Sistemas Lineares. Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP. 7 de agosto de 2012

Sistemas Lineares

Marina Andretta/Franklina Toledo

ICMC-USP

7 de agosto de 2012

Introdu¸c˜ ao

Uma grande variedade de problemas da engenharia pode ser resolvida atrav´ es da an´ alise linear, entre eles podemos citar:

determina¸c˜ ao do potencial em redes el´ etricas,

c´ alculo da tens˜ ao em estruturas met´ alicas da constru¸ c˜ ao civil, etc.

O problema matem´ atico em todos estes casos se reduz a resolver um sistema de equa¸ c˜ oes simultˆ aneas.

A maioria dessas aplica¸ c˜ oes envolve um conjunto de equa¸ c˜ oes lineares.

Introdu¸c˜ ao

Uma equa¸ c˜ ao ´ e linear se cada termo cont´ em n˜ ao mais do que uma vari´ avel e cada vari´ avel aparece na primeira potˆ encia.

Exemplos:

3x + 4y − 10z = 3 – ´ e linear;

xy − 3z = 7 – n˜ ao ´ e linear;

x

+ y − z = 5 – n˜ ao ´ e linear.

Introdu¸c˜ ao

Considere n equa¸c˜ oes lineares e n vari´ aveis (inc´ ognitas). Vamos nos referir a elas como um Sistema Linear de ordem n.

Uma solu¸c˜ ao para este sistema de equa¸ c˜ oes consiste de valores para as n vari´ aveis, tais que quando esses valores s˜ ao substitu´ıdos nas equa¸ c˜ oes, todas s˜ ao satisfeitas simultaneamente.

Exemplo:

x + y + z = 1 x − y − z = 1 2x + 3y − 4z = 9

A solu¸ c˜ ao deste sistema linear ´ e: x = 1, y = 1 e z = −1

Introdu¸c˜ ao

Um sistema linear com m equa¸c˜ oes e n vari´ aveis ´ e escrito usualmente na forma:

a

x

+a

x

+... +a

x

= b

a

x

+a

x

+... +a

x

= b

...

a

x

+a

x

+... +a

x

= b

em que a

s˜ ao os coeficientes; x

s˜ ao as vari´ aveis e b

s˜ ao as constantes.

Este sistema pode ser escrito na forma matricial como Ax = b.

Introdu¸c˜ ao

Dado um sistema linear: Ax = b, nosso objetivo ´ e encontrar uma solu¸ c˜ ao

para o sistema, ou seja, encontrar x tal que Ax = b.

Classifica¸c˜ ao de um Sistema Linear

Um sistema linear pode ser:

Sistema Poss´ıvel ou Consistente: ´ e todo sistema que possui pelo menos uma solu¸ c˜ ao, ele pode ser:

Determinado: se admite uma ´ unica solu¸ c˜ ao;

Indeterminado: se admite mais de uma solu¸ c˜ ao.

Sistema imposs´ıvel ou inconsistente: ´ e todo sistema que n˜ ao admite

solu¸ c˜ ao.

Classifica¸c˜ ao de um Sistema Linear

Exemplo: solu¸ c˜ ao ´ unica 2x + y = 3

x − 3y = −2

solu¸c˜ ao x = (11)

Classifica¸c˜ ao de um Sistema Linear

Exemplo: infinitas solu¸ c˜ oes 2x + y = 3

4x + 2y = 6

solu¸c˜ ao x = (α3 − 2α)

com α ∈ R

Classifica¸c˜ ao de um Sistema Linear

Exemplo: nenhuma solu¸ c˜ ao 2x + y = 3

4x + 2y = 2

Objetivos

Vamos estudar m´ etodos num´ ericos para resolver sistemas lineares de ordem n, que tenham solu¸c˜ ao ´ unica.

Observe que tais sistemas s˜ ao aqueles onde a matriz dos coeficientes ´ e n˜ ao singular, ou seja,

det(A) 6= 0

Objetivos

Os m´ etodos num´ ericos para a solu¸ c˜ ao de sistemas lineares s˜ ao divididos principalmente em dois grupos:

M´ etodos Exatos: forneceriam uma solu¸c˜ ao exata em um n´ umero finito de opera¸c˜ oes, sen˜ ao fossem os erros de arredondamento (erros se acumulam);

M´ etodos Iterativos: s˜ ao aqueles que permitem obter uma solu¸ c˜ ao

com uma dada precis˜ ao atrav´ es de um processo infinito convergente

(erros n˜ ao se acumulam).

Sistemas Lineares Equivalentes

Defini¸ c˜ ao: dois sistemas s˜ ao equivalentes quando admitem a mesma solu¸ c˜ ao.

Exemplo:

Solu¸c˜ ao de Sistemas Triangulares

Um sistema linear de ordem n ´ e dito triangular inferior se ele tiver a forma:

a

x

= b

a

x

+a

x

= b

...

a

x

+a

x

+... +a

x

= b

e triangular superior se tiver a forma:

a

x

+a

x

+... +a

x

= b

+a

x

+... +a

x

= b

...

+a

x

= b

Solu¸c˜ ao de Sistemas Triangulares

Ambos podem ser facilmente resolvidos por:

Triangular inferior:

x

=

11

x

=

kk

Triangular superior:

x

=

nn

x

=

kk

N´ umero de opera¸ c˜ oes: O(n

).