2.4 Relações e funções

(1)

Definição 2.4.1. Sejaaum conjunto. Dizemos queré umarelação(binária) emasser⊆a×a. Exemplo 2.4.2. Sejaaum conjunto.

(a) A relação vaziar:=∅é uma relação em conjuntoa, pois∅ ⊆a×a. (b) Dizemos que∇a:=a×aé a relaçãouniversalema.

(c) A relação∆a:={hx;xi| x∈a}é a relaçãodiagonalema.

(d) EmNtemos a relação de menor ou igual≤N, definido de maneira usual seguinte,

≤N:={hn;mi| ∃k∈N, n+k =m}.

(e) EmQtemos a relação, definida de seguinte maneiraq:={hx;x2i| x∈Q}.

Definição 2.4.3. Sejaruma relação ema.

(a) Dizemos quedom(r) :={x| ∃y∈a,hx;yi ∈r}´e odom´ınioder. (b) Dizemos queim(r) :={y| ∃x∈a,hx;yi ∈r}´e aimagemder. Observe quedom(r)⊆aeim(r)⊆a.

Definição 2.4.4. Sejama, bconjuntos ef ⊆a×buma relação.

(a) Dizemos que f é uma funçãosse dom(f) = a e f é un´ıvoca, i.e., ∀x ∈ a, y1, y2 ∈ b (hx;y1i ∈

f&hx;y2i ∈f → y1=y2). Denotamos uma func¸˜aofcomof :a→b, x7→f(x).

O seugráficoestá dado pelo conjunto{hx;yi| x∈dom(f) =a&y=f(x)}. (b) Dizemos quecodom(f) :=bé ocontradom´ıniodef.

Sejamc⊆aed⊆b.

(c) Dizemos quef[c] :={f(x)| x∈c}´e aimagemdecporf. (d) Dizemos quef−₁

[d] :={x∈a| f(x)∈d}´e aimagem inversadedporf. Denotamos pordom(f)eim(f), o dom´ınio e a imagem def, respectivamente.

Definição 2.4.5. Sejaf :a→buma função.

(a) Dizemos quef é uma função1a1, ou equivalentemente,injetivasse∀x1, x2 ∈a,∀y∈b (f(x1) =

y=f(x2)→x1=x2).

(b) Dizemos quef é uma funçãosobreb, ou equivalentemente,sobrejetivasseim(f) =b. (c) Dizemos quef é umabijeção, ou equivalentemente,bijetivassef é1a1e sobreb. Observação 2.4.6. Sejaf :a→buma função.

(a) Podemos dizer em palavras, quef é uma função injetiva, sse nenhum valor embserá assumido mais do que uma vez.

(b) Podemos dizer em palavras, quef é uma função sobreb, sse qualquer valor debserá assumido. (c) Podemos dizer em palavras, que f é uma função bijetiva, sse é poss´ıvel de fazer por completo pares entre elementos deae debusandof.

Exemplo 2.4.7. (i) A função identidade no conjuntoa,ida:a→a, x7→xé uma função bijetiva. (ii) A funçãof :N→N, n7→n3é uma função injetiva. Observe quefnão é sobreN, pois26∈im(f). (iii) A funçãof:R→R, x7→x3 _{é uma função bijetiva. Demonstre em detalhe esta afirmação.}

(iv) A relac¸˜aoq:R→R+

0, x7→x2 é uma função sobrejetiva, mas não1a1.

Observação 2.4.8. Sejaf :a→buma bijeção. Então, existe uma bijeçãog:b→a.

Demonstração: Sejaf : a → buma bijeção, entãof é1a1eim(f) = b. Definimos agora a seguinte aplicação

g:b→a, y7→g(y) :=x, ondex´e ´unico valor ematal quef(x) =y.

(2)

Lema 2.4.9. Sejaf :a→buma função. Então (a)f é sobreim(f).

(b) Sef 1a1, entãof :a→im(f)é uma bijeção.

