformada de Mellin inversa como M {𝑓(𝑥)} = ˜𝑓(𝑝) = ∫︁ ∞ 0 𝑥𝑝−1𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (1.3.5) e M−1{ ˜ 𝑓 }= 𝑓(𝑥) = 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝑐+𝑖∞ 𝑐−𝑖∞ 𝑥−𝑝𝑓˜(𝑝)𝑑𝑝, (1.3.6)
onde 𝑓(𝑥) é uma função real definida no intervalo (0, ∞) e a transformada de Mellin é uma função de variável 𝑝 complexa. Algumas vezes, a transformada de Mellin de 𝑓(𝑥) é deno-tada explicitamente por ˜𝑓(𝑝) = M [𝑓(𝑥), 𝑝]. Obviamente, M e M−1 são operadores integrais
Em virtude da importância, calculamos a transformada de Mellin de 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥. Então, temos M {𝑒−𝑥}= ˜ 𝑓(𝑝) = ∫︁ ∞ 0 𝑥𝑝−1𝑒−𝑥 = Γ(𝑝), (1.3.7)
ou seja, uma outra representação da função gama, dada em termos da transformada de Mellin.
A função beta
Uma função que é útil na avaliação de certas integrais do tipo Mellin-Barnes é a função beta.
A função beta é definida pela seguinte integral
𝐵(𝑥, 𝑦) =
∫︁ 1
0
𝑡𝑥−1(1 − 𝑡)𝑦−1𝑑𝑡, com Re(𝑥) > 0 e Re(𝑦) > 0. (1.3.8)
Considerando a substituição 𝑡 = 1/(1 + 𝑢), essa integral pode ser escrita na forma
𝐵(𝑥, 𝑦) =
∫︁ ∞
0
𝑢𝑦−1(1 + 𝑢)−𝑥−𝑦𝑑𝑢. (1.3.9)
Observemos, pela definição (1.1.1) da função gama, que Γ(𝑎)Γ(𝑏) =∫︁ ∞
0
∫︁ ∞
0
𝑥𝑎−1𝑦𝑏−1𝑒−𝑥−𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦. (1.3.10)
A partir da mudança de variável 𝑥 = 𝑢𝑣, 𝑦 = 𝑢(1 − 𝑣), onde 0 < 𝑢 < ∞, 0 < 𝑣 < 1, sendo o jacobiano da transformação dado por
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑣, 𝑢) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = 𝑑𝑒𝑡 [︃ 𝑢 𝑣 −𝑢 (1 − 𝑣) ]︃ = 𝑢, (1.3.11) obtemos Γ(𝑎)Γ(𝑏) =∫︁ ∞ 0 ∫︁ 1 0 𝑢𝑎−1𝑣𝑎−1𝑢𝑏−1(1 − 𝑣)𝑏−1𝑒−𝑢𝑢𝑑𝑣𝑑𝑢, (1.3.12) o que implica em Γ(𝑎)Γ(𝑏) =∫︁ 1 0 𝑢𝑎+𝑏−1𝑒−𝑢𝑑𝑢 ∫︁ 1 0 𝑣𝑎−1(1 − 𝑣)𝑏−1𝑑𝑣. (1.3.13)
Usando em (1.3.13) as definições (1.1.1) e (1.3.8), temos
Γ(𝑎)Γ(𝑏) = Γ(𝑎 + 𝑏)𝐵(𝑎, 𝑏), (1.3.14)
assim, obtemos a representação mais usual da função beta dada pela forma
𝐵(𝑎, 𝑏) = Γ(𝑎)Γ(𝑏)
Γ(𝑎 + 𝑏). (1.3.15)
Devido a importância, explicitamos o cálculo da transformada de Mellin de 𝑓(𝑥) = 1
1+𝑥. Então, temos M {︂ 1 1 + 𝑥 }︂ = ˜𝑓(𝑝) = ∫︁ ∞ 0 𝑥𝑝−1 1 1 + 𝑥𝑑𝑥, (1.3.16) assim, substituindo 𝑥 = 𝑡
1−𝑡 e, ainda, usando a fórmula da reflexão de Euler [3], obtemos
˜
𝑓(𝑝) =
∫︁ 1
0
𝑡𝑝−1(1 − 𝑡)(1−𝑝)−1𝑑𝑡 = 𝐵(𝑝, 1 − 𝑝) = Γ(𝑝)Γ(1 − 𝑝) = 𝜋 csc(𝑝𝜋), 0 < Re(𝑝) < 1,(1.3.17)
1.3.2
A integral de Mellin-Barnes nas representações das funções de
Mittag-Leffler
A integral de Mellin-Barnes é a integral da transformada de Mellin inversa cujo integrando envolve funções gama na forma
∫︁ 𝑐+𝑖∞ 𝑐−𝑖∞ Γ(𝛼1+ 𝐴1𝑠) · · · Γ(𝛼𝑛+ 𝐴𝑛𝑠) Γ(𝛾1+ 𝐶1𝑠) · · · Γ(𝛾𝑛+ 𝐶𝑛𝑠) × Γ(𝛽1+ 𝐵1𝑠) · · · Γ(𝛽𝑛+ 𝐵𝑛𝑠) Γ(𝛿1 + 𝐷1𝑠) · · · Γ(𝛿𝑛+ 𝐷𝑛𝑠) 𝑧−𝑠𝑑𝑠, (1.3.18)
onde os polos de Γ(𝛼𝑖+𝐴𝑖𝑠) são separados dos polos de Γ(𝛽𝑗+𝐵𝑗𝑠) da seguinte forma: o contorno
de integração fica à direita dos polos de Γ(𝛼𝑖+ 𝐴𝑖𝑠) e à esquerda dos pólos de Γ(𝛽𝑗 + 𝐵𝑗𝑠).
