O fator estocástico de desconto

(1)

1 1

O fator estocástico de desconto

José Valentim Machado Vicente, D. Sc. jvalent@terra.com.br

Conteúdo da Aula

Introdução.

Equação básica de apreçamento.

Taxa marginal de substituição e fator estocástico de desconto. Retorno, excesso de retorno, ...

Questões clássicas em finanças.

Arbitragem, mercados completos e fator estocástico de desconto. Exercício.

(2)

Teoria de Apreçamento de Ativos 33

Introdução

Um investidor deve decidir o quanto poupar, o quanto consumir

e que portfolio adquirir. A equação básica de apreçamento vem das condições de primeira ordem dessa decisão.

A perda marginal de utilidade de consumir um pouco menos

hoje deve ser igual ao ganho de utilidade de se consumir um pouco mais amanhã. Se isso não for verdade, então deve-se comprar mais ou menos do ativo.

Essa idéia pode ser refraseada em uma simples equação

matemática que nós usaremos para apresentar uma série de questões clássicas em finanças.

Equação básica de apreçamento

Seja xt+1 o payoff de um ativo em t + 1. Queremos achar seu

preço p_t em t, ou seja, seu valor em t. O payoff x_t+1 é igual ao preço mais dividendos em t +1, i.e., x_t+1= p_t+1+ d_t+1.

Vamos modelar os investidores com uma função utilidade

definida sobre consumo em t e t + 1:

onde c_tdenota o consumo da data t.

Essa formulação incorpora a impaciência e a aversão ao risco do

investidor.

[

(

)

]

,

)

(

)

,

(

c

_t

c

_t₊₁

=

u

c

_t

+

E

u

c

_t₊₁

U

β

(3)

Equação básica de apreçamento

O fator subjetivo de desconto β captura a impaciência e a

curvatura de u gera aversão ao risco e substituição intertemporal: O investidor prefere um fluxo de consumo mais estável ao longo do tempo e dos estados da natureza.

Vamos supor que o investidor pode comprar ou vender o quanto

desejar do payoff x_t+1. Quanto ele deve comprar ou vender? Seja

z a quantidade de ativos que ele deseja comprar. Então:

onde W_t é a riqueza em t ou o nível original de consumo (se ele não negocia ativos).

5

[

]

z

u

W

t

p

t

z

E

t

u

W

t

x

t

z

(

)

(

)

,

Máx

−

+

β

₊₁

+

₊₁

Equação básica de apreçamento

Derivando em relação a z e igualando a zero temos:

A equação anterior expressa a condição marginal básica para o

ótimo: p_tu´(c_t) é a perda de utilidade se o investidor compra uma unidade a mais do ativo e E_t[βu´(c_t+1)x_t+1] é o aumento (descontado e esperado) na utilidade que ele obtém pelo payoff extra em t + 1. Essa equação é a fórmula central de apreçamento (EBA – Equação Básica de Apreçamento) que nós vamos usar daqui em diante.

[

]

.

)

(

)

(

ou

)

(

)

(

1 1 1 1













′

=

′

=

′

+ ₊ + + t t t t t t t t t t

x

c

u

c

u

E

p

x

c

u

E

c

u

p

β

(4)

TMS/SDF

Uma maneira conveniente de olhar para a EBA é definindo o

fator estocástico de desconto (SDF – Stochastic Discount

Factor) m_t+1:

Então a EBA pode ser expressa como:

Quando os subscritos não são necessários podemos escrever p =

E(mx). 7

.

)

(

)

(

₁ 1 t t t

c

u

c

u

m

′

=

+ +

β

).

(

+1 +1

=

t t t t

E

m

x

p

TMS/SDF

O termo SDF se refere a maneira como m generaliza o conceito

padrão de fator de desconto. Se não existe incerteza, preços podem ser expressos por

onde Rf _{é a taxa de juros livre de risco e 1/ R}f _{é o fator de}

desconto. Como a taxa Rf _{é tipicamente maior que 1, o payoff}

x_t+1é vendido “com desconto”.

