rodrigo.uﬀ[email protected] RodrigoCarlosSilvadeLima Grupos

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

[email protected]

‡

(2)

(3)

1 Grupos 3

1.1 Conceitos b´asicos . . . 3

1.1.1 Ordem de um grupo . . . 4

1.1.2 Propriedades b´asicas de grupos . . . 6

1.1.3 Grupo das bĳe¸c˜oes-Permuta¸c˜oes. . . 11

1.2 Grupo sim´etrico de grau n . . . 12

1.2.1 O grupo S₃. . . 12

1.2.2 Subgrupos de S₃. . . 14

1.2.3 Para n≥3, Sn n˜ao ´e abeliano. . . 15

1.2.4 Grupo S₄ . . . 15

1.3 Subgrupos . . . 16

1.3.1 Normalizador de H . . . 21

1.3.2 Conjunto gerado por um elemento . . . 22

1.4 Teorema de Lagrange . . . 25

1.4.1 Congruˆencia m´odulo H . . . 25

1.4.2 Teorema de Lagrange . . . 27

1.5 Grupos c´ıclicos . . . 28

1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos c´ıclicos . . . 42

1.6 Grupos diedrais . . . 44

1.7 Homomorfismo de grupos . . . 45

1.7.1 Automorfismo . . . 53

1.7.2 f:G→G com f(x) =axa⁻¹ ´e automorfismo . . . 54

1.7.3 Determina¸c˜ao de homomorfismo entre dois grupos . . . 58

1.7.4 Teorema de Cayley - G ´e isomorfo a um subgrupo de S_G. . . 58

2

(4)

1.7.5 Teorema dos isomorfismos . . . 59

1.8 O grupo S_n. . . 62

1.8.1 Ciclos de S₃ . . . 67

1.8.2 Ciclos de S₄. . . 67

(5)

Grupos

1.1 Conceitos b ´asicos

m

Defini ¸c ão 1 (Grupo). Um grupo é uma estrutura (G,∗), formada por um conjunto G munido de uma opera¸cão ∗, que satisfaz as seguintes propriedades

1. Associatividade

(a∗b)∗c=a∗(b∗c).

2. Existe um elemento neutro e∈G tal que a∗e=a=e∗a.

3. Existˆencia de inverso. Para qualquer elemento a ∈ G existe a⁻¹ ∈ G tal que a∗a⁻¹ =e =a⁻¹∗a. Para quaisquer a, b e c ∈ G. Denotamos o grupo por (G,∗), caso esteja subentendida a opera¸c˜ao ∗, podemos denotar o grupo apenas por G .

b

Propriedade 1. Poder´ıamos pedir apenas que houvesse um elemento neutro

à direita e, tal que a∗e = a e isso implica e também é um elemento neutro à

4

(6)

esquerda, pois

a=a∗e=a∗(a⁻¹∗a) = (a∗a⁻¹)∗a=e∗a,

da mesma maneira poder´ıamos definir apenas elemento neutro `a esquerda.

m

Defini ¸c ˜ao 2 (Semi-grupo). Em um semi-grupo vale apenas a associatividade.

m

Defini ¸c ão 3 (Monóide). É um semigrupo onde existe elemento neutro .

m

Defini ¸c ão 4 (Magma ou grupóide). Vale apenas que a opera¸cão é fechada .

1.1.1 Ordem de um grupo

m

Defini ¸c ˜ao 5 (Ordem de um grupo). Dado um grupo (G,∗), existem duas possibilidades

• G é um conjunto finito, digamos, com n elementos. Nesse caso dizemos que o grupo (G,∗) é finito e simbolizamos |G| = n (lê-se: ordem de G é n ou ordem de G é igual à n ).

• G ´e um conjunto infinito, nesse caso simbolizamos |G|= ∞, dizemos que a ordem do grupo ´e infinita.

m

Defini ¸c ão 6 (Grupo abeliano). Um grupo é dito abeliano quando vale a propriedade a∗b = b∗a para todos a, b ∈ G. Grupos abelianos são também chamados de grupos comutativos. Grupos não abelianos são chamados de grupos não comutativos.

(7)

Z

^Exemplo ^1. ^Para ⁿ^≥^1, ^(Zⁿ^,⁺⁾ ´e um grupo abeliano com n elementos.

Em geral estamos denotando aqui (A^∗,∗) como conjunto A (munido da opera¸c˜ao

∗) dos elementos invert´ıveis com a opera¸c˜ao ∗.

Z

^Exemplo ^2. ^Para ⁿ^≥² ^(Z^∗ⁿ^,^×) ´e um grupo abeliano com ϕ(n) elementos.

$

Corol ário 1. Se um grupo G não é abeliano, então existem x, y ∈G tais que x∗y6=y∗x.

Z

Êxemplo ^3. ^{• Se} ^(A,^{+, .)} é um anel, então (A,+) é um grupo abeliano.

• Se (K,+, .) é um corpo, então(K,+) é um grupo abeliano e (K\{0}, .)também.

Podemos tomar K como R, Q, C ou Z_p.

• (Z,+) é grupo abeliano infinito, porém (Z,×)não é um grupo, pois os únicos elementos invert´ıveis são 1 e −1.

b

Propriedade 2. Seja G={e, g₁, g₂,· · · , g_n}um grupo abeliano de ordemn+1.

Se G possui um ´unico elemento de ordem 2, ent˜ao Yn

k=1

g_k =g₁.

ê Demonstra ¸c ão. x 6= e é de ordem 2 ⇔ x² = e. Além de g₁ não há outro elemento de ordem 2 então o inverso de cada gk deve pertencer ao conjunto {gs, s6=

k,1, s ∈ I_n} portanto Yn

k=2

g_k = e,pois cada elemento ´e multiplicado pelo seu inverso,

da´ı _n

Y

k=1

g_k =g₁.

(8)

m

Defini ¸c ão 7 (Grupo linear). Definimos o grupo GL(N, K) chamado grupo linear geral sobre K, como (Mn×n(K)∗, .) onde K é um corpo. Os elementos são as matrizes invert´ıveis de ordem n com entradas em um corpo K. Lembre que uma matriz A é invert´ıvel ⇔ det(A) 6=0. Temos realmente um grupo pois a multiplica¸cão de matrizes é associativa, possui elemento neutro (matriz identidade com diagonal unitária e outros elementos nulos) e todo elemento possui inverso.

1.1.2 Propriedades b ´asicas de grupos

b

Propriedade 3 (Unicidade do elemento neutro). Existe um ´unico elemento neutro e.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha dois elementos neutros e e e⁰, vale e∗e⁰ = e e e∗e⁰ =e⁰, da´ı e=e⁰.

Para demonstrar essa propriedade precisamos apenas da opera¸cão e da defini¸cão de elemento neutro, a demonstra¸cão não depende das outras propriedades de grupo, então outras estruturas algébricas que possuem elemento neutro ainda possuem unicidade dele.

b

Propriedade 4 (Lei do corte `a esquerda). Se a∗b=a∗c ent˜ao b=c.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

b=e∗b= (a⁻¹∗a)∗b=a⁻¹∗(a∗b) =a⁻¹∗(a∗c) = (a⁻¹∗a)∗c=e∗c=c.

