ESZS011 17 Teroria da Elasticidade aula 07

(1)

!"#$

% & '( '

#)# *+*, $ (

- $ . , / 0

(2)

1 2- ) 3

4

2-1 2- 5 0 . ( 6

( 0 2- 7. 89 t

(3)

1 2- ) 3 xy xz xy xz 0 0 0 0 0

τ

ττττ

                                       

2-- 6

σ

_x ====

σ

_y ====

σ

_z ==== 0 , :

x

u

0 x

εεεε

==== ∂∂∂∂ ====

∂∂∂∂ y

v

0 y

εεεε

==== ∂∂∂∂ ====

∂∂∂∂ z

w

0 z

εεεε

==== ∂∂∂∂ ==== ∂∂∂∂

- , 3 ( ; ( - 3 ( <, 3 ( % (

(4)

1 2- ) 3

(((( ))))

u ==== u y , z v ==== v x , z

(((( ))))

w ==== v x , y

((((

))))

, ( . 2- ( :

(((( ))))

xy

u y , z v x , z

y x

γγγγ

==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

(((( ))))

((((

))))

xz

u y , z w x , y

z x

γγγγ

==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂ ∂

(((( ))))

((((

))))

yz

v x , z w x , y

0

z y

γγγγ

==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ====

∂ ∂

*

=

+

(5)

1 2- ) 3

(((( ))))

((((

))))

v x , z w x , y

0

z y

∂ ∂

+ =

∂ ∂

; 2- 7 9, ( ( ; :

(((( ))))

_{(((( ))))}

v x , z

x

z

θθθθ

∂∂∂∂

==== ∂∂∂∂

((((

))))

_{(((( ))))}

w x , y

x

y

θθθθ

∂∂∂∂

= − = −= − = − ∂∂∂∂

?

(6)

1 2- ) 3

# ; 2- 7=9 7+9 7 3 ; 26

2 ( A , . B3 . ;

-3 ( <, / - 3 ( <9 -

2-8

(((( ))))

_{(((( ))))}

v x , z

z x

ϕϕϕϕ

∂∂∂∂

==== ∂∂∂∂

xy

ττττ

xz xy

γγγγ

_γγγγ

_xz

, ( ( 7=9 ; :

, ( ( 7+9 ; :

((((

))))

_{(((( ))))}

w x , y

y

x

ϕϕϕϕ

∂∂∂∂

(7)

1 2- ) 3

4 7 9, :

(((( ))))

v x , z ====

ϕϕϕϕ

z x ++++ f z

4 7?9, :

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

v x , z ====

θθθθ

x z ++++ g x _*

3 7 9 7 *9 2- <, :

(((( ))))

_{(((( ))))}

(((( ))))

v x , z d x dg x

z z

x dx dx

θθθθ

ϕϕϕϕ

∂∂∂∂

= = +

∂∂∂∂ =

C 3 ( . B

(8)

1 2- ) 3

3 7 9 7 *9 2- 8, :

(((( ))))

_{(((( ))))}

(((( ))))

v x , z d z df z

x x

z dz dz

ϕϕϕϕ

θθθθ

∂∂∂∂

= = +

∂∂∂∂ +

C 3 ( . B

#

# :

(((( ))))

v x , z ==== Bzx

(((( ))))

v x , z ==== Azx A ==== B

(((( ))))

(9)

1 2- ) 3

; 26 7@ 9, . ( .

( %, ( 3 :

((((

))))

w x , y ==== Cxy

(((( ))))

((((

))))

v x , z w x , y

0

z y

∂ ∂

+ =

++ ==

+ =

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

) ' ; ; 2- 7 9 :

7 >9 7 9, ( ( :

(10)

1 2- ) 3

# , ( ( ( . ( :

(((( ))))

v x , z ==== Azx

((((

))))

w x , y = −= −= −= −Axy

@

(((( ))))

u y , z ==== D

(((( ))))

((((

))))

xz

u y , z w x , y f y , z

z x

γγγγ

==== ==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

(11)

1 2- ) 3

; 26 7 @9, 7 9 7 9, ( 3 :

(((( ))))

u y , z

(((( ))))

f y , z Ay

z

∂∂∂∂

= −

∂∂∂∂

(((( ))))

u y , z

(((( ))))

f y , z Ay

z

∂∂∂∂

+ =

++ ==

+ =

∂∂∂∂

(((( ))))

u y , z f y , z

A y

z A

 

 

 

∂∂∂∂

= +

=  + 

∂∂∂∂ ____ ____

(((( ))))

(12)

1 2- ) 3

(((( ))))

₍₍₍₍

_{(((( ))))}

₎₎₎₎

u y , z

A f y , z y

z

∂∂∂∂ _′′′′

= +

∂∂∂∂

3 , ( , 7 9 8 .

