Indu¸ c˜ ao Eletromagn´ etica

(1)

NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica

Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi

Aula 11 (vers˜ao 10/12/2013)

(2)

Indu¸ c˜ ao Eletromagn´ etica

Indu¸c˜ao Eletromagn´etica

(3)

Indutˆ ancia

■ Considere novamente o sistema com duas espiras de correntes. Suponha agora que a corrente na espira 1 sofra uma varia¸cão. Logo, o fluxo através da espira 2 variará, e de acordo com a lei de Faraday, a mudan¸ca no fluxo irá induzir uma fem na espira 2, dada por

E₂ = −dΦ₂

dt = −M dI₁ dt

Espira 2

Espira 1

onde M = M₂₁ = M₁₂ é a indutância mútua das duas espiras.

◆ Neste caso, estamos utilizando um resultado obtido com a lei de

Biot-Savart, portanto a varia¸c˜ao da corrente deve ser suficientemente lenta para que ela seja considerada quase-est´atica.

■ A rela¸c˜ao acima mostra que, mesmo que n˜ao haja fios conectando as duas espiras, a mudan¸ca na corrente da espira 1 induz uma corrente na espira 2.

(4)

Indutˆ ancia

■ A mudan¸ca na corrente da espira 1 induz não somente uma fem em espiras vizinhas, mas também na própria espira, pois modifica o próprio fluxo magnético (veja figura ao lado).

■ Como o campo é proporcional à corrente, tem-se que o fluxo também será proporcional a ela:

Φ = LI

A constante de proporcionalidade, L, é chamada de auto-indutância (ou simplesmente indutância) de uma espira.

◆ De forma semelhante a indutância mútua, a auto-indutância depende somente da geometria (tamanho e forma) da espira.

■ Se a corrente muda, a for¸ca eletromotriz induzida na espira ´e dada por

dΦ dI

(5)

Indutˆ ancia – exemplo

Ex. 1 Encontre a auto-indutˆancia de uma bobina toroidal com a se¸c˜ao transversal retangular (raio interno a, raio externo b e altura h), que possui um total de N

voltas.

Solu¸c˜ao

■ Conforme o Ex. 2 da Aula 4 (pág. 6), o campo magnético dentro da bobina é dado por

B = µ₀N I 2πs φˆ

que é circular e é independente da forma da se¸cão transversal,

■ O fluxo através de uma única espira é dado por (veja figura ao lado)

Φ₁ = Z

B·da = Z

Bdzds = µ₀N I 2π h

Z _b

a

1 sds

Eixo

(6)

Indutˆ ancia – exemplo

Portanto,

Φ₁ = µ₀N Ih 2π ln

b a

■ O fluxo total ´e Φ = NΦ₁. Como Φ = LI, obtemos

L = µ₀N²h 2π ln

b a

(7)

Indutˆ ancia

■ A unidade da indutância mútua e da auto-indutância no SI é henry (H), onde 1 H = V · s/A

■ Assim como a capacitância, a auto-indutância é uma grandeza estritamente positiva. O sinal “−” na última equa¸cão da pág. 4 nos diz que a fem

induzida está no sentido tal que se oponha à mudan¸ca na corrente (lembre-se da lei de Lenz). Portanto, ela é chamada de for¸ca contraeletromotriz.

■ Sempre que se tenta variar uma corrente na espira, é preciso lutar contra a for¸ca contraeletromotriz. Além disto, quanto maior a indutância, maior a dificuldade para se mudar essa corrente. Em vista disto, L desempenha no circuito elétrico um papel similar ao da massa, no sistema mecânica.

(8)

Indutˆ ancia – Exemplo

Ex. 2 Suponha que uma corrente esteja fluindo por uma espira quando, de repente, o fio ´e cortado. A corrente cai para zero “instantaneamente”. Isto gera uma enorme for¸ca contraeletromotriz, pois embora I possa ser pequena, dI/dt ser´a muito grande.

E por isto que frequentemente sai uma fa´ısca quando se desconecta da tomada um´ ferro de passar ou uma tostadeira ainda ligados– a indu¸cão eletromagnética está tentando desesperadamente manter a corrente fluindo, mesmo que ela tenha que pular de uma extremidade à outra do circuito aberto.