Nesse caso usamos a existência do elemento neutro, existência do inverso e associatividade, todas as propriedades que pedimos para um grupo. Então em grupos vale a lei do corte.

b

Propriedade 5 (Lei do corte `a direita). Se b∗a=c∗a ent˜ao b=c.

b=b∗e=b∗(a∗a⁻¹) = (b∗a)∗(a⁻¹) = (c∗a)∗a⁻¹=c∗(a∗a⁻¹) =c∗e=c.

Então em grupos vale a lei do corte à direita e à esquerda.

(9)

b

Propriedade 6 (Unicidade do inverso). Para cada elemento a∈G existe um

´unico a⁻¹ tal que a∗a⁻¹=e.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que existam dois elementos a⁰ e b⁰ que sejam inversos de um dado a, ent˜ao vale

a∗a⁰ =e=a∗b⁰

por lei do corte segue que a⁰ =b⁰, fica assim provada a unicidade.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Outra demonstra¸c˜ao pode ser feita como se segue a⁰ = a⁰.e=a⁰(a.b⁰) = (a⁰a)b⁰ =b⁰.

b

Propriedade 7. (a⁻¹)⁻¹=a.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como vale a.a⁻¹ = e segue que (a⁻¹)⁻¹ = a, por unicidade do inverso.

b

Propriedade 8. (a.b)⁻¹=b⁻¹.a⁻¹.

ê Demonstra ¸c ˜ao. (a.b)(b⁻¹.a⁻¹) =a.e.a⁻¹ =e, por unicidade do inverso segue que o inverso de a.b ´e (a.b)⁻¹ =b⁻¹.a⁻¹.

b

Propriedade 9. Se a, b ∈ G então xa = b ⇔ x = ba⁻¹, isto é, a equa¸cão xa=b tem uma única solu¸cão x =ba⁻¹. De maneira similar ax=b⇔x=a⁻¹b.

⇒).

xa=b⇒ multiplicando por a⁻¹ a direita tem-se x =ba⁻¹.

O mesmo para ax=b, multiplicando por a⁻¹ a esquerda tem-se x =a⁻¹b.

⇐).

Tomando x =ba⁻¹ ent˜ao ba⁻¹a=b.

Para ax=b, tomamos x =a⁻¹b segue a(a⁻¹b) =b.

(10)

b

Propriedade 10. Sejam a, b ∈ R com a 6= 0. Definindo σ(a,b) : R → R por σ_(a,b)(x) = ax+b para cada x ∈R. Ent˜ao o conjunto G={σ_(a,b), a, b ∈ R, a6=0}

com a opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões é um grupo.

ê Demonstra ¸c ão. Primeiro vamos mostrar que a opera¸cão é fechada sobre G, vamos simbolizar (a, b) ao invés de σ(a,b), temos que

(a, b)◦(a⁰, b⁰)(x) =a(a⁰x+b⁰) +b=a.a⁰x+a.b⁰ +b= (a.a⁰, a.b⁰+b)(x) Escrevemos ent˜ao

(a, b)◦(a⁰, b⁰) = (a.a⁰, a.b⁰+b)

a opera¸cão é fechada, pois como a6=0 e a⁰ 6=0 são reais temos a.a⁰ 6=0 e a.b⁰ +b

´e um n ´umero real.

Existência de elemento neutro . Existe elemento neutro para a opera¸cão (1,0), tal elemento é realmente neutro pois

(a, b)(1,0) = (a.1, a.0+b) = (a, b).

Existˆencia de inverso. Para cada elemento(a, b)existe um inverso(a⁻¹,−b.a⁻¹) tal que (a, b)(a⁻¹,−b.a⁻¹) = (1,0), a propriedade realmente vale , pois

(a, b)(a⁻¹,−b.a⁻¹) = (aa⁻¹, a.(−b).a⁻¹+b) = (1,0).

Associatividade. Segue da associatividade de composi¸cão de fun¸cões. Então temos realmente um grupo .

O grupo ´e n˜ao abeliano pois

(2,3)◦(3,4) = (6,11)6= (3,4)◦(2,3) = (6,13).

O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros elementos) contém apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade (x, y), x 6= 1 e y 6= 0 existe um elemento que não comuta com ele da forma (1, w) com w > 0 se 1−x > 0 (logo w(1−x) > 0) e w < 0 se 1−x < 0 (logo também w(1−x)>0), pois

(x, y)(1, w) = (x, xw+y), (1, w)(x, y) = (x, y+w)

da´ı vale sempre y+w > y+xw pois equivale `a w > xw ⇔w(1−x)>0 que sempre vale pelo que observamos anteriomente

(11)

b

Propriedade 11 (Produto direto). Sejam (Gk,∗k)ⁿ₁ grupos, ent˜ao o produto cartesiano

Yn k=1

G_k ´e um grupo com a opera¸c˜ao ∗ definida por (x_k)ⁿ₁ ∗(y_k)ⁿ₁ = (x_k∗_ky_k)ⁿ₁

• Existe elemento neutro (e_k)ⁿ₁ onde e_k ´e o elemento neutro de G_k, tal que (e_k)ⁿ₁ ∗(x_k)ⁿ₁ = (e_k∗_kx_k)ⁿ₁ = (x_k)ⁿ₁

• Existe inverso para cada (x_k)ⁿ₁ que ´e (x⁻¹_k )ⁿ₁ pois

(x_k)ⁿ₁ ∗(x⁻¹_k )ⁿ₁ = (x_k∗_kx⁻¹_k )ⁿ₁ = (e_k)ⁿ₁.

• Vale a associatividade

((x_k)ⁿ₁ ∗(y_k)ⁿ₁)∗(z_k)ⁿ₁ = (x_k∗_ky_k)ⁿ₁ ∗(z_k)ⁿ₁ = (x_k∗_ky_k∗_kz_k)ⁿ₁ (x_k)ⁿ₁ ∗((y_k)ⁿ₁ ∗(z_k)ⁿ₁) = (x_k)ⁿ₁ ∗(y_k∗_kz_k)ⁿ₁ = (x_k∗_ky_k∗_kz_k)ⁿ₁

m

Defini ¸c ão 8 (Produtório). Definimos dois tipos de produtórios, o produtório

`a direita _n

Y

k=1,d

a_k=a₁.· · · .a_n e o produt´orio `a esquerda _n

Y

k=1,e

a_k =a_n.· · · .a₁ eles podem ser definidos indutivamente

Yn+1 k=1,d

a_k= [ Yn k=1,d

a_k]a_n+1

com Y1 k=1,d

a_k =a₁ e Y0 k=1,d

a_k=e.

Yn+1 k=1,e

a_k=a_n+1[ Yn

k=1,e

a_k]

(12)

com Y1 k=1,e

ak=a₁ e Y0 k=1,e

ak =e.

b

Propriedade 12 (Produto telesc´opico). Valem as identidades Yn

k=1,d

f(k)⁻¹f(k+1) =f(1)⁻¹f(n+1)

Yn k=1,e

f(k+1)f(k)⁻¹ =f(n+1)f(1)⁻¹

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n=1 ambas valem Y1

k=1,d

f(k)⁻¹f(k+1) =f(1)⁻¹f(2) Y1

k=1,e

f(k+1)f(k)⁻¹=f(2)f(1)⁻¹ supondo para n, vamos provar para n+1

Yn+1 k=1,d

f(k)⁻¹f(k+1) = [ Yn k=1,d

f(k)⁻¹f(k+1)][f(n+1)⁻¹f(n+2)] =

=f(1)⁻¹f(n+1)[f(n+1)⁻¹f(n+2)] = f(1)⁻¹f(n+2)

n+1

Y

k=1,e

f(k+1)f(k)⁻¹= [f(n+2)f(n+1)⁻¹] Yn k=1,e

f(k+1)f(k)⁻¹=

= [f(n+2)f(n+1)⁻¹]f(n+1)f(1)⁻¹=f(n+2)f(1)⁻¹

$

Corol ´ario 2.