Ativos arriscados têm preços menores que ativos livres de risco,

logo eles são avaliados usando fator de desconto ajustado ao risco:

,

1

1 +

=

f t t

x

R

p

(5)

TMS/SDF

A equação p = E(mx) é obviamente uma generalização e diz algo

mais profundo: é possível incorporar todas as correções de risco definido um único SDF – o mesmo para todos os ativos e colocando-o dentro do valor esperado.

mt+1é estocástico (aleatório) porque ele não é conhecido em t. A correlação entre o SDF e o payoff do ativo geram as correções

de risco. 9

),

(

1

1 i t i i t

E

x

t

R

p

=

₊

TMS/SDF

A metodologia empírica básica de apreçamento baseada no SDF

pode então ser resumida por duas equações:

Usando um procedimento estatístico (comumente o método

generalizado dos momentos – GMM) estimamos o SDF a partir de dados de mercado. Em seguida usamos a EBA para calcular o preço de ativo.

A maior vantagem da metodologia SDF/GMM é sua

simplicidade e universalidade.

).

parâmetros

dados,

(

),

(

1 1 1

f

m

x

m

E

p

t t t t t

=

+ + +

(6)

TMS/SDF

Ela vale para qualquer ativo, bônus, ações, opções, ...

Observe que a equação p = E(mx) continua válida qualquer que

seja a utilidade usada, mas mudando u, nós mudamos o modo de conectar m aos dados. Todos os modelos de apreçamento trabalham com maneiras alternativas de conectar o SDF aos dados.

Outros nomes para mt+1:

Taxa marginal de substituição – É a taxa que o consumidor

deseja substituir consumo em t por consumo em t + 1.

Princing kernel, mudança de medida, densidade de preço de

estado.

11

Retorno, excesso de retorno, ...

A EBA apresenta diversas variações e caso especiais. Vejamos

alguns.

Dividindo o payoff xt+1pelo preço ptobtemos o retorno bruto:

Nós podemos pensar no retorno como um payoff de preço 1. Se

alguém paga um $ 1,00 hoje, o retorno é quanto ele obtém amanhã. Então o retorno obedece a

t t t

p

x

R

1 1 + +

=

)

(

1 =

E

mR

(7)

Retorno, excesso de retorno, ...

A equação anterior é o caso especial mais importante da EBA.

Retornos são usados em aplicações empíricas porque eles são tipicamente estacionários (no sentido estatístico que significa que eles não possuem tendência).

No entanto, pensar em retornos nos deixa um pouco longe da

questão de apreçamento. Uma forma alternativa é dividir preços por dividendos criando um payoff da seguinte forma:

13 t t t t t

d

p

x

1 1 1 1

1

+ + + +













+

=

Retorno, excesso de retorno, ...

que corresponde a um preço p_t/d_tque geralmente também é uma variável estacionária. Como ficaria a EBA nesse caso?

Nem todos os ativos possuem um retorno bem definido. Por

exemplo, se você toma emprestado $ 1,00 a taxa de juros livre de risco e o investe em um ativo com retorno R, você não gastou nada hoje e terá um payoff R – Rf _{amanhã. Obviamente esse}

payoff não tem o retorno bem definido. Vender um ativo e aplicar o resultado em outro é um tipo de operação muito comum. A diferença entre o retorno dos dois ativos é chamada de excesso de retorno, denotada por Re_{. Nesse caso a EBA é 0 =}

(8)

Questões clássicas em finanças

Vamos usar a EBA para introduzir algumas questões clássicas

em finanças:

A economia das taxas de juros; Ajustes ao risco;

Risco idiossincrático versus risco sistemático; Modelo beta de apreçamento - CAPM;

Equity premium puzzle; Fronteira de média-variância; Random walks;

Economia multi-períodos.

A economia das taxas de juros

A taxa de juros livre de risco é Rf _{= 1/E(m).}

Considere uma utilidade potência (CRAR R(x) =

γ

):

Suponha inicialmente que não há incerteza, então

Podemos então ver três efeitos:

Taxas de juros são altas quando as pessoas são impacientes.

