Grupo Fundamental

Grupo Fundamental

Adriano Delno

_{e Willian Valverde}

Universidade Federal do Paraná, Brasil

Junho 27, 2015

Resumo

Neste artigo, apresentaremos o estudo introdutório ao grupo fundamental π1(X, x), que

pode ser uma ferramenta importante para responder uma das principais perguntas da to-pologia: se dois espaços (ou superfícies) não são homeomorfos. Inicialmente, abordaremos o assunto homotopia entre funções e, mais precisamente, entre caminhos. Posteriormente, analisaremos que as classes de equivalência formadas por caminhos fechados homotópicos fornecem uma estrutura especíca de grupo para cada espaço, a qual é uma invariante topológica. Num segundo momento, calcularemos o grupo fundamental de alguns espa-ços particulares e, por meio de tais grupos, analisaremos se os espaespa-ços em questão são homeomorfos ou não. Também apresentaremos, utilizando as ferramentas citadas, uma demonstração para o Teorema Fundamental da Álgebra.

Palavras-chave: homotopia, Grupo Fundamental, homeomorsmo.

1 Introdução

Um dos grandes problemas da topologia é saber se dois espaços são homeomorfos, isto é, se podemos transformar um espaço em outro de maneira contínua, ou seja, sem precisar rasgar o espaço, ou se não são homeomorfos. Neste caso, para mostrar que X e Y são homeomorfos, é

preciso exibir uma função f : X → Y contínua cuja função inversa f−1 _{: Y}

→ X também seja contínua. Não é uma tarefa fácil encontrar a função quando X e Y são homeomorfos.

Por outro lado, mostrar que dois espaços não são homeomorfos já é uma tarefa bem mais difícil, visto que é necessário mostrar que não existe nenhuma função que satisfaça essa propri-edade.

O grupo fundamental π1(X)vem no sentido de que é possível saber se dois espaços

topológi-cos não são homeomorfos, em outras palavras, se X e Y são homeomorfos então os respectivos grupos fundamentais são isomorfos. O grupo fundamental faz parte de uma área da topologia denominada topologia álgebrica que é o estudo das propriedades topológicas usando as fer-ramentas de álgebra. A topologia algébrica teve início por volta do ano 1894, por meio dos estudos do matemático frânces Henri Poicaré , que apresentou uma série de trabalhos reunindo os principais resultados da área, entre eles, os resultados a respeito do grupo fundamental.

Basicamente, o Grupo Fundamental consiste de classes de equivalência de caminhos con-tínuos fechados, centrado em algum ponto base com uma operação que será mostrada nesse artigo.

Inicialmente, abordaremos o assunto homotopia entre funções, mais precisamente, entre ca-minhos. Posteriormente, analisaremos que as classes de equivalência formadas por caminhos homotópicos forcecem uma estrutura de grupo especíca para cada espaço, a qual é uma in-variante topológica. Num segundo momento, calcularemos o Grupo Fundamental de alguns

∗_{Doutorando em Matemática Aplicada,} †_{Mestrando em Matemática Pura}

espaços particulares e, por meio de tal grupo, analisaremos se são homeomorfos ou não. Tam-bém apresentaremos, utilizando as ferramentas citadas, uma demonstração para o Teorema Fundamental da Álgebra.

2 Homotopia

Denição 2.1. (Homotopia) Sejam X e Y espaços topológicos. Uma homotopia entre duas funções f : X → Y e g : X → Y é uma função contínua H : X ×I → Y tais que H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X onde I = [0, 1].

Quando existe a função H dizemos que f e g são homotópicas e denotamos por f ' g. Denição 2.2. Dois espaços topológicos X e Y são homotópicos se existem funções contínuas

f : X _{→ Y e g : Y → X tais que g ◦ f ' I}X e f ◦ g ' IY, onde IX é a função identidade em

X e IY é a função identidade em Y . Quando X é homotópico a Y denotamos por X ' Y .

Observe que quando dois espaços X e Y são homeomorfos, existe uma função contínua

f : X _{→ Y tais que f}−1 _{◦ f ' I}X e f ◦ f−1 ' IY. Isso mostra que dois espaços serem

homotópicos é mais fraco que serem homeomorfos.

Um resultado que será utilizado sempre é sobre colagem de funções contínuas e é fornecido pelo resultado abaixo.

Lema 2.1. (Lema da Colagem) Seja X = A ∪ B onde A e B são fechados em X. Sejam

f : A _{→ Y e g : B → Y contínuas. Se f(x) = g(x) para todo x ∈ A ∩ B, então a função}

h : X _{→ Y dada por h(x) = f(x) se x ∈ A e h(x) = g(x) se x ∈ B é contínua.}

A demonstração desse resultado pode ser encontrado em [1].

Lema 2.2. Homotopia é uma relação de equivalência sobre o conjunto das funções contínuas de X em Y .

Demontração: Precisamos vericar as três partes da denição de relação de equivalência: reexiva, simétrica e transitiva.

• Homotopia é reexiva:

De fato, f ' f para qualquer f : X → Y contínua. Basta tomar H : X × I → Y dada por H(x, t) = f(x) para todo t ∈ I. Então H é contínua e H(x, 0) = H(x, 1) = f(x) para todo x ∈ X.

• Homotopia é simétrica:

De fato, se f ' g então existe uma aplicação contínua H : X × I → Y tais que H(x, 0) =

f (x) e H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X. Considere ¯H : X_{× I → Y dada por ¯}H(x, t) =

H(x, 1_{− t). Então ¯}H é contínua e

¯

H(x, 0) = H(x, 1) = g(x), ¯H(x, 1) = H(x, 0) = f (x), _{∀x ∈ X.}

Isso mostra que g ' f. • Homotopia é transitiva:

De fato, se f ' g e g ' h, existem H, K : X × I → Y aplicações contínuas tais que

H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x), K(x, 0) = g(x) e K(x, 1) = h(x) ∀x ∈ X.

