Aplicação do Torque Residual para Satélites Artificiais Estabilizados por Rotação em Órbita Elíptica
Maria Cecília Zanardi, Roberta Veloso Garcia
GRUPO DE DINÂMICA ORBITAL E PLANETOLOGIA FEG – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá
UNESP – Universidade Estadual Paulista
Rua Ariberto Pereira da Cunha, 333 – CEP 12516-410 – Guaratinguetá – SP – Brasil Tel.: (12) 3123 2863 Fax: (12) 3123 2845 e-mail: rovgarcia@hotmail.com; cecilia@feg.unesp.br Objetivo
Este artigo está relacionado com o modelo do torque magnético residual, que é o resultado da interação entre o campo magnético do satélite e o campo geomagnético. O objetivo principal é determinar as componentes do torque residual em um sistema fixo no satélite, considerando o modelo de quadripolo para o campo geomagnético e o satélite estabilizado por rotação em órbita elíptica. As componentes do Torque Residual Médio são determinadas em função de diversas integrais em termos da Anomalia Média.
Introdução
A precisão de satélites artificiais depende da posição e orientação em que estes se encontram no espaço, em relação a um sistema de referência fixo na Terra. Porém a ação continuada de forças e torques, oriundas da ação do meio onde os satélites orbitam, influênciam significativamente no movimento destes, ou seja, na atitude e na órbita destes satélites. O torque magnético atuante em satélites artificiais resulta da interação entre o campo magnético do satélite e o campo magnético da Terra. As principais fontes causadoras do torque magnético são o momento magnético do satélite, as correntes de Foucault e a histerese, sendo o momento magnético do satélite a fonte dominante. O torque magnético pode ser subdividido em: Torque Magnético Residual, Torque devido às correntes de Foucault e Torque de Histerese.
Sistemas de Referência
Para o desenvolvimento do torque magnético residual médio e para determinação de suas componentes no sistema fixo no satélite são utilizados os sistemas de coordenadas e as matrizes de rotações que relacionam estes sistemas. As matrizes de rotação estão definidas em termos de ângulos de Euler, envolvendo os elementos orbitais, a ascensão reta e declinação do eixo de rotação do satélite.
Sistema Equatorial
O sistema equatorial denominado geocêntrico, representado por O’XYZ, possui sua origem no centro de massa da Terra, com o plano de referência O’XY
paralelo ao plano do Equador terrestre, com o eixo O’X apontando na direção do ponto vernal (intersecção do plano da eclíptica com o plano do equador terrestre), o eixo O’Z na direção do pólo norte e o eixo O’Y forma o sistema dextrógiro. Os vetores unitários deste sistema são representados por Iˆ , Jˆ , Kˆ .
Sistema do Satélite
O sistema do satélite Oxyz, está associado ao eixo de rotação s ˆ do satélite em torno de seu centro de massa O, com o eixo Oz na direção deste eixo de rotação, o plano Oxy é perpendicular a Oz, com o eixo Ox na intersecção de Oxy com o plano equatorial OXY e o eixo Oy formando o sistema dextrógiro. Os vetores unitários deste sistema são representados por
. kˆ ˆ ,j , iˆ
Pela Figura 1 observamos que o sistema do satélite Oxyz é obtido do sistema geocêntrico OXYZ através de:
- rotação de ( α - 270 0 ) no eixo OZ, a qual associamos a matriz de rotação R Z ( α − 270 o ) ;
- rotação de ( 90 o − δ ) no eixo Ox, a qual associamos a matriz de rotação R X ( 90 − δ ) .
Figura 1: Sistema Equatorial ( I , Jˆ , Kˆ
), Sistema dos Satélite ( iˆ , ˆ ,j kˆ ) , orientação do eixo de rotação ( sˆ ), ascensão reta ( α ) e declinação ( δ ) do eixo de rotação.
K ˆ ˆ j
plano de rotação k ˆ = s ˆ
90
o- /
.
