1 Parte 1: Integração, área e volume

(1)

20 _{Lista de Exerc´ıcio: MAT0146, turma 2015121}

C´alculo Diferencial e Integral I para Economia (10 _{semestre 2015)}

Referˆencias principais(nas quais a lista foi baseada):

1. J. Stewart ,Cálculo I Pioneira Thomson Learning, 4 Edi¸cão ou 5 Edi¸cão 2. J. E. Weber, Matemática para Economia e Administra¸cão, 2 Edi¸cão 3. S.T. Tan, Matemática Aplicada a Administra¸cão e Economia, Cengage

Learning

1 Parte 1: Integra¸

c˜

ao, ´

area e volume

Problema 1.1. Esboce a regi˜ao A limitada pelas curvas y = −x2 _{+ 4x e}

y = x2 _{e encontre a area de A.}

Problema 1.2. Esboce a regi˜ao limitada pela parabola y2 _{= 2x + 6 e pela}

reta y = x − 1, decida se ´e melhor integrar em rela¸c˜ao a x ou y e calcule a ´

area da regi˜ao.

Problema 1.3. O volume de um sólido de revolu¸cão obtido pela rota¸cão ao redor do eixo y da região limitada por y = 0 e y = f (x) (onde f é positiva e definida em intervalo [a, b] com a ≥ 0) é

V = Z b

a

2πxf (x)dx

(1) Esboce a regi˜ao A limitada por y = 2x2− x3 _{e y = 0 e ache o volume}

do sólido obtido pela rota¸cão da região A em torno do eixo y.

(2) Esboce a regi˜ao A limitada por y = x e y = x2 _{e ache o volume do}

(2)

Problema 1.4. Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em rela¸cão a x ou a y e calcule a área da região.

(1) y = x + 1, y = 9 − x2_{, x = −1, x = 2.} (2) y = 12 − x2_{, y = x}2_{− 6} (3) x = 2y2, x + y = 1 (4) x = 1 − y2 _{x = y}2 _{− 1}

1.1 Respostas da Parte 1

Problema 1.1: 8₃. Problema 1.2: 18 Problema 1.3 (1) 16π₅ (2) π₆

Obs: Problema 1.3 resolvido na Se¸c˜ao 6.3 do livro Stewart Problema 1.4

(1) 19, 5 (2) 72 (3) 9/8 (4) 8/3

(3)

2 Parte 2: Integra¸

c˜

ao, teoremas

fundamen-tais do C´

alculo, mudan¸

ca de vari´

aveis e

in-tegra¸

c˜

ao por partes

Problema 2.1. Calcule: (1) R₀1x(x2_{+ 1)}3_dx (2) R₀π/2sin3(x) cos(x) dx (3) R₀3x√1 + x dx (4) R5 1 x √ 2x−1dx Problema 2.2. Calcule (1) R2 1 t 2√_t3_{+ 1 dx} (2) R1 0 (y2_+2y) 3 √ y3_+3y2₊₄dx (3) R₀15 w (1+w)34 dw (4) R₋₂5 |x − 3| dx (5) R₋₁1 p|x| − x dx (6) R₀3(x + 2)√x + 1 dx (7) R₁2 x3+2x_(x+1)2+x+22 dx (8) R1 0 sin(πx) cos(πx) dx (9) _dxd R_x3psin(t) dt (10) _dxd Rx −x 1 3+t2 dt (11) _dxd R₁x3√3 t2_{+ 1 dt} (12) d dx Rtan(x) 2 1 1+t2 dt

(4)

Problema 2.3. Utilizando o teorema do valor médio e o teorema fundamen-tal do C´_{alculo I prove que se f : [a, b] → R é cont´ınua então existe c ∈ (a, b)} tal que Rb af (x) dx = f (c)(b − a) Problema 2.4. Calcule: (1) R x exp(x) dx (2) R ln(x) dx (3) x2_{sin(x) dx} (4) R _(x+1)2x 2 dx (5) R tan(x) dx (6) R sec(x) dx (7) R cos2(x) dx (8) R sin2_{(x) dx} (9) R cos3_{(x) dx} (10) R sin3(x) dx (11) R sec4_{(x) dx} Problema 2.5. Calcule: (1) R x exp(x) (1+x)2 dx (2) R x2exp(x) dx (3) R t ln(t) dt (4) R exp(x)(x + 1)2dx (5) R x+1 (x+1)2₊₄dx (6) R exp(x) cos(x) dx

