PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM MÚLTIPLOS DEPÓSITOS USANDO METAHEURÍSTICAS
Sibelius Lellis Vieira (PUC GOIAS) sibelius.vieira@gmail.com Marcos Vinicios dos Reis (PUC GOIAS) marcosreis_9@yahoo.com.br Murray Evangelista de Souza (PUC GOIAS) murray.souza@gmail.com
As organizações lidam frequentemente com questões relacionadas à logística, que abordam problemas de planejamento, implementação e do controle do fluxo de mercadorias. Um problema importante na gestão da cadeia de suprimentos é o problema dde roteamento de veículos em processos de logística. O problema de roteamento de veículos com múltiplos depósitos (PRVMD) leva em consideração as variáveis e restrições do problema de localização e roteirização. A solução deste problema tem como objetivo encontrar as rotas que têm o menor custo, levando em consideração as restrições do problema, tais como a capacidade limitada do veículo, o tempo de trabalho do motorista, a capacidade do depósito, a possibilidade de pontos de venda serem atendidos por mais de um veículo, entre outras. Neste trabalho, procura-se formular e analisar a aplicação do Simulated Annealing ao problema de roteamento de veículos, que utilizam mais de um depósito para o armazenamento de produtos que devem ser distribuídos aos ponto de venda, com o objetivo de minimizar o custo da operação e ao mesmo tempo, obedecer as restrições de recursos disponíveis. Considera-se que as restrições dos recursos imponham um custo máximo para as rotas, que espelham o caso prático de entregas periódicas (normalmente diárias), além de outras restrições adequadas ao problema. A capacidade dos veículos e dos depósitos não é objeto de consideração. Diferentes mecanismos de vizinhança e de estabelecimento da solução inicial são analisados e comparados, indicando que tal escolha é importante para a eficácia do simulated annealing.
Palavras-chaves: Roteamento, Logística, metaheurísticas
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PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM MÚLTIPLOS
DEPÓSITOS USANDO METAHEURÍSTICAS
3 1. Introdução
A gestão da cadeia de suprimentos é definida como um sistema pelo qual organizações e empresas entregam seus produtos e serviços aos consumidores, numa rede de organizações interligadas (CHOPRA et al, 2011). Uma gestão eficiente, apoiada por processos computacionais que priorizam o uso de algoritmos adequados para a solução dos problemas de roteamento, armazenamento e transporte e facilite a tomada de decisão, assegura que estas organizações ofereçam um serviço diferenciado, garantindo uma liderança no mercado e permitindo que a empresa estabeleça uma vantagem competitiva sobre os serviços das suas concorrentes, além de maximizar lucros e minimizar custos (ZAPFEL et alli, 2010).
Neste contexto, as organizações lidam frequentemente com questões relacionadas à logística, que abordam problemas de planejamento, implementação e do controle do fluxo de mercadorias em uma organização (TALBI, 2009), bem como questões de armazenamento intermediário e transporte.
Para que a logística funcione de forma adequada, deve atender a alguns critérios: a mercadoria deve ser entregue na forma que o cliente deseja, com a quantidade esperada, no prazo correto e com um custo mínimo (BOWERSOX et alli, 2006). O problema de roteamento de veículos com múltiplos depósitos (PRVMD), que é a base do estudo dessa pesquisa, tem como fundamento a logística, e leva em consideração as variáveis e restrições do problema de localização e roteirização (MIRANDA et al, 2010). A solução deste problema tem como objetivo encontrar as rotas que têm o menor custo, levando em consideração as restrições do problema, tais como a capacidade limitada do veículo, o tempo de trabalho do motorista, a capacidade do depósito, a possibilidade de pontos de venda serem atendidos por mais de um veículo, entre outras (SILVA JÚNIOR, 2009).
Uma forma adequada para tratar este tipo de problema é a utilização de metaheurísticas, que produzem uma solução boa em um curto prazo de tempo (KIRKPATRICK et alli, 1983). Soluções produzidas por metaheurísticas podem ser avaliadas em um curto intervalo de tempo, permitindo aos tomadores de decisão compararem as alternativas geradas e garantindo às empresas de logística a obtenção de rotas eficazes, com um menor custo na entrega.