Integrais dessa forma representam várias funções especiais, destacamos aqui, aquelas envolvidas no nosso trabalho.
Seja 𝛼 ∈ IR+. A função de Mittag-Leffler 𝐸𝛼(𝑧) pode ser representada pela integral de
Mellin-Barnes como segue
𝐸𝛼(𝑧) = 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(1 − 𝑠)(−𝑧)−𝑠 Γ(1 − 𝛼𝑠) 𝑑𝑠, com | arg 𝑧| < 𝜋, (1.3.19)
em que o contorno de integração 𝐿, começa em 𝑐−𝑖∞ e termina em 𝑐+𝑖∞, 0 < 𝑐 < 1 separando todos os polos 𝑠 = −𝑘, 𝑘 = 0, 1, 2, · · · do lado esquerdo e todos os polos 𝑠 = 1 + 𝑛, 𝑛 = 0, 1, · · · do lado direito.
De fato, calculando a integral como uma soma dos resíduos nos pontos 𝑠 = 0, −1, −2, · · · , obtemos 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(1 − 𝑠)(−𝑧)−𝑠 Γ(1 − 𝛼𝑠) 𝑑𝑠= ∞ ∑︁ 𝑘=0 lim 𝑠↦→−𝑘 [︃ (𝑠 + 𝑘)Γ(𝑠)Γ(1 − 𝑠)(−𝑧)−𝑠 Γ(1 − 𝛼𝑠) ]︃ . (1.3.20) Assim, temos 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(1 − 𝑠)(−𝑧)−𝑠 Γ(1 − 𝛼𝑠) 𝑑𝑠 = ∞ ∑︁ 𝑘=0 𝑧𝑘Γ(1 + 𝑘) 𝑘!Γ(1 + 𝛼𝑘) = 𝐸𝛼(𝑧). (1.3.21)
Disso segue, ainda, da definição de função H-Fox2, a seguinte forma de representação
𝐸𝛼(𝑧) = H1,11,2 [︃ −𝑧| (0, 1) (0, 1); (0, 𝛼) ]︃ . (1.3.22)
Em particular, 𝐸𝛼(·) pode ser expressa em termos da função de Wright generalizada3 na forma
𝐸𝛼(𝑧) = 1Ψ1 [︃ 𝑧| (1, 1) (1, 𝛼) ]︃ . (1.3.23)
De modo análogo, podemos mostrar que a função de Mittag-Leffler de dois parâmetros pode ser representada da seguinte forma
𝐸𝛼,𝛽(𝑧) = 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(1 − 𝑠)(−𝑧)−𝑠 Γ(𝛽 − 𝛼𝑠) 𝑑𝑠. (1.3.24) 2Ver Apêndice A. 3Ver Apêndice B.