Considere L : X × I → Y dada por L(x, t) =

(

H(x, 2t), 0_{≤ t ≤} 1₂

Note que (x,1

2)pertence ao domínio de H e de K e

L(x,1₂) = H(x, 1) = K(x, 0) = g(x).

Portanto L está bem denida e pelo Lema 2.1 é contínua. Além disso,

L(x, 0) = H(x, 0) = f (x) e L(x, 1) = K(x, 1) = h(x).

Portanto L é uma homotopia entre f e h.  Em seguida segue um exemplo clássico de homotopia.

Exemplo 2.1. (Homotopia linear) Seja X um espaço vetorial e Y ⊂ E onde E é um espaço vetorial normado. Dadas aplicações contínuas f : X → Y e g : X → Y e suponha que para todo x ∈ X, o segmento de reta [f(x), g(x)] esteja em Y . Então H : X × I → Y dada por

H(x, t) = (1_{− t)f(x) + tg(x) dene uma homotopia entre f e g.}

Em particular, toda função contínua é homotópica a função identicamente nula. De fato, considere H : X × I → Y dada por H(x, t) = (1 − t)f(x). Então H é contínua, H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = 0 para todo x ∈ X. Isso mostra que f ' 0.

As classes de equivalência, segundo a relação de homotopia, são chamadas classes de homo-topia. A classe de homotopia da função contínua f : X → Y será denotada por [f].

Proposição 2.1. Sejam f, g : X → Y e h, k : Y → Z aplicações contínuas. Se f ' g e h ' k então h ◦ f ' k ◦ g.

Demonstração: Por hipótese, existem aplicações contínuas H : X ×I → Y e ¯H : Y_{×I → Z}

tais que H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) para todo x ∈ X e ¯H(y, 0) = h(y), ¯H(y, 1) = k(y)para

todo y ∈ Y . Dena G : X × I → Z por G(x, t) = ¯H(H(x, t), t).

Então G é contínua pois é composta de duas funções contínuas. E

G(x, 0) = ¯H(H(x, 0), 0) = ¯H(f (x), 0) = h(f (x)) = (h_{◦ f)(x) ∀x ∈ X.}

G(x, 1) = ¯H(H(x, 1), 1) = ¯H(g(x), 1) = k(g(x)) = (k_{◦ g)(x) ∀x ∈ X.}

Isso mostra que h ◦ f ' k ◦ g. 

Lema 2.3. A relação de homotopia entre espaços topológicos é uma relação de equivalência, isto é,

• X ' X.

• Se X ' Y então Y ' X.

• Se X ' Y e Y ' Z então X ' Z.

A demonstração desse Lema é análogo ao Lema anterior.

Denição 2.3. Seja X um espaço topológico e x ∈ X. Então X se diz contrátil se X ' {x}. Usando a denição 2.2, um espaço ser contrátil signica que existe uma função contínua

r : X _{→ {x} contínua e i : {x} → X tal que i ◦ r ' I}X e r ◦ i ' I{x}. Note que r é uma função

constante e i é a função inclusão. Em outras palavras para um espaço vericar que um espaço

é contrátil devemos ter IX ' k onde k é uma constante.

Exemplo 2.2. Rn _{é contrátil.}

De fato, considere a aplicação H : Rn_{×I → R}n _{dada por H(x, t) = tx. Note que H(x, 0) = 0}

, H(x, 1) = x = IRn(x)e H é contínua, portanto H é uma homotopia entre a função identidade

Denição 2.4. Considere X um espaço topológico e A ⊆ X, r : X → X com r(X) ⊂ A,

r_{' I}X, r|A= IA. Então r é chamada de uma deformação retrátil. Nesse caso, denotamos por

X _{' A.}

Exemplo 2.3. Rn_{\ {~0} ' S}n−1_.

De fato, para demostrar esse resultado basta encontrar uma função r que satisfaça a denição

2.4. Considere r : Rn_{\{~0} → R}n_{\{~0} dada por r(x) =} x

||x||. Então r(X) = S n−1_{, r|} Sn−1 = I_Sn−1. Também considere H(x, t) = (1 − t)x + t x ||x||. Então, H(x, 0) = x = IRn\{~0}(x), H(x, 1) = x ||x|| =

r(x) para todo x ∈ Rn_{\ {~0} e H é contínua. Portanto r ' I}

Rn\{~0}.

3 Homotopia de Caminhos

Denição 3.1. (Caminho) Seja X um espaço topológico. Um caminho entre x0 e x1 em X é

uma função contínua γ : [0, 1] → X tal que γ(0) = x0 e γ(1) = x1.

Denição 3.2. Dois caminhos γ1, γ2 : I → X são caminhos homotópicos se possuem as mesmas

extremidades, isto é, γ1(0) = γ2(0) = x0, γ1(1) = γ2(1) = x1 e existe uma aplicação contínua

H : I_{× I → X tal que H(0, t) = γ}1(t), H(1, t) = γ2(t), H(s, 0) = x0, H(s, 1) = x1 para todo

s, t _{∈ I. Se γ}1 e γ2 são caminhos homotópicos, denotamos por γ1 ∼= γ2 ou simplesmente por

γ1 ' γ2.

Uma representação gráca pode ser vista na gura abaixo.

