Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu

Capítulo 3

Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu

3.1 O Modelo

O modelo de Baxter-Wu foi introduzido por Wood e Griffiths

e resolvido exatamento no contexto de mecânica estatística de equilíbrio por R.J. Baxter e F.Y.Wu em 1973

. Trata-se de um modelo bidimensional onde as variáveis são do tipo Ising ( σ

= ± 1 ) e residem em uma rede triangular (Figura 3.1).

A Hamiltoniana contém interações entre os 3 spins que formam os vértices de cada triângulo e com o campo magnético quando ele existir.

∑ ⁻ ∑

−

= Η

k j i

i k

j

i

h

J

, ,

σ σ

σ

σ . (3.1)

Esse modelo é autodual

e tem a mesma temperatura crítica, quando em campo nulo, do modelo de Ising convencional, dada por:

( ^{1 2} ) ^{0 , 4406867 ...}

2 ln

1 + =

=

=

c B

c

k T

K J (3.2)

Fig. 3.1: Rede triangular do modelo de Baxter-Wu.

O estado fundamental do modelo de Baxter-Wu é quatro vezes

degenerado

(Figura 3.2) um deles é o estado ferromagnético, ou seja, aquele

em que todos os sítios da rede são preenchidos com sinais positivos. As outras

três configurações são tais que dois terços dos spins são negativos sendo que

em cada triângulo deve haver a presença de um vértice positivo (estado

ferrimagnético)

Estado Ferromagnético

Estados Ferrimagnéticos

Fig. 3.2: Quatro estados fundamentais do modelo de Baxter-Wu. Uma configuração do estado

ferromagnético, e três do estado ferrimagnético.

Pelo fato do modelo apresentar a mesma simetria e o mesmo grau de degenerescência do estado fundamental do modelo de Potts

com 4 estados e do modelo de Ising com interação de três spins em uma das direções (Figura 3.3) espera-se que esses três modelos estejam na mesma classe de universalidade, apresentando os mesmos expoentes críticos. Isso significa que α = ν = 2/3 e β = 1/12.

Modelo de Baxter-Wu

Ising com interações de 3 spins em uma das

direção

Modelo de Potts de 4 estados

Fig. 3.3: Estados fundamentais dos modelos de Baxter-Wu, Ising com interações de 3 spins em uma das direções e do Potts de 4 estados.

O interessante é que, embora esteja na mesma classe de universalidade do Potts com 4 estados, o modelo de Baxter-Wu não apresenta o operador marginal (dimensão do operador = dimensão do espaço onde está embebido o sistema) que tanto dificulta a determinação dos expoentes críticos no caso do Potts-4.

A simetria do modelo de Baxter-Wu é semi-global uma vez que a

Hamiltoniana é simétrica por inversão de todos os spins de duas sub-redes

quaisquer, das três sub-redes

triangulares interpenetrantes que compõem a

rede original. Na figura 3.4 fica claro que cada sítio de uma sub-rede interage

Fig. 3.4: O modelo de Baxter-Wu é definido por uma rede triangular formado por três sub-

redes. Sub-rede 1 representado por , sub-rede 2 por e a última sub-rede por .

Como o interesse nessa dissertação é investigar o modelo a partir do comportamento universal em tempos curtos (quando o comprimento de correlação ainda é pequeno e conseqüentemente não há problemas com o

“critical slowing down”) estaremos trabalhando com uma coleção de amostras que evoluem no tempo de acordo com uma dinâmica previamente escolhida (banho térmico, Glauber ou Metrópolis). As grandezas medidas são a magnetização dependente do tempo e seus momentos, a derivada logarítmica da magnetização em relação ao desvio da temperatura crítica e a correlação entre a magnetização no instante t = 0 e a magnetização no instante t.

Seguindo os trabalhos de Janssen et al.

e Zheng

e colaboradores três condições iniciais são utilizadas. A primeira delas é o caso em que as amostras são geradas com magnetização média igual a zero e comprimento de correlação também. A segunda quando as amostras são características de temperatura alta mas têm uma magnetização residual m

e a terceira, aquela em que o estado inicial das amostras é o estado ordenado (m

= 1). Como já pudemos observar no capítulo 2, cada uma dessas condições permitirá obter informações acerca dos expoentes dinâmicos e estáticos. Finalmente, utilizamos uma outra abordagem que consiste em usar condições iniciais mistas para estimar o valor do expoente crítico dinâmico z

.

É importante ressaltar que as estimativas para esse expoente são muito desencontradas para a maioria dos modelos. Mesmo para o modelo de Ising bidimensional só muito recentemente chegou-se a um consenso razoável a respeito do valor correto de z. Quanto aos outros expoentes o dinâmico θ só pode ser determinado por essa abordagem de tempos curtos enquanto os estáticos β e ν servem apenas para confirmar as relações de escala.

3.2 Resultados

Nessa investigação utilizamos, na maioria das vezes, a dinâmica de banho térmico ( heat-bath), onde o novo estado do spin σ

no instante t+1 é absolutamente independente do seu estado no instante t. Para obtê-lo, compara-se um número aleatório r com a probabilidade do spin ser +1 no próximo passo, aqui designada por ^p

( ) ^t . Assim, teremos:

( ) ^{t sinal} [ ^p

( ) ^{t r} ]

i

+ 1 = −

σ (3.3)

sendo ( )

_{( )}

^{( )}

_{( )}

i _{i i}

i

e e t e

p

= + e ⁼ ∑

k j i

k j i

i

t K t t t

h

, ,

) ( ) ( ) ( )

( σ σ σ .

Pelo fato dos spins da rede da figura 3.4 se repetirem no sentido horizontal a cada três posições e na vertical a cada duas, dificultando a implementação de um programa, em todas as simulações adotamos uma rede oblíqua que pode ser transposta sem problemas para uma rede convencional e que apresenta a repetição dos spins a cada três posições, em ambos os eixos.

(a) (b)

Fig. 3.5: Representação da rede utilizada nas simulações. (a) Rede oblíquo (b) Confi guração da rede oblíquo transposta em uma rede convencional.

i

j

Sub-rede Sub-rede 3

i

j

rede oblíquo transposta em uma rede convencional.

Durante todo o trabalho usamos condições periódicas de contorno e para que não houvesse truncamento das interações entre os spins, as redes escolhidas sempre foram múltiplas de três.

Fig. 3.6: Rede inapropriada (par) para o modelo de Baxter-Wu devido ao truncamento das interações entre os spins e ao número diferente de spins de cada sub-rede.

3.2.1 Determinação do expoente dinâmico z

Para a determinação do expoente crítico dinâmico z, primeiramente utilizamos a técnica do colapso, trabalhando com o quarto cumulante de Binder

generalizado para tratar situações de não equilíbrio ,

) 4 (

4

( , 0 , ) 1 3 ( )

M L M

t

U ε = = − , (3.4)

essa técnica se mostrou útil na determinação do expoente crítico z em

simulações de tempos curtos

, apresentando bons resultados quando

comparados às técnicas convencionais de equilíbrio.

O estudo do cumulante de Binder foi feito para o caso de magnetização inicial igual a zero e a relação de escala é dada por:

U

( T = T

, t , L ) = U

( T = T

, b

t , b

L ) , (3.5)

sendo b = L/L’. Dessa forma o expoente z pode ser facilmente obtido ajustando-se o fator de escala temporal b

de modo que os dois lados da expressão (3.5 ) colapsem. Em outras palavras, o cumulante pode ser descrito por uma função de escala do tipo:

U

( T = T

, t , L ) = f ( t / L

) . (3.6 ) A Figura 3.7 mostra o colapso do cumulante de Binder entre pares de redes, cujo fator de escala é dado por L / L ' = 2 .