Consequentemente, segue a representação por meio da função H-Fox 𝐸𝛼,𝛽(𝑧) = H1,11,2 [︃ −𝑧| (0, 1) (0, 1); (1 − 𝛽, 𝛼) ]︃ . (1.3.25)
E, em termos da função de Wright temos a representação
𝐸𝛼,𝛽(𝑧) = 1Ψ1 [︃ 𝑧| (1, 1) (𝛽, 𝛼) ]︃ . (1.3.26)
A função de Mittag-Leffler de três parâmetros também pode ser representada em termos da integral de Mellin-Barnes e em termos da função H-Fox, como vemos a seguir
𝐸𝛽,𝛾𝛿 (𝑧) = 1 Γ(𝛿) 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(𝛿 − 𝑠) Γ(𝛾 − 𝛽𝑠) (−𝑧) −𝑠 𝑑𝑠. (1.3.27)
De fato, procedendo como nas anteriores, temos 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(𝛿 − 𝑠) Γ(𝛾 − 𝛽𝑠) (−𝑧)−𝑠𝑑𝑠= ∞ ∑︁ 𝑘=0 lim 𝑠↦→−𝑘 [︃ (𝑠 + 𝑘)Γ(𝑠)Γ(𝛿 − 𝑠)(−𝑧)−𝑠 Γ(𝛾 − 𝛽𝑠) ]︃ . (1.3.28) Assim, 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(𝛿 − 𝑠) Γ(𝛾 − 𝛽𝑠) (−𝑧) −𝑠 𝑑𝑠= ∞ ∑︁ 𝑘=0 𝑧𝑘Γ(𝛿 + 𝑘) 𝑘!Γ(𝛾 + 𝛽𝑘), (1.3.29)
que nos conduz a 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝐿 Γ(𝑠)Γ(𝛿 − 𝑠) Γ(𝛾 − 𝛽𝑠) (−𝑧)−𝑠𝑑𝑠 = Γ(𝛿) ∞ ∑︁ 𝑘=0 (𝛿)𝑘 𝑘!Γ(𝛾 + 𝛽𝑘)𝑧 𝑘 = Γ(𝛿)𝐸𝛿 𝛽,𝛾(𝑧). (1.3.30)
Em termos da função H-Fox temos
𝐸𝛽,𝛾𝛿 (𝑧) = 1 Γ(𝛿)H 1,1 1,2 [︃ −𝑧| (1 − 𝛿, 1) (0, 1); (1 − 𝛾, 𝛽) ]︃ . (1.3.31)
E, usando a função de Wright temos
𝐸𝛽,𝛾𝛿 (𝑧) = 1 Γ(𝛿)1Ψ1 [︃ 𝑧| (𝛿, 1) (𝛾, 𝛽) ]︃ . (1.3.32)
1.4
Transformada de Laplace
Seja a fórmula da integral de Fourier, conforme vista na seção anterior dada por
𝑓(𝑥) = 1 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑘𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡. (1.4.1)
Definimos então, a função 𝑔(𝑥) no intervalo (−∞, 0) da seguinte forma 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥𝑓(𝑥)𝑢0(𝑥), (1.4.2) onde 𝑢0(𝑥) = ⎧ ⎨ ⎩ 1, 𝑥 ≥0 0, 𝑥 <0 (1.4.3) e 𝑎 é um número positivo. Assim a equação (1.4.1) torna-se
𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 2𝜋 ∫︁ ∞ −∞ 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘 ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑡(𝑎+𝑖𝑘)𝑔(𝑡)𝑑𝑡. (1.4.4)
Introduzindo a mudança de variável 𝑠 = 𝑎 + 𝑖𝑘, obtemos
𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑎𝑥 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝑎+𝑖∞ 𝑎−𝑖∞ 𝑒(𝑠−𝑎)𝑥𝑑𝑠 ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡. (1.4.5)
A transformada de Laplace de 𝑔(𝑡) é formalmente definida por L {𝑔(𝑡)} =𝑔̃︀(𝑠) =
∫︁ ∞
0
𝑒−𝑠𝑡𝑔(𝑡)𝑑𝑡, com Re(𝑠) > 0, (1.4.6)
onde 𝑒−𝑠𝑡 é o núcleo da transformada e 𝑠 é um número complexo.
Sob condições gerais, a transformada 𝑔̃︀(𝑠) é analítica no semiplano onde Re(𝑠)> 0.
Da equação (1.4.5) obtemos a definição da transformada de Laplace inversa como sendo L−1{ ̃︀ 𝑔(𝑠)} = 𝑔(𝑡) = 1 2𝜋𝑖 ∫︁ 𝑎+𝑖∞ 𝑎−𝑖∞ 𝑒𝑠𝑡𝑔̃︀(𝑠)𝑑𝑠, (1.4.7) com 𝑎 > 0.
A transformada de Laplace, bem como sua inversa, são operadores integrais lineares. Ainda, como nos precedentes, vamos obter a transformada de Laplace para três funções que nos serão úteis no decorrer do trabalho.
