Disciplina de Cálculo Integral e Diferencial - ESALQUSP Parte 4 Material Modificado do Curso de Cálculo para Engenharia Civil da Puc do Paraná

Integral Definida

Seja y = f(x) contínua em [a, b]

+ + +

a b

- -

−

=

b

a

2

A

1

A

dx

)

x

(

f

→

→

x . eixo . do . abaixo . área 2 A

x . eixo . do . acima . área 1 A

O intervalo ab é chamado de limite de integração onde a é limite inferior e b é limite superior.

Teorema Fundamental do Cálculo

[

g

(

x

)

]

g

(

x

)

g

(

b

)

g

(

a

)

dx

)

x

(

f

b

a b

a

b

a

=

=

−

=

Propriedades das Funções Definidas

P1) =

a

af(x)dx 0

P2) =−

a

b b

af(x)dx f(x)dx

P3) f(x)dx f(x)dx f(x)dx se a c b b

c c

a b

a = + < <

P4) f(x)dx 0 sef(x) 0 x

[

a,b

]

b

a > > ∀ ∈

P5) f(x)dx 0 sef(x) 0 x

[

a,b

]

b

Exemplos:

1) Determinar a área limitada pela curva y=5x−x2_{e pelo eixo x.}

0 x x 5 − 2=

0 ) x 5 (

x − = y=5x−x2

= =

5 x

0 x

0 5

. a . u 6 5 3 5 2 5 3

x 2 x . 5 dx x x 5

A 5

0

3 3 5

0 3 2 2

= − = −

= − =

2) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x2 e y = 2x.

- Pontos de interseção - Área

y = 5x – x

2

y = 2x

5

3

0

y

x

= =

= −

= −

− = =

− =

3 x

0 x

0 ) 3 x ( x

0 x 3 x

x x 5 x 2

x 2 y

x x 5 y

2

2 2

. a . u 2 9 A

9 2 27 A

3 x 2 x 3 A

dx ) x x 3 ( A

dx ) x 2 x x 5 ( A

3

0 3 2 3

0

2 3

0

2

= − =

− =

− =

3) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y2

2 y

0 y 4

y 4 x

2 2

± =

= −

− =

[ ]

. a . u 3 32 A

8 . 3 2 . 2 A

3 2 . x 4 2 A

dx ) 1 .( ) x 4 ( . 2 A

dx x 4 . 2 A

4

0 2 3 4

0

2 1 1 A 4

0

=

− − =

− − =

− − − =

− =

ou 3 u.a. 32 A

3 8 8 . 2 A

3 y y 4 . 2 A

dy ) y 4 ( 2 A

2

0 3 2

0 2

= − =

− =

− =

4) Determinar a área limitada pelas curvas y2 _{= 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a”} positivo.

x

y = 0

3a

a

x 4

y= −

A1

2

-2

y

x

a 4 y x

2 =

y a 3 x= −

- Pontos de interseção - Área

Volume Gerado pela Revolução de Áreas Planas

Seja y = f (x) contínua em [a, b].

∆xi

a b

Vi =πf.(xi)2.∆xi

∆ π = ∆ π = ∆ π = n 2 n n 2 2 2 2 1 2 1 1 x . ) x ( f. V .... ... ... ... x . ) x ( f. V x . ) x ( f. V ∆ π = ∆ π = ∆ π = = ∞ → b a 2 b a 2 n 1 i i 2 i n x . ) x ( f V x . ) x ( f. V x . ) x ( f. lim V π = b a 2_dx y V →

Volume gerado pela revolução

da região limitada por y = f (x),

x = a, x = b, e o eixo x,

Seja x = f (y); y = c e y = d e o eixo y.

π =

d

c

2_dy ) y ( f V

π =

d

c 2_dy x V

→

Exemplos

1) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y = x2, x = 2 e o eixo x.

