Da produção de conhecimento à inovação de base científica e tecnológica

(1)

Laboratório de Planejamento de Sistemas de Energia Elétrica

Instituto de Engenharia de Sistemas e Computação, Pesquisa e Desenvolvimento do Brasil

Da produção de conhecimento à inovação de base científica e tecnológica

(2)

www.inescbrasil.org.br

Métodos Probabilísticos e Otimização Estocástica Aplicados a Sistemas de Energía Elétrica

Formação Avançada

18/11/2021 a 05/02/2022

(3)

Conteúdo Programático

Parte I – Balizamento – 8horas-aula

i. Revisão de Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes.

ii. Introdução a Programação Linear, Teoria da Dualidade e Análise de Sensibilidade.

iii. Modelos de otimização de Redes.

iv. Programação Dinâmica e Programação Inteira.

(4)

Parte II – Simulação Estocástica – 16 horas-aula

i. Introdução a Processos Estocásticos: Exemplos de modelos estocásticos em Sistemas de Energia Elétrica (SEE).

ii. Simulação de SEE a Eventos Discretos.

iii. Modelos e Cadeias de Markov Aplicados a SEE.

iv. O Método de Monte Carlo aplicado à Confiabilidade de SEE.

v. Análise Estatística de Simulação em SEE a Eventos Discretos.

vi. Exercícios práticos em Sistemas Elétricos.

(5)

Parte III – Introdução à Otimização aplicada a SEE – 16 horas-aula

i. Otimização no Problema da Programação Hidro-Térmica considerando recursos renováveis de origem intermitente.

ii. Introdução à Otimização Estocástica para Análise de SEE.

iii. Representação de Incertezas e Aspectos de Modelagem.

iv. Estratégias de solução para o Commitment e para o Despacho em Análise de SEE.

v. Aspectos da Otimização Energética dos SEE.

vi. O Método da Entropia Cruzada e suas aplicações em SEE.

(6)

Parte I – Balizamento

Revisão de Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes

(7)

Parte I – Balizamento – 8horas-aula

i. Revisão de Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes.

• Matrizes. Notação e tipos de matrizes.

• Operações com matrizes: adição, multiplicação e transposição.

• Matrizes inversas e conjugadas transpostas.

• Determinantes: conceito e propriedades.

• Aplicações dos determinantes.

ii. Introdução a Programação Linear, Teoria da Dualidade e Análise de Sensibilidade.

iii. Modelos de otimização de Redes.

iv. Programação Dinâmica e Programação Inteira.

(8)

Matrizes. Notação e tipos de matrizes.

Matriz: tabela de elementos dispostos em linhas e colunas;

Elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes.

Exemplos:

2 3𝑖

−5 + 𝑖 cos 𝑥 , 𝑥

𝑦 , 2𝑖 , 3 0 1 Notação: Matriz 𝐴 com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas

𝐴_𝑚×𝑛 =

𝑎₁₁ 𝑎₂₁

⋯

…

𝑎_1𝑛 𝑎_2𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎_𝑚1 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛

= 𝑎_{𝑖,𝑗 𝑚×𝑛}

Letra maiúscula para representar matriz

Letra minúscula;

nº de linhas

Letra minúscula;

nº de colunas.

Elemento da matriz 𝐴 que se encontra na linha 2e na coluna 𝑛:

𝐴 2, 𝑛 = 𝑎_2𝑛.

(9)

Matriz quadrada: matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas.

Exemplos:

𝐴_3×3 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

, 𝐵_1×1 = [7]

Matriz nula: matriz onde 𝑎_𝑖𝑗 = 0 para todo o 𝑖 e 𝑗 Exemplos:

𝐴_2×2 = 0 0

0 0 , 𝐵_2×1 = 0 0

𝐴 matriz de ordem 3

𝐵matriz de ordem 1

(10)

Matriz linha: matriz onde o número de linhas é igual a 1.

