1. Verifique se os vetores são L.D. ou L.I. em cada item abaixo:

Prof. Dr. Anderson Luís Jeske Bihain Lista de Revisão – Geometria Analítica – P1

Nos exercícios de 1 a 4, considere os vetores ⃗ ⃗ , ⃗ e ⃗⃗ .

1. Verifique se os vetores são L.D. ou L.I. em cada item abaixo:

a. ⃗ e b. ⃗ e (4,-2,4) c. ⃗ e ⃗⃗

d. ⃗ , (1,2,3) e (2,1,4) e. ⃗ , e (7,4,0).

2. Determine:

a. ⃗ ⃗⃗

b. As coordenadas do ponto B, onde A =(1,0,-2) e ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ .

c. As coordenadas do ponto M, onde M é ponto médio do segmento AB, do item(b).

3. Escreva se possível:

a. ⃗ como combinação linear de =(4,-2,4) b. como combinação linear de ⃗

c. ⃗ como combinação linear de e =(4,-2,4) d. como combinação linear de ⃗ e =(4,-2,4) 4. Determine:

a. ⃗ e ⃗ ⃗⃗

b. ‖ ⃗ ‖| e ⃗ 

c. ⃗ e ⃗ ⃗⃗

d. A projeção de ⃗ na direção de e. A projeção de ⃗ na direção de ⃗⃗

f. A medida algébrica da projeção de na direção de ⃗ g. O versor de ⃗ , onde ⃗ // ⃗ .

h. Um vetor paralelo a ⃗ e de módulo 9.

i. O vetor , sabendo que seus ângulos diretores são agudos, onde 60,

45e | | | ⃗⃗ | j. ⃗⃗

k. Um vetor unitário ortogonal aos vetores ⃗ e l. A área do triângulo ABC, onde ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , e ⃗⃗⃗⃗⃗ 

m. [ ⃗ , , ⃗ ]

n. O volume do paralelepípedo de arestas AB, AC e AD, onde, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,

⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ .

5. Determine a força resultante das forças aplicadas em cada item a seguir:

a.

‖ ⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗ ‖

b.

‖ ⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗ ‖

6. é

paralela ao vetor ⃗ . Determine as coordenadas dos outros vértices.

7. Sabendo que | ⃗ |2 , | ⃗⃗ |4 e ( ⃗ , ⃗⃗ ) 60, calcule:

a. | ⃗ + ⃗⃗ |

8. De um triângulo ABC, sabemos que: ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ , ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ √ Determine a área deste triângulo.

9. De um paralelepípedo de base ABCD sabemos que:

a. , e ;

b. Os ângulos diretores de ⃗⃗⃗⃗⃗ são agudos e e .

Determine as coordenadas de vértice , para que o volume deste Paralelepípedo

seja igual a √ .

10. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2, -3, 4) e B(1,-1,2) e verificar se os pontos C=(5/2, -4, 5) e D=(-1, 3, 4) pertencem a reta r.

11. Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1, 1, 3), B(2, 1, 4) e C(3, -1, -1).

Obter as equações paramétricas dos lados AB, AC e BC, e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice B.

12. Na reta

 









 1

3 : 2

x z

x

r y , determinar o ponto de:

a. Ordenada igual a 9;

b. Abscissa igual a 2;

c. Ordenada igual 15.

13. Dadas as equações paramétricas:

 

 













 t z

t y

t x

s

3 4 2

3 1 :

a) A reta r passa pelo ponto A(4, -3, -2) e é paralela a reta s. Se , determinar o valor de m e n.

b) Escreva as equações simétricas das retas r e s.

14. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

 

 













 t z

t y

t x

r a

2 3

2 :

)

₁

e

1 1 1

6 : 2

2

 

 y  z

r x

 











 2

3 : 2

)

₁

x z

x s y

b

e

4 1 ; : 1

2





 z  x y

s

15. Sabendo que as retas r

₁

er

₂

são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:

 

 













 t z

t y

mt x r a

4 3 1

3 2 :

)

₁

e

 











 4 1 : 2

2

z y

y

r x

  







 1 : 3

)

₁

x z

mx r y

b e r

₂

: reta por A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m)

 

 















 t z

t y

t x r

2

4

3

2

:

16. Dado o ponto A(1, 1, -8) e o vetor normal

^

n =(3, 1, -1). Determine:

a) a equação geral do plano π que passa por A;

b) o ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3;

c) o valor de k para que o ponto P(k, 2, k - 1) Є π;

RESPOSTAS

Sequência I 1. . a. LI b. LD

c. LI d. LI

e. LI

2. .

a.

b. c. ( )

3. .

a. ⃗ b. Impossível

c. ⃗ d. Impossível 4. .

a. 1 e 0

b. 3 e ( ) c. ( ^√ ) d. ( ) e.

f. √

g. ( ) ou ( ) h. ou i. ( ^{√ √ √} )

j.

k. ( ^{√ √ √} ) ou ( ^{√ √ √} )

l. ^√

m.

n. 60 u.v 5. .

a. ⃗ ( √ √ √ ) e ‖ ⃗ ‖ kgf b. ⃗ ( √ ) e ‖ ⃗ ‖ kgf

6. :

a. ( ) e ( ) 7. :

a. √

8. u. a.

9. ( ^{√ √ √} )

10. (x, y, z) = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2) ;

11. AB: x = -1 + 3t; y = 1; z = 3 + t; com t Є [0, 1]

BC: x = 2 + t ; y = 1 - 2t; z = 4 - 5t ; com t Є [0, 1]

AC: x = -1 + 4t ; y = 1-2t ; z=3-4t ; com t Є [0,1]

r: x=2+t ; y=1+t ; z=4+3t ; com tЄ[0,1]

12. a) (3, 9, 2) b)(2, 7, 1) c)(6, 15, 5)

13. a) m = 13 e n = -15 b)

14. a) 60º b) 30º

15. a)

4

 7



m b) 1 ou - 2

3

16. a) π: 3x + y – z – 4 = 0 b) (1, 3, 2) c) k = 1/2

17. a) 19 b) 3

18. a) 3

117 b) 2 7

c) 35 54

19. a) 3

7 b) 4 c) 2 3

20. a) 5

5 3 b)

2

2