CLÍSCIA CERCEAU DA SILVA ORIENTADOR: ANDRÉ PACHECO DE ASSIS, PhD PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA DA UFOP

Dissertação de Mestrado

ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE UM

TALUDE DA CAVA DE ALEGRIA

UTILIZANDO ABORDAGEM

PROBABILÍSTICA

CLÍSCIA CERCEAU DA SILVA

ORIENTADOR: ANDRÉ PACHECO DE ASSIS, PhD

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA

DA UFOP

iii S586a Silva, Clíscia Cerceau da.

Análise de estabilidade de um talude da cava de Alegria utilizando abordagem probabilística [manuscrito] / Clíscia Cerceau da Silva. - 2015.

134f.: il.: color; grafs; tabs; mapas.

Orientador: Prof. Dr. André Pacheco de Assis.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Núcleo de Geotecnia - NUGEO.

Área de Concentração: Geotecnia Aplicada à Mineração. 1. Taludes em rocha. 2. Probabilidades. 3. Estabilidade. I. Assis, André Pacheco de. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Titulo.

CDU: 624.136

iv

Dedico este trabalho a meus bens mais preciosos,

v

AGRADECIMENTOS

A Deus, por eu ter chegado até aqui... Por eu ter tido forças diante dos obstáculos, para continuar e finalizar mais esta etapa!

Aos meus queridos pais, José do Carmo e Cláudia, e meu irmão Cleisom, que sempre estiveram do meu lado em todos os momentos, e que neste trabalho não foi diferente.

Ao Alex, pela compreensão e apoio durante os momentos de dedicação ao mestrado, e incentivo para seguir em frente.

Agradeço a Vale pelo apoio financeiro, por estar sempre contribuindo para o aprimoramento do conhecimento técnico de seus profissionais. Em especial ao meu ex-gestor Ricardo Leão, pela disponibilidade de tempo e pela confiança em que me foi dada para a realização deste curso.

Ao professor André Pacheco de Assis, por aceitar me orientar neste trabalho, por ser sempre solícito em minhas dúvidas e questionamentos, pela sua educação admirável. Continue disseminando conhecimentos. Grande profissional!

Aos professores do curso de Mestrado Profissional da Ufop, em especial ao coordenador Romero César Gomes, meu muito obrigada pelos ensinamentos, discussões e por compartilharem experiências.

A toda equipe do Subgrupo de taludes e do Subgrupo GRG da Vale, pelas discussões e treinamentos a respeito deste assunto.

Aos colegas de curso, pela troca de experiências, estudos, força de vontade... Valeu!

vi

RESUMO

Este estudo apresenta os resultados da análise de estabilidade de um talude da Mina de Alegria utilizando a abordagem probabilística. O mesmo visa mostrar as vantagens da abordagem probabilística em complementação às análises tradicionais determinísticas, através dos principais métodos probabilísticos. Dentre elas, pode-se citar a possibilidade de se trabalhar com a variabilidade dos parâmetros de entrada, ao invés da utilização somente das médias destes parâmetros. Além disso, permite calcular a probabilidade de falha (PF) de uma região e analisar o risco associado a um projeto, permitindo o gerenciamento deste. O estudo também apresenta as especificidades do programa Slide (pertencente à Rocscience) para este tipo de análise. O talude foi avaliado por três métodos probabilísticos: Método de Monte Carlo, Método FOSM e Método das Estimativas Pontuais. Para cada um dos métodos, a PF foi calculada. Observou-se que para os três métodos, não houve diferenças muito relevantes nos valores da PF, porém o Método de Monte Carlo permite um número muito maior de simulações e a avaliação de outras superfícies de ruptura além da superfície crítica determinística através do programa Slide. A seção analisada apresentou fator de segurança (FS) considerado satisfatório (FS ≥ 1.30) na análise determinística e baixa PF pelos métodos probabilísticos utilizados. Pode-se dizer que as consequências de uma possível ruptura do talude se resumem em danos no interior da cava, pois não há interferências externas próximas. Logo, consequências relativamente pequenas aliadas a uma PF baixa, conclui-se que o risco é baixo, visto que a definição do mesmo é PF versus a consequência. Dessa forma, é possível dizer que a geometria proposta garante a estabilidade da cava final da região estudada que será executada daqui a alguns anos, sem necessidade de adequações/intervenções no projeto.

Palavras-chave: Estabilidade de taludes, abordagem probabilística,probabilidade de

vii

ABSTRACT

This study presents the results of stability analysis of a slope of Alegria Mine using the probabilistic approach. It aims to show the advantages of stability analysis using the probabilistic approach complementing the traditional deterministic analysis, through the main probabilistic methods. Among the advantages, there is the possibility of working with the variability of input parameters, instead of using only the averages of these parameters. It also allows to calculate the probability of failure (PF) of a region and analyze the risk associated with a project, allowing risk management. The study also presents the specifics of Slide software (by Rocscience) for this type of analysis. The slope was evaluated by three probabilistic methods: Monte Carlo Method, FOSM Method and Method of punctual estimates. For each method, the probability of failure was calculated. It was observed that for all three methods, there weren’t very significant differences in the values of PF, but the Monte Carlo method enables a much larger number of simulations, and evaluation of other rupture surface beyond the deterministic critical surface through Slide software. The analyzed section presented FS considered satisfactory (FS ≥ 1.30) in the deterministic analysis and low PF by probabilistic methods. It can be said that the consequences of a possible break of the slope are summarized in damage inside the pit because there’s no nearby outside interference. Hence, small relatively consequences combined with a low PF, it’s concluded that the risk is low, since it’s the PF versus consequences. Thus, it’s possible to say that the geometry proposal ensures the stability of the final pit of the study area that will be executed in a few years without the need for adjustments / interventions in the project.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Efeito escala entre tamanho da obra e intensidade de fraturamento do

maciço rochoso e consequente propriedade relevante da rocha (modificado - Hoek & Brown, 1997). ... 6

Figura 3.1: Processo de um projeto de taludes de mina a céu aberto (modificado Stacey

e Read, 2009). ... 12

Figura 3.2: Processo de divisão da massa rompida em fatias (modificado Abramson et

al., 2001). ... 13

Figura 3.3: Principais tipos de ruptura com os respectivos estereogramas

representativos (modificado Hoek and Bray, 1981). ... 20

Figura 4.1: Esquema típico de análises determinísticas com extensões probabilísticas

(adaptado Griffths, 2007). ... 23

Figura 4.2: Função de probabilidade normal. ... 30

Figura 4.3: Função de probabilidade log-normal com diferentes parâmetros µ e σ². .... 31

Figura 4.4: Procedimento para obtenção de números aleatórios através de distribuição

normal. ... 35

Figura 4.5: Probabilidade de ruptura versus Índice de Confiabilidade para várias

distribuições (Baecher, 2003). ... 40

Figura 4.6: Distribuição de probabilidade do Fator de Segurança para FS iguais

(adaptado de Phoon, 2008). ... 41

Figura 4.7: Distribuição de probabilidade do Fator de Segurança para FS diferentes

(Assis, A.P., et al. 2012-Apostila do curso de Pós-Graduação em Geotecnia, UNB). ... 41

Figura 4.8- Valores usuais de probabilidade e consequências de ruptura em projetos de

engenharia (modificado - Whitman, 1984). ... 43

Figura 5.1: Análise de riscos qualitativa 2D (PROGEO, 2007) ... 51

Figura 5.2: Análise de riscos qualitativa 3D (PROGEO, 2007). ... 52

Figura 5.3: Comparação do critério de aceitação ao risco com estatísticas (modificado

ix

Figura 6.1: Fotografia aérea da Mina de Alegria (Arquivo Vale) ... 56

Figura 6.2: Coluna estratigráfica do Quadrilátero Ferrífero (adaptada de Marshak &