. v . u 5

. 32 V

5 x V

dx x V

dx ) x ( V

2

0 5 2

0 4 2

0 2 2

π =

π =

π =

π =

y

x

f(y)

d

c

i

y

∆

x = f

(y)

Volume gerado

pela rotação em

torno do eixo x.

2

x = 2

y = x

2

2) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y2 _{= 2.x, eixo x e} x = 2.

(

)

. v . u 4 V

x V

xdx 2 V

dx x 2 V

2

0 2 2

0 2 2

0

π =

π =

π =

π =

Seja y1 = f1 (x) e y2 = f2 (x) no intervalo [a, b].

(

)

(

)

[

]

{

f (x)

}

{

[

f (x)

]

}

dx V

dx ) x ( f dx ) x ( f V

b V V V

2 2 b

a 2 1

b

a 2 2 2

b

a 1

2 1

− π

=

π − π

= − =

(

y y

)

dx V

b

a

2 2 2

1 −

π =

x 2 y=±

x

x = 2

x 2 y2 =

y

y

2

= f

2

(x)

y

1

= f

1

(x)

y

x

Exemplo:

1) Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2 _{= 2x e} y = x.

- Pontos de interseção - Volume

0

2

x 2 y=

x 2 y2 =

y = x

y

x

= =

= − =

=

2 x

0 x

0 x 2 x

x y

x 2 y

2 2

(

)

(

)

. v . u 3 4 V

3 8 4 V

3 x 2 x 2 V

dx x x 2 V

dx x x 2 V

2

0 3 2 2

0

2 2

0

2 2

π =

− π =

− π =

− π =

− π

Comprimento de Arcos de Curvas

Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].

y P2 Li

∆yi y = f (x) P1

a b x ∆xi

i 2

i i i

2 i 2 i i

2 i 2 i 2 i

x 1 x y L

x y L

x y L

∆ ⋅ + ∆ ∆ =

∆ + ∆ =

∆ + ∆ =

→∞ = =

∆ ⋅ + ∆ ∆ =

∆ ⋅ + ∆ ∆ ≅

n

1 i

i 2

i i n

n

1 i

i 2

i i

x 1 x y lim

L

x 1 x y L

⋅ + =

b

a

2

dx 1 dx dy L

Seja x = f (y) y = a e y = b.

⋅ + =

b

a

2 dy 1 dy dx L

y

x

L

Exemplos:

1) Determinar o comprimento do arco da curva 3

2

x ) x (

f = _{entre os pontos P1 (8, 4) e P2 (27, 9).}

dx 1 dx dy L

27

8

2

⋅ + =

3 2

x y= •

3 1 3 1

x . 3

2 x

3 2 dx dy

= =

• −

3 2 2

x . 9

4 dx

dy

= •

3 2 3 2

3 2 2

x 9

x 9 4 1 x . 9

4 1 dx

dy +

= + =

+ •

3 1 2 1

3 2

2

x 3

x 9 4

1 dx

dy −

⋅ +

= + •

− =

⋅ +

=

⋅ ⋅ ⋅ +

⋅

= −

2 3 2 3

27

8 2 3

3 2 27

8

3 1 2 1

3 2

40 85 27

1 L

3 2 x . 9 4 18

1 L

2) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.

dx 1 dx dy L

r

0

2

1= + ⋅

(

)

2

1 2

2 _x

r y= − •

(

)

(

)

(

)

2

1 2 2 2

1 2 2

x r

x x

2 x

r 2 1 dx dy

− − = − ⋅ − =

• −

2 2

2 2

x r

x dx

dy

− = •

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

x r

r x

r x r x 1 x r

x 1 dx dy

− = −

− + = + − = + •

2 2 2

x r

r 1 dx dy

− = + •

= − =

− =

r

0

r

0 r

0 2 2

2 2

1 r.arcsenx_r

x r

dx r dx x r

r L

2 r 0 2 r

L1= π− = π

2 r 4 L . 4

L= ₁= π

r. . 2 L= π

2 2

2 2

2 2 2

x r y

x r y

r y x

− =

− ± =

= +

-r

-r

r

r

x

y

1 2 2

L . 4 L

x r y

r x até 0 x

= − =

= =

0

r

Área de Superfície de Revolução

Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].

i 2

i i i i

i i

x 1 x y ) x ( f 2 S

L ) x ( f 2 Si

∆ ⋅ + ∆ ∆ π

= π =

= ∞

→ ∆ + ⋅∆

∆ π

=

n

1 i

2

i i i

n x 1 dx

y ) x ( f 2 lim S

⋅ + π

=

a

b

2

dx 1 dx dy ) x ( f 2 S

ou

(

)

+ ⋅

π =

b

a

2 _{1 dx}

) x `( f y 2 S

→ Superfície gerada pela revolução do eixo x.

y = f (x)

x

y

L

i

y

i

= f

(x )

b

a

Seja x = f (y).

⋅ + π

= b

a

2 dy 1 dy dx x 2 S

→

Superfície gerada pela revolução em torno do eixo y.

Exemplo:

1) Determinar a área da superfície obtida pela revolução da curva y= x_{, entre x = 1 e x = 4 em torno do}

eixo x.

⋅ + π

=

4

1

2

dx 1 dx dy y 2 S

x 2

x 4 1 x 4

x 4 1 1 dx dy

x 4

x 4 1 1 x 4

1 1 dx dy

x 4

1 dx dy

x . 2

1 x

2 1 dx dy

x x y

2 2 2

2 1 2

1 2 1

+ = + = + •

+ = + = + •

= •

= =

•

= = •

− −

(

)

(

)

− π =

⋅ + π =

+ π =

⋅ + π

=

2 3 2 3

4

1 2 3 4

1

2 1 4

1

5 17 6 S

3 2 x 4 1 4 S

dx . 4 . x 4 1 4 S

dx x

x 4 1 . x 2 2 S

a

b

x = f

x

i

= f (y

i

)

L

i

x

y

Centro de Gravidade de Áreas Planas

Momento

Momento de uma área “A” em relação ao eixo x é por definição o produto da área pela distância até o eixo x.

Momento em relação ao eixo y é o produto da área pela distância do centro de gravidade até o eixo y.

Seja (x, y) as coordenadas do centro de gravidade de uma região plana “A”, então: Mx = A . y

My = A . x

Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].

= ∞

→ ⋅∆

=

∆ =

n

1 i

i 2 i n

i i i i

x 2

) x ( f lim Mx

2 x f. x ). x ( f Mx

b b

x

y

x

y

f (x

i

/

f (x

i

)

∆

x

i

x

i

b

a

Para My, temos:

=

∆ =

∆ =

= ∞ →

b

a n

1 i

i i i n

i i i

dx . x ). x ( f My

x . x ). x ( f lim My

x . x ). x ( f My

= b

a dx . x . y My

Se Mx = A . y e My = A . x . Coordenadas do centro de gravidade de A (x, y)

A My x=

A Mx y=

Se y = f (x); x = a; x = b; eixo x.

= = =

b

a b

a b

a 2

dx . y A

dx . x . y My

dx . y 2 1 Mx

Exemplo:

1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região limitada pelas curvas y = 6x – x2 _e o eixo x.

(

)

= =

= −

= −

6 x

0 x

0 x 6 x

0 x x

6 2

CG

3

6

0

y

A My x x A My

A Mx y y A Mx

= ⋅

=

= ⋅

=

Cálculo da área

(

)

. a . u 36 A

3 x x 3 dx x x 6 A

6

0 3 2 6

0

2

=

− = −

=

Cálculo de Mx

(

)(

)

(

)

6 , 129 Mx

5 x 4

x 12 3

x 36 2 1 dx x x 12 x 36 2 1 Mx

dx x x 6 x x 6 2 1 Mx

6

0 5 4 3 6

0

4 3 2 6

0

2 2

=

+ − =

+ − =

− −

=

Cálculo de My

(

)

(

)

0 , 108 My

4 x 3 x 6 dx x x 6 My

dx . x . x x 6 My

6

0 4 3 6

0

3 2 6

0

2

=

− = − =

− =

Determinação do CG

6 , 3 36

6 , 129 A Mx y

3 36 108 A My x

= = =

= = =

(

3;3,6

)

Seja x = f (y), y = c, y = d e eixo y.

