Teorema de Cauchy e f´ ormulas integrais de Cauchy Sejam f uma fun¸ c˜ ao anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D, e γ uma curva simples, fechada, orientada positivamente, contida em D.

Teorema de Cauchy e f´ ormulas integrais de Cauchy Sejam f uma fun¸ c˜ ao anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D, e γ uma curva simples, fechada, orientada positivamente, contida em D.

Ent˜ ao

1) Teorema de Cauchy:

Z

γ

f (z ) dz = 0

2) F´ ormulas Integrais de Cauchy: para qualquer z

no interior da regi˜ ao limitada por γ, tem-se

f ⁽ⁿ⁾ (z 0 ) = n!

2πi Z

γ

f (z )

(z − z ₀ ) ⁿ⁺¹ dz para n ∈ N ∪ {0}

Desigualdade de Cauchy:

Seja f uma regi˜ ao anal´ıtica numa regi˜ ao contendo o c´ırculo de centro z

e raio r .

Se para z ∈ C (z

, r ) tivermos |f (z )| ≤ M, ent˜ ao |f ⁽ⁿ⁾ (z 0 )| ≤ n! M

r ⁿ .

(A demonstra¸ c˜ ao desta desigualdade faz-se a partir da f´ ormula anterior e

da desigualdade ML)

Teorema de Liouville e teorema fundamental da ´ Algebra

Desigualdade de Cauchy:

Seja f uma regi˜ ao anal´ıtica numa regi˜ ao contendo o c´ırculo de centro z

e raio r .

Se para z ∈ C (z

, r ) tivermos |f (z )| ≤ M, ent˜ ao |f ⁽ⁿ⁾ (z 0 )| ≤ n! M r ⁿ . Teorema de Liouville:

As ´ unicas fun¸ c˜ oes inteiras (isto ´ e, anal´ıticas em C ) e limitadas s˜ ao as fun¸c˜ oes constantes

(basta usar a desigualdade anterior com n = 1 e r → +∞ para ver que essas fun¸ c˜ oes tˆ em derivada nula)

Corol´ ario (Teorema Fundamental da ´ Algebra):

Todo o polin´ omio, p(z ), n˜ ao constante de coeficientes em C tem pelo menos uma raiz complexa (sen˜ ao 1

p(z ) seria inteira e limitada e portanto,

pelo teorema anterior, constante)

Teorema dos res´ıduos

Teorema da deforma¸ c˜ ao dos caminhos:

Se f ´ e anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D excepto num n´ umero finito de singularidades, z 1 , z 2 , . . . , z p , e γ ´ e uma curva simples e fechada, contida em D, orientada positivamente, dentro da qual est˜ ao essas singularidades, ent˜ ao

Z

γ

f (z ) dz =

p

X

k =1

Z

C (z

f (z) dz, onde o raio

das circunferˆ encias, r > 0, ´ e tal que todas est˜ ao contidas em D e s˜ ao

disjuntas duas a duas

Em torno de cada singularidade isolada, z

, tem-se (teorema de Laurent) f (z ) = . . . + a

(z − z k ) ² + a

(z − z k ) + a 0 + a 1 (z − z k ) + a 2 (z − z k ) ² + . . . Exerc´ıcio:

Supondo que Z

C(zk,r) +∞

X

n=−∞

a

(z − z

)

dz =

+∞

X

n=−∞

Z

C(zk,r)

a

(z − z

)

dz , tem-se ent˜ ao

Z

C (z

f (z ) dz = 2πi a

, ou seja:

Z

C(z

,r )

f (z) dz = 2πi Res(f ; z _k )

Teorema dos res´ıduos:

Se f ´ e anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D excepto num n´ umero finito de singularidades, z ₁ , z ₂ , . . . , z _p , e γ ´ e uma curva simples e fechada, contida em D, orientada positivamente, dentro da qual est˜ ao essas singularidades, ent˜ ao

Z

γ

f (z) dz = 2πi

p

X

k=1

Res(f ; z _k )

Recorde-se que caso z

seja um p´ olo de ordem m se tem Res(f , z _k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z _k ) ^m f (z )

P´ olo de ordem m: Res(f , z k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z k ) ^m f (z) Teorema dos res´ıduos: se f ´ e anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D excepto em z ₁ , z ₂ , . . . , z _p , e γ ´ e uma curva simples e fechada, contida em D, orientada positivamente, dentro da qual est˜ ao essas singularidades, ent˜ ao

Z

γ

f (z ) dz = 2πi

p

X

k =1

Res(f ; z k )

Exerc´ıcios:

P´ olo de ordem m: Res(f , z k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z k ) ^m f (z) Teorema dos res´ıduos: se f ´ e anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D excepto em z 1 , z 2 , . . . , z p , e γ ´ e uma curva simples e fechada, contida em D, orientada positivamente, dentro da qual est˜ ao essas singularidades, ent˜ ao

Z

γ

f (z ) dz = 2πi

p

X

k =1

Res(f ; z k )

Exerc´ıcios:

Em torno de cada singularidade isolada, z

, tem-se (teorema de Laurent) f (z ) = . . . + a

(z − z k ) ² + a

(z − z k ) + a 0 + a 1 (z − z k ) + a 2 (z − z k ) ² + . . . Recorde-se que a a

se chama res´ıduo de f em z

(nota¸ c˜ ao: Res(f ; z

))

• se f estiver relacionada com as fun¸c˜ oes _1−z ¹ , e ^z , cos z , sin z , que tˆ em desenvolvimento em s´ erie conhecido, n˜ ao ´ e dif´ıcil calcular Res(f ; z k )

• se z

´ e um p´ olo de ordem igual (ou inferior) a m tem-se Res(f , z k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z k ) ^m f (z )

Teorema dos res´ıduos:

Se, com excep¸ c˜ ao de um n´ umero finito de singularidades z 1 , z 2 , . . . , z p , f

´ e anal´ıtica numa regi˜ ao simplesmente conexa D e γ ´ e uma curva simples e fechada contida em D, orientada positivamente, dentro da qual est˜ ao essas singularidades, ent˜ ao

Z

γ

f (z ) dz = 2πi

p

X

k=1

Res(f ; z _k )

Recorde-se que caso z

seja um p´ olo de ordem m se tem Res(f , z k ) = lim _z→z

_(m−1)! ¹ _dz ^d

(z − z k ) ^m f (z )

P´ olo de ordem m: Res(f , z k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z k ) ^m f (z)

Teorema dos res´ıduos:

Z

γ

f (z ) dz = 2πi

p

X

k=1

Res(f ; z k )

Exerc´ıcios:

P´ olo de ordem m: Res(f , z _k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z _k ) ^m f (z)

Teorema dos res´ıduos:

Z

γ

f (z ) dz = 2πi

p

X

k=1

Res(f ; z k )

Exerc´ıcio (2

frequˆ encia de 2014):

P´ olo de ordem m: Res(f , z k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z k ) ^m f (z)

Teorema dos res´ıduos:

Z

γ

f (z ) dz = 2πi

p

X

k=1

Res(f ; z k )

Exerc´ıcio (exame especial de 2016):

Ainda que a fun¸ c˜ ao tenha um p´ olo de ordem m em z

, pode n˜ ao ser poss´ıvel calcular o res´ıduo com a f´ ormula

Res(f , z _k ) = lim

z→z

1 (m − 1)!

d ^m−1 dz ^m−1

(z − z _k ) ^m f (z )

Exerc´ıcios: