Disciplina de Cálculo Integral e Diferencial - ESALQUSP Parte 3 Material Modificado do Curso de Cálculo para Engenharia Civil da Puc do Paraná

Teorema de Cauchy

Sejam f (x) e g (x) definidas em um intervalo fechado [a, b] e derivável em (a, b). Se g’ (x) for diferente de zero para todo x ∈ (a, b) então ∃ pelo menos um número real c ∈ (a, b) / .

Regra de L’Hospital

Considere duas funções f (x) e g (x) que para algum intervalo fechado verificam o Teorema de Cauchy. Se para algum número real a do intervalo considerado tivermos f (a) = g (a) = 0, então demonstra-se que:

(x) g'

(x) ' f a xlim g(x) f(x) a

xlim→ = →

Exemplos:

1)

ação indetermin 0

0 2 x

4 2 x 2

xlim − = ∴

− →

4 1 2.2 1 2x 2 xlim Hospital L'

aplicando = =

→ →

2)

ação indetermin 0

0 x

5 sen 0

xlim→ = ∴

x

5 1 cos5x.5 0 xlim Hospital L'

aplicando =

→ →

3)

ação indetermin 0

0

12 7x 2 x

9 6x 2 x 3

xlim = ∴

+ −

+ −

→

0 7 -2x

6 -2x 3 xlim Hospital L'

aplicando =

→ →

OBS.: A regra de L’Hospital poderá ser usada para indeterminações da forma

∞

∞

.

4)

ação indetermin 3

x

xlim ∞∴

∞ = ∞

→ x

e

ação indetermin x

e 2 3x xlim Hospital

L'

aplicando ∴

∞ ∞ = ∞ → →

ação indetermin x

e 6x xlim novamente Hospital

L'

aplicando ∴

∞ ∞ = ∞ → →

0 6 x e

6 xlim novamente Hospital

L'

aplicando =

∞ = ∞ → →

0 k xlim→∞ x =

e

g(a) g(b)

f(a) f(b)

(c) g'

(c) ' f

Outras indeterminações: • 0 . ∞

• ∞ - ∞

• 00

• 1∞

• ∞0

• 0

0

• ∞

∞

Indeterminação da forma 0 . ∞∞∞∞ :

f(x) 1 g(x) a xlim ou

g(x) 1

f(x) a xlim g(x) . f(x) a

xlim→ = → →

agora aplica-se a regra de L’Hospital.

Exemplo:

1)

ação indetermin )

0.( .lnx 2 x 0

x→lim+ = −∞ ∴

0 2

2 x

-0 xlim 3

2 x 1

0 xlim Hospital) L'

(aplicando 2

lnx

0 xlim 2

1 lnx

0 xlim

= + → = − − + → =

− + → = +

→ _{x x}

x

Indeterminação da forma ∞∞∞ - ∞∞ ∞∞∞ :

[

]

f(x).g(x) 1

f(x) 1

g(x) 1

a xlim g(x) f(x) a xlim

−

→ = − →

agora aplica-se a regra de L’Hospital.

Exemplo:

1)

ação indetermin x

1 x cossec 0

x

lim − =∞−∞∴

+ →

0 2 0 cos cos sen .

sen x

0 xlim

sen cos .

x cos -1

0 xlim Hospital) L'

aplicando (

sen .

sen x -x

0 xlim x

1

sen 1

0 xlim

= = +

+ −

+ → =

= +

+ → =

+ → = − +

→

x x x x

x x x x

Indeterminação da forma 00_{, 1}∞∞∞∞ _{ou ∞} ∞ ∞ ∞0 :

k

f(x) ln . g(x) a x

lim y ln

g(x) f(x) a xlim ln y ln

y g(x) f(x) a xlim

→ =

→ =

= →

→ lny=k →

k e

y= k _xlim_a g(x) .ln f(x) k e g(x) f(x) a xlim Resumindo

→ =

= →

Exemplo: 1)

k x

x→0

x

=

e

lim

0 x) ( 0 xlim 2 x

x 1

0 xlim Hospital) L'

(aplicando 1

x lnx 0 xlim k

ação indetermin )

0.( x.lnx 0 xlim k

= − → = − − → =

− → =

∴ −∞ = →

=

Estudo da Diferencial Definição:

Seja y = f (x) uma função definida e contínua para todo x ∈ [a, b] e derivável para todo x ∈ (a, b). Nestas condições denomina-se diferencial de y = f (x) que se indica por dy ao produto entre f ‘(x) e o acréscimo da variável independente x, ∆x.

dy = f ‘(x) . ∆x dy = f ‘(x) . dx

Exemplos:

1) y = x2 → dy = 2x. ∆x 2) y = sen x → dy = cos x. ∆x

Interpretação da diferencial y = f (x)

y y = f(x)

Q

f(x + ∆x) M

P dy (diferencial) ∆y f(x) N

α

x x x + ∆x

f ‘(x) = tan α

dy x ). x ( ' f MN

x MN ) x ( ' f

PN MN tan

∆ =

∆ = =

Quando ∆x → 0 ∆y ≅ dy ∆y = f (x + ∆x) – f (x)

dy = f ‘(x). ∆x

Exemplo:

1) A = l 2

∆A = A1 – A2 dA = 2l . ∆l

2 A1 = (2,03)2 2+0,03 A2 = 4

∆A = (2,03)2 - 4 dA = 2.2.0,03

∆A = 0,1209 dA = 0,12

∆A ≅ dA OBS.: ∆x = dx → quando x é variável independente.

Aplicações da diferencial Cálculo de erros

Erro absoluto → dy

Erro relativo → y dy

Erro percentual →

100% y dy

⋅

Exemplos:

1) Calcular o erro absoluto cometido na avaliação da área de um quadrado cujo lado mediu 15 cm um erro de 0,01 cm:

l = 15 cm ∆l = 0,01 cm A = l 2 ∆A ≅ dA dA = 2l. ∆l dA = 2.15.0,01

dA = 0,3 cm2 (erro cometido na área)

2) Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 dm cujo raio interno mede 5 dm e o externo 5,25 dm.

5,25 r1 = 5 5 r2 = 5,25 ∆r = 0,25

V = π . r2 . h dV = 2 . π . r . h . ∆r

10 dV = 2 . π . 5 . 10 . 0,25

dV = 25 π dm3

Cálculo de valores aproximados ∆y = f (x + ∆x) – f (x) f (x + ∆x) = f (x) + ∆y mas, ∆y ≅ dy

f (x + ∆x) ≅ f (x) + dy

Exemplos:

1) Calcular o valor aproximado de 37 .

f (x) =

∆

=

1 x

36 x x

f (x ) = 2

1 x x =

0,083

12

1

x

2

x

x

x

2

1

dy

₌

₌

₌

₌

6,083 0,083

6

Antiderivada (Antidiferencial) Integral

Definição:

Em vários problemas ocorre de conhecermos a derivada de uma função e desejamos encontrar esta função. Por exemplo:

= =

2x.dx dy

2 x y

= + =

2x.dx dy

4 2 x

y

+

= =

2x.dx dy

2 x

y

c

Exemplos:

1) Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ? Resposta: y = x2 + c.

2) Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ? Resposta: y = sen x + c.

3) Qual a função cuja diferencial é ex.dx ? Resposta: y = ex + c.

ou seja

+ =

+ =

+ =

c x e .dx x e

c senx x.dx cos

c 2 x 2x.dx

Definição:

Uma função g (x) é dita antiderivada ou integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x)

= ⇔ +

=g(x) c g'(x) f(x)

f(x)dx _{, onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores,}

também chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.

Exemplo:

1) Determine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1, 3).

Determinar: y = f (x) / dx dy

= 2x dy = 2x.dx

= 2x.dx dy

y = x2 + c → Família de curvas Passe pelo ponto P (1, 3)

3 = 1 + c c = 2

Propriedades:

P1) Uma integral não se altera quando o fator constante é considerado antes ou depois do sinal da integral.

k.f(x)dx

=

k

f(x)dx

P2) A integral de uma soma de diferenciais é igual à soma das integrais destas diferencias

−

+

=

−

+

dv

dw)

du

dv

dw

(du

Exemplo:

1) (4x+cos x).dx

+ + + = +

→

→ +

= +

→

1 c senx c 2 2x cosx.dx 2x.dx

2 P1 aplicando

cosx.dx 2.2x.dx

cosx.dx 4x.dx

P2 aplicando

(c+c1)=c2 → 2x2 + sen x + c2

Fórmulas:

1) du=u+c

2)

1) (n c 1 n

1 n u du n

u + ≠−

+ + =

Exemplos:

1)

+

= c

4 4 x dx 3 x

2)

c 3

x 2x c 3

3 x 2 c 2 3 2 3 x dx 2 1 x dx

x = = + = + = +

3)

c 6

6 4) (2x 2 1 du 5 u 2 1 2dx 5 4) (2x 2 1 2.dx du

4 2x u dx 5 4)

(2x → + = = + +

= + = → +

Exercícios:

1) x xdx

2) 3 x

dx

3) (6x2−x+1)dx

Fórmulas:

1) du=u+c

2) kf(x)dx= k f(x)dx

3) (du+dv−dw)= du+ dv− dw

4)