0 100 200

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

U4

t L = 12

L = 24

(a)

200 300 400

0,5

U4

t L = 24

L = 48

(b)

Fig. 3.7: Cumulante de Binder U

sendo para (a) L = 12 e 24 e em (b) L = 24 e 48. Em ambos os casos a linha vermelha foi ajustada no eixo do tempo sobre a curva de pontos negros de acordo com o fator de escala 2

, com z = 2.3. O sistema partiu do estado m

= 0 .

Os cumulantes das redes menores (12 e 24) foram representados nas

figuras por pontos pretos, enquanto os pontos das linhas em vermelho referem-

se às redes de tamanho 2 L (L = 24 no caso a e L = 48 no caso b) depois de

feito o rescaling no tempo. O domínio de valores para o qual o colapso ainda

é observado é dado por z = 2 . 3 ± 0 . 1 . Para a construção do gráfico do cumulante foram realizadas médias sobre cinco simulações com 50000 amostras cada uma.

Trabalhando com o cumulante de Binder pode-se perceber claramente a importância de se respeitar a simetria do modelo de Baxter-Wu

.

A figura 3.8 mostra, por exemplo, a deformação do cumulante quando não se trabalha com redes com L = 3 n, n ∈ Z

.

0 50 100

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

U

t L = 15

L = 16

Fig. 3.8: Deformação do cumulante de Binder U

para o modelo de Baxter-Wu numa rede 16 confirmando a necessidade de trabalhar com tamanho de rede múltiplo de três.

Já na figura 3.9 mostramos o comportamento do cumulante quando não

são consideradas as sub-redes para o cálculo da magnetização. O leitor pode

observar que o cumulante da rede de maior tamanho (L = 51) cresce mais

rapidamente do que a de menor tamanho (L = 21), comportamento inverso do

esperado.

0 20 40 60 80 100 0,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

U

t

L = 51 L = 21

Fig. 3.9: Comportamento do cumulante de Binder U

, para o modelo de Baxter-Wu, quando não se considera a existência das 3 sub-redes.

O valor que encontramos para o expoente dinâmico z (~2.3) é bem diferente daquele obtido por Santos e Figueiredo

.

Eles encontraram para z o valor de 2.07 ± 0.01 quando m

= 1 e 1.96 ± 0.02 quando m

= -1/3 utilizando a técnica de Zheng

(veja também Wang et al

) que utiliza o segundo cumulante:

t

M L M

t T T

U

2 ) 2 (

2

( , , )   − 1 ∝

 

=

= , (3.7)

onde d é a dimensão do sistema, com as amostras partindo do estado

ordenado (magnetização inicial igual 1 ou -1/3) .

Usando a mesma técnica (partindo do estado ferromagnético) nós obtivemos (Figura 3.10) o z = 2.03 ± 0.01, próximo daquele encontrado por Santos e Figueiredo

. A diferença utilizando o mesmo procedimento se deve ao fato de estarmos usando a dinâmica de banho térmico e com uma rede de 102x102 sítios ao passo que eles trabalharam com a dinâmica de Glauber e com uma rede com L = 258.

100 1E-4

1E-3

tanφ = 0.9876 + 0.0003 L = 102

( M

/ M

) - 1

t

Fig 3.10: Gráfico do cumulante U

quando o processo dinâmico é iniciado com o sistema em estado ordenado ( m

= 1). As barras de erro foram calculadas para 10 conjuntos de 30000 amostras e apresentam-se menores que o tamanho dos pontos.

Já foi verificado, porém, que a técnica de Zheng

leva a valores de z

mais baixos do que o real como ocorreu na determinação do expoente z para o

modelo de Ising com interação de três spins em uma das direções

e no

modelo de Potts com 3 estados

. Isso decorre, de acordo com o nosso ponto

de vista

, do fato de que o cumulante não deve obedecer à lei de potências

t

quando partimos do estado ordenado.

Para superar esse problema foi sugerido

trabalhar com condições iniciais mistas, ou seja, quando são utilizadas para o cálculo da média da magnetização m

= 1 e para a média do segundo momento m

= 0 .

