UM MODELO DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO TIPO LQG COM RESTRIÇÕES PROBABILÍSTICAS

UM MODELO DE PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO TIPO LQG COM

RESTRIÇÕES PROBABILÍSTICAS

Oscar Salviano Silva Filho

CenPRA – Centro de Pesquisas Renato Archer Rod. Dom Pedro I, Km 143,6 (SP-65) 13089-500 - Campinas – São Paulo Brasil

oscar.salviano@cenpra.gov.br

RESUMO

Neste trabalho formula-se um problema de planejamento agregado da produção através de um modelo Linear Quadrático Gaussiana (LQG), a tempo contínuo, com restrições probabilísticas nas variáveis de estoque e produção. Este problema estocástico é transformado em um equivalente determinístico e sua solução é obtida via Princípio do Mínimo de Pontryagin. Desta solução resulta uma regra de decisão linear que permite ajustar a política de produção, sempre que houver oscilações nos níveis de demanda. As trajetórias ótimas de estoque e produção, geradas a partir desta regra de decisão, são ilustradas por meio de um exemplo muito simples. Ainda a título de ilustração, apresenta-se o diagrama de um simulador, que pode ser empregado na geração de cenários de produção.

Palavras-chaves: planejamento da produção, programação matemática, realimentação, controle ótimo, princípio do mínimo.

ABSTRACT

In this work there is formulated an aggregate production planning problem through a Linear Quadratic Gaussian model (LQG), at continuous time, with probabilistic constraints related to inventory and production variables. This stochastic problem is turned into an equivalent deterministic and its solution is obtained by Minimum Principle of Pontryagin. From this solution results a linear decision rule that allows adjusting the production policies whenever will occur an oscillation in the levels of demand. The optimal trajectories of inventory and production produced from this rule of decision are illustrated by a simple example. Still using the example, it is presented a block diagram of a simulator that can be employed in the generation of sceneries of production.

Keywords: production planning, mathematical programming, feedback, optimal control, minimum principle.

1. Introdução

Problemas de planejamento de produção, principalmente aqueles de longo prazo e que estão relacionados ao nível estratégico da hierarquia de decisões gerenciais (Hax and Candea, 1984), são caracterizados tanto pela intensa relação dinâmica de suas variáveis de estoque, produção e mão de obra, quanto pelas incertezas sobre o comportamento futuro da demanda. Na formulação e solução desses problemas, algumas características estruturais, freqüentemente encontradas, são:

(i) linearidade do sistema dinâmico (definido por uma equação de balanço de estoque) que torna possível viabilizar uma solução ótima usando técnicas da teoria de controle linear (Bryson and Ho, 1975);

(ii) funções quadráticas, empregadas para representar os custos de produção e de manutenção de estoques de produtos. Este tipo de aproximação empresta ao modelo requintes de flexibilidade e simplicidade, como justificado em Holt et. al. (1960). Por exemplo, a função quadrática que representa o custo de manutenção de estoque permite penalizar tanto o excesso quanto a falta deste estoque (Hax and Candea, 1984); e

(iii) restrições físicas, envolvendo limites mínimos e máximos de capacidade de armazenagem e de processamento do sistema de produção.

Tais características viabilizam a formulação de diferentes modelos matemáticos para representar problemas de planejamento da produção. No contexto estratégico da hierarquia de decisões, estas formulações são freqüentemente bem-estruturadas e, portanto, passíveis de serem resolvidas por meio de abordagens da programação matemática e da teoria de controle (Cheng et al., 2004). Em particular, o objetivo da teoria de controle é preservar a natureza dinâmica dos modelos formulados, sejam eles descritos a tempos contínuos ou a tempos discretos. O objetivo geral que permeia as duas abordagens diz respeito à obtenção de uma política ótima de produção que, sob condições de incerteza, possa minimizar o custo total esperado de produção quando sujeito a uma equação linear de balanço de estoques e a restrições probabilísticas nos níveis de estoque e produção. Convém destacar, aqui, que em modelos de planejamento estocástico, restrições probabilísticas são usadas com o propósito de garantir factibilidade à solução. Isto ocorre em função da existência de riscos de violação dessas restrições em algum dado instante de tempo futuro dentro do horizonte de planejamento do problema. Esse risco é devido a diferentes fatores, como: atrasos de fornecedores, greves, quebra de equipamentos e, principalmente, a variações não previsíveis da demanda. Com respeito a este último fator, é interessante explicar que a demanda, em horizontes de longo prazo (i.e., de um ou mais anos), é um processo estocástico que traz como conseqüências:

Variabilidade nos níveis de estoque: a equação de balanço de estoques é uma função linear do estoque em mãos, da taxa de produção e do nível de demanda. Assim, a variável de estoque é contaminada pela aleatoriedade da demanda sendo, também, uma variável aleatória com distribuição de probabilidade similar à distribuição da demanda. Note que isto traz, como implicação, que o nível de estoque poderá tornar-se negativo em certos instantes de tempo do horizonte de planejamento. Em termos práticos, estoque negativo significa atrasos de produção, que ocasiona um baixo nível de serviço ao cliente. Neste caso, o uso de restrições probabilísticas visa reduzir riscos, e assim aumentar o nível de serviço.

Variabilidade nos níveis de produção: a dinâmica do sistema de balanço de estoque afeta a solução do problema e, portanto, esta solução deve ser revisada periodicamente. Assim, soluções estáticas (i.e., que não levam em conta outras informações disponíveis) são desastrosas. Deste modo, o uso de algum mecanismo de atualização como, por exemplo, um esquema de realimentação linear (Bryson and Ho, 1975), é fundamental para garantir uma política de produção estável. Neste caso, pode-se dizer que a política de produção é função dos níveis de estoque observados do sistema. Sendo assim, ela será influenciada pela aleatoriedade da variável de estoque e será, portanto, uma variável aleatória. Caso esta relação matemática seja do tipo

linear, a variável de produção exibirá uma distribuição de probabilidade similar ao da variável de estoque. A restrição probabilística, na variável de produção, é necessária para garantir um nível mínimo de produtividade na operação do processo produtivo (note que, no jargão da pesquisa operacional, esquemas de solução envolvendo realimentação são conhecidos como Regra de Decisão).

Há, na literatura, uma variedade de modelos e métodos da programação matemática (Minoux, 1983), e da teoria de controle estocástica (Bertesekas, 1995) utilizado na solução de problemas de planejamento da produção, sejam estes contínuos ou discretos no tempo, com total ou parcial observação nos níveis de estoques e, ainda, com ou sem restrições nas variáveis de decisão. Algumas referências interessantes sobre esse assunto são, sem ser exaustivo, Gershwin et al. (1986), Hackman et al. (2002), Hax and Candea (1984), dentre outros.

Neste trabalho é considerado um problema estocástico de planejamento da produção a tempos contínuos e com restrições probabilísticas. O objetivo é construir uma regra de decisão linear, como definida por Holt et al (1960) para este problema, usando um procedimento matemático desenvolvido por Geromel e Silva Filho (1989). Esta regra considera a possibilidade de atualizar as informações continuamente no tempo através de um dispositivo de realimentação linear. Para obter uma política ótima atualizada para o problema estocástico, o princípio da equivalência à certeza (Bertesekas, 1994) é usado na transformação do problema estocástico em um problema equivalente, porém, determinístico, que leva em conta os dois primeiros momentos estatísticos da formulação original. De fato, com a aplicação do princípio da equivalência à certeza, um problema determinístico, onde as variáveis de estoque e produção são consideradas em função de seus valores médios e de suas variâncias, é uma opção interessante para se obter uma política ótima de produção revisada equivalente a que seria obtida pelo problema estocástico original.

As seções subseqüentes apresentam os principais aspectos de modelagem e solução deste problema determinístico equivalente, que, como resultado, produzirá uma regra de decisão linear baseada em Geromel e Silva Filho (1989) e seguindo resultados da literatura, como o proposto por Parlar (1985). Na prática, esta regra permite que a gerência possa analisar cenários de produção através de algum mecanismo de simulação, como será discutido e ilustrado na seção final do artigo.