Demonstração: Observe quefé uma função pela hipótese. Assim,im(f) :={y| ∃x∈a,hx;yi ∈f} ⊆ b. Tomandoy∈im(f), existex∈atal quef(x) =y. Assim,f é sobreim(f), mostrando o ´ıtem (a). Como pelo ´ıtem (a),f é sobreim(f)e por hipótese,f é1a1, temos por 2.4.5 (c) quef é bijeção, mostrando ´ıtem (b).

Definição 2.4.10. (i) Sejaf :a→buma função ec⊆a. Dizemos quef_|_c:c→b, x7→f(x)é arestrição defemc. (ii) Sejaf:a→buma função injetiva.

Dizemos quef−₁

:im(f)→a, y7→f−₁

(y) :=x,ondef(x) =y, é a funçãoinversa def. (iii) Sejamf :a→beg:b→cfunções.

Dizemos que(g◦f) :a→c, x7→g(f(x))é a funçãocomposta degcomf.

Exerc´ıcio 2.4.11. (i) Escreva o gráfico das funções restrição, função inversa e função composta. (ii) Mostre que para uma funçãof :a→bec⊆atemos que f_|_c ⊆f.

(iii) Seja f : a → b uma func¸˜ao injetiva. Mostre que dom(f−₁

) = im(f), im(f−₁

) = dom(f) e (f−₁

)−₁ =f.

Lema 2.4.12. Sejamf:a→beg:b→cfunções. (a) Sef egforem injetivas, então,(g◦f)é injetiva. (b) Seg_|_im₍_f₎for sobrec, então(g◦f)é sobrec.

Demonstrac¸˜ao: Vamos mostrar o ´ıtem (b), e deixamos o ´ıtem (a) como exerc´ıcio. Sejag_|_im₍_f₎sobrec, i.e., ∀z∈c∃y∈im(f)tal queg(y) =z.(∗)

Queremos mostrar que∀z ∈c∃x∈atal queg(f(x)) =z.

Observe que por lema 2.4.9,f ´e sobreim(f), ou seja,∀y∈im(f)∃x∈atal quef(x) =y.(∗∗)

Tomamos agoraz ∈ c, obtemos por(∗),y ∈ im(f)tal queg(y) = z. Por(∗∗), obtemosx ∈ a tal que y=f(x). Consequentemente,z =g(y) =g(f(x)), ou seja,(g◦f)´e sobrec.

O próximo resultado, dá um critério para funções injetiva e sobrejetiva.

Proposição 2.4.13. (a) São equivalentes: (i)f :a→bé injetiva.

(ii)∃g:b→afunção tal queg◦f =ida. Neste caso, dizemos queftem uma inversa à esquerda. (b) São equivalentes:

(i)f :a→b´e sobrejetiva.

(ii)∃g:b→afunção tal quef◦g=idb. Neste caso, dizemos queftem uma inversa à direita. Demonstração: Vamos mostrar (a).

(i)⇒(ii): Sejaf :a→binjetiva. Observe que a func¸˜aof−1

:im(f)→a, cf. 2.4.10, é função inversa de f. É preciso definir a funçãog. Para isso, sejax∈aarbitrária. Defina

g:b→a, y7→g(y) :=

f−₁

(y), sey∈im(f) x, caso contr´ario.

Observe queg◦f =ida, e assimg´e inversa `a esquerda def.

(ii) ⇒(i): Sejag : b → atal queg◦f = ida. Vamos mostrar quef ´e injetiva. Para isso, tomemos x1, x2 ∈ atais quef(x1) = f(x2) = y ∈ b. Comog◦f = ida, temos queg(y) = g(f(x1)) = x1 =

(3)

Vejamos agora (b).

(i)⇒(ii)1: Sejaf :a→bsobreb. É preciso definir a funçãog. Defina

g:b→a, y7→g(y) :=x,ondex´e tal quex∈aef(x) =y.

Observe que esta definição é boa definição, pois f é sobreb. Além disso, observe que estamos esco-lhendo umx∈acom a propriedade de quef(x) =y, e assim estamos usando o axioma de escolha. Agora, que(f◦g)(y) =f(g(y)) =f(x) =y, ou sejaf◦g=idb, e logo,gé inversa à direita def.