A técnica de Simulated Annealing é uma das ferramentas que empregam uma metaheurística de forma flexível e com bons resultados para problemas combinatoriais (MELIÁN et alli, 2003). Neste trabalho, procura-se formular e analisar a aplicação do Simulated Annealing ao problema de roteamento de veículos, que utilizam mais de um depósito para o armazenamento de produtos que devem ser distribuídos aos ponto de venda, com o objetivo de minimizar o custo da operação e ao mesmo tempo, obedecer as restrições de recursos disponíveis. Considera-se que as restrições dos recursos imponham um custo máximo para as rotas, que espelham o caso prático de entregas periódicas (normalmente diárias), além de outras restrições adequadas ao problema. A capacidade dos veículos e dos depósitos não é objeto de consideração. Diferentes mecanismos de vizinhança e de estabelecimento da solução inicial são analisados.
No restante do artigo, a descrição do problema de roteamento de veículos com múltiplos depósitos proposta neste trabalho é apresentada, através do formalismo da programação linear inteira.
O método de Simulated Annealing é descrito a seguir, realçando os parâmetros que devem ser ajustados para cada tipo de problema. Estes modelos são aplicados em exemplos hipotéticos, para extrair as informações necessárias no ajuste do método de Simulated Annealing e para explorar os impactos que as características de vizinhança e de solução inicial podem representar na solução final, tanto em termos de eficácia como de eficiência. Algumas considerações sobre os desafios correntes e futuras direções são apresentadas na conclusão.
2. Materiais
Um grande problema na gestão da cadeia de suprimentos é o problema de roteamento de veículos em processos de logística (MIRANDA et al, 2010). Os problemas reais de roteamento estão
4 sujeitos a uma série de fatores tais como uma frota não homogênea de veículos, compartilhamentos de veículos, produtos incompatíveis, facilidades logísticas diferentes, o tempo de janelas de entregas, velocidades variadas causadas pelas condições do tráfego, os clientes com prioridades diferentes e condições de entrega e assim por diante (FISHER, 1995).
A otimização do problema de PRVMD abordado leva em consideração somente as distancias (custos) entre as cidades (cliente). Fatores tais como a capacidade dos veículos, o tipo de carga e prioridade de clientes não são levados em consideração. O problema deve respeitar regras fundamentais das situações práticas, tais como a de que sempre que um determinado veículo faz uma entrega, ou seja, chega em um determinado nó, o mesmo veículo deve deixar posteriormente (e quase que imediatamente) o mesmo nó. Os veículos que saem de um determinado depósito devem voltar para o mesmo depósito e não deve ser ultrapassada um custo máximo de viagem que os veículos realizam periodicamente.
2.1 Formulação do problema
O objetivo do problema é minimizar o custo total, que inclui o custo de instalação do depósito, dos veículos usados e os custos das rotas, conforme a apresentação dada na equação (1).
Todos os parâmetros utilizados no problema, os índices e as variáveis de decisão são definidos e descritos nas Tabelas 1, 2 e 3 respectivamente. A primeira parte da equação (1) representa os custos de instalação e operação dos depósitos. Neste trabalho, este custo não será considerado. A segunda parte representa o custo total dos veículos utilizados e a terceira parte representa o custo total de todas as rotas, ou seja, o somatório dos custos de cada rota, sendo cada uma delas associada a um e apenas um veículo.
A restrição dada na equação (2) assegura que apenas um veículo chega em uma cidade para realizar a atividade associada e a restrição dada na equação (3) garante que somente um veículo sai de cada uma das cidades. Todas as cidades são servidas por algum veículo.
A restrição (4) garante que o veículo que entra em uma cidade é o mesmo a deixar esta cidade, impedindo a troca de veículos durante o percurso de uma rota.
A restrição (5) assegura que qualquer rota deve incluir um e apenas um dos depósitos existentes, ou seja, impede a utilização de veículos (rotas) que não passam por nenhum depósito, Um
5 veículo apenas existe e é contabilizado se ele sair de algum depósito existente para percorrer uma rota.
Com, isto evita-se a formação de rotas isoladas ou “sub rotas”, que não tem sua associação a nenhum depósito.
