Dimensionamento ECDR e ECDH Correção de engrenagens

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Dimensionamento ECDR e ECDH Correção de engrenagens

Disciplina: Construção de Máquinas II Professor Eduardo Silva Lisboa

Março de 2019

Publicado em: www1.fatecsp.br/lisboa Apostilas

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Elementos de Maquinas - CSA - ECDR 7

ECDR - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO OS DENTES

• Da ação desses esforços na seção [AB], igual a [s.b] onde:

b é a largura da engrenagem [mm]

s é a espessura do dente no engastamento [mm].

• Temos agindo as seguintes tensões:

devido a PH - Flexão - b

devido a PR - Compressão -- d

• De acordo com a figura ao lado:

Lado A - Compressão

Lado B - Tração

• Os materiais em geral comportam-se melhor as tensões de compressão do que as de tração, desta forma é lógico supor que o inicio de fissuramento no engastamento, por efeito de fadiga, dar- se-á do lado tracionado, portanto a tensão máxima será igual a max(B):

• Rearranjando a equação acima temos:

• chamando de [ q ] a expressão:

• Obtemos:

• O esforço normal PN que atua na linha de engrenamento determinara na seção engastada [AB] do dente da coroa, esforços fletores e cortantes devido a ação da componente PH, esforços de compressão devido a ação da componente PR, como mostrado na figura acima.

• Aplica-se PN ao vértice do dente no intuito de determinar os maiores esforços.

• O esforço cortante representado por PN não será considerado.

• A componente PH aplica-se ao ponto extremo da parábola de igual resistência a uma distancia [h] do engastamento do dente na coroa na seção [AB].

s b PN s

b h PN

d b

A .

cos . .

sen . . 6

max 2

s b PN s

b h PN

d b

B .

cos . .

sen . . 6

max 2

o s

b Ft o

s b

h Ft

cos . .

cos . cos

. .

sen . . . 6

max 2

Ft o PU

PN PU cos

s o m s

o h m

m b

Ft

. cos

cos . .

cos

6 . . sen . .

. ²

max

s o m s

o h q m

. cos

cos . .

cos

6 . . sen .

2

Lewis m eq

b q

Ft .

. .

max

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Geometria básica e calculo simplificado para pinhão com 17 dentes

Geometria básica

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Dimensionamento de ECDR’s

Critério da Resistência

m ≥

³ _b_⋅_Z₁²_⋅^⋅_e^Mt_⋅_σ_admissível^⋅^q _⋅ onde b = ( 10 ∼ 25).m ⇒ Adotando b = 17 m

e = (0,8 ∼ 1,5) - fator de carga

0,8 – para utilização e incidência de carga máxima continuadamente 1,5 – para pouco uso e pequenas incidências de carga máxima.

Tensões admissíveis à flexão para engrenagens

Material σadm (kgf/cm²) Bronze fosforozo 600-700 Fofo cinzento 350-450

Nodular 550-700

1010-1020 700-900

1045-1050 850-1200

Cr-Ni 1400-2000

Liga de Cr 1500-2000

Aço fundido 700-900

sintéticos e plásticos 300-400

Módulos normalizados, conforme DIN 780 Módulo – m

[mm] - de

Até [mm]

Variação [mm]

0,3 1,0 0,1

1,0 4,0 0,25

4,0 7,0 0,5

7,0 16,0 1,0

16,0 24,0 2,0

24,0 45,0 3,0

45,0 75,0 5,0

s/ tratamento térmico fator de forma “q”

Engrenamento externo

Z 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 ∞ q 4,5 4,3 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,45 Engrenamento interno

Z 20 24 30 38 50 70 100 200 ∞ q 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,45 Fórmula para largura mínima

K = 2 Mt .q/m³.Z.e. σ b ≥ K.m

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Critério do desgaste (Pressão) Coeficiente Elástico “f”

Coeficiente elástico f Pinhão de aço [E1 = 2,1 x 10⁶ kgf/cm²]

Corôa de aço [E2 = 2,1 x 10⁶ kgf/cm²]

1512

Pinhão de aço

Corôa de FoFo [E2 = 1,05 x 10⁶ kgf/cm²]