∙ Seja 𝑓(𝑡) = 1, então, para 𝑡 > 0, temos
̃︀ 𝑓(𝑠) = L {1} = ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = 1 𝑠. (1.4.8)
∙ Seja 𝛼 um número real maior que −1, então temos L {𝑡𝛼}=∫︁ ∞ 0 𝑡𝛼𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡. (1.4.9) Substituindo 𝑠𝑡 = 𝑥, obtemos L {𝑡𝛼}= 1 𝑠𝑎+1 = ∫︁ ∞ 0 𝑥𝛼𝑒−𝑥𝑑𝑥. (1.4.10)
Assim, utilizando a definição de função gama, temos L {𝑡𝛼}= Γ(𝛼 + 1)
ou, de outro modo,
L−1{𝑠−(𝛼+1)}= 𝑡𝛼
Γ(𝛼 + 1). (1.4.12)
O resultado obtido na equação (1.4.12) também é válido para 𝛼 = 0 onde, substituindo 𝛼 por
𝛼 −1, obtemos lim 𝛼→0L {︃ 𝑡𝛼−1 Γ(𝛼) }︃ = lim 𝛼→0𝑠 −𝛼 = 1. (1.4.13)
∙ Sejam Re(𝑎)> 0, Re(𝑏)> 0, Re(𝑐)> 0 e |𝑠|𝜏𝑎𝑎|| > 1. A transformada de Laplace da função produto é dada por
L [𝑡𝑏−1𝐸𝑐
𝑎,𝑏(∓(𝜏𝑡)
𝑎)](𝑠) = 𝑠𝑎𝑐−𝑏
(𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐, (1.4.14)
onde 𝐸𝑐
𝑎,𝑏(𝑥) é a função de Mittag-Leffler com três parâmetros.
Primeiro observemos o seguinte
𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 = 𝑠−𝑏 (︁ 1 ± 𝜏𝑎 𝑠𝑎 )︁𝑐 = 𝑠 −𝑏[︂1 ±(︂𝜏 𝑠 )︂𝑎]︂−𝑐 . (1.4.15)
Expandindo em série a expressão entre colchetes, obtemos
𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 = 𝑠 −𝑏[︂1 ±(︂𝜏 𝑠 )︂𝑎]︂−𝑐 = 𝑠−𝑏 ∞ ∑︁ 𝑘=0 (︃ −𝑐 𝑘 )︃[︂ ± (︂𝜏 𝑠 )︂𝑎]︂𝑘 . (1.4.16) Como (︃ −𝑐 𝑘 )︃ = (−𝑐)(−𝑐 − 1)(−𝑐 − 2) · · · (−𝑐 − 𝑘 + 1) 𝑘! , (1.4.17)
podemos desenvolver essa expressão de modo a obter
(︃ −𝑐 𝑘 )︃ = (−1)𝑘𝑐(𝑐 + 1)(𝑐 + 2) · · · (𝑐 + 𝑘 − 1) 𝑘! = (−1) 𝑘Γ(𝑐 + 𝑘) Γ(𝑐)𝑘! , (1.4.18)
e, usando o símbolo de Pochhammer, temos
(︃ −𝑐 𝑘 )︃ = (−1)𝑘(𝑐)𝑘 𝑘! . (1.4.19)
Com essa última relação, podemos desenvolver a expressão (1.4.15) na seguinte forma
𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 = 𝑠 −𝑏 ∞ ∑︁ 𝑘=0 (−1)𝑘(𝑐)𝑘 𝑘! [︂ ± (︂𝜏 𝑠 )︂𝑎]︂𝑘 , (1.4.20) ou seja, 𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 = ∞ ∑︁ 𝑘=0 (𝑐)𝑘 𝑘! (∓𝜏 𝑎)𝑘𝑠−(𝑎𝑘+𝑏) . (1.4.21)
Assim, aplicamos a transformada de Laplace inversa na última equação L−1 [︃ 𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 ]︃ = ∑︁∞ 𝑘=0 (𝑐)𝑘 𝑘! (∓𝜏 𝑎)𝑘L−1(𝑠−(𝑎𝑘+𝑏)), (1.4.22)
de modo a obter, conforme vimos na equação (1.4.12), o seguinte L−1 [︃ 𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 ]︃ = ∞ ∑︁ 𝑘=0 (𝑐)𝑘 𝑘! (∓𝜏 𝑎)𝑘 𝑡𝑎𝑘+𝑏−1 Γ(𝑎𝑘 + 𝑏). (1.4.23)
Assim, separando os fatores envolvidos no somatório, obtemos L−1 [︃ 𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 ]︃ = 𝑡𝑏−1 ∞ ∑︁ 𝑘=0 (𝑐)𝑘 𝑘! (∓(𝜏𝑡)𝑎)𝑘 Γ(𝑎𝑘 + 𝑏). (1.4.24)
Nessa última, identificamos a função de Mittag-Leffler com três parâmetros e representamos L−1 [︃ 𝑠𝑎𝑐−𝑏 (𝑠𝑎± 𝜏𝑎)𝑐 ]︃ = 𝑡𝑏−1𝐸𝑐 𝑎,𝑏(∓(𝜏𝑡)𝑎) , (1.4.25)
que é a equação (1.4.14) a qual queríamos demonstrar.