2. Modelo LQG Restrito para Planejamento 2.1. Notação básica:

xt : estoque em mãos no instante t ut : taxa de produção no instante t dt : demanda por produto no instante t xt : estoque de segurança

ut : capacidade mínima de produção

q ≥ 0 e r > 0 são os custos relacionados com manutenção de estoques e capacidade de

processamento.

T : horizonte de planejamento (finito) x0 : estoque inicial (conhecido e não nulo) 2.2. Problema formulação

O objetivo é determinar uma política ótima de produção, que minimize o seguinte problema Linear Quadrático Gaussiano (LQG) com restrições.

(

)

{

∫ ⋅ + ⋅ ∂

}

= T 0 2 t 2 t r u t x q E Min ) u ( J (1) s.a. τ ∂ ∫ − τ ∂ ∫ + = τ 0t τ t 0 0 t x u d x (2) α ≥ ≥ )x x ( . ob Pr t (3) β ≥ ≥ )u u ( . ob Pr t (4)

onde dt é uma variável aleatória estacionária no tempo com distribuição de probabilidade Normal

tendo média dˆk_{e variância Var(dt) =} 0, t

2

d ≥ ∀

σ _{. É importante salientar que o uso de}

aproximações normais para representar flutuações de demanda é possível em ambientes produtivos que são orientados para estoques, vide Graves (1999). As medidas de probabilidade α

e β ∈ [1/2,1) são fornecidas pelo usuário, e têm interpretações gerenciais que vão além do

simples requisito de garantir que as restrições de estoque e produção não sejam violadas. Por exemplo, se α=0,95, significa que a gerência busca satisfazer seus clientes entregando os produtos nos prazos combinados, em 95% das vezes. Por outro lado, escolhendo α=0,5, significa que a gerência está assumindo o risco de não entregar os produtos dentro do prazo, em pelo menos 50% das vezes.

3. Processo Estocástico: Considerações preliminares

Algumas propriedades dos processos estocásticos são muito importantes para as manipulações que serão apresentadas, a seguir. Dentre estas, deve-se destacar a propriedade de permutabilidade (Papoullis, 1991): τ ∂ ∫ = τ ∂ ∫0δaτ oδE(aτ) E (5)

Note-se que a permutação de operadores é uma propriedade válida somente se a seqüência {at, t ∈ [0, δ]} for um processo estocástico mensurável (Parlar, 1985).

A equação dinâmica (2) é um processo estocástico linear que mantém propriedades estatísticas similares às apresentadas pela variável de demanda dt. Assim, desde que a demanda é assumida como Gaussiana, tem-se que (2) é um processo estocástico Normal caracterizado por

N(xˆt_{, Var(xt)1/2) , onde} xˆt _{denota o valor médio e Var(xt) denota a variância da variável de}

estoques xt. É importante notar que a evolução das equações da média e da variância de estoques, resultantes da aplicação de operadores estatísticos no processo linear de balanço de estoques (2), pode ser definido precisamente; com isto, a distribuição de probabilidade da variável de estoques torna-se perfeitamente conhecida no tempo. As expressões analíticas da média e da variância são apresentadas a seguir:

(a) Equação da média: aplicando o operador esperança matemática em (2), resulta que: E(xt)=E(x0)+ ∫ τ ∂τ−∫0t τ ∂τ t 0E(u ) E(d ) que implica em = +∫ τ∂τ−∫ τ∂τ t 0 t 0 0 t xˆ uˆ dˆ xˆ . Aplicando,

então, o operador da derivada em relação ao tempo, determina-se a seguinte expressão:

t t t uˆ dˆ xˆ t = − ∂ ∂ (6)

(b) Equação da variância: aplicando-se, agora, o operador derivada na equação de balanço (2), segue que:

t t t u d x t = − ∂ ∂ (7)

