RESPOSTA TEMPORAL
1. Motivação
Calcular a resposta temporal de sistemas dinâmicos LIT na forma SS.
Resposta temporal ⇒ permite analisar comportamento dinâmico do sistema no domínio do tempo.
Duas soluções:
• Solução homogênea ⇒ resposta à uma condição inicial diferente de zero; • Solução forçada ⇒ resposta à uma entrada diferente de zero.
2. Solução homogênea
Dado um sistema LIT de ordem n, + = + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t Du Cx y Bu Ax x& (1)
onde x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm e y(t) ∈ Rp.
A solução homogênea é obtida com a entrada igual a zero:
= = ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t Cx y Ax x& (2)
Resolvendo por Transformada de Laplace, ) ( ) 0 ( ) (s s sX −x =AX (3)
[
sI−A]
X(s)=x(0) (4)[
]
(0) ) ( I A 1x X s = s − − (5)Calculando a Transformada Inversa,
[
]
(0) )( I A 1x
A saída do sistema será: ) 0 ( ) ( C x y At e t = (7)
3. Exponencial de matriz
A exponencial da matriz A ⇒ é uma matriz de mesma dimensão de A.
Formas de calcular exponencial de matriz: • Usando Transformada de Laplace:
(
)
[
1]
1 − − − = I A A s e tL
(8) • Expansão em séries:( )
+( )
+( )
+L + + = 2 3 4 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 t t t t eAt I A A A A (9) • Teorema de Caley-Hamilton:Lembrando da aula anterior (diagonalização de sistema) ⇒ Λ =WAV ou A =VΛΛΛΛW.
O Teorema de Caley-Hamilton diz que uma função de uma matirz pode ser calculada por meio da mesma função, mas dos autovalores da matriz:
W Λ V A) ( ) ( f f = (10) W V Λ At t e e = (11)
4. Exemplos
Exemplo 1: Calcular a exponencial da seguinte matriz:
− − = 3 2 1 0 A
(
)
+ − = − 3 2 1 s s sI A(
)
[
]
+ + + + − + + + + + = = − + + + = − + + + = − − ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( 1 ) 2 )( 1 ( 3 2 1 3 ) 2 )( 1 ( 1 2 1 3 2 ) 3 ( 1 1 s s s s s s s s s s s s s s s s s s sI AExpandindo cada uma das transformadas da matriz em frações parcias,
(
)
+ + + − + + + − + − + + − + = − − 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 s s s s s s s s sI ACalculando a Transformada Inversa de Laplace,
+ − + − − − = − − − − − − − − t t t t t t t t t e e e e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 A
Usando o método de expansão em séries:
L + − − − − − − + + − − − − + − − + = t t t t t t t t t t t t t t t t t t e t 3 2 0 3 2 0 3 2 0 6 1 3 2 0 3 2 0 2 1 3 2 0 1 0 0 1 A L + − − + − − + − − + = 3 3 3 3 2 2 2 2 75 , 1 5 , 1 5833 , 0 5 , 0 5 , 4 3 5 , 1 3 2 0 1 0 0 1 t t t t t t t t t t t eAt + − + − + − + − + + − + + − = L L L L 3 2 3 2 3 2 3 2 75 , 1 5 , 4 3 1 5 , 1 3 2 5833 , 0 5 , 1 5 , 0 1 t t t t t t t t t t t eAt
⇒ Esse método não fornece uma expressão analítica para eAt
⇒ adequado somente para casos numéricos.