A restrição (6) impede que a rota percorrida não ultrapasse o limite máximo preestabelecido para qualquer rota, ou seja, o custo de qualquer rota é limitado de acordo com um critério estabelecido previamente. O critério mais habitual para este tipo de restrição é o que associa às rotas uma ocorrência periódica, como é o caso de entrega de jornais diários.
Tabela 1 - Parâmetros do modelo.
Tabela 2 - Índices do modelo.
Índice Descrição Intervalo de
Variação i,j Local de origem e destino de
um percurso (0,...,N)
k Veículo que realizará o
percurso (1,...,M)
Tabela 3 - Descrição das variáveis de decisão do modelo.
Variável Tipo Descrição
Parâmetro Descrição
f
iCusto de instalação dos depósito i.
N Número total de cidades (ou clientes).
M Número total de veículos.
Q Número de depósitos (0 e 1).
C Custo de cada veículo.
c
ijCusto de percorrer o percurso i ao j. No caso estudado, este custo está relacionado ao tempo de distância a ser percorrida de i a j.
L Custo máximo de uma rota. No caso estudado, este custo está relacionado ao tempo e distâncias totais percorridas em uma rota.
6
x
ijkBinária 1: indica que o percurso i para j é feito pelo veículo k
0: indica que o percurso entre i e j não é feito pelo veículo k
z
kBinária 1: indica que o veículo k existe, ou seja, tem uma rota associada
0: indica que o veículo k não é utilizado.
y
iBinária 1: indica que o depósito i existe 0: indica que o depósito i não existe.
3. Métodos
Do ponto de vista conceitual, as metaheurísticas são um processo que guia uma heurística subordinada através da combinação de formas inteligentes diferentes que exploram o espaço de busca e de estratégias de aprendizado usadas para estruturar as informações de modo a encontrar boas soluções (SARAMAGO, 2003). Entre as metaheurísticas mais utilizadas, temos a busca tabu, o simulated annealing e a computação evolutiva (BLUM et al, 2003). O Simulated Annealing foi selecionado neste trabalho por apresentar um bom desempenho na solução de problemas de natureza combinatorial, tanto linear quanto quadrática (VIEIRA et al, 2004).
3.1 Descrição do Simulated Annealing
A metaheurística de Simulated Annealing emprega uma analogia entre os problemas de física estatística e problemas combinatoriais (KIRKPATRIC et alli, 1983). O procedimento considera um sistema em equilíbrio térmico a uma temperatura t com um nível de Energia Ek. A partir daí, uma perturbação aleatória é aplicada no sistema, correspondendo a uma mudança no nível de energia. Se o novo nível de energia Ej é menor do que Ek, a perturbação é aceita e o sistema evolui para um novo estado. Se o nível de energia aumenta, o sistema pode evoluir para um novo estado com uma probabilidade que é proporcional à exp{(Ej - Ek)/t}. Depois de um número razoavelmente grande de estados terem sido gerados e avaliados, a temperatura é decrementada e o processo é repetido. A medida que a temperatura diminui, a probabilidade de aceitar perturbações que aumentem o nível de energia do estado corrente também diminui. Isto implica em aceitar, depois de um longo tempo, apenas as perturbações que melhorem a solução. O algoritmo termina com algum critério de parada determinado, tal como o número de estados avaliados e/ou uma temperatura relativamente baixa.
A temperatura t, com valor inicial tinic, é o parâmetro que controla a evolução do algoritmo.
O valor inicial deve ser relativamente alto para permitir uma boa evolução (diversificação) no espaço de soluções. Este aspecto permite que o algoritmo evite ficar preso em regiões de ótimos locais, pois evoluções que não melhorem a solução corrente tem grande probabilidade de serem aceitas. A medida que a temperatura vai diminuindo, o processo de melhoria em uma região específica vai se intensificando (intensificação), até que eventualmente convirja para um ótimo global.