Nada tão dramático ocorre quando se conecta a tomada de um ferro de passar ou de uma tostadeira. Neste caso, a indu¸cão se opõem ao aumento repentino na corrente, através de um aumento cont´ınuo e suave.

Suponha, por exemplo, que uma bateria (que fornece uma fem constante E₀) seja conectada a um circuito de re- sistˆencia R e indutˆancia L. Qual a corrente no circuito?

I

(9)

Indutˆ ancia – Exemplo

Solu¸c˜ao De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a soma das diferen¸cas de potencial de cada elemento do circuito de uma malha fechada deve dar zero.

Tomando o sentido da corrente como aquele mostrado na figura da p´agina anterior, E₀ − LdI

dt − IR = 0

■ Observa-se que caso dI/dt > 0 (corrente crescente), a fem induzida ser´a E < 0 (contra o sentido da corrente).

■ A equa¸c˜ao diferencial acima pode ser escrita como dI

dt = −R L

I − E₀ R

⇒

Z dI

I − E₀/R = −R L

Z dt

⇒ ln|I − E₀/R| = −R

L t + C ⇒ I(t) = E₀

R + ke⁻^(R/L)t onde k ´e uma constante a ser determinada pelas condi¸c˜oes iniciais.

(10)

Indutˆ ancia – Exemplo

■ Em particular, se o circuito for conectado no tempo t = 0 em que I(0) = 0, tem-se que

I(0) = 0 = E₀

R + k ⇒ k = −E₀ R Portanto,

I(t) = E₀ R

h1 − e⁻^(R/L)ti

◆ Definimos a quantidade L/R ≡ τ como sendo a constante de tempo indutiva; ela indica o qu˜ao rapidamente a corrente alcan¸ca o seu valor estacion´ario.

■ A figura ao lado mostra o gr´afico de I(t).

Se não fosse pela indutância, a corrente iria saltar imediatamente de zero para o valor máximo E₀/R.

(11)

Indutˆ ancia – Exemplo

■ No circuito que acabamos de resolver, colocamos explicitamente o indutor com indutância L. Na prática, mesmo não colocando explicitamente o

dispositivo indutor, todo circuito possui alguma auto-indutˆancia, e a corrente se aproxima do valor E₀/R assintoticamente.

(12)

Energia em campos magn´ eticos

■ E necess´aria uma certa quantidade de energia para que uma corrente comece´ a fluir no circuito. Isto ´e, um agente externo deve realizar trabalho contra a for¸ca contraeletromotriz para que se possa estabelecer uma corrente.

■ Ao contrário da energia que se dissipa no resistor, esta quantidade de energia transferida pelo agente externo é recuperável. Ela é obtida de volta quando a corrente é desligada. Como veremos adiante, essa forma de energia fica

armazenada em um campo magn´etico.

■ O trabalho realizado por um agente externo sobre uma carga dq contra uma for¸ca contraeletromotriz, em uma volta completa num circuito, ´e

dW = −Edq

Como dq/dt = I, tem-se que o trabalho realizado por unidade de tempo (potˆencia) ´e

dW = −E dq

= −EI ⇒ dW

= LI dI

(13)

Energia em campos magn´ eticos

Para obter a ´ultima igualdade, usamos a f´ormula E = −LdI/dt.

■ Temos portanto que

dW = LIdI

Se iniciarmos com corrente zero num circuito e formos aumentando at´e o valor I, o trabalho realizado pelo agente externo ´e

W = Z

dW = L Z _I

0

IdI ⇒ W = 1

2LI²

◆ O trabalho depende somente da corrente final e da geometria da espira, atrav´es da auto-indutˆancia de L.

■ Vamos mostrar `a seguir que, por outro lado, W pode ser obtido do campo magn´etico B.

(14)

Energia em campos magn´ eticos

■ Vamos escrever o fluxo magn´etico em termos do potencial vetor:

Φ = Z

B · da = Z

S

(∇ × A) · da = I

P

A · dl

onde utilizando-se o teorema de Stokes, transformamos a integral de

superf´ıcie em integral de linha. P ´e o per´ımetro da espira e S ´e qualquer superf´ıcie limitada por P.