[
]
− = − = ⇒ = + + = + + = + − = − 2 1 0 2 3 2 ) 3 ( 3 2 1 det det 2 1 2 λ λ s s s s s s sI A Para λ1:(
)
− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ ⇒ = + = − − ⇒ = − − = − 2 2 2 2 1 1 0 2 2 0 0 2 2 1 1 11 21 12 11 12 11 12 11 1 1 1 1 v v v A I v v v v v v v v λ Para λ2:(
)
− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = + = − − ⇒ = − − = − 5 5 2 5 5 2 1 2 0 2 0 2 0 1 2 1 2 21 22 22 21 22 21 22 21 2 2 2 1 v v v A I v v v v v v v v λMatriz dos autovalores:
− − = 2 0 0 1 Λ
Matriz dos autovetores da direita:
− − = − − = 8944 , 0 7071 , 0 4472 , 0 7071 , 0 5 5 2 2 2 5 5 2 2 V
Matriz dos autovetores da esquerda:
− − = = − 2361 , 2 2361 , 2 4142 , 1 8284 , 2 1 V W Matriz exponencial: + − + − − − = = − − − − = = − − − − = = − − − − − − − − − − − − − − t t t t t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2361 , 2 2361 , 2 4142 , 1 8284 , 2 8944 , 0 7071 , 0 4472 , 0 7071 , 0 2361 , 2 2361 , 2 4142 , 1 8284 , 2 0 0 8944 , 0 7071 , 0 4472 , 0 7071 , 0 W V Λ A
Exemplo 2: Calcular a resposta à condição inicial do seguinte sistema:
[
]
= − − = ) ( 0 1 ) ( ) ( 3 2 1 0 ) ( t t y t t x x x& Condição inicial ⇒ x0 = [1, 1]t.Como visto a solução homogênea é dada por ⇒ x( ) Atx(0)
e t =
Do exemplo anterior tem-se ⇒
+ − + − − − = − − − − − − − − t t t t t t t t t e e e e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 A Portanto, + − − = + − + − − − = + − + − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( x0 x
A saída do sistema será:
[
]
( ) 3 2 , para 0 4 3 2 3 0 1 ) ( 2 2 2 ≥ − = ⇒ + − − = − − − − − − t e e t y e e e e t y t t t t t t5. Solução forçada e completa
Caso escalar:
Dado o sistema escalar ou de 1ª ordem (n = 1):
+ = + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t du t cx t y t bu t ax t x& (12)
Solução temporal completa (solução homogênea e forçada),
∫
− + = t t a at d bu e x e t x 0 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( τ τ τ (13)onde o primeiro termo do lado direito é solução homogênea e o segundo termo do lado direito é a solução forçada. A integral do segundo termo é chamada integral de
A saída do sistema será dada por: ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 ) ( t du d bu ce x ce t y t t a at + + =
∫
−τ τ τ . (14) Demonstração:Rearranjando a equação dos estados,
) ( ) ( ) (t ax t bu t x& − = . (15) Multiplicando por e−at,
[
x(t) ax(t)]
e bu(t) e−at − = −at & , (16) ) ( ) ( ) (t e ax t e bu t x e−at& − −at = −at . (17)Observando que o lado esquerdo é a derivada do produto de duas funções, então:
[
e x(t)]
e bu(t) dt d −at = −at . (18) Integrando,[
]
∫
∫
− = − − = − t a at t a d bu e x e t x e d x e dt d 0 0 0 ) ( ) 0 ( ) ( ) (τ τ τ τ τ τ . (19) Rearranjando,∫
− − = + t a at d bu e x t x e 0 ) ( ) 0 ( ) ( τ τ τ . (20) Multiplicando por eat,∫
− + = t t a at d bu e x e t x 0 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( τ τ τ. (21)Caso matricial:
Dado o sistema de ordem n:
+ = + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t Du Cx y Bu Ax x& (22)
Solução temporal completa (solução homogênea e forçada),
∫
− + = t t t d e e t 0 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( τ τ τ Bu x x A A (23)onde o primeiro termo do lado direito é solução homogênea e o segundo termo do lado direito é a solução forçada. A integral do segundo termo é chamada integral de
convolução.
A saída do sistema será dada por:
) ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 ) ( t d e e t t t t Du Bu C x C y A A + + =
∫
−τ τ τ . (24)Observações:
A expressão (23) é raramente utilizada para calcular a resposta temporal de um sistema LIT.
Usualmente utiliza-se o método da Transformada de Laplace para solução de equação diferencial se for desejada a solução algébrica.
A integral da equação (23) pode ser resolvida mais facilmente usando a propriedade da convolução da Transformada de Laplace.
Se for desejada solução numérica ⇒ utiliza-se algum método numérico para integração de equações diferenciais.
6. Exercícios
1) Dado o sistema abaixo na forma do espaço dos estados:
) ( 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 1 ) ( ) ( 2 0 0 3 ) ( 0 1 4 0 ) ( t u t t y t t t + = + − = x u x x& Pede-se:
a) Calcule os autovalores e os autovetores do sistema.
t
c) Calcule a resposta temporal das saídas do sistema devido à condição inicial x(0) = [1, –2]t
e entradas nulas.