(5)

(7) R x2_{exp(−x) dx}

(8) R ln(x+1)_√ x+1 dx

Problema 2.6. Uma fun¸c˜_{ao f : R → R cont´ınua por partes é chamada} fun¸cão freqüência se :

(a) f ≥ 0

(b) R_−∞∞ f (x) dx = 1

A probabilidade de um evento x ocorrer em um intervalo [a, b] ´e definida por P (a < x < b) :=

Z b

a

f (x) dx

Num estabelecimento de autope¸cas, a propor¸cão de encomendas atendidas por dia tem uma fun¸cão de freqüência dada por f (x) = 20(x3 _{− x}4_{) para}

x ∈ [0, 1] e f (x) = 0 para x /∈[0,1]. Qual a probabilidade de se atender menos de 20 por cento das encomendas num dia?

2.1 Respostas da Parte 2

Problema 2.1 (1) 15 8 (2) 1₄ (3) 116₁₅ (4) 16 3 Problema 2.2 (1) 2₉(27 − 2√2) (2) 2 −√3 2 (3) 104₅ (4) 29₂

(6)

(5) 2₃√2 (6) 256₁₅ (7) 11₆ (8) 0 (9) −psin(x) (10) _3+x22 (11) 3x2√3 x6 _{+ 1} (12) 1 Problema 2.3: Defina F (x) = Rx

a f (t) dt. Pelo teorema do valor m´edio

existe c tal que

F0(c) = F (b) − F (a) b − a = Rb af (x)dx b − a

Por outro lado, o teorema fundamental do C´aculo I implica que F0(c) = f (c)

O resultado segue ent˜ao das equa¸c˜oes acima. Problema 2.4

(1) x exp(x) − exp(x) + C (2) x ln(x) − x + C

(3) − cos(x)x2_{+ 2x sin(x) + 2 cos(x) + C}

(4) 2 ln |x + 1| +_|x+1|2 + C (5) − ln | cos(x)| + C

(7)

(6) ln | sec(x) + tan(x)| + C (7) x₂ +sin(2x)₄ + C (8) x₂ − sin(2x)₄ + C (9) sin(x) − sin3₃(x) + C (10) − cos(x) + cos3₃(x) + C (11) tan3₃(x)+ tan(x) + C Problema 2.5: (1) exp(x)_1+x + C (2) exp(x)(x2 _{− 2x + 2) + C} (3) 1 2(t 2_{ln(t) −} 1 4t 2_{+ C} (4) exp(x)(x2 _{+ 1) + C} (5) 1₂ln((x + 1)2+ 4) + C (6) 1₂exp(x)(sin(x) + cos(x)) + C (7) − exp(−x)(x2_{+ 2x + 2) + C} (8) 2(x + 1)1/2(ln(x + 1) − 2) + C Problema 2.6: 20(x₄4 − x5 5)| 0.2 0 = 0, 00672

(8)

3 Parte 3: Aplica¸

c˜

oes da integral na

econo-mia

Problema 3.1. Seja q = f (p) a fun¸cão demanda onde p é o pre¸co e q a quantidade. A fun¸cão demanda é positiva, em geral decrescente e em geral existe M (pre¸co máximo) tal que f (M ) = 0. O excedente do consumidor (a partir do pre¸co p0) é definido como

ec := Z M

p0

f (p) dp.

(a) Seja p0 < · · · < pn = M uma parti¸c˜ao por pre¸cos do intervalo [p0, M ]

e defina ∆pi = pi+1 − pi. Defina ec(pi) como sendo o gasto de um

consumidor que consome f (pi) produtos ao pre¸co pi + ∆pi menos o

gasto de um consumidor que consome f (pi) produtos ao pre¸co pi. Em

outras palavras, ec(pi) mede a diferen¸ca do gasto de um consumidor

que, apesar do aumento de pre¸co ∆pi no pre¸co pi, continuaria

consu-mindo a mesma quantidade de produtos (i.e., f (pi)) com o gasto do

consumidor que consome f (pi) produtos a um pre¸co pi. Verifique que

para uma parti¸c˜ao com ∆pi pequenos o excedente do consumidor pode

ser aproximado por P

iec(pi.)