Definindo-se o resíduo de estoque como t t t

x

xˆ x

t =∂ −∂

∂

δ _{, pode-se, então, a partir de (6) e (7),}

determinar a evolução no tempo deste resíduo como sendo t t t

xt =∂_u −∂_d ∂

δ _{. Usando aqui a}

propriedade da permutabilidade dada em (5), segue que:

{

}

E

{

x x

}

Var(x ) E t t t t t t x t xt t ∂∂ ∂∂ ∂ δ ∂ δ _{⋅ = ⋅ = ; E{δu}

t⋅δut} = Var(ut) e E{δdt⋅δdt}= σ e, por fim, 2d assumindo não haver quaisquer correlações entre as variáveis de estoque, produção e demanda, pode-se escrever que:

) x ( Var t t ∂ ∂

=Var(ut)+Var(dt)= Var(ut) +σ 2d (8)

É importante observar que a variável de produção ut é considerada uma variável

aleatória Gaussiana com média uˆt _{e variância Var(ut). Isto significa que ela é influenciada pelo}

comportamento do processo estocástico (2).

4. Uma Regra de Decisão Linear

Gerar uma solução malha-fechada para o problema (1)-(4) não é uma tarefa trivial, devido não só a natureza estocástica do problema mas, também, ao uso de restrições nas variáveis de decisão. A idéia, então, é encontrar uma solução subótima para este problema estocástico. É importante entender que a natureza Linear-Gaussiana do problema permite que toda informação necessária para se desenvolver uma estratégia subótima para resolver (1)-(4) está contida nas equações da média (6) e da variância (8) do processo de balanço de estoques (2). Com base nisto pode-se propor uma política ótima de produção, baseada na seguinte regra de decisão linear:

ut=uˆt −Kt⋅

(

xt −xˆt

)

(9)

onde Kt≥0 denota o ganho de realimentação linear para o problema. Se Kt=0, a solução é dita ser

do tipo malha-aberta. Neste tipo de solução, os níveis de estoque observados nos tempos subseqüentes ao do instante inicial são completamente ignorados no desenvolvimento da política ótima de produção (i.e., ut ≡uˆt,∀t=1,2,...,T). Ainda com respeito a (9), as variáveis xˆ e t uˆ t denotam, respectivamente, a trajetória média de estoque e a taxa média de produção. Por fim,

(

t t

)

t x xˆ

K ⋅ − denota o termo de correção (ou de ajuste) da política de produção (ut), ou seja,

sempre que os níveis observados de estoque (xt) ficarem abaixo ou acima do alvo estipulado

(xˆ ), haverá uma penalização em curso dada pelo ganho Kt t.

É importante observar que, devido à linearidade da regra de decisão (9) a variável de

produção é uma variável aleatória Gaussiana, com média uˆt e variância Var(ut), cuja evolução

é dada por

Var(ut)=K2⋅Var(xt) (10)

4.1. Calculo do ganho K

Uma forma de evitar a variabilidade freqüente da regra de decisão linear (9), motivada pelas flutuações da demanda, é reduzir simultaneamente o crescimento das variâncias da variável de estoque (8) e de produção (10), ao longo do tempo. É importante entender que, sem uma

estratégia de controle apropriada para estas variâncias, elas tendem a crescer com o tempo t. Para ilustrar este fato, a figura 1 mostra à evolução da distribuição de probabilidade da variável de estoque xt. t x t Prob.( x t) xt 1 2 T

Fig. 1.: Evolução temporal da distribuição de probabilidade do estoque.

A minimização das variâncias também oferece uma oportunidade para se determinar o ganho Kt, vide (Geromel e Silva Filho, 1989). Isto ocorre devido ao fato do ganho de realimentação Kt ser o parâmetro ponderador de ajuste da política de produção e, assim, a redução na variabilidade das variâncias de estoque e produção permite melhorar o desempenho da regra linear (9). Com este propósito, o ganho Kt, pode ser obtido resolvendo o seguinte problema de Variância Mínima (Aström, 1970):

{

Var(x ) Var(u );s.a.(8)e(10)

}

Min t t t

Kt

η

+ (11)

Deste problema obtém-se uma expressão matemática para Kt que é função de ηt que representa o parâmetro de compromisso entre as variâncias de estoque e produção, que deve ser determinado através de algum método da literatura, como sugerido em Geromel e Silva Filho (1989).