(ii)⇒(i): Sejag :b→atal quef◦g= idb. Vamos mostrar quef ´e sobrejetiva. Para isso, tomemos y∈b. Comof ◦g= idb, temos quef(g(y)) =y, mostrando quey ∈im(f), pois parax:=g(y)temos quef(x) =y. Logo,b⊆im(f)e assimf ´e sobrejetiva.

Corolário 2.4.14. Sejaf :a→buma função. São equivalentes (i)f é bijeção, e

(ii)f tem inversa `a esquerda e `a direita.

Observação 2.4.15. Observe que a demonstração da proposição 2.4.13 nós dá uma maneira construtiva de determinar as inversas à esquerda e direita, caso existam. Mais detalhes vejamos am aula de exerc´ıcios. Este tipo de demonstrações é bom não somente porque demonstra um resultado, como também dá um modo de obter o resultado em um caso especial.

2.5 Cardinalidade de um conjunto

Queremos comparar o número de elementos de dois conjuntos dados, sem uso de muitos ferramentos. Imaginemos que temos dois sacos de feijão e queremos saber qual saco tem mais grãos de feijão do que o outro. Suponhamos que não podemos contar, pois não dispomos de números. Um processo muito simples de comparar a quantidade de grãos dos dois sacos é simples e forma um algoritmo:

Denotamos porp1ep2os dois sacos de feij˜ao. Elaboramos o seguinte processo

(a) tiramos do sacop1um gr˜ao, e em seguida, do sacop2. Deixamos os dois gr˜aos do lado.

(b) Repetimos este processo, até um pacote não conter mais elementos. Agora podem entrar três casos:

(i) Se emp1não tem grão, então o sacop2contém mais grãos, caso exista um grão emp2.

(ii) Se emp1tem um grão, mas emp2não, então emp1tem mais grãos do que emp2.

(iii) Se nem emp1nem emp2tiver grãos, então nos dois sacos têm o mesmo número de grãos.

Observe que estamos construindo uma função, digamosf, dep1parap2. O resultado é o seguinte:

Em caso (i) a funçãof é injetiva, mas não sobrejetiva. Em caso (ii), a funçãof é sobrejetiva, se colocamos os grãos restantes dep1 em correspondência com um grão arbitrário do sacop2. Finalmente, em caso (iii),

a funçãof é bijetiva.

Este processo, funciona aparentemente para uma boa parte de conjuntos. Em geral, podemos deﬁnir

Definição 2.5.1. Sejamaebdois conjuntos.

(a) Denotamos por|a|o número de elementos do conjuntoa, também chamamos|a|de cardinalidade dea. (b) Dizemos que os dois conjuntosaebtêm amesma cardinalidade, ou equivalentemente, são equipoten-tessse existe uma bijeçãof :a→b.

(c) Dizemos quea é finito sse a = ∅ ou existe um n ∈ N tal que existe uma função injetiva f : a → {0,1, . . . , n}.

(d) Dizemos queaé um conjuntoenumerávelssea é finito ou existe uma funçãof :a→Nbijetiva. (e) Dizemos queaé um conjuntonão-enumerávelsseanão é enumerável.

1

(4)

O conceito de infinito é muitas vezes dif´ıcil de entender. O matemático G. Cantor (1845-1918) foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar com conjuntos infinitos e foi ele quem desenvolveu métodos impor-tantes para comparar conjuntos infinitos. Um método muito importante, devido a G. Cantor, vejamos nesta seção, é ométodo diagonal de Cantor, mais precisamente vejamos dois métodos diagonais em seguida. Temos a seguinte observação, antes de explicar os infinitosN,Z,QeR.

Observação 2.5.2. (a) Imaginemos que temos um saco qual contém um número infinito de objetos. Agora tiramos deste saco um número infinito de objetos. A pergunta qual fazemos é que quantos objetos restam neste saco? Pense numa solução.