= d

c dy ) y ( f A

= d

c dy . x A

= d

c xydy Mx

= d

c 2_dy x 2 1 My

Exemplos:

1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pelas curvas y = x3 _{e y = 4x} no 1o _quadrante.

(

)

4u.a.

4 x 2 x 4 dx x x 4 A

2

0 2

0

4 2 3

= − = − =

f (y

i

)

∆

y

i

y

i

c

d

2

x

3

4x

y

x

Ponto de interseção

− = = =

= −

= − = = =

2 x

2 x

0 x

0 ) 4 x ( x

0 x 4 x

x 4 x

x 4 y

x y

2 3 3

(

)

(

16x x

)

dx 2

1 dx 2

x x 4 x x 4 Mx

2

0

6 2 3

2

0

3

− =

+ −

=

19 , 12 7 x 3

x 16 2 1 Mx

2

0 7 3

= − =

(

4x x

)

x.dx

(

4x x

)

dx My

2

0

2

0

4 2

3 _{= −}

− =

26 , 4 5 x 3 x 4 My

2

0 5 3

= − =

04 , 3 4

19 , 12 y

06 , 1 4

26 , 4 x

= =

= =

CG (1,06; 3,04)

2) Determinar as coordenadas do CG da região limitada pelas curvas y2 _{= x, x + y = 2 e y = 0 no} primeiro quadrante.

Pontos de inflexão

(

)

. a . u 6 7 A

3 y 2 y y 2 A

dy y y 2 A

1

desprezar 2

0 2 y y

y 2 y

y 2 x 2 y x

x y

1

0 3 2 1

0

2 2

2 2

=

− − =

− − =

→ −

= − +

− =

− = → = +

=

1

2

2

(

)

(

)

[

]

(

)

15 16 5 y 3 y 2 y 4 y 4 2 1 My

dy y y y 4 4 2 1 dy y y 2 2 1 My

dy 2

y y 2 y y 2 My

1

0 5 3 2

1

0

4 2 1

0

4 2

2 1

0

2

= − + − =

− + − = − − =

+ − −

− =

(

)

( )

(

)

12 5 4 y 3 y 2 y 2 Mx

dy y y y 2 Mx

dy y y y 2 Mx

1

0 4 3 2 1

0

3 2 1

0

2

= − − =

− − =

− − =

35 32 6 715 16

x= =

14

5 6 712 5

y= =

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

Integral Imprópria de Primeira Espécie

A integral definida b

a dx ) x ( f

é imprópria de primeira espécie se pelo menos um dos limites de integração for infinito:

i) Se “a” for -∞:

∞ −

−∞ →

=

b b

a alim f(x)dx dx

) x ( f

ii) Se “ b” for ∞:

∞

∞ →

= a

b

a blim f(x)dx dx

) x ( f

iii) −∞

+∞ +∞

∞ −

+ =

c

c dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f

-

∞

_b

a

+

∞

∞

−

_{0 c}

Integral Imprópria de Segunda Espécie

A integral definida b

a dx ) x ( f

é imprópria de 2a espécie se f(x) for descontínua para algum x pertencente a [a, b].

i) Se f é descontínua em x = a.

ε→ +ε

= b

a

b

a

0 f(x)dx lim

dx ) x ( f

ii) Se f é descontínua em x = b.

ε −

→ ε

= b

a

b

a 0 f(x)dx lim

dx ) x ( f

iii) Se f for decrescente em x = c e c ∈ (a, b).