γ

−

=

−

₁

)

(

x

1

u

γ

β













=

+ t t f

c

R

1

(9)

A economia das taxas de juros

Taxas de juros são altas em tempos de alto crescimento de

consumo. Se a taxa é alta, vale a pena economizar para consumir muito mais no futuro.

Se o parâmetro

γ

é grande, então taxas muito altas são

necessárias para aumentar a taxa de crescimento de consumo. Se

γ

é grande o investidor é muito avesso ao risco, logo ele deseja manter um perfil bem suave de consumo ao longo do tempo, portanto, só uma mudanças grande nas taxas de juros para induzi-lo a mudança no crescimento do consumo.

Quando existe incerteza é possível mostrar que as três

conclusões acima ainda permanecem válidas (veja Cochrane, 2000).

Ajustes ao risco

Usando a definição de covariância na EBA temos:

O 1º termo é a fórmula padrão do valor presente descontado, ou

seja, o preço do ativo em um mundo neutro ao risco (utilidade linear). O 2º termo é um ajustamento ao risco. Ativos que covariam positivamente com m têm seu preço aumentado e vice versa.

Repare que o que determina o preço de um ativo é sua

covariância com m e não sua variância!

).

,

cov(

)

(

)

,

cov(

)

(

)

(

m

x

R

x

E

x

m

x

E

m

E

p

=

+

=

_f

+

(10)

Ajustes ao risco

Ativos arriscados (variância ≠ 0) cujo payoff é não

correlacionado com m, não sofrem nenhum ajuste de seu preço ao risco.

O payoff de todo ativo pode ser decomposto em duas partes,

uma perfeitamente correlacionada com m e outra perfeitamente descorrelatada (

ε

), rodando a seguinte a regressão:

x =

α

m +

ε

.

O risco residual ou idiossincrático (

ε

) tem preço nulo e o preço de x só depende da parte

α

m (chamada de projeção de x em m).

Essa última parte é o risco sistemático.

19

Ajustes ao risco

A equação anterior pode ser escrita em termos do consumo:

A utilidade marginal u´(c) é decrescente com c. Ou seja, o preço

do ativo é menor que seu valor neutro ao risco se seu payoff varia positivamente com o consumo. Se essa covariância é negativa então o preço do ativo é maior.

[

]

_.

)

(

),

(

cov

)

(

1 1 t t t f

c

u

x

c

u

R

x

E

p

′

+

=

β

+ +

(11)

Ajustes ao risco

Isso ocorre porque os investidores não gostam de incerteza em

relação ao consumo, logo eles querem tornar o consumo menos volátil. Portanto, se o payoff de um ativo covaria positivamente com o consumo, eles requerem um preço menor (prêmio de risco maior) para investir no ativo. Por outro lado, para um seguro (negativamente correlacionado com o payoff) o prêmio de risco é negativo.

21

Ajustes ao risco

Usando a EBA em termos de retornos temos:

O retorno esperado de um ativo é a taxa sem risco mais um

ajuste ao risco. Ativos que covariam positivamente com o consumo tornam-no mais volátil, logo devem prometer um retorno esperado maior para induzir investidores a comprá-lo. Por outro lado, ativos que covariam negativamente com o consumo podem oferecer um retorno menor que o ativo sem risco.

[

]

[

]

.

)

(

),

(

cov

)

(

1 1 1 + +

′

−

=

+ t i t f i

c

u

E

R

c

u

R

E

t

(12)

Ajustes ao risco

A equação anterior pode ser reescrita como

onde

β

_i,mé o coeficiente angular da regressão de Ri _{em m. Esse é}

o modelo beta de apreçamento de ativos.

O coeficiente

λ

mé o mesmo para todos os ativos e dependem da

variância do SDF. Já

β

_i,m varia de ativo para ativo.

λ

_m é o preço do risco, enquanto

β

_i,mé a quantidade de risco em cada ativo.

