Exploração de escalonamentos óptimos na gestão de exames médicos

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na gestão de exames médicos

Sara Gabriella Afonso Santos

Dissertação apresentada à

Escola Superior de Tecnologia e Gestão Instituto Politécnico de Bragança

para obtenção do grau de Mestre em Tecnologia Biomédica

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na gestão de exames médicos

Sara Gabriella Afonso Santos

Dissertação apresentada à

Escola Superior de Tecnologia e Gestão Instituto Politécnico de Bragança

para obtenção do grau de Mestre em Tecnologia Biomédica

Orientador:

Professora Doutora Ana Isabel Pereira

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"Para nós os grandes homens não são aqueles que resolveram os problemas, mas aqueles que os descobriram!"

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Agradecimentos

A realização deste projecto não seria possível sem o contributo de algumas pessoas, para tal gostaria de expressar a minha gratidão pela compreensão e apoio que me demonstraram ao longo deste percurso. Em primeiro lugar, gostaria de agradecer à Professora Doutora Ana Isabel Pereira e ao Engenheiro Paulo Canha, pela forma como sempre me orientaram, me aju-daram na clarificação de dúvidas, pela constante disponibilidade, pelo interesse demonstrado e pela ímpar capacidade de motivação. Em segundo lugar a todos os colaboradores da clínica Briosa e Gala, que sempre se mostraram disponíveis para ajudar e esclarecer qualquer dú-vida. Os meus agradecimentos finais, mas não menos importantes, vão para a minha família que me apoiou desde sempre, dando-me força para continuar a lutar pelos meus objectivos.

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Resumo

Uma das áreas de aplicação da optimização é a Engenharia Biomédica, pois a optimização intervém no estudo de próteses e implantes, na reconstrução tomográfica, na mecânica ex-perimental, entre outras aplicações. Este projecto tem como principal objectivo a criação de um novo programa de marcação de exames médicos a fim de minimizar o tempo de es-pera na realização dos mesmos. É efectuada uma breve referência à teoria da optimização bem como à optimização linear e não-linear, aos algoritmos genéticos, que foram usados para a realização deste trabalho. É também apresentado um caso de estudo, formulado como um problema de optimização não linear com restrições. Com este estudo verificou-se que o escalonamento de exames médicos nunca poderá ser optimizado a 100por cento devido à quantidade de variáveis existentes, sendo que algumas delas não são passíveis de prever com antecedência.

Palavras chave: Optimização, algoritmos genéticos, escalonamento de exames médi-cos.

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Abstract

Biomedical Engineering is one of the application areas of optimization, in the study of prostheses and implants in tomographic reconstruction, experimental mechanics, among other applications. This project aims to create a new tagging program of medical examinations in order to minimize the waiting time in implementing them. A brief reference to the theory of optimization as well as linear and non-linear optimization is performed, and genetic algo-rithms also, which were used for this work. It also presented a case study, formulated as a nonlinear optimization problem with constraints. With this study it was found that the sche-duling of medical examinations can never be optimized to 100 percent due to the amount of existing variables, some of which are not likely to predict in advance.

Keywords: Optimization, genetic algorithms, scheduling of medical examinations.

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Conteúdo

Índice de Tabelas xiii

Índice de Figuras xv

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . 1

1.2 Estrutura do relatório . . . 2

2 Problemas de Escalonamento 3 2.1 Introdução - Teoria da Optimização . . . 3

2.2 Métodos para Optimização . . . 4

2.2.1 Optimização Linear e não-Linear . . . 6

2.2.2 Optimização não-Linear sem Restrições . . . 7

2.2.3 Optimização não-Linear com Restrições . . . 8

2.3 Optimização Global . . . 10

2.3.1 Introdução . . . 10

2.3.2 Algoritmos Genéticos (AG) . . . 11

3 Escalonamento de exames médicos numa clínica 17 3.1 Introdução . . . 17

3.2 Sistema de marcações actual . . . 17

3.3 Software em desenvolvimento . . . 22

3.3.1 NetBeans . . . 22

(15)

3.6 Agenda . . . 36

3.7 Realização do exame . . . 38

3.7.1 Check-in . . . 38

3.7.2 Seguimento . . . 39

3.8 Relatórios em rede . . . 41

3.9 Vantagens e desvantagens do novo software . . . 42

4 Caso Experimental 43 4.1 Definição . . . 43

4.2 Caracterização dos dados . . . 43

4.3 Resultados Numéricos . . . 46

4.3.1 Opções funçãoga. . . 46

4.3.2 Opções da funçãof mincon . . . 47

4.3.3 MétodoGA adaptado. . . 48

4.4 Discussão de resultados . . . 50

5 Caso de estudo 51 5.1 Definição . . . 51

5.2 Caracterização dos dados . . . 51

5.3 Modelação . . . 55

5.4 Caso 1 . . . 56

5.4.1 Resultados Numéricos . . . 57

5.4.2 Resultados numéricos da funçãofmincon . . . 59

5.5 Caso 2 . . . 63

5.5.1 Resultados do método GAadaptado . . . 63

5.6 Discussão de resultados . . . 65

6 Conclusões e Trabalho Futuro 67 6.1 Conclusões . . . 67

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Bibliografia 69

Apêndices 69

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Lista de Tabelas

3.1 Exemplos de Densitometrias ósseas . . . 24

3.2 Exames pertencentes à especialidade de Gastroenterologia . . . 24

3.3 Exemplos de algumas IRM . . . 25

3.4 Exames de Provas funcionais respiratórias . . . 25

3.5 Exemplos de algumas TAC . . . 26

3.6 Exemplos de alguns Raios-X . . . 27

3.7 Exames de Eco-Doppler . . . 28

3.8 Exames de Cardiologia . . . 28

3.9 Exemplos de Ecografias . . . 29

4.1 Resultados numéricos da funçãoGA adaptado . . . 49

5.1 Resultados numéricos da funçãogasem opções . . . 57

5.2 Resultados numéricos da funçãogacom opção 1 . . . 58

5.6 Resultados numéricos da funçãof minconsem opções . . . 59

5.7 Resultados numéricos da funçãof minconcom opção 1 . . . 60

5.10 Resultados numéricos da funçãoGA adaptado- Caso 1 . . . 61

5.11 Resultados numéricos da funçãoGA adaptado- Caso 2 . . . 63

(19)

A.4 Resultados numéricos da funçãogacom opção 7 . . . 72

A.5 Resultados numéricos da funçãogacom opção 8 . . . 72

A.6 Resultados numéricos da funçãof minconcom opção 3 . . . 73

A.13 Resultados numéricos do Caso 1 da funçãoGA adaptado . . . 75

(20)

Lista de Figuras

3.1 Ambiente de trabalho do programa actual . . . 18

3.2 Sistema de marcações actual . . . 18

3.3 Pesquisa da ficha do paciente . . . 19

3.4 Criar uma nova da ficha do paciente . . . 20

3.5 Opção que permite introduzir os exames que o paciente vai efectuar . . . 20

3.6 Alteração dos exames já introduzidos . . . 21

3.7 Opção que permite aceder aos relatórios anteriores . . . 21

3.8 Visualização do relatório de determinado exame . . . 21

3.9 Janela de trabalho do NetBeans . . . 22

3.10 Ambiente de trabalho do novo programa . . . 23

3.11 Criação de um novo exame . . . 30

3.12 Opção de alerta, preparação do exame, caso seja necessária . . . 30

3.13 Efectuar nova marcação . . . 31

3.14 Agenda das marcações . . . 32

3.15 Tipo de marcação . . . 32

3.16 Pesquisa da ficha do paciente para efectuar a marcação . . . 33

3.17 Pesquisa da ficha do paciente, continuação . . . 33

3.18 Criação da ficha do paciente . . . 33

3.19 Criação da ficha do paciente-Saúde . . . 34

3.20 Criação da ficha do paciente-Morada . . . 34

3.21 Criação da ficha do paciente-Alertas . . . 34

3.22 Critérios de preferência do paciente no momento da marcação . . . 35

3.23 Disponibilidade dos exames diferenciada por cores . . . 35

(21)