H : I_{× I → X} • x1 • x0 ⊂ X I× I H(s, 0) γ2 H(s, 1) γ1

Figura 1: Caminhos homotópicos

Denição 3.3. (Caminho fechado) Um caminho γ : [0, 1] → X é um caminho fechado em x0

se γ(0) = γ(1) = x0.

Dois caminhos fechados γ1 e γ2 são homotópicos se satisfazem a denição 3.2. Note que

Exemplo 3.1. Seja A um subconjunto convexo de um espaço vetorial normado. Se u, v : I → A

são caminhos com as mesmas extremidades, isto é, u(0) = v(0) = x0 e u(1) = v(1) = x1, então

u_{' v.}

De fato, considere a aplicação H : I × I → X dada por H(s, t) = (1 − s)u(t) + sv(t). Então

H é contínua,

H(0, t) = u(t), H(1, t) = v(t), H(s, 0) = x0 e H(s, 1) = x1 ∀s, t ∈ I.

Portanto H é uma homotopia entre u e v.

Denição 3.4. Dado dois caminhos u, v : I → X com u(1) = v(0), o produto de u por v é denido por u · v(t) =

(

u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂

v(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1}.

O produto de caminhos não é associativo. Considere u, v, w : I → X com u(1) = v(0) e

v(1) = w(0). Então (u_{· v) · w(t) =}      u(4t), 0_{≤ t ≤} 1₄ v(4t_{− 1),} 1_{4 ≤ t ≤} 1₂ w(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} e u_{· (v · w)(t) =}      u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ v(4t_{− 2),} 1_{2 ≤ t ≤} 3₄ w(4t_{− 3),} 3_{4 ≤ t ≤ 1} .

Claramente os caminhos são diferentes.

Embora os caminhos (u · v) · w e u · (v · w) não sejam associativos, eles são homotópicos. De fato, considere a aplicação contínua H : I × I → X dada por

H(s, t) =      u( 4t 1+s), 0≤ t ≤ 1+s 4 v(4t_{− 1 − s),} 1+s 4 ≤ t ≤ 2+s 4 w(4t−s−2 2−s ), 2+s 4 ≤ t ≤ 1 .

É fácil ver que

H(s, 0) = u(0), H(s, 1) = w(1), H(0, t) = (u_{· v) · w(t) e H(1, t) = u · (v · w)(t).}

Denição 3.5. Sejam f, g : X → Y funções contínuas. A função f é homotópica a g re-lativamente a um subconjunto A ⊂ X, quando existe uma homotopia H entre f e g tal que

H(x, t) = f (x) = g(x) para todo x ∈ A. Nesse caso, denotamos por f ' g( rel A).

Exemplo 3.2. Considere dois caminhos fechados u e v centrados em x0. Então u ' v(rel{0, 1}).

Denição 3.6. (Caminhos constantes) Seja x ∈ X. Um caminho cx é constante se cx(t) = x

para todo t ∈ I.

Denição 3.7. Dado um caminho u de x0 a x1, o caminho inverso ¯u de x1 para x0 é dado por

¯

Proposição 3.1. Considere o caminho u de x para y, e os caminhos constantes cx e cy. Então

valem:

i) u ' u · cy;

ii) u · cx ' u;

iii) u · ¯u ' cx.

Demonstração: Para demontrar essas armações basta mostrar uma aplicação homotópica

H entre os caminhos.

Para o caso (i) considere H : I × I → X dada por H(s, t) = ( u(_1+s2t ), 0_{≤ t ≤} 1+s₂ y, 1+s_{2 ≤ t ≤ 1}. Então H(0, t) = ( u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ y, 1_{2 ≤ t ≤ 1} = u· cy(t) e H(1, t) = u(t).

Tem se também que H(s, 0) = u(0) = x e H(s, 1) = y. Pelo Lema 2.1, H é contínua e portanto u ' u · cy.

Para o caso (ii) considere H : I × I → X dada por H(s, t) = ( u( 2t 1+s), 0≤ t ≤ 1+s 2 x, 1+s 2 ≤ t ≤ 1 . Então pelo Lema 2.1 H, é contínua e

H(0, t) = (

u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂

x, 1_{2 ≤ t ≤ 1} = u· cx(t),

H(1, t) = u(t), H(s, 0) = H(s, 1) = x.

Para o caso (iii) considere H : I × I → X dada por

H(s, t) =          x, 0_{≤ t ≤} s₂ u(2t_{− s),} s_{2 ≤ t ≤} 1₂ u(2_{− 2t − s),} 1_{2 ≤ t ≤ 1 −} s₂ x, 1₋ s_{2 ≤ t ≤ 1} . Tem se que H(0, t) = ( u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂

u(2_{− 2t) = ¯u(2t − 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = u· ¯u(t)

e H(1, t) = cx(t).

Além disso, H(s, 0) = H(s, 1) = x. Pelo Lema 2.1, H é contínua e portanto u · ¯u ' cx. 

4 Grupo Fundamental

Considere um espaço topológico X e x ∈ X. O Grupo Fundamental π1(X, x) é um grupo

formado pelas classes de homotopia dos caminhos fechados em X baseado em x com a operação [u][v] = [u_{· v]}

Lema 4.1. Suponha que u ' u0

( rel {0, 1}) e v ' v0( rel {0, 1}). Então u · v ' u0 _{· v}0( rel

{0, 1}).

Demostração: Como u ' u0

( rel {0, 1}) existe uma aplicação contínua H : I × I → X com

H(s, 0) = H(s, 1) = x, H(0, t) = u(t) e H(1, t) = u0(t).