5. Gerando um Modelo Equivalente

Para calcular os valores médios de estoque e produção xˆt _e uˆt _{que representam os}

alvos desejados para definição da regra linear (9), a idéia inicial é converter o problema estocástico (1)-(4) em um problema determinístico equivalente, baseado na média e variância das variáveis do problema estocástico. Usando as propriedades definidas na seção 3, seguem as seguintes transformações: a) No critério:

{

}

t T 0 2 t T 0 2 t) t q xˆ a x q ( E∫ ⋅ ∂ = ⋅∫ + (12)

{

}

t T 0 2 t T 0 (r ut) t r uˆ b E∫ ⋅ ∂ = ⋅∫ + (13)

onde at e bt são resíduos de integração , por exemplo:

( )

2d

2 2 t 2 t q dˆ t q a =− ⋅ ∫ ∂ + ⋅σ

(b) Nas restrições probabilísticas: inicialmente, seja a restrição (3) dada por Prob.{xt≥x}≥α,

lembrando que xt=xˆ +δxt t onde δxt=εt⋅Var(xt) com ε∼N(0,1), segue então que xt=xˆt+εt⋅Var(xt). Logo se obtém que:

Prob.{xt≥x}≥α ⇔ Prob. ≤ −α ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ ε 1 ) t x ( Var t xˆ x t ⇔ ⎟⎟≤ −α ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Φ 1 ) x ( Var xˆ x t t _⇔ ) ( ) x ( Var xˆ x 1 t t _{≤Φ α} − ₋ ε

segue então que:

) ( ) x ( Var x xˆt ≥ + t ⋅Φ−ε1 α = xt(α) (14) onde −1 ε

Φ (⋅) denota a função distribuição inversa de probabilidade do ruído εt.

Agora, a partir de (4) tem-se que Prob.{ut≥u}≥β. Manipulando de forma análoga ao caso anterior,

resulta que: ) ( ) x ( Var K u uˆ 1 t 2 t t ≥ + ⋅ ⋅Φε− β = ut(β) (15)

A partir destas transformações, pode-se formular uma versão determinística equivalente para o problema estocástico (1)-(4), como segue:

(

)

) ( u uˆ and ) ( x xˆ dado xˆ , dˆ uˆ xˆ t . a . s C t uˆ r xˆ q Min ) u ( J t t t t 0 t t t T T 0 2 t 2 t β ≥ α ≥ − = ∂ ∂ + ∫ ⋅ + ⋅ ∂ = (16)

onde CT = aT+bT denota a constante de integração que reúne a constante relacionada com a

integração do custo de estoque e produção, respectivamente, dado por aT e bT. Veja a expressão

de at dada em (13).

Como solução deste problema, obtém-se os alvos médios de estoque e produção

{

xˆt,uˆt

}

t=0,1,Λ,T a serem utilizados na geração da política ótima de produção definida pela regra de decisão linear (9).

6. Resolvendo o Problema (16)

A idéia, aqui, é empregar o princípio do mínimo de Pontryagin. A principal motivação desta escolha é que este princípio permite que problemas de otimização dinâmica, com restrições no estado e controle, possam ser tratados com respeito à sua otimalidade; para maiores detalhes considere Bryson and Ho (1975) – pág. 108 e 135 e Parlar (1985).

Seja, então, a equação do Hamiltoniano para o problema (16): ) dˆ uˆ ( uˆ r xˆ q H= ⋅ 2t + ⋅ 2t +λt ⋅ t − t (17)

O objetivo, que segue, é a identificação de uma política de produção xˆ,λ 0 t uˆ

que

minimize (17), sujeito a ut≥ut(β). Uma vez que o nível médio de estoque xˆt _{deve ser sempre}

maior ou igual que o estoque de segurança xt(α), torna-se importante a análise do comportamento da solução

0 t

uˆ _{, via as condições de existência de (17), que se resumem nos seguintes casos:}

Caso 1: Se λt<0 tem-se que Min H=Ho=∂H ∂uˆ=0 fornece como solução:

t o t r 2 1 u ⋅λ ⋅ − = (18)

a partir de (18), e considerando-se que ut≥ut(β), obtém-se que λot <−2 r⋅u_t(β)<0. Note que r > 0 e ut(β)>0.

Caso 2: Se λt≥0, pode-se concluir, observando (17), que o valor que minimiza H será obtido quando

0 t

uˆ

_{= ut(β), porém, como discutido em (Parlar, 1983), para garantir que a restrição}

t

xˆ ≥ xt(α) seja satisfeita, deve-se impor que t

) ( x t xˆt t ∂ α ∂ ∂ ∂ _≥

. Sob esta condição segue de (6) que t t ) ( x t dˆ uˆ ≥ t + ∂ α ∂

. Assim, conclui-se que, para λt≥0, a solução que minimiza H é:

(

t t

)

) ( x t t max u ( ), dˆ uˆ = β t + ∂ α ∂ ₍₁₉₎

Com base nos dois casos acima, o que se pretende agora é determinar uma política ótima de produção

∗ t

u _{que minimize o problema (16). Para isto, seguindo a literatura (Parlar,}

1983), pode-se escrever a equação aumentada do Hamiltoniano, levando em conta as restrições de estoque e produção. O resultado é a formulação do Lagrangeano para o problema (17), dado como segue: )) ( x xˆ ( )) ( u uˆ ( H L t _t 2 t t t 1 t t t = +μ − β +μ − α

Usando os resultados previamente discutidos, pode-se obter uma formulação equivalente para o Lagrangeano, como segue:

(

t

)

) ( x t t 2 t t t 1 t t t H (uˆ u ( )) uˆ dˆ t L = +μ − β +μ − −∂ α ∂ (20) onde 2 t 1 t eμ

μ são os multiplicadores (não negativos) de Lagrange, associados, respectivamente,

com as restrições de estoque e produção. Estes parâmetros satisfazem as condições de complementaridade de folga relacionadas com a condição de otimalidade de (20) e, por conseguinte, com a formulação do problema (16). Como resultado, as condições de otimalidade

são dadas como segue: para 1

t

μ ≥ 0 tem-se que ( uˆt ut( )) 0

1

t ⋅ − + β =

μ . De modo análogo, para

2 t

μ ≥0 tem-se que

(

uˆ dˆ t

)

0

) ( x t t 2 t − + + t = μ ∂ α _{∂ .}

Substituindo, então, (17) em (20), e derivando à expressão resultante em relação às variáveis de estoque e produção obtém-se, respectivamente, as equações que representam a evolução do co-estado e a relação para a qual devem satisfazer as expressões ótimas de produção do problema (16). Com isto, determina-se:

t xˆ L t _t 2 q xˆ t =− =− ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ λ ∂ ₍₂₁₎

onde se tem que λT=0, uma vez que se assume o estoque final livre, ou seja, ele não recebe

nenhum tipo de ponderação na função objetivo (vide problema (16)). (2o) a condição determinante de ut,, isto é:

) ( r 2 1 uˆ 0 uˆ r 2 2 t 1 t t t 2 t 1 t t t u L t t μ − μ − λ ⋅ ⋅ − = ⇔ = μ − μ − λ + ⋅ ⋅ = ∂ ∂ (22)

Para se obter as trajetórias médias ótimas de estoque e produção

{

(

x

t

,

u

t

)

t∈(0,T)

}

∗

∗

, é necessário interpretar os principais resultados gerados até então e, se possível, gerar uma visualização gráfica dos resultados. Isto será feito, a seguir.