1) (n c 1 n

1 n u du n

u + ≠−

+ + =

Exemplos:

1) (3x+1)2dx

+ + = + + =

+ =

= + =

c 9

3 1) (3x c 3

3 1) (3x

3 1 3dx 2 1) (3x 3 1

3dx du

1 3x u

2) (2x)3dx

+ =

= =

+ =

+ =

= = =

c 4

4 x . 3 2 dx 3 x 3 2 dx 3 .x 3 2 ou

c 8

4 (2x) c 4

4 (2x) 2 1 2dx 3 (2x) 2 1

2dx du

2x u

3) (x+4)2dx

+ + + = +

+ =

+ + =

c 16x 2

2 8x 3

3 x 16)dx 8x 2 (x ou

c 3

3 4) (x

4) tan3x.sec2x.dx

c 4

x 4 tan

3 n

x.dx 2 sec du

tanx u

+ =

5) senx.cosx.dx

c 2

x 2 cos

dx sen x du

x cos u

dx )sen x cosx.( dx

.sen x x cos ou

c 2

x 2 sen

dx x cos du

senx u

+ −

− = =

− −

= + =

= =

6) tanx.sec2x.dx

c x

dx x x

+ =

+ =

= =

+ =

= =

2 2 sec

x x.tan x.d x.sec

sec ou

c 2

x 2 tan

x.dx 2 sec du

tan x u

. tan . 2 sec ou

c 2

x 2 tan

x.dx 2 sec du

tanx u

7) 3x+2 dx

(

)

2 3_{(x 2)}2 3.

c 3 2

3 2 2) (x dx 3 1 2

x+ − = − + = + +

8) x x.dx 5 ln

+ = =

= =

c 6

x 6 ln dx x 1 x. 5 ln

dx x 1 du

lnx u

9) 3x2+4 dx . x

c 4

3_(x2 ₄₎2 .

3 c 3 2

3 2 ) 4 2 x ( 2 1

dx . x . 2 du

4 2 x u

dx . x . 2 . 3 1 ) 4 2 x ( 2 1

+ + =

+ + =

= + =

− + =

10) x3 dx

11) x

dx

c x ln + =

12) + −

+ dx ) 7 x 5 2 x (

) 5 x 2 (

c ) 7 x 5 2 x ln(

dx ) 5 x 2 ( du

7 x 5 2 x u

+ − + =

+ =

− + =

13) tanx .dx x 2 sec

c x tan ln

dx . x 2 sec du

x tan u

+ =

= =

Obs: se chamarmos inadequadamente u=sec(x), não resolvemos a integral!

+

−

=

+

−

−

=

−

=

c

2

2x

1

c

2

14) + dx . x e 5 x e c ) x e 5 ln( dx x e du x e 5 u + + = = + = 15) + dx 4 x 2 e x 2 e c ) 4 x 2 e ln( 2 1 dx x 2 e . 2 du 4 x 2 e u dx 4 x 2 e x 2 e . 2 2 1 + + = = + = + = OBS.: → dx ) x ( Q ) x ( P → + = → + = ) x ( Q ) x ( r ) x ( q ) x ( Q ) x ( P ) x ( Q ) x ( r ) x ( q ) x ( Q ) x ( P 16) − + dx 4 x 2 x − + = − + → − + = − + 4 x dx . 6 dx dx 4 x 2 x 4 x 6 1 4 x 2 x

=x+6ln(x−4)+c

17) − + + − dx 2 2 x 2 x 2 x 3 4 x dx . 2 2 x x . 2 2 1 dx ). 1 2 x ( dx 2 2 x 2 x 2 x 3 4 x 2 2 x x 1 2 x 2 2 x 2 x 2 x 3 4 x − + − = − + + − − + − = − + + − c ) 2 2 x ln( 2 1 x 3 3 x + − + − = Exercícios:

1) +

+ dx 1 x 1 2 x 2) − dx 3_{6 5x}2

x 2 3)

+

−

dx

x

x

1

1

P (x) Q(x)

r (x) q (x)

x+2 x-4

-x+4 1

6

Fórmulas:

1) du=u+c

2) n 1 c

1 n u du n

u +

+ + =

≠−

=

1 n

f(x) u

3)

c lnu u du

+ =

4) eudu=eu+c

5)

c lna

u a du u

a = +

6) cosu.du=senu+c

7) senu.du=−cosu+c

8) +

+ −

=

c lnsecu

c lncosu tanu.du

9) cotu.du=lnsenu+c

10) secu.du=ln

(

)

11) cossecu.du=ln(cossecu−cotu)+c

12) sec2u.du=tanu+c

13) cossec2u.du=−cotu+c

14) secu⋅tanu⋅du=secu+c

15) cossecu⋅cotu⋅du=−cossecu+c

16)