Essas condições são adotadas uma vez que o segundo momento varia como

,

z

t

t

M

( ) ∝

, (3.8)

onde d é a dimensão do sistema e β ,ν e z são os expoentes críticos do modelo, quando as amostras são tomadas inicialmente com magnetização zero

) 0

( m

= . Por sua vez, o comportamento de escala da magnetização

t

t

M ( ) ∝

, (3.9)

é observado quando o sistema evolui a partir do estado inicial ordenado

, ou seja, quando m

= 1 . Considerando esses dois domínios independentes e fazendo a seguinte a seguinte razão M

( t ) M ( t )

teremos:

m

m

t

M M L t

F

1 0 ) 2 (

0

)

,

( = ∝

=

=

. (3.10)

Aplicando esse método obtivemos através da inclinação da reta da

figura 3.11 o valor de z = 2 . 296 ± 0 . 003 . As médias e o desvio padrão foram

tomadas sobre 10 simulações independentes, com 30000 amostras cada uma.

Fig. 3.11: Gráfico do quociente <M

>/<M>

em função do tempo, considerando-se o crescimento do segundo momento da magnetização a partir do estado desordenado (m

= 0 ) e o decaimento da magnetização a partir do estado ordenado ( m

= 1 ). O resultado para z foi 2.296 ± 0.001. As barras de erro foram calculadas a partir de 10 séries.

Para tentar eliminar o impasse quanto ao valor de z decidimos lançar mão de outras técnicas para a sua determinação.

O primeiro teste consistiu em utilizarmos novamente o colapso das curvas do cumulante de Binder

,

) 4 (

4

( , 0 , ) 1 3 ( )

M L M

t

U ε = = − , (3.11)

para diferentes tamanhos de rede, mas dessa vez com o sistema partindo do estado ordenado, ou seja, m

=1.

100 1E-4

1E-3 0,01

tan φ = 0.871+0.001 L = 144

U=<M

>

/<M>

t

A Figura 3.12 mostra o colapso do cumulante de Binder entre o par de redes (192 x 96), cujo fator de escala é dado por L / L ' = 2 . Para obter o melhor ajuste, exibido na figura, o valor utilizado para z foi 2.28. Variações de 2% em torno desse valor conduzem também a colapsos aceitáveis e, portanto, a estimativa para o expoente fica dada por z = 2.28 ± 0.05. Optamos por trabalhar com redes maiores visando a eliminação de efeitos de tamanho finito.

Fig. 3.12: Cumulante de Binder U

, com o sistema partindo do estado ordenado ( m

= 1). As linhas cheias representam as curvas com L = 96 (em vermelho) e L = 192 (em preto) e os círculos abertos a curva com L = 192 reescaladas no tempo com o fator de escala 2

, com z = 2.28 ± 0.05. Cada curva foi feita fazendo a média de cinco conjuntos de 30 mil amostras. As barras de erro são menores do que os círculos utilizados como símbolos.

Também se pode calcular o z utilizando o cumulante

,

) 2 (

| 1 | ) ,

~ (

M L M

t

U = − (3.12)

e trabalha ndo com amostras que partem do estado ordenado.

0 200 400 600

0,650 0,655 0,660 0,665 0,670

L = 96 z = 2.28 + 0.05

L = 192

U

t

U

A Figura 3.13 mostra o colapso do cumulante U ~

para as redes com L = 196 e 92. O intervalo onde o colapso é observado é dado por z = 2.29 ± 0.05.

Fig. 3.13: Cumulante de Binder U ~

, com o sistema partindo do estado ordenado (m

=1). As linhas cheias representam as curvas com L = 96 (em vermelho) e L = 192 (em preto) e os círculos abertos a curva com L = 192 reescaladas no tempo com o fator de escala 2

, com z = 2.29 ± 0.05. Cada curva foi feita fazendo a média de cinco conjuntos de 30 mil amostras. As barras de erro são menores do que os círculos utilizados como símbolos.