Exemplos:

𝐴_1×3 = 1 cos 𝑥 𝑦 , 𝐵_1×1 = [7]

Matriz coluna: matriz onde o número de colunas é1 Exemplos:

𝐴_3×1 =

−1 𝑥 2

, 𝐵_1×1 = [7]

(11)

Matriz diagonal: matriz onde os únicos elementos não nulos estão na diagonal da matriz.

Exemplos:

𝐴_2×2 = 1 0

0 2 , 𝐵_1×1 = 7 , 𝐶_5×5 = 1 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

2 0 0 0 3 0 0 0 4 Matriz identidade: matriz diagonal com todos os elementos iguais a 1.

Exemplos:

𝐈_5×5 = 1 0

0 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

, 𝐈_1×1 = 1

Importante: todas as matrizes identidade são matrizes quadradas!

(12)

Matriz triangular: matriz onde todos os elementos acima (ou abaixo) da diagonal principal são nulos.

Exemplos:

𝐴_3×3 =

1 0 0 2 3 0 4 5 6

, 𝐵_3×3 =

1 2 4 0 3 5 0 0 6 Matriz simétrica: matriz onde, para todo o 𝑖 = 𝑗, se tem 𝑎_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑗𝑖.

Exemplos:

𝐴_3×3 =

1 2 4 2 3 5 4 5 6

A parte superior é uma “reflexão” da parte inferior em relação à diagonal

(13)

Operações com matrizes: adição, multiplicação e transposição.

Adição de matrizes

Dadas as matrizes 𝐴_𝑚×𝑛 e 𝐵_𝑚×𝑛, 𝐴 + 𝐵 = 𝑎_𝑖𝑗 + 𝑏_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} Exemplo:

𝐴_2×3 = 1 0 2

3 4 5 , 𝐵_2×3 = 6 7 2 5 0 4 𝐴 + 𝐵 = 7 7 4

8 4 9 Propriedades:

i. [Comutatividade] 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

ii. [Associatividade] 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

iii. [Elemento Neutro Aditivo] 𝐴 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐴, onde 𝟎 é a matriz nula de dimensão 𝑚 × 𝑛

(14)

Multiplicação de matrizes por escalar

Sejam 𝐴 = 𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} uma matriz e 𝑘 um escalar. Então

𝑘. 𝐴 = 𝑘 𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} Exemplo:

𝐴_2×3 = 1 0 2

3 4 5 , 𝑘 = −2 𝑘. 𝐴 = −2 0 −4

−6 −8 −10 Propriedades: Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes 𝑚 × 𝑛 e 𝑘, 𝑘₁ e 𝑘₂ números. Tem-se i. 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵

ii. (𝑘₁ + 𝑘₂ )𝐴 = 𝑘₁ 𝐴 + 𝑘₂ 𝐴 iii. 0. 𝐴 = 𝟎 (matriz nula)

iv. 𝑘₁ 𝑘₂𝐴 = 𝑘₁𝑘₂ 𝐴

(15)

Adição de matrizes e multiplicação por escalar no MATLAB

(16)

Multiplicação de matrizes

Dadas as matrizes 𝐴 = 𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} e 𝐵 = 𝑏_{𝑖𝑗 𝑛×𝑝}. Tem-se que 𝐴𝐵 = 𝑐_{𝑢𝑣 𝑚×𝑝} onde 𝑐_𝑢𝑣 = ෍

𝑘=1 𝑛

𝑎_𝑢𝑘𝑏_𝑘𝑣 = 𝑎_𝑢1𝑏_1𝑣 + … + 𝑎_𝑢𝑛𝑏_1𝑛

Exemplo: 𝐴_2×3 = 1 0 2

3 4 5 , 𝐵_3×2 =

2 3 5 1 0 4

; 𝐴𝐵 = 2 11

26 33 𝐵𝐴 =

11 12 19 8 4 15 12 16 20 Importante:

i. O produto de duas matrizes apenas é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz;

ii. O elemento 𝑖, 𝑗 da matriz resultante do produto é obtido multiplicando os elementos da 𝑖-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da 𝑗-ésima coluna da segunda matriz, somando os produtos resultantes