23

,

)

(

)

var(

)

var(

)

,

cov(

)

(

f _i_,_m _m i f i

R

m

E

m

R

E

_

=

+

β

λ











−













+

=

Fronteira de média variância

Muito da teoria de apreçamento de ativos é baseada em médias e

variâncias. O conjunto de médias e variâncias dos retornos é limitado:

Está relação tem algumas implicações clássicas interessantes:

Todas as combinações de retornos e variâncias devem estar

localizados em uma região em forma de cunha. A borda dessa região é chamada de fronteira média-variância

(13)

Fronteira de média variância

Todos os retornos da fronteira são perfeitamente

correlacionados com o SDF. Retornos na parte superior da fronteira são perfeitamente negativamente correlacionados com o SDF e portanto positivamente correlacionados com o consumo. Eles são os ativos de máximo retorno. Retornos na parte inferior são perfeitamente positivamente correlacionados com o SDF e portanto negativamente correlacionados com o consumo. Eles representam o melhor seguro contra as flutuações do consumo.

Quaisquer dois retornos da fronteira são perfeitamente

(14)

Fronteira de média variância

onde Rmv _{é um outro ponto qualquer da fronteira e a é uma}

constante.

Desde que cada ponto da fronteira é perfeitamente

correlacionados com o SDF, existem constantes a e b tais que

m = a + bRmv_{. Então qualquer ponto da fronteira contém toda}

informação de apreçamento. Dado um ponto da fronteira e a taxa sem risco podemos obter o SDF e vice-versa.

Fronteira de média variância

Retornos esperados podem ser escrito em uma representação

beta usando um ponto da fronteira:

E(Ri_{) = R}f₊

β

i,mv[E(Rmv) – Rf].

A essência do modelo beta é que, embora médias e volatilidades estejam dentro da fronteira, um gráfico de médias versus betas é um linha reta. Aplicando o modelo beta ao retorno Rmv_{, que tem beta 1, nós podemos identificar o}

(15)

Fronteira de média variância

Podemos plotar a decomposição de um retorno em uma

componente “apreçada” ou “sistemática” e outra “residual” ou “idiossincrática”. A parte apreçada é perfeitamente correlacionada com o fator estocástico de desconto e então correlacionada com qualquer retorno da fronteira. Ativos dentro da fronteira não são piores que ativos na fronteira. A fronteira e sua região interna caracterizam retornos de equilíbrio dos ativos, com investidores racionais satisfeitos em adquirí-los.

29

CAPM

O CAPM (Capital Asset Pricing Model) é um modelo de

equilíbrio geral que permite determinar as relações entre retorno esperado e risco para qualquer ativo quando os mercados estão em equilíbrio.

O CAPM é um dos modelos mais famosos de apreçamento de

ativos. Ele é um caso particular do modelos beta apresentado anteriormente.

No CAPM o retorno na fronteira de média-variância, Rmv_{, é}

considerado como sendo de uma carteira formada por todos os ativos na economia na proporção em que eles são oferecidos. Essa carteira é chamada de carteira de mercado e seu retorno é representado por RM_.

(16)

CAPM

Uma vez que essa carteira é extremamente bem diversificada, é

intuitivo supor que ela apresente risco mínimo para um dado retorno esperado, ou seja, que ela esteja sobre a fronteira média-variância.

Não existe uma carteira observável que represente a carteira de

mercado. É comum aproximar RM _{pelo retorno de um índice}

abrangente do mercado acionário, como S&P500, Ibovespa, etc.

Formalmente:

E(Ri_{) = R}f₊

β

i,M[E(RM) – Rf] e

m = a + bRM_.

CAPM

Um modelo econométrico da equação anterior do CAPM é:

Ri_{= R}f₊

β

i,M[RM– Rf] +

ε

i.

Ou seja, o parâmetro beta é o coeficiente angular de uma

regressão com intercepto nulo entre o excesso de retorno da carteira de mercado (variável independente) e o excesso de retorno do ativo (variável dependente). Excesso de retorno sendo definido como a diferença entre o retorno de uma ativo e o retorno sem risco.

(17)

CAPM

Exercício: A partir da planilha CAPM.xls, rode regressões

tomando como variável independente o excesso de retorno da carteira de mercado em relação ao ativo sem risco (CDI) e como variável dependente o excesso de retorno das ações (TNLP4, PETR4, VALE5, BBDC4, USIM5) em relação ao ativo sem risco. Use as funções INTERCEPÇÃO e INCLINAÇÃO para calcular o intercepto e o coeficiente angular.

Construa um gráfico, colocando no eixo horizontal os betas e no

eixo vertical os retornos esperados (estimados como média dos retornos no período). Inclua também o IBOVESPA e o ativo livre de risco. Se vale o CAPM, o que você deveria esperar desse gráfico?

CAPM

Existem diversos trabalhos na literatura que se propõem a testar

a aderência do CAPM aos dados.

A título de exemplo vejamos resumidamente o procedimento

proposto por Fama e MacBeth (1973). Primeiramente estima-se os betas de um conjunto de ativos usando uma regressão como demonstrada no exemplo anterior. Em seguida rodam-se novas regressões para cada t em cross section com a seguinte especificação:

onde S_ité o desvio padrão dos resíduos da primeira regressão.

Espera-se que em média

λ

2e

λ

3sejam nulos.

,

3 2 2 1 0t t i t i t it it i t

S

R

=

λ

+

λ

β

+

λ

β

+

λ

+

η

(18)

Equity premium puzzle

A razão de Sharpe é definida como

É uma maneira mais interessante de caracterizar um título que o

retorno médio apenas. Se você toma dinheiro emprestado e aplica-o no título, você aumenta o retorno esperado, mas não aumenta a razão de Sharpe. A maior razão de Sharpe possível é a inclinação da fronteira de média-variância. Então ela responde uma questão interessante: Quanto mais de retorno eu tenho se acrescentar um pouco mais de volatilidade?

35

Equity premium puzzle

Seja Rmv _{um retorno de uma carteira da fronteira. A inclinação}

da fronteira é

Então a inclinação da fronteira é governada pela volatilidade do

SDF.

Para uma interpretação econômica, considere uma utilidade

(19)

Equity premium puzzle

O desvio padrão no lado direito é alto se o consumo é volátil ou

se γé grande.

Essa afirmação pode ser melhor entendida se nós considerarmos

que o crescimento do consumo é log-normal:

37

Equity premium puzzle

Portanto, a inclinação da fronteira de média-variância é maior se

a economia é arriscada (consumo mais volátil) ou se os investidores são mais avessos ao risco. Ambas as situações fazem os investidores ais relutantes em tomar risco extra.

Considerando dados dos EUA no pós guerra, a inclinação da

fronteira de média-variância é muito maior que dados de aversão ao risco e volatilidade do consumo sugerem.

Nos últimos 50 anos, os retornos reais de ações americanas foi

em média de 9% com um d.p. de 16%, enquanto os retornos dos treasury bills foi de cerca de 1%. Portanto, a RS anual é de cerca de 0,5.

(20)

Equity premium puzzle

O consumo agregado de bens não-duráveis e serviços tem um

média e um desvio padrão de cerca de 1%. Para conciliar esses dados com a teoria é necessário um coeficiente de aversão ao risco de 50!

Na realidade essa conta pode ser pior ainda. Por exemplo, se

levarmos em conta que o consumo agregado tem uma correlação de 0,2 com o retorno de mercado (a conta anterior foi feita supondo correlação perfeita) então é necessário um coeficiente de aversão ao risco de 250 para explicar a razão de Sharpe.

39

Equity premium puzzle

O gráfico abaixo ilustra o EC de um payoff que assume o valor

50.000 com 50% de chance e 100.000 com 50% de chance em função do CRRA.