Yn k=1,e

f(k+1)f(k)⁻¹ Yn k=1,d

f(k)⁻¹f(k+1) =f(n+1)f(1)⁻¹f(1)⁻¹f(n+1) =f(n+1)²

(13)

b

Propriedade 13. Se cada G_k ´e abeliano, ent˜ao Yn

k=1

G_k ´e abeliano.

(x_k)ⁿ₁ ∗(y_k)ⁿ₁) = (x_k∗_ky_k)ⁿ₁ = (y_k∗_kx_k)ⁿ₁ = (y_k)ⁿ₁ ∗(x_k)ⁿ₁.

b

Propriedade 14. Se existe um s ∈I_n tal que G_s não é abeliano, então Yn

k=1

G_k n˜ao ´e abeliano.

ê Demonstra ¸c ão. Existem xs e ys ∈Gs tais que xs∗sys 6=ys∗sxs e da´ı (x_k)ⁿ₁ ∗(y_k)ⁿ₁) = (x_k∗_ky_k|^s−1₁ , x_s∗_sy_s, x_k∗_ky_k|ⁿs+1)6= (y_k∗_kx_k|^s−1₁ , y_s∗_sx_s, y_k∗_kx_k|ⁿs+1) pois são distintos na s-ésima coordenada.

1.1.3 Grupo das bĳe ¸c ˜ oes-Permuta ¸c ˜ oes

m

Defini ¸c ão 9 (Grupo das bĳe¸cões-Permuta¸cões). Seja A um conjunto não vazio . Definimos a estrutura (SA,◦), como o conjunto

S_A ={f:A→A|f ´e bĳe¸c˜ao}

munido da opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões. Podemos denotar S_A também por P(A).

b

Propriedade 15. (S_A,◦) ´e um grupo.

ê Demonstra ¸c ão. Sabemos que a composi¸cão de fun¸cões bĳetoras ainda é uma fun¸cão bĳetora, logo o conjunto é fechado em rela¸cão a opera¸cão de composi¸cão.

A composi ¸c ão é associativa. Possui elemento neutro que é a fun¸cão I : A→ A definida como I(x) = x,∀ x ∈ A, essa fun¸cão é realmente o elemento neutro pois dada uma f∈S_A e x ∈A arbitrário , vale

f(I(x)) =f(x) =I(f(x))

(14)

logo I◦f=f◦I.

Dada uma fun¸c˜ao bĳetora f:A→A, podemos sempre definir a inversa de f, f⁻¹, tal que

f(f⁻¹(x)) =x=f⁻¹(f(x))

logo para qualquer f em S_A existe f⁻¹ em S_A tal que f◦f⁻¹ =I =f⁻¹◦f, logo temos a existˆencia de inverso. Assim (S_A,◦) ´e um grupo. Denotaremos o grupo (S_A,◦) apenas como S_A .

1.2 Grupo sim ´etrico de grau n

m

Defini ¸c ão 10 (Grupo simétrico de grau n). Em S_A, se tomamos A = I_n = {1,· · · , n} o grupoSIn será denotado por Sn e será chamado de grupo simétrico de grau n.

m

Defini ¸c ão 11 (Permuta¸cão). Todo elemento de Sn é chamado de permuta¸cão e S_n é chamado de grupo das permuta¸cões de n elementos.

b

Propriedade 16. |Sn|=n!.

1.2.1 O grupo S

₃

.

Grupo S3 elementos I= 1 2 3

1 2 3

!

, f₆=σ◦τ= 1 2 3 1 3 2

!

, f₅ =σ◦τ² = 1 2 3 3 2 1

!

σ= 1 2 3 2 1 3

!

, f₄=τ² = 1 2 3 3 1 2

!

, τ = 1 2 3 2 3 1

!

Todos os elementos podem ser gerados pelos elementos σ e τ f₄=τ² = 1 2 3

2 3 1

!

◦ 1 2 3

2 3 1

!

= 1 2 3

3 1 2

!

(15)

f₆=σ◦τ= 1 2 3 2 1 3

!

◦ 1 2 3

2 3 1

!

= 1 2 3

1 3 2

!

f₅ =σ◦τ² = 1 2 3 2 1 3

!

◦ 1 2 3

3 1 2

!

= 1 2 3

3 2 1

!

σ² =I= 1 2 3 2 1 3

!

◦ 1 2 3

2 1 3

!

= 1 2 3

1 2 3

!

Por σ² =I o inverso de σ ´e σ. O inverso de f₄ ´e τ, pois f₄◦τ = 1 2 3

3 1 2

!

◦ 1 2 3

2 3 1

!

= 1 2 3

1 2 3

!

e como f₄ =τ², temos que f₄◦τ=τ²◦τ=τ³=I. f₆◦f₆=I, pois f₆◦f₆ = 1 2 3

1 3 2

!

◦ 1 2 3

1 3 2

!

= 1 2 3

1 2 3

!

e finalmente f₅◦f₅ =I, pois

f₅ ◦f₅ = 1 2 3 3 2 1

!

◦ 1 2 3

3 2 1

!

= 1 2 3

1 2 3

!

Ent˜ao temos os inversos

σ◦σ=I f₄◦τ=I f₆◦f₆ =I f₅◦f₅ =I I◦I=I

σ◦σ=I τ²◦τ =I (σ◦τ²)◦(σ◦τ²) =I

(σ◦τ)◦(σ◦τ) =I I◦I=I O conjunto dos elementos de S₃

S₃={I, σ, τ, τ², σ◦τ, σ◦τ²}

(16)

1.2.2 Subgrupos de S

₃

.

b

Propriedade 17. Os subgrupos n˜ao triviais de S₃ s˜ao

• {I, σ}.

• {I, σ◦τ}.

• {I, σ◦τ²}.

• {I, τ, τ²}.

• Temos que σ²=I logo existe o subgrupo {I, σ²}.

• Como f₆ =σ◦τ e f₆◦f₆ =I, ent˜ao temos o subgrupo {I, σ◦τ}.

• Temos que f₅◦f₅ =I e f₅ =σ◦τ², ent˜ao {I, σ◦τ²} ´e subgrupo.

•

O subconjunto K={I, τ, τ²} ´e um subgrupo de S₃.

