Matemática para jogos 1 Aula 2
Matemática para jogos 1 Aula 2
Matemática para jogos 1
Aula 3: Determinantes e matriz inversa Mark Joselli
Definição
Vamos considerar duas matrizes A e B de
quadradas de dimensão n, onde o produto das duas é igual à identidade:
A*B=B*A=I
Quando isso acontece, dizemos que A é inversa de B e B é inversa de A, ou ainda: Notação:
A=B–1 B=A–1
Inversivel
Quando uma matriz não admite inversa
dizemos que ela é singular (não tem o seu par, a inversa) ou não inversı́vel. Analogamente,
quando a matriz admite inversa ela é não singular ou inversı́vel.
Por definição, toda matriz inversı́vel é
equivalente à matriz identidade.
Então, imagine que podemos realizar
operações elementares sobre uma
matriz A, até que consigamos obter a
matriz identidade como resultado. Caso
isso não seja possı́vel, implica dizer
que se trata de uma matriz não
inversı́vel.
Exemplo: Verificar se matriz tem
inversa
Prove que as matrizes A e B são
inversas uma da outra.
Exercicio: Verifique se A e B tem
inversa
Exercicio
Encontre B-1:
Encontre A:
Propriedades
Considerando A, B, C e D matrizes
inversı́veis:
1) A*A
–1= A
–1*A=I
2) (A
–1)
–1= A
3) (A
–1)
t= (A
–t)
14) (A*B)
–1= B
–1*A
–15) (A*B*C*D)
–1= D
–1*(A*B*C)
–1=
D
–1*C
– 1*(A*B)
–1= D
–1*C
–1*B
–1*A
–1Apresentação
● O determinante é um recurso bastante aplicado com matrizes.
● Através dele pode-se obter informações sobre a matriz, como por exemplo :
○ saber se ela é singular,
○ associar o determinante com a solução de um sistema de equações lineares,
○ obter cálculo de áreas
Objetivos
● Encontrar o determinante de uma matriz de qualquer ordem.
● Saber identificar quando deve ser utilizada determinada propriedade.
Definição
● O determinante de uma matriz é uma função que leva uma matriz quadrada a um número real, ou seja, o determinante é um número real que é associado a uma matriz.
● A notação utilizada para o determinante de uma matriz é qualquer uma das formas
abaixo, onde A é uma matriz quadrada e aij seu termo geral.
Determinante: Matrix
1x1Dada a Matrix:
A = (a11) -> detA = a11 B = (3) -> detB = 3
Determinante:Matrix
2x2Realizar o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundaria.
A =
exemplo
exemplo
Matriz
3x3Usamos a regra de Sarrus, onde repetimos as duas primeiras colunas ao lado direito da
matriz e efetuando o somatorio do produtos da diagonais principal com as duas diagonais
paralelas, e subtraindo do somatorio da
diagonal secundaria com suas duas diagonais paralelas.
DetA = a11*a22 *a33+a12*a23 *a31+a13*a21 *a32 ...
DetA = a11*a22 *a33+a12*a23 *a31+a13*a21 *a32 - (a13*a22 *a31+a11*a23 *a32+a12*a21 *a33)
Exercicio
Determinante de matriz de ordem n
O determinante de A = (aij)nxn, com n natural e maior que 2 pode ser obtido a partir de
Cofator
O cofator do elemento aij é o numero Aij dado por:
Aij = (-1)i+j * Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j
Exemplo
Exemplo
Exemplo 2
Exercicio
Determinante de matriz de ordem n
Então o determinante de A (matriz quadrada de ordem n, com n > 1), é igual a soma dos
produtos dos elementos de uma linha qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo
Exemplo
Escolhendo a linha 1
Exemplo
Escolhendo a linha 1
Exemplo
Escolhendo a linha 1
detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13=
Exemplo II
Escolhendo a linha 1
detA= 0*A11+1*A12+1*A13+0*A14
Exemplo II
Escolhendo a linha 1
detA= 0*A11+1*A12+1*A13+0*A14
Exercicio
Propriedades dos determinantes
● Se A tem uma linha (ou coluna) com todos os elementos nulos, detA=0
Propriedades dos determinantes
● Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, detA=0
Propriedades dos determinantes
● Se A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, detA=0
Propriedades dos determinantes
● O determinante de uma matriz não se altera quando trocamos as linhas pelas colunas.
Propriedades dos determinantes
● Se na matriz A, cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de suas matrizes.
Propriedades dos determinantes
● O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Propriedades dos determinantes
● Trocando duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal.
Propriedades dos determinantes
● Quando multiplicamos um número real por todos os elementos de uma linha (ou
coluna) da matriz A, o determinante é multiplicado por esse número real.
Propriedades dos determinantes
● Um determinante não se altera quando
somamos duas linhas (ou colunas) de uma matriz A previamente multiplicada por uma constante.
Propriedades dos determinantes
● Sejam A e B matrizes, o determinante do produto é igual ao produto dos
determinantes.