(21)

Equity premium puzzle

Claramente:

As pessoas são muito mais avessas ao risco do que nós

podemos imaginar; ou

O retorno das ações nos últimos anos foi muito melhor que a

compensação por risco faria imaginar; ou

Alguma coisa está errada com nossa teoria incluindo a função

utilidade e dados agregados de consumo.

O equity premium puzzle tem atraído a atenção dos

pesquisadores e muita pesquisa tem sido feita em finanças relacionadas com o tema.

41

Equity premium puzzle

Diversas explicações tem surgido para este puzzle:

Negação do puzzle;

Características dos indivíduos; Características das ações; Falhas de mercado; Taxas;

etc.

Parte da literatura sobre o equity premium puzzle será vista em

trabalhos do curso. Uma boa referência inicial é Cochrane (2000), Capítulo 21.

(22)

Random walks

Considere novamente a EBA:

Suponha que:

u é linear (investidores neutros ao risco).

Não há pagamentos de dividendos entre t e t + 1. Para horizontes de tempo curto, beta é próximo de 1.

Então a equação anterior se resume a:

43 . ) ( ) ( ) ( 1 1 1       + ′ ′ = + t+ t+ t t t t p d c u c u E p

β

). ( ₊₁ = t t t E p p

Random walks

Equivalentemente, preços seguem uma série temporal da forma: Se a variância é constante, preços seguem um passeio

aleatório. Mais geralmente, preços são martingales.

Em um passeio aleatório os preços não podem ser previstos! Os

retornos esperados são constantes . Portanto, re-tornos se comportam como lançar moedas.

A EBA, na sua forma mais geral, diz que preços seguem uma

martingale, após um ajuste para dividendos, fator de impaciência e utilidade marginal.

(23)

Random walks

Uma vez que martingales possuem propriedades matemáticas

bastante úteis, muitos resultados de apreçamento são obtidos usando esses reescalonamentos.

Repare que as mesmas conclusões são válidas se substituirmos a

hipótese de linearidade da utilidade pela de que não haja variação do consumo.

Como o consumo e a aversão ao risco não mudam muito de dia

para dia, nós podemos esperar que a hipótese de passeio aleatório seja verdadeira em uma base diária.

45

Random walks

Isso contradiz o conhecimento popular que prega que existem

sistemas e técnicas de análise que podem prever para onde irão os preços das ações no curto prazo.

Apesar de diversos relatórios populares e recomendações

dizerem qual é a tendência das ações no curto prazo, regras de negociação que sobrevivem aos custos de negociação sem expor o investidor a riscos têm sido consistentemente rejeitadas.

A conclusão de que preços seguem um passeio aleatório no curto

prazo tem sido testada e os resultados são fortemente a favor dela.

(24)

Random walks

Os testes de previsibilidade de curto prazo examinam a

possibilidade de que o retorno do período anterior (geralmente um dia) preveja o retorno de hoje.

Testes de correlação: Rt+1= a + bRt +

ε

t+1. Por exemplo, Granger

(1975) mostra que o R2 _{médio dessas regressões para diversas}

ações é baixo.

Fama e MacBeth (1973) usaram o CAPM para estimar o retorno

esperado. A seguir examinaram a relação entre os retornos extraordinários e não encontraram nenhuma correlação.

Para contornar influência de retornos extremos na correlação, é

possível usar um teste de corrida.

47

Random walks

Nesse caso, a análise é feita através do sinal da variação do

preço: +, – ou 0. Se existe correlação positiva então é mais provável que um + seja seguido por outro + e um – seja seguido por outro –.

Uma seqüência de variações de mesmo sinal é chamada de

corrida. Portanto, a seqüência + – – – + + + 0 apresenta quatro corridas.

Se houvesse uma relação positiva entre variações dos preços

então existiriam menos corridas do que se a seqüência de +, – e 0 fosse distribuída ao acaso.

(25)

Random walks

Fama (1967) mostra que o número de corridas observadas em

longo período e para diversas ações é ligeiramente abaixo do esperado para dados diários e exatamente igual ao esperado para dados em intervalos mais longos.