7 ,89

(((( ))))

u y , z = −= −= −= −A

ψ

ψψ

ψ

y , z *

(((( ))))

y , z

ψ

ψψ

ψ

−−−− E 3

(13)

1 2- ) 3

(((( ))))

v x , z ==== Azx = −= −= −= −

θθθθ

xz

((((

))))

w x , y = −= −= −= −Axy ====

θθθθ

xy

(((( ))))

u y , z = −= −= −= −A

ψ

y , z ====

θψ

y , z

=

+

>

(14)

(((( ))))

xy

u y , z v x , z y , z

z

y x y

ψ

ψψ

ψ

γ

θ

γ

θ

γ

θ

γ

==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ====

θ

∂∂∂∂ −−−−

θ

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂

(((( ))))

((((

))))

(((( ))))

xz

u y , z w x , y y , z

y

z x z

ψ

ψψ

ψ

γ

θ

γ

θ

γ

==== ∂∂∂∂ ++++ ∂∂∂∂ ====

θ

∂∂∂∂ ++++

θ

∂ ∂ ∂

1 2- ) 3

* 1

-(((( ))))

xy xy

y , z

G G z

y

ψ

ψψ

ψ

τ

γ

θ

τ

γ

θ

τ

γ

θ

τ

====

γ

====

θ

 ∂∂∂∂ −−−− 

(15)

1 2- ) 3

(((( ))))

xz xz

y , z

G G y

z

ψ

ψψ

ψ

τ

γ

θ

τ

γ

θ

τ

γ

θ

τ

====

γ

====

θ

 ∂∂∂∂ ++++ 

∂∂∂∂

 

  *

= ; 2- ; B'

xy _xz

x

0

x y z

ττττ

_ττττ

σσσσ

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌

∂ ∂ ∂

" 2 3 F

2 2

G G 0

y z

ψ

θ

 ∂∂∂∂  ++++

θ

 ∂∂∂∂  ====

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂                 2 2

2 2 0

y z

ψ

             _∂_∂_∂_∂   _∂_∂_∂_∂  + = + = + = + =                 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂                 2 0

ψ

ψψ

ψ

∇ = ∇∇ == ∇ = *

(16)

-1 2- ) 3

y z

p

αααα ββββ

r

v w

d

d ==== r

αααα

= += += += +v w

(((( ))))

w d cos

v dsen

ββββ

==== = − = − = − = −

*

**

(((( ))))

y cos

r z sen

r

ββββ

====

==== *=

(17)

1 2- ) 3

7* 9 7*=9 7**9

y

w r y Axy

r z

v r z Axz

r

α

= = = −

= − = − =

*+

Ax x

α

α θ

α

α θ

α

α θ

(18)

> 26

(19)

1 2- ) 3

x y

z

x 0

ρρρρ ==== T

# ' - 0G 2

. (

x xl yxm xzn 0

ρ σ τ τ

ρρ σσ ττ ττ

ρ ====σ ++++τ ++++τ ====

x yxm xzn 0

ρ τ τ

ρ ====τ ++++τ ====

y

z

n

1

αααα

2 αααα

ds

dz

dy

ββββ

1

2

m cos

n cos

αααα αααα

==== ====

*?

