Lista 1 de Algebra II

LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA II

Prof. Rodrigo Neves

1. Para cada uma das operações abaixo, prove ou dê um contra-exemplo, sobre as propriedades: associativa e comutativa. Verifique também a existência do elemento neutro, de todos os elementos simetrizáveis e dê um exemplo de elemento regular:

a) E = , e x * y = x;

b) E = , e x * y =

;

c) E = , e x * y = x + y – 2xy;

d) E = , e x * y = x2+ y2+ 2xy;

e) E = , e x * y = xy + 2x;

f) E = , e x * y = max{x, y};

g) E = , e x * y = min{x, y};

h) E = , e x * y = mdc{x, y};

i) E = , e x * y = mmc{x, y};

j) A um conjunto qualquer, E = P(A), e x * y = x ∪y;

k) A um conjunto qualquer, E = P(A), e x * y = x ∩y;

2. Em cada caso abaixo, está definida uma operação em x

(onde os elementos são pares ordenados inteiros). Verifique se cada uma é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e determine seus elementos simétricos:

a) (a, b) * (c, d) = (ac, 0);

b) (a, b) Δ (c, d) = (a + c, b + d);

c) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc);

d) (a, b) ◊ (c, d) = (a + c, bd);

e) (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc);

3. Considere a operação definida como x * y = ax + by + cxy,

onde a, b e c são constantes reais fixas dadas. Determine as condições necessárias para a, b e c, de modo que a operação acima seja associativa e possua um elemento neutro.

4. Encontre um m tal que a lei definida como x Δ y = x + my,

5. Quais dos subconjuntos de abaixo são fechados em relação

a adição:

a)

b) P = {x / x é par}

c) I = {x / x é ímpar}

d) m = {x / x é múltiplo de m, m fixo}

6. Quais dos subconjuntos de abaixo são fechados em relação

a multiplicação:

a)

b) P = {x / x é par}

c) I = {x / x é ímpar}

d) m = {x / x é múltiplo de m, m fixo}

7. Prove que o conjunto A = {z / z = cos(θ) + i·sen(θ)} é um

subconjunto complexo, fechado para a operação da multiplicação.

8. Construa as tábuas de operações de Δ e ◊ sobre E = {0, 1, 2, 3} assim definidas:

a) x Δ y = resto da divisão em de x + y por 5.

b) x ◊ y = resto da divisão em de xy por 4.

9. Em cada caso abaixo, está definida uma operação * sobre E.

Faça a tábua destas operações e use-as para afirmar se cada operação é comutativa, se existe elemento neutro e quem são os elementos inversíveis.

a) E = {1, 2, 3, 6} e x * y = mdc{x, y};

b) E = {1, 3, 9, 27} e x * y = mmc{x, y};

c) E = P({a, b}) e x * y = x ∪ y;

d) E = P({a, b}) e x * y = x ∩ y;

e) E = P({a, b}) e x * y = (x ∪ y) – (x ∩ y);

f) E = {1, i, -1, -i} e x * y = xy;

10. Considere a operação • dada pela tábua abaixo e responda:

a) A operação é comutativa?

b) Possui elemento neutro à direita e à esquerda? Qual?

d) Possui elementos regulares? Quais?

e) Dê ao menos um exemplo de parte fechada nesta operação.

11. Considere a relação de equivalência dada pela congruência módulo 6, sobre os inteiros.

a) Descreva, listando seus elementos, todas as classes de equivalência formadas pela relação.

b) Definindo a operação * como a de soma entre as classes,

construa tábua desta operação sobre o conjunto quociente da relação.

c) Determine o elemento neutro?

d) Qual é o inverso de cada elemento do conjunto?

e) Dê ao menos um exemplo de parte fechada nesta operação.

12. Complete a tábua de operações de composição sobre o conjunto E = { f1, f2, f3, f}, onde

E então responda:

a) Qual é o elemento neutro?

b) Que elementos têm simétricos?

c) Qual o valor de (f1)2 = f1 o f1, usando a tabela?

d) Qual o valor de (f3)3 = f3 o f3 o f3, usando a tabela?

e) Qual o valor de (f1)2 o (f2)-1, usando a tabela?

a) f2 o f3 o f4

b) (f3)2

c) (f2 o f4)3

d) (f3 o f4)-1

e) (f2)-1

14. Construa a tábua de uma operação sobre E = {a, b, c, d} de modo que valham, simultaneamente:

i) Ela seja comutativa;

ii) O elemento a seja o elemento neutro;

iii)Todos os elementos sejam simetrizáveis;

iv)Todos os elementos sejam regulares;

v) b * c = a.

15. Construa a tábua de uma operação sobre E = {e, a, b, c} de modo que valham, simultaneamente:

i) Ela seja comutativa;

ii) O elemento e seja o elemento neutro;

iii) x Δ a = a, para todo x 􀚳 E;

iv) Todos os elementos sejam regulares, com exceção do a

16. Dê um exemplo de uma operação sobre E, usando símbolos de sua escolha, e definindo também o conjunto E, de maneira que:

a) Todo elemento de E é regular, existe o neutro e só ele é simetrizável;

b) Existe o neutro, e todos os elementos e de E, com exceção do neutro, possuem dois simétricos;

c) O composto de dois elementos simetrizáveis não é simetrizável;

d) Ela não seja associativa nem comutativa, mas possua elemento neutro;

18. Prove, usando uma tábua genérica e arranjo simples, que o números máximo de operações distintas sobre um conjunto finito de n elementos é dado por n2_.

19. A relação *: A → A, dada por x * y = (x+y) – (x.y), sendo A =

{ 0, 1, 2 }, é uma operação em A, pois para cada (x,y)



existe apenas um z



20. Seja a operação *: AXA → A, definida pela tábua de operação abaixo:

* 0 1 2

0 1 0 2

1 2 1 0

2 1 0 2

a) Dê o diagrama sagital da operação;

b) Calcular z1 = 0 * (1*2);

c) Calcular z2 = (0*1) * 2;

d) Calcular z3 = ((0*1) * 2) * 1;

e) Calcular z4 = (0*1) * (2*1)

Seja a operação * em A, definida pela tabela abaixo. Determinar,

se possível, o valor de a



a) 1 * a = 5;

b) 2 * a = 5;

c) 2 * a = 2;

d) 3 * a = 1;

e) a * a = 4 * 0 1 2

0 1 2

* 1 2 3 4 5

1 5 1 2 3 4

2 2 2 2 2 2

3 1 2 3 4 5

4 3 2 4 5 1