Em resumo, os testes de correlação e de corrida parecem sugerir

que há uma relação positiva entre o retorno de hoje e o de ontem, embora, em média, essa relação seja fraca.

No entanto, é possível que existam padrões mais complexos de

relacionamento que o linear.

Para testar padrões mais complexos é necessário formular uma

regra é então verificar o que ocorreria negociando com essa regra.

Random walks

Um regra muito comum é uma regra de filtro que pode ser

enunciada da seguinte forma: compre a ação quando sobe x% acima de seu mínimo anterior e venda quando caia y% abaixo do máximo anterior.

As regras de filtro correspondem a uma estratégia de timing.

Elas mostram quando comprar e quando vender um ativo. A alternativa é comprar e manter o ativo.

Fama e Blume (1966) analisam diversas regras de filtro e

mostram que nenhuma delas apresentam-se rentáveis quando custos de transação são levados em consideração.

(26)

Random walks

Outro sistema bastante comum de seleção de ações é o uso de

um indicador chamado de força relativa.

Uma possível definição de FR de um título é a relação entre o

preço corrente e a média de seu preço nas últimas 27 semanas. Os títulos a serem selecionados são os x% com o quociente mais alto e os a serem vendidos são k% com o quociente mais baixo. Valores usuais são x = 5% e k = 70%.

Essa regra pode fazer com que se invistam em títulos mais

arriscados, logo o retorno gerado por essas estratégias deve ser ajustado ao risco.

Random walks

Jensen e Bennington (1970) testaram várias técnicas de força

relativa e mostraram que, após os custos de transação, as regras de FR não geravam retornos superiores ao da população inteira a a partir da qual a seleção foi feita. Pior ainda, após ajustar ao risco, a rentabilidade era pior do que a compra do conjunto de títulos disponíveis na população.

Continuamente somos bombardeados por diversas variações da

regra FR juntamente com testes que mostram sua superioridade. O fato é que existem diversos parâmetros que podem ser alterados e é sempre possível encontrar um conjunto de parâmetros que funcione com números ao acaso.

(27)

Random walks

Embora a preponderância de evidências nos leve a duvidar da

existência de uma boa regra de negociação no curto prazo, não podemos provar que tal regra não exista.

Já em horizontes de longo prazo a conclusão de preços seguindo

um passeio aleatório não é necessariamente verdadeira. Vamos reescrever a EBA como:

Random walks

Portanto previsibilidade do excesso de retorno pode ser

explicado por:

Volatilidade condicional dos retornos variante no tempo.

Essa hipótese parece não ser suportada pelos dados pois variáveis que ajudam a prever variância em geral não são as mesmas que ajudam a prever média.

Mudança no risco ( ) ou na aversão ao risco (

γ

_t). É

plausível que essas variáveis mudem de acordo com os ciclos econômicos e é para esses horizontes que nós vemos excessos de retorno serem previstos.

(28)

Random walks

Um exemplo recente desse fato pode ser encontrado em Diebold

e Li (2006) (modelo DL). Os autores propõem um método estatístico simples para modelagem da curva de juros e subseqüente previsão das taxas.

Os resultados mostram que em prazos mais longos o modelo DL

tem excelente capacidade preditiva, superior ao passeio aleatório e a outros concorrentes. No entanto, no curto prazo o passeio aleatório apresentou erro médio quadrático menor que o modelo DL.

Economias multi-períodos

Embora o modelo de dois períodos se preste a explicar diversos

fatos estilizados do mercado financeiro, algumas vezes, é necessário relacionar o preço atual com um fluxo de caixa, ao invés de apenas com o preço e dividendo no próximo período.

Usando um ferramental matemático bastante semelhante ao do

caso de dois períodos, é possível mostrar que a equação básica de apreçamento pode ser escrita como:

(29)

Economias multi-períodos

Já o preço ajustado ao risco é dado por:

onde é a taxa de juros de j períodos. Mais uma vez, ativos que covariam negativamente com a utilidade marginal e positivamente com o consumo têm preço mais baixo.