6.1. Interpretação das condições ótimas existentes:

Seguindo resultados discutidos por Parlar (1983), pode-se, verificar que, para garantir a otimalidade do problema (16), deve-se considerar que λt≥0. A razão disto é que sua derivada, dada por (21), será sempre negativa decrescente com o tempo t (isto devido ao fato de q≥0 e xt>0). Isto significa que o caso 2, estabelecido a partir do Hamiltoniano (17), deverá prevalecer nesta análise. Com isto em mente, assume-se que, num primeiro momento, o estado inicial seja maior que o estoque de segurança (ou seja, xˆ0 >xt(α)_{); logo, é possível imaginar que, para um} dado intervalo [0, ta), haverá sempre uma quantidade de estoque capaz de responder por qualquer que seja a demanda por produtos, sem risco de violação dos níveis de estoque de segurança. Isto significa que xˆt >xt(α)∀t∈[0,ta)_{. Assim, para este intervalo, tem-se que as trajetórias ótimas} serão expressas como segue:

) t , 0 [ t ) ( u dˆ t xˆ x ) ( u u a t t 0 t t t ∈ ∀ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ β + − = β = ∗ ∗ (23)

É importante observar que, para o intervalo [0, ta), sempre ocorrerá que

2 t μ

=0 pois xt >

xt(α) e, como conseqüência, (usando o resultado dado em (22)) segue que μ1t=2⋅r⋅ut(β)+λt e

como λt≥0 implica que

1 t

μ _{satisfaz as condições limites do Lagrangeano, estabelecidas}

anteriormente.

Por outro lado, para o intervalo [ta, T) tem-se que xˆt =xt(α), e desde que λt≥0 (caso 2), tem-se que as trajetórias ótimas serão:

) T , t [ t ) ( x x ) dˆ ), ( u ( max u k t t t t ) ( x t t t _{∀ ∈} ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ α = + β = ∗ ∂ α ∂ ∗ (24)

Note-se que, de modo análogo à situação anterior, as condições limites são satisfeitas para este intervalo, pois, uma vez que, ut ≥ut(β)

∗

, tem-se que

1 t

μ _{=0 e, assim, a partir de (22),}

obtém-se que μ2t= 1/(2 ⋅r)+λt ≥ 0, pois, a partir do caso 2, λt≥0 ∀t. 7. Exemplo ilustrativo

Considere uma empresa que opera com os seguintes dados: estoque inicial x0 = 120

unidades de um dado produto; o estoque de segurança xt =20∀t _{e capacidade mínima de}

processamento ut =10∀t_{. A demanda pelo produto é estacionária e apresenta uma média}

ordinária de 150 unidades, com desvio padrão igual a σd =2,8. Os índices probabilísticos α e β

são fixados iguais a 95%.

Com base nestes dados acima, pode-se adotar um esquema de simulação como, por exemplo, a estrutura em diagrama de blocos apresentada na figura 2, com o objetivo de produzir cenários de produção que são dependentes dos valores de α e β fornecidos pelo usuário.

) ( x xˆ t * t = α xt _ _ + + + + Kt⋅(xt- * t xˆ ) t 0 t * t u ( ) xˆ tdˆ xˆ = β + − ut ) ( u uˆ* _t t= β ) dˆ ), ( u ( max uˆ t t ) ( x t * t= β ∂ tα∂+ dt t ≥ tk t ≥ tk t∈ [0, tk) P re v iso r E q ua ç ão d e B a la n ço τ ∂ − τ ∂ + =

_∫

_τ

_∫

t _τ 0 t 0 0 t x u d x Kt t∈[0, tk)

Fig. 2. Esquema de Simulação, para análise de cenários

Com este objetivo em mente, aplica-se a regra de decisão linear discutida na seção 6 juntamente com o esquema de simulação da figura 2. Como conseqüência, um cenário baseado em α=β=95% é gerado como resposta. Este cenário é ilustrado na figura 3 através da trajetória de estoque. Níveis de estoque 0 20 40 60 80 100 120 140 ta T

(i) (ii) (iii)

Note que na figura 3, a linha cheia fina (i) representa o comportamento da função de estoque mínimo que é dado por xt(0,95)_{; a linha pontilhada (ii) representa a variação dos níveis} de estoque do produto, ou seja xt; e, por fim, a linha cheia grossa (iii) indica o estoque de segurança fixado pela gerência, isto é, xt =20∀t_{. Note, também, que se}

x

t

<

x

t

(

0

,

95

)

_, significa que não há uma regra de decisão factível para o problema.