3.27 Importar reservas padrão já existentes . . . 38

3.28 Criar nova reserva . . . 38

3.29 "‘Check-in"’ do paciente . . . 39

3.30 Salas de espera disponíveis . . . 39

3.31 Encaminhamento do paciente para a respectiva sala de espera . . . 40

3.32 Atribuição da sala de espera . . . 40

3.33 Modo de envio do exame, caso necessário . . . 40

3.34 Situação actual do paciente . . . 41

3.35 Relatórios em rede . . . 41

3.36 Criação de um novo URL . . . 41

4.1 Exames passíveis de ser realizados . . . 44

4.2 Exames a realizar por paciente . . . 45

4.3 Exames e respectivo consultório e tempo de realização de cada exame . . . . 45

4.4 Solução obtida através da funçãoGAadaptado . . . 50

5.1 Exames passíveis de ser realizados . . . 52

5.2 Exames a realizar por paciente . . . 53

5.3 Exames e respectivo consultório e tempo de realização de cada exame . . . . 54

5.4 Solução obtida através do Caso 1 da funçãoGAadaptado . . . 62

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Capítulo 1

Introdução

1.1 Motivação

A área da optimização aplica-se a qualquer problema emergente de diversas áreas de in-vestigação. Os problemas que surgem são cada vez mais complexos e de difícil resolução, permitindo a optimização identificar a estrutura do problema e adaptá-la de forma a obter o melhor resultado. Uma das áreas de aplicação é na Engenharia Biomédica, pois a optimiza-ção intervém no estudo de próteses e implantes, na reconstruoptimiza-ção tomográfica, na mecânica experimental, entre outras aplicações [10]. O objectivo deste trabalho é efectuar o escalona-mento de exames médicos, minimizando o tempo de realização desses mesmos exames de forma reduzir o tempo de espera entre cada exame a realizar, rentabilizando assim o tempo, tanto dos médicos como dos pacientes. Para tal, foi efectuado um estágio, com duração de um ano, na Clínica de Imagiologia Briosa e Gala, em Aveiro, com o objectivo de criar um novo software de marcação de exames, fazendo uso do software NetBeans. Começou por ser analisado o funcionamento do programa de marcações de exames já existente, a fim de verificar quais os aspectos a melhorar de forma a rentabilizar o tempo, não só no momento da marcação, mas também na realização dos exames agendados. Foi também elaborado um caso de estudo no qual existem seis pacientes, sendo que cada um pode realizar no máximo quatro exames, estando disponíveis doze exames passíveis de ser feitos em cinco consultó-rios distintos, mas em cada um dos consultóconsultó-rios só podem ser realizados determinado tipo de exames, podendo o mesmo tipo de exame ser realizado em diferentes consultórios.

(23)

guns exames são somente realizáveis num consultório. A fim de encontrar a melhor solução possível para o problema em estudo, de optimização não linear com restrições, foram usados o método do algoritmo genético e o método da programação quadrática sequencial (SQP), que se encontram implementados natoolboxdo Matlab. Também foi testada uma variante do método do algoritmo genético para analisar a eficiência de algoritmos adaptados ao problema em estudo.

1.2 Estrutura do relatório

(24)

Capítulo 2

Problemas de Escalonamento

2.1 Introdução - Teoria da Optimização

A optimização é uma área da matemática que tem vindo a ter um crescimento exponencial apesar de ser uma área relativamente recente, pois o desenvolvimento de métodos de optimi-zação iniciou-se, praticamente, a partir do século XVIII [1]. Os problemas de optimioptimi-zação revelaram-se essenciais ao desenvolvimento das Ciências Experimentais, não por traduzirem escolhas decisivas, mas por ser possível descrever o comportamento dos fenómenos ou siste-mas estudados através da optimização de funções apropriadas [14]. A teoria da optimização é aplicada em diversas áreas como a engenharia, a indústria, a saúde, a ciência, o ambiente, entre outras, tendo como objectivo final optimizar uma dada função, tal como o tempo, o custo e a eficácia do alvo em estudo. O objectivo principal da teoria da optimização envolve a descoberta da melhor solução para o problema. Em termos matemáticos, o objectivo é maximizar ou minimizar uma função dependente den variáveis reais ou inteiras na região admissível, que é definida por equações e/ou inequações algébricas. Um problema genérico de optimização pode ser definido por:

min f(x)

s.a ci(x) = 0,parai∈I cj(x)≥0,paraj ∈D

(2.1)

ondef :Rn_→_R_{é designada por função objectivo e}_c_i(_x_{) :}_Rn_→_R_{, com}_i_∈_I _{as funções} restrição de igualdade ecj(x) : Rn→ R, comj ∈D, as funções restrição de desigualdade. Se o conjunto de índices I eDfor vazio, o problema é dito sem restrições, caso contrário é

(25)

considerado um problema com restrições [5].

A optimização dispõe de diversas técnicas que se aplicam a determinados tipos de problemas. Os problemas podem ser contínuos, reais, inteiros, mistos, entre outros.

Actualmente os problemas são cada vez mais complexos e de difícil resolução, assim a teoria da optimização tem de acompanhar este progresso, criando novas formas e técnicas de os resolver. Para obter as soluções dos problemas são geralmente propostos métodos de resolu-ção, são adaptadas técnicas já existentes aos problemas em estudo, ou são conjugados ambos os métodos para obter melhores resultados.

2.2 Métodos para Optimização

Os métodos aplicados na optimização são caracterizados pelo estudo de convergência e pelo algoritmo. Um algoritmo corresponde a uma sucessão finita de instruções bem definidas e não ambíguas. Cada instrução pode ser executada mecanicamente num período de tempo finito e com uma quantidade de esforço finita. Estes executam em processos iterativos, sendo que, para gerarem uma sucessão de aproximações à solução do problema, normalmente ne-cessitam de uma aproximação inicial. O método de optimização deverá ser preciso, eficiente e robusto. É preciso, caso a aproximação à solução contenha um baixo grau de variação, ou seja, o erro entre a aproximação à solução e a solução exacta deve ser reduzido. O mé-todo é eficiente se não requerer muito tempo/memória para encontrar a solução, e se resolver correctamente um elevado número de problemas diz-se robusto [8]. Os algoritmos de optimi-zação podem requerer os valores da função objectivo, do vector das restrições, da primeira e segunda derivada (função objectivo ou restrições) e valores gerados nas iterações anteriores. Os problemas de maximização podem ser facilmente transformados em problemas de mini-mização, uma vez que:

maxf(x) =−min(−f(x)). (2.2) Sejax∗

∈Rn_{a solução exacta do problema, ou seja, o ponto onde se verifica}_f₍_x∗

)≤f(x), para∀x∈νδ(x∗

)onde,νδ(x∗

(26)

2.2 Métodos para Optimização 5

def(x∗

)é o mínimo do problema, o pontox∗_{designa-se por minimizante local do problema}

se f(x∗

) ≤ f(x), para para ∀x ∈ νδ(x∗

) e xi 6= x∗i para i = 1, ...n, ou seja, é ponto do domínio def cuja imagem não é superior às imagens de todos os pontos que pertencem à sua vizinhança. O pontox∗ _{é o minimizante global do problema se}

f(x∗

)≤ f(x), parax ∈ Rn [14].

Sem perda de generalidade, a partir desta secção apenas serão referidos problemas de mini-mização.

O tipo de optimização empregue depende da estrutura do problema e do grau de fiabilidade das variáveis utilizadas. Se todas as variáveis de decisão são reais e a função objectivo e as restrições são lineares, então o problema é dito de programação linear. Mas o mundo real usualmente requer funções não lineares, variáveis de valores discretos (ou inteiros), variáveis lógicas e restrições de diferentes naturezas aplicadas a essa gama de elementos, o que origina problemas não lineares [7].

Na teoria da optimização é fundamental o conceito de convexidade, sendo que o termo con-vexo pode ser aplicado tanto a conjuntos como a funções. Para queS ∈Rn_{seja um conjunto} convexo o segmento de linha recta que liga quaisquer dois pontos emS está inteiramente dentro deS; para quaisquer dois pontosx∈S ey∈Stem-seαx+ (1−α)y ∈Spara todo α∈[0,1].

