1) Considere um círculo de raio 10 cm . Determine:a) A medida do lado e do apótema do triângulo equilátero inscritoSolução. Observando a figura e considerando L, o lado do triângulo ea

VESTIBULAR 2016 PROFESSOR: NEY MENEZES

MATEMÁTICA II

POLÍGONOS REGULARES – QUESTÕES – GABARITO

1) Considere um círculo de raio 10 cm . Determine:

a) A medida do lado e do apótema do triângulo equilátero inscrito Solução. Observando a figura e considerando L, o lado do triângulo e a

o apótema, temos:

cm a a

a sen ii

cm L L

L i

p p

p 5

2 . 1 2 10 10 30

)

3 . 2 5

. 3 2 10 30

10 cos ) 2







 



 

















 







.

b) A medida do lado e do apótema do quadrado inscrito

Solução. A diagonal do quadrado possui a mesma medida do diâmetro do círculo. Observando a figura e considerando L, o lado do quadrado e a

o apótema, temos:

cm L a

a ii

cm L

L L d

d r i d

p

p 5 2

2 2 10 ) 2

2 2 10

2 20 2 20 20

2. 2.

20 ) .2



















 

 









.

c) A medida do lado e do apótema do hexágono regular inscrito

Solução. O apótema do hexágono é a altura de um dos seis triângulos equiláteros que formam o hexágono. Observando a figura e considerando L, o lado do hexágono e a

o apótema, temos:

 

cm a

a a sen

ii

R L cm L L

L i

p p

p 5. 3

2 . 3 10 10 60

)

2 10 . 1 2 10 60

10 cos ) 2











 

















 



 







.

2) A menor diagonal de um hexágono regular inscrito em um círculo

mede 8 cm . A razão entre o perímetro do hexágono e o perímetro do quadrado inscritos nesse círculo é:

1

a)

b)

2 2 .

3

c)

4 2 .

3

d)

3 3 .

4

e)

3 6 .

4

Solução. O lado do hexágono possui a mesma medida do raio do círculo circunscrito. O ângulo interno do hexágono regular mede:

6 ) 2 6 .(

180

A6

.

Utilizando a lei dos cossenos no triângulo AEF, temos:

 

120 cos ).

).(

.(

2 ^{2 2 2 2}

2 2

2      



 

 













R R R R R R R R

d

.

Calculando os lados dos polígonos e seus perímetros, temos:

cm P

R L ii

cm P

R L i

2 32 2 8 4 2 2 8 2 )

48 8 6 2 8 )

4 4

6 6

























.

Calculando a razão pedida, temos:

4 2 . 3 2 . 2 2 2

3 2 . 2

3 2 32

48 2

2

4

6    

P

P

.

3) A medida do lado do quadrado circunscrito a um círculo é 18 cm. O perímetro do triângulo equilátero inscrito nesse mesmo círculo será:

a) 81 cm b) 27 cm c) 42 d) 72 cm e) 72 cm Solução. O lado do quadrado circunscrito ao círculo possui a mesma medida do diâmetro desse círculo. Utilizando as fórmulas convenientes, temos:

 

cm Triàngulo

Perímetro iii

cm R

L ii

cm R

L R R i L

81 )27 .(3 ) (

)

27 )3 ).(

9(

3 .3 9 3 . )

3 2 9

3 3 .18

.18 3 2

.18 ) 2

3 4 4





















 

 





.

2

3