Analogamente existe uma aplicação contínua ¯H : I_{× I → X com}

¯ H(s, 0) = ¯H(s, 1) = x, ¯H(0, t) = v(t) e ¯H(1, t) = v0(t) _{∀t, s ∈ I.} Dena G : I × I → X por G(s, t) = ( H(s, 2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ ¯ H(s, 2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1}. Então G(s,1₂) = H(s, 1) = ¯H(s, 0) = x e pelo Lema 2.1, G é contínua. Tem se que

G(s, 0) = H(s, 0) = x e G(s, 1) = ¯H(s, 1) = x. Também G(0, t) = ( H(0, 2t) = u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ ¯ H(0, 2t_{− 1) = v(2t − 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = u· v(t), e G(1, t) = ( H(1, 2t) = u0(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ ¯ H(1, 2t_{− 1) = v}0(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = u 0 · v0(t).

Portanto G é uma homotopia entre u · v e u0

· v0 relativo a {0, 1}.  Pelo Lema 4.1 a operação [u][v] = [u · v] está bem denida.

Teorema 4.1. π1(X, x) é um grupo.

Demontração: Para vericar que π1(X, x)é de fato um grupo, é necessário vericar as três

propriedades:

i) Existência do elemento neutro e sua relação com os demais elementos. ii) Existência do elemento inverso.

iii) Propriedade associativa.

O elemento neutro é o caminho constante cx e a sua classe será denotada por e. Dada

uma classe arbitrária [u] com representante u a classe inversa é [¯u]. É necessário mostrar que

[u]e = e[u] = [u] para toda classe [u], [u][¯u] = [¯u][u] = e e por m, [u][v · w] = [u · v][w].

i)Dada [u] uma classe de caminhos fechados qualquer, temos que [u]e = [u·cx]. Basta então

mostrar que u · e é um elemento da classe [u], ou seja, que u · cx é homotópico a u relativo a

{0, 1}. Isso segue da Proposição 3.1.

Portanto [u]e = [u]. De maneira análoga mostra se que e[u] = [u].

ii) Dada [u] uma classe de caminhos fechados qualquer, temos que [u][¯u] = [u · ¯u]. Basta

então mostrar que u · ¯u é um elemento da classe e, ou seja, que u · ¯u é homotópico a cx relativo

a {0, 1}.

Novamente pela Proposição 3.1 isso é verdade.

iii) Dadas as classes [u], [v] e [w] vamos mostrar que [u][v · w] = [u · v][w]. Para isso é suciente mostrar que u · (v · w) é homotópico a (u · v) · w relativo a {0, 1}.

De fato, considere a aplicação H : I × I → X dada por H(s, t) =      u(_2−s4t ), 0_{≤ t ≤} 1_{2 −} s₄ v(4t_{− 2 + s),} 1_{2 −} s_{4 ≤ t ≤} 3_{4 −} s₄ w(4t−3+s_1+s ), 3_{4 −} s_{4 ≤ t ≤ 1} . Tem se que H(0, t) =      u(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ v(2t_{− 2),} 1_{2 ≤ t ≤} 3₄ w(4t_{− 3),} 3_{4 ≤ t ≤ 1} = u_{· (v · w)(t)} e H(1, t) =      u(4t), 0_{≤ t ≤} 1₄ v(4t_{− 1),} 1_{4 ≤ t ≤} 1₂ w(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = (u_{· v) · w(t).}

Além disso tem se H(s, 0) = u(0) = x e H(s, 1) = w(1) = x. Resta mostrar que H é contínua. Mas

H(s,1_{2 −4}s) = u(1) = v(0) = xe H(s,3_{4 −}s₄) = v(1) = w(0) = x

e pelo Lema 2.1, H é contínua e, consequentemente, uma homotopia entre u · (v · w) e (u · v) · w relativo a {0, 1}.

Exemplo 4.1. Considere R2 _{e a origem. Então π}

1(R2, ~0) é o grupo trivial.

Demonstração: De fato, considere a classe neutra e. Então se c0 ∈ e signica que c0(t) = 0

para todo t ∈ [0, 1]. Seja um caminho fechado α qualquer baseado na origem, isto é, α(0) = α(1) = ~0.

Considere a aplicação H : I × I → X dada por H(s, t) = (1 − s)α(t). Então H é contínua,

H(0, t) = α(t) e H(1, t) = 0 para todo t ∈ I. Também

H(s, 0) = (1_{− s)α(0) = (1 − s)~0 = ~0 e H(s, 1) = ~0.}

Isso mostra que H é uma homotopia entre α e a função nula relativo a {0, 1}, ou seja, α ∈ e. Portanto π1(R2, ~0) ={e}. 

Uma pergunta que aparece naturalmente é: se mudar o ponto base x para y o que acontece

com o Grupo Fundamental π1(X, y)? Sob certas hipóteses, os grupo são isomorfos.

Proposição 4.1. Se x e y pertencem a mesma parte conexa por caminhos de X então π1(X, x) ∼= π1(X, y).

Demonstração: Seja v um caminho entre x e y, isto é, v : I → X contínua com v(0) = x e

v(1) = y. Considere ¯v(t) = v(1−t) o caminho oposto. Dena a seguinte função v# : π1(X, x)→

π1(X, y) denida por v#([u]) = [¯v · u · v]. Pelo Lema 4.1, v# está bem denida, visto que se

u_{' w então ¯v · u · v ' ¯v · w · v. A função v}# é um homomorsmo de grupos. De fato,

v#([u])v#([w]) = [¯v· u · v][¯v · w · v] = [¯v · u · v · ¯v · w · v] = [¯v · u · w · v] = v#([u· w]). Considere a função v−1 # : π(X, y)→ π(X, x) denida por v −1 # ([a]) = [v· a · ¯v]. Então v −1 # é a

função inversa de v#. De fato,

v_#−1(v#([u])) = v#−1([¯v· u · v]) = [v · (¯v · u · v) · ¯v] = [cx· u · cx] = [u]

v#(v_#−1([u])) = v_#−1([v· u · ¯v]) = [¯v · (v · u · ¯v) · v] = [cy· u · cy] = [u]

Corolário 4.1. Se X é um espaço conexo por caminhos, o Grupo Fundamental não depende

do ponto base e é denotado por π1(X).