A seguir, vamos elencar alguns casos particulares da transformada de Laplace dessa função. ∙ Considere a função 𝐸𝑎[−(𝜏𝑡)𝑎]. Temos que a transformada de Laplace dessa função é um
caso particular de (1.4.14) onde 𝑏 = 𝑐 = 1. Logo, podemos escrever
L [𝐸𝑎[−(𝜏𝑡)𝑎]](𝑠) =
𝑠𝑎−1
𝑠𝑎+ 𝜏𝑎. (1.4.26)
∙ Considere a função 𝑡𝑏−1𝐸
𝑎,𝑏[−(𝜏𝑡)𝑎]. Esse é um outro caso particular de (1.4.14) onde 𝑐 = 1.
Assim, temos L [𝑡𝑏−1 𝐸𝑎,𝑏[−(𝜏𝑡)𝑎]](𝑠) = 𝑠𝑎−𝑏 (𝑠𝑎+ 𝜏𝑎). (1.4.27) ∙ Considere a função 𝐸𝑐
𝑎,1[−(𝜏𝑡)𝑎]. Esse é outro caso particular de (1.4.14) onde fixamos o
parâmetro 𝑏 igual à unidade. Assim, temos L [𝐸𝑐 𝑎,1[−(𝜏𝑡) 𝑎]](𝑠) = 𝑠𝑎𝑐−1 (𝑠𝑎+ 𝜏𝑎)𝑐. (1.4.28)
1.4.1
Teorema da translação
Seja L {𝑓(𝑡)} =𝑓̃︀(𝑠). A transformada de Laplace da função 𝑓(𝑡) é
L {𝑒−𝑎𝑡
𝑓(𝑡)} =𝑓̃︀(𝑠 + 𝑎), (1.4.29)
onde 𝑎 é uma constante real.
Demonstração. L {𝑒−𝑎𝑡 𝑓(𝑡)} = ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑎𝑡𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = ∫︁ ∞ 0 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡. (1.4.30)
Fazendo a substituição 𝜔 = 𝑠 + 𝑎 temos L {𝑒−𝑎𝑡
𝑓(𝑡)} =
∫︁ ∞
0
𝑒−𝜔𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =𝑓̃︀(𝜔), (1.4.31)
voltando com a substituição de 𝜔 obtemos a igualdade (1.4.29). De outro modo, podemos escrever
L−1{
̃︀
1.4.2
Transformada de Laplace da derivada de ordem inteira
Teorema 1.4.1. Seja L {𝑓(𝑡)} =𝑓̃︀(𝑠). Vale a identidade
L {𝑓𝑛(𝑡)} = 𝑠𝑛· ̃︀ 𝑓(𝑠) − 𝑛−1 ∑︁ 𝑘=0 𝑠𝑘𝑓(𝑛−𝑘−1)(0). (1.4.33)
onde 𝑓(𝑛)(0) é a enésima derivada da função 𝑓(𝑡) calculada em 𝑡 = 0.
Demonstração. Provemos por indução. Para 𝑛 = 1 a identidade é válida
L {𝑓′ (𝑡)} = L {︃ 𝑑 𝑑𝑡𝑓(𝑡) }︃ =∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)|∞0 + 𝑠 ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡, (1.4.34) isto é, L {𝑓′ (𝑡)} = 𝑠𝑓̃︀(𝑠) − 𝑓(0). (1.4.35)
Supondo válido para 𝑛 − 1, ou seja,
L {𝑓(𝑛−1)(𝑡)} = 𝑠𝑛−1·L {𝑓(𝑡)} − 𝑛−2
∑︁
𝑘=0
𝑠𝑘𝑓(𝑛−𝑘−2)(0). (1.4.36)
Então, temos o seguinte L {𝑓𝑛(𝑡)} = L {︃ 𝑑 𝑑𝑡𝑓 (𝑛−1)(𝑡) }︃ =∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑛)(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑛−1)(𝑡)|∞0 + 𝑠 ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑛−1)(𝑡)𝑑𝑡, (1.4.37) ou seja, L {𝑓𝑛(𝑡)} = −𝑓(𝑛−1)(0)+𝑠 [︃ 𝑠𝑛−1·L {𝑓(𝑡)} − 𝑛−2 ∑︁ 𝑘=0 𝑠𝑘𝑓(𝑛−𝑘−2)(0) ]︃ = 𝑠𝑛·L {𝑓(𝑡)}− 𝑛−1 ∑︁ 𝑘=0 𝑠𝑘𝑓(𝑛−𝑘−1)(0), (1.4.38) que é o resultado desejado.