SDF, arbitragem e completude

Vamos agora relacionar o conceito de SDF com os resultados de

arbitragem e completude dos mercados vistos no início do curso.

Ao invés de derivar o SDF pelas condições de primeira ordem

aplicadas ao modelo baseado no consumo, vamos supor que o SDF é simplesmente uma variável aleatória que gera preços a partir dos payoffs, i.e., p = E(mx).

Algumas perguntas a serem respondidas:

Quando podemos encontrar um SDF? A EBA é uma

representação conveniente mesmo sem assumir uma estrutura de investidores, utilidades, etc.?

(30)

Teoria de Apreçamento de Ativos

SDF, arbitragem e completude

Qual a relação dessa representação com mercados completos

e não existência de arbitragem?

Vamos apenas enunciar os principais resultados. As

demonstrações podem ser encontrados em Cochrane (2000), Capítulo 4 e seguem procedimentos já vistos anteriormente.

Teorema: p = E(mx) com m > 0 implicam que não existe

arbitragem. Reciprocamente, se não existe arbitragem então existe m > 0 satisfazendo a EBA.

Informalmente, não arbitragem significa que payoffs não

negativos devem possuir preços positivos. Logo m > 0 implica trivialmente em não arbitragem.

59

SDF, arbitragem e completude

Além disso, SDF positivos resultam de qualquer tipo de

maximização de utilidade uma vez que o SDF é uma razão de utilidades marginais.

A “volta” do teorema é mais complicada de ser provada e requer

o Teorema do Hiperplano Separador, conforme foi visto na demonstração do Teorema Fundamental de Finanças.

Teorema: Se os mercados são completos e não existe arbitragem

então existe um único m > 0 tal que p = E(mx).

Vamos agora supor que existem S estados da natureza que

podem ocorrer no próximo período. Denote um estado individual por s.

(31)

SDF, arbitragem e completude

Defina:

π

(s) = Rf_m(s)prob(s),

onde prob(s) representa a probabilidade do estado s.

Se não existe arbitragem, então m(s) > 0 para todo s. Logo

π

(s) > 0 para todo s. Vale também que:

Logo

π

representa probabilidades.

O preço p de uma payoff x é dado por:

61 , 1 ) ( 1 =

∑

= S s s

π

SDF, arbitragem e completude

Ou seja, as probabilidades

π

representam probabilidades neutras ao risco. . ) ( ) ( (s) 1 ) ( ) ( prob(s) ) ( 1 1 f S s f S s R x E s x R s x s m mx E p π

π

= = = =

∑

= =

(32)

Exemplo

Considere uma economia de dois períodos com 3 ativos e 3

estados da natureza igualmente prováveis em t = 1. Os preços e

payoffs desses ativos são os seguintes:

Encontre o SDF? Ele é positivo? É único? Existe arbitragem? O

mercado é completo?

63

Ativo Preço Payoff 1 0,5 (1, 1, 1)

2 1 (4, 0, 1)

3 0,1 (0, 2, 0)

Exemplo

Faça um gráfico da fronteira de média-variância.

A partir de um retorno da fronteira, monte um modelo beta de

apreçamento. Para esse modelo, encontre os betas dos três ativos anteriores.

Calcule o valor esperado e o desvio padrão do SDF. Verifique

que para pontos na fronteira vale a igualdade:

(33)

Referências e leituras adicionais

Cochrane, J., 2000. Asset Pricing. Capítulos 1, 4, 9 e 21.

LeRoy, S. e J. Werner, 2000. Principles of Financial Economics.

Capítulo 14.

Lengwiler, Y., 2004. Microfoundations of Financial Economics.

Capítulo 5.

Fama e Blume (1966), Fama (1967), Fama e MacBeth (1973), e

Granger (1975) podem ser encontradas em:

Elton, E., M. Gruber, S. Brown, W. Goetzmann (2004). Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos.

Referências e leituras adicionais

Diebold F. e C. Li (2006). Forecasting the Term Structure of

Government Bond Yields. Journal of Econometrics, 130, 337-364.