Para a construção da figura 3.13 foram realizadas médias sobre cinco simulações com 30000 amostras.

Na seqüência, resolvemos investigar o comportamento do expoente z nos dois casos anteriores, em função do tempo. Realizamos então o colapso local e observamos que nos primeiros passos z está muito próximo de 2, atingindo depois um patamar de aproximadamente 2.28 para o cumulante de Binder com m

= 1 (Figura 3.14.a) e de aproximadamente 2.29 para o

0 200 400 600 800 1000

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008

z = 2.29 + 0.05 L = 96

L = 192

U

t

U

Fig. 3.14: Curvas mostrando os valores de z obtidos com m

=1 a partir do colapso local de uma rede 96 ← 192, (a) para o cumulante de Binder e (b) para o cumulante U. Em ambos os casos o t representa os passos de Monte Carlo da rede menor.

Uma outra abordagem foi ainda utilizada para confirmar o valor de z.

Dessa vez trabalhamos com a proposta de Soares et al

que também explora o comportamento em tempos curtos para a investigação do expoente crítico dinâmico z . Essa abordagem, conhecida como “finite-size dynamical scaling approach” (FSDSA), parte das mesmas premissas que o grupo da Alemanha utilizou mas a análise da relaxação é feita com duas quantidades introduzidas por P. M. C. de Oliveira

para sistemas em equilíbrio.

Sabe-se que, para uma dada quantidade P, a relação de escala dinâmica pode ser escrita como:

) , , , ( )

, , ,

( b

b H b t b

L b P H t L

P

ε

=

ε , (3.13)

0 500 1000 1500 2000

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

B

z z

2,29 + 0,05

t

0 500 1000 1500 2000

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

A

2,28 + 0,05

t

onde b é o fator de escala , ε é a temperatura reduzida, H é o campo magnético e L o tamanho da rede . Os expoentes ν, y e z são expoentes críticos e φ é a dimensão anômala da quantidade P. Em geral, quando φ = 0, a variável P é candidata a uma função de escala. Segundo P.M.C de Oliveira

, as quantidades:

 

 



=  ∑

= N

i

N

t S

1

sinal 1 )

( σ (3.14)

e

 

 



 

 

=  ∑ ∑

base i topo

i

sinal M sinal M

t

R 1 σ 1 σ

)

( (3.15)

apresentam dimensão anômala φ = 0. Nas equações acima, N = L

é o número total de spins e M = L

são os spins das linhas (em duas dimensões) ou planos (em três) mais distantes entre si. Assim, a equação de escala para essas quantidades pode ser escrita da seguinte maneira:

) , , , ( )

, , ,

( b

b H b t b

L b

S H t L

S

ε

= ε , (3.16) )

, , , ( )

, , ,

( b

b H b t b

L b

R H t L

R

ε

= ε . (3.17) Considerando H = 0 e supondo que o sistema esteja na criticalidade,

= 0

ε , pode-se obter o expoente crítico dinâmico z reescalando, no tempo, redes de tamanhos distintos.

Investigamos o comportamento de escala das quantidades S(t) e R(t) para o modelo de Baxter-Wu. As médias para a obtenção de cada curva foram feitas com 5 conjuntos de 50.0000 amostras.

A Figura 3.15 mostra a evolução temporal da quantidade S para as

redes L = 24, 36 (linhas cheias) e da rede L = 36 após o rescaling temporal (a

curva com bolas vazias). O colapso das curvas é obtido quando z = 2.3 ± 0.1.

0 100 200 300 400 500 0,8

1,0

L = 36 z = 2.3 +0.1

L = 24

S(t)

t

Fig. 3.15: Comportamento temporal de S (t) para as redes L=24 e 36 (linhas cheias). A curva L = 36 (círculos abertos) está reescalada no tempo. O colapso foi obtido para z = 2.3. O sistema partiu do estado ordenado, ou seja, m

= 1.