A solução inicial é denotada por Xinic e nos referimos à Xmelhor, Xatual e Xnovo para representar a melhor solução, a corrente e a nova solução obtida a partir da solução corrente. Os valores das funções objetivo para as soluções inicial, nova, melhor e corrente são denotadas por Zinic, Znovo, Zmelhor e Zatual, respectivamente. A partir da solução corrente Xatual pode-se obter uma nova solução Xnovo através de uma busca aleatória na vizinhança da solução corrente, denominada BUSCA(Xatual). A nova solução será aceita se ∆(Znovo,Zatual) for positivo. Em tal caso, é feita uma verificação para identificar se a nova solução é a melhor encontrada até o momento. Por outro lado, se ∆(Znovo,Zatual) for negativo, a nova solução será aceita com uma probabilidade que diminui com a temperatura corrente t. Um número
7 uniformemente distribuído no intervalo [0,1) é gerado para decidir se a nova solução será aceita. Na Figura 1, o método é ilustrado na sua forma algoritmica.
Algoritmo Simulated Annealing (Xinic,Zinic,tinic);
Inicio
Xmelhor ←Xatual ← Xinic
Zmelhor ← Zatual ← Zinic
t ← tinic
Repete
Para i = 1 até REPmax faça Xnovo ← BUSCA(Xatual) Se (Zatual,Znovo) > 0
Xnovo ← Xatual
Se Znovo > Zmelhor
Xmelhor ← Xnovo
Zmelhor ← Znovo
Fim-se
Senão
Se exp{∆ (Znovo,Zatual)/t} > Rand[0,1) Xnovo ← Xatual
Fim-se Fim-se Fim-para t ← rc.t
Até função objetiva inalterada Retorna Xmelhor, Zmelhor
Fim
Figura 1 – Descrição algoritmica do Simulated Annealing
O mecanismo de decréscimo de temperatura utiliza geralmente uma escala conhecida como escala geométrica, na qual a temperatura decresce em progressão geométrica ( t = rc.t com 0 < rc < 1).
A cada nível de temperatura, um número normalmente fixo de soluções são geradas e avaliadas. Este número é denominado fator de repetição e denotado como REPmax. O processo continua até que a temperatura atinja um valor tão baixo que efetivamente impeça que a solução vai mudar, a menos que seja para melhor.
3.2 Solução inicial
De acordo com a interpretação da solução do problema, descrita anteriormente na seção 2.1, todas as cidades devem ser atendidas por um e apenas um veículo, todos os veículos iniciam e terminam seu trajeto no mesmo depósito, os trajetos são limitados e a soma dos custos dos trajetos deve ser minimizada, juntamente com os custos dos veículos.
A solução do problema de roteamento de veículos com múltiplos depósitos é iniciada com a escolha de rotas, tomando como os pontos iniciais os depósitos. Para este trabalho, são avaliadas a solução inicial aleatória e a solução inicial determinada por uma busca gulosa. Esta busca é implementada através da escolha da cidade mais próxima, em termos de custo, até o limite de custo para uma determinada rota que pode ser percorrida por um veículo.
8 3.3 Escolha da vizinhança
Como a qualidade das soluções das metaheurísticas pode depender fortemente do tipo da escolha da vizinhança, uma das características deste trabalho é avaliar a busca pelo tipo de vizinhança mais adequada para a otimização, a partir das rotas iniciais (gulosas ou aleatórias).
A primeira proposta é a remoção e inserção das cidades de forma aleatória. Essa etapa consiste na escolha randômica de duas rotas, e duas posições dentro destas rotas. Inicialmente, duas rotas são escolhidas de forma aleatória, e em cada uma destas rotas, duas posições também aleatórias são identificadas. Na primeira rota gerada, uma cidade na posição escolhida é retirada, e é feita uma verificação da factibilidade nessa rota, pois há casos em que ao se retirar uma cidade de uma rota, a ligação direta entre as cidades anterior e posterior podem geram um custo que ultrapassa o limite de custo da rota. Se essa retirada tornar a solução não factível, deve-se retornar para o inicio do processo de escolha, de tal forma a garantir da factibilidade das rotas alteradas. Caso a retirada da primeira cidade seja factível, ela é inserida na segunda rota escolhida, na posição escolhida aleatoriamente. Esta inserção só é definitivamente efetivada se a alteração não torna a segunda rota infactível, pois em caso contrário, uma nova escolha deve ser tentada.