+ ⋅

= +

c a u arctan a 1 2 a 2 u

du

17)

+ + − ⋅ = −

c a u

a u ln 2a

1 2 a 2 u

du

18)

+ =

−

c a u arcsen 2

u 2 a

du

19)

+ =

−

c a u arcsec a 1

2 a 2 u u

Exemplos:

1) .2.dx

2x a 2 1

c a ln

x 2 a 2 1

2dx du

2x u

+ =

= =

2)

.3.dx 3x e 3 1

c 3x e 3 1

3.dx du

3x u

+ =

= =

3)

dx 2 x

x 1 e

c x 1 e dx 2 x ). .( x 1 e ) (

dx 2 x du

1 x u

+ − = − − −

=

− − =

− =

4)

− e3.cos2x.(-6)sen 2x.dx 6

1

c x 2 cos . 3 e 6 1

dx . x 2 sen 6 dx . 2 . x 2 sen . 3 du

x 2 cos . 3 u

+ −

=

− = −

= =

5)

dx 2 1 x 2 1 sen 2

c x 2 1 cos 2 c x 2 1 cos 2

dx 2 1 du

x 2 1 u

+ −

= + −

= = =

Exercícios: 1)

5

dx

5

dx

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:

6) 3 cos3x.3.dx 1

c x 3 sen 3 1

dx 3 du

x 3 u

+ =

= =

7)

dx . x . 10 . ) 2 x 5 sen( 10

1

c ) 2 x 5 cos( 10

1

+ −

=

8) 2 tan2x.2.dx 1

c x 2 sec ln 2 1

dx 2 du

x 2 u

+ =

= =

9) dx

2 x cot . x . 2 2 1

c 2 x sen ln 2 1

xdx 2 du

2 x u

+ =

= =

10)

dy y 2 cos

y sen

c y sec c y 1 cos

dy ) y sen ( y 2 cos

dy . y 2 cos . y sen

+ = + − =

= −

− − =

= − −

− =

11) 2 sen(2x+1).2.dx 1

c

)

1

x

2

cos(

2

1

2dx

du

1

x

2

u

+

+

−

=

=

12) (1+tanx)2dx

c x tan x sec ln 2

c x x tan x sec ln 2 x

dx x 2 sec x sec ln 2 x

dx ) 1 x 2 (sec x sec ln 2 x

xdx 2 tan xdx tan 2 dx

dx ) x 2 tan x tan 2 1 (

+ + =

= + − + +

=

= − +

+ =

= − +

+ =

= +

+ =

= +

+ =

13) 9+x2 dx

c 3 x arctan 3 1

2 x 2 u

9 2 a

+ =

= =

14) +

− dx 9 2 x

7 x 2

c 3 x arctan 3 7 ) 9 2 x ln(

9 2 x

dx 7 c ) 9 2 x ln( 9 2 x

dx 7

9 2 x

xdx 2

+ −

+ =

= + − + + = + − + =

15) x2−1 dx

c 1 x

1 x ln 2 1

1 2 a

2 x 2 u

+ + − =

= =

16) x2−4 dx

c 2 x

2 x ln 4 1

4 2 a

2 x 2 u

+ + − =

Métodos de Integração

I – Decomposição em Frações Parciais

Integração das funções racionais

dx Q(x) P(x)

, onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x).

Decomposição em funções parciais 1o Passo:

Fatorar Q(x).

a) Os fatores de Q(x) são do 1o grau (linear) e distintos; b) Os fatores de Q(x) são do 1o grau e repetidos; c) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos; d) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos.

2o Passo:

a) Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o grau: Q(x) = (x-a1) (x-a2) ... (x-an)

n a x

n A ... 2 a x

2 A 1 a x

1 A Q(x) P(x)

− + + − + − =

OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração.

3o Passo:

Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores.

4o Passo:

Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An.

Exemplo:

1) Decompor em frações parciais x 3

C 2 x

B x A x 6 2 x 3 x

1 x

+ + − + = − +

+

6 1 A

1 A 6

1 C 2 B 3 A

) 3 ( 0 C B A

A 6 x ) C 2 B 3 A ( 2 x ) C B A ( 1 x

Cx 2 2 Cx Bx 3 2 Bx A 6 Ax 2 Ax 1 x

) 3 x ).( 2 x .( x

) 2 x ).( x ( C ) 3 x ).( x ( B ) 3 x ).( 2 x ( A x 6 2 x 3 x

1 x

) 3 x ).( 2 x .( x ) 6 x 2 x .( x x 6 2 x 3 x

− =

= −

= − +

− × = + +

− − + + + + = +

− + + + − + = +

+ −

− +

+ +

+ − = − +

+

+ − = − + =

b) Se os fatores de Q(x) forem do 1o grau e repetidos Q(x)=(x-a)n n ) a x ( n A ... 2 ) a x ( 2 A 1 ) a x ( 1 A ) x ( Q ) x ( P − + + − + − = Exemplo:

1) (x 1)2

+ − − − + − − + = − − + − − + = − + + − + − − + + = − + + c 1 1 ) 1 x ( 4 ) 1 x ln( 2 1 ) 1 x ln( 2 1 dx 2 ) 1 x ( 4 1 x dx 2 1 1 x dx 2 1 2 ) 1 x ).( 1 x ( 5 x 3 2 ) 1 x ( 4 1 x 2 1 1 x 2 1 2 ) 1 x ).( 1 x ( 5 x 3

c) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos Q(x)=(a1x2+b1x+c1) . (a2x2+b2x+c2). ... . (anx2+bnx+cn)

d) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos Q(x) = n l irredutíve c) bx 2

(ax + +

n c) bx 2 (ax n B x n A ... 2 c) bx 2 (ax 2 B x 2 A c) bx 2 (ax 1 B x 1 A ) x ( Q ) x ( P + + + + + + + + + + + + = Exemplo:

1) (x2 2x 3)2

D Cx ) 3 x 2 2 x ( B Ax 2 ) 3 x 2 2 x ( 2 x 2 x + + + + + + + = + + + + c 1 1 ) 3 x 2 2 x ( 2 1 2 ) 1 x ( arctan 2 1 dx 2 ) 3 x 2 2 x )( 1 x ( 2 2 1 ) 3 x 2 2 x ( dx 2 ) 3 x 2 2 x ( 2 x 2 x 2 ) 3 x 2 2 x ( ) 1 x ( ) 3 x 2 2 x ( 1 2 ) 3 x 2 2 x ( 2 x 2 x 1 D 1 C 1 B 2 D B 3 1 C B 2 A 3 1 B A 2 0 A 2 ) 3 x 2 2 x ( D Cx B 3 Bx 2 2 Bx Ax 3 2 Ax 2 3 Ax 2 ) 3 x 2 2 x ( 2 x 2 x + − + + + + = − + + + − + + = + + + + + + − − + + + = + + + + − = − = = = + = + + = + = + + + + + + + + + = + + + + Exercícios:

Resolva as integrais:

II – Integração das Potências Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

1) = −

− =

u 2 sen 1 u 2 cos

u 2 cos 1 u 2 sen

2)

+ =

− =

) u 2 cos 1 ( 2 1 u 2 cos

) u 2 cos 1 ( 2 1 u 2 sen

3) = −

− =

1 u 2 sec cos u 2 cot

1 u 2 sec u 2 tan

4) = +

+ =

u 2 cot 1 u 2 sec cos

u 2 tan 1 u 2 sec

a) Integrais da forma

udu n cos ou

udu n sen

i) Se n for ímpar

•

− _.senu.du 1

identidade u 1 n sen

•

−

du . u cos . 1 identidade

u 1 n cos

Exemplos: 1) cos3x.dx

c 3

x 3 sen x sen

dx . x cos . x 2 sen dx . x cos

dx . x cos ). x 2 sen 1 (

dx . x cos . . ident

x 2 cos

+ −

=

− =

2) sen5x.dx

c 5

x 5 cos 3

x 3 cos 2 x cos

dx . x sen ) .( x 4 cos ) ( dx . x sen ) .( x 2 cos ) ( 2 dx . x sen

dx . x sen ) x 4 cos x 2 cos 2 1 (

dx . x sen . 2 ) x 2 cos 1 (

dx . x sen . x 4 sen

+ −

+ − =

− −

+ −

− − =

+ −

= − = =

3) cos35x.dx

c 15

x 5 3 sen x 5 sen 5 1

c 3

x 5 3 sen 5 1 x 5 sen 5 1

dx . x 5 cos . 5 . x 5 2 sen 5 1 dx . 5 . x 5 cos 5 1

dx . x 5 cos ). x 5 2 sen 1 (

dx . x 5 cos . x 5 2 cos

+ −

=

+ −

=

− =

− = =

ii) Se n for par:

•

du . 2 identidade

u n sen

•

du . 2 identidade

u n cos

Exemplos: 1) cos23x.dx

[

]

c x 6 sen 6 1 x 2 1

dx . x 6 cos dx 2 1

dx ) x 6 cos 1 ( 2 1

+ +

=

+ =

2)

dx . . ident

x 5 4 sen

+ +

+ −

=

+ +

+ −

=

+ +

− =

+ + −

=

+ −

=

+ −

=

− =

c 40

x 20 sen 2 x 5

x 10 sen x 4 1

c 20

x 20 sen 2 1 2 x x 10 sen 10

2 x 4 1

dx . x 20 cos 2 1 dx 2 1 x 10 sen 10

2 x 4 1

dx ) x 20 cos 1 ( 2 1 x 10 sen 10

2 x 4 1

dx . x 10 2 cos dx . x 10 cos 2 dx 4 1

dx ) x 10 2 cos x 10 cos 2 1 ( 4 1

dx 2 ) x 10 cos 1 ( 2 1

b) Integrais da forma:

du . u m cos . u n sen

i) Se n ou m for ímpar:

• Suponha m ímpar:

− _.cosu.du 1

identidade u 1 m cos . u n sen

Exemplo:

1) cos62x.sen32x.dx

= .sen2x.dx .

ident x 2 2 sen . x 2 6 cos

− =

− =

dx . x 2 sen . x 2 8 cos dx . x 2 sen . x 2 6 cos

dx 2x).sen2x. 2

cos 2x.(1 6 cos

c 9

x 2 9 cos 2 1 7

x 2 7 cos 2 1

+ +

ii) Se n e m forem pares:

•

du . 2 identidade

u m cos . 2 identidade

u n sen

Exemplo:

1) sen2x.cos2x.dx

c x 4 sen 4 1 x 2 1 x 4 1

dx ). x 4 cos 1 ( 2 1 x 4 1

dx . x 2 2 cos dx 4 1

dx ). x 2 2 cos 1 ( 4 1

dx ). x 2 cos 1 ( 2 1 ) x 2 cos 1 ( 2 1

+ +

− =

+ − =

− =

− =

+ ⋅ −

=

c) Integrais da forma

du . u n cot ou

du . u n tan

•

− _.du

3 identidade

u 2 tan . u 2 n tan

•

−

du . 3 identidade

u 2 cot . u 2 n cot

Exemplos:

1)

dx . . ident

x 5 2 tan

c x x 5 tan 5 1

dx x 5 2 sec

dx ) 1 x 5 2 (sec

+ − =

− =

2) tan33x.dx

c x 3 sec ln 3 1 2

x 3 2 tan 3 1

dx . x 3 tan dx . x 3 2 sec . x 3 tan

dx ) 1 x 3 2 (sec x 3 tan

dx . . ident

x 3 2 tan . x 3 tan

+ −

=

− =

− =

=

3) cot4x.dx

c x x cot 3

x 3 cot

dx ) 1 x 2 sec (cos 3

x 3 cot

dx . x 2 cot dx . x 2 sec cos ) ( x 2 cot

dx ) 1 x 2 sec .(cos x 2 cot

dx . x 2 cot . x 2 cot

+ + + −

=

− −

− =

− −

− =

− =

d) Integrais da forma

u.du n cossec ou

u.du n sec

i) Se n for ímpar:

(Integra por partes)

ii) Se n for par:

•

−

du . u 2 sec . 4 identidade

u 2 n sec

•

−

du . u 2 sec cos . 4 identidade

u 2 n sec cos

Exemplos:

1) sec4x.dx

= .sec2 x.dx .

ident x 2 sec

c 3

x 3 tan x tan

dx . x 2 sec . x 2 tan dx . x 2 sec

dx . x 2 sec ) x 2 tan 1 (

+ +

=

+ =

+ =

2) cossec62x.dx

c 5

x 2 5 cot 2 1 3

x 2 3 cot x 2 cot 2 1

dx . 2 ). .( x 2 2 sec cos . x 2 4 cot ) 2 1 ( dx . 2 ). .( x 2 2 sec cos . x 2 2 cot ) 2 2 ( dx . x 2 2 sec cos

dx . x 2 2 sec cos ) x 2 4 cot x 2 2 cot 2 1 (

dx . x 2 2 sec cos . 2 ) x 2 2 cot 1 (

dx . x 2 2 cos . x 2 4 sec cos

+ −

+ −

=

− −

+ − −

− =

+ −

e) Integrais da forma:

du . u m cot . u n sec cos ou

du . u m tan . u n sec

i) Se n for par:

•

−

du . u 2 sec . u m tan . 4 identidade

u 2 n sec

•

− _.cotm_u.cossec2_u.du 4

identidade u 2 n sec cos

Exemplos:

1) sec4x.tan6x.dx

c 9

x 9 tan 7

x 7 tan

dx . x 2 sec . x 8 tan dx . x 2 sec . x 6 tan

dx . x 2 sec ). x 8 tan x 6 (tan

dx . x 2 sec . x 6 tan ). x 2 tan 1 (

dx . x 2 sec . x 6 tan . x 2 sec

+ +

=

+ =

+ =

+ = =

2) cossec65x.cot25x.dx

c 7

x 5 7 cot 5 1 5

x 5 5 cot 5 2 3

x 5 3 cot 5 1

dx ). 5 .( x 5 2 sec cos . x 5 6 cot 5 1 dx ). 5 .( x 5 2 sec cos . x 5 4 cot 5 2 dx ). 5 .( x 5 2 sec cos . x 5 2 cot 5 1

dx . x 5 2 sec cos . x 5 2 cot ). x 5 4 cot x 5 2 cot 2 1 (

dx . x 5 2 sec cos . x 5 2 cot . 2 ) x 5 2 cot 1 (

dx . x 5 2 sec cos . x 5 2 cot . x 5 4 sec cos

+ −

− −

=

− −

+ − −

+ − −

=

+ +

ii) Se m for ímpar:

•

− −

du . u tan . u sec . 3 identidade

u 1 m tan . 1 n sec

•

− −

du . u cot . u sec cos . 3 identidade

u 1 m cot . u 1 n sec cos

Exemplo:

1) sec3x.tan3x.dx

c 3

x 3 sec 5

x 5 sec

dx . x tan . x sec . x 2 sec dx . x tan . x sec . x 4 sec

dx . x tan . x sec ). 1 x 2 .(sec x 2 sec

x x.tan x.d x.sec

2 x.tan 2 sec

+ −

=

− =

− =

=

iii) Se n for ímpar e m for par:

(Integração por partes)

Exercícios:

1) sen24x.dx

III – Integração por Substituição Trigonométrica

Se o integrando contiver qualquer das expressões: a2−u2; u2−a2 ou a2+u2 onde a é constante e u é uma função em x.

Da trigonometria temos:

Identidades:

• cos 2 θ = 1 – sen 2 θ • sec 2 θ = 1 + tan 2 θ • tan 2 θ = sec 2 θ – 1

1o _Caso:

θ = −u2 a.cos 2

a

Substituição: u = a . sen θ

θ = θ =

θ − =

θ − =

θ −

=

−u2 a2 a2.sen2 a2(1 sen2 ) a. (1 sen2 ) a. cos2 a.cos 2

a

du = a . cos θ. d θ 2o _Caso:

θ = −a2 a.tan 2

u

Substituição: u = a . sec θ

θ = θ =

− θ =

− θ =

− θ =

−a2 a2.sec2 a2 a2(sec2 1) a. (sec2 1) a. tan2 a.tan 2

u

du = a . sec θ . tan θ . d θ 3o _Caso:

θ = +a2 a.sec 2

u

Substituição: u = a . tan θ

θ = θ =

+ θ =

+ θ =

+a2 a2.tan2 a2 a. tan2 1 a. sec2 a.sec 2

u

du = a . sec 2 θ . d θ

u

a

2 a 2 u −

a

2 u 2 a −

u

u

a

2 u 2 a +

Resumo:

•

θ θ

θ =

θ =

− a.cos

d . cos . a du

sen . a u 2 u 2 a

•

θ θ

θ θ =

θ =

− a.tan

d . tan . sec . a du

sec . a u 2 a 2 u

•

θ θ

θ =

θ =

+ a.sec

d . 2 sec . a du

tan . a u 2 a 2 u

Exemplos:

1)

dx 2 x

2 x 4

⋅ −

Subst.:

θ θ =

θ = θ =

θ −

= −

θ =

d . cos . 2 dx

cos . 2 2 cos . 2 2 sen 4 4 2 x 4

sen . 2 x

x 2 x 4 cotθ= −

2 x senθ=

c 2 x arcsen x

2 x 4

c cot

d d . 2 sec cos

d ). 1 2 sec (cos

d . 2 cot

2 sen . 4

d . cos . 2 . cos . 2

+ −

− − =

+ θ − θ − =

θ − θ θ =

θ − θ =

θ θ =

θ θ θ θ =

2) x2+4 dx 3 x

Subst.:

θ θ =

θ = θ =

+ =

+ θ =

+ θ =

d . 2 sec . 2 dx

sec . 2 2 sec 2 ) 1 2 (tan 4 4 2 tan . 4 4 2 x

tan . 2 x

2

2 x 4−

x

+ +

− + =

+ + = θ

+ θ − θ =

θ θ θ − θ θ θ θ =

θ θ θ − θ =

θ θ θ θ =

θ θ θ =

θ θ θ θ

=

c 2

2 1 ) 4 2 x ( 24

2 3 ) 4 2 x ( 8 4 2 x

dx 3 x

2 4 2 x sec

c sec 3

3 sec 8

d . tan . sec d . tan . sec . 2 sec 8

d . tan . sec ). 1 2 (sec 8

d . tan . sec . 2 tan 8

d . sec . 3 tan 8

sec . 2

d . 2 sec . 2 . 3 tan . 8

3)

dy y

9 2 y −

Subst.:

θ θ θ =

θ = − θ =

− θ =

d . tan . sec . 3 dy

tan . 3 9 2 sec . 9 9 2 y

sec . 3 y

[

]

c 3 y sec arc 3

9 2 y 3

c tan

3

d d . 2 sec 3

d ) 1 2 (sec 3

d . 2 tan 3

sec . 3

d . tan . sec . 3 . tan . 3

+ −

− =

+ θ − θ =

θ − θ θ =

θ − θ =

θ θ =

IV – Integração por Partes

+ =

+ =

du . v dv . u v . u

du . v dv . u ) v . u ( d

− =u.v v.du dv

.

u _{→ Fórmula da Integração por Partes}

Exemplos:

1)

+

dv dx 5 ) 4 x ( . u x

=

+ = +

=

dx . 1 du

6 6 ) 4 x ( dx 5 ) 4 x ( v

c 7

7 ) 4 x ( 6 1 6

6 ) 4 x ( x

dx 6 ) 4 x ( 6 1 6

6 ) 4 x ( x

+ + − + =

+ − + =

2) dv

dx . x sen . u x

= − =

dx . 1 du

x cos v

c x sen x cos . x

dx . x cos x cos . x

+ + −

=

+ −

=

3) dv

dx . x sen . u

2 x

= − =

dx . x 2 du

x cos v

(

)

c ) x cos x sen . x .( 2 x cos . 2 x

dx . x sen x sen . x . 2 x cos . 2 x

dx . 1 du

x sen v

dv dx . x cos . u x . 2 x cos . 2 x

+ + +

− =

− +

− =

= =

+ −

4) dv dx . x e . u

2 x

c x e x e . x 2 x e . 2 x

dx . x e x e . x 2 x e . 2 x

dx . 1 du

x e v

dv dx . x e . u x 2 x e . 2 x

dx . x 2 . x e x e . 2 x

dx . x 2 du

x e v

+ − −

=

− −

= = =

− =

− =

= =

5) dv

dx . u

x ln

c x x ln . x

dx x x x ln . x

dx x 1 du

x v

+ − =

− =

= =

6) dv

dx . u

x ln . 2 x

c 3

3 x 3 1 3

3 x ). x (ln

dx . 2 x 3 1 3

3 x ). x (ln

dx x 1 3

3 x 3

3 x ). x (ln

dx x 1 du

3 3 x v

+ ⋅ − =

− =

− =

7) dv dx . u

x arctan

c ) 2 x 1 ( ln 2 1 x arctan . x

2 x 1

dx . x 2 2 1 x ). x (arctan

dx 2 x 1

1 du

x v

+ + −

=

+ − =

+ = =

8) dv

dx . u

x arcsen . 2 x

c 3 2 2 3

) 2 x 1 ( 3 1

) 2 x 1 ( 2 x 3 1 3

3 x ) x (arcsen

dx . x 2 ). .( 2 1

) 2 x 1 ( ) ( 3 1

) 2 x 1 ( 2 x 3 1 3

3 x ) x (arcsen

dx . x 2 du

2 1

) 2 x 1 ( v

dv dx . x . 2 1 ) 2 x 1 ( u

. 2 x 3 1 3

3 x ) x (arcsen

2 x 1

dx 3 x 3 1 3

3 x ) x (arcsen

dx 2 x 1

1 du

3 3 x v

+ ⋅ − − −

− − =

− −

− + −

− − =

= − − =

− − −

=

− − =

9) sec3x.dx

[

]

1 dx . x 3 sec

) x tan x ln(sec x tan . x sec dx . x 3 sec 2

dx . x sec x tan . x sec dx . x 3 sec dx . x 3 sec

dx . x sec dx . x 3 sec x tan . x sec

dx . x sec ). 1 x 2 (sec x tan . x sec

dx . x sec . x 2 tan x tan . x sec

dx . x tan . x sec du

x tan v

dv dx . x 2 sec . u

x sec

+ +

+ =

+ +

=

+ =

+

+ −

=

− −

=

− =

= = =

10) dv

dx . x sen u

. x e

+ +

− =

+ −

=

− +

− =

= =

+ −

= =

− =

c x sen . x e x cos . x e 2 1 dx . x sen . x e

x sen . x e x cos . x e dx . x sen . x e 2

dx . x e . x sen x sen . x e x cos . x e

dx . x e du

x sen v

dv dx . x cos u

. x e x cos . x e

dx . x e du