Equação de Relaxação
Considere a equação de relaxação como segue
𝑑
𝑑𝑡𝑓(𝑡) = −𝑐 𝑓(𝑡), com 𝑓(0) = 1, 𝑡 ≥ 0 e 𝑐 > 0. (1.4.39)
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros e usando o resultado da equação (1.4.35), temos 𝑠𝑓̃︀(𝑠) − 𝑓(0) = −𝑐𝑓̃︀(𝑠), (1.4.40) de onde segue ̃︀ 𝑓(𝑠) = 1 𝑠+ 𝑐. (1.4.41)
Aplicando a transformada de Laplace inversa e a igualdade (1.4.32), obtemos a solução 𝑓(𝑡) =
1.4.3
Transformada de Laplace da convolução
A convolução das funções 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡) é dada pela integral
𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡) =
∫︁ 𝑡
0
𝑓(𝑡 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦. (1.4.42)
Denotamos essa convolução integral como (𝑓*𝑔)(𝑡). Dessa forma, consideremos L {𝑓(𝑡)} =𝑓̃︀(𝑠)
e L {𝑔(𝑡)} =𝑔̃︀(𝑠), então tomando a transformada de Laplace, temos
L {𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡)} = L {𝑓(𝑡)}L {𝑔(𝑡)} =𝑓̃︀(𝑠) · ̃︀
𝑔(𝑠), (1.4.43)
ou, de outro modo,
L−1{
̃︀
𝑓(𝑠) ·𝑔̃︀(𝑠)} = 𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡). (1.4.44)
Demonstração. A partir da expressão
L {𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡)} =∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 ∫︁ 𝑡 0 𝑓(𝑡 − 𝑦)𝑔(𝑦)𝑑𝑦, (1.4.45)
mudando a ordem de integração, obtemos L {𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡)} =∫︁ ∞ 0 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 ∫︁ ∞ 𝑡=𝑦 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡 − 𝑦)𝑑𝑦. (1.4.46)
Introduzindo a mudança de variável 𝑡 − 𝑦 = 𝑥, obtemos L {𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡)} =∫︁ ∞ 0 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠(𝑥+𝑦)𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (1.4.47) ou seja, L {𝑓(𝑡) * 𝑔(𝑡)} =∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑦𝑔(𝑦)𝑑𝑦 ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑓̃︀(𝑠) ·𝑔̃︀(𝑠), (1.4.48)
que é o resultado desejado.
Nesse capítulo revisamos as definições das funções especiais gama e de Mittag-Leffler. Em seguida, estudamos as transformadas integrais de Fourier, de Mellin e de Laplace e algumas de suas propriedades, as quais são pertinentes no nosso trabalho.
Resolvemos, como exemplo, a equação de relaxação de ordem inteira igual a um e calculamos a transformada de Laplace de uma determinada função produto a qual envolve as funções de Mittag-Leffler. Representamos, graficamente, alguns casos particulares dessa função produto, verificamos a fórmula da sua transformada de Laplace e elencamos exemplos nos quais fixamos alguns de seus parâmetros na unidade.
Capítulo 2
Cálculo Fracionário e Equações de
Relaxação Fracionárias
O Cálculo de Ordem Arbitrária ou Cálculo Fracionário, como é conhecido, começou a ser investigado na mesma época em que se consolidava o cálculo diferencial e integral de ordem inteira. Esse último foi desenvolvido por Newton e Leibniz de forma paralela e independente. A origem do Cálculo Fracionário data de 1695 quando L’Hôpital (1661-1704) perguntou, em carta, ao seu amigo Leibniz (1646-1716) qual deveria ser o significado de 𝑑𝑛𝑦/𝑑𝑥𝑛 para 𝑛 igual
a 1/2, ou seja, para 𝑛 fracionário. Depois disso, essa questão ainda se ampliou: "Pode 𝑛 ser qualquer número: fracionário, irracional, ou complexo?". Com esse novo questionamento, o definido e consolidado nome "Cálculo Fracionário" tornou-se um equívoco, pois poderia, mais adequadamente, ser chamado de "Cálculo de Ordem Arbitrária". Como o Cálculo Fracionário está baseado na concepção de uma ordem genérica, ele deve ser uma generalização do cálculo de ordem inteira e daí a preocupação em fundamentá-lo e justificá-lo de maneira rigorosa. Com sua surpreendente pergunta, l’Hôpital dá o pontapé inicial na investigação das integrais e derivadas de ordem arbitrária, bem como em suas aplicações. Desde então, vários matemáticos se debruçaram sobre esse assunto e suas efetivas contribuições resultaram no desenvolvimento do Cálculo Fracionário cuja primeira conferência internacional aconteceu em 1974, na Universidade de New Haven (EUA). Até bem pouco tempo atrás, o Cálculo Fracionário era considerado uma teoria matemática predominantemente esotérica e sem aplicações, porém, nas últimas décadas a investigação nesse ramo se intensificou encontrando aplicações em vários ramos da ciência como na física, na matemática, na química, nos sistemas de finanças, na economia e na engenharia e em ciências sociais. Daí sua importância e a surpreendente explosão de atividades de pesquisa sobre esse tema.