A principal vantagem desse método é que ele permite a retirada de rotas até que a solução final seja encontrada, ou seja, pode haver exclusão de algumas rotas no processo de escolha do vizinho. Esse tipo de abordagem gera um balanceamento nas rotas que não são excluídas. Porém, esta abordagem pode se prender em soluções quando a amostragem de busca é pequena, e o algoritmo tende a escolher de forma cíclica as mesmas soluções factíveis do problema.
A segunda proposta de vizinhança é uma permuta entre cidades pertencentes à rotas diferentes. Nesta abordagem, são escolhidas duas rotas e duas cidades aleatoriamente, como no caso anterior. A primeira cidade escolhida da primeira rota escolhida é trocada com a segunda cidade escolhida da segunda rota escolhida. A vantagem desse método é que a amostragem de busca é sempre grande. Entretanto, nesse tipo de abordagem não é possível alterar o número de rotas e portanto, o custo associado ao veículo da rota, o que é uma grande desvantagem, já que geralmente o custo associado aos veículos é alto.
4. Resultados e discussão
No sentido de demonstrar a as principais características da técnica de Simulated Annealing para a solução dos problemas de roteamento de veículos, deve-se investigar experimentalmente quais as técnicas de vizinhança mais adequadas para o algoritmo de tal forma que ele selecione as melhores soluções. Além disto, o impacto da escolha da solução inicial na solução final também deve ser identificado em função das características das soluções encontradas. Para tal, as seguintes questões devem ser adequadamento respondidas:
1. Como adequar o algoritmo de Simulated Annealing com relação às técnicas de escolha da vizinhança?
2. Qual o impacto da solução inicial gulosa no desempenho do algoritmo?
Para responder à questão 1), aplica-se o algoritmo de Simulated Annealing a um conjunto de dados gerados aleatoriamente, tanto para a vizinhança insere-retira quanto para a vizinhança troca e o resultado tanto na métrica do valor da função objetivo quanto na do tempo necessário para calculá-la é observado. Para responder a questão 2) aplica-se o algoritmo de Simulated Annealing às mesmas instâncias anteriores, mas com uma solução inicial aleatória, observando e comparando os valores anteriormente mencionados.
4.1 Parâmetros básicos do PRVMD no Simulated Annealing
9 Para realizar a avaliação do desempenho do Simulated Annealing, considera-se matriz de custo cij dada através de uma distribuição uniforme de custos entre cidades e destas para os depósitos, tendo um valor uniformemente distribuído no intervalo [10,100]. O número de cidades é variável, começando em 28 e aumentando em uma dezena até o número máximo de 98, totalizando um total de 100 pontos (2 depósitos e 98 cidades). O valor para o custo máximo de qualquer rota (L) é de 200 e o valor de cada veículo (ki) é de 100.
O valor inicial da temperatura foi escolhido de tal forma que possibilite movimentos para regiões de pior solução e o fator de redução conjuntamente com o número de repetições e o critério de parada permitem que estes movimentos diminuam ao ponto de inexistirem ao final do algoritmo. Para os valores típicos do nosso problema, o valor de tinic é escolhido de tal forma que ∆ (Znovo,Zatual)/tinic
seja pequeno, na faixa de [10-2,10-3]. Como critério de parada, um valor de temperatura tfim é escolhido para que inviabilize qualquer movimento que não seja para melhorar a solução, ou seja, um valor de tfim substancialmente menor do ∆ (Znovo,Zatual), em geral de 100 a 1000 vezes menor. Para esta variação de t, o decréscimo da temperatura de forma geométrica com um fator de redução rc , o número de degraus de temperatura pode ser dado por tfim/tinic .log(rc) . Em cada degrau, com a temperatura mantida constante, ajusta-se o fator de repetição de tal forma a obter-se um valor para a função objetivo que aproxima-se da solução ótima.