(b) Sejam p = f−1(q) a inversa da fun¸c˜ao demanda e q0 = f (p0). Verifique

que

ec = Z q0

0

f−1(q) dq − p0q0.

(c) Seja p = 32 − 4q − q2 _{a inversa da fun¸c˜}_{ao demanda. Ache o excedente do}

consumidor a partir de p0 = 27.

Problema 3.2. Seja p = 39 − q2 a inversa da fun¸c˜ao demanda. Ache o excedente do consumidor se

(a) q0 = 5₂.

(b) O bem ´e gratuito, i.e., p0 = 0.

Problema 3.3. Seja q = g(p) a fun¸cão que representa a quantidade q de um produto que pode ser ofertada por uma empresa de acordo com o pre¸co p. A fun¸cão oferta é positiva, em geral crescente e em geral existe m (pre¸co

(9)

m´ınimo) tal que g(m) = 0. O excedente do produtor (at´e do pre¸co pf) ´e definido como ep := Z pf m g(p) dp.

(a) Seja m = p0 < · · · < pn = pf uma parti¸c˜ao por pre¸cos do intervalo

[m, pf] e defina ∆pi = pi+1− pi. Defina ep(pi) como sendo a receita do

produtor que oferta g(pi+1) produtos ao pre¸co pi+1 menos a receita de

um produtor que consegueria oferecer g(pi+1) produtos ao pre¸co menor

pi = pi+1− ∆pi. Verifique que para uma parti¸c˜ao com ∆pi pequenos o

excedente do produtor pode ser aproximado por P

iep(pi.)

(b) Sejam p = g−1(q) a inversa da fun¸c˜ao oferta e qf = g(pf). Verifique que

ep = pfqf −

Z qf

0

g−1(q) dq.

(c) Seja p = (q + 2)2_{a inversa da fun¸c˜}_{ao oferta. Ache o excedente do produtor}

at´e o pre¸co pf = 25.

Problema 3.4. Seja p = √9 + q a inversa da fun¸c˜ao oferta. Ache o exce-dente do produtor com qf = 7.

Problema 3.5. A quantidade demandada qconc e o pre¸co correspondente

pconc, sob condi¸cões de concorrência perfeita, são determinadas pela inversa

da demanda p = 36 − q2 _{e pela inversa da oferta p = 6 +} q2

4, i.e., o ponto

(qconc, pconc) esta na interse¸c˜ao da curva demanda com a curva oferta.

Deter-mine os correspondentes excedente do consumidor e produtor.

Problema 3.6. Sejam p = 20 − 3q2 a fun¸cão inversa da demanda e p = 2q2 a fun¸cão inversa da oferta. Ache o excedente do consumidor e excedente do produtor sob condi¸cões de concorrência perfeita.

Problema 3.7. Sejam C(R) a fun¸c˜ao consumo, P (R) a fun¸c˜ao poupan¸ca,

dC

dR a propens˜ao marginal a consumir e dP

dR a propens˜ao marginal a poupar.

Suponha que R = C + P . Seja 1/3 a propensão marginal a poupar. Suponha que quando a renda é zero o consumo é 11. Ache a fun¸cão consumo.

Problema 3.8. Sejam K(t) a forma¸cão de capital, I(t) := dK_dt o fluxo de investimento l´ıquido. Se o fluxo de investimento l´ıquido é I(t) = 15t1/4 e o estoque de capital inicial em t = 0 é 30, calcule a fun¸cão forma¸cão de capital.