(20)

1 2- ) 3 xy xz dz dy 0 ds ds τ τ τ τ τ τ

τ −−−−τ ==== =

7 @9 7* 9 7= 9

(((( ))))

y , z _dz

(((( ))))

y , z _dy

G z G y 0

y ds z ds

ψ

θ

 ∂∂∂∂ −−−−  −−−−

θ

 ∂∂∂∂ ++++  ====

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂                 =

(((( ))))

y , z _dz

(((( ))))

y , z _dy

z y 0

y ds z ds

ψ

(21)

1 2- ) 3

(22)

1 2- ) 3

((((

))))

t _S xz xy

M ====

∫∫∫∫

τ

y −−−−

τ

z dS =*

7 @9 7* 9 7=*9

(((( ))))

t _S

y , z y , z

M G y y G z z dS

z y ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ θ θ θ θ θ θ θ θ       ____ ____ _∂_∂_∂_∂ ________ ____ ____ _∂_∂_∂_∂ ________          = + − − = + − − = + − − = ____ ____ + ________ − ____ ____ − ________        ____ _∂_∂_∂_∂ ____ ____ _∂_∂_∂_∂ ____                         

∫∫∫∫

(((( ))))

2

(((( ))))

2

t _S

y , z y , z

M G y y z z dS

z y

ψ ψ

θθθθ  ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ 

(23)

1 2- ) 3

(((( ))))

2 2

t _S

y , z y , z

J y z y z dS

z y

ψ ψ

 

 _∂_∂_∂_∂ _∂_∂_∂_∂ 

= − + +

=  − + + 

∂ ∂

 

∫∫∫∫

=+

t

t M GJ

θθθθ ==== =>

t

J A ( A ( H

2-# A ; 2- ; B' 7=*9 3 'A

, / , 2 ( , 3 :

y xy

S

Q ====

∫∫∫∫

ττττ dS ==== 0 = z xz

S

(24)

1 2- ) 3

; 26 7 @9 7* 9, ; 26 7= 9 7=?9 I

. 2- :

(((( ))))

y

S

y , z

Q z dS 0

y

ψ ψψ ψ

 

 

 _∂∂∂∂ 

= − =

== −− ==

=  −  =

∂∂∂∂

 

 

 

∫∫∫∫

(((( ))))

z

S

y , z

Q y dS 0

z

ψ ψψ ψ

 

 _∂∂∂∂ 

= + =

=  +  =

∂∂∂∂

 

∫∫∫∫

=@

(25)

1 2- ) 3

? " 2- 1 - 1

2-# < . . ( 2- ( 2 ( ( 2- #4JK, ;

'A A . B3 2 - B( B ( . (

2- . ' , 2- φφφφ (((( ))))y , z ; :

xy

z

φφφφ ττττ = −= −= −= − ∂∂∂∂

∂∂∂∂

xz

y

φφφφ ττττ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

+

5 ( , , ; ; 2- ; B'

xy _xz

0

y z

ττττ

_ττττ

∂∂∂∂ _∂∂∂∂

+ =

∂ ∂

(26)

1 2- ) 3

( ( , . ; ( ' 2- 3

, / :

2 xy

y z y

ττττ

_φφφφ

∂∂∂∂ _∂∂∂∂ = − = −= − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 xz

z y z

ττττ

φφφφ

∂∂∂∂ _∂∂∂∂ ==== ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +* +=

, 3 7 @9, 7* 9, 7+ 9 7+ 9 :

(((( ))))

2 2

xy

2

y , z

G 1

z z z y

ττττ

_φφφφ

ψ

ψψ

ψ

θθθθ

 

∂∂∂∂ _∂∂∂∂ ∂∂∂∂ = − = − = −= − == −− = − = ____ − ____ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ____ ∂ ∂ ____ ++

(((( ))))

2 2 xz 2

y , z

G 1

y y z y

ψ

ψψ

ψ

ττττ

φφφφ

_θθθθ

 _∂∂∂∂ 

∂∂∂∂ ₌₌₌₌ ∂∂∂∂ ₌₌₌₌ ₊₊₊₊     _ _     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(27)

1 2- ) 3

7++9 7+>9:

2 2

2 2 2G

z y

φ

_θθθθ

∂ ∂

∂ ₊₊₊₊ ∂ ₌₌₌₌

∂ ∂

∂ ∂ +

) 3 7+ 9 7+ 9 7= 9:

z y

0

z s y s

φ

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ₊ ∂ ∂ ₌

+ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ +?

0 s

φφφφ

∂∂∂∂ ====

(28)

L / , ( 2- ( , 2- , <.

( ( 1 3 ; 8

/ . 3 2- , A '

3 ( . 2- M ; . . ( .

