Um Panorama da Matemática
A seguinte lista só pode ser considerada como uma indicação aproximada das diversas direções que podem tomar as investigações matemáticas, e foi baseada nos livros de Jean Dieudonné “En honor del espíritu humano”, Alianza Universidad e “A panorama of pure mathematics”, Academic Press.
1. Lógica e Teoria dos Conjuntos;
2. Combinatória;
3. Categorias e Functores;
4. Álgebra;
5. Grupos Abstratos;
6. Álgebra Associativa não Comutativa e Álgebra não Associativa;
7. Álgebra Comutativa;
8. Álgebra Homológica;
9. Topologia Geral;
10. Topologia Algébrica e Topologia Diferencial;
11. Análise Clássica;
12. Integração e Cálculo de Probabilidades;
13. Espaços Funcionais e Operadores;
14. Análise Harmônica Comutativa;
15. Equações Diferenciais Ordinárias;
16. Equações Diferenciais Parciais;
17. Geometria Diferencial;
18. Geometria Analítica;
1. Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos
Se bem que Leibniz possa aparecer muitas vezes como precursor, através de escritos inéditos durante muito tempo, estes temas ganharam importância somente em meados do século XIX.
Por um longo tempo, “objetos matemáticos” foram considerados como “idealizações” de objetos da experiência sensorial. Com a introdução, no século XIX, de conceitos matemáticos um tanto mais abstratos, em particular de elementos da teoria dos conjuntos, houve uma ruptura entre os objetos matemáticos e objetos da experiência sensorial, especialmente depois do aparecimento dos paradoxos na teoria dos conjuntos.
Alguns matemáticos, como os intuicionistas, impuseram restrições sobre os tipos de objetos matemáticos que poderiam ser legitimados e sobre argumentos lógicos que poderiam agir sobre eles. No entanto, a grande maioria dos matemáticos contemporâneos tem preferido seguir um outro caminho. Estes mantém a lógica clássica intacta, mas não buscam qualquer associação rígida entre os objetos matemáticos e os objetos da realidade física.
A teoria dos conjuntos ganhou papel de destaque na Matemática, uma vez que qualquer outra teoria pode, num certo sentido, ser reduzida a ela. Seu estudo sistemático começou com Cantor e ganhou corpo no século XX.
2. Combinatória
Inicialmente, pode-se dizer que o que se designa com este nome é uma parte da teoria dos conjuntos (a teoria dos conjuntos finitos) e os problemas do cálculo do número de elementos destes tipos de conjuntos construídos segundo vários procedimentos.
Alguns destes problemas são muito antigos: por exemplo, o cálculo do número de pares de elementos de um conjunto com n elementos é igual a
2 ) 1 (n− n
. Um outro exemplo é o cálculo do número n! das permutações de um conjunto de n elementos.
Os métodos da combinatória foram desprezados por muitos matemáticos durante muito tempo, os quais os classificavam como “entretenimentos matemáticos”. No entanto, há algumas décadas a situação se alterou; descobriu-se que alguns métodos combinatórios podiam ter aplicações importantes em ramos muito “respeitáveis” da Matemática, como a teoria de grupos, a teoria das álgebras de Lie, a geometria algébrica e a topologia algébrica.
Tem-se utilizado a combinatória com êxito em diversas aplicações da matemática como, por exemplo, a informática.
3. Categorias e Functores
Trata-se de uma das partes mais recentes da Matemática, nascida em 1943 a partir das reflexões de Eilenberg e MacLane no campo da topologia algébrica. Não é possível falar aqui do que vem a ser uma abstração de “segundo grau”, na qual desaparecem os conjuntos dotados de estruturas assim como as aplicações entre estes conjuntos.
Esta teoria, que em princípio foi muito utilizada pela topologia algébrica, resultou depois fundamental para a geometria algébrica, se estendeu a muitas outras partes da Matemática e terminou por ser objeto de desenvolvimento autônomo.
4. Álgebra
As noções gerais sobre as estruturas algébricas básicas, tais como grupos, anéis, corpos e módulos, formam parte do ensino atual de álgebra nos primeiros anos da universidade.
A maioria das pesquisas recentes no campo da álgebra concentram-se em estruturas algébricas mais particulares, inicialmente consideradas como simples exemplos pouco desenvolvidos, mas que com o passar do tempo os métodos e resultados têm crescido tanto que o estudo de cada uma delas tem se convertido em uma teoria, de modo que hoje as consideramos separadamente. São as que aparecem a seguir, do número 5 ao número 8.
No campo geral da álgebra, podemos considerar as pesquisas sobre o que se denomina álgebra geral, em que as leis de composição não estão sujeitas a exigências tão restritivas como as que definem as estruturas de grupo e anéis.