(17)

Multiplicação de matrizes Propriedades:

i. Em geral, 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴;

ii. [Elemento Neutro Multiplicativo] 𝐴𝐈 = 𝐈𝐴 = 𝐴

iii. [Distributividade à esquerda da multiplicação em relação à adição] 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 iv. [Distributividade à direita da multiplicação em relação à adição] 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 v. [Associatividade] 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶

vi. [Elemento Absorvente da Multiplicação] 𝟎𝐴 = 𝟎 e 𝐴𝟎 = 𝟎

(18)

Multiplicação de matrizes no MATLAB

(19)

Transposição de matrizes

Considere-se uma matriz 𝐴 = 𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛}. A matriz obtida de 𝐴 tal que as colunas de 𝐴 são as linhas da nova matriz diz-se a matriz transposta de 𝐴 e denota-se por 𝐴^𝑇.

Exemplos:

𝐴_2×3 = 1 0 2

3 4 5 A^T_3×2 =

1 3 0 4 2 5 𝐵_2×2 = 1 2

2 3 B_2×2^T = 1 2 2 3

𝐶_2×4 = 1 3 4 − 𝑖 2 + 2𝑖

𝑖 1 − 𝑖 5 6 − 𝑖 C_4×2^T =

1 3

𝑖 1 − 𝑖 4 − 𝑖

2 + 2𝑖

5 6 − 𝑖

(20)

Transposição de matrizes no MATLAB

(21)

Inversão de matrizes

A inversa de uma matriz quadrada 𝐴 é uma matriz 𝐵 tal que 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐈.

Notação: 𝐴⁻¹ para a inversa de 𝐴.

Exemplo:

𝐴 = 6 2

11 4 𝐴⁻¹ =

2 −1

−11

2 3

(22)

Matrizes inversas e conjugadas transpostas.

Inversão de matrizes Propriedades:

i. Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas da mesma ordem e 𝐴⁻¹ e 𝐵⁻¹ existem, então 𝐴𝐵 é invertível e 𝐴𝐵 ⁻¹ = 𝐵⁻¹𝐴⁻¹;

ii. Se 𝐴 é uma matriz invertível, 𝐴⁻¹ é única.

(23)

Inversão de matrizes no MATLAB

(24)

Matriz conjugada transposta

A matriz conjugada transposta de uma matriz 𝐴 é uma matriz 𝐵 obtida a partir de 𝐴 transpondo-a e tomando o conjugado complexo de cada entrada da matriz.

Notação: 𝐴^∗ para a conjugada transposta de 𝐴.

Exemplo:

𝐴_2×3 = 1 0 2

3 4 5 A^∗_3×2 =

1 3 0 4 2 5

𝐵_2×4 = 1 3 4 − 𝑖 2 + 2𝑖

𝑖 1 − 𝑖 5 6 − 𝑖 B_4×2^∗ =

1 3

−𝑖 1 + 𝑖 4 + 𝑖

2 − 2𝑖

5 6 + 𝑖

(25)

Matriz conjugada transposta no MATLAB

(26)

Determinantes: conceito e propriedades.

Determinante de uma matriz: é um número a partir do qual várias propriedades podem ser identificadas.

