PROGRESSÃO GEOMÉTRICA X FUNÇÃO EXPONENCIAL:

(1)

Q

UAL A DIFERENÇA ENTRE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

(PG)

E UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL

? Q

UAL DAS DUAS REGE O CRESCIMENTO DO NÚMERO DE CASOS

(

OU ÓBITOS

)

DE

COVID-19?

U

MA

PG,

OU SEQUÊNCIA GEOMÉTRICA

,

É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA TAL QUE A RAZÃO ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS É CONSTANTE AO LONGO DA SEQUÊNCIA

. G

ERALMENTE UMA SEQUÊNCIA GEOMÉTRICA É INFINITA

,

MAS PODE HAVER SEQUÊNCIAS FINITAS TAMBÉM

.

P

ARA UMA SEQUÊNCIA DE RAZÃO R E PRIMEIRO TERMO B

,

TEMOS

P ^ROGRESSÃO G ^EOMÉTRICA ^X F ^UNÇÃO E ^XPONENCIAL :

DO DISCRETO AO CONTÍNUO

(2)

2

R

=1,2

R

=1,6

R

=-1,2

R

=-1,6

V

EJAMOS COMO FICAM QUATRO SEQUÊNCIAS GEOMÉTRICAS COM PRIMEIRO TERMO B

=1

E DIFERENTES RAZÕES R

:

(3)

P

ARA BASES POSITIVAS

,

TODOS OS VALORES DA SEQUÊNCIA SÃO POSITIVOS

,

E QUANTO MAIOR A BASE

,

MAIS RAPIDAMENTE A SEQUÊNCIA CRESCE

.

P

ARA AS BASES NEGATIVAS

,

OS VALORES DA SEQUÊNCIA ALTERNAM DE NEGATIVO

(

QUANDO ELEVADAS A EXPOENTES ÍMPARES

)

PARA POSITIVO

(

QUANDO ELEVADAS A EXPOENTES PARES

)

AO LONGO DE TODA A SEQUÊNCIA

. Q

UANTO MAIOR A BASE

,

EM VALOR ABSOLUTO

,

MAIS RAPIDAMENTE OS VALORES DA SEQUÊNCIA CRESCEM EM VALORES ABSOLUTOS

.

N

OS QUATRO EXEMPLOS

,

SOMENTE VALORES POSITIVOS NAS ABCISSAS FORAM CONSIDERADOS

. E

M TODOS OS CASOS

,

OS CONJUNTOS

,

OU AS SEQUÊNCIAS

,

SÃO DISCRETOS

.

(4)

4

0 20 40 60 80 100 120

0 5 10 15 20

Número de casos

Dias

Casos COVID-19 Brasil

Número de casos 3

7 13 19 25 25 34 52 77 98

Razão

R=7/3=2,333333 R=13/7=1,857142 R=19/13=1,461538 R=25/19=1,315789

R=25/25=1 R=34/25=1,36 R=52/34=1,529411 R=77/52=1,480769 R=98/77=1,272727

P

ARECE BEM APROPRIADO À PRIMEIRA VISTA USAR UMA

PG

PARA CASOS

,

^OU ^ÓBITOS

,

^DE

COVID-19,

^VISTO ^QUE ^AMBOS ^TAMBÉM ^SÃO

CONJUNTOS DISCRETOS DE PONTOS

. N

O EIXO DAS ABCISSAS TEMOS USADO O TEMPO DE

1

^EM

1

^DIA

,

^E ^SÓ ^TEMOS ^TEMPOS ^POSITIVOS

. P

^OR ^OUTRO

LADO

,

^OS ^CASOS

,

^OU ^ÓBITOS

,

^SÃO ^SEMPRE ^NÚMEROS ^INTEIROS

,

^E ^NA

PG

PODEMOS TER VALORES NÃO INTEIROS

. V

EJAMOS

UM EXEMPLO REAL DE NÚMERO DE CASOS DE

COVID-19

^PARA ^O

B

^RASIL ^DO

8

^º ^AO

17

^º ^DIA

:

(5)

P

UDEMOS NOTAR

,

QUE EMBORA O CONJUNTO DE DADOS REAIS SEJA DISCRETO

,

NÃO EXISTE UMA RAZÃO

,

R

,

FIXA

,

COMO DEVE HAVER PARA QUE SEJA UMA

PG.