Alkmin, 1998). ... 57

Figura 6.3: Mapa geológico esquemático dos arredores da Mina de Alegria (Alkmim,

2003). ... 58

Figura 6.4: Mapa geológico da Mina de Alegria disponibilizado pelo planejamento de

curto prazo (abril de 2015). ... 59

Figura 6.5: Localização das seções geomecânicas na geometria de cava final da mina

de Alegria ... 63

Figura 6.6: Mapa geomecânico em cava final da Mina de Alegria ... 65

Figura 7.1: Seção geomecânica de análise da estabilidade ... 70

Figura 7.2: Investigação do círculo de ruptura crítico da seção de análise pela

abordagem determinística ... 71

Figura 7.3: Relevância das variáveis aleatórias em estudo na seção de análise,

calculadas pelo método FOSM ... 78

Figura 7.4: Análise probabilística para o talude geral ... 85

Figura 7.5: Análise probabilística para o talude geral, mostrando a superfície

probabilística crítica para uma distribuição normal do F.S. ... 85

Figura 7.6: Análise probabilística para o talude geral, mostrando a superfície

probabilística crítica para uma distribuição lognormal do F.S. ... 86

Figura 7.7: Histograma FS x frequência relativa para a análise com abordagem

probabilística para 281000 interações. ... 88

Figura 7.8: Histograma do resultado da análise com abordagem probabilística

considerando F.S<1.3 em vermelho. ... 89

Figura 7.9: Distribuição de probabilidade da coesão, enfatizando valores que geraram

FS < 1 em vermelho, para o IGO-HGO classe VI ... 89

Figura 7.10: Distribuição de probabilidade do ângulo de atrito, enfatizando valores que

x

Figura 7.11: Distribuição de probabilidade da coesão, enfatizando valores que geraram

FS < 1 em vermelho, para o IGO-HGO classe V ... 90

Figura 7.12: Distribuição de probabilidade do ângulo de atrito, enfatizando valores que

geraram FS < 1 em vermelho, para o IGO-HGO classe V ... 91

Figura 7.13: Gráfico de correlação de valores de ângulo de atrito e de coesão que

geraram F.S.<1 em vermelho, para o IGO-HGO classe V ... 91

Figura 7.14: Gráfico de correlação de valores de ângulo de atrito e de coesão que

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Sistema de classificação geomecânica RMR (modificado - Bieniawski

1989) ... 9

Tabela 2.2: Correções e guias auxiliares para o sistema de classificação RMR

(modificado - Bieniawski, 1989) ... 10

Tabela 3.1: Diferenças entre abordagem determinística e abordagem probabilística ... 17

Tabela 4.1: Vantagens da análise probabilística para estabilidade de taludes ... 24

Tabela 4.2: Valores típicos do coeficiente de variação dos principais parâmetros

geotécnicos (Assis et. al, 2012) ... 33

Tabela 4.3- Coeficientes de Confiança para a distribuição normal (modificado de Harr,

1987). ... 36

Tabela 5.1: Valores típicos de critério de aceitação de FS e PF (Stacey e Read, 2009)..

... 48

Tabela 5.2: Orientações de Fator de Segurança e Probabilidade de Falha (Priest e

Brown, 1983). ... 48

Tabela 5.3: Interpretação de Priest e Brown (1983) para as orientações de FS e PF. ... 49

Tabela 7.1: Parâmetros geotécnicos considerados nas análises de estabilidade

(VOGBR, 2013). ... 688

Tabela 7.2: Covariância padrão para os principais parâmetros geotécnicos... 73

Tabela 7.3: Cálculo do desvio padrão dos parâmetros analisados na seção a partir da

covariância padrão ... 73

Tabela 7.4: Cálculo da variação da média das variáveis aleatórias em estudo ... 75

Tabela 7.5: Simulações considerando a variação da média das variáveis em estudo com

seus respectivos fatores de segurança calculados ... 76

xii

Tabela 7.7: Dados estatísticos utilizados na análise probabilística pelo Método Monte

Carlo ... 80

Tabela 7.8: Resultados da análise probabilística ... 86

Tabela 7.9: Valores das variáveis utilizados nas análises ... 93

Tabela 7.10: Combinações dos valores das variáveis utilizados em cada análise de

estabilidade ... 94

xiii

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES

FS Fator de Segurança

PF Probabilidade de Falha

P[R] Probabilidade de Ruptura

RMR Classificação geomecânica de Bieniawski (Rock Mass Rating).

Q Classificação geomecânica de Barton (Tunnelling Quality Index).

RQD Rock Quality Designation

GLE Método do Equilíbrio-limite geral (Generalized Limit Equilibrium)

fo Fator empírico

F Força

M Momento

 Resistência ao cisalhamento

Média aritmética da variável x

n Número de observações de uma variável x

s2 Variância amostral

s Desvio padrão

CV Coeficiente de variação

P(A) Probabilidade de ocorrência do evento A

n(A) Número de elementos do evento A

n(S) Número de elementos do espaço amostral

 Desvio padrão

x Variável aleatória associada ( )

 Média da distribuição de probabilidade

β Índice de Confiabilidade

FOSM First-Order, Second Moment

x

xiv

m Número de variáveis aleatórias

N Número de repetições do processo de geração de valores aleatórios das

variáveis independentes no Método de Monte Carlo

R Probabilidade de sucesso na geração dos valores aleatórios das variáveis

independentes no Método de Monte Carlo

(1-R) Probabilidade de insucesso na geração dos valores aleatórios das

variáveis independentes no Método de Monte Carlo

x Número de sucesso das N tentativas

O símbolo representa o número das N tentativas

 É o máximo erro permitido na estimativa de R F(x) Função de variáveis aleatórias

F(x, y) Função de duas variáveis aleatórias

E[F] Valor médio esperado para F

V[F] Variância de F, igual ao desvio padrão ao quadrado

δFi Variância de F quando varia δxi para cada um dos n parâmetros xi δxi Taxa de variação das variáveis envolvidas

V[xi] Variância de cada um dos parâmetros xi

δFSi Variância do FS (Diferença entre o FS determinístico e o FS das simulações)

V[FS] Variância total do Fator de Segurança (Calculada pela razão entre a variância de cada variável sobre a variância total do FS)

E[FS] Valor do fator de segurança determinístico calculado com os parâmetros

médios

[FS] Desvio-padrão do coeficiente de segurança

xv

Y Variável dependente do Método de Rosenblueth

Pi Pontos de estimativa no Método de Rosenblueth

x Desvio padrão da variável x

x Coeficiente de assimetria da variável x

n Número de variáveis independentes no Método de Rosenblueth

N Número de valores estimados para cada combinação dos pontos j+ e

j Valor médio da distribuição da variável j

j Desvio padrão da distribuição da variável j

n Número de variáveis aleatórias no Método FOSM

DIST.NOR Cálculo da probabilidade de falha de distribuição normal pelo excel

DESVPAD Desvio Padrão calculado pelo excel

N Número de variáveis estatísticas do problema

RI Reliability Index

µFS Média do fator de segurança

FS Desvio padrão do fator de segurança

R Risco

CU Ensaio de compressão triaxial rápido pré-adensado, com medidas de

poropressão

IC Itabirito compacto

IGO/HGO Itabirito goetítico/hematita goetítica

CG Canga

c’ Coesão efetiva

xvi

LISTA DE ANEXOS

ANEXO I

RESULTADO DAS ANÁLISES DE ESTABILIDADE PELO MÉTODO FOSM ... I.1

ANEXO II

RESULTADO DAS ANÁLISES DE ESTABILIDADE PELO MÉTODO DAS ESTIMATIVAS

xvii

ÍNDICE

CAPÍTULO 1-INTRODUÇÃO

1.1- CONSIDERAÇÕES INICIAIS ... 1

1.2- OBJETIVOS ... 2

1.3- ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO ... 3

CAPÍTULO 2- CARACTERIZAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA DE MACIÇOS ROCHOSOS (INTEMPERIZADOS) 2.1- INTRODUÇÃO ... 5