(b) A segunda observação é sobre oHotel de Hilbert. Neste hotel de Hilbert, temos um número infinito de quartos a disposição, todos numerados. Acontece que todos os quartos são ocupados, e chega mais um hôspede, qual gostaria de um quarto para si. Será que este hôspede pode ser acolhido? Parece que não, mas pensando mais um pouco podemos fazer o seguinte truque trocando hôspedes e seus quartos. Podemos pensar em mandar o hôspede do primeiro quarto para o segundo, este do segundo para o terceiro, este do terceiro para o quarto, e assim continuando. Deste modo, todos os hôspedes estão com quartos, mas agora o primeiro quarto está vazio para poder abrigar o hôspede qual chegou. O que acontece se chegam mais dois hôspedes, será que podemos abriga-los? E se chega mais um número finitokde hôspedes? Pense sobre isso e tente uma solução. Como já temos este hotel de Hilbert com infinitos quartos, o que podemos fazer se o hotel é lotado e chega mais um número infinito de hôspedes? Será que podemos arrumar um quarto para cada um destes sem mandar nenhum dos hôspedes já hospedados embora?

Observação 2.5.3. Sejaaum conjunto infinito.

Então existe um subconjunto infinito enumerável próprio dea.

Demonstração: Sejaainfinito. Tomemos agorax∈aarbitrário, e consideremosb:=a\ {x}.

Obviamente,bainda é infinito. Caso contrário,bfinito, implicaria queaseria finito. Absurdo. Iniciamos agora o processo de escolher2o subconjunto infinito próprio deb. Tomex1 ∈b, e observe queb\ {x1}é

infinito. Por recursão, tomamosxn ∈b\ {x1, . . . , xn−₁}, para todon≥2. Assim, obtemos o subconjunto{xi| i∈N}próprio dea.

Observação 2.5.4. Os conjuntosNeZtêm um número enumerável de elementos, e são equipotentes. Demonstração: E claro que os conjuntos são infinitos. De primeira vista, poder´ıamos achar que em´ Ztem mais elementos do que emN. Isto não é verdade.

Para mostrar queNeZsão equipotentes, vamos exibir uma bijeçãof :Z→N. Defina

f :Z→N, k7→f(k) :=

2k, sek≥0

−2k−1, caso contr´ario, ou seja, sek <0.

Observe quef está bem definida, ou seja,f(k) ∈N. Vejamos agora quef é sobreN. Para isso, tome n∈N. Assim,npode ser par ou ´ımpar.

Senfor par, temos quen´e da forma2t, para algumt∈N. Assim, tomek =t, e observe quef(t) = 2t=n. Senfor ´ımpar, temos quen´e da forma2t−1, para algumt > 0. Assim, tomek = (−t) ∈Z, e observe quef(k) =f(−t) =−2(−t)−1 = 2t−1 =n.

Obviamente, f é 1a1. Assim f é uma bijeção e os dois conjuntos são equipotentes, ou seja, emZtem tantos elementos quanto emN.

Observac¸˜ao 2.5.5(1◦

Método Diagonal de Cantor). Explicamos o primeiro método diagonal de Cantor, mostrando que os números naturais e as frações positivas, i.e., Q+ := {a

b| a, b ∈ Z+ & a, b 6= 0},

2

(5)

são equipotentes. Ordenamos as frações de modo seguinte e enumeramos de direita para a esquerda via diagonal, indicado pelos números nas parenteses3, obtemos a seguinte arrumação.

1

1 (1) 12 (2) 13 (5) 14 (6) . . . 2

1 (3) 22 (·) 23 (7) 24 . . . 3

1 (4) 32 (8) 33 (·) 34 . . . 4

1 (9) 42 (·) 43 44 . . .

..

. ... ... ... . ..

Assim, obtemos então a seguinte enumeração:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1

1 12 2 3 13 14 23 32 41 . . .

Observe que consideremos somente frações novas ocorrendo na lista. Agora é fácil de estabelecer a bijeção entre todos os números racionais e os naturais, somente colocando o número zero na frente e após cada racional positivo colocamos o mesmo número somente com sinal negativo. Assim, obtemos a seguinte enumerção:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0 1₁ −1₁ 1₂ −1₂ 2 −2 3 −3 1₃ . . .

Assim, emQtem tantos elementos do que emN.

Tendo em vista as observações acima, poder´ıamos pensar que qualquer conjunto infinito pode ser enume-rado, mas isto não é verdade. Vamos observar que existem conjuntos infinitos quais não podemos enumerar, ou seja, existe infinito não enumerável. Tomamos o conjunto dos números reaisR.

Teorema 2.5.6. (Cantor,2◦

Método diagonal) O conjuntoRdos números reais não é enumerável.

Demonstração: A demonstração deste teorema faz uso do segundo argumento de diagonal de Cantor. Su-ponha queRé de fato enumerável, assim, existiria uma bijeçãof :N→R. Basta mostramos que não existe uma funçãof :N→Rsobre. Como[0; 1]⊆R, basta ver que não temos uma função sobref :N→[0; 1]. Para ver isso, tomamos uma funçãof : N → [0; 1]arbitrária e exibimos um elementox ∈ [0; 1]tal que x6∈im(f). Logo,f não será sobre[0; 1].

Para qualquern∈Nescrevemosf(n)em decimal:

f(0) := 0, a00a01a02a03. . .

f(1) := 0, a10a11a12a13. . .

f(1) := 0, a20a21a22a23. . .

f(1) := 0, a30a31a32a33. . .

f(1) := 0, a40a41a42a43. . .

.. .

f(n) := 0, an0an1an2an3. . .

.. .

ondeaij ∈ {0,1, . . . ,9}parai, j∈Ns˜ao os d´ıgitos do n´umero dezimal.

3

(6)

Tomemos agora o seguinte n´umerox:= 0, b0b1b2b3. . .∈[0; 1]deﬁnido como

bn :=

1 seann= 2 2 seann6= 2

(7)

Cap´ıtulo 4

Relações espec´ıficas, relações de

equivalência, partição e fechos de relação

Neste cap´ıtulo, vamos retornar a discussão de relações. Introduzimos relações com certas propriedades, e abordamos o conceito muito importante de relação de equivalência, e a sua conexão com partições de um conjunto dado. Finalmente, vejamos como construir fechos reflexivo e transitivo de relações, conceitos importantes para matemática e a teoria da computação.

Para acompanhar os assuntos desta sec¸˜ao o leitor pode consultar [4, 8, 11, 15].

4.1 Relações, relação inversa e composição de relações

Relembremos que uma relação binária é simplesmente um conjunto de pares ordenados.

Definição 4.1.1. Sejaruma relação ema.

(a) Dizemos queré uma relaçãosimétricasse∀x, y∈a hx;yi ∈r → hy;xi ∈r. (b) Dizemos queré uma relaçãoreflexivasse∀x∈a hx;xi ∈r.

(c) Dizemos quer é uma relaçãoanti-simétricasse∀x, y∈a hx;yi ∈r& hy;xi ∈r → x=y. (d) Dizemos queré uma relaçãoirreflexivasse∀x∈a hx;xi 6∈r.

(e) Dizemos quer é uma relaçãotransitivasse∀x, y, z ∈a hx;yi ∈r & hy;zi ∈r → hx;zi ∈r. (f) Dizemos quer é uma relaçãoconectada, linear, totalsse∀x, y∈a hx;yi ∈rouhy;xi ∈r.

Notação 4.1.2. Observe que às vezes, usamos a notação xry para indicarhx;yi ∈ r, caso r seja uma relação. Pensando na relação≤, sempre escrevemosx≤yem vez dehx;yi ∈≤.

Exemplo 4.1.3. (a) Consideremos a relação vazia,r:=∅, no conjuntoa6=∅.ré simétrica, anti-simétrica e transitiva - por vacuidade. Masrnão é reflexiva nem conectada, porém é irreflexiva.

(b) Consideremos a relac¸˜ao diagonal∆aema, qual vem da igualdade=. Quais propriedades∆asatisfaz? Tente descobri-las!

(c) Consideremos a relação universal ema,∇a:=a×a. É fácil ver que∇aé simétrica, reflexiva, transitiva e conectada. Obviamente,∇anão é irreflexiva, casoativer mais do que um elemento.∇aé anti-simétrica? (d) Consideremos emNa relação de menor ou igual≤N, definido de maneira usual seguinte,

≤N:={hn;mi| ∃k∈N, n+k =m}. Esta relação é reflexiva, anti-simétrica, transitiva e conectada.

(e) EmQ consideremos a relação, definido de seguinte maneiraq := {hx;x2_i| _x _∈ _Q_{}. Assim,}_q _não

(8)

Definição 4.1.4. Sejaruma relação no conjuntoa.

Dizemos quer˜é a relaçãoinversader sse para todox, y∈a hx;yi ∈r sse hy;xi ∈r˜

O seguinte lema ´e simples de demonstrar.

Lema 4.1.5. Sejamresrelações ema. Então, (a)r˜˜=r.

(b)r]∪s= ˜r∪˜s.

Demonstração: Para verificar o ´ıtem (a) observe o seguinte

hx;yi ∈r sse hy;xi ∈˜r sse hx;yi ∈r.˜˜

O ´ıtem (b), mostra-se veriﬁcando as duas inclus˜oes,⊆e⊇.

Definição 4.1.6. Sejamresrelações ema.

Dizemos que(s◦r) :={hx;zi| x, z∈a & ∃y∈a (hx;yi ∈r & hy;zi ∈s}é acomposiçãoderes. Exemplo 4.1.7. Sejam dadas as relaçõesr := {h1; 2i,h3; 4i,h2; 2i}es := {h4; 2i,h2; 5i,h3; 1i,h1; 3i}. Então calculamos as relações compostas seguintes.

s◦r={h1; 5i,h3; 2i,h2; 5}. r◦s={h4; 2i,h3; 2i,h1; 4}. r◦r={h1; 2i}.

r◦(r◦r) ={h1; 2i}.

4.2 Relação de equivalência e partição

Nesta seção introduzimos relações de equivalências, e estabelecemos a conexão com partições de um conjunto. Vejamos que relações de equivalência e partições num conjuntoasão em correspondência bijetiva, i.e., existe uma função bijetiva entre o conjunto das relações de equivalência num conjuntoa, e o conjunto das partições deste conjuntoa. Uma relação de equivalência é a generalização da igualdade. Em relações de equivalências identificamos objetos equivalentes, porém não necessariamenteiguais. Pensando em lógica matemática, cf. 1, e na equivalência lógica definida em 1.3.10, temos já um primeiro exemplo de uma relação de equivalência definida no conjuntoF orm(L).

Começamos com a definição.

Definição 4.2.1. Sejaruma relação no conjuntoa. Dizemos quer é umarelação de equivalênciaemasse ré reflexiva, simétrica e transitiva. (4.1.1)

Exemplo 4.2.2. (a) O primeiro exemplo trata da relação da igualdade, =. Pelas propriedades acerca da igualdade listadas em 1.2.2, temos de imediato que=é uma relação de equivalência.

(b) Consideremos a equivalência lógica ⇔ emF orm(L), já citado acima, e definida em 1.3.10, temos outro exemplo de uma relação de equivalência. Os detalhes da demonstração deste fato, devem ser feitas nos exerc´ıcios.

(c) Introduzimos emZa seguinte relação≡3, definida no seguinte modo: Paraa, b∈Z, temos que

a≡3b sse ∃k∈Z, a−b= 3k.

Assim,≡3é uma relação de equivalência. Dizemos que a relação≡3é acongruência módulo3.

Primeira-mente, observemos que≡3⊆Z×Z, e assim, é de fato uma relação emZ. Falta agora ver as propriedades

exigidas pela definição 4.2.1.

Observe quea−a= 0 = 0k, e assima≡3 a. Agora, paraa, b∈Ztais quea≡3b, temos que existek∈Z

(9)

´e sim´etrica. Para demonstrar a transitividade, sejama, b, c ∈ Ztais quea ≡3 beb ≡3 c. Logo, existem

k, l∈Z, tais quea−b= 3keb−c= 3l. Portanto,a−b+ (b−c) =a−c= 3k+ 3l= 3(k+l). Como k+l∈Z, temos quea≡3 c, e terminamos a prova.