Notação: det 𝐴 ou |𝐴|

Cálculo:

det 𝑎 = 𝑎 𝑑𝑒𝑡 𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂ = 𝑎₁₁𝑎₂₂ − 𝑎₁₂𝑎₂₁ 𝑑𝑒𝑡

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

= 𝑎₁₁ 𝑑𝑒𝑡 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₂ 𝑎₃₃ − 𝑎₂₁ 𝑑𝑒𝑡 𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₃₂ 𝑎₃₃ + 𝑎₃₁ 𝑑𝑒𝑡 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

(27)

Determinante de uma matriz Propriedades:

i. Se uma matriz 𝐴 tiver todos os elementos de uma linha/coluna nulos, det 𝐴 = 0;

ii. det 𝐴 = det 𝐴^𝑇;

iii. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante;

iv. A permutação de duas linhas numa matriz troca o sinal do determinante;

(28)

Determinante de uma matriz Propriedades:

v. O determinante de uma matriz 𝐴 é nulo sempre que 𝐴 tenha duas ou mais linhas (ou colunas) iguais, ou caso pelo menos uma linha (ou coluna) seja combinação linear de outra linha (ou coluna);

vi. Em geral, det 𝐴 + 𝐵 ≠ det 𝐴 + det 𝐵 ;

vii. O determinante de uma matriz 𝐴 não se altera se somarmos a uma linha de 𝐴 outra linha multiplicada por uma constante;

viii. det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵;

ix. Uma matriz 𝐴 é invertível se e só se det 𝐴 ≠ 0.

(29)

Determinante de uma matriz no MATLAB

Cálculo do

determinante de 𝐴^𝑇

Cálculo do determinante de 𝐴1, onde 𝐴1é gerada a partir de 𝐴, multiplicando a segunda linha por 𝑘 = 2;

Cálculo do determinante de 𝐴2, onde 𝐴2é gerada a partir de 𝐴, permutando as linhas 1 e 2;

Cálculo do determinante de 𝐴3, onde 𝐴3é gerada a partir de 𝐴, substituindo a linha 3 de 𝐴por uma combinação linear da primeira linha de 𝐴;

(30)

Determinante de uma matriz no MATLAB

Cálculo de det(𝐴 + 𝐵)

Cálculo de det 𝐴 + det 𝐵

Cálculo de det 𝐴𝐵 e det 𝐴 det 𝐵

(31)

Aplicações dos determinantes.

i. Computação da inversa de uma matriz 𝐴:

Exemplo: Seja 𝐴_2×2 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 . A inversa da matriz 𝐴 é dada por

𝐴⁻¹ = 1

det 𝐴𝐶^𝑇 onde 𝐶 = 𝐶₁₁ 𝐶₁₂

𝐶₂₁ 𝐶₂₂ é a matriz de cofatores, 𝐶_𝑖𝑗 = −1 ^𝑖+𝑗𝐴_𝑖𝑗 , e 𝐴_𝑖𝑗 é a submatriz obtida a partir de 𝐴 após a remoção da linha 𝑖 e coluna 𝑗.

Exemplo:

Se 𝐴 = 1 3

2 4 , det 𝐴 = −2, 𝐶^𝑇 = 4 −3

−2 1 e portanto, 𝐴⁻¹ = ¹

−2

4 −3

−2 1 = −2 ³

2

1 −¹

2

.

(32)

Aplicações dos determinantes.

ii. Resolução do sistema de equações 𝐴𝑥 = 𝑏:

A solução do sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 é dada por 𝑥 = 𝐴⁻¹𝑏. O vetor 𝑥 = 𝑥₁ 𝑥₂ … 𝑥_𝑛 ^𝑇 solução do sistema de equações é tal que

𝑥_𝑗 = det 𝐵_𝑗 det 𝐴

onde 𝐵_𝑗 é a matriz que se obtém a 𝐴 a partir da substituição da coluna 𝑗 a 𝐴 pelo vetor 𝑏.

Exemplo: considere-se o sistema se equações ቊ 𝑥₁ + 3𝑥₂ = 0 2𝑥₁ + 4𝑥₂ = 6. Então 𝑥₁ = ^det

0 3 6 4 det 1 3 2 4

= ⁻¹⁸

−2 = 9 e 𝑥₂ = ^det

1 0 2 6 det 1 3 2 4

= ⁶

−2 = −3.

(33)

Introdução a Programação Linear, Teoria da Dualidade e Análise de Sensibilidade

(34)