(10)

3.1 Respostas da Parte 3

Problema 3.1: (c) 8₃. Problema 3.2 (a) 31₄ (b) 26√13 Problema 3.3: (c) 36 Problema 3.4: 10₃ Problema 3.5:

Neste caso o ponto (qconc, pconc) coincide com o ponto (q0, p0) do excedente

do consumidor e com o ponto (qf, pf) do excedente do produtor. Assim sendo

temos que excedente do consumidor ´e 32√6 e o excedente do produtor ´e 8√6. Problema 3.6: ec = 16, ep = 32₃

Problema 3.7: C = 2₃R + 11. Problema 3.8: K(t) = 12t5/4_{+ 30.}

(11)

4 Parte 4: Exerc´ıcios complementares

Problema 4.1. A circula¸c˜ao atual de uma revista ´e de 3000 exemplares por semana. O editor-chefe da revista projeta uma taxa de crescimento de

4 + 5t2/3

exemplares por semana, daqui a t semanas pelos próximos três anos. Com base em sua proje¸cão, qual será a circula¸cão da revista daqui a 125 semanas? Problema 4.2. A fun¸cão de custo marginal diário associada à produ¸cão dos relógios de companhia de relógios de pulso, é

C0(x) = 0, 000009x2− 0, 009x + 8

onde C0(x) é medida em dólares/unidade e x denota o número de unida-des produzidas. A gerência determinou que o custo fixo diário incorrido na produ¸cão desses relógios é de $120. Determine o custo total incorrido pela companhia ao produzir os primeiros 500 relógios de pulso/dia.

Problema 4.3. A mesma companhia do exerc´ıcio anterior determinou que a fun¸cão receita marginal diária associada à produ¸cão e venda de seus relógios de pulso é dada por

R0(x) = −0, 009x + 12

onde x denota o número de unidades produzidas e vendidas e R0(x) é medida em dólares/unidade. Determine a fun¸cão receita R(x) associada à produ¸cão e venda desses relógios.

Problema 4.4. Como parte de um programa de controle de qualidade, os jo-gos de xadrez fabricados por uma companhia são submetidos a uma inspe¸cão final antes de serem embalados. A taxa de crescimento no número de jogos inspecionados por hora por um inspector no turno da manhã, que vai das 8 `

as 12 horas, t horas ap´os o in´ıcio do turno, ´e aproximadamente N0(t) = −3t2+ 12t + 45 (0 ≤ t ≤ 4).

(a) Encontre uma express˜ao N (t) que calcula o n´umero aproximado de jogos inspecionados ao final de t horas.

(12)

Problema 4.5. Em 1990, o chefe de pesquisa de deselvolvimento uma com-panhia afirmou que o custo de produ¸cão de painéis de energ´ıa solar cair´ıa à taxa de

58

(3t + 2)2 (0 ≤ t ≤ 10)

dólares por watt de pico pelos próximos t anos, com t = 0 correspondendo ao in´ıcio do ano de 1990. (um watt de pico é a potência produzida ao meio-dia, em um dia de sol.) Em 1990, os painéis custavam $10 por watt de pico. Encontre uma expressão que forne¸ca o custo de produ¸cão de painéis de energia solar por watt de pico no in´ıcio no ano t. Qual foi esse custo no in´ıcio no ano 2000?

Problema 4.6. Um estudo preparado pelo departamento de marketing de uma companh´ıa projeta que, após à nova linha de computadores pessoais ser lan¸cada no mercado, as vendas crescerão à taxa de

2000 − 1500e−0,05t (0 ≤ t ≤ 60)

unidades por mês. Encontre uma expressão que forne¸ca o número total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem dispon´ıveis no mercado. Quantos computadores a companh´ıa venderá no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?

Problema 4.7. A gerência de uma compahia determinou que a fun¸cão custo marginal diário associada à produ¸cão de apontadores de lápis a bateria é dada por

C0(x) = 0, 000006x2− 0, 006x + 4

onde C0(x) é medida em dólares por unidade e x denota o número de unidades produzidas. A gerência também determinou que o custo fixo diário envolvido na produ¸cão desses apontadores de lápis é de $100. Determine o custo total diário para produzir

(a) As primeiras 500 unidades e (b) da unidade 201 `a unidade 400.

Problema 4.8. As taxas de juros cobradas por uma companhia sobre empréstimos para compra de carros usados durante um certo per´ıodo de seis meses no ano 2000 são aproximadas pela fun¸cão

(13)

onde t é medido en meses e r(t) é a porcentagem anual. Qual é a taxa média sobre tais empréstimos concedidos pela companh´ıa durante o per´ıodo de seis meses em questão?

