2ª Lista de exercícios

COV250 – Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas Oceânicas I 2ª Lista de Exercícios

1. Para o escoamento a 20 m/s sobre uma placa plana fina, determine as distâncias

x do bordo de ataque nas quais a espessura da camada limite será 1 mm e 10 cm

para (a) ar e (b) água a 20ºC e 1 atm.

2. A uma altitude padrão de 4.000 m, escoa ar a 724 km/h em torno de uma asa que tem 18 cm de espessura, 1,5 m de comprimento da corda e 12 m de envergadura. Qual é a fórmula adequada e o valor do número de Reynolds para correlacionar a sustentação e o arrasto dessa asa? Explique sua escolha.

3. A equação abaixo admite que a camada-limite sobre a placa é turbulenta do bordo de ataque para frente. Imagine um esquema para determinar a espessura da camada-limite com mais precisão quando o escoamento for laminar até um ponto de Rex,crit e turbulento depois disso. Aplique seu esquema para calcular a

espessura da camada-limite em x=1,5 m em um escoamento a 40 m/s de ar a

20ºC e 1 atm sobre uma placa plana. Compare seu resultado com a equação abaixo. Admita Rex,crit≈1,2x10+6.

7 / 1 Re 16 , 0 x x ≈ δ

4. Ar a 20ºC e 1 atm escoa a 15 m/s sobre uma placa plana com Rex,crit≈1,0x10+6.

Em qual ponto x a espessura da camada-limite será 8 mm? Por que as equações

abaixo parecem não se aplicar? Faça um esboço ilustrando a discrepância; em seguida utilize as idéias do problema 3 para completar este problema corretamente. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = turbulento Re 16 , 0 laminar Re 0 , 5 7 / 1 2 / 1 x x x δ

5. Óleo SAE 30 a 20ºC e 1 atm escoa a 51 l/s de um reservatório para o interior de um tubo de 150 mm de diâmetro. Aplique a teoria da placa plana para determinar a posição x onde as camadas-limite na parede do tubo encontram-se

6. Ar a 20ºC e 1 atm entra em um duto quadrado de 40 cm, como na figura abaixo. Aplicando o conceito de espessura de deslocamento, determine (a) a velocidade média e (b) a pressão média no núcleo do escoamento na posição x=3 m. (c) Qual o gradiente médio, em Pa/m, nessa seção?

7. Ar, ρ=1,2 kg/m3 e μ=1,8x10-5 kg/(m⋅s), escoa a 10 m/s sobre uma placa plana. No bordo de fuga da placa, foram medidos os dados do perfil de velocidade mostrados na tabela abaixo. Se a superfície superior tem uma área de 0,6 m2_, determine, aplicando os conceitos de quantidade de movimento, o arrasto de atrito, em N, sobre a superfície superior.

8. Repita a análise de quantidade de movimento sobre placa plana visto em sala de aula substituindo o perfil parabólico pelo perfil senoidal mais exato dado abaixo. Utilize a quantidade de movimento integral para determinar cf, θ/x, δ*/x e H.

δ π

2 sin y

U u ₌

9. Repita o problema 8 usando o perfil polinomial sugerido por K. Pohlhausen em 1921, mostrado abaixo. Esse perfil satisfaz as condições de contorno para o escoamento laminar sobre placa plana?

4 3

2

2 ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈

δ δ

δ

y y

y U

u

10.Determine a forma correta para um perfil de velocidade polinomial cúbico, mostrado abaixo, para substituir o perfil parabólico, discutido em sala de aula, em uma análise de quantidade de movimento sobre placa plana. Determine o valor de θ/δ para esse perfil, mas não prossiga em análises adicionais.

3 2

Dy Cy By A

11.Mostre que o padrão de escoamento laminar bidimensional com:

(

)

0 1 0

0 0

< =

− =

=

v v

e U u

dx dp

Cy

é uma solução exata para as equações de camada-limite. Determine o valor da constante C em termos dos parâmetros do escoamento. As condições de

contorno são satisfeitas? O que esse escoamento pode representar?

12.Uma placa plana fina de 55 por 110 cm está imersa em um fluxo de 6 m/s de óleo SAE 10 a 20ºC. Calcule o arrasto total de atrito sabendo que o fluxo é paralelo ao (a) lado maior e (b) lado menor.

13.Hélio a 20ºC e a baixa pressão escoa sobre uma placa plana fina de 1 m de comprimento e 2 m de largura. Deseja-se que o arrasto total de atrito da placa seja de 0,5 N. Qual é a pressão absoluta apropriada do hélio se U=35 m/s?

14.Ar a 20ºC e 1 atm escoa a 20 m/s em torno da placa na figura abaixo. Um tubo de Pitot, colocado a 2 mm da parede, apresenta uma leitura manométrica h=16

mm de óleo vermelho Meridiam, d=0,827. Use essa informação para determinar

a posição x do tubo de Pitot a jusante. Considere escoamento laminar.

15. Ar a 20ºC e 1 atm escoa em torno da placa plana na figura abaixo em condições laminares. Existem dois tubos de Pitot igualmente espaçados, cada qual colocado a 2 mm da parede. O fluido manométrico é água a 20ºC. Se U=15 m/s

16.Considere o escoamento com camada-limite laminar passando pelos sistemas de placas quadradas na figura abaixo. Comparados ao arrasto de atrito de uma única placa 1, quanto o arrasto das quatro placas juntas é maior nas configurações (a) e (b)? Explique o seu resultado.

17.Um disco liso e fino de diâmetro D está imerso paralelamente a um escoamento

uniforme de velocidade U. Considerando escoamento laminar e usando a teoria

da placa plana como uma orientação, desenvolva uma formula aproximada para o arrasto do disco.

18.Uma placa plana de comprimento L e altura δ é colocada em uma parede

paralelamente a uma camada-limite que se aproxima, como na figura abaixo. Admita que o escoamento sobre a placa seja totalmente turbulento e que o escoamento de aproximação siga a lei da potência um sétimo, conforme a equação abaixo. Aplicando uma teoria para tira de largura dy e comprimento L,

deduza uma fórmula para o coeficiente de arrasto dessa placa. Compare esse resultado com o arrasto na mesma placa imersa em um escoamento uniforme Uo.

7 / 1 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ y U y u o

19.Uma análise alternativa do escoamento turbulento sobre uma placa plana foi dada por Prandtl em 1927, usando uma fórmula para a tensão cisalhante na parede do escoamento em um tubo.

4 / 1 2 0225 , 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = δ υ ρ τ U U p

Mostre que essa fórmula pode ser combinada com a relação integral da quantidade de movimento de Kármán para deduzir as seguintes relações para o escoamento turbulento sobre placa plana:

5 / 1 5 / 1 5 / 1 _Re 072 , 0 Re 0577 , 0 Re 37 , 0 L A x f x C c

x = = =

δ

20.Uma placa fina em formato de triângulo eqüilátero está imersa paralelamente a um escoamento de 12 m/s de água a 20ºC, como na figura abaixo. Considerando

Retr=5x10+5, calcule o arrasto sobre essa placa.

21.Um rotor de 4 pás de helicóptero gira a n rpm no ar com propriedades (ρ, μ).

Cada pá tem um comprimento da corda C e estende-se do centro de rotação para o raio R (o tamanho do cubo é desprezado). Admitindo escoamento turbulento a

partir do bordo de ataque, desenvolva uma expressão analítica aproximada para a potência P necessária para acionar esse rotor.

22.Uma chapa fina pesa 90 N e se localiza sobre o topo de um telhado, como mostra a figura. Considere ar ambiente a 20ºC e 1 atm. Se o coeficiente de atrito sólido entre o telhado for σ≈0,12, qual a velocidade do vento que gerará atrito fluido suficiente para desalojar a chapa?

23.A seção transversal de um cilindro é mostrada na figura. Admita que sobre a superfície frontal a velocidade seja dada pela teoria potencial, V=2U∞sinθ, a

24.Uma esfera pesada fixada em uma corda se deslocaria de um ângulo θ quando imerso em uma corrente de velocidade U, como na figura. Deduza uma

expressão para θ em função das propriedades da esfera e do escoamento. Qual o valor de θ se a esfera for de aço (d=7,86) de 3 cm de diâmetro e o escoamento

for de ar padrão no nível do mar com U=40 m/s? Despreze o arrasto da corda.

Viscosidade e massa específica da água a 1 atm

Viscosidade e massa específica do ar a 1 atm

Propriedades de gases comuns a 20ºC e 1 atm

TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonom´

etricas

•

Derivadas

Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n

con-stante.

1. y =un _⇒y′ = n un−1u′. 2. y =uv _⇒y′ =u′v+v′u.

3. y = u

v ⇒y′ =

u′_v−v′_u

v2 .

4. y =au _⇒y′ =au(lna)u′, (a >0, a₆= 1). 5. y =eu _⇒y′ =euu′.

6. y = log_au _⇒y′ = u′

u logae. 7. y = lnu _⇒y′ = 1_uu′.

8. y =uv _⇒y′ =v uv−1 u′+uv(lnu)v′. 9. y = senu _⇒y′ =u′cos u.

10. y= cos u _⇒y′ =₋u′senu. 11. y= tgu _⇒y′ =u′sec2u. 12. y= cotgu _⇒y′ =₋u′cosec2u. 13. y= sec u _⇒y′ =u′sec utgu.

14. y= cosecu _⇒y′ =₋u′cosecucotgu.

15. y=arcsenu _⇒y′ = √u′

1−u2.

16. y=arc cos u _⇒y′ = −u′

√ 1−u2.

17. y=arctgu _⇒y′ = u′

1+u2.

18. y=arc cotg u _{⇒ 1+}−u_u′2.

19. y=arc sec u, _|u_|>1

⇒y′ = u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

20. y=arccosecu,_|u_|>1

⇒y′ = −u′

|u|√u2₋₁,|u|>1.

•

Identidades Trigonom´

etricas

1. sen2_{x+ cos}2_{x= 1.} 2. 1 + tg2x= sec2x. 3. 1 + cotg2x= cosec2x. 4. sen2_x= 1−cos 2x

2 .

5. cos2x= 1+cos 2₂ x. 6. sen 2x= 2 senx cos x.

7. 2 senx cos y= sen (x₋y) +sen(x+y). 8. 2 senxseny= cos (x₋y)₋cos (x+y). 9. 2 cos x cos y= cos (x₋y) + cos (x+y).

10. 1_±senx= 1_±cos¡_π

2 −x ¢

.

•

Integrais

1. R

du=u+c. 2. R

undu= u_nn₊₁+1 +c, n₆=₋1.

3. R _du

u = ln|u|+c. 4. R

audu= au

lna +c, a >0, a6= 1. 5. R

eudu=eu+c. 6. R

senu du=₋cos u+c.

7. R

cos u du= senu+c.

8. R

tgu du= ln_|sec u_|+c. 9. R

cotgu du= ln_|senu_|+c.

10. R

sec u du= ln_|sec u+ tgu_|+c.

11. R

cosecu du= ln_|cosecu₋cotgu_|+c.

12. R

sec utgu du= sec u+c.

13. R

cosecucotgu du=₋cosecu+c.

14. R

sec2_{u du= tgu+c.}

15. R

cosec2u du=₋cotgu+c.

16. R _du

u2_+a2 = 1_aarctgu_a+c.

17. R _du

u2_−a2 =₂1_aln

¯ ¯ ¯

u₋a u+a ¯ ¯ ¯+c, u

2_{> a}2_.

18. R _du

√

u2_+a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√

u2+a2

¯ ¯ ¯+c.

19. R _du

√

u2

−a2 = ln

¯ ¯ ¯u+

√

u2_−a2¯¯ ¯+c.

20. R _du

√

a2

−u2 =arcsen

u

a+c, u2< a2.

21. R _du

u√u2_−a2 = 1

aarc sec ¯ ¯u_a

¯ ¯+c.

•

F´

ormulas de Recorrˆ

encia

1.R

sennau du=₋senn₋1_{au cosau}

an +¡_n−1

n ¢ R

senn−2_{au du.}

2. R

cosn_{au du=} sen au cosn₋1_au

an +¡_n−1

n ¢ R

cosn−2_{au du.}

3. R

tgnau du= tg_a(n_n−₋1₁₎au₋R

tgn−2au du.

4. R

cotgnau du=₋cotg_a(nn₋−₁₎1au₋R

cotgn−2au du.

5. R

secn_{au du=} secn₋2_{au tg au}

a(n₋1)

+³n_n−₋2₁´R

secn−2_{au du.}

6. R

cosecnau du=₋cosecn_a−₍2_nau cotg au₋₁₎

+³n−2 n−1 ´

R