A ( . '

1 2- ) 3

φφφφ

# ( 26 <. 7= 9 7=?9 ( 'A ' ( , . , .

< . :

2 2

1 1

z y

z xz _z _y

S S

Q dS dS dy dz

y y

φ φ

ττττ ∂∂∂∂  ∂∂∂∂ 

= = =

= = = ____ ____

∂ ∂

∂  ∂ 

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

(((( )))) (((( ))))

2

1

y

2 1

y _y dy y y 0

φφφφ _φ_φ_φ_φ _φ_φ_φ_φ

∂∂∂∂ ₌₌₌₌ ₋₋₋₋ ₌₌₌₌

∂∂∂∂

∫∫∫∫

. , ( ,

φφφφ

, ( /G ( , A ( :

>

y

(29)

1 2- ) 3

8 , 3 , , 7+ 9 7+ 9 7=*9, :

t _S

M y z dS

y z

φ

       _∂_∂_∂_∂ _∂_∂_∂_∂  = − = − = − =  −  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        

∫∫∫∫

> 2 2 1 1 z y

S _y y dS z y _y ydy dz

φ

         _∂_∂_∂_∂   _∂_∂_∂_∂  ====         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂            

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

>

4 . . 7> 9, :

2 ₂ 2

1

1 1

y _y y

y

y _y ydy y y dy

φφφφ

_φ

∂∂∂∂ ₌₌₌₌ ₋₋₋₋ ∂∂∂∂

∫

(30)

1 2- ) 3

:

2 1

y y

y 0

φφφφ

====

(

φφφφ

==== ₀ ( ; :

S S

ydS dS

y

φφφφ

_φφφφ

∂∂∂∂ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} ∂∂∂∂

∫

>=

>+

, 'A :

S S

zdS dS

z

φφφφ

_φφφφ

∂∂∂∂ _{= −}_{= −}_{= −}_{= −} ∂∂∂∂

∫

(31)

1 2- ) 3

, , :

t _S

M = −= −= −= −2

∫∫∫∫

φφφφ

dS

E 3 2- . ' 2- ' 2- (

; ; ( . ( 2- ; 2- ( 7+ 9, ( /

( 2- ( <. . 2- (

(32)

1 2- ) 3

@ # C '

L . ' 2- A, . 3 . G ( ,

. ' ; B' ' / H . - M .

8- < . '

d d

pdzdy 2sdysen 2sdzsen

2 2

θ

′′′′

= +

= + >?

h z

θθθθ

≈≈≈≈ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

h y

θθθθ

′′′′ ≈≈≈≈ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

2

d d 1 h

sen dz

2 2 2 z

θ

₌₌₌₌

θ

_{≈ −}_{≈ −}_{≈ −}_{≈ −} ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

2

d d 1 h

sen dy

2 2 2 y

θ

′′′′

θ

′′′′ _∂∂∂∂

= ≈ −

== ≈ −≈ −

= ≈ −

∂∂∂∂

(33)

(34)

1 2- ) 3

2 2

h h p

y z s

∂ ∂

∂ ₊ ∂ _{= −}

++ = −= −

+ = −

∂ ∂

2 2

2 2 2G

z y

φ

_θθθθ

∂ ∂

∂ ₊₊₊₊ ∂ ₌₌₌₌

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

. ( 7+ 9

h = −= −= −= −K

φφφφ

p K

2G s

θθθθ

(35)

1 2- ) 3

t

S

2

M 2 dS hdS

K

φφφφ

= − =

= −

_∫

=

_∫

t

2V M

K

==== *

p K

2G s

θθθθ

==== =

t

t p t p

s s

M

4V 4V

M G J

G

θθθθ

= = = =

(36)

1 2- ) 3

xy cos xzsen

τ τ

α τ

α

τ τ

α τ

α

τ τ

α τ

α

τ τ

====

α τ

++++

α

_>

cos sen

z y

φ

τ

α

τ

α

τ

= −= −= −= − ∂∂∂∂

α

++++ ∂∂∂∂

α

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

z cos

z

αααα

==== ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

y sen

z

αααα

= −= −= −= − ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

?

(37)

1 2- ) 3

z y

z z y z z

φ

ττττ

= −= −= −= − ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ −−−− ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = −= −= −= − ∂∂∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ?

1 h 1

K z K

τ

β

τ

β

τ

==== ∂∂∂∂ ====

β

∂∂∂∂ ?

t

M 1

2G

p _2V

s

ββββ

τ

θ

β

τ

θ

β

τ

θ

β

τ

====

θ

β

==== ?

t

max

2V W