Dados dois espaços topológicos X e Y é interessante saber qual a relação, se existe, en-tre os grupos fundamentais relacionados. A próxima proposição responde parcialmente esse questionamento.

Proposição 4.2. (Homomorsmo induzido) Sejam X e Y espaços topológicos. Considere

x_{∈ X e y ∈ Y pontos bases. Então qualquer função contínua f : X → Y com f(x) = y induz}

um homomorsmo f? : π1(X, x)→ π1(Y, y). Além disso valem:

i) I? = Iπ1(X,x);

ii) Se g : Y → Z contínua com g(y) = z então (gf)? = g?◦ f?;

iii) Se f ' f0

relativo a {x} então f? = f

0

?.

Demonstração: Dena a função f? por f?([α]) = [f ◦ α]. Vamos mostrar que essa função

está bem denida. Para isso considere α e β caminho fechados homotópicos relativos a {0, 1}. Isso signica que existe uma função H : I × I → X contínua com

H(0, t) = α(t), H(1, t) = β(t) e H(s, 0) = H(s, 1) = x. Dena G = f ◦ H. Então G(0, t) = (f _{◦ H)(0, t) = f(H(0, t)) = f(α(t)) = (f ◦ α)(t) e G(1, t) = (f ◦ β)(t).} Também, G(s, 0) = g(s, 1) = (f _{◦ H)(s, 0) = (f ◦ H)(s, 1) = f(H(s, 0)) = f(H(s, 1)) = f(x) = y.}

A função G é contínua pois é composta de duas funções contínuas, portanto G é uma homotopia

entre f ◦ α e f ◦ β relativo a {0, 1}. Isso mostra que a função f? está bem denida.

A função f? é um homomorsmo de grupos. De fato,

f?([α· β]) = [f ◦ (α · β)]



= [(f _{◦ α) · (f ◦ β)] = [f ◦ α][f ◦ β] = f}?([α])f?([β]).

A passagem 

=apesar de não parecer tão imediata de fato ocorre. Note que o caminho α · β

é dado por

α_{· β(t) =}

(

α(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂

β(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1}

Compondo com f obtemos

f _{◦ (α · β)(t) = f(α · β(t))} = ( f (α(2t)), 0_{≤ t ≤} 1₂ f (β(2t_{− 1)),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = ( (f _{◦ α)(2t),} 0_{≤ t ≤} 1₂ (f _{◦ β)(2t − 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = (f _{◦ α) · (f ◦ β)(t).}

Agora segue as demontrações das armações.

i) As funções identidades I? e Iπ(X,x) são as mesmas. De fato,

ii) Seja g : Y → Z contínua com g(y) = z e considere o homeomorsmo induzido g?. Então

(g_{◦ f)}?([α]) = [(g◦ f) ◦ α] = [g ◦ (f ◦ α)] = g?([f ◦ α]) = g?(f?([α])) = (g?◦ f?)([α]).

iii) Do fato de f ' f0( rel {x} temos que f ◦ α é homotópico a f0 _{◦ α relativo a {x}, ou}

seja, estão na mesma classe. Então

f?([α]) = [f ◦ α] = [f

0

◦ α] = f?0([α]),

para todo α ∈ π1(X, x), ou seja, f? = f

0

?. 

Agora, com esse resultado, podemos obter uma maneira de vericar se dois espaços topoló-gicos não são homeomorfos.

Corolário 4.2. Se f : X → Y é um homeomorsmo com f(x) = y então f? é um isomorsmo.

Demonstração: De fato, f−1 _{: Y → X é a função inversa de f.}

Considere f−1

? : π1(Y, y)→ π1(X, x)denida por f?−1([β]) = [f −1

◦ β]. Então f_?−1([f?([α])]) = [f−1◦ f?([α])] = [f−1◦ f ◦ α] = [α] = I?([α]).

Com esse resultado, podemos distiguir quando dois espaços são diferentes topologicamente, analisando os respectivos grupos fundamentais.

Um outro resultado interessante é saber o Grupo Fundamental de algum espaço topológico baseado em outros espaços topológicos. Isso é possível com o próximo teorema.

Teorema 4.2. Considere X e Y espaços topológicos. Então π1(X × Y, x0× y0) é isomorfo a

π1(X, x0)× π1(Y, y0).

Demonstração: Primeiro note que se temos dois grupos A e B com a operação ·, temos que o produto cartesiado A × B é um grupo com a operação

(a_{× b) · (a}0 _{× b}0) = (a_{· a}0)_{× (b · b}0).

Da mesma forma, se h : C → A e k : C → B são homomorsmos de grupos, então a função

Φ : C _{→ A × B denida por Φ(c) = h(c) × k(c) é um homomorsmo de grupos. Considere}

as projeções p : X × Y → X e q : X × Y → Y em X e Y respectivamentes. Então, pela

Proposição 4.2, p e q induzem os seguintes homomorsmos: p? : π1(X× Y, x0× y0)→ π1(X, x0)

e q? : π1(X × Y, x0× y0)→ π1(Y, y0).