Por outro lado a álgebra clássica, ou seja, os estudos dos sistemas de equações algébricas, agora faz parte do que chamamos álgebra comutativa (veja número 7).
5. Grupos Abstratos
Trata-se de uma série de teorias que, desde o Tratado de Jordan de 1870, têm adquirido seus próprios métodos, seus próprios problemas e que hoje em dia tornou-se muito grande.
Sem dúvida alguma é a área que tem maiores utilizações em todos os campos da Matemática, até o ponto em que se diz que, quando não se compreende bem as propriedades de novos objetos matemáticos, tem-se que procurar uma estrutura de grupo para eles.
Os campos matemáticos mais próximos da teoria de grupos abstratos são os grupos de Lie, a geometria algébrica, a topologia algébrica, a topologia diferencial e a teoria dos números. Através destes campos a teoria de grupos penetra em muitos outros campos da Matemática e da Física.
6. Álgebra Associativa não Comutativa e
Álgebra não Associativa
São teorias que se remetem a meados do século XIX e cujos objetos de estudo são os anéis associativos não comutativos, como os corpos de quatérnios, ou os anéis não associativos, nos quais a multiplicação não é associativa, mas é distributiva com respeito à adição.
O grande objetivo destas teorias são as classificações de estruturas, quase sempre impondo condições mais restritivas.
Estas teorias aparecem com freqüência nos grupos abstratos, na teoria dos grupos de Lie, em topologia algébrica e na análise funcional.
7. Álgebra Comutativa
Compreende os estudos dos anéis e corpos comutativos, iniciado por volta de 1860, que mais tarde separou-se da álgebra.
Também conta com seus próprios métodos e problemas e mais recentemente aproximou-se muito da geometria algébrica, oferecendo a ela seus instrumentos técnicos e as propriedades dos anéis comutativos e beneficiando-se das construções que se associam de maneira natural aos problemas da geometria algébrica, podendo-se traduzir os problemas da álgebra comutativa em termos geométricos ao que chamamos de esquemas de Grothendieck, última generalização das noções de curva algébrica e de superfície algébrica.
Principais contribuidores: Dedekind, Grothendieck, Hilbert, Hensel, Lasker, Steinitz, Noether, Krull, Zariski, Witt, Nagata, Cohen, Samuel, Serre, Lang.
8. Álgebra Homológica
Trata-se da construção de functores que associam a objetos de todo tipo de categorias outros objetos que são quase sempre grupos comutativos.
É uma teoria que nasceu em 1943, ao mesmo tempo que as Categorias e Functores (veja número 3) e tem estreita ligação com a topologia algébrica.
No entanto, seu campo de aplicação se estendeu progressivamente a quase toda a Matemática. Devido a extrema abstração das noções que aparecem em seu estudo, muito pouco pode ser dito aqui a seu respeito.
9. Topologia Geral
Podemos situar o início deste ramo da Matemática em torno de 1906, com as definições de espaços métricos.
Como em álgebra, os axiomas e as propriedade gerais das estruturas topológicas mais utilizadas (espaços metrizáveis e suas generalizações) são matérias que atualmente são ensinadas nos primeiros anos da universidade. Também neste caso, as grandes teorias da topologia algébrica e da topologia diferencial (veja número 10) e dos espaços funcionais (veja número 13) se separaram rapidamente destas considerações gerais.
Em topologia geral continua a investigação de algumas estruturas topológicas que não são muito utilizadas em outros ramos da Matemática.
10. Topologia Algébrica e Diferencial
Classificar todas as estruturas topológicas para cada isomorfia é uma tarefa gigantesca. No início os matemáticos se concentraram no estudo dos espaços mais próximos de nossa intuição geométrica, como as superfícies e mais tarde as variedades de dimensão finita que são indispensáveis em análise funcional (veja número 13 e 16) e em suas aplicações físicas e mecânicas.
Posteriormente, procurou-se estender essas idéias para outros domínios. Para todos esses casos, pode-se definir functores que associam a um determinado espaço uma estrutura geométrica. A topologia algébrica e a topologia diferencial consistem no estudo desses functores.
A topologia algébrica foi criada em 1900 e tem se desenvolvido de maneira explosiva nos últimos 50 anos. Talvez seja o ramo da Matemática em que apareceram um grande número de idéias totalmente novas, muitas delas repercutindo de maneira imprevista em teorias aparentemente muito distantes.
Podemos dizer que estes ramos formam um edifício muito imponente, em perpétua renovação e de uma complexidade que poucos especialistas podem abraçar por inteiro.