4.2 Avaliação das vizinhanças e soluções iniciais
Primeiramente, o valor da função objetivo é calculado, levando-se em conta um conjunto de cenários cujos parâmetros já foram especificados na seção 4.1, partindo de uma solução inicial gulosa, para as vizinhanças retira-insere e a vizinhança de troca. Cada cenário é executado dez vezes e os dados analisados são tomadas em relação à média destas 10 observações. Na Figura 2, pode ser observado que para ambos os casos, a função objetivo aumenta de forma regular com o aumento o número de cidades ou o custo do sistema. Este aumento não é linear, indicando que após um determinado número de cidades, o ganho na função objetivo diminui. Isto acontece em particular em função do aumento das opções de rotas e portanto, da possibilidade de escolha de rotas melhores por unidade de rota. Também é notado que a vizinhança retira-insere apresenta um resultado melhor e isto se deve ao fato de este tipo de vizinhança permite a diminuição de rotas, o que não ocorre com a vizinhança do tipo permuta. A diminuição de rota acaba implicando em um valor menor da função objetivo, na média.
1000 1300 1600 1900 2200 2500 2800 3100 3400 3700
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Número de cidades
Valor da funcão objetivo s
Retira insere Permuta
10
Figura 2 – Ilustração do valor da função objetivo para as vizinhanças retira-insere e
permuta, com solução inicial gulosa.
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Número de cidades
Número de tentativas
Retira insere Permuta
Figura 3 – Ilustração do número de tentativas para as vizinhanças retira-insere e permuta, com solução inicial gulosa.
Na Figura 3, verifica-se que o número de tentativas realizadas para obter a solução final é maior para a vizinhança retira-insere. Com a possível diminuição do número de rotas e o decréscimo da função objetivo e da temperatura a medida que o algoritmo evolui, o número de vizinhos factíveis em uma vizinhança também diminui sensivelmente, o que torna a vizinhança retira-insere mais lenta e aumenta o número de tentativas para encontrar novas soluções factíveis. O aumento do número de cidades e consequentemente do número de rotas, por outro lado, também influencia este comportamento, pois aumenta a chance de obter vizinhos factíveis. Entretanto, o desempenho dos dois tipos de solução é equivalente do ponto de vista de esforço computacional.
Em um segundo grupo de experimentos, a escolha da solução inicial é realizada de forma aleatória. Pode ser observado, na Figura 4, um aumento não-linear do valor da função objetivo, consistente com os resultados anteriores apresentados na Figura 2 e já discutidos. A novidade é que o valor das função objetivo final é bem maior do que o obtido para a solução inicial gulosa, indicando que a solução inicial tem importância para a convergência adequada da metaheurística, o que tem sido observado em outros trabalhos.
11
1000 1500 2000 2500 3000 3500
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Número de cidades
Valor da função objetivo s
Retira Insere Permuta
Figura 4 – Ilustração do valor da função objetivo para as vizinhanças retira- insere e permuta, com solução inicial aleatória.
5. Conclusão
Neste trabalho procura-se examinar o problema do roteamento de veículos com múltiplos depósitos, identificando uma formulação adequada para o tratamento do problema e um método de busca baseado em metaheurísticas capaz de resolver o problema em um tempo aceitável. As propostas abordadas resultaram em soluções interessantes e se mostraram capazes de contribuir com melhorias no planejamento das rotas. A solução inicial abordada é uma solução parecida com a solução tomada por pessoas que planejam essas rotas, que é traçar as rotas para as localidades mais próximas.
Contudo, os resultados mostraram que essa não é uma boa estratégia de roteamento.
As técnicas de otimização com o simulated annealing juntamente com as iterações das vizinhanças se mostraram melhores em combinação com os algoritmos gulosos. A técnica de inserção remoção se mostrou cara computacionalmente quando o espaço de busca se reduz com a remoção dos veículos. Porém, quando o número de cidades aumenta essa técnica se torna muito mais eficaz.
A técnica de permutação de atendimento de cidades entre rotas diferentes se mostrou equilibrada, embora com menor eficácia em relação à técnica insere remove, em função de não alterar o número de rotas e portanto, do número e custo dos veículos. Por outro lado, ela não apresenta os problemas de se prender de forma cíclica em algumas soluções, da forma como pode ocorrer a insere remove.
Como perspectivas de continuação do trabalho, espera-se investigar novas formulações, que incluam um número maior de depósitos, os custos dos depósitos e capacidades de entrega e demanda de recebimento.
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