Denamos a seguinte função:

Φ : π1(X × Y, x0× y0)→ π1(X, x0)× π(Y, y0)

dada por

Φ([f ]) = p?([f ])× q?([f ]) = [p◦ f] × [q ◦ f].

Para mostra que Φ é um isomorsmo de grupos, resta mostrar que Φ é bijetora. Seja

g : I _{→ X um caminho fechado baseado em x}0 e h : I → Y um caminho fechado baseado em

y0. Então [g] × [h] pertence a imagem de Φ. De fato, considere a função f : I → X × Y dada

por f(t) = g(t) × h(t). Então f é um caminho fechado em X × Y baseado em x0× y0 e

Φ1([f ]) = [p◦ f] × [q ◦ f] = [g] × [h].

Isso mostra que Φ é sobrejetora.

Agora, considere f : I → X × Y um caminho fechado em X × Y baseado em x0 × y0 com

Φ([f ]) = e_{× e. Pela denição de Φ , temos que p ◦ f ' c}x0 relativo a {0, 1} e q ◦ f ' cy0

relativo a {0, 1}. Considere as respectivas homotopias G e H. Dena F : I × I → X × Y por

F (s, t) = G(s, t)_{× H(s, t). Então F é uma homotopia entre f e c}x0×y0 relativo a {0, 1}. Isso

5 Espaços de Recobrimento

Nesta seção veremos uma maneira alternativa de vericar os grupos fundamentais.

Denição 5.1. Sejam B e X espaços topológicos. Uma função p : X → B é um recobrimento de B por X se satisfaz as seguintes propriedades:

i) Para todo b ∈ B, p−1_{(b) é um conjunto de pontos discretos em X.}

ii) Dado uma vizinhança V de b em B, p−1_{(V ) é uma união discreta disjunta de vizinhanças}

Vi de p−1(b) em X tal que p |Vi é homeomorfo a V .

Exemplo 5.1. A função p : R → S1 _{dada por p(x) = (cos(2πx), sin(2πx)) é um recobrimento}

de S1_.

Exemplo 5.2. A função p : R → S1 _{dada por p(x) = x mod 1 (função que associa a parte}

decimal de x) é um recobrimento de S1_.

Exemplo 5.3. A função p : S2 _{→ RP}2 _{dada por p(x) = {x, ¯x} onde x e ¯x são pontos antipodais}

é um recobrimento de RP2_.

Do ponto de vista local, X e B são topológicamente os mesmos, mas globalmente são diferentes.

Denição 5.2. Seja X um espaço topológico.Quando o Grupo Fundamental de X é o trivial, dizemos que X é simplesmente conexo. Neste caso, dado um recobrimento qualquer p : X → B, onde B é um espaço topológico qualquer, p é chamdado de recobrimento universal de B.

Uma pergunta natural que aparece é saber qual a relação, caso exista, entre os grupos fundamentais de X e de B.

Denição 5.3. (Levantamento) Seja p : X → B um recobrimento com b ∈ B e x ∈ X e

p(x) = b. Então dado um caminho α em B começando em b, um levantamento de α é um

caminho ˜α em X começando em x tal que p ◦ ˜α = α. X p  I _α // ˜ α ?? B

Lema 5.1. (Unicidade) Seja p : X → B um recobrimento com b ∈ B e x ∈ X e p(x) = b. Então dado um caminho α em B começando em b, existe um levantamento de α dado por ˜α em X começando em x tal que p ◦ ˜α = α. Além do mais ˜α é único.

Lema 5.2. (Levantamento homotópico) Seja p : X → B um recobrimento, α ' β em B de a

até b dada pela homotopia H. Então existe uma única homotopia ˜H que é um levantamento de

H sendo ˜α o levantamento de α e ˜β o levantamento de β em X começando em algum x com

p(x) = a. X p  I_{× I} H // e H << B

A demonstração desses dois lemas podem ser encontrados em [1].

Levando em conta esses dois lemas, é possível chegar a algumas conclusões de como se relacionam os grupos fundamentais dos espaços X e B.

Teorema 5.1. Seja p : X → B um recobrimento com p(x) = a e seja p? : π1(X, x)→ π1(B, a)

dada por p?([α]) = [p◦ α]. Então p? é injetora.

Demonstração: É suciente mostrar que ker p? = e. Para isso considere um caminho fechado

γ _{∈ π}1(X, x)tal que p?([γ]) = eem π1(B, a). Vamos mostrar que γ é homotópico a cx relativo a

{0, 1}. Se p?([γ]) = e, temos que p?([γ])é homotópico ao caminho fechado constante carelativo

a {0, 1} pela homotopia H. Pelo Lema 5.2 existe uma única homotopia ˜H entre γ e cx relativo

a {0, 1} em π1(X, x), ou seja, [γ] = e em π1(X, x). 

Com esse resultado, vemos que recobrimento de B fornece subgrupos fundamentais de B

por grupos fundamentais de X, ou seja, π1(X, x)' p?(π1(X, x)).

6 Grupo Fundamental do Círculo

Até agora só vimos exemplos de grupos fundamentais triviais. Nessa seção e nas próximas, mostraremos algumas superfícies cujo Grupo Fundamental não é o trivial.

O Grupo Fundamental do círculo é isomorfo ao grupo dos inteiros com a operação soma e é muito útil para encontrar diversos grupos fundamentais de outros objetos, tais como o do cilindro e do toro.

Teorema 6.1. O Grupo Fundamental π1(S1) é isomorfo ao grupo Z.