O mesmo valor de z = 2.3 ± 0.1 foi encontrado no estudo da função R(t) diante de duas condições iniciais diferentes (m

= 1 e m

= 0).

A figura 3.16.a apresenta o colapso das curvas 24 e 36, quando o

sistema parte do estado ordenado, ou seja, m

= 1. Já na figura 3.16.b, o

estado inicial é preparado de forma que a magnetização seja nula em cada

sub-rede m

= 0.

0 50 100 150 0,80

0,85 0,90 0,95 1,00

z = 2.3 +0.1

L = 24 L = 36

R(t)

t

(a)

0 100 200

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

z = 2.3 +0.1

L = 24 L = 18

R(t)

t

(b)

Fig. 3.16: Comportamento de R(t) em função do tempo. (a) Partindo o sistema do estado ordenado m

= 1, curva L = 36 (símbolo aberto) está reescalada no tempo sobre a curva L = 24.

O melhor ajuste das curvas foi obtido com z = 2.3 (b) Partindo do estado inicial m

= 0 a curva L = 24 (símbolos abertos) está reescalada no tempo sobre a curvas L = 18 (linha cheia). O colapso é observado quando z = 2.3.

Portanto, todos os métodos apresentados indicam que o valor de z deve ser muito próximo de 2.3 como se mostra na Tabela 3.1.

Tab. 3.1: Valores de z para o modelo de Baxter-Wu usando a dinâmica de banho térmico e várias grandezas dependentes do tempo.

Técnica

empregada m

Rede Z

0 12 ← 24 2.3 ± 0.1

U

1 96 ← 192 2.28 ± 0.05

U ~

1 96 ← 192 2.29 ± 0.05

S 1 24 ← 36 2.3 ± 0.1

1 24 ← 36 2.3 ± 0.1

R 0 18 ← 24 2.3 ± 0.1

F Mista 102 2.296±0.001

Nenhum dos resultados por nós obtidos para o expoente z suporta o

valor encontrado por Santos e Figueiredo

( z = 1.96 ± 0.02 e 2.07± 0.01) a

menos do segundo cumulante com m

= 1 que também já se revelou

inadequado na determinação de z para o modelo de Ising com interação de

3.2.2 Determinação do expoente dinâmico θ

Talvez a maior contribuição dos trabalhos de Huse

e Janssen et al

tenha sido a descoberta de um novo expoente dinâmico, independente de todos os outros até então conhecidos. Esse novo expoente θ governa o comportamento polinomial da magnetização em função do tempo, conhecido como “critical initial slip” e não foi calculado por Figueiredo e Santos

.

Esse comportamento anômalo da magnetização em função do tempo pode ser descrito por uma lei de potências universal dada por:

t

m t

M ( ) ∝

, (3.18)

onde m

é a magnetização inicial e θ o novo expoente crítico dinâmico.

A primeira estimativa numérica que obtivemos para θ (expoente não determinado por Santos e Figueiredo) foi baseada na evolução da magnetização de amostras cuidadosamente preparadas (com comprimento de correlação zero e m

pequena). As dificuldades, nesse tipo de cálculo, decorrem da necessidade de preparar as amostras com determinada magnetização e também de fazer o delicado limite para m

→ 0. Para um número finito de spins, as possibilidades para valores pequenos de m ficam bastante reduzidas.

A figura 3.17 mostra o resultado de nossas simulações que conduziram ao valor de θ = − 0 . 175 ± 0 . 005 . Aqui a magnetização inicial foi m

= 0 . 01 em cada sub-rede e as médias foram feitas sobre 60000 amostras de aresta L=60.

Para o cálculo do erro foram utilizadas oito simulações independentes.

10 100 1E-3

0,01

tan φ = -0.175 +0.005 m

= 0.01

L = 60

M(t)

t

Fig. 3.17: Evolução temporal da magnetização no gráfico log-log para uma rede L=60 com m

= 0.01. A inclinação da curva fornece o valor do expoente crítico dinâmico

θ ^{= -0.175} ± 0.005.