V

EJAMOS

,

ENTÃO

,

A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

: U

MA FUNÇÃO EXPONENCIAL É DEFINIDA POR

𝒇 𝒙 = 𝒂

^𝒙

, 𝒂 é 𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆, 𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂 𝑺𝒆 𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 é 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑺𝒆 𝒂 = 𝟏, 𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 é 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑺𝒆 𝒂 > 𝟏, 𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 é 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑺𝒆 𝒂 ≠ 𝟏 → 𝑰𝒎

_𝒇

= 𝟎, ∞ , 𝐞 𝐬𝐞 𝒂 = 𝟏 → 𝑰𝒎

_𝒇

= 𝟏, 𝒆 𝒔𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆𝑫

_𝒇

= ℝ

Sempre 𝒂

^𝟎

= 𝟏, ou seja, 𝒇 𝒙 = 𝒂

^𝒙

sempre passa pelo ponto (𝟎, 𝟏)

U

MA FUNÇÃO EXPONENCIAL SERÁ CHAMADA DE EXPONENCIAL NATURAL QUANDO SUA BASE FOR IGUAL AO NÚMERO DE

E

ULER E

(6)

6

a=1,2 a=1,6

C

OMPARAÇÃO DA FUNÇÃO

EXPONENCIAL PARA DOIS VALORES DISTINTOS DE BASES MAIORES QUE

1. C

^OMO ^O ^DOMÍNIO ^DA EXPONENCIAL É O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

,

^NO

EIXO DAS ABCISSAS TEMOS VALORES DESDE

-∞

^ATÉ

+∞,

^E ^PODEMOS ^OBTER

QUALQUER VALOR REAL MAIOR QUE ZERO

.

(7)

0 50 100 150

0 5 10 15 20

Número de casos

Dias

Casos COVID-19 Brasil

a

=B=1,2

a

=B=1,6

P

^ODERÍAMOS ^TENTAR ^BUSCAR

UMA BASE DE FUNÇÃO EXPONENCIAL TAL QUE A CURVA PASSASSE POR TODOS OS PONTOS

,

^PORÉM ^ESSA ^BASE ^NÃO

EXISTE

,

OU SEJA

,

NENHUMA FUNÇÃO EXPONENCIAL PASSARÁ EXATAMENTE SOBRE TODOS ESSES PONTOS

!

P

^ARA ^COMPARAÇÃO

,

^AO

LADO EM AZUL TEMOS A FUNÇÃO EXPONENCIAL

,

E EM VERMELHO TEMOS A

PG. V

^EMOS ^QUE ^SE ^A

BASE DA EXPONENCIAL FOR IGUAL À RAZÃO DA

PG,

^TODOS ^OS

PONTOS DA

PG

ESTARÃO SOBRE A CURVA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

! A

^DIFERENÇA ^É ^QUE ^A

PG

^É

DISCRETA

,

ENQUANTO QUE A

(8)

8

E

POR QUE

,

ENTÃO

,

USAMOS FUNÇÃO EXPONENCIAL

(

CONTÍNUA

)

PARA DESCREVER O CONJUNTO

(

DISCRETO

)

DE DADOS DE CASOS E DE ÓBITOS DE

COVID-19? A

RESPOSTA É QUE A FUNÇÃO EXPONENCIAL É O MELHOR MODELO MATEMÁTICO QUE DESCREVE O COMPORTAMENTO OBSERVADO E PERMITE CÁLCULOS MATEMÁTICOS COM PRECISÃO SUFICIENTE PARA TIRARMOS CONCLUSÕES SIGNIFICATIVAS

,

DE MODO A MELHORAR NOSSA COMPREENSÃO DO PROBLEMA E ALGUMAS VEZES ATÉ FAZER PREVISÕES SOBRE O COMPORTAMENTO FUTURO DO FENÔMENO EM QUESTÃO

.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA X FUNÇÃO EXPONENCIAL:

Q

(PG)

? Q

(

)

COVID-19?

U

PG,

,

. G

,

.

P

,