11. Análise Clássica
No primeiro terço do século XIX, através dos trabalhos de Cantor, começou o desenvolvimento do que hoje chamamos de análise clássica. Nesta época a análise começou a tratar de outros objetos que não fossem apenas as funções analíticas e plantava a busca por funções muito mais irregulares.
Além disto começou ainda a tratar de funções com um número qualquer de variáveis.
Mais que qualquer outro ramo da Matemática, a análise clássica ramificou-se em uma quantidade enorme de outras áreas (veja números 12 a 19).
12. Integração e Cálculo de Probabilidades
No século XVII definiu-se o conceito de integral de uma função real de variável real. No século XVIII este conceito foi estendido para a chamada integral múltipla, ou seja, a noção de integral para funções reais de várias variáveis.
De 1895 a 1930, viu-se que se podia estender ainda mais a noção de integral. Atualmente pode-se aplicar a idéia de integral a funções reais muito gerais definidas em um conjunto qualquer, com uma única condição que é a de se poder definir uma medida para partes deste conjunto, ou seja, associar a cada uma dessas partes um número não negativo que generaliza as clássicas noções de comprimento, área e volume.
Esta possibilidade de definir medidas e integrais em contextos muito mais amplos que na análise clássica têm obtido muito sucesso, especialmente em análise funcional e nos grupos de Lie. Além disso, deu um novo impulso ao Cálculo de Probabilidades. Este último, fundado por Pascal e Fermat no século XVII, ficou um tempo muito grande confinado aos jogos de azar.
Em 1930, Kolmogorov demonstrou que se podia fundamentar a teoria das probabilidades com a teoria da medida. Uma vez incorporado à Matemática, o cálculo de probabilidades se converteu em um campo que atualmente está em plena expansão.
13. Espaços Funcionais e Operadores
Desde o século XVII, os problemas de geometria e física davam lugar a
equações funcionais, ou seja, equações em que as incógnitas já não eram números mas sim funções. Mais adiante (veja números 15 e 16) consideraremos os dois tipos mais antigos destas equações, as equações diferenciais ordinárias e as equações diferenciais parciais.
No início do século XX, quando já se conhecia as noções de espaços métricos, os matemáticos entenderam que, assim como uma solução de um sistema de equações algébricas com n incógnitas podia ser considerado com um ponto em , uma função solução de uma equação funcional podia ser vista como um ponto de um espaço métrico. Para isto fazer sentido, seria preciso entender a noção de distância entre duas funções, pois existem várias maneiras de definir esta noção.
n
R
Depois de definir os espaços funcionais, pode-se considerar as
aplicações entre eles, as quais são chamadas de operadores. Esses operadores podem formar estruturas de grupos ou anéis.
Um novo ramo que tem conquistado força atualmente é a Otimização, que é uma forma moderna do cálculo variacional, atuando em espaços funcionais.
14. Análise Harmônica Comutativa
A origem desta teoria se deve à descoberta, realizada pelos pitagóricos, da decomposição do som produzido pela vibração de uma corda em harmônicos de um som fundamental. A teoria matemática deu os seus primeiros passos no século XVIII; consiste na decomposição de uma função periódica numa soma de funções periódicas mais simples, como as funções trigonométricas.
Esta decomposição dá origem, em geral, à uma infinidade de termos, ou dito de outra maneira, a uma série. Seu estudo sistemático começou com Fourier em 1807 e desde então tem atraído a atenção dos analistas.
Muito recentemente, tem-se percebido a estreita relação entre esta teoria e a teoria dos grupos metrizáveis comutativos, através do qual a análise harmônica pôde conquistar um enorme espaço na teoria dos números algébricos (veja numero 21).
15. Equações Diferenciais Ordinárias
A menos de alguns poucos casos, conhecidos desde o século XVIII, não se sabe escrever explicitamente as soluções de uma equação diferencial.
Excetuando uns poucos casos, a teoria geral dos sistemas de equações diferenciais viu-se limitado durante muito tempo ao estudo local das soluções, segundo a natureza da equação, na vizinhança de um ponto.
Poincaré foi, a partir de 1880, o primeiro a obter teoremas gerais sobre o aspecto global das soluções, chamadas trajetórias, quando se associa a variável independente t a um tempo. Esta teoria se chama agora Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias, um ramo dentro dos Sistemas Dinâmicos.
Evidentemente esta teoria tem inúmeras aplicações, principalmente à física. Mais recentemente tem utilizado a teoria da medida nos problemas chamados ergódicos.
16. Equações Diferenciais Parciais
As primeiras equações com derivadas parciais apareceram no século XVIII, associada à problemas da geometria diferencial (veja número 17) e à física, mas a falta de instrumentos matemáticos apropriados fez com que uma teoria mais geral só pudesse ser abordada a partir do século XIX.
Primeiramente se pensou que os métodos empregados no estudo das equações diferenciais ordinárias se generalizavam facilmente ao passar de uma a várias variáveis independentes. No entanto, teve que se reconhecer que as analogias entre estas duas teorias eram muito superficiais.
Os problemas envolvendo equações diferenciais parciais exigiram novos métodos de ataque e seus estudos têm conduzido a resultados surpreendentes, como a existência de equações sem solução, descoberta em 1956.
A partir de 1950, as novas noções procedentes da análise funcional deram um extraordinário avanço neste campo da Matemática, hoje em plena expansão.
17. Geometria Diferencial
A partir do século XVII, os matemáticos aplicaram o cálculo diferencial ao estudo de algumas propriedades locais das curvas planas, como a determinação da reta tangente num ponto, os pontos de inflexão, a definição de curvatura etc.
No século XVIII, estes resultados se estenderam às curvas regulares e às superfícies. Depois, no século XIX, Riemann teve a ousadia de conceber as variedades de dimensão qualquer e definir sobre elas noções diferenciais que generalizavam as noções até então conhecidas.
Os seguidores de Riemann desenvolveram consideravelmente suas idéias e abordaram problemas globais, numa relação cada vez mais estreita com a topologia algébrica. Esses trabalhos com aparências muito distantes das ciências naturais, têm encontrado exatamente nelas uma aplicação totalmente imprevista com a aparição da teoria da relatividade geral e as teorias cosmológicas, onde a concepção de espaços de quatro dimensões ou mais se torna fundamental.
18. Geometria Analítica
Quando, nos últimos anos do século XIX, os matemáticos quiseram transportar para as funções analíticas de várias variáveis complexas os profundos resultados obtidos por Cauchy, Riemann e Weierstrass para as funções de uma variável complexa, tiveram que defrontar com algumas dificuldades inesperadas. Tais dificuldades só foram superadas na metade do século XX, em parte graças ao uso de novas técnicas da topologia algébrica. A partir deste momento esta teoria passou a ter um caráter mais geométrico.
Um dos estudos nesta área refere-se às variedades algébricas e às variedades analíticas, como o seguinte exemplo: uma equação de duas variáveis complexas, na qual F não é um polinômio mas sim uma função analítica, define uma curva analítica em C .
0 ) , (x y = F
C ×
Assim, na atualidade, a teoria das funções de várias variáveis complexas se chama geometria analítica, em contraste com a velha geometria analítica na qual estudava-se a aplicação do método de coordenadas à geometria euclidiana.
19. Grupos de Lie
Os grupos metrizáveis introduzidos por Lie com o nome de grupos contínuos ocuparam durante muito tempo uma posição marginal no conjunto das teorias matemáticas. Mas, graças aos trabalhos de Cartan e Weyl, entre 1910 e 1930, os matemáticos tomaram consciência de sua importância para a geometria diferencial.
Mais tarde, seu campo de aplicação se ampliou de maneira progressiva, até ao ponto de chegar a abarcar toda a Matemática atual, desde a teoria dos grupos abstratos e a teoria dos números até os modelos matemáticos da física de partículas elementares.
Nesta área, a teoria das funções automorfas, proposta por Poincaré, ocupa uma posição central.
20. Geometria Algébrica
Os gregos estudaram algumas curvas e superfícies algébricas. Mas o estudo geral destes objetos não pode ser feito até a invenção, por Descartes e Fermat, do método das coordenadas. A partir do século XIX, com a introdução das coordenadas a valores complexos e noções projetivas, foi dado um novo impulso a algumas concepções menos dependentes do uso de coordenadas, fazendo com que esta teoria se popularizasse no ambiente matemático.
Ao mesmo tempo, Riemann, com seus profundos resultados sobre as funções algébricas, estabeleceu vínculos entre a geometria algébrica, a teoria das funções analíticas de variáveis complexas e a topologia. Estes vínculos estão mais fecundos que nunca, pois a partir de 1930, tem-se podido substituir quase por completo as demonstrações que utilizam a análise por outras nas quais só aparecem a álgebra comutativa, a qual provocou uma grande ampliação da teoria.
21. Teoria dos Números
Sem dúvida é a teoria mais antiga e, para muitos matemáticos, segue sendo a rainha daMatemática, segundo a própria expressão de Gauss.
Seus problemas têm fascinado sempre os investigadores, pela aparente simplicidade da maioria dos enunciados e pelas enormes dificuldades para resolvê-los.
Esta teoria tem utilizado com êxito a álgebra, a análise e agora a topologia. Embora seja para muitos a disciplina matemática mais pura, recentemente passou a ter várias aplicações.