Demonstração: Há várias maneiras de chegar nesse resultado. Aqui vamos construir um

isomorsmo entre o Grupo Fundamental e os inteiros. Para isso considere o ponto base b0 =

(1, 0) em S1. Seja α : I → S1 um caminho fechado começando em b

0 e terminando em b0

mas não necessariamente com uma volta. Note que α pode ir no sentido horário e também no

sentido anti horário e pode dar várias voltas, em outras palavras, α(0) = b0 e α(1) ∈ {b0}.

Considere o recobrimento de S1 por R dado por p(x) = (cos(2πx), sin(2πx)). Dado um

n _{∈ Z temos p(n) = (cos(2πn), sin(2πn)) = (1, 0) = b}0, isto é, p(Z) = b0. Observe que n é o

número de voltas que o caminho faz em S1_{. Como α é um caminho fechado em S}1 _começando

em b0, pelo Lema 5.1 existe um único caminho ˜α em R começando em p−1(b0)tal que p◦ ˜α = α,

ou seja, que o diagrama abaixo comuta.

R p  I _α // ˜ α ?? S1

Note que ˜α = (p−1_{◦ α)(t) para t ∈ [0, 1], ou seja a restrição de p sobre [0, 1] é um}

homeo-morsmo e portanto ˜α(1) = p−1

(α(1)) = p−1(b0) = n para algum n ∈ Z.

Pelo Lema 5.2, se β é um outro caminho fechado em S1 _{homotópico a α relativo a {0, 1},}

os respectivos levantamentos ˜α e ˜β que são únicos (quando se diz único quer dizer que se existe um outro caminho, digamos γ, com as tais propriedades, então γ é homotópico a este caminho) também são caminhos homotópicos relativos a {0, 1}, isto é, o inteiro n depende somente da classe de homotopia [α].

Considere a seguinte função φ : π1(S1, b0)→ Z dada por

φ([α]) = ˜α(1) = n.

Vamos mostrar que φ é bijetora. A imagem inversa de p em b0 é o conjunto Z, isto é,

p−1(b0) = n para algum n ∈ Z. Como R é conexo por caminhos, existe um caminho ˜α : I → R

começando em 0 e terminando em n, isto é, ˜α(0) = 0 e ˜α(1) = n.

Seja α : I → S1 _{um caminho em S}1 _{denido por α(t) = (p ◦ ˜α)(t). Então}

α(0) = (p_{◦ ˜α)(0) = p(˜α(0)) = p(0) = b}0.

Da mesma maneira,

Isso mostra que α é um caminho fechado em S1_{. Pela construção, note que ˜α é um}

levan-tamento de α e pelo Lema 5.1, ˜α é único.

Logo, dado um n ∈ Z qualquer existe um caminho fechado α em S1 _{tal que φ([α]) = ˜α(1) =}

n. Isso mostra que a função φ é sobrejetora.

Agora suponha que dado n ∈ Z na imagem de φ, existam duas classes [α] e [β] tais que

φ([α]) = φ([β]) = n. Pela construção de φ, considere os caminhos ˜α : I → R e ˜β : I → R tais

que sejam os levantamentos de α e β respectivamente. Então temos que ˜α(0) = ˜β(0) = 0 e por hipótese temos ˜α(1) = ˜β(1) = n.

Pelo fato de R ser simplesmente conexo e ˜α, ˜β terem os mesmos pontos iniciais e nais, ˜α

e ˜β devem ser homotópicos, isto é, existe uma função contínua ˜H : I_{× I → R que satisfaz}

˜

H(s, 0) = 0, ˜H(s, 1) = n, ˜H(0, t) = ˜α(t), ˜H(1, t) = ˜β(t) _{∀s, t ∈ I.}

Considere a função H : I ×I → S1 _{dada por H = p ◦ ˜H. Como ˜H é contínua e p é contínua,}

a composta H é contínua e vale

H(s, 0) = (p_{◦ ˜}H)(s, 0) = p( ˜H(s, 0)) = p(0) = (cos 0, sin 0) = (1, 0) = b0,

H(s, 1) = (p_{◦ ˜}H)(s, 1) = p( ˜H(s, 1)) = p(n) = (cos 2πn, sin 2πn) = (1, 0) = b0,

H(0, t) = (p_{◦ ˜}H)(0, t) = p( ˜H(0, t)) = p( ˜α(t)) = (p_{◦ ˜α)(t) = α(t),} H(1, t) = (p_{◦ ˜}H)(1, t) = p( ˜H(1, t)) = p( ˜β(t)) = (p_{◦ ˜}β)(t) = β(t).

Essas contas mostram que H é uma homotopia entre α e β relativo a {0, 1}, ou seja, [α] = [β] e portanto φ é injetora.

Agora vamos mostrar que φ é de fato um homomorsmo entre os grupos π1(S1) com a

operação denida na Denição 3.4 e o grupo (Z, +).

Note que a função de recobrimento p é periódica de período 2π e portanto vale:

p(n + x) = (cos 2π(n + x), sin 2π(n + x)) = (cos 2πx, sin 2πx) = p(x), _{∀x ∈ R.}

Considere α : I → S1 _{e β : I → S}1 _{dois caminhos fechados começando em b}

0. Considere

seus levantamentos ˜α : I → R e ˜β : I → R que são únicos tais que ˜α(0) = ˜β(0) = 0. Pelo fato de R ser conexo por caminhos existem inteiros n e m tais que ˜α(1) = n e ˜β(1) = m. Seja ˜γ um caminho em R dado por

˜ γ(t) = ( ˜ α(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ n + ˜β(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1}.

Note que ˜γ está bem denida, é contínua pelo Lema 2.1 , ˜γ(0) = ˜α(0) = 0 e ˜γ(1) =

n + ˜β(1) = n + m. Ou seja, ˜γ é um caminho em R entre a origem e n + m.