Devido ao fato do expoente θ ter apresentado um valor bem inferior a zero, ao contrário do modelo de Ising com interação de 3 spins, que apresenta um valor próximo de zero e negativo, como foi observado por Wang et al

e Simões e Drugowich de Felício

, também utilizamos uma técnica alternativa mais eficiente para o cálculo de θ , proposta por Tomé e de Oliveira

para modelos que apresentam simetria up-down . Eles mostram que esse expoente pode ser calculado independentemente a partir da correlação temporal da magnetização em amostras com configurações iniciais aleatórias que também exibe comportamento polinomial,

t

S t N S

M t M Q

i j

j

i

∝

=

= ^{( ) ( 0 ) 1} ∑∑ ^{( ) ( 0 )} (3.19)

evitando a necessidade da preparação inicial das amostras com magnetização pequena e diferente de zero e a delicada extrapolação numérica para o caso

0

→ 0

m e portanto obtendo-se barras de erros bem menores. A figura 3.18 mostra em escala log-log o comportamento da grandeza Q para redes com

= 60

L . A inclinação dessa curva fornece o valor de θ = − 0 . 181 ± 0 . 001 , compatível com a estimativa anterior.

10 100

1E-4 1E-3

tan φ = - 0.181+0.001 L = 60

Q

t

Fig. 3.18: Estudo da correlação temporal da magnetização para L=60. A magnetização inicial do sistema é tomada aleatoriamente e a barra de erro foi calculada sobre 8 conjuntos de 60000 amostras.

Repetimos as simulações para verificar possível influência da dinâmica

sobre o valor de θ. Inicialmente utilizamos a dinâmica de Glauber onde a

probabilidade de inverter um dado spin depende explicitamente do estado do

spin σ

no instante t. Isso ocorre porque, dependendo do valor do spin σ

^{, o}

número aleatório será comparado a diferentes partes do intervalo de

probabilidades. A operação pode ser resumida como:

( ) [ ( ) ] ( )

[ ( ) ] ( )

 



−

=

−

−

−

+

=

−

= +

+ sinal 1 1

1 sinal

1 p t r se t

t se r

t t p

i i

i i

i

σ

σ σ (3.20)

Os resultados obtidos com a dinâmica de Glauber sugerem universalidade para o novo expoente (ver tabela 3.2 ).

Na seqüência, trabalhamos com a dinâmica de Metrópolis onde um novo valor é proposto para o spin, verificando-se em seguida se a energia da amostra diminuiu ou aumentou. Na primeira situação, o novo estado é aceito sem restrição; caso contrário a mudança do spin só poderá ser aceita se um número aleatório r, gerado entre 0 e 1, for menor do que exp(-β∆E), onde ∆E é o acréscimo de energia da velha para a nova configuração. Resumindo, teremos que

( ) [ ( ) ] ^{( )}

[ ( ) ] ^{( )}



 



−

=

−

−

+

=

−

= +

+

+

1 1 1

t se r

t p sinal

t se r

t p sinal t

i i

i i

i

σ

σ σ (3.21)

só que dessa vez p

(t ) é dada por:

( ) (

^{( )}

)

i

e

t

p

= min 1 ,

A tabela 3.2 mostra que a atualização por Metrópolis modifica ligeiramente o valor de θ e não permite uma perfeita caracterização da universalidade para o comportamento da magnetização em tempos curtos.

Observamos, no entanto, que todos os resultados foram obtidos por meio das

duas técnicas e são compatíveis entre si.

Tab.3.2: Valor de θ para o modelo de Baxter-Wu, usando as dinâmicas de banho térmico, Glauber e Metrópolis. Tamanho da rede L = 60. A média e as barras de erro foram calculadas sobre 8 conjuntos de 60000 amostras.