ε → +ε

ε −

→

ε +

= +

= b

a

c

a

b

c

b

c 0 c

a

0 f(x)dx lim f(x)dx lim

dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f

2 1

Obs.: Se o limite nas integrais impróprias for finito diremos que a integral é convergente, se for infinito a integral imprópria é dita divergente.

a a+

ε

b

a b-

ε

a c-

ε

c c+

ε

Exemplos:

Verificar se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes:

1) −∞ −

0 x_dx e

[ ]

e _lim

[

e e

]

lim(1 e ) divergente

lim dx

) ( e

lim 0 a _a a

a 0 a x a 0 a x a ∴ +∞ = − − = − − = − = − − = − −∞ → − −∞ → − −∞ → − −∞ → 2) ∞ + 0 2 x 1 dx

[

]

convergente

2 0 arctan b arctan lim x arctan lim 1 x dx lim b b 0 b b 0 2 b ∴ π = − = = + = ∞ → ∞ → ∞ → 3) 9 0 x dx

[

9

]

2(3 0) 6 nº finito convergente lim 2 x lim 2 dx x lim 0 9 0 2 1 0 9 0 2 1 0 ∴ → = − = ε − = = = → ε ε + → ε − → ε 4) − 2

02 x

dx

Curvas em Coordenadas Polares

y y

ρ x = ρ.cos θ

y = ρ.sen θ

0 x x

y

x2+y2=r2

(ρ.cosθ)2+(ρ.senθ)2=r2

x ρ2(cos2θ+sen2θ)=r2 ρ2 = r2

ρ = r

Cardióides

) sen 1 .( a

) sen 1 .( a

) cos 1 .( a

) cos 1 .( a

θ − = ρ

θ + = ρ

θ − = ρ

θ + = ρ

P(x, y)

θ

a

π

≤

θ

≤

0

) cos 1 .(

a − θ =

ρ

2

2

.

3

π

≤

θ

≤

π

) sen 1 .(

a − θ =

ρ

2

2

.

3

π

≤

θ

≤

π

) sen 1 .(

a + θ =

ρ

π

≤

θ

≤

0

) cos 1 .(

a + θ =

ρ

a

2a a 2a

a

2a a

Rosáceas

θ =

ρ

θ =

ρ

. n . cos . a

. n . sen . a

São rosáceas com n folhas, onde n é igual a:

=

par for n se , n 2

ímpar for n se , n n

Exemplos:

1) ρ=a.sen2θ→4folhas

1 A . 8 A

0

0 2 0 2 sen

mínimo o compriment 0

4

2 2 1 2 sen

máximo o

compriment a

4 0

= = θ

= θ = θ → = ρ •

π = θ

π = θ = θ → = ρ •

π ≤ θ ≤

a

a

2) ρ=a.cos2θ→4folhas

1 A . 8 A

4 2

2

0 2 cos 0

0 0

2

1 2 cos a

4 0

=

π = θ π = θ

= θ → = ρ •

= θ = θ

= θ → = ρ •

π ≤ θ ≤

3) ρ=a.sen3θ→3folhas

1 A . 6 A

0 0

3

0 3 sen 0

6 2

3

1 3 sen a

6 0

=

= θ = θ

= θ → = ρ •

π = θ π = θ

= θ → = ρ •

π ≤ θ ≤

Espiral

θ = ρ e2.

a

A1

a

A1

e

π

Áreas em Coordenadas Polares 2 1 2 n 1 i i 2 n n 1 i i 2 i 2 ) ( f 2 d . A 2 . lim A 2 . A setor do área 2 . A 2 1 θ ≤ θ ≤ θ θ = ρ θ ρ = θ ∆ ρ = θ ∆ ρ ≅ → θ ∆ ρ = θ θ = ∞ → = θ θ θ ρ = 2 1 d . 2 1 A 2 Exemplos:

1) Determinar a área de um círculo de raio r.