Z

Êxemplo ^4. Seja a fun¸cão definida por ϕ(x) =x⁻¹ de S₃ em S₃, mostrar que não é um automorfismo. Para ser um homomorfismo precisamos que para todo elemento x e y em S₃, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), logo (xy)⁻¹ = x⁻¹y⁻¹. vamos tomar x =f₄ e y=f₅, temos f₄f₅ =σ, pois

f₄◦f₅ =





1 2 3 3 1 2



◦





1 2 3 3 2 1



=





1 2 3 2 1 3



=σ

mas sabemos que σ⁻¹ = σ, e temos ϕ(f₄f₅) = [f₄f₅]⁻¹ = [σ]⁻¹ = σ e ϕ(f₄) = [f₄]⁻¹ =τ, ϕ(f₅) = [f(5)]⁻¹=f₅), assim ϕ(f₄)ϕ(f₅) =τf₅

τ◦f₅ =





1 2 3 2 3 1



◦





1 2 3 3 2 1



=





1 2 3 1 3 2



=f₆ 6=σ

(17)

logo não é um homomorfismo, não podendo ser um automorfismo também.

1.2.3 Para n ≥ 3 , S

_n

n ˜ ao ´e abeliano.

b

Propriedade 18. Para n≥3, S_n n˜ao ´e abeliano.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos mostrar bĳe¸c˜oes f e g tais que f◦g6=g◦f. Sejam f= 1 2 3 · · ·

1 3 2 · · ·

!

e g= 1 2 3 · · · 2 1 3 · · ·

!

f◦g = 1 2 3 · · · 3 1 2 · · ·

!

e g◦f= 1 2 3 · · · 2 3 1 · · ·

!

sao diferentes, logo o grupo n˜ao ´e comutativo.

1.2.4 Grupo S

₄

Grupo S₄ elementos

I= 1 2 3 4 1 2 3 4

!

f₁ = 1 2 3 4 2 1 4 3

!

f₂ = 1 2 3 4 3 4 1 2

!

f₃= 1 2 3 4 4 3 2 1

!

f₄= 1 2 3 4 2 3 4 1

!

f₅ = 1 2 3 4 3 4 2 1

!

f₆ = 1 2 3 4 4 1 2 3

!

f₇ = 1 2 3 4 2 1 3 4

!

f₈ = 1 2 3 4 2 3 1 4

!

f₉ = 1 2 3 4 2 4 3 1

!

f₁₀ = 1 2 3 4 2 4 1 3

!

f₁₁= 1 2 3 4 3 2 4 1

!

f₁₂ = 1 2 3 4 3 2 1 4

!

f₁₃ = 1 2 3 4 3 1 2 4

!

f₁₄ = 1 2 3 4 3 1 4 2

!

f₁₅= 1 2 3 4 4 3 1 2

!

f₁₆ = 1 2 3 4 4 1 3 2

!

f₁₇= 1 2 3 4 4 2 1 3

!

f₁₈ = 1 2 3 4 4 2 3 1

!

f₁₉= 1 2 3 4 1 2 4 3

!

f₂₀ = 1 2 3 4 1 3 4 2

!

f₂₁ = 1 2 3 4 1 3 2 4

!

f₂₂ = 1 2 3 4 1 4 2 3

!

f₂₃ = 1 2 3 4 1 4 3 2

!

(18)

m

Defini ¸c ão 12(Estrutura dos quatérnios). Definimos a estrutura dos quatérnios como o conjunto

1.3 Subgrupos

m

Defini ¸c ão 13 (Subgrupo). Um subconjunto H não-vazio de um grupo G é um subgrupo de G quando

• Se a∈H ent˜ao a⁻¹∈H.

• Se a∈H e b∈H ent˜ao a.b ∈H.

Se H ´e subgrupo de G, denotamos tal fato por H < G.

$

Corol ´ario 3. e o elemento neutro pertence a um subgrupo , pois a∈Himplica a⁻¹∈H e pela segunda propriedade aa⁻¹ =e∈H.

Z

Êxemplo ^5. ^D⁴⁼^{^{I, f}⁴^{, f}²^{, f}⁶^{, f}³^{, f}¹^{, f}²³^{, f}¹²^}^⊂^S⁴ é subgrupo não abeliano .

b

Propriedade 19. H não vazio é um subgrupo de G ⇔ com a opera¸cão de G, H é um grupo.

⇒).

• O produto ´e fechado em H.

• O elemento neutro pertence a H.

• O inverso de cada elemento est´a em H.

(19)

• A propriedade associativa vale, pois os elementos de H s˜ao elementos de G onde vale a associatividade.

Com isso conclu´ımos que H ´e um grupo.

⇐).

Seja H ´e um grupo contido em G.

• O produto ´e fechado em H, pois H ´e grupo.

• O elemento neutro e⁰ de H é o mesmo elemento neutro e de G, pois dado a ∈ H ⊂ G tem-se a.e⁰ = a que podemos ver como opera¸cão em G, como o elemento neutro é único tem-se e⁰ =e.

• O inverso a⁰ de um elemento a∈ H ⊂ G é o mesmo inverso de a em G, pois vale aa⁰ =e, essa opera¸cão vista em G, como temos a unicidade de inverso em G segue que a⁰ = a⁻¹.. O inverso de cada elemento a ∈H está contido em H, pois H é grupo.

Z

Êxemplo ⁶ (Subgrupos triviais). Os subconjuntos {e} e H de um grupo H são chamados subgrupos triviais. H é grupo, então satisfaz as condi¸cões de ser subgrupo, {e} também é subgrupo, pois e.e=e, logo é fechado, o elemento neutro está no conjunto {e} e o inverso de e também é e, logo ele é um subgrupo de H.

b

Propriedade 20. Se H_k ´e subgrupo deG_k ent˜ao Yn

k=1

H_k ´e subgrupo de Yn

k=1

G_k.

• O elemento neutro de Yn

k=1

G_k é (e_k)ⁿ₁, mas como H_k é subgrupo de G_k então ek ∈Hk e da´ı (ek)ⁿ₁ ∈

Yn k=1

Hk.

(20)

• Dado (a_k)ⁿ₁ ∈ Yn

k=1

H_k ent˜ao cada a_k ∈ H_k, implicando que a⁻¹_k ∈ H_k, pois H_k ´e subgrupo, da´ı (a⁻¹_k )ⁿ₁ ∈

Yn k=1

H_k e pelo que j´a demonstramos (a⁻¹_k )ⁿ₁ ´e o inverso de (a_k)ⁿ₁.

• Dados (a_k)ⁿ₁,(b_k)ⁿ₁ ∈ Yn

k=1

H_k ent˜ao a_k, b_k ∈H_k, como s˜ao subgrupos vale a_k.b_k∈ H_k e da´ı (a_k.b_k)ⁿ₁ ∈

Yn

k=1

H_k.

b

Propriedade 21. Se H⊂G é um subconjunto finito fechado com a opera¸cão de G, então H é subgrupo de G.

ê Demonstra ¸c ão. Se H = {e} então ele é subgrupo. Se não tomamos um elemento arbitrário a 6= e ∈ H, como ele é finito, então existem s > t ∈ N tais que a^s =a^t, com s > t, existe p natural tal que t+p=s e da´ı a^t+p =a^ta^p=a^t, pela lei do corte segue que a^p = e ∈ H. Então o elemento neutro está nele. Tal p deve ser maior que 1, pois a 6= e. Vale p > 1 da´ı p ≥ 2, p−1 ≥ 1 natural e aa^p−1 = a^p = e logo existe inverso para todo elemento de H, então ele é subgrupo.

b

Propriedade 22. Se H e K são subgrupos de G então H∩K é subgrupo de G.