Interpretando a figura 3: no intervalo t ∈ [0, ta], a estratégia é consumir o excedente de estoque encontrado no instante inicial t=0 (ou seja, x0=120). Neste caso, a política de estoques segue o resultado dado pela regra linear descrita em (23), com a política de controle mantendo-se estável e fixada na capacidade mínima de produção. Por outro lado, no intervalo t ∈ [ta, T], quando o nível de estoque xt encontra o limitante mínimo xt(0,95)_{, a regra de decisão adotada é} a que está apresentada em (24). Pode-se interpretar o resultado apresentado pela figura 3 como um cenário de produção onde a gerência procura manter estoques altos visando satisfazer sempre o cliente no que tange à entrega nos prazos. Neste cenário, o atendimento se dará de forma efetiva em, pelo menos, 95% das vezes.

8. Conclusão

Neste trabalho discutiu-se a formulação de um problema de planejamento estocástico a tempos contínuos, usando uma formulação do tipo LQG restrito. Como forma de resolver o problema, uma regra de decisão linear foi considerada. Esta regra é baseada num esquema de realimentação linear que permite o ajuste dos níveis correntes de estoque e produção, sempre que estes se dispersarem dos níveis médios alvos que, por sua vez, são determinados a partir de um problema determinístico equivalente, resolvido via princípio do mínimo de Pontryagin. A solução gerada pode ser empregada por gerentes para geração de planos de produção, que servirão como metas a serem seguidas em outros níveis de decisão do planejamento hierárquico. Outra importante função deste tipo de modelo é ajudar a gerência a simular diferentes cenários de produção relacionados ao atendimento com o nível de serviço ao cliente.

9. Referências

Aström, K. J. (1970): Introduction to Stochastic Control Theory, Academic Press, N. Y.

Bertsekas, D. P.(1995) Dynamic Programming and Stochastic Control, Athena Scientific, Vol.1. Bryson, A. E. and Y. Ho (1975): Applied Optimal Control: Optimization, Estimation and

Control, (Hemisphere Publishing Corporation, USA).

Cheng L., e Subrahmanian, A. W. Westerberg (2004) A Comparison of Optimal and Stochastic Programming from a Formulation and Computation Perspective, Mathematical and Computer Modelling, 29, 149-164.

Geromel, J. C. and Silva Filho O. S. (1989): Partial Closed-Loop Control Strucuture for Linear

Stochastic System, IEEE Trans. A. Control 34, n 2.

Gershwin, R., R. Hildebrant, R. Suri and S. M. Mitter (1986). A Control Perspective on Recent Trends in Manufacturing Systems, IEEE Control System Magazine, Vol. 6, No. 2, 3-15. Graves, S. C. (1999) A Single-Item Inventory Model for a Non-stationary Demand Process,

Manufacturing & Service Operations Management, Vol. 1, No 1.

Hackman, S., G. Riano, R. Serfozo, S. Huing, P. Lendermann, and L. P. Chan (2002) A Stochastic Production Planning Model, Technical Report, The Logistic Institute, Georgia Tech and National University of Singapore.

Hax, A., and Candea. D. (1984): Production and Inventory Management, Prentice-Hall.

Holt, C. C., F. Modigliani, J. F. Muth and H. A. Simon (1960) Planning Production, Inventory and Work Force, (Prentice-Hall, NJ).

Papoulis, A. (1991). Probability, Random Variables, and Stochastic Process (Third Edition), McGr-Hill.

Minoux, M. (1983): Programmation Mathematique: Theory e Algorithmes, Dunod, Paris.

Parlar, M (1985): A Stochastic Production Planning Model with a Dynamic Chance Constraint, European Journal of Operational Research, 20, 255-260.