2.2- ROCHA INTACTA, DESCONTINUIDADES E MACIÇO ROCHOSO ... 5

2.3- CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA ... 6

2.3.1-SISTEMA RMR-SISTEMA DE CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA DE BIENIAWSKI (1989) ... 7

CAPÍTULO 3- ESTABILIDADE DE TALUDES 3.1- INTRODUÇÃO ... 11

3.2- ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES ... 15

3.2.1-ABORDAGEM DETERMINÍSTICA X ABORDAGEM PROBABILÍSTICA ... 15

3.3- MODOS DE RUPTURA DE TALUDES ... 17

3.3.2-RUPTURA PLANO-CIRCULAR ... 18

3.3.3-RUPTURA CIRCULAR ... 19

3.3.4-RUPTURA EM CUNHA ... 19

3.3.5-TOMBAMENTO ... 19

CAPÍTULO 4- ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE TALUDES 4.1- INTRODUÇÃO ... 21

4.2- CONCEITOS BÁSICOS ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE ... 24

4.2.1-ESTATÍSTICA DESCRITIVA ... 25

4.2.2-MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ... 25

4.2.2.1- Média aritmética ... 26

4.2.2.2- Mediana ... 26

4.2.2.3- Moda ... 26

xviii

4.2.2.5- Variância ... 27

4.2.2.6- Desvio Padrão ... 27

4.2.2.7- Coeficiente de Variação ... 27

4.2.3-PROBABILIDADE ... 28

4.2.3.1- Cálculo da Probabilidade ... 28

4.2.3.2- Variáveis Aleatórias ... 29

4.2.4-DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ... 29

4.2.4.1- Distribuições de Probabilidade Contínuas ... 29

4.2.4.1.1- Distribuição Normal ... 29

4.2.4.1.2- Distribuição Log-Normal ... 30

4.3- TIPOS DE INCERTEZA ... 32

4.4- MÉTODOS PROBABILÍSTICOS ... 33

4.4.1-MÉTODO DE MONTE CARLO ... 33

4.4.2-MÉTODO FOSM,SÉRIE DE TAYLOR OU ÍNDICE DE CONFIABILIDADE ... 37

4.4.3-MÉTODO ROSENBLUETH OU ESTIMATIVAS PONTUAIS ... 43

CAPÍTULO 5- CRITÉRIOS DE ACEITAÇÃO DO PROJETO E ANÁLISE DE RISCO 5.1- CRITÉRIOS DE ACEITAÇÃO DE PROJETO PARA FATOR DE SEGURANÇA E PROBABILIDADE DE FALHA ... 47

5.2- ANÁLISE DE RISCO ... 49

5.2.1-CLASSIFICAÇÃO DOS RISCOS ... 51

CAPÍTULO 6- MINA DE ALEGRIA: GEOLOGIA E MODELO GEOMECÂNICO 6.1- APRESENTAÇÃO DA MINA ... 55

6.2- GEOLOGIA DA MINA ... 56

6.2.1-ARCABOUÇO ESTRUTURAL ... 57

6.2.2-ESTRATIGRAFIA E GEOLOGIA LOCAL ... 59

6.3- MODELO GEOMECÂNICO DA MINA DE ALEGRIA ... 61

6.3.1-CARACTERIZAÇÃO GEOMECÂNICA ... 61

xix

CAPÍTULO 7- ESTUDO DE CASO: ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE UMA SEÇÃO DA CAVA FINAL DA MINA DE ALEGRIA UTILIZANDO O

PROGRAMA SLIDE

7.1- INTRODUÇÃO ... 66

7.1.1-PARÂMETROS DE PROJETO ... 67

7.1.2-ANÁLISE DETERMINÍSTICA DA SEÇÃO DE ANÁLISE ... 69

7.1.3-DADOS ESTATÍSTICOS DOS PARÂMETROS GEOTÉCNICOS DE PROJETO CONSIDERADOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ... 72

7.2-APLICAÇÃO DO MÉTODO FOSM (FIRST ORDER SECOND MOMENT) ... 74

7.2.1-NÚMERO DE INTERAÇÕES ... 75

7.2.2-CÁLCULO DA VARIÂNCIA DO FATOR DE SEGURANÇA ... 76

7.2.3-CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE FALHA ... 79

7.3-APLICAÇÃO DO MÉTODO DE MONTE CARLO ... 79

7.3.1-NÚMERO DE INTERAÇÕES ... 80

7.3.2-CRITÉRIOS E ESPECIFICIDADES DO MÉTODO NO PROGRAMA SLIDE ... 81

7.3.2.1- Probabilidade de Falha ... 83

7.3.2.2- Índice de Confiabilidade (Reliability Index = RI) ... 83

7.3.3-APRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS ... 84

7.4- APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS ESTIMATIVAS PONTUAIS ... 92

7.5- COMPARATIVO ENTRE OS MÉTODOS ... 94

7.6- ANÁLISE DE RISCO E CONFIABILIDADE ... 95

CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ... 96

8.1- CONCLUSÕES ... 956

8.2- SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS ... 100

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1- CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Os projetos de escavação a céu aberto estão, atualmente, cada vez maiores em extensão e em profundidade. Isto se explica pelo fato do avanço tecnológico da pesquisa mineral e também novas tecnologias e investimentos no beneficiamento do minério, que, aliados à questão econômica, vêm aumentando as reservas destas cavas como também permitindo o aproveitamento do minério mais pobre. Diante disso, as cavas de exploração de minério de ferro, no Quadrilátero Ferrífero, por exemplo, estão finalizando os seus projetos de escavação nas rochas encaixantes do minério, que por sua vez, possuem um comportamento geomecânico pior, apresentando parâmetros de resistência menores, e, ao mesmo tempo, estão exigindo projetos geotécnicos de taludes de cavas cada vez mais íngremes e mais altos, a serem explorados nas condições econômicas mais favoráveis, desde que os mesmos satisfaçam as condições de segurança aceitáveis. Portanto, a estabilidade de taludes é um dos fatores preponderantes e determinantes das geometrias de cavas operacionais e finais de projeto. Logo, é fundamental que estes projetos sejam baseados em modelos geológico-geomecânicos muito bem elaborados, para que os mesmos possam subsidiar as análises de estabilidade tanto para garantir a estabilidade de cavas finais quanto à estabilidade das cavas operacionais, garantindo a segurança de operação das mesmas.

2

podendo apresentar incertezas nestes parâmetros utilizados devido à variabilidade existente nos mesmos. Nesta abordagem, o fator de segurança estimado não pode quantificar a probabilidade de ruptura ou o nível de risco associado a um projeto. Já os métodos probabilísticos quantificam estas incertezas das variáveis de entrada (parâmetros de resistência, principalmente ângulo de atrito e coesão) das análises determinísticas, além de verificar qual a variável afeta mais o resultado, finalizando com a probabilidade de ruptura e a possibilidade de cálculo do risco do projeto. Estes métodos não são novos, mas ainda são pouco usuais, porém podem aperfeiçoar o processo de tomada de decisão da empresa, pois a experiência dos geotécnicos, aliada a estas informações estatísticas e a um critério de risco admissível, podem contribuir para a verificação da necessidade de adaptação de um projeto muito antes da sua implantação, atribuindo maior segurança e diminuição de custos para a empresa.

Neste contexto, será utilizado como estudo de caso um talude da cava de Alegria, pertencente ao Complexo Minerador de Mariana, no município de Mariana, MG, de propriedade da empresa Vale, para apresentar a metodologia de análise de estabilidade através da abordagem probabilística, que leva em consideração a variabilidade dos dados existentes.

1.2- OBJETIVOS

Este estudo visa apresentar e verificar a aplicabilidade sistemática dos métodos probabilísticos em análises de estabilidade de taludes de cava. A área estudada será um talude de cava final da Mina de Alegria, onde terão taludes finais de 150 m ou mais de altura. Serão abordados três métodos probabilísticos, utilizando-se o programa Slide, versão 5.0, do pacote Rocscience, e o programa Excel para a complementação dos cálculos da probabilidade de falha para dois destes métodos.

3

análises podem vir a ser realizadas nas geometrias de cavas finais das minas, ou em taludes que, diante da análise do geotécnico responsável, sempre necessitarem de uma reavaliação mais detalhada.

Resumindo, este trabalho visa apresentar um estudo de complementação das análises de estabilidade determinísticas com as análises probabilísticas em taludes de cavas, tendo como estudo de caso, um talude de cava da Mina Alegria, considerando os modos de ruptura existentes em tal talude.

1.3- ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO

O estudo foi dividido em oito capítulos e abaixo será apresentado sucintamente o conteúdo de cada um deles:

O segundo capítulo deu ênfase à caracterização e classificação geomecânica dos maciços rochosos, apresentando o sistema de classificação RMR (Bieniawski 1989), que é o sistema de classificação utilizado nas minas da Vale com algumas adequações.

O terceiro capítulo apresenta os estudos de estabilidade de taludes em rocha existentes na literatura, exemplificando e apresentando as principais diferenças entre os métodos determinísticos e probabilísticos, e apresentando os modos de ruptura de taludes existentes, incluindo o modo de ruptura da seção de estudo.

O quarto capítulo enfatiza as análises de estabilidade probabilísticas de taludes, apresentando os conceitos básicos de estatística e probabilidade, os tipos de incerteza, e os três métodos probabilísticos utilizados no estudo: Método de Monte Carlo, Método FOSM e Método Rosenblueth.

4

O sexto capítulo fala sobre a Mina de Alegria, alvo do estudo de caso, enfatizando a geologia regional e local, e apresentando o modelo geomecânico da cava, bem como a metodologia de trabalho utilizada para a geração deste modelo, além de mapas e seções típicas.

O sétimo capítulo apresenta as análises realizadas neste estudo, utilizando os três métodos probabilísticos que foram apresentados no quarto capítulo, bem como os parâmetros de projeto utilizados, e os resultados obtidos, através de uma probabilidade de falha\ruptura e consequente análise do risco.

5

CAPÍTULO 2

CARACTERIZAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA DE

MACIÇOS ROCHOSOS (INTEMPERIZADOS)

2.1- INTRODUÇÃO

De acordo com Brady & Brown (1999), a Mecânica das Rochas é a ciência teórica e aplicada do comportamento mecânico das rochas e maciços rochosos; é o ramo da mecânica que estuda a resposta das rochas e maciços rochosos perante os campos de forças a que estão sujeitos no seu ambiente físico.

A mecânica das rochas possui uma interface muito grande com a engenharia civil, engenharia de minas e a geologia. Quando aplicada na prática da mineração, por exemplo, a mesma, juntamente com a engenharia de minas e engenharia geológica, define o desenho das estruturas em rochas geradas por esta atividade, como em minas a céu aberto. Para isso, é necessário um conhecimento das propriedades do maciço rochoso e de suas descontinuidades e propriedades hidrogeológicas através de um esquema de classificação, denominado de classificação geomecânica.

2.2- ROCHA INTACTA, DESCONTINUIDADES E MACIÇO

ROCHOSO

Rocha Intacta é a parte do material livre de descontinuidades predominantes. As descontinuidades podem ser consideradas como planos de fraqueza (falhas, foliação, bandamento, fraturas, dentre outros) que poderão controlar o comportamento do maciço rochoso. O maciço rochoso é uma massa de rocha que pode ou não conter descontuidades.

6

interferência somente da rocha intacta, ou de uma a duas descontinuidades ou de várias, conforme a Figura 2.1.

Figura 2.1: Efeito escala entre tamanho da obra e intensidade de fraturamento do maciço rochoso e consequente propriedade relevante da rocha (modificado - Hoek & Brown, 1997).

2.3- CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA

Os Sistemas de Classificação de Maciço Rochoso existem há mais de cem anos, desde quando se tentou formalizar uma abordagem empírica para determinação de requisitos de suporte para projetos de túneis.

7

Os dois sistemas de classificação de maciços rochosos mais utilizados são o Sistema RMR (Bieniawski 1989) e Q (Barton et al.., 1974). Pode-se dizer que estes sistemas são bem similares, pois os parâmetros utilizados para o cálculo da qualidade do maciço são muito parecidos, diferenciando apenas os pesos atribuídos a estes, e também o uso de parâmetros para avaliar uma mesma característica. A maior diferença entre os sistemas é que o sistema RMR não possui um parâmetro de tensões e o sistema Q não leva em consideração a orientação das descontinuidades. O sistema de classificação de maciços rochosos mais utilizado para taludes de cava é o Sistema RMR, que foi o sistema utilizado para a cava da Mina de Alegria, sendo apresentado resumidamente a seguir.

2.3.1- SISTEMA RMR- SISTEMA DE CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA DE BIENIAWSKI (1989)

Bieniawski publicou em 1976 uma metodologia para realização de uma classificação de um maciço rochoso denominado de Sistema RMR- Classificação Geomecânica ou Avaliação do Maciço Rochoso. Este sistema foi sendo aperfeiçoado ao longo dos anos com novos registros de casos e em 1989, ele publicou uma nova versão com essas adaptações, que será apresentada abaixo.

O sistema RMR utiliza seis parâmetros para classificar o maciço rochoso (Tabelas 2.1 e 2.2):

1- Resistência à compressão uniaxial do material rochoso 2- RQD- Designação da qualidade da rocha

3- Espaçamento das descontinuidades 4- Condição das descontinuidades 5- Condições da água subterrânea 6- Orientação das descontinuidades

8

dos seis parâmetros recebe um valor de acordo com a classificação. Estes valores são somados para darem um valor ao RMR.

O Sistema RMR foi baseado em registros de casos da engenharia civil, e foi criado, mais especificamente, para a aplicação de construção de túneis. Portanto, a indústria da mineração vem propondo várias modificações, com o objetivo de tornar a classificação menos conservadora e mais relevante para a aplicação na mineração. Bieniawski (1989), por exemplo, sugere uma adaptação à Classificação do Maciço Rochoso em que um ajuste é feito no valor RMR levando em consideração as tensões in situ e induzidas, os efeitos da detonação e o intemperismo.

Na prática, principalmente em minas a céu aberto do Quadrilátero Ferrífero, para os maciços rochosos muito intemperizados, mas que ainda preservam estruturas da rocha matriz, o Sistema de Classificação RMR não é mais aplicável. Para estes materiais, adotou-se a nomenclatura de Classe VI, em que geralmente detecta-se somente o grau de resistência e o grau de alteração/intemperismo da rocha. Estes maciços rochosos são alterados para saprolito ou solo residual estruturado, em que em muitos casos ainda é possível caracterizar a anisotropia de resistência destes materiais em função da estrutura herdada da rocha sã.

O sistema de classificação RMR, que variam de classe I a V, conforme já visto anteriormente, aplicam-se a rochas não alteradas ou rochas alteradas que ainda possuem comportamento de maciço rochoso, ou seja, onde ainda é possível definir o grau de fraturamento e condições das descontinuidades presentes.

9 Tabela 2.1: Sistema de classificação geomecânica RMR (modificado - Bieniawski 1989)

A PARÂMETROS DE CLASSIFICAÇÃO COM SEUS PESOS

Parâmetro Faixa de valores

1

Resistência da rocha intacta

(MPa)

Índice de carga

puntiforme >10 4-10 2-4 1-2 recomenda-se ensaio (Para menores valores, αc)

Resistência a compressão

uniaxial

>250 100-250 50-100 25-50 5-25

1-5 <1

Peso 15 12 7 4 2 1 0

2 RQD (%) 90-100 75-90 50-75 25-50 <25

Peso 20 17 13 8 3

3 Espaçamento das descontinuidades _Peso >2 m ₂₀ 0,6-2 m ₁₅ 200-600 mm ₁₀ 60-200 mm ₈ <60 mm ₅

4

Padrão das descontinuidades (ver tabela E)

Superfície muito rugosa, e sem alteração, fechadas

e sem persistência

Superfície pouco rugosa e levemente

alteradas, abertura <1 mm

Superfície pouco rugosa e muito alteradas, abertura <1

mm

Superfície estriada ou espessura de preenchimento <5 mm ou

abertura persistente de 1-5 mm

Espessura de preenchimento com material argiloso >5 mm ou abertura persistente >5

mm.

Peso 30 25 20 10 0

5

Ação da água subterrânea

Vazão de infiltração por 10

m de túnel (l/m) nulo <10 10-25 25-125 >125

(pressão de água

na junta)/α1 0 <0,1 0,1-0,2 0,2-0,5 >0,5

Condições gerais

no maciço Completamente seco úmido molhado gotejamento fluxo abundante

10

Tabela 2.2: Correções e guias auxiliares para o sistema de classificação RMR (modificado - Bieniawski, 1989)

B CORREÇÃO POR DIREÇÃO E ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES (ver Tabela F)

Direção e orientação do mergulho Muito Favorável Favorável Moderado Desfavorável Muito Desfavorável

Pesos

Túneis e minas 0 -2 -5 -10 -12

Fundações 0 -2 -7 -15 -25

Taludes 0 -5 -25 -50 -60

C DETERMINAÇÃO DAS CLASSES DO MACIÇO ROCHOSO EM FUNÇÃO DO PESO TOTAL

Peso 100  81 80  61 60  41 40  21 <21

Número da classe I II III IV V

Descrição Excelente Bom Regular Ruim Péssimo

D COMPORTAMENTO DO MACIÇO ROCHOSO POR CLASSE

Número da classe I II III IV V

Tempo médio de auto-sustentação / tamanho do vão 20 anos / 15 m 1 ano / 10 m 1 semana /5 m 10 h / 2,5 m 30 min /1 m

Coesão do maciço rochoso (kPa) >400 300-400 200-300 100-200 <100

Ângulo de atrito do maciço rochoso (o_{) >45 35-45 25-35 15-25 <15}

E GUIA PARA A CLASSIFICAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES

Persistência / Comprimento (m)

Peso <1 6 1-3 4 3-10 2 10-20 1 >20 0

Abertura / Espessura (mm)

Peso Nula 6 <0,1 5 0,1-1,0 4 1-5 1 >5 0

Rugosidade Peso Muito rugosa 6 Rugosa 5 Pouco rugosa 3 Lisa 1 Superfície estriada 0

Preenchimento (característica) / Espessura (mm)

Peso Nulo 6 duro / <5 4 duro / >5 2 mole / <5 2 mole / >5 0

Grau de Alteração (Intemperismo)

Peso Inalterada 6 Levemente alterada 5 Moderada. alterada 3 Fortemente alterada 1 Decomposta 0

F EFEITOS DA DIREÇÃO E ORIENTAÇÃO DAS DESCONTINUIDADES, EM TÚNEIS*

Direção Perpendicular ao eixo do Túnel Direção Paralela ao eixo do Túnel

Ângulo de mergulho 45-90o _{Ângulo de mergulho 20-45}o _{Mergulho 45-90}o _{Mergulho 20-45}o

Muito Favorável Favorável Muito Favorável Desfavorável

Ângulo de mergulho contrário 45-90o _{Ângulo de mergulho contrário 20-45}o _{Mergulho de 0-20}o _{sem relação a direção}

11

CAPÍTULO 3

ESTABILIDADE DE TALUDES EM ROCHA

3.1- INTRODUÇÃO

A estimativa do grau de estabilidade de um talude é necessária quando se envolve obras como estradas, fundações, túneis, escavações em uma mineração, dentre outros. Para a maior segurança das escavações realizadas durante as operações de lavra de uma mineração, é necessário saber se um determinado talude está estável ou se permanecerá estável após a execução de uma determinada geometria planejada para a escavação, para que se possa evitar uma possível ruptura. Neste caso, é necessário ter em mãos um modelo geotécnico embasado nas propriedades geológicas, geomecânicas (as quais foram citadas no Capítulo 2), e hidrogeológicas da região.

Para Stacey e Read (2009) um projeto de escavação de taludes ideal de uma mina a céu aberto deve seguir o fluxograma conforme a Figura 3.1.

A necessidade de obter uma grandeza ou um índice onde fosse possível determinar a estabilidade de um talude fez surgir vários métodos de análise de estabilidade.

De acordo com Augusto Filho e Virgili (1998), os métodos de análise de estabilidade são divididos da seguinte forma:

 Métodos analíticos: São baseados na teoria do equilíbrio-limite, que expressam a estabilidade de um talude por um Fator de Segurança (FS) ou Probabilidade de Ruptura (PF, Probability of Failure) e nos modelos numéricos de tensão-deformação fundamentados nas relações existentes entre as tensões atuantes e as deformações sofridas pelos materiais que compõem o talude.

12

 Métodos observacionais: baseiam-se na experiência de análises de rupturas anteriores através de retroanálises, ábacos de projetos, etc.

As análises de estabilidade de taludes são feitas comumente por métodos de equilíbrio limite, que são os métodos ditos convencionais. O equilíbrio limite é a condição em que as forças ou momentos que tendem a resistir ao deslizamento são exatamente balanceadas por aquelas que tendem a produzir o deslizamento. Neste caso, o FS, que é a razão entre estas forças ou momentos, será igual a 1 em situação de equilíbrio limite, e caso este resultado for maior que 1, pode-se dizer que o talude está estável.

13

De acordo com Abramson et al. (2001), para as superfícies de ruptura composta, os métodos de equilíbrio limite para análise de estabilidade de taludes dividem a potencial superfície de ruptura em pequenas fatias, como pode ser observado na Figura 3.2. Cada fatia é afetada por um sistema de forças.

Figura 3.2: Processo de divisão da massa rompida em fatias (modificado Abramson et al., 2001).

Os métodos de equilíbrio limite aplicados à estabilidade de taludes se resumem na avaliação quantitativa da estabilidade global de um dado talude, em função dos seus fatores predisponentes e à ação dos agentes externos e internos de estabilização.

Existem vários métodos para solução de uma análise de estabilidade a partir do equilíbrio limite. Abramson et al. (2001) citam os principais métodos com o respectivo resumo das hipóteses adotadas, conforme abaixo:

 Método de Fellenius - considera uma superfície de ruptura circular, divide a massa deslizante em lamelas e não considera forças interlamelares.

14

 Método de Janbu Simplificado - considera uma superfície de ruptura qualquer, a resultante das forças interlamelares é horizontal e um fator empírico (fo) é utilizado para

considerar as forças cisalhantes interlamelares.

 Método de Janbu Generalizado - considera uma superfície de ruptura qualquer e a resultante das forças interlamelares é determinada por uma linha de empuxo assumida.

 Método de Spencer - considera uma superfície de ruptura circular, sendo introduzida em 1973 a ruptura por uma superfície qualquer e a resultante das forças interlamelares tem inclinação constante através da massa deslizante.

 Método de Morgenstern-Price - considera uma superfície de ruptura qualquer, a direção da resultante das forças interlamelares é determinada pelo uso de uma função arbitrada, onde  é um fator da função que deve satisfazer o equilíbrio de forças e momentos e as lamelas de espessura finita.

 Método GLE - considera uma superfície de ruptura qualquer, a direção da resultante das forças entre lamelas é definida com uma função arbitrada, onde  é um fator da função que deve satisfazer o equilíbrio de forças e momentos, e as lamelas de espessura infinitesimal.

 Método de Sarma - considera a massa deslizante dividida em lamelas e que a resistência interna entre lamela é mobilizada.