ê Demonstra ¸c ão. e∈H∩K pois H e K são subgrupos então e∈H, K. Suponha a, b ∈ H∩K então a.b ∈ H, K da´ı a.b ∈ H∩K. Da mesma maneira a⁻¹ ∈ H, K logo a⁻¹∈H∩K .

b

Propriedade 23. Em geral se cada H_k, k ∈ A ´e uma fam´ılia qualquer de subgrupos de G ent˜ao

\

k∈A

H_k

´e um subgrupo de G. ê Demonstra ¸c ˜ao.

(21)

• Se h₁, h₂ em \

k∈A

H_k ent˜ao h₁, h₂ ∈ H_k ∀ k ∈ A, ent˜ao pelo fato de serem subgrupos tem-se h₁h₂ ∈H_k o que implica h₁h₂ ∈ \

k∈A

H_k.

• Se h ∈ \

k∈A

H_k ent˜ao h ∈ H_k para cada k, por isso h⁻¹ ∈ H_k pelo fato de cada H_k ser subgrupo, ent˜ao h⁻¹ ∈∈ \

k∈A

H_k. Com essas duas propriedades mostramos que \

k∈A

H_k ´e subgrupo de G.

b

Propriedade 24. H∪K ´e subgrupo de G sse H⊂K ou K⊂H.

êDemonstra ¸c ão. ⇒. Temos que provar queH∪K é subgrupo deGentãoH⊂K ou K⊂ H. Vamos usar a contrapositiva e mostrar que H 6⊂ K e K 6⊂H então H∪K não é subgrupo de G. Existem elementos a∈ H, a /∈K e b∈ K, b /∈ H, porém vale a, b∈H∪K, se H∪K fosse subgrupo de G então teria que valer a.b∈H∪K, então a.b teria que pertencer a um dos conjuntos. Suponha sem perda de generalidade que a.b ∈ H , como H é subgrupo e a ∈ H, então a⁻¹ ∈ H, pelo fechamento de produto em subgrupo ter´ıamos que ter a⁻¹.a.b = b ∈ H o que é absurdo! Então H∪K não pode ser subgrupo nessas condi¸cões.

⇐. Suponha que K⊂H, ent˜ao H∪K=H que ´e subgrupo de G.

m

Defini ¸c ˜ao 14. Sendo H um subconjunto qualquer de um grupo G, definimos aHa⁻¹ ={aha⁻¹|h∈H}.

$

Corol ´ario 4.

eHe⁻¹={ehe⁻¹ =h |h∈H}=H ent˜ao eHe⁻¹=H.

(22)

b

Propriedade 25. Sejam H um subgrupo de G e a∈G fixo. Ent˜ao

aHa⁻¹={aha⁻¹|h∈H}

´e subgrupo de G. ê Demonstra ¸c ˜ao.

• O elemento neutro est´a no conjunto. e ∈ aHa⁻¹, pois e ∈ H, da´ı aea⁻¹ = e ∈ aHa⁻¹.

• O produto ´e fechado . Dados aha⁻¹ e aya⁻¹ ent˜ao aha⁻¹aya⁻¹ =a(hy)

|{z}

∈H

a⁻¹ ∈ aHa⁻¹.

• O inverso pertence ao conjunto . Dado aha⁻¹ então ah⁻¹a⁻¹ ∈ aHa⁻¹ pois h⁻¹∈H, da´ı o produto aha⁻¹ah⁻¹a⁻¹ =e, então aHa⁻¹ é subgrupo de G.

b

Propriedade 26 (Subgrupos de (Z,+)). A ´e subgrupo de (Z,+) ⇔ A = (nZ,+) para algum n∈N.

Onde nZ={nx|x ∈Z} . ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇐). Sendo n fixo nZ ´e subgrupo de Z.

• Dados a, b ∈ nZ, existem x, y ∈ Z tais que nx =a e ny =b, logo sua soma é nx+ny=n(x+y)∈nZ, a adi¸cão é fechada.

• Dado a∈ nZ existe x ∈ Z tal que a=nx, da mesma maneira n(−x) = −nx =

−a∈nZ sua soma ´e 0.

⇒).

Seja H < Z. Se H = {0} ent˜ao H = 0Z. Se H 6= {0}, seja n = {x ∈ H, x > 0} da´ı nZ⊂H, pois dado m fixo

Xm k=1

n=mn∈H

(23)

pois H é subgrupo e também mn ∈ H. Seja t ∈ H então t =nq+r com 0 ≤ r < n por divisão euclidiana, da´ı t−nq =r∈ H então r =0. pois caso contrário ir´ıamos contrariar a minimalidade de n, portanto qualquer tzinH é da forma nq e H⊂ nZ o que implica A=nZ.

1.3.1 Normalizador de H

m

Defini ¸c ˜ao 15 (Normalizador de H). Seja H um subgrupo de (G, .). O normalizador de H ´e o conjunto

N(H) ={x ∈G|xHx⁻¹ =H}.

b

Propriedade 27. N(H) ´e subgrupo de G.

• e∈N(H) como j´a provamos.

• Suponha a, b ∈ N(H), vamos provar que a.b ∈ N(H), isto ´e a.bH(ab)⁻¹ = H.

Temos que axa⁻¹ ∈ H e byb⁻¹ ∈ H ∀x, y ∈ H da´ı a(byb⁻¹)

| {z }

=x∈H

a⁻¹ ∈ H. Com isso mostramos que a.bH(ab)⁻¹ ⊂H.

Vamos mostrar agora que H⊂a.bH(ab)⁻¹. Como valeH⊂aHa⁻¹ e H⊂bHb⁻¹ ent˜ao para qualquer y∈H existemv, u ∈H tal que y=ava⁻¹ e v=bub⁻¹ , da´ı y=a.bub⁻¹a⁻¹ provando que H⊂a.bH(ab)⁻¹.

• Vamos provar que se a ∈ N(H) ent˜ao a⁻¹ ∈ N(H), isto ´e aHa⁻¹ = H implica a⁻¹Ha=H.

De aHa⁻¹ ⊂ H implica que ∀ y∈ H ∃t ∈ H tal que aya⁻¹ =t e da´ı y =a⁻¹ta de onde segue H⊂a⁻¹Ha.

De H ⊂ aHa⁻¹ tem-se que ∀ y ∈ H, ∃t ∈ H tal que y = ata⁻¹ que implica a⁻¹ya = t e da´ı a⁻¹Ha ⊂ H. Como vale a⁻¹Ha ⊂ H. e H ⊂ a⁻¹Ha. ent˜ao H=a⁻¹Ha .

(24)

b

Propriedade 28. Se (G, .) ´e um grupo abeliano e a e b ∈G vale

(a.b)ⁿ =aⁿ.bⁿ para todo n∈Z.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para n natural temos, por indu¸c˜ao, n=0 (a.b)⁰=e=a⁰.b⁰ =e.e.

Supondo para n

(a.b)ⁿ =aⁿ.bⁿ temos que provar

(a.b)ⁿ⁺¹ =aⁿ⁺¹.bⁿ⁺¹ da defini¸c˜ao temos

(a.b)ⁿ⁺¹= (a.b)(a.b)ⁿ=a.b.aⁿ.bⁿ=a.aⁿ.b.bⁿ =aⁿ⁺¹.bⁿ⁺¹ com isso provamos para n natural. Para n inteiro, temos

(a.b)⁻ⁿ(a.b)ⁿ =e= (a.b)⁻ⁿ.aⁿ.bⁿ =e multiplicando por b⁻ⁿ.a⁻ⁿ

(a.b)⁻ⁿ =b⁻ⁿ.a⁻ⁿ.

1.3.2 Conjunto gerado por um elemento

m

Defini ¸c ˜ao 16 (Conjunto gerado por um elemento). Seja a∈G (Gum grupo), o conjunto

< a >={aⁿ |n∈Z}

´e chamado de conjunto gerado por a.

(25)

b

Propriedade 29. O conjunto < a > munido da opera¸c˜ao do conjunto G ´e um subgrupo de G.

ê Demonstra ¸c ão. A opera¸cão é fechada, pois sendo b ∈< a > vale b = a^m para algum m e c ∈< a > implica c= aⁿ, para algum n, o produto b.c = a^m.aⁿ = a^m+n ∈< a > .

O elemento neutro e=a⁰ pertence ao conjunto.

O inverso de um elemento b=a^m ∈< a > pertence ao conjunto pois a^−m ∈< a >

e vale

a^−ma^m=a⁰=e=a^ma^−m.

Ent˜ao < a > ´e um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por a.

m

Defini ¸c ão 17 (Ordem de um elemento). Se< a > é finito, chamamos |< a >| de ordem de a e escrevemos o(a) = | < a >|. Quando < a > é infinito, dizemos que a ordem de a é infinita e escrevemos o(a) =∞.

b

Propriedade 30. Se G é finito, então G possui um n úmero par de elementos x com O(x)>2.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Notamos primeiramente que se O(a) > 2, n˜ao pode valer a = a⁻¹, pois nesse caso ter´ıamos a² = e, e da´ı O(a) seria 1 ou 2, por isso, se O(a)>2 devemos ter a6=a⁻¹.

Seja A = {x ∈ G | O(x) > 2}. Se A = ∅ então |A| = 0, que é par. Se existe y₁ ∈ G com O(y₁) >2, tomamos y₂ =y⁻¹₁ . Se A\ {y₁, y₂} for vazio paramos e temos dois elementos de ordem maior 2, se não, tomamos y₃ ∈ A\ {y₁, y₂} e y₄ = y⁻¹₃ . Continuamos o processo, como G é finito o processo deve terminar, portanto, deve existir um n úmero m´ınimo 2n, tal que A\ {y₁, y₂,· · · , y_2n} = ∅, e conclu´ımos que A={y₁, y₂,· · · , y_2n}, como quer´ıamos demonstrar.

b

Propriedade 31. Se G possui ordem par, |G| = 2n, ent˜ao ele possui um n ´umero ´ımpar de elementos de ordem 2.

(26)

ê Demonstra ¸c ˜ao. G possui um elemento de ordem 1, que ´e o elemento neutro

’’e", possui tamb´em um n´umero par de elementos de ordem maior que 2, digamos 2m (pelo resultado atenrior). Sendo x a quantidade de elementos de ordem 2, devemos ter

x+1+2m=2n, o que implica

x=2(n−m) −1, portanto x, a quantidade de termos de ordem 2, ´e ´ımpar.

b

Propriedade 32. Seja H um subgrupo de (Z,+) ent˜ao existe n∈ N tal que H=< n > .

ê Demonstra ¸c ão. Se H = {0} então é gerado por 0. Se H 6= {0} então existe a 6= 0 ∈ H e da´ı a > 0 ou −a > 0, então o conjunto A = {x > 0 ∈ H} é não vazio limitado inferiormente, logo possui menor elemento n, tem-se que < n >⊂ H agora vamos mostrar que H ⊂< n > . Dado m ∈ H tem-se por divisão euclidiana m = qn+r onde 0 ≤ r < n da´ı m −qn = r ∈ H se r > 0 ir´ıamos contrariar a minimalidade de n, então r=0 e todo elemento é da forma q.n.

Z

^Exemplo ^7. ^(Z,⁺⁾ ´e um grupo c´ıclico, que possui geradores 1 e −1.

b

Propriedade 33. Para todo n∈N existe um grupo c´ıclico com n elementos.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Z_n ´e grupo c´ıclico com n elementos, gerado por 1.

Z

^Exemplo ^8. ^Seja ^f⁴ ^∈ ^S⁴ como definido anteriormente ent˜ao < f₄ >=

{I, f₄, f²₄, f³₄}.

Z

^Exemplo^9.Existem grupos c´ıclicos comnelementos tanto para a multiplica¸c˜ao,

(27)

quanto para a adi¸cão. O modelo aditivo é dado pelas ra´ızes n-ésimas da unidade wk=cos(kπ

n ) +isen(kπ n ) com k∈[0, n−1]_N.

b

Propriedade 34. Se a∈ e b∈< a > ent˜ao < a >= .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se a ∈ ent˜ao a^s ∈ para todo s ≥ 0, por

ser grupo, da mesma maneira a^−s ∈ pois a^−s ´e inverso de a^s, isso implica que

< a >⊂, da mesma maneira ⊂< a > mostrando que < a >= .

$

Corol ´ario5. o(a) =o(a⁻¹)poisa∈< a⁻¹>ea⁻¹∈< a >logo < a >=< a⁻¹>, implicando o(a) =o(a⁻¹).

1.4 Teorema de Lagrange

Vamos considerar sempre H um subgrupo de um grupo G.

1.4.1 Congruˆencia m ´odulo H

m

Defini ¸c ão 18 (Congruência módulo H). Sejam a, b∈G, dizemos que

a≡b mod H ⇔ a.b⁻¹∈H.

, caso contr´ario denotamos a≡/ b mod H .

b

Propriedade 35. A congruência módulo H é uma rela¸cão de equivalência.

• Vale a propriedade reflexiva a ≡ a mod H, pois a.a⁻¹ = e ∈ H, pois H ´e subgrupo .

(28)

• Vale a propriedade de simetria, pois a ≡ b mod H significa que a.b⁻¹ ∈ H, como H é subgrupo então o inverso de a.b⁻¹ que é b.a⁻¹ também pertence à H, da´ı b≡a mod H.

• Vale a transitividade, se a ≡ b mod H e b ≡ c mod H devemos mostrar que a ≡ c mod H, das hip´oteses tem-se a.b⁻¹ = h e b.c⁻¹ = h⁰ multiplicando a primeira por h⁰ a direita segue a.b⁻¹b.c⁻¹ = h.h⁰ = a.c⁻¹ = h.h⁰ como H ´e subgrupo temos o produto h.h⁰ =h⁰⁰ ∈H logo vale a≡c mod H .

m

Defini ¸c ão 19 (Classes à direita e à esquerda.). Classe de equivalência de a em G é

a={x∈G|x ≡a mod H}={x ∈G|x.a⁻¹ ∈H}=

={x ∈G|x.a⁻¹ =h∈ H}={x ∈G|x =ha, h∈H}=Ha.

Ha ´e chamado classe `a direita de H. Da mesma maneira definimos a classe a esquerda de a

aH={x∈G|x=a.h, h∈H}.

As nota¸c˜oes aH e Ha podem ser boas por dar a ideia intuitiva de que , por exemplo, aH ´e o conjunto formado pelo produto de a por todos os elementos de H.

$

Corol ário 6. Quando o grupo é abeliano as classes à direita são também classes à esquerda.

b

Propriedade 36. As classes `a direita Ha e `a esquerda aH tem a mesma cardinalidade de H.