Atualmente, na matemática moderna, existe a natural tendência de generalizar as equações diferenciais, parciais ou ordinárias. Essa generalização ocorre de maneira diversificada com a aplicação das várias derivadas fracionárias definidas na literatura [13, 48, 82]. Dentre as derivadas fracionárias em uso, na generalização de equações diferenciais, destacamos a derivada de Riemann–Liouville e a derivada de Caputo.
Assim, estudamos, nesse capítulo, essas duas derivadas fracionárias, as quais aparecem, em particular, na equação de relaxação fracionária.
2.1
Derivada de Riemann–Liouville
A definição da derivada fracionária no sentido de Riemann–Liouville baseia-se no fato de a derivação ser a operação inversa da integração.
Assim, através da fórmula de Cauchy para integral de ordem inteira 𝑛 e da posterior substituição de 𝑛 por 𝛼 introduzimos, primeiramente, a integral fracionária de Riemann–Liouville. Em seguida, definimos a derivada como operador inverso à esquerda da integração. Depois disso, apresentamos algumas propriedades e particularidades envolvendo esses operadores fracionários.
2.1.1
Breve revisão sobre a integral de ordem inteira
Seja uma função 𝑓 contínua na reta real e 𝑎 um ponto dessa reta, então podemos considerar a seguinte fórmula da integral
𝐼𝑎+1 [𝑓(𝑥)] ≡ ∫︁ 𝑥 𝑎 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 1 𝑘! 𝑑𝑘 𝑑𝑥𝑘 ∫︁ 𝑥 𝑎 (𝑥 − 𝑦) 𝑘 𝑓(𝑦)𝑑𝑦, para 𝑥 > 𝑎. (2.1.1)
No caso de uma dupla integração, usando a equivalência dada pela equação (2.1.1), obtemos
𝐼𝑎+2 [𝑓(𝑥)] = ∫︁ 𝑥 𝑎 [︂∫︁ 𝑥1 𝑎 𝑓(𝑥0)𝑑𝑥0 ]︂ 𝑑𝑥1. (2.1.2)
Usando a segunda igualdade da equação (2.1.1) na integral entre colchetes da equação (2.1.2), para 𝑘 = 1, obtemos 𝐼𝑎+2 [𝑓(𝑥)] = ∫︁ 𝑥 𝑎 [︃ 1 1! 𝑑 𝑑𝑥1 ∫︁ 𝑥1 𝑎 (𝑥1 − 𝑥0)𝑓(𝑥0)𝑑𝑥0 ]︃ 𝑑𝑥1, (2.1.3) ou seja, 𝐼𝑎+2 [𝑓(𝑥)] = 1 1! ∫︁ 𝑥 𝑎 ∫︁ 𝑥1 𝑎 {︃ 𝑑 𝑑𝑥1 [(𝑥1− 𝑥0)𝑓(𝑥0)𝑑𝑥0] 𝑑𝑥1 }︃ . (2.1.4) Assim, 𝐼𝑎+2 [𝑓(𝑥)] = 1 1! ∫︁ 𝑥 𝑎 (𝑥 − 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 (2.1.5)
O que a equação (2.1.5) sugere e que vamos provar agora é que para 𝑛 iterações, ou seja, para
𝐼𝑎+𝑛 [𝑓(𝑥)] = ∫︁ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥𝑛−1 ∫︁ 𝑥𝑛−1 𝑎 · · · ∫︁ 𝑥1 𝑎 𝑓(𝑥0)𝑑𝑥0, para 𝑥 > 𝑎, (2.1.6)
obtemos a fórmula de Cauchy
𝐼𝑎+𝑛 [𝑓(𝑥)] = 1 (𝑛 − 1)! ∫︁ 𝑥 𝑎 𝑓(𝑦) (𝑥 − 𝑦)1−𝑛𝑑𝑦, 𝑥 > 𝑎. (2.1.7)