Método

θ Mag. Residual

(m

= 0.01)

Tomé e de Oliveira

Correlação

Banho Térmico -0.175 ± 0.005 -0.181 ± 0.001 Glauber -0.172 ± 0.005 -0.185 ± 0.001

dinâmica Metropolis -0.218 ± 0.009 -0.200 ± 0.001

A razão para encontrarmos um valor negativo para θ, bem diferente daquele obtido para o modelo de Ising com interação de 3 spins e do modelo de Potts com 4 estados que segundo a conjectura de Okano et al

deveria ser negativa mas muito próximo de zero pode estar relacionada com a ausência de um operador marginal no modelo de Baxter-Wu (operador marginal é aquele que tem a dimensão de escala igual à dimensionalidade do sistema e cujo efeito frente a uma operação do grupo de renormalização não é aumentado nem diminuído). Como se sabe, operadores desse tipo estão presentes nos modelos de Potts, oito-vértices e Ashkin-Teller e são responsáveis pela não universalidade característica daqueles casos.

3.2.3 Determinação do expoente ν

Tomando para z a estimativa conservadora z = 2 . 3 ± 0 . 1 é possível obter o valor do expoente estático ν através da derivada da magnetização

, a qual apresenta a forma de escala:

0 ' '

/ 1

0

ln ( ' ) |

| ) , (

ln

= ∂

∂

M t τ

t

F τ

. (3.22)

onde ∂

é a derivada em relação à temperatura nas vizinhanças da temperatura crítica.

A figura 3.19 mostra o comportamento de ∂

ln M ( t , τ ) quando 002

.

= 0

∆τ e L = 102 . A inclinação da reta fornece 1 / ν z = 0 . 680 ± 0 . 006 . Portanto, chegamos a ν = 0 . 64 ± 0 . 03 , um resultado que pode ser considerado bom quando comparado ao valor exato

ν = 2 / 3 e tendo em vista as estimativas obtidas por outros métodos.

Fig. 3.19: Comportamento da derivada do logaritmo da magnetização em função do tempo em

gráfico log-log. O gráfico foi obtido repetindo-se dez vezes cada simulação com 30000

amostras. Relações de escala indica que a inclinação da curva é dada por 1/ ν z ^.

3.2.4 Determinação do expoente β

Tendo em mãos os valores dos expoentes ν (0.64±0.03) e z (2.3±0.1) podemos calcular o expoente crítico estático β , por meio do decaimento da magnetização quando m

= 1:

t

t

M ( ) ∝

(3.23) A figura 3.20 apresenta em escala log-log o comportamento da magnetização contra o tempo e a inclinação da curva permite estimar o valor de β = 0 . 077 ± 0 . 006 , que deve ser comparado com 1/12 = 0,08333.

100 1

tan φ = -0,0524 + 0,0001 m

= 1

L = 402

M(t)

t

Fig 3.20: Comportamento no gráfico log-log do decaimento da magnetização com m

=1 para

rede L=402. A barra de erro foi calculada sobre 3 conjuntos de 1000 amostras.

Em resumo, os expoentes críticos estáticos encontrados para o modelo de Baxter-Wu usando a dinâmica de tempos curtos:

03 . 0 64 .

0 ±

=

ν ,

e

β = 0 . 077 ± 0 . 006

estão muito próximos daqueles encontrados por Baxter e Wu

e também dos resultados para o modelo de Potts com quatro estados

, ou seja, ν = 2/3 e β = 1/12.

E para os expoentes críticos dinâmicos mostramos por seis maneiras diferentes que o nosso valor para o expoente z não confirmam os resultados obtidos por Santos e Figueiredo

( z = 1.96 ± 0.02 e 2.07± 0.01) levando-nos a concluir que o verdadeiro valor de z seja 2.3 ± 0.1. Já para o expoente θ, os resultados:

θ = − 0 . 175 ± 0 . 005 (por magnetização residual) e

θ = − 0 . 181 ± 0 . 001 (por correlação),

revelam um diferença marcante entre o modelo de Baxter-Wu e o de Ising com

interação de três spins provavelmente relacionado a ausência de um operador

marginal no modelo de Baxter-Wu.