A funçãof é convexa se o seu domínio for um conjunto convexo e, se para quaisquer dois pontosx e y, neste domínio, o gráfico de f encontra-se abaixo da linha recta que conecta (x, f(x))a(y, f(y))no espaçoRn+1_{. Assim tem-se:}

f(αx+ (1−α)y)≤αf(x) + (1−α)f(y), (2.3) para todoα∈[0,1].

A funçãof é dita côncava se−f for convexa.

(27)

apenas um mínimo da função [8].

Ao estudo de optimização com restrições no qual a função objectivo é convexa; as funções das restrições de igualdadeci(.), i ∈ I, são lineares e as funções das restrições de desigual-dadecj(.), j ∈D, são convexas, designa-se por programação convexa [7].

2.2.1 Optimização Linear e não-Linear

O tipo de optimização empregue depende da estrutura do problema e do grau de fiabilidade das variáveis utilizadas. Se todas as variáveis de decisão são reais, e a função objectivo e as restrições são lineares, então o problema é dito linear. Entretanto, os problemas reais, por vezes, requerem funções não lineares, variáveis de valores discretos (ou inteiros), variáveis lógicas e restrições de diferentes naturezas aplicadas a essa gama de elementos que origina os problemas não lineares. Os problemas de optimização são divididos em problemas de optimização linear e problemas de optimização não linear com base nas funções objectivo e nas restrições. Para x ∈ Rn, um problema de optimização linear pode ser formulado da

seguinte forma:

min aTx s.a Ax=b

Cx≤d

(2.4)

em que a função objectivo é baseada no vectora∈Rn_{e as restrições são definidas com base} nas matrizesA, C ∈Mm×n(R)e nos vectoresb, d ∈Rm.

A programação linear estuda técnicas de determinação de sucessivas soluções básicas possí-veis que correspondam a um melhor valor da função objectivo [8].

A optimização não linear trata dos problemas em que a função objectivo ou algumas das restrições do problema são funções não lineares das variáveis envolvidas. Os principais pro-blemas onde este tipo de optimização é aplicado são nos propro-blemas quadráticos (onde f(x) é quadrática e contém restrições lineares), nos problemas convexos (caracterizados por fun-ções convexas), entre outras classes de problemas.

(28)

2.2 Métodos para Optimização 7

min f(x) s.a Ax=b

Cx≤d

ci(x) = 0,parai∈I cj(x)≥0,paraj ∈D

(2.5)

onde A, C ∈ Mm×n(R) os vectores b, d ∈ Rm, e pelo menos uma das funções ci, i ∈ I, cj, j ∈ D e f, é não linear nas variáveis. As restrições Ax = b e Cx ≤ d são desig-nadas por restrições lineares e as restantes por restrições não lineares [7].

2.2.2 Optimização não-Linear sem Restrições

Seja f uma função não-linear, tal que,f : Rn _→ _R_{. O mínimo da função} _f₍_x₎_é_f₍_x∗

). A resolução analítica deste tipo de problemas consiste na execução de dois passos:

1. Resolver ∇f(x) = 0 , obtendo os pontos estacionáriosxk , onde 0 representa o zero do espaçoRn_.

2. Analisar∇2

f(xk₎_{, que representa a matriz hessiana da função}_f _{no ponto}_xk_.

Seja xk _{um ponto estacionário em} _Rn _e _f _{duas vezes continuamente diferenciável em} νδ(xk₎_{, com}_{δ >}₀_.

Então:

• Se∇2

f(xk₎_{é definida positiva então}_f₍_xk₎_{é mínimo local em}_ν_δ(_xk₎_;

• Se∇2

f(xk)é definida negativa entãof(xk)é máximo local emνδ(xk);

• Se∇2

f(xk)é indefinida então(xk)é ponto sela emνδ(xk);

• Se∇2

f(xk)é semidefinida negativa (positiva) então nada se pode concluir.

2.2.2.1 Técnicas de globalização

As técnicas de globalização garantem que o método converge para um ponto estacionário a partir de uma qualquer aproximação inicial x0 (ou seja, x0 pode estar fora da região de

(29)

técnica de globalização [11]. As técnicas de globalização determinam o valorα∈R, tal que,

dada uma direcção de procurapk,

minf(xk₊_αp_k) _(2.6)

2.2.3 Optimização não-Linear com Restrições

A optimização não-linear com restrições consiste no estudo de técnicas com o objectivo de determinar a solução de um problema de optimização sujeito a um determinado conjunto de restrições [7].

Sejaf uma função não linear, tal quef :Rn _→_R_{. Pretende-se determinar o ponto}_x∗

∈Rn_, tal que

min f(x)

(2.7)

A função restrição diz-se activa se for verificada a igualdade emxk, isto éci(xk) = 0. Caso contenha uma restrição inactiva verifica-se a desigualdade emxk_{, ou seja,}_c

j(xk)>0. A região admissível corresponde ao conjunto de pontos que satisfazem todas as restrições do problema [11] , isto é,

Ω ={x∈Rn, ci(x) = 0, i∈I, cj(x)≥0, i∈D} (2.8)

Uma função muito útil na teoria da optimização com restrições é a função Lagrangeana que é definida por:

L(x, λ) = f(x)−Σi∈I∪Dλici(x) (2.9) onde:

• f(x)representa a função objectivo;

• λié o multiplicador Lagrangeano associado à restriçãoi;

(30)

2.3 Optimização Global 9

Designa-se por conjunto activo emx¯∈Rn, ao conjunto definido por:

A(¯x) = {I∪i∈D:ci(¯x) = 0} (2.10) O conjuntoA(¯x)é um conjunto de índices para os quais as restrições verificam a igualdade quando avaliados no pontox¯[8].

2.2.3.1 Método da programação quadrática sequencial

O método da programação quadrática sequencial (SQP) aproxima localmente o problema inicial por um problema mais simples de programação quadrática, tendo sido um dos métodos usados para a resolução do problema de optimização em estudo.

min f(x)

(2.11) onde,

• a função objectivof(x)é aproximada por um modelo quadrático; • a função restriçãoci(x)é aproximada por um modelo linear.

A série de Taylor deg(x), em torno do pontox, em¯ x¯+p, é dada por:

g(¯x+p) =g(¯x) +pT_(¯_x_{) +} 1 2p

T_∇2

g(¯x)p+... (2.12) Sejaxkuma aproximação ao problema inicial.

• Modelo quadrático def(x):

f(xk) +∇T_f₍_xk₎_∈_p₊ 1 2p

T_∇2

f(xk)p (2.13)

• Modelo linearci(x):

(31)

2.3 Optimização Global

2.3.1 Introdução

A optimização é englobada em dois grupos distintos, a optimização global e a optimização local. A optimização global encontra a melhor solução num conjunto de todas as soluções possíveis, independentemente das condições de ínicio do processo de procura. Como requi-sita um maior poder de computação localiza o óptimo global em problemas de optimização não linear, enquanto a optimização local encontra uma solução do problema. A solução en-contrada depende do ponto de início do processo de procura [5]. Em algumas aplicações é muito difícil encontrar uma solução óptima global, pois requer muito tempo de procura, mas uma solução óptima local pode ser bastante eficiente. Actualmente, os problemas exigem o conhecimento das margens da solução obtida e, se possível, a determinação da melhor so-lução de todas (global), o que exige, na investigação, a programação de algoritmos capazes de encontrar o mínimo global [10]. Na optimização global existem os métodos determinís-ticos, também denominados de métodos clássicos que, em geral, são baseados no cálculo de derivadas de primeira ordem ou parciais de segunda ordem, e os não-determinísticos ou estocásticos. Os métodos estocásticos podem seguir duas abordagens diferentes: métodos de 2-fases e métodos de procura directa que incorporam o conceito de aleatoriedade onde apresentam um comportamento direccionado para uma certa distribuição estatística [4]. Alguns exemplos de métodos estocásticos são oSimulated Annealing, Algoritmos Genéticos, Particle Swarm Optimization Algorithm, entre outros [5].

Os algoritmos determinísticos são algoritmos que apresentam comportamento previsível e re-solvem problemas com uma sequência fixa de passos, sendo que a solução é sempre a mesma quando aplicado ao mesmo problema. Alguns exemplos de métodos determinísticos são o método Cutting Plane, o método Branch and Bound, o método de decomposição Primal-Dual, entre outros [4].