2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 1 1 r. A 4 r. . 4 A 4 r. 2 2 r 2 r d . r 2 1 A 2 0 A . 4 A π = ∴ π = π = π ⋅ = θ ⋅ = θ = π ≤ θ ≤ = π π

2) Determinar a área da cardióide de equação ρ=a(1+cosθ)_.

2 a . 3 A 4 a . 3 . 2 A 4 a . 3 4 a 3 2 3 2 a 2 2 a 2 1 2 a d ). 2 cos 1 ( 2 1 sen . 2 2 a d ) cos cos . 2 1 ( 2 a d ) cos 1 ( a 2 1 A 0 A . 2 A 0 1 cos para a . 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 1 1 π = ∴ π = π = θ = θ ⋅ = θ + θ = = θ ⋅ + θ = θ θ + + θ + θ = = θ θ + ϑ + = θ θ + = π ≤ θ ≤ = = θ → = θ = ρ π π π π π π ∆θ

ρ

ρ

= f(

θ

)

3) Calcular a área da rosácea de equação ρ=a.sen3θ. 3 folhas 0 0 3 0 3 sen a 6 2 3 1 3 sen a = θ → = θ → = θ → = ρ π = θ → π = θ → = θ → = ρ A1 0 6 π ≤ θ ≤

A1 A = 6.A1

6π

[ ]

4 a 24 a . 6 A A . 6 A 24 a 6 4 a 4 a 6 sen 6 1 4 a d ). 6 cos 1 ( 2 1 2 a d . 3 sen . a 2 1 A 2 2 1 2 2 6 0 6 0 2 6 0 6 0 2 2 2 2 1 π = π = → = π = π ⋅ = = θ = θ − θ = θ θ − ⋅ = θ θ =

π π π π

4) Determinar a área da rosácea ρ=a.cos4θ.

8 folhas a cos4 0 4 2 8

0 0 4 1 4 cos a π = θ → π = θ → = θ → = ρ = θ → = θ → = θ → = ρ

A1 A = 16 A1

2 a 32 a . 16 A A . 16 A 32 a 8 4 a 8 sen 8 1 4 a d ). 8 cos 1 ( 4 a d . 4 cos . a 2 1 A 2 2 1 2 2 8 0 8 0 8 0 2 2 2 2 1 π = π = → = π = π ⋅ = = θ + θ = θ θ + = θ θ =

π π π

5) Determinar a área entre as curvas ρ₁=senθeρ₂ =1−cosθ_{, conforme figura}

2 0 2

1 sen 1 1

π ≤ θ ≤ π

= θ

= θ → = ρ

[

]

4 1

1 4

sen 2 sen 2 1 2 1 2

d . cos ) 2 cos 1 ( 2 1

d ). cos (cos

2 2

d ). cos cos 2 1 sen ( 2 1

d ). cos cos 2 1 (sen 2 1

d . ) cos 1 ( sen 2 1

d ). (

2 1

d 2

1 d 2 1 A

2

0 2

0 2 0

2 2 0

2 2

2 0

2 2

2 0

2 2

2 0

2 2 2 1 2 0

2 0

2 2 2

1

π − =

− π − =

θ − θ ⋅

+ θ − =

θ θ − θ + −

=

θ θ − θ −

=

θ θ + θ − + θ − − =

θ θ − θ + − θ =

θ θ − − θ =

θ ρ − ρ =

θ ρ − θ ρ =

π π

π π π π π

π π

1

6) Determinar a área entre os círculos ρ=2.cosθ e ρ=4.cosθ .

A1 A = 2.A1

π = π =

π = θ +

θ =

= θ θ + = θ θ ⋅

=

= θ θ −

θ =

π ≤ θ ≤

π π π

π

3 2 3 . 2 A

2 3 2 sen 2 1 3

d ). 2 sen 1 ( 3 d . cos 12 2 1

d ). cos . 4 cos . 16 ( 2 1 A

2 0

2

0 2 0 2

0 2 2 0

2 2

1