1234

Pinhão de FoFo e engrenagem de FoFo 1069

0 0 2

1

sen 1 cos

1 2 1

35 , 0

α α ⋅

⋅

 

 +

⋅

=

E E

f α0 = 20°

Dureza Brinell – HB [kgf / mm²] Material HB [kgf / mm²]

ABNT 1020 160

ABNT 1040 200

ABNT 1050 240

Aços Cr-Ni 300

Aços Cr-Mo 400

Aços Ni-Cr-Mo 400

Aço Fundido 180

W = 10₆ 60⋅n⋅h

n = rpm h = vida em horas ρadm = ⁴⁸^,⁷ ₁⁽_/₆ ⁾

W

⋅ HB

[kgf/cm²] HB – [kgf / mm²]

bd² = 2 . f² ₂

2 2

1 1

i i Mt

adm

⋅ ±

ρ d = m . Z [cm]

(positivo para engrenamento externo e negativo para engrenamento interno)

isolar “b” mínimo b [cm]

Reações no eixo: Mt = Ft . r Fr = Ft . tg α

Dimensionamento da secção crítica de um eixo através da flexo-torção d ≥ ³ ¹⁰

admissível

Mi σ

⋅ ou (10 Mi/σadmissível)^1/3Mi = Mf_r²+0,75⋅α₀²⋅Mt² Mfr = Mfh²⋅Mfv²

α0 = σf. admissível/β.τt. admissível β = 1,73 σf. admissível = tensão de flexão admissível

τt. admissível = tensão de cisalhamento admissível

σf = _Wf^Mf ⇒

32 D3

Mf

π ⋅ ⇒^Mf_π_⋅_D^⋅³²₃ τt ⇒

16 D3

Mt

π⋅ ⇒^Mt_π_⋅_D^⋅¹⁶₃ ∴ α0 = _β²^⋅_⋅^Mf_Mt Rigidez a torção de um eixo θ/l = Mt/ G.Jp

θ/l = 0,25 ∼0,5 ⁰/m (graus/metro)

G = Modulo de elasticidade transversal = aço

= 8100 kp/mm²

Jp = momento de Inércia polar Para secção cheia Jp = 0,1 d⁴

Para secção circular vazada Jp = 0,1 (D⁴-d⁴)

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3

1 – Projetar um par de ECDR, para transmitir 12 CV, com rotação do pinhão de 850 rpm

i = 3,2 Z1 = 38 σadmissível = 850 ₂

cm

kgf (aço ABNT 1045/1050) q = ? f = 1512

pede-se:

a) o módulo do par a resistência

b) largura mínima para uma vida de 5 anos Resolução:

a) Critério da resistência M ≥ ³

1

2

σ

⋅

⋅ e Z b

q Mt

N = F . v ⇒ N = F . ω . r N = F . 2 . π. n . r

N = Mt . 2 . π. n Mt =

n N

⋅

⋅π 2

Mt =

m cm N

kgf s W

m N cv

W s rpm

cv 10²

8 , 9 1

736 min 60 850

2

12 ⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅π = 1012,4776 kgf . cm

Z1 = 38 ⇒ q = ?

(40 – 38) / (40 – 34) = (3,0 – q) / (3,0 – 2,9) ⇒ q = 2,9667 b = 25 mm = 2,5 cm (adotado)

Z1 = 38

e = 0,8 (segurança) σadmissível = 850 ₂

cm kgf

M ≥ ³

1

2

σ

⋅

⋅ e Z b

q

Mt ⇒ M ≥ ³

850 8 , 0 38 5 , 2

9667 , 2 47 , 1012 2

⋅

⋅ ⇒ M ≥ 0,453 cm ou 4,5 mm

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4

b) Critério do desgaste ( como critério de verificação) W = 106

60⋅n⋅h

⇒ W = 106

43800 850

60⋅ ⋅

⇒ 2233,8 [adm]