Introduzimos agora alguns conceitos para relações de equivalências.

Definição 4.2.3. Sejaruma relação de equivalência ema.

(a) Sejax∈a. Dizemos que o conjunto[x]r:={y∈a| xry}é aclasse de equivalênciadexemr. (b) Dizemos que o conjunto[a]r:={[x]r| x∈a}é oconjunto quocientedeaporr.

Observe que existem várias notações comoxoux/r, para a classe dex. Também,a oua/r, denotam o conjunto quociente deaporr.

Exemplo 4.2.4. Reconsideremos o exemplo 4.2.2 e classes de equivalˆencias e conjunto quociente.

(a) Para a relação da igualdade=, temos que paran∈N, a classe[x]=:={n}. o conjunto quociente é o

seguinte,[N]=={k∈N| n=k}={{n}| n∈N}.

(b) As classes e o conjunto quociente para a equivalência lógica estão sendo discutidos em exerc´ıcio. (c) Para a relação da congruência módulo 3, temos que[0]≡3 = {. . . ,−6,−3,0,+3,+6, . . .}, [1]≡3 = {. . . ,−4,−1,+2,+5, . . .}e [2]≡3 = {. . . ,−5,−2,+1,+4, . . .}. O conjunto quociente somente contém três elementos, a saber[Z]≡3 = {[0]≡3,[1]≡3,[2]≡3}. Denotamos[Z]≡3 porZ/Z3, ou simplesmente por Z3. Em matemática discreta II, vejamos que o conjuntoZ3ainda tem umaboaestrutura, ou seja,Z3 tem

estrutura de anel comutativo com unidade.

O próximo resultado é fundamental para o entendimento de relação de equivalência.

Lema 4.2.5. Sejaruma relação de equivalência ema. Então, (a) Para todox∈a,x∈[x]r. Assim,[x]r6=∅.

(b) Para todox, y∈a, sexry, ent˜ao,[x]r= [y]r. (c) Para todox, y∈a, se¬(xry), ent˜ao,[x]r∩[y]r=∅.

Demonstração: Sejaruma relação de equivalência ema. Vejamos (a). Comoré reflexiva, temos quexrx e assim,x∈[x]r. Para ver (b), sejamx, y∈atais quexry. Vejamos que[x]r= [y]r, verificando⊆e⊇. ⊆: Sejaz ∈ [x]r, i.e.,xrz. Precisamos mostraryrz. Por hipótese temos que xry. Comor é simétrica, temos quezrx, e pela transitividade der, temos quezry. Aplicando, a simetria, obtemos o desejado, i.e., yrz.

⊇: Para mostrar a inclus˜ao rec´ıproca, temosz∈[y]r, i.e.,yrz. Usando a hip´otese,xrye a transitividade de r, obtemos quexrz, ou seja,z∈[x]r.

Consequentemente,[x]r= [y]r.

Falta mostrar (c). Sejamx, y∈atais que¬(xry). Suponha que[x]r∩[y]r6=∅. Assim, existez∈[x]r∩[y]r. Logo, temos quexrzeyrz. Pela simetria,zry. Usando a transitividade, temos quexry, contradizendo a hip´otese¬(xry). Logo (usando o princ´ıpio da prova por absurdo),[x]r∩[y]r=∅.

Introduzimos agora o conceito de partic¸˜ao.

Definição 4.2.6. Sejamaum conjunto e{ai}i∈I uma fam´ılia de subconjuntos não vazios dea. (a) Dizemos que{ai}i∈I é umacoberturadeasseSi∈Iai=a.

(b) Dizemos que{ai}i∈_I é umapartiçãodeasse{a_i}_i∈_I é uma cobertura deae os elementos da fam´ılia são2a2disjuntos, i.e., para quaisqueri, j∈I,i6=j, temos queai∩aj =∅.

Observação 4.2.7. Visualize os conceitos de cobertura e partição de um conjuntoaatravés de um diagrama de Venn!