■ Por outro lado, Φ = LI. Logo,

LI = I

A · dl

Como W = LI²/2,

W = 1

2I(LI) = 1 2I

I

A · dl

(15)

Energia em campos magn´ eticos

■ Como I = Iˆl, podemos escrever o trabalho com sendo W = 1

2 I

(A · I)dl

Nesta forma, é fácil generalizar uma distribui¸cão linear de corrente para uma distribui¸cão volumétrica:

W = 1 2

Z

V

(A · J)dτ

■ Como da lei de Amp`ere, ∇ × B = µ₀J, podemos eliminar o J na equa¸c˜ao acima:

W = 1 2µ₀

Z

A · (∇ × B)dτ

(16)

Energia em campos magn´ eticos

■ Podemos reescrever o integrando utilizando-se a seguinte identidade vetorial:

∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)

Como ∇ × A = B, tem-se que

A · (∇ × B) = B · B − ∇ · (A × B)

Consequentemente,

W = 1 2µ₀

Z

B²dτ − Z

∇ · (A × B)dτ

= 1 2µ₀

Z

V

B²dτ − I

S

(A × B) · da

onde utilizamos o teorema da divergˆencia para transformar a segunda integral em uma integral fechada sobre uma superf´ıcie S delimitando o volume V.

(17)

Energia em campos magn´ eticos

■ Na segunda expressão da pág. 15, para se obter W é preciso integrar sobre o volume V ocupado pela densidade de corrente J. Na integra¸cão, podemos tomar uma região maior do que a original, pois J = 0 fora dessa região e portanto o resultado da integral não é alterado.

■ Na expressão da pág. anterior, quanto maior a região nós tomamos, maior será a contribui¸cão da integral de volume e portanto menor será a da integral de superf´ıcie. Se eventualmente tomarmos a região como sendo todo o

espa¸co, a integral de superf´ıcie vai a zero e portanto

W = 1 2µ₀

Z

todo o espa¸co

B² dτ

◆ Diante deste resultado, dizemos que a energia magnética é “armazenada em um campo magnético”, em uma quantidade B²/2µ₀ por unidade de volume.

(18)

Energia em campos magn´ eticos – exemplo

Ex. 3 Um cabo coaxial longo conduz uma corrente I (a corrente flui através da superf´ıcie do cilindro interno de raio a e volta ao longo do cilindro externo, de raio b), conforme mostra a figura abaixo. Encontre a energia magnética armazenada em uma se¸cão de comprimento l.

Solu¸c˜ao

■ De acordo com a lei de Ampère, o campo magnético na região entre os dois cilindros é

B = µ₀I 2πs φˆ Em todas as outras regi˜oes, o campo ´e zero.

(19)

Energia em campos magn´ eticos – exemplo

■ A energia por unidade de volume ´e B²

2µ₀ = 1 2µ₀

µ₀I 2πs

₂

= µ₀I² 8π²s²

Portanto, a energia em uma casca cil´ındrica de comprimento l, raio s e espessura ds, ´e

dW = B²

2µ₀dτ = µ₀I²

8π²s²2πslds = µ₀I²l 4π

ds s

Logo, na região entre a e b, a energia magnética é

W = Z

dW = µ₀I²l 4π

Z _b

a

ds

s ⇒ W = µ₀I²l 4π ln

b a

(20)

Energia em campos magn´ eticos – exemplo

Observe que como a energia pode ser escrita na forma W = 1

2LI²

o resultado acima permite uma forma bem simples de calcular a auto-indutância do cabo à partir da energia. Comparando a fórmula acima com o resultado obtido para W, temos

L = µ₀l 2π ln

b a

■ Este método de calcular a auto-indutância é particularmente útil em uma

situa¸cão como a deste exemplo, em que a corrente não está confinada em um

´

unico caminho linear, mas espalhada sobre uma superf´ıcie ou em um volume.

Nesses caso, é poss´ıvel que o cálculo direto do fluxo seja uma tarefa árdua.

(21)

Referˆ encias

■ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Third Edition, Prentice Hall, 1999.