ê Demonstra ¸c ão. A fun¸cão f de H em Ha definida como f(h) = ha é uma bĳe¸cão. Suponha f(h) =f(h⁰) logo ha =h⁰a, multiplicando por a⁻¹ a direita segue h=h⁰ logo a fun¸cão é injetora. Agora f é sobrejetora, pois dado y em Ha ele é da forma ha=f(h).

(29)

A fun¸cão ψ de H em aH dada por f(h) = ah é uma bĳe¸cão, pois f(h) = f(h⁰) logo ah =ah⁰ multiplicando a esquerda por a⁻¹ segue h =h⁰ e também sobrejetora pois dado y∈aH ele é da forma a.h=f(h).

Conclu´ımos ent˜ao que |H|=|Ha|=|aH|.

1.4.2 Teorema de Lagrange

F Teorema 1 (Teorema de Lagrange). Se G ´e um grupo finito e H um subgrupo qualquer de G ent˜ao |H| divide |G|.

ê Demonstra ¸c ão. Existe um n úmero finito de classes de congruência de H em G, então

G= [

k∈A

Hk

onde A é finito e a união é disjunta , então de propriedade de somatórios sobre conjuntos¹ vale que

|G|=X

k∈A

|H_k|

|{z}

=|H|

=X

k∈A

|H|=|H||A|

|A|= (G:H) é o n úmero de classes distintas então (G:H) = |G|

|H|.

$

Corol ário 7. Se |G|=p, com pprimo, então os únicos subgrupos de G são os triviais G e {e}.

b

Propriedade 37. SeH, Ks˜ao subgrupos finitos deGtais quemdc(|H|,|G|) =1 ent˜ao H∩K={e}.

ê Demonstra ¸c ão. H∩K é subgrupo de G, pois H e K são subgrupos de G. Suponha que exista a 6= e ∈ H∩ K, então < a > é subgrupo de H ∩ K. Porém o(a)≥2 e pelo teorema de Lagrange o(a)| |H|,|K| logo mdc(|H|,|G|) não poderia ser 1 contradizendo a hipótese. Temos então que H∩K={e}.

1Ver texto sobre somat´orio sobre conjuntos.

(30)

m

Defini ¸c ão 20 (Sistema de representantes). Dada uma parti¸cão de um conjunto, um sistema de representantes é um conjuntoS= [

a∈Γ

{x_a}que tem exatamente um elemento em cada subconjunto da parti¸cão. A cardinalidade de qualquer sistema de representantes das classes laterais à esquerda de H em G é igual a (G:H).

1.5 Grupos c´ıclicos

m

Defini ¸c ão 21 (Grupo c´ıclico). G é c´ıclico ⇔ ∃ a ∈ G| G =< a >, a é dito gerador de G, ou a gera G.

b

Propriedade 38. Se a gera G ent˜ao a⁻¹ tamb´em gera.

ê Demonstra ¸c ão. Todo elemento de G é da forma a^t, que também é da forma (a⁻¹)^s, com s= −t.

b

Propriedade 39. Todo grupo c´ıclico ´e abeliano.

ê Demonstra ¸c ão. Seja G =< a > . Tomamos dois elementos b, c ∈ G ar- bitrários, logo eles são da forma aⁿ, a^p e temos

aⁿa^p =a^n+p=a^p+n =a^p.aⁿ isso mostra que o grupo ´e abeliano.

b

Propriedade 40. < a > ´e finito ⇔ ∃m ≥1 tal que a^m =e.

ê Demonstra ¸c ão. ⇒ < a > é finito então ∃m ≥ 1 tal que a^m = e. Se < a > é finito, então o conjunto {aⁿ | n > 0 ∈ N} é finito, então existem s > r ∈ N tais que a^s =a^r, da´ı a^s−r =e, tomamos m=s−r .

⇐ Dado um elemento qualquer de < a > ele ´e da forma a^t para algum t inteiro, por divis˜ao euclidiana de t por m, tem-se t =mq+r com 0≤r < m , logo

a^t =a^mq+r =a^r

(31)

logo os elementos de < a > pertencem ao conjunto {a^r | 0 ≤ r < m} que ´e um conjunto finito.

b

Propriedade 41. Sendo < a > finito

o(a) =min{n≥1|aⁿ =e}e < a >={a^k|0≤k < o(a)}. ê Demonstra ¸c ˜ao. Como < a > ´e finito, existe m >0∈N tal que

< a >={a^k|0≤k < m}

com a^m = e. Seja A = {s | a^s = e}, tal conjunto é não vazio, pelo princ´ıpio da boa ordena¸cão ele possui um m´ınimo, digamos t. Vamos mostrar que t =o(a). Suponha por absurdo que existam elementos repetidos no conjunto{a^k |0 ≤k < t}, da´ı existem 0≤u < v < ttal que aû =a^v logo a^(v−u)=e, mas 0< v−u < to que comprometeria a minimalidade de t.

$

Corol ário 8. Se o(a) = ∞ então a^m 6=e, ∀ m ≥ 1 pois caso contrário < a >

seria finito. Tem-se tamb´em que a^k 6= a^j se k 6= j, pois se n˜ao a^j−k = e e o grupo seria finito. Estes fatos implicam que aⁿ =e ⇔ n =0 para grupos c´ıclicos infinitos.

b

Propriedade 42. Se o(a) ´e finito ent˜ao a^m =e ⇔o(a)|m.

ê Demonstra ¸c ão. Seja I={n∈Z|aⁿ =e} então I é um ideal de Z, pois:

• 0∈I, a⁰=e.

• Se m, t∈I ent˜ao a^m.a^t =a^m+t =e, implicando que m+t ∈I.

• Se m ∈ I e p ∈ Z, então a^m.p = (a^m)^p = e, logo m.p ∈ I mostrando que I é um ideal de Z. Como todo ideal de Z é principal e o(a)∈ I, logo I6={0}, vale que I = In₀ onde n₀ = min{n ≥ 1 | aⁿ = e}, n₀ = o(a), então a^m = e ⇔ m ∈ I(o(a))⇔m =k.o(a)⇔o(a)|m.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2]

(32)

⇐). Se O(a)|m, existe t tal que m=tO(a) da´ı a^m = (a^O(a))^t =e^t =e.

⇒).

Tomamos a divis˜ao euclidiana de m por O(a), temos m =qo(a) +r, onde 0 ≤ r < O(a), suponha por absurdo que r6=0, ent˜ao

a^m = (a^O(a))^q.a^r =a^r=e

o que contraria minimalidade de O(a), pois 0< r < O(a) o que n˜ao pode acontecer, logo O(a) divide m .

b

Propriedade 43. Se O(a) = n e O(b) = m ent˜ao o(ab)|mmc(n, m). Em G um grupo abeliano.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sabemos que m.n =mmc(m, n).mdc(m, n) (a.b)^mn = (aⁿ)^m(b^m)ⁿ=e

como mdc(n, m) divide n e divide m, ent˜ao

(aⁿ)^mdc(m,n)^m (b^m)^mdc(m,n)ⁿ =e= (ab)^mmc(m,n) ent˜ao O(ab) divide mmc(n, m).

$

Corol ´ario 9. Seja G um grupo finito, ent˜ao para todo a∈G vale a^|^G^|=e.