De fato, para 𝑛 = 1 a fórmula (2.1.7) é válida pois
𝐼𝑎+1 [𝑓(𝑥)] =
∫︁ 𝑥
𝑎
𝑓(𝑦)𝑑𝑦, (2.1.8)
que é a integração simples como conhecemos. Pelo teorema fundamental do cálculo, temos
𝑑 𝑑𝑥[𝐼 1 𝑎+[𝑓(𝑥)]] = 𝑑 𝑑𝑥 ∫︁ 𝑥 𝑎 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥), (2.1.9) onde 𝐼𝑎+1 [𝑓(𝑎)] = ∫︁ 𝑎 𝑎 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 0. (2.1.10)
Suponha que a fórmula (2.1.7) seja válida para 𝑛, então provaremos que também satisfaz o caso
𝑛+ 1. Usando, primeiramente, a regra da integral de Leibniz, temos 𝑑 𝑑𝑥 [︂1 𝑛! ∫︁ 𝑥 𝑎 (𝑥 − 𝑡) 𝑛𝑓(𝑡)𝑑𝑡]︂= 1 (𝑛 − 1)! ∫︁ 𝑥 𝑎 (𝑥 − 𝑡) 𝑛−1𝑓(𝑡)𝑑𝑡. (2.1.11)
Assim, aplicando a hipótese de indução, temos, pelas equações (2.1.7) e (2.1.8) o seguinte
𝐼𝑎+𝑛+1[𝑓(𝑥)] = 𝐼𝑎+1 [𝐼𝑎+𝑛 [𝑓(𝑥)]] = ∫︁ 𝑥 𝑎 [︃ 1 (𝑛 − 1)! ∫︁ 𝜎1 𝑎 (𝜎1 − 𝑡)𝑛−1𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ]︃ 𝑑𝜎1. (2.1.12)
Usando a regra dada pela equação (2.1.11) na expressão entre colchetes do último membro da equação (2.1.12), obtemos 𝐼𝑎+𝑛+1[𝑓(𝑥)] = ∫︁ 𝑥 𝑎 [︃ 𝑑 𝑑𝜎1 [︂1 𝑛! ∫︁ 𝜎1 𝑎 (𝜎1 − 𝑡)𝑛𝑓(𝑡)𝑑𝑡]︂ ]︃ 𝑑𝜎1, (2.1.13) ou seja, 𝐼𝑎+𝑛+1[𝑓(𝑥)] = 1 𝑛! ∫︁ 𝑥 𝑎 [︃ 𝑑 𝑑𝜎1 [︂∫︁ 𝜎1 𝑎 (𝜎1 − 𝑡)𝑛𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ]︂]︃ 𝑑𝜎1. (2.1.14)
Por fim, aplicando o teorema fundamental do cálculo, dado pela equação (2.1.9) na equação (2.1.14), obtemos 𝐼𝑎+𝑛+1[𝑓(𝑥)] = 1 𝑛! ∫︁ 𝑥 𝑎 (𝑥 − 𝑡) 𝑛𝑓(𝑡)𝑑𝑡. (2.1.15)
Logo, provamos que a fórmula (2.1.7) é válida para 𝑛 + 1, com 𝑛 ∈ IN. Se 𝑛 = 0 definimos o operador identidade 𝐼0
𝑎+≡ 𝐼.
De forma análoga obtemos
𝐼𝑏−𝑛 [𝑓(𝑥)] = 1 (𝑛 − 1)! ∫︁ 𝑏 𝑥 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 (𝑦 − 𝑥)1−𝑛, para 𝑥 < 𝑏, (2.1.16) onde 𝑏 ∈ IR.
Integral fracionária de Riemann–Liouville
Se substituirmos 𝑛 por 𝛼 ∈ IC em (2.1.7) e (2.1.16), respectivamente, onde Re(𝛼)> 0 1,
podemos obter as integrais fracionárias de Riemann–Liouville de ordem 𝛼 definidas por
𝑅𝐿𝐼𝛼 𝑎+[𝑓(𝑥)] = 1 Γ(𝛼) ∫︁ 𝑥 𝑎 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 (𝑥 − 𝑦)1−𝛼, com 𝑥 > 𝑎 (2.1.17) e 𝑅𝐿𝐼𝛼 𝑏−[𝑓(𝑥)] = 1 Γ(𝛼) ∫︁ 𝑏 𝑥 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 (𝑦 − 𝑥)1−𝛼, com 𝑥 < 𝑏, (2.1.18)
onde Γ(𝛼) é a função gama. Essas integrais 𝑅𝐿𝐼𝛼
𝑎+ e 𝑅𝐿𝐼𝑏−𝛼 são chamadas de integrais fracionárias à esquerda e à direita,
respectivamente.