(32)

supe-2.3 Optimização Global 11

rior) do mínimo global e de todas as soluções contidas num determinado intervalo.

Para encontrar todos os mínimos globais de uma função têm de ser feitos sub-intervalos do domínio da função que contêm todos os pontos óptimos globais. Estes métodos aproximam-se do conjunto de todas as soluções de sistemas de equações não lineares com restrições e são baseados na estruturabranch and bound que explora todo o espaço e, então, pode dar

garantias de encontrar todas as soluções do problema [5, 10].

2.3.2 Algoritmos Genéticos (AG)

Os algoritmos genéticos foram formalmente apresentados nos Estados Unidos na década de 1970 por John Holland da Universidade de Michigan. As contínuas melhorias de sistemas computacionais em termos de preço e desempenho tornou-os atraentes para alguns tipos de optimização, em particular, os algoritmos genéticos funcionam muito bem em problemas mistos (contínuos e discretos e problemas combinatórios). Os algoritmos genéticos são me-nos susceptíveis de ficar “presos” em óptimos locais, encontrando rapidamente o óptimo glo-bal do problema, mas tendem a ser computacionalmente mais caros. Embora originalmente não tenham sido projectados para a optimização de funções, os algoritmos genéticos foram implementados para demonstrar a sua capacidade impressionante em localizar óptimos em grandes e complexos espaços de procura. Os algotitmos genéticos operam numa população (conjunto) de pontos, e não a partir de um ponto isolado; operam num espaço de soluções codificadas e não directamente no espaço de procura; necessitam somente de informações sobre o valor de uma função objectivo para cada membro da população e não requerem deri-vadas ou qualquer outro tipo de conhecimento e usam transições probabilísticas e não regras determinísticas [9].

(33)

• dedutiva, na qual o sistema é desenvolvido com base em regras que tornam possível o raciocínio por meio da generalização do conhecimento, sendo normalmente o processo de formalização do conhecimento feito por especialistas

• indutiva, na qual são aplicadas técnicas de extracção do conhecimento sobre uma base de dados passados, sendo obtidos modelos sob a forma de regras, algoritmos ou funções matemáticas capazes de gerar o conhecimento.

Normalmente as metodologias de métodos computacionais evolutivos visam a optimização de um problema definido por meio de uma formulação matemática do seu objectivo, deno-minada função objectivo. Os modelos evolutivos constituem um caso especial de aprendi-zagem, pois ao mesmo tempo que dependem da aprendizagem dedutiva na formulação da sua função, também utilizam algortimos indutivos para obtenção da optimização esperada. Os algoritmos genéticos são os métodos mais conhecidos baseados na teoria da evolução na-tural e na genética, sendo que estes modelos possuem a capacidade de trabalhar problemas com uma grande gama de soluções. Nos algoritmos genéticos a população é um conjunto de possíveis soluções ao problema determinado, sendo que cada indivíduo dessa população tem uma estrutura semelhante aos cromossomas. Normalmente num algoritmo genético cada indivíduo da população -cromossoma- corresponde a um ponto do espaço de procura e repre-senta uma possível solução do problema. Com o mecanismo de reprodução aplicado sobre os individuos da população actual o algoritmo genético pode explorar o espaço de possí-veis soluções, na tentativa de encontrar aquelas que são as "melhores". A "melhor"solução geralmente é definida como aquela que optimiza um valor numérico predefinido para o pro-blema em questão, que é chamada de ’adequabilidade da solução’ [15]. A popularidade dos algoritmos genéticos deve-se, entre outros, ao facto:

• de a evolução ser um método de adaptação reconhecidamente bem sucedido e robusto em sistemas biológicos;

(34)

da hipótese como um todo é de difícil modelagem;

• de serem facilmente indicados para programação em paralelo.

Este método é muito eficiente na busca de soluções óptimas numa grande diversidade de pro-blemas, pois não impõe limitações que são encontradas na maioria das vezes, nos métodos convencionais de busca. Existem diversos factores a ter em conta antes de usar um algoritmo genético para tentar solucionar um problema, tais como:

- escolha da representação mais adequada para as soluções potenciais; - estabelecimento do critério para a criação da população inicial de soluções; - definição da função de avaliação que desempenha o papel do ambiente; - definição dos operadores genéticos a serem usados;

- atribuição de valores para vários parâmentros que o AG usa (tamanho da população, proba-bilidades de aplicação de operadores genéticos, entre outros).

De uma forma simplificada um algoritmo genético consiste:

• num número ou população de potenciais soluções do problema;

• numa forma de qualificar o quão ’boa’ ou ’má’ é cada uma das soluções individuais numa população;

• num método para compor partes das melhores soluções que possam ser formadas; • num operador de mutação para evitar a perda permanente da diversidade na população. Ao invés de começar a partir de um único ponto no espaço de busca, um algoritmo genético é inicializado com uma população de soluções potenciais. Estas são normalmente geradas aleatoriamente e representam pontos espalhados no espaço de procura. Um típico AG usa três operadores, para conduzir a população na direcção de convergência para o ponto óptimo global:

(35)

• mutação.

Os três aspectos mais importantes do uso de algoritmos genéticos são a definição da função objectivo, a definição e implementação da representação genética, e a definição e implemen-tação dos operadores genéticos. Uma vez que esses três foram definidos, o algoritmo genético genérico deve funcionar muito bem. Podem fazer-se muitas variações diferentes para melho-rar o desempenho, a fim de encontmelho-rar a solução óptima do problema em estudo [10, 2, 12]. O processo de selecção tenta aplicar "pressão"’ sobre a população de forma semelhante à que é exercida pela selecção natural em sistemas biológicos. Indivíduos cujo desempenho é baixo são descartados e indivíduos que têm um melhor desempenho têm uma oportunidade maior que a média de passar a informação que eles contêm para a próxima geração. O cruzamento permite que soluções troquem informações de forma semelhante àquela usada por organis-mos naturais via reprodução sexual. A mutação é usada para trocar aleatoriamente o valor de um único ponto.

Após a aplicação da selecção, cruzamento e mutação, uma nova população é formada. O processo é repetido até que um determinado número de gerações tenha sido criado ou, então, que algum outro critério de paragem tenha sido atingido [15].

2.3.2.1 Vantagens dos algoritmos genéticos

Existem diversas vantagens no uso dos algoritmos genéticos, entre as quais:

• optimizam um grande número de variáveis;

• realizam buscas simultâneas em várias regiões do espaço de busca;

• fornecem uma lista de parâmetros óptimos ao invés de uma única solução;

• são flexíveis para trabalhar com restrições e optimizar múltiplas funções com objectivos conflituosas;

(36)

• não necessitam de conhecimento aprofundado do problema considerado.

Os algoritmos genéticos foram usados neste trabalho para tentar resolver o problema de op-timização em estudo.

2.3.2.2 Funçãoga

O método dos algoritmos genéticos está implementado no Matlab através da funçãoga [6]. A funçãogapresente natoolboxdo Matlbab, é chamada na linha de comandos do mesmo da seguinte forma:

[x, f val] =ga(@f un, nvars, options)

onde as variáveis de entrada são,

• f uné a função objectivo;

• nvarscorresponde ao número de variáveis independentes;

• optionsé a estrutura que especifica as opções (opcional); e as variáveis de saída são,

• xque corresponde ao minimizante funçãof un;

• f valque corresponde ao mínimo da funçãof un, ou seja,f un(x);

2.3.2.3 FunçãoGA adaptada

O algoritmo GA adaptadofoi feito usando um algoritmo já existente, que tem como base o método dos algoritmos genéticos, determinando o mínimo global de uma função [3].

(37)

cada um dos exames realizado em pelo menos um dos consultórios disponíveis; n exames médicos devem ser efectuados no mínimo tempo possível e cada exame i apresenta uma única sequência de execução. A execução de cada exame i do pacientej, Oij, requer um consultório, sendo este seleccionado a partir de um conjunto de consultórios disponíveis. Cada consultório pode efectuar, no máximo, um exame de cada vez.