h – vida em horas (adotado 5 anos ⇒ 43800 horas) HBABNT 1045/1050 ⇒ 175 mm2

kgf

ρadm = 1/6

) ( 7 , 48

W

⋅ HB

⇒ ρadm = 2233,81/6

) 175 ( 7 , 48 ⋅

⇒ ρadm = 2357,181 kgf / cm²

bd² = 2 . f² 2 2 2

1 i i Mt

adm

⋅ ±

ρ (positivo para engrenamento externo e negativo para engrenamento interno) Mt [kgf.cm] ρadm = [kgf / cm²]

d = m . z ⇒d = 4,5 . 38 ⇒d =171 mm ou 17,1 cm bd² = 2 . f² ₂

2 2

1 i i Mt

adm

⋅ ±

ρ ⇒ b = 2 . f² 2

2 2 2

1

d i

i Mt

adm

⋅ ±

ρ ⋅

b = 2 . 1512² 2

2 2

2 2,8

1 8 , 2 1 , 17 181 , 2357

47 ,

1012 ⋅ ±

⋅ ⇒b = 3,21 cm ou 32,1 mm

Portanto a largura desta engrenagem deverá ser corrigida para 33 mm

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ENGRENAGENS CILINDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS - ECDH

Elementos de Maquinas - CSA - ECDH 1

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ECDH - FORMULARIO

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ECDH - FORÇAS

2 2 1

1

2 .

. 2

do M do

Ft = M

^t

=

^t

tg

so

Ft

Fr = . α tg

o

Ft

Fa = . β

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ECDH - FORÇAS

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ECDH - DIMENSIONAMENTO

CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO DO DENTE

• O procedimento de calculo é similar as ECDR, sendo acrescentado um fator de correção de hélice.

• caso desejamos calcular o modulo podemos utilizar a equação acima na forma de:

onde:

mn = modulo normal, [mm];

b = largura do pinhão, [mm];

q = fator de forma, [1/1];

Ft = Força tangencial, [N];

σmax = Tensão máxima atuante na base do dente, [N/mm2];

σadm = Tensão admissível do material da engrenagem, [N/mm2]

(tabela pg 94 do livro texto);

ϕ = Fator de serviço, [1/1], (tabela AGMA, pg 87 a 91 do livro texto ou tabela simplificada);

ϕr = Fator de correção de hélice, [1/1], (tabela pg 118 livro texto);

M = Momento torsor no pinhão, [Nmm];

bv = Largura relativa, [ bv = b/m ], [ 5=< bv =<15 , usual bv = 10 ];

z = numero de dentes da engrenagem;

σ ϕ σ ϕ

σ ϕ ϕ

σ ¹

. . . . .

. .

.

max

max= ≤ = ≤ onde e=

e m b

q ou Ft

m b

q Ft

adm r

n adm

r n

3 1

. . .

.

. .

2 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

ϕ

ϕ σ

_adm _r

n z bv

q m M

F a t o r d e c o r re ç ã o d e h é lic e - ϕr

βo 0 º 5 º 1 0 º 1 5 º 2 0 º 2 5 º 3 0 º 3 5 º 4 0 º 4 5 º

ϕr 1 ,0 0 1 ,2 0 1 ,2 8 1 ,3 3 1 ,3 5 1 ,3 6 1 ,3 6 1 ,3 6 1 ,3 6 1 ,3 6

T e n s õ e s a d m i s s í v e i s a f l e x ã o

M a t e r i a l (σa d m.f l e x ã o ) [ M P a ]

B r o n z e f o s f o r o s o 6 0 a 7 0

F e r r o F u n d i d o c i n z e n t o 3 5 a 4 5

F e r r o F u n d i d o n o d u l a r 5 5 a 7 0

A ç o f u n d i d o 7 0 a 9 0

A ç o s a o 1 0 1 0 e 1 0 2 0 7 0 a 9 0

C a r b o n o e 1 0 4 5 e 1 0 5 0 8 5 a 1 2 0

L i g a d o s C r – N i 1 4 0 a 2 0 0

A B N T C r - M o 1 5 0 a 2 0 0

M a t . S i n t é t i c o , r e s i n a s 3 0 a 4 0

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CRITERIO DE RESISTENCIA - FLEXÃO OS DENTES

• Fator de forma [ q ] para engrenagens sem correção:

– Engrenamento externo:

– Engrenamento interno:

• Fator de forma [ q ] para engrenagens com correção:

Z 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 ∞ q 4,5 4,3 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,6 2,5

Z 20 24 30 38 50 70 100 200 ∞

q 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

• Fator de serviço ou de sobrecarga [ ϕ ] :

• Utilizar a tabela simplificada acima ou a tabela de fatores de serviço da AGMA, paginas 87 a 90 do livro texto.