ê Demonstra ¸c ão. < a > é subgrupo de G, então pelo teorema de Lagrange o(a)||G| e pela propriedade anterior segue a^|^G^|=e.

$

Corol ´ario 10 (Pequeno teorema de Fermat). Seja p primo , ent˜ao

a^p−1≡1 mod p.

Basta fazer as contas em Z_p \ {0} com o produto, temos um grupo com p−1 elementos logo a^p−1≡1 mod p.

(33)

$

Corol ´ario 11. Para qualquer a∈Z e p primo vale

a^p ≡a mod p.

Essa identidade vale se a = 0 se a 6= 0 ent˜ao usamos que a^p−1 ≡ 1 mod p e multiplicamos por a de ambos lados.

$

Corol ´ario 12 (Euler). Sejam x e n primos entre si, ent˜ao

x^ϕ(n)≡1 mod n.

Tal propriedade vale pois |Z_n∗|=ϕ(n).

b

Propriedade 44. Seja G um grupo abeliano. Se a, b tem ordem finita e mdc(O(a), O(b)) =1 ent˜ao O(a.b) =O(a)O(b).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sejam O(a) =n, O(b) =m, z=O(a.b), vale que (a.b)^nm=e

logo z|(n.m), (a.b)^z=e logo a^z =b^−z∈< a >∩, como |< a >| e || são primos entre si, então< a >∩={e}, se tivessem mais um elemento a mais em comum, então a ordem da interse¸cão dividiria os números primos entre si, o que é absurdo, logo a^z=e=b^z , z é m últiplo de n e de m, logo é múltiplo de n.m pois n e m são primos entre si, z|(nm) e mn|z logo z =mn.

b

Propriedade 45. Se a, b ∈ G abeliano tem ordem finita ent˜ao existe c∈ G tal que O(c) =mmc(O(a), O(b)).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sejam n=O(a), m=O(b) se mdc(n, m) =1 ent˜ao tomando c=ab, temos O(c) =O(a)O(b) =n.m=mmc(n, m). mdc(n, m)

| {z }

=1

=mmc(n, m). Se mdc(n, m)6=1 ent˜ao

(34)

n= Yk

s=1

p^α_s^s Yt s=k+1

p^α_s^s

m= Yk

s=1

p^β_s^s Yt

s=k+1

p^β_s^s

onde enumeramos os primos de forma que 0≤α_s < β_s com s ∈[1, k] e α_s ≥ β_s ≥ 0 com s∈[k+1, t].

Tomando a₁ = a

Qk s=1p^αss

e b₁ = b

Qt s=k+1p^βss

temos O(a₁) = Yt s=k+1

p^α_s^s e O(b₁) = Yk

s=1

p^β_s^s, logo O(a₁) e O(b₁) s˜ao primos entre si, portanto

O(a₁b₁) =O(a₁)O(b₁), podemos tomar c=a₁.b₁ tem a ordem desejada.

b

Propriedade 46. Se r=max{O(x), x∈G} (G abeliano) ´e finito ent˜ao O(x)|r

∀x ∈G.

ê Demonstra ¸c ão. Existe y∈G tal que O(y) =r, suponha que exista x ∈G tal que O(x)6|r, então temos s=mmc(O(x), O(y))> r, da´ı existe c tal que O(c) =s > r pelo resultado anterior, o que contraria o fato de r ser máximo.

b

Propriedade 47. Se K < H < G ent˜ao

(G:K) = (G:H)(H:K).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se |G|<∞ ent˜ao

1. H < G implica |G|=|H|(G:H) 2. K < H implica |H|=|K|(K:K) 3. K < G implica |G|=|K|(G:K)

da substitui¸c˜ao de 2 em 1 tem-se |G| = |K|(G : H)(H : K) comparando com 3 tem-se finalmente (G:K) = (G:H)(H:K).

(35)

b

Propriedade 48. Se H e K s˜ao subgrupos de G ent˜ao vale (G:H∩K)≤(G: H)(G:K).

ê Demonstra ¸c ão. Seja A = {g(H∩K) | g ∈ G} que é o conjunto das classes laterais da interse¸cão e C ={gH | g ∈G}×{gK |g ∈ G} que é o produto cartesiano das classes laterais de H e K respectivamente, vamos definir uma fun¸cão f: A→ C que seja injetora, antes observamos que

g(H∩K)H=H g(H∩K)K=K

pois H∩K⊂K e H∩K⊂H. Com isso podemos definir a fun¸c˜ao com f(g(H∩K)) = (gH, gK), ela ´e injetora, pois se

f(g(H∩K)) = (gH, gK) =f(g⁰(H∩K)) = (g⁰H, g⁰K)⇒gH=g⁰HegK=g⁰K isso implica queg⁻¹g⁰ ∈He g⁻¹g⁰ ∈Kpor issog⁻¹g⁰ ∈H∩Ke da´ıg(H∩K) =g⁰(H∩K) disso segue

(G:H∩K)≤(G:H)(G:K).

$

Corol ário 13. Se (G : H) e (G : K) são finitos então (G : H∩K) também é finito nas condi¸cões da propriedade anterior.

b

Propriedade 49 (Classifica¸cão dos grupos de ordem prima). Se |G|=p com p primo então G é c´ıclico e qualquer elemento a6=e∈G gera o grupo.

ê Demonstra ¸c ão. Tomando um elemento a6= e ∈G, < a > é subgrupo de G, como a ordem de p é um n úmero primo, então pelo teorema de lagrange o(a) = p, não podendo ser 1 pois < a > possuiria pelo menos dois elementos {e} e {a},isso implica que < a >=G.

(36)

$

Corol ário 14. Todo grupo de ordem prima é abeliano, pois é c´ıclico.

b

Propriedade 50. Seja a∈G com o(a)<∞ então o(a^s) = o(a) mdc(o(a), s). ê Demonstra ¸c ão. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(a^s) então m = min{t >

0, t ∈ N | a^st = e}. Sabemos que n|s.m ent˜ao sm = mmc(n, s), usando que mmc(n, s).mdc(n, s) =n.s e a identidade anterior tem-se

m = mmc(n, s)

s = n.s

mdc(n, s) 1

s = n

mdc(n, s) ent˜ao

o(a^s) = o(a) mdc(o(a), s).

b

Propriedade 51. Sejam o(a) =n e t=mdc(s, n) ent˜ao < a^s >=< a^t > . ê Demonstra ¸c ˜ao. Existe m ∈Z tal que s=m.mdc(s, n) logo a^s = (a^t)^m assim a^s ∈< a^t >, implicando que < a^s >⊂< a^t > .

Existem n ´umeros inteiros α, β tais que mdc(s, n) =α.s+β.n, da´ı a^t= (a^α)^s(a^β)ⁿ

| {z }

=e

= (a^α)^s logo < a^t >⊂< a^s >.

Como vale < a^s >⊂< a^t> e < a^t >⊂< a^s > ent˜ao < a^s >=< a^t> .

b

Propriedade 52. Se |G|=m n∈N tal que mdc(n, m) =1, ent˜ao para todo g∈G, g=xⁿ para algum x∈G.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como mdc(n, m) = 1 ent˜ao existem x₀, y₀ ∈ Z tais que nx₀+my₀ =1 da´ı

g=g^nx⁰g^my⁰ = (g^x⁰)ⁿ =xⁿ.