Exemplo 4.2.8. (a) Tomemos de 4.2.4, [N]= := {{n}| n ∈ N} é uma partição de N, pois, temos que S

n∈N{n}=Ne paran6=m,{n} ∩ {m}=∅.

(10)

Observação 4.2.9. O último exemplo mostrou que o conjunto quociente de algumas relações de equi-valência gera uma partição. Assim, podemos perguntar se isso sempre acontece. A próxima proposição estabelece a conexão entre relação de equivalência e partição. A demonstração também é construtiva no sentido que dá umareceitacomo obter a partição a partir da relação de equivalência, como também uma relação de equivalência a partir de uma partição.

Proposição 4.2.10. Sejaaum conjunto. Toda relação de equivalência determina uma partição e vice versa, toda partição determina uma relação de equivalência.

Podemos dizer querelação de equivalência e partição são a mesma coisa. Demonstração: Sejaaum conjunto.

Primeira parte: Seja r uma relação de equivalência ema. Vamos mostrar que[a]r := {[x]r| x ∈ a} é uma partição paraa. Vejamos então queS

x∈_a[x]r = a. Novamente, é preciso verificar as inclusões ⊆ e⊇. Seja y ∈ S

x∈_a[x]r. Assim, y ∈ a. Reciprocamente, paray ∈ a, temos quey ∈ [y]r, e portanto, y∈S

x∈a[x]r. Pelo lema 4.2.5, temos que para qualquerx, y∈a, ou[x]r= [y]rou[x]r∩[y]r=∅. Logo, [a]r:={[x]r| x∈a}é de fato uma partição paraa.

Segunda parte:Seja{ai}i∈I uma partição paraa. É preciso definir uma relação de equivalênciarema, a partir desta partição. Definamos entãoremacomo segue:

hx;yi ∈r sse ∃i∈I, x, y∈ai (∗)

Observe quer é de fato uma relação de equivalência ema. Primeiramente, é imediato quehx;xi ∈r, pois x ∈ ai, para algumi ∈I. Assim,r é reflexiva. A simetria também é imediato, poishx;yi ∈ r significa que existei ∈ I tal quex, y ∈ ai. Logo, hy;xi ∈ r. Vejamos agora quer é transitiva. Para isso, sejam x, y, z ∈atais quehx;yi ∈ rehy;zi ∈ r. Assim, existemi, j ∈Itais quex, y ∈ai ey, z ∈aj. Como {ai}i∈_I é uma partição paraa, é preciso ter por 4.2.5,i=j, poisy∈ai∩aje assimx, y, z∈ai, mostrando quehx;zi ∈r. Consequentemente, a definição(∗)determina uma relação de equivalência ema.

Observação 4.2.11. A proposição 4.2.10 estabelece uma correspondência1a1e sobre, entre relações de equivalência e partições num conjuntoa. Faça os detalhes.

Exemplo 4.2.12. Seja dada a seguinte partição do conjuntoa:={1,2,3,4,5},{{1,2};{3};{4,5}}. Ob-serve que isto é de fato uma partição dea. A última proposição, determina uma relação de equivalênciar ema. Enuncie esta relação de equivalência induzida desta partição.

4.3 Fechos reﬂexivo e transitivo

Nesta seção falamos de fechos reflexivo e transitivo para relações. Estes fechos são usados na teoria da computação e determinam as menores relações estendendo a relação inicial qual é reflexivo e transitivo, respectivamente. Antes de entrar nas definições e construções definimos por recursão, asm-ésimas potências rm_{de uma relação}_r.

Definição 4.3.1. Sejaruma relação no conjuntoa. Definimos por recursão

r1 _:=_r

rm_:=_r_◦_(rm−₁

), ∀m >1 (4.1)

Exemplo 4.3.2. (a) Sejar:={hx;yi,hx;zi,hz;yi}uma relac¸˜ao no conjuntoa:={x, y, z}. Assim, temos que

r2 ₌_r_◦_r₌_{hx;_yi}._r3 ₌_{∅. Logo,}_{∀n >}_3,_rn ₌_∅.