15

3.2- ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE TALUDES

3.2.1- ABORDAGEM DETERMINÍSTICA X ABORDAGEM PROBABILÍSTICA

A análise de estabilidade de um talude pela abordagem determinística pode ser descrita como uma análise quantitativa expressa sob a forma de um coeficiente ou Fator de Segurança (FS), que poderá ser estabelecido com base em:

-Equilíbrio de Forças:

(3.1)

- Equilíbrio de momentos:

(3.2)

- Resistência ao cisalhamento:

(3.3)

Onde: = resistência ao cisalhamento

16

Na abordagem determinística para análise de estabilidade utiliza-se uma estimativa para cada parâmetro de entrada. Esta abordagem teve ampla aceitação nas últimas décadas, porém sabe-se que na natureza, as propriedades dos materiais tendem a ser muito variáveis, contradizendo a teoria de que o erro estimado tende a ser igual a zero. Logo, não é raro casos de taludes considerados seguros, romperem.

Levando-se em consideração a variabilidade de alguns parâmetros, pode-se realizar uma análise de sensibilidade, também chamada de análise paramétrica, variando alguns parâmetros dentro da sua faixa de valores, e observa-se qual a sua influência no resultado do Fator de Segurança. Porém, este tipo de análise não considera a frequência de ocorrência dos dados levantados.

Neste sentido, tem-se a abordagem probabilística, que também é executada normalmente com o uso dos métodos de equilíbrio limite, não diferindo neste caso das análises determinísticas, porém considera a variação dos parâmetros de projeto com a vantagem de serem capazes de quantificar as diversas origens de incerteza. A modelagem probabilística reconhece as incertezas nos parâmetros de entrada e nos modelos de previsão. Os parâmetros de entrada são tratados como variáveis aleatórias. Logo, o estudo estatístico se torna fundamental para a análise destes dados.

De acordo com Ang & Tang (1975), sabe-se há bastante tempo que as propriedades geotécnicas dos materiais do solo e da rocha são variáveis, pois os depósitos naturais são formados por camadas irregulares de vários tipos de materiais, de diferentes combinações mineralógicas, e com presença de descontinuidades (no caso de maciços rochosos), resultantes dos processos deformacionais e do intemperismo químico e físico que os mesmos sofrem. Consequentemente apresentam diferentes propriedades de resistência, deformabilidade e permeabilidade do depósito.

17

carregamentos no projeto, através de distribuições estatísticas, levando em consideração a frequência de ocorrência dos dados, possibilitando calcular o risco de falha ou a confiabilidade das estruturas. Pode-se dizer que a análise probabilística é uma complementação da análise determinística, onde é possível obter uma distribuição probabilística dos valores, fornecendo, por exemplo, a probabilidade de ruptura de taludes com Fator de Segurança menores ou maiores que 1.

A Tabela 3.1 apresenta as principais diferenças entre a abordagem determinística e a abordagem probabilística de análises de estabilidade.

Tabela 3.1: Diferenças entre abordagem determinística e abordagem probabilística

Abordagem

Determinística Abordagem Probabilística Parâmetros de projeto são

assumidos como constantes

Parâmetros de projeto são variáveis

Resultado calculado é único

Resultado calculado é uma distribuição de probabilidade

3.3- MODOS DE RUPTURA DE TALUDES

18

3.3.1- RUPTURA DO TIPO PLANAR

O escorregamento planar envolve deslocamentos de massa ao longo da direção de planos de deslizamento que ocorrem praticamente paralelos à direção da face do talude (com uma diferença máxima de 20º) em superfícies favoráveis tais como planos da foliação, falhas, dentre outros (Figura 3.3.b).

Para que este deslizamento ocorra, as estruturas devem ser aflorantes e inclinadas na direção da face livre do talude a um ângulo superior ao ângulo de atrito interno e a um ângulo menor que o da inclinação da superfície livre do talude. Além disso, devem existir outros planos de descontinuidades perpendiculares à face do talude com resistência desprezível, formando junto com a descontinuidade principal, um bloco distinto, permitindo assim seu livre escorregamento.

Hoek & Bray (1981) assumem que, para a análise deste método, as forças geradas pelo peso do bloco deslizante, pela distribuição de pressão hidráulica na fenda de tração e pela sub-pressão de água na superfície de escorregamento atuam diretamente no centróide do bloco de rocha deslizante, não mobilizando momentos. Embora isto acarrete erros quando da análise de taludes reais, estes podem ser ignorados em termos práticos.

3.3.2- RUPTURA PLANO-CIRCULAR

As rupturas do tipo plano-circular são mais comuns nas minas de minério de ferro do Quadrilátero Ferrífero. As mesmas seguem o mesmo mecanismo da ruptura planar, porém só o início da mesma é mobilizada pela foliação da rocha. A saída da ruptura ocorre na face ou no pé do talude cortando obliquamente a estruturação geral do maciço imposta pela foliação.

19

3.3.3- RUPTURA CIRCULAR

A ruptura circular ocorre quando o maciço rochoso é muito fraturado e não apresenta um padrão estrutural regular (Figura 3.3.a). Neste caso, a ruptura é definida por várias superfícies de diversas descontinuidades, que tende a ter uma forma circular. Da mesma forma, quando o maciço é homogêneo e isotrópico, a superfície de ruptura aproxima-se deste modo de ruptura, que pode ocorrer também em rochas brandas, quando a anisotropia gerada pelas descontinuidades não mais influencia na superfície de ruptura, devido ao elevado estado de intemperismo.

3.3.4- RUPTURA EM CUNHA

A ruptura por cunha é caracterizada pela intersecção de duas descontinuidades, conforme Figura 3.3.c. São superfícies de rupturas bi-planares, sendo a inclinação das superfícies de deslizamento definida pela geometria da cunha.

3.3.5- TOMBAMENTO

20

21

CAPÍTULO 4

ANÁLISE PROBABILÍSTICA DE TALUDES

4.1- INTRODUÇÃO

A abordagem probabilística é hoje uma forma de lidar com as incertezas existentes dentro do âmbito geotécnico. Usualmente, calcula-se um Fator de Segurança (FS) para as análises de estabilidade de uma estrutura, de acordo com as incertezas, parâmetros da rocha e ou solo, estratigrafia do local, dentre outros. De acordo com dados históricos, um FS mais alto, entre 1.3 e 1.5, é considerado o ideal para as estruturas analisadas, pois não se sabe ao certo o grau de incerteza das variáveis. À medida que se conhece estas incertezas, através de uma melhor caracterização geotécnica do local, por exemplo, é possível trabalhar com FS mais adequados. Neste sentido, taludes com o mesmo FS, podem ter diferenciados níveis de incerteza, dependendo de sua investigação geotécnica.

22

Um baixo fator de segurança não corresponde necessariamente a uma alta probabilidade de ruptura e vice versa. A relação entre o fator de segurança e probabilidade de falha/ ruptura depende do grau de incerteza.

A caracterização e a redução das incertezas ainda é uma área pouco abordada e pouco estudada pelos pesquisadores. Os engenheiros de fundações, barragens e estabilidade de taludes estão confortáveis com os métodos tradicionais, pois em geral, foram bem sucedidos na resolução destes problemas com estes métodos. Já os profissionais de geotecnia ambiental, profissionais que tratam de terremotos, por exemplo, requerem uma avaliação mais detalhada e dados de confiabilidade mais rigorosos, adotando cada vez mais a teoria da probabilidade para atuarem com estas questões. O fato também de se ter poucos estudos de casos aplicados aos problemas geotécnicos tradicionais pode ser um fator inibidor do uso dos métodos estatísticos.

O uso dos métodos probabilísticos também é inibido pelo fato de que a maioria dos engenheiros geotécnicos não foram instruídos e não têm conhecimento na utilização destes métodos. Para NRC (1995), muitos engenheiros geotécnicos têm a percepção errada com relação à quantidade de dados necessária para a aplicação de métodos probabilísticos. A teoria da probabilidade pode ser usada para avaliar as incertezas envolvidas no trabalho mesmo com informações escassas. Além disso, o método pode ajudar a identificar o tipo ideal de informação para a redução das incertezas, e não deve de forma alguma substituir os métodos determinísticos, e sim, complementá-los na resolução de problemas geotécnicos.