Dica: Recorde que valor médio de uma fun¸cão integrável f em [a, b] é igual a _b−a1 R_abf (x) dx

Problema 4.9. Em um estudo realizado en 1999 para um ministério de certo pa´ıs emergente, economistas do governo e especialistas em energia conclu´ıram que se o projeto de Lei sobre Conserva¸cão de Energia fosse implementado em 2000, o consumo de petróleo desse pa´ıs pelos cinco anos subseqüentes cresceria de acordo com o modelo

R(t) = 20e0,05t

onde t é medido em anos e R(t) em milhões de barris por ano. Sem essas medidas impostas pelo governo, entretanto, a taxa de crescimento esperada de consumo de petróleo seria dada por

R1(t) = 20e0,08t

milhões de barris por ano. Usando esses modelos, determine quanto petróleo teria sido economizado de 2000 até 2005 se o projeto de lei tivesse sido im-plementado.

Problema 4.10. A fun¸c˜ao de demanda para certa marca de bicicleta de dez velocidade ´e dada por

p = D(x) = −0, 001x2+ 250

onde p é o pre¸co unitário em dólares e x é a quantidade demandada em unidades de milhas. A fun¸cão oferta para essas bicicletas é dada por

p = S(x) = 0, 0006x2+ 0, 02x + 100

onde p denota o pre¸co unitario em dólares e x denota o número de bicicletas que o fornecedor colocará no mercado, em unidades de milhares. Determine o excedente dos consumidores se o pre¸co de mercado de uma bicicleta é igual ao preco equil´ıbrio.

(14)

Problema 4.11. Uma companhia de lavagem de carros comprou uma máquina automática de lavagem de carros que, estima-se, gerará uma renda de $40000 por ano, daqui a t anos, pelos próximos cinco anos. Se a renda é rein-vestida em um negócio pagando juros à taxa de 12% ao ano compostos cont´ınuamente, determine o valor total acumulado desse fluxo de renda ao final de cinco anos.

Dica: Recorde que valor futuro acumulado, ou total de um fluxo de renda , após T anos de um fluxo de renda de R(t) dólares por ano, ren-dendo juros à taxa de r por ano compostos continuamente, é dado por A = erT RT

0 R(t)e −rt_dt

Problema 4.12. Resolva as equa¸c˜oes diferenciais abaixo. (1) y(x) y0(x) = x

(2) dy(t)_{d t} = t exp(t)

y(t)√1+y2_(t)

Problema 4.13. Encontre a solu¸cão da equa¸cão diferencial que satisfaz a condi¸cão inicial dada:

x(t) exp(−t)d x(t)

d t = t, x(0) = 1 Problema 4.14. Calcule as integrais:

(a) R √ 9−x2 x2 dx (b) R 1 x2√_x2₊₄dx (c) R _√x x2₊₄dx (d) R √ 1 x2₋₄dx (e) R _x2x+5_+x−2dx

(15)

4.1 Respostas da Parte 4

Problema 4.1: 12875 exemplares por semana. Problema 4.2: $3370.

Problema 4.3: R(x) = x(−0, 0045x + 12). Problema 4.4:

(a) −t3 + 6t2+ 5t. (b) 212.

Problema 4.5: C(t) = (3t + 60)/393t + 2) ; $15/16 por watt de pico. Problema 4.6: N (t) = 2000t + 30000(e−0,05t− 1); N (12).

Problema 4.7: (a) $1600 e (b) $552.

Problema 4.8: 9.

Problema 4.9: Aproximadamente 9, 3 milh˜oes de barris. Problema 4.10: $11700000.

Problema 4.11: $274040 aproximadamente. Problema 4.12:

(1) x2− y2 _{= C}

(16)

Problema 4.13: x =p2(t − 1) exp(t) + 3 Problema 4.14 (a) − √ 9−x2 x − sen −1₍x 3) + C (b) − √ x2₊₄ 4x + C (c) √x2_{+ 4 + C} (d) ln |x +√x2_{− 4| + C} (e) 2 ln |x − 1| − ln |x + 2| + C