A função custo tinha a seguinte descrição:

Cmax=max(t) (2.15)

onde,

• t corresponde à matriz dos tempos, ou seja, o tempo que cada exame i do paciente j demora a ser efectuado.

(38)

Capítulo 3

Escalonamento de exames médicos numa

clínica

3.1 Introdução

O escalonamento de exames médicos implica a disposição de diversos pacientes em diferen-tes consultórios a fim de realizar vários exames, sendo que cada consultório realiza exames distintos. O objectivo é minimizar o tempo final após a conclusão do último exame a realizar por cada paciente. A fim de obter dados reais para a realização deste trabalho foi efectu-ado um estágio na Clínica de Imagiologia Briosa e Gala, sediada em Aveiro, tendo este tido a duração de um ano. Começou por ser analisado o sistema de marcações existente, bem como a disposição dos pacientes nas salas de espera respeitantes aos exames a realizar pelos mesmos, tendo sido estabelecida uma comparação entre o sistema actual de marcações e um novo sistema que estava a ser desenvolvido.

3.2 Sistema de marcações actual

O actual sistema de marcações, cujo ambiente de trabalho é apresentado na Figura 3.1 fun-ciona manualmente, ou seja, tendo em conta os exames que o paciente tem de realizar é procurado, aleatoriamente, um dia e uma hora em que todos eles possam ser efectuados, sendo muitas vezes a hora de marçação a mesma para todos eles, por exemplo são agenda-dos um raio-X ao tórax e uma ecografia vesical à mesma hora, sendo estes efectuaagenda-dos em

(39)

consultórios diferentes, não sendo isso exequível em situação real.

Figura 3.1: Ambiente de trabalho do programa actual

Este sistema permite efectuar a marcação escolhendo o médico ou técnico que realizará o exame, existindo horários predefinidos para o efeito. É possível agendar mais que um paci-ente na mesma vaga, à mesma hora, mesmo já não havendo vagas, para o mesmo consultório, como se pode constatar através da Figura 3.2, cuja situação apresentada é hipotética, sendo este método viável a nível teórico, mas na prática não funciona. Isto acaba por, inevitavel-mente, causar atrasos na realização dos exames.

(40)

3.2 Sistema de marcações actual 19

No dia do exame, a pesquisa do utente pode ser feita através do nome ou da data de nasci-mento do mesmo, sendo seguido o passo apresentado na Figuras 3.3. Caso este não possua ficha pessoal, esta é de imediato criada sendo colocados os seguintes dados:

• nome do paciente;

• sexo;

• data de nascimento;

• localidade;

• contacto telefónico;

• posto médico;

• nome do médico que prescreveu o exame;

• subsistema do utente (A.R.S.S, ADSE, SAMS, Seguros de Saúde, entre outros), como se pode verificar através da Figura 3.4.

(41)

Figura 3.4: Criar uma nova da ficha do paciente

Após aceder à ficha do utente e serem confirmados os dados são, então, introduzidos os exames a realizar pelo mesmo, seguindo o passo apresentado na Figura 3.5.

Figura 3.5: Opção que permite introduzir os exames que o paciente vai efectuar

(42)

3.2 Sistema de marcações actual 21

Figura 3.6: Alteração dos exames já introduzidos

O programa actual permite aceder aos relatórios dos exames anteriores já efectuados pelo paciente, como se pode constatar através das Figuras 3.7 e 3.8 facilitando assim a comparação com o novo diagnóstico, caso se justifique.

Figura 3.7: Opção que permite aceder aos relatórios anteriores

(43)

No sistema actual o utente é direccionado para a sala de espera aleatoriamente, não se sa-bendo se de facto esse será o método mais rápido e eficiente de realização de todos os exa-mes, pois não existe um sistema que permite efectuar o "check-in"e "check-out"do doente e indicar o tempo de espera estimado em cada sala.

3.3 Software em desenvolvimento

3.3.1 NetBeans

O NetBeans foi o recurso usado para a criação do novo software de marcações que consiste num ambiente de desenvolvimento de diversas linguagens entre as quais Java, C, C++, PHP, Ruby, entre outras, tendo este sido criado pela empresa SUN Microsystems. Este software é codificado em Java e funciona na maioria dos sistemas com uma Máquina Virtual Java (JVM), incluindo Solaris, Mac Os e Linux. O ambiente de trabalho deste software é apresen-tado na Figura 3.9 que se segue.

(44)

3.3 Software em desenvolvimento 23

3.3.2 Base de dados no novo software

A criação do novo software, cujo ambiente de trabalho é apresentado na Figura 3.10 implicou, em primeiro lugar, a análise do programa de marcações já existente a fim de perceber quais os parâmetros a melhorar.

Figura 3.10: Ambiente de trabalho do novo programa

Foi feita a selecção de todos os exames passíveis de ser realizados e estudou-se o tempo de duração de cada um deles, sendo que esse tempo foi dividido em:

• tempo de preparação, que consiste no período de tempo que precede o exame, quando o utente entra no vestiário a fim de se preparar para a realização do exame, pois mui-tas vezes é, por exemplo, necessário despir e colocar uma bata. Sendo o doente de mobilidade reduzida esse espaço de tempo é aumentado, estando também essa opção disponível no programa;

• tempo útil, que consiste na execução do exame. Este tempo pode também variar con-soante o médico que executa o mesmo, pois cada um tem o seu próprio ritmo e horário definido;

(45)

• Mamografia, exame de diagnóstico por imagem, que tem como finalidade estudar o tecido mamário;

• Densitometria óssea, que consiste num método que permite medir a densidade mi-neral óssea, sendo indispensável para o diagnóstico e tratamento da osteoporose e de outras possíveis doenças que possam atingir os ossos; Na Tabela 3.1 são apresentados exemplos de densitometrias ósseas.

Tabela 3.1: Exemplos de Densitometrias ósseas

DEXA Coluna

Colo femural

Punho

Coluna + Colo femural

• Gastroenterologia, que é a especialidade médica que lida com os distúrbios do sis-tema digestivo, nomeadamente patologias que afectam o tracto gastro-intestinal, cujos exames podem ser efectuados com ou sem sedação; Alguns exames pertencentes a esta especialidade são referidos na Tabela 3.2.

Tabela 3.2: Exames pertencentes à especialidade de Gastroenterologia

Gastroenterologia Colonoscopia

Endoscopia digestiva alta

Clister opaco com duplo contraste

Trânsito esofágico

(46)

• IRM (Imagem por ressonância magnética), que é um meio de diagnóstico que per-mite observar e estudar com grande detalhe os órgãos, vasos e tecidos do corpo. Na Tabela 3.3 são enunciados alguns tipos de IRM existentes.

• Provas Funcionais Respiratórias, que avaliam as capacidades do sistema respiratório ajudando no diagnóstico de várias doenças respiratórias, na avaliação de resposta a tratamentos e na repercussão respiratória da exposição a agentes agressores, como por exemplo o tabaco. São exames simples e indolores, mas que requerem a colaboração activa do paciente, de forma a garantir a fiabilidade e precisão dos resultados. Diversos tipos de provas funcionais respiratórias são apresentados na Tabela 3.4.

Tabela 3.3: Exemplos de algumas IRM

IRM Crânio Coluna Cervical Coluna Dorsal Coluna Lombar Mama Anca Joelho ...

Tabela 3.4: Exames de Provas funcionais respiratórias

Provas funcionais respiratórias Espirometria

Prova de broncodilatação

Prova de débito-volume

(47)

• TAC (Tomografia Axial Computorizada), que consiste num método complementar de diagnóstico por imagem, que permite obter imagens do interior do corpo com preci-são e nitidez, sendo enunciados alguns tipos de TAC na Tabela 3.5.

Tabela 3.5: Exemplos de algumas TAC

TAC Crânio-encefálica Dentalscan Maxilar Dentalscan Mandíbula Ouvidos Seios perinasais Coluna Cervical Coluna Dorsal Coluna Lombar Torácica Abdominal Pélvica Renal Anca Joelho Pé Ombro Mão ...