23

Figura 4.1: Esquema típico de análises determinísticas com extensões probabilísticas (adaptado Griffths, 2007).

Devido à falta de conhecimento de conceitos estatísticos e probabilísticos, a abordagem probabilística ainda é muito pouco utilizada na prática da engenharia, e até mesmo pelo fato da dificuldade de incorporar estes conceitos probabilísticos nas normas e práticas de engenharia. Para o entendimento completo da metodologia probabilística, sugere-se o estudo da estatística, incorporando probabilidade, distribuição de probabilidade e estimação.

24

Tabela 4.1: Vantagens da análise probabilística para estabilidade de taludes

Autor Benefícios da Análise de Probabilidade,

Confiabilidade

Christian e Baecher

Fornece uma estrutura para estabelecer apropriados fatores de segurança e dirige

melhor a um entendimento da relativa importância das incertezas.

Ladd e Da Re

Fornece um método sistemático para avaliar combinadas influências de incertezas dos

parâmetros que afetam o fator de segurança. Fornece um sistemático método de

determinação do grau de segurança, ao menos em termos relativos. Moriwaki e

Barneich

Quantifica a contribuição de todas as incertezas da cada parâmetro.

Koutsoftas

Fornece uma ferramenta útil para avaliar o risco associado com recomendações de

projeto.

4.2-

CONCEITOS

BÁSICOS

DE

ESTATÍSTICA

E

PROBABILIDADE

25

4.2.1- ESTATÍSTICA DESCRITIVA

A estatística descritiva envolve a coleta, a caracterização e a apresentação de um conjunto de dados. Apesar de sua importância, foram os métodos estatísticos de inferência que levaram a uma ampla aplicação da estatística atualmente, devido à possibilidade de estimar uma característica estatística de uma população ou de tomar decisões referentes à população a partir de dados amostrais.

População ou Universo se refere à totalidade de objetos ou valores considerados, já a amostra é a parte representativa da população de interesse. Para obter informações sobre a população, é necessária a coleta de dados, que pode ser realizada através da amostragem. Em qualquer estudo que se esteja realizando, é bem improvável que se consiga examinar todos os elementos da população de interesse, e isto também não significa maior precisão dos dados, pois os erros durante a coleta e manuseio de inúmeras amostras são maiores do que generalizar o resultado de uma amostra bem selecionada.

A forma mais simples de apresentação dos dados coletados é através de um histograma de frequência relativa. Uma distribuição de frequência é uma tabela resumida na qual os dados são organizados em grupos de classe ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente ordenados.

4.2.2- MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

26

4.2.2.1- Média aritmética

A média aritmética é o tipo de tendência central mais utilizado. É obtida dividindo-se a soma de todas as observações pelo número delas. Se uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

(4.1)

ou

(4.2)

4.2.2.2- Mediana

A mediana é o valor do meio de uma sequência ordenada de dados. Se não existirem valores repetidos, metade das observações será menor e metade será maior do que a mediana. A mediana não é afetada por qualquer observação extrema em um conjunto de dados. Dessa forma, é indicado utilizar a mediana no lugar da média aritmética para descrever a tendência do conjunto de dados, quando existirem valores extremos.

4.2.2.3- Moda

A moda é o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. Da mesma forma que a mediana, a moda também não é afetada por valores extremos, porém é utilizada somente para fins descritivos por ser mais variável.

1 2 3 n

X X X . X

X

n

.

   

27

4.2.2.4- Medidas de Variação

Medida de variação é a quantidade de dispersão ou espalhamento dos dados. As principais medidas de variação (variância e desvio padrão) medem a dispersão média em relação à média amostral.

4.2.2.5- Variância

Pode-se dizer que a variância amostral é a média das diferenças ao quadrado entre cada uma das observações de um conjunto de dados e a média aritmética do conjunto. Para uma amostra contendo n observações , a variância pode ser calculada de acordo com a equação abaixo:

(4.3)

Onde s2 é a variância, é a média amostral e n é o número de elementos da amostra.

4.2.2.6- Desvio Padrão

O desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância amostral, definido por:

(4.4)

4.2.2.7- Coeficiente de Variação

O coeficiente de variação mede a dispersão dos dados em relação à média aritmética.

1 . 2 . 3 . n

X , X , X , .. ,.. X

n

2 i

2 i 1

28

Ele é expresso como uma percentagem em vez de utilizar termos de unidades dos dados específicos, conforme expressão abaixo:

(4.5)

Onde CV é o coeficiente de variação, s é o desvio padrão amostral e é a média aritmética.

4.2.3- PROBABILIDADE

Probabilidade é um termo utilizado para quando existe mais de uma possibilidade de um evento acontecer dentre de certos eventos alternativos (Ang & Tang, 1975).

4.2.3.1- Cálculo da Probabilidade

Para se calcular a probabilidade, é necessário conhecer o espaço amostral (S) envolvido. Dessa forma, pode-se dizer que a probabilidade P(A) de certo evento A ocorrer é:

(4.6)

onde:

P(A) – Probabilidade de ocorrência do evento A; n(A) – Número de elementos do evento A;

n(S) – Número de elementos do espaço amostral.

s

CV 100%

X

      

X

n(A) P(A)

n(S)

29

4.2.3.2- Variáveis Aleatórias

Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Matematicamente, variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos.

4.2.4- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

A distribuição de probabilidade representa a probabilidade que cada valor de uma variável aleatória possa assumir. Uma variável aleatória só poderá assumir um valor numérico com uma probabilidade associada ou uma probabilidade assumida.

As distribuições podem ser discretas ou contínuas. As distribuições discretas são situações em que o espaço amostral contém um número finito ou infinito de pontos, porém contáveis. Neste caso, uma variável x é denominada de variável aleatória discreta. Já quando o espaço amostral possui um número infinito de pontos, o mesmo será representado por distribuições contínuas de probabilidade. São estas as distribuições mais aplicáveis aos problemas geotécnicos, em que podem ser citadas as distribuições normal, log-normal, exponencial, beta e triangular. Nos problemas geotécnicos, as distribuições mais utilizadas são a normal e a log-normal, as quais serão citadas abaixo.

4.2.4.1- Distribuições de Probabilidade Contínuas

4.2.4.1.1- Distribuição Normal

30

(4.7)

Onde:

 Desvio padrão;

x- Variável aleatória associada: ;

 Média da distribuição.

Na Figura 4.2, pode-se observar as principais propriedades desta função. As medidas de tendência central (média, mediana e moda) são idênticas. A função apresenta-se simétrica e tem a forma de um sino. A dispersão média é igual a 1,33 desvio padrão.

Figura 4.2: Função de probabilidade normal.

4.2.4.1.2- Distribuição Log-Normal

A distribuição log-normal é uma função cujo logaritmo tem a distribuição normal com parâmetros  e . Assim, a função de distribuição de probabilidade para é dada por:

 

f x e

2 _     _{ }            x     0,00 0,10 0,20 0,30

0 2 4 6 8 10 12

x f(x)

31

(4.8)

onde:

- Desvio padrão, restrito a ; x - Variável aleatória, restrita a ;

 - Média.

Esta distribuição é utilizada em situações onde a variável de interesse apresenta assimetria à esquerda ou para variáveis que fisicamente não possuem valores inferiores a zero. Assis (2003) cita o exemplo da distribuição de probabilidade dos fatores de segurança (FS) em um projeto de estabilidade de talude em solo, em que é possível a obtenção de fatores de segurança muito próximos de zero, devido à grande variabilidade dos principais parâmetros do solo (c e ), porém jamais abaixo deste (valores negativos).