Agora considere γ : I → S1 _{dado por γ = p ◦ ˜γ. Então}

γ(t) = (p_{◦ ˜γ)(t)} = p(˜γ(t)) = ( p( ˜α(2t)), 0_{≤ t ≤} 1₂ p(n + ˜β(2t_{− 1)),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = ( p( ˜α(2t)), 0_{≤ t ≤} 1₂ p( ˜β(2t_{− 1)),} 1_{2 ≤ t ≤ 1} = ( α(2t), 0_{≤ t ≤} 1₂ β(2t_{− 1),} 1_{2 ≤ t ≤ 1},

ou seja, γ = α · β.

Isso mostra que ˜γ é o levantamento de γ. Com isso temos

φ([α_{· β]) = φ([γ]) = ˜γ(1)}

= n + m = ˜α(1) + ˜β(1) = φ([α]) + φ([β]).

7 Algumas Consequências do Isomorsmo entre π

(S

)

e Z

Conhecendo o Grupo Fundamental de S1 podemos calcular o Grupo Fundamental de outros

espaços, cuja construção depende ou parte de S1_{, bem como podemos analisá-las do ponto de}

vista de homeomorsmo, ou seja, espaços que possuem Grupo Fundamental diferentes não são homeomorfos.

Primeiramente, usando Grupo Fundamental, mostraremos que S1 _{não é homeomorfo à S}n

quando n ≥ 2, mas, para isto precisamos calcular o Grupo Fundamental de Sn_{. Para tal,}

considere o seguinte lema.

Lema 7.1. Seja X um espaço topológico tal que X = U ∪V , onde U e V são subespaços abertos, simplesmente conexos e U ∩ V é conexo por caminhos. Então X é simplesmente conexo.

Demonstração: Considere uma classe de homotopias [α] ∈ π1(X, x0), onde α : I → X,

tal que x0 ∈ X ∩ V . Pela continuidade de α, temos que o conjunto {α−1(U ), α−1(V )} é uma

cobertura de I, que é compacto. Logo, podemos construir uma partição de I: 0 = t0 < t1 < ... < tn= 1

de tal maneira que α([ti−1, ti]) ∈ U ou α([ti−1, ti]) ∈ V para cada i = 1, ..., n. Quando

dois intervalos consecutivos [ti−1, ti]e [ti, ti+1]são tais que α([ti−1, ti])e α([ti, ti+1])pertencem à

mesma componente conexa U ou V , podemos eliminar o ponto comum juntando os intervalos em

um só de tal maneira que repartindo o intervalo I adequadamente tenhamos que α(ti)∈ U ∩ V .

Mas, como U ∩ V é conexo por caminhos, existe um caminho ηi que liga x0 a α(ti).

Para cada i, denamos:

αi(s) = α((ti− ti−1)s + ti−1), 0≤ s ≤ 1.

Logo, αi(0) = αi(ti−1) e αi(1) = α(ti). Assim, podemos escrever α da seguinte maneira:

α_{' α}1· α2· ... · αn.

Então:

α_{' (α}1· η1−1)· (η1· α2· η−12 )· (η2· α3· η−13 )· ... · (ηn· αn).

Note que, devido a forma como foi feita a partição de I, cada (ηi· αi+1· ηi+1−1) é um caminho

totalmente em U ou em V . Utilizando o fato de que U e V são simplesmente conexos, temos que, para cada i,

então α ' ex0 e , portanto, π1(X, x0) = {0}. 

A consequência direta desse lema é que o Grupo Fundamental de Sn_{(n ≥ 2) é o grupo trivial.}

Mostraremos isto como um corolário que segue e, nesse caso, consideraremos os subespaços U

como sendo Sn

+ que nada mais é do que a esfera Sn sem o polo norte pN e V como sendo S−n

que nada mais é do que a esfera Sn _{sem o polo sul p}

S.

Corolário 7.1. π1(Sn, p) ={0} para todo n ≥ 2.

Demonstração: Observe que

Sn= S₋n _{∪ S+}n,

em que ambos os conjuntos Sn

−e S+n são abertos e contráteis pois são homeomorfos a Rn(veja

exemplo 2.2); logo, além de abertos, são simplesmente conexos. Além do mais, é fácil notar

que Sn

−∩ S+n é conexo por caminhos. Assim, pelo lema anterior, temos que Sn é simplesmente

conexo, para todo n ≥ 2. Portanto, Sn_{possui somente uma classe de homotopia, de onde segue}

o resultado. 

Portanto a esfera Sn_{, n ≥ 2 não é homeomorfa a S}1_{, caso contrário teríamos:}

{0} = π1(Sn, p0) ∼= π1(S1, x0) ∼= Z,

o que é um absurdo.

Conhecendo o Grupo Fundamental de S1 _{também podemos calcular o Grupo Fundamental}

do cilíndro C, basta observar que C = S1_{× R e considerar o Teorema 4.2, assim temos}

π1(C, (x0, y0)) ∼= π1(S1, x0)× π1(R, z0) ∼= Z× {0} ∼= Z.

Analogamente, podemos calcular o Grupo Fundamental do toro T2_{. Como T}2 _{= S}1 _{× S}1_,

então

π1(T2, (z0, z0)) ∼= π1(S1, z0)× π1(S1, z0) ∼= Z× Z.

Da onde segue que o toro T não é homeomorfo à Sn_{, (n ≥ 1).}

Outra consequência é o Teorema Fundamental da Álgebra:

Teorema 7.1. (Teorema Fundamental da Álgebra) Todo polinômio, não constante, com coe-