(48)

Tabela 3.6: Exemplos de alguns Raios-X

Raios-X Crânio Ortopantomografia Telerradiografia Seios perinasais Coluna Cervical Coluna Dorsal Coluna Lombar Charneira lombo-sagrada Coluna Coccígea Toráx Abdómen Anca Bacia Joelho Tornozelo Pé Ombro Mão ...

(49)

Tabela 3.7: Exames de Eco-Doppler

Eco-Dopller Carotídeo

Cardíaco

Arterial dos membros superiores e inferiores

Venoso dos membros superiores e inferiores

Abdominal

Renal

• Cardiologia, que é a especialidade médica que se ocupa do diagnóstico e tratamento das doenças que acometem o coração bem como os outros componentes do sistema circulatório. Na Tabela 3.8 são apresentados alguns tipos de exame subjacentes a esta especialidade.

Tabela 3.8: Exames de Cardiologia

Cardiologia Ecocardiograma

ECG (electrocardiograma)

ECG com prova de esforço

HOLTER

MAPA

Consulta de cardiologia

(50)

3.4 Variáveis 29

deixam passar. É considerada totalmente inócua nas doses utilizadas em diagnóstico, embora noutras frequências os ultrassons sejam uma arma terapêutica, nomeadamente em fisioterapia. A ecografia permite detectar lesões focais ou difusas em órgãos e es-truturas parenquimatosas, como por exemplo no fígado, pâncreas, baço, rins, próstata, mama e tiróide, entre outras, e tem um papel fundamental na avaliação ginecológica (útero e ovários). Na Tabela 3.9 são apresentados alguns tipos de ecografia.

Tabela 3.9: Exemplos de Ecografias

Ecografia Tiroideia Mamária Abdominal Renal Vesical Pélvica

Ginecológica por via supra púbica

Ginecológica por via endocavitária

Prostática

Prostática e das vesículas seminais

Articular (joelho, ombro, punho, tornozelo, entre outros)

Tecidos moles

...

(51)

Figura 3.11: Criação de um novo exame

Figura 3.12: Opção de alerta, preparação do exame, caso seja necessária

3.4 Variáveis

A disposição dos pacientes em consultórios distintos está sujeita a diversas restrições, entre as quais:

– tipo de exame a realizar, pois alguns exames médicos têm prioridade sobre ou-tros, como por exemplo a densitometria óssea face aos raios-X, pois a radiação de um exame de raio-X é 10 vezes superior à de um exame de densitometria óssea podendo influenciar os resultados do exame;

– horário dos médicos, tendo em conta que cada médico define a quantidade de exa-mes que irá realizar num determinado período de tempo, seleccionando também o tipo de exames a efectuar nesse espaço de tempo;

(52)

3.5 Marcações 31

entre outras causas;

– tempo de preparação e tempo útil do exame;

3.5 Marcações

No novo software as marcações são feitas tendo em conta a existência, ou não, da ficha do utente. Na Figura 3.13 encontra-se apresentado o passo que permite efectuar uma nova marcação. Caso o paciente nunca tenha realizado exames na clínica, é de imediata criada uma ficha do mesmo onde constam os dados pessoais, sendo também registados problemas de saúde que este tenha.

Figura 3.13: Efectuar nova marcação

As marcações dividem-se em:

– agendadas, como se verifica através da Figura 3.14 onde é possível visualizar as marcações já feitas com as seguintes particularidades:

-a partir de hoje; -para hoje de manhã; -para hoje de tarde;

(53)

É ainda possível verificar a lista de espera que existe para o agendamento de deter-minado tipo de exames fazendo a pesquisa através do nome do utente ou do exame, podendo ainda filtrar a pesquisa seleccionando o nome do médico que efectua o exame ou a sala onde este é realizado.

Figura 3.14: Agenda das marcações

– nova marcação, que nos permite seleccionar como foi feito o agendamento, via telefone, correio electrónico ou pessoalmente, como se verifica na Figura 3.15 que se segue.

Figura 3.15: Tipo de marcação

Nova marcação

(54)

pré-3.5 Marcações 33

via ou criamos uma nova, conforme a necessidade. A criação de uma nova ficha do paciente requer o seguimento dos passos evidenciados nas Figuras 3.18, 3.19, 3.20 e 3.21.

Figura 3.16: Pesquisa da ficha do paciente para efectuar a marcação

Figura 3.17: Pesquisa da ficha do paciente, continuação

(55)

Figura 3.19: Criação da ficha do paciente-Saúde

Figura 3.20: Criação da ficha do paciente-Morada

Figura 3.21: Criação da ficha do paciente-Alertas

Após a selecção do utente é/são seleccionado/s o/s exame/s desejado/s. De seguida verifica-se a disponibilidade de marcação dos exames tendo em conta a preferência do paciente, seja horário (início da manhã; meio da manhã; final da manhã; início da tarde; meio da tarde e final da tarde), pelos dias da semana, pela opção de efectuar todos os exames no mesmo período, no mesmo dia, ou o mais cedo possível, como se verifica através da Figura 3.22.

(56)

3.5 Marcações 35

Figura 3.22: Critérios de preferência do paciente no momento da marcação

(57)

3.6 Agenda

A agenda divide-se em três subsecções, como se pode constatar através da Figura 3.24:

– Agenda, que nos permite filtrar a visualização segundo o médico, o tipo de exame ou o consultório;

Figura 3.24: Subsecções da agenda

(58)

3.6 Agenda 37

Figura 3.25: Criar horário padrão-Parte 1

Figura 3.26: Criar horário padrão-Parte 2

– Reservas padrão, que permite efectuar reservas de exames, ou seja, quando as vagas predefinidas para determinado exame/médico (muitas vezes o paciente tem preferência pelo médico que vai realizar o exame), já estão totalmente preenchidas pode recorrer-se a este item que permite acrescentar vagas às já existentes ou então colocar pacientes em lista de espera.

O problema desta opção reside no facto de, quando são acrescentadas vagas às já existentes, são sobrepostos exames, ou seja à mesma hora, teoricamente, teremos mais que um exame na mesma sala, o que não é possível na realidade, ou seja, acarreta atrasos na realização dos exames.

(59)

Figura 3.27: Importar reservas padrão já existentes

Figura 3.28: Criar nova reserva

3.7 Realização do exame

3.7.1 Check-in

(60)

3.7 Realização do exame 39

Figura 3.29: "‘Check-in"’ do paciente

3.7.2 Seguimento

Após o "check-in"é dado seguimento ao paciente, tendo em conta o/s exame/s que irá realizar, sendo indicada pela programa a respectiva sala de espera. Essa informação é dada com base em critérios como o tempo de espera previsto em cada sala, o tipo de exame a realizar, entre outros.

As salas de espera disponíveis estão evidenciadas na Figura 3.30, sendo a opção que permite o encaminhamento do paciente para a respectiva sala de espera apresentada nas Figuras 3.31 e 3.32.

Nesta secção é também indicada a forma como o utente pretende que o seu exame seja enviado, caso necessário, seja para o posto médico ou para a morada fiscal, como se pode ver na Figura 3.33.

(61)

Figura 3.31: Encaminhamento do paciente para a respectiva sala de espera

Figura 3.32: Atribuição da sala de espera

Figura 3.33: Modo de envio do exame, caso necessário

(62)

3.8 Relatórios em rede 41

Figura 3.34: Situação actual do paciente

3.8 Relatórios em rede

A grande inovação no novo sistema é a colocação dos documentos em rede. Quando um novo relatório está concluído é criado um URL para aquele documento, como se veri-fica através das Figuras 3.35 e 3.36, o que permite a qualquer médico aceder ao mesmo em qualquer parte do mundo, desde que tenha conhecimento deste mesmo código que será fornecido ao paciente após a realização do exame.

Figura 3.35: Relatórios em rede

(63)

3.9 Vantagens e desvantagens do novo software

Vantagens

– as marcações são efectuadas tendo em conta o tempo de realização do exame;

– permite fazer o "check-in"e "check-out"do paciente;

– a alocação do paciente na respectiva sala de espera é feita tendo em conta o tempo de espera de cada consultório;

– permite a colocação de relatórios em rede.

Desvantagens

(64)

Capítulo 4

Caso Experimental

4.1 Definição

O caso de estudo a seguir descrito foi alvo de análise no âmbito do Projecto para ob-tenção do grau de Licenciatura por mim efectuado [13].

O caso em análise implica a disposição de diversos pacientes em diferentes consultórios a fim de realizar vários exames, sendo que cada consultório realiza exames distintos. O objectivo é minimizar o tempo final após a conclusão do último exame a realizar por cada paciente.

Neste capítulo será feito um breve resumo dos resultados obtidos em [13].

4.2 Caracterização dos dados

São considerados cinco pacientes, podendo cada um deles efectuar no máximo quatro exames, existindo cinco exames distintos a realizar, sendo que há apenas três consultó-rios onde estes estão distribuídos e onde podem ser efectuados.

Computacionalmente designou-se por 1 o exame Raio-X; por 2 o exame Mamografia; por 3 o exame Densitometria óssea; por exame 4 o exame IRM e por 5 o exame TAC,

(65)

como se pode verificar na Figura 4.1.

A distribuição de exames por paciente é a seguinte:

– paciente 1: necessita realizar dois exames: Raio-X e Mamografia; – paciente 2: necessita realizar três exames: TAC, IRM e Mamografia;

– paciente 3: necessita realizar quatro exames: Raio-X, IRM, Densitometria óssea e TAC;

– paciente 4: necessita realizar três exames: Raio-X, Mamografia e Densitometria óssea;

– paciente 5: necessita realizar três exames: TAC, Densitometria óssea e Mamo-grafia.

Na Figura 4.2 estão representados os exames que cada paciente tem de realizar.

(66)

4.2 Caracterização dos dados 45

Figura 4.2: Exames a realizar por paciente

(67)

Cada um dos exames pode ser realizado em diferentes consultórios, havendo três con-sultórios distintos para o efeito, podendo o mesmo tipo de exame ser efectuado em mais de um consultório.

Na Figura 4.3 apresentada estão representados os consultórios em que cada exame pode ser efectuado, bem como o tempo de realização dos mesmos.

4.3 Resultados Numéricos

Todos os testes efectudados foram realizados tendo como valor inicial, x0, um valor

aleatório.

Para cada uma das funções usadas recorreu-se ao uso da estruturaoptionsdisponível natoolboxdo Matlab. Esta estrutura fornece os detalhes específicos da função para os respectivos valores das opções seleccionadas

Recorreu-se às funçõesgaef minconpresentes natoolboxdo Matlab, tendo as mes-mas como base o método do algoritmo genético e o método de programação quadrática sequencial (SQP), respectivamente.

4.3.1 Opções funçãoga

Opção 0: diz respeito à funçãoga, sem recurso à estruturaoptions, isto é, foi usado o método dos algoritmos genéticos com as opções definidas por defeito;

(68)

4.3 Resultados Numéricos 47

Opção 4, 5, 6, 7 e 8: foi alterado o parâmetro usado pela função para criar os filhos resultantes do cruzamento seleccionado, CrossoverF cn, tendo neste caso sido esco-lhidos os cruzamentoscrossoverheuristic(opção 4),crossoverscattered(opção 5), crossoversinglepoint(opção 6),crossovertwopoint(opção 7) ecrossoverarithmetic (opção 8);

Opção 9:foi alterado o parâmetro relativo ao tamanho da população,P opulationSize, cujo valor padrão é 20, para 300.

4.3.2 Opções da funçãof mincon

Opção 0: diz respeito à funçãof mincon, sem recurso à estruturaoptions, ou seja, foi usado o método de programação quadrática sequencial (SQP) com as opções definidas por defeito;

Opção 1:foi alterado o parâmetro relativo à tolerância de término da função,T olF un, cujo valor padrão é10−6 _para

10−8_;

Opções 2, 3, 4 e 5: a funçãof minconpossibilita o uso de quatro algoritmos, tendo sido escolhidos o active − set (opção 2), trust −region −ref lective (opção 3), interior−point(opção 4) esqp(opção 5);

Opção 6:foi alterado parâmetro relativo ao número de avaliações da função,M axF unEvals, que por defeito é (100*número de variáveis da função) para todos os algoritmos excepto para ointerior−pointcujo valor é 3000. Este valor foi alterado para 2000;

(69)

valor é 1000), para 600;

Opção 8:foi alterado o parâmetro que diz respeito à tolerância de incumprimento/violação das restrições,T olCon, cujo valor por defeito é10−6_{e foi alterado para}

10−8_;

Opção 9: alterou-se parâmetro relativo à tolerância de término dex∗

i,T olX, cujo valor padrão é10−6 _{para todos os algoritmos excepto o do}_interior

−pointque é 10−10 _e

foi alterado para10−8_;

Opção 10:foi alterado o parâmetro que indica o valor de tolerância de término da vio-lação das restrições a cada iteração do algoritmo SQP,T olConSQP, cujo valor padrão é10−6_{e foi alterado para}

10−8_;

Em todas as opções anteriormente referidas não foi obtida qualquer solução viável ao problema em estudo, sendo isso visível através doexitf lag, que corresponde ao valor que identifica que o algoritmo terminou, neste caso -2 indica que não foi encontrado um ponto admissível.

4.3.3 MétodoGA adaptado

O algoritmo da funçãoGA adaptadoteve como base o método do algoritmo genético de forma a conseguir optimizar o caso em estudo, tendo sido introduzidos novos dados a este algoritmo:

– a matriz dos tempos, referente ao tempo total de realização dos exames em cada consultório;

– o número total de exames a realizar por paciente;

(70)

4.3 Resultados Numéricos 49

– alguns dos exames podem ser realizados somente num consultório.

x∗ _f(x∗₎

[1 1 1 3 3 1 2 3 2 1 1 2 3 2 3] 60

Tabela 4.1: Resultados numéricos da funçãoGA adaptado

Na Tabela 4.1 verifica-se a existência de uma solução viável ao problema em estudo, correspondendo esta ao mínimo global da função, evidenciando que o tempo mínimo de realização de todos os exames é de sessenta minutos.

A alocação dos pacientes nos respectivos consultórios é evidenciada na Figura 4.4 onde:

– paciente 1: realizará o Raio-X no primeiro consultório e a Mamografia no terceiro consultório, demorando vinte minutos a realizar a totalidade dos exames;

– paciente 2: efectuará a Mamografia no primeiro consultório, a IRM no terceiro consultório e a TAC no terceiro consultório, demorando quarenta minutos a realizar a totalidade dos exames;

– paciente 3: realizará o Raio-X no primeiro consultório, a IRM no segundo consul-tório, a TAC no terceiro consultório e a Densitometria óssea no segundo consultó-rio, demorando cinquenta e cinco minutos a realizar a totalidade dos exames; – paciente 4:efectuará o Raio-X no primeiro consultório, a Mamografia também, no

primeiro consultório e a Densitometria óssea no segundo consultório, demorando trinta e cinco minutos a realizar a totalidade dos exames;

(71)

Figura 4.4: Solução obtida através da funçãoGAadaptado

4.4 Discussão de resultados

Com os resultados obtidos conclui-se que o uso das funções presentes na toolbox do Matlab não é viável à resolução do problema, pois não se obtém qualquer solução admissível.

Quando comparada com a função ga, a função f mincon é um melhor método para optimizar o problema em estudo, apesar de apresentar sempre o mesmo valor dex∗ e

def(x∗

), mesmo quando é alterado o valor do ponto inicial. Assim sendo, concluiu-se que para o caso em estudo a utilização da funçãoga para a determinação do mínimo não é viável.

A complexidade do problema em análise é um dos motivos pelos quais as funções usadas não permitem obter resultados exequíveis.

(72)

Capítulo 5

Caso de estudo

5.1 Definição

O caso de estudo em análise implica a disposição de diversos pacientes em diferentes consultórios a fim de realizar vários exames, sendo que cada consultório realiza exames distintos. O objectivo é minimizar o tempo final após a conclusão do último exame a realizar por cada paciente. Os algoritmos usados em [13] foram adaptados a este caso de estudo, que teve como base dados reais obtidos na Clínica de Imagiologia Briosa e Gala.

5.2 Caracterização dos dados

No caso em estudo são considerados seis pacientes, podendo cada um deles efectuar no máximo quatro exames, existindo doze exames distintos a realizar, sendo que há apenas cinco consultórios onde estes estão distribuídos e onde podem ser efectuados. Alguns tipos de exame podem ser efectuados em consultórios distintos. Os exames são realizados de forma predefinida.

Computacionalmente a designação dos exames foi efectuada da seguinte forma, como é possível assegurar na Figura 5.1:

– exame 1: Raio-X do Tórax;

(73)

– exame 2: Electrocardiograma (ECG); – exame 3: Ecografia Abdominal;

– exame 4: Provas Funcionais Respiratórias; – exame 5: Densitometria Óssea;

– exame 6: Mamografia seguida de Ecografia Mamária; – exame 7: Ecocardiograma (ECC);

– exame 8: Tomografia Axial Computorizada do Crânio; – exame 9: Ecografia da Tiróide;

– exame 10: Ecografia Ginecológica por via endocavitária; – exame 11: Ecografia Renal e Supra-renal;

– exame 12: Ecografia Vesical.

(74)

5.2 Caracterização dos dados 53

Cada paciente pode efectuar um máximo de quatro exames. A distribuição de exames por paciente encontra-se evidenciada na Figura 5.2 e é a seguinte:

– paciente 1: necessita realizar quatro exames: Raio-X do tórax, ECG, Ecografia abdominal e Provas funcionais respiratórias;

– paciente 2: necessita realizar três exames: Densitometria óssea, Mamografia se-guida de Ecografia mamária e Raio-X do tórax;

– paciente 3: necessita realizar três exames: ECC, ECG e TAC do crânio;

– paciente 4: necessita realizar três exames: Mamografia seguida de Ecografia ma-mária, Ecografia da tiróide e Ecografia ginecológica por via endocavitária;

– paciente 5: necessita realizar dois exames: Raio-X do tórax e TAC do crânio;

– paciente 6: necessita realizar quatro exames: Ecografia renal e supra-renal, Eco-grafia vesical, ECG e Raio-X do tórax;

(75)

Cada um dos exames pode ser realizado em diferentes consultórios, havendo cinco consultórios distintos para o efeito, podendo o mesmo tipo de exame ser efectuado em mais de um consultório.

Na Figura 5.3 apresentada estão representados os consultórios em que cada exame pode ser efectuado, bem como o tempo de realização dos mesmos.

Figura 5.3: Exames e respectivo consultório e tempo de realização de cada exame

– Raio-X do tóraxpode ser efectuado no segundo consultório sendo o seu tempo de realização de cinco minutos;

– Electrocardiograma (ECG) pode fazer-se no primeiro consultório demorando cinco minutos a ser realizado, sendo também efectuado nos quarto e quinto con-sultórios sendo dez minutos o seu tempo de realização em ambos;

(76)

5.3 Modelação 55

minutos;

– Ecografia abdominal pode efectuar-se no primeiro e quinto consultórios, demo-rando dez e quinze minutos a ser realizada, respectivamente;

– TAC do crâniopode ser efectuada no terceiro consultório, sendo o seu tempo de realização de vinte minutos;

– Prova funcional respiratória pode ser efectuada no quarto consultório, sendo o seu tempo de realização de vinte minutos;

– Mamografia seguida de Ecografia mamária pode ser efectuada no quarto con-sultório, sendo o seu tempo de realização de quinze minutos;

– Ecocoardiogramapode ser efectuada primeiro e quarto consultórios, sendo o seu tempo de realização, em ambos, de dez minutos;

– Ecografia da tiróidepode ser efectuada no primeiro e quinto consultórios, sendo o seu tempo de realização de cinco e dez minutos, respectivamente;

– Ecografia ginecológica por via endocavitária pode ser efectuada no primeiro e quinto consultórios, demorando dez e quinze minutos a ser efectuada, respectiva-mente;

– Ecografia renal e supra-renalpode ser efectuada no primeiro e quinto consultó-rios, sendo o seu tempo de dez e quinze minutos, respectivamente;

– Ecografia vesical pode ser efectuada no primeiro e quinto consultórios, sendo o seu tempo de cinco e dez minutos, respectivamente.

5.3 Modelação

O problema de optimização em estudo é definido por:

minf(x)

x∈Rn (5.1)

(77)

f(x) = max(tij), i= 1...n, j = 1...m (5.2) onde,

– ncorresponde ao número máximo de exames a realizar por paciente; – mrepresenta o número de pacientes;

– tij representa o tempo final do exameido pacientej;

– xij representa o consultório onde se realiza o exameido pacientej;

– xcorresponde a um vector de dimensão 19, que diz respeito aos consultórios onde os pacientes são alocados a fim de efectuar cada um dos exames solicitados.

Os valores x(1), x(2), x(3) e x(4) correspondem aos consultórios onde o paciente 1 irá realizar os exames 1, 2, 3 e 4, respectivamente;x(5),x(6),x(7) dizem respeito ao paciente 2; x(8), x(9) e x(10) correspondem aos consultórios onde o paciente 3 irá efectuar os exames pretendidos; x(11), x(12) e x(13) dizem respeito ao paciente 4; x(14)ex(15)são relativos aos consultórios onde o paciente 5 irá realizar os exames e, por fim,x(16),x(17),x(18)ex(19)remetem ao paciente 6.

5.4 Caso 1

(78)

5.4 Caso 1 57

5.4.1 Resultados Numéricos

Todos os testes efectudados foram realizados tendo como valor inicial, x0, um valor

aleatório.

Para cada uma das funções usadas recorreu-se ao uso da estruturaoptionsdisponível natoolboxdo Matlab. Esta estrutura fornece os detalhes específicos da função para os respectivos valores das opções seleccionadas.

5.4.1.1 Resultados numéricos da funçãoga

Os resultados numéricos apresentados em seguida dizem respeito à aplicação da função ga, presente natoolboxdo Matlab, ao problema de optimização em estudo. Esta função tem como base o método do algoritmo genético.

As opções usadas foram as mesmas que em [13], tendo estas sido enunciadas no Capí-tulo 4.

Nas Tabelas 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5 que se seguem são apresentados os resultados rela-tivos às opções 0, 1, 4, 5 e 9, respectivamente.

Opção 0

Tabela 5.1: Resultados numéricos da funçãogasem opções

x∗ _f(x∗₎ _{exitflag n}o_{de iterações n}o_{de avaliações}

[1 2 1 1 1 1 1 1 4 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1] 400015 -2 1 1081

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1] 200015 -2 1 1081

[1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1] 400000 -2 1 1081

(79)

Opção 1

Tabela 5.2: Resultados numéricos da funçãogacom opção 1

x∗

f(x∗

) exitflag node iterações node avaliações

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] 400005 -2 1 1101

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1] 100000 -2 1 1101

[1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1] 300013 -2 1 1101

[1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1] 400000 -2 1 1101

Opção 4

x∗

f(x∗

) exitflag no_{de iterações n}o_{de avaliações}

[1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] 200005 -2 1 1081

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2] 200015 -2 1 1081

[1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2] 400000 -2 1 1081

[1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1] 200020 -2 1 1081

Opção 5

x∗

f(x∗

[1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1] 400000 -2 1 1081

[1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1] 400000 -2 1 1081

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] 300010 -2 1 1081

(80)

5.4 Caso 1 59

Opção 9

x∗

f(x∗

[1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1] 300000 -2 1 15921

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] 200005 -2 1 15921

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1] 300010 -2 1 15921

[ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2] 300000 -2 1 15921

Foram ainda testadas as opções 2, 3, 6, 7 e 8, podendo estes resultados ser consultados no Apêndice A.

Nenhuma das opções apresenta uma solução satisfatória à resolução do problema, pois o valor doexitf lag, que corresponde ao valor que identifica que o algoritmo terminou, é sempre -2, indicando que não foi encontrado nenhum ponto admissível.

5.4.2 Resultados numéricos da funçãofmincon

Nas Tabelas 5.6, 5.7, 5.8, 5.9 que se seguem são apresentados os resultados relativos às opções 0, 1, 2 e 6, respectivamente.

Opção 0

Tabela 5.6: Resultados numéricos da funçãof minconsem opções

x∗

f(x∗

) exitflag node iterações node avaliações

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] 100000 -2 1 20