Alguns parâmetros do solo tendem a ter distribuições normais, outros log-normais, porém alguns têm distribuições que se aproximam tanto da normal como da log-normal. Dentre estes, podem ser citados o ângulo de atrito, a densidade (seca e úmida), índices de vazios, teor de umidade, grau de saturação, dentre outros. A Figura 4.3 apresenta as principais propriedades desta função.

Figura 4.3: Função de probabilidade log-normalcom diferentes parâmetros e 

 

1 _{ln x} 2

1

f x e

x 2  _ _     0  

x 0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80

0 1 2 3 4 5

x f(x)

32

4.3- TIPOS DE INCERTEZA

Conforme Farrokh Nadim apud Griffiths, 2007, as incertezas existentes podem ser divididas em incertezas aleatórias e incertezas sistêmicas, sem levar em consideração os erros humanos, que seria uma terceira categoria.

A incerteza aleatória pode ser exemplificada pela variação espacial de um parâmetro de um solo dentro de uma mesma camada geológica, ou seja, devido à heterogeneidade natural das camadas. Esta incerteza não pode ser reduzida e nem eliminada.

A incerteza sistêmica representa a falta de conhecimento de uma variável, que é decorrente de duas outras incertezas:

- Incerteza de medição, devido a, por exemplo, imperfeições de um instrumento, e falta de qualificação da equipe;

- Incerteza estatística, devido a um número insuficiente de ensaios ou medições;

As incertezas sistêmicas podem ser reduzidas e até eliminadas, através de um maior número de informações, melhores técnicas de medição, bem como qualificação das equipes, melhor aferição dos equipamentos, dentre outros.

33

Tabela 4.2: Valores típicos do coeficiente de variação dos principais parâmetros geotécnicos (Assis et al., 2012)

4.4- MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

A análise probabilística é um complemento do fator de segurança determinístico quantificando algumas incertezas inerentes a este fator, através do índice de

confiabilidade (β), que exprime o quanto este fator é confiável, e da probabilidade de

falha ou ruptura (PF). Para isto, foram desenvolvidos alguns métodos probabilísticos,

onde se determinam estes valores de β e PF, dentre os quais podem ser citados o Método de Monte Carlo, Método FOSM e Método Rosenblueth ou Estimativas Pontuais, considerados os mais usuais e que serão apresentados a seguir. Estes métodos também revelam quais os parâmetros que mais contribuem para a incerteza.

4.4.1- MÉTODO DE MONTE CARLO

A simulação de Monte Carlo se caracteriza pela geração de uma sequência de números aleatórios uniformes de acordo com a função de densidade de probabilidade da variável. O objetivo da técnica é a aproximação da função de probabilidade para uma ou mais variáveis aleatórias.

Para Farrokh Nadim apud Griffiths, 2007, é uma técnica poderosa que é aplicável tanto para problemas lineares quanto para não lineares, porém exige um grande número de simulações para proporcionar uma distribuição confiável. Quando a probabilidade de

Parâmetro Coeficiente de Variação

Peso específico 03 (02 a 08)

Coesão 40 (20 a 80)

Ângulo efetivo de resistência 10 (04 a 20)

Coesão não-drenada 30 (20 a 50)

34

falha é muito pequena, o número de simulações para obtenção de um resultado preciso é muito grande, tornando a aplicação impraticável.

De acordo com Usace (1999), as vantagens do uso do método de Monte Carlo são: - A estimativa da função de distribuição, permitindo uma estimativa dos valores de probabilidade mais precisa;

- É possível programar a simulação do software com o Excel para o cálculo do Risco. No entanto, este mesmo autor cita as desvantagens:

- É necessário conhecer a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias;

- A precisão dos valores estimados é proporcional à raiz quadrada do número de iterações, logo se a precisão for dobrada, o número de iterações será o quádruplo.

Porém, devido às inovações tecnológicas, e com isso, aumento da capacidade computacional, este método tende a ser cada vez mais utilizado.

Com o método de Monte Carlo, a partir das distribuições estatísticas das variáveis independentes, valores dessas variáveis são obtidos através de um gerador de números aleatórios, e os valores da variável dependente podem ser calculados. A partir de N repetições deste processo, a distribuição de probabilidade da variável dependente é obtida (Figura 4.4). Caso esta distribuição se estabilize, o método de Monte Carlo é considerado um método exato.

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Figura 4.4: Procedimento para obtenção de números aleatórios através de distribuição normal.

O número x é definido como o número de sucesso das N tentativas (se a simulação de Monte Carlo for correta), tendo uma distribuição normal. O símbolo representa o número das N tentativas, de forma que a probabilidade de ter valores menores não serão

maiores do que . Consequentemente tem-se que:

_(4.9) Após alguns algebrismos tem-se:

(4.10)

Onde:

_{– Os valores estão apresentados na Tabela 4.3.} / N) 0 x f(x) 0 1,0 x F (r ) = P [x  0,2 0,4 0.6 0,8 1 2 3

x = r

(a) (b)

x

~ /  2

N R(1R)h ~/2 2

2 

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Nesta expressão,  é o máximo erro permitido na estimativa de R. O que se tem é que R(1 – R) é máximo quando R = 1/2. Desde já, de forma conservadora, tem-se com R(1

– R) = 1/4:

(4.11)

Tabela 4.3- Coeficientes de Confiança para a distribuição normal (modificado de Harr, 1987).

Para cada simulação de Monte Carlo e para cada variável se tem N tentativas. Consequentemente para duas variáveis com constante:

(4.12)

O mesmo para m variáveis fornece:

(4.13)

Nível de Confiança (%)

85 1,44 90 1,64 95 1,96 95,45 2,00 98 2,33 99 2,58 99,5 2,81 99,73 3,00 99,9 3,29 99,99 3,89 99,994 4,00 ) ~  N h m       ~_/  2 2 2 4 N h 2       ~_/  2 2 2 4 N h ~/

2

2

2

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4.4.2- MÉTODO FOSM, SÉRIE DE TAYLOR OU ÍNDICE DE CONFIABILIDADE

O método FOSM (First-Order, Second Moment), se baseia no truncamento da função de expansão da Série de Taylor.

Segundo Griffith 2007, este método fornece aproximações analíticas para a média e o desvio padrão de um parâmetro de interesse, como uma função da média e desvio padrão dos vários fatores de entrada, e suas correlações.

O fato de não ser necessário o conhecimento da função de distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias é uma vantagem deste método em relação a outros métodos probabilísticos, além de exibir cálculos matemáticos simplificados. É necessário apenas o conhecimento dos valores dos momentos das distribuições estatísticas das variáveis que formam a função. Porém, os requisitos matemáticos necessários às derivações (embora mais simples que de outros métodos exatos), que geralmente não são elementares, são apresentados como a desvantagem do método.

Considere F(x) uma função de variáveis aleatórias x1, x2,..., xN. Obviamente, para

avaliar a média e o desvio padrão das variáveis aleatórias, a função densidade de probabilidade conjunta de x1, x2,..., xN é necessária. No entanto, em muitas aplicações

práticas, a informação disponível sobre as variáveis aleatórias sobre a sua média e variância é limitada. A média aproximada e a variância da função F(x) podem ser estimadas por uma expansão da função da série de Taylor sobre os valores médios das variáveis aleatórias.

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_(4.14)

Onde:

- É o n-ésimo derivado avaliado para x = . - É o resto, o qual pode ou não ser zero.

A expansão da Série de Taylor de uma função de duas variáveis F(x,y) nos pontos , conservando somente termos de 1a ordem (lineares), produz a Equação 4.15:

(4.15)

Onde todas as derivadas são estimadas para x = e y = .

Tomando e para serem os respectivos valores esperados das variáveis e aplicando o formulário para distribuições bivariadas, tem-se as aproximações:

(4.16)

(4.17)

Onde novamente todas as derivadas são estimadas para os valores esperados das variáveis.

Para N variáveis aleatórias não correlacionadas, F(x1, x2, ..., xN), conservando somente