• AGMA = American Gear Manufactuers Association

MAQUINA ACIONADA

FONTE DE POTENCIA UNIFORME CHOQUE LEVE CHOQUE FORTE

UNIFORME 1,00 1,25 1,75

CHOQUES LEVE 1,25 1,50 2,00

CHOQUES FORTE 1,50 1,75 2,25

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CRITERIO DE DESGASTE OU PRESSÃO

• Para este critério de dimensionamento leva-se em conta a pressão de contato nos flancos dos dentes da engrenagens e ainda sua duração ou vida.

• Este critério deve ser utilizado somente para verificar os dados do pinhão [ engrenagem menor ] e se o pinhão suportar uma quantidade razoável de horas de funcionamento, a coroa, com certeza, suportara esta mesma quantidade.

• O procedimento de calculo é similar as ECDR, sendo acrescentado um fator de correção de hélice.

Onde:

b = largura do pinhão [mm];

do = diâmetro primitivo do pinhão [mm];

M = Momento torsor no pinhão [Nmm];

ϕp = Fator de correção de hélice [1/1], (tabela pg 118 livro texto);

f = Fator de características elásticas do par [1/1];

i = relação de transmissão [i = z2/z1 = rot entrada/rot saída];

padm = pressão admissível [MPa] [N/mm2];

+ = utilizado para engrenamento externo;

- = utilizado para engrenamento interno;

i i p

f M do

b

p adm

. 1 2 .

, 0

.

² ² ₂

±

= ϕ

F a t o r d e c o r r e ç ã o d e h é li c e - ϕp

βo 0 º 5 º 1 0 º 1 5 º 2 0 º 2 5 º 3 0 º 3 5 º 4 0 º 4 5 º

ϕp 1 , 0 0 1 , 1 1 1 , 2 2 1 , 3 1 1 , 4 0 1 , 4 7 1 , 5 4 1 , 6 0 1 , 6 6 1 , 7 1

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CRITERIO DE DESGASTE OU PRESSÃO

• Fator de características elásticas do par [ f ].

Par f

Pinhão de aço E1 = 2,1x10^6 kgf/cm2

Coroa de aço E2 = 2,1x10^6 kgf/cm2 1512 Pinhão de aço E1 = 2,1x10^6 kgf/cm2

Coroa de FoFo E2 = 1,05x10^6 kgf/cm2 1234 Pinhão de FoFo E1 = 1,05x10^6 kgf/cm2

Coroa de FoFo E2 = 1,05x10^6 kgf/cm2 1069

o E o

E f

α α .sen cos 2 . 1 1 . 1 2 1

35 , 0

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

• Pressão admissível [ padm ].

• Onde:

• HB = dureza Brinell [ N/mm2 ] [ tabela 3 livro texto, pg 92 a 93 ];

• W = Fator de numero de ciclos [1/1];

• padm = pressão admissível [ N/mm2 ];

• n = rotação do pinhão [ rpm ];

• h = duração do par [ horas ];

6 1

. 487 , 0

W p_adm = HB

106

. . 60 nh W =

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ECDH - GRAU DE RECOBRIMENTO

• O grau de recobrimento [ εg ] para engrenagens helicoidais é obtido pela composição do grau de recobrimento [ ε ] do dente normal com as medidas do perfil frontal e do grau de recobrimento [ εs ] que representa o avanço das linhas representativas dos flancos dos dentes. Resultando em:

s

g

ε ε

ε

= +

so so

t

a rg rk

rg rk

α ε α

cos .

sen

2 .

2 2

1 2

1 − + − −

=

π ε β

. sen .

n so

s m

o b

t S =

=

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