J ˆ plano equatorial
i ˆ
I ˆ
Desta maneira, estes dois sistemas se relacionam através da matriz de rotação R 1 e:
= Kˆ Jˆ Iˆ R 1 kˆ jˆ
iˆ (1)
com:
δ α δ α
δ
δ α δ
− α δ
−
α α
−
=
Sen Sen
Cos Cos
Cos
Cos Sen Sen Cos
Sen
0 Cos
Sen
R 1 (2)
A matriz de rotação R 1 é útil na determinação das componentes do campo geomagnético no sistema do satélite, uma vez que se conheçam as componentes deste campo no sistema inercial. As componentes do campo geomagnético no sistema do satélite são utilizadas para determinar as componentes do torque residual neste sistema, as quais são necessárias nas equações do movimento rotacional do satélite estabilizado por rotação.
Campo Magnético da Terra
Em 1838, Karl Fridrich Gauss (1777-1855), matemático, astrônomo e físico alemão, obteve uma representação matemática aproximada para destacar o campo magnético terrestre. Como o campo magnético gira com a Terra, sendo uma indicação clara que o campo origina onde está a Terra, e devido à natureza esférica da Terra, o potencial é dado por:
( ) ( θ + θ ) ( ) φ
= θ
φ ∑ ∑
= +
=
n m n
0 m
m n m n
1 k n
1 n
T T g cos m h sen m P
r r r , , r V
(3) em que r T é o raio equatorial da Terra, g m n , h m n são os coeficientes Gaussianos, P n m ( φ ) são os Polinômios associados de Legendre, r,φ,θ representam a distância geocêntrica, a co-latitude e a longitude de um ponto no espaço respectivamente.
Componentes do Campo Geomagnético
O campo geomagnético terrestre pode ser expresso como o gradiente de um potencial escalar V, como mostrado abaixo:
V
B & = −∇
(4) em que o potencial geomagnético V está representado na equação (3).
Em termos de coordenadas esféricas (r,φ,θ), o gradiente do potencial é dado por:
∂θ θ
∂
− φ
∂φ φ
− ∂
∂
− ∂
= V ˆ
sen r ˆ 1 V r rˆ 1 r B & V
(5)
em que φ ,θ , r representam a co-latitude, a longitude e o módulo do raio vetor de um ponto no espaço. Assim as componentes B r , B φ , B θ de B
&
no Sistema Horizontal local são dados por:
r - V B r
∂
= ∂
φ
∂
∂
− φ
φ = V
sen r
B 1
θ
∂
∂
= φ
θ V
sen r - 1
B (6)
Substituindo o potencial (V) dado por (3) nas equações (6) e evoluindo os cálculos, obtém-se:
∑ ∑
= =
+
φ θ +
θ
+
= k
1 n
n 0 m
m , n m , n m
, 2 n n
r t ( g cos m h sen m ) P ( )
r ) r 1 n ( B
∑ ∑
= =
+
φ φ
θ φ +
θ
= k 1 n
n 0 m
m , m n
, n m
, 2 n n t
d ) ( ) dP m sen h m cos g r (
B r
∑ ∑ − θ + θ φ
= φ
= =
+ θ
k 1 n
n 0 m
m , n m , n m
, 2 n n
t ( g sen m h cos m ) P ( )
r r sen B 1
(7) sendo que g n,m , h n,m e P n,m são funções dos coeficientes Gaussianos e de funções auxiliares S m,n .
Modelo de Quadripolo Magnético
Para o modelo de quadripolo magnético considera-se n variando de 1 a 2 e m indo de 0 a 2 nas equações (7). Portanto aplicando os valores de n e m nos somatórios da equação (7), tem-se que:
∑ ∑
= =
+
φ θ +
θ
+
=
21 n
2 0 m
m , n m
, n m
, n 2 n t
r
( g cos m h sen m ) P ( )
r ) r 1 n ( B
( θ + θ ) ∂ ∂ φ ( ) φ
−
= ∑ ∑
= +
= φ
m , n m
, n m
, 2 n
0 m 2 n 2 T
1 n
m P sen h m cos r g
B r
( g sen m h cos m ) P ( )
r m r sen - 1
B
2 n,m n,m n,m0 m 2 n 2 T
1 n
φ θ +
θ
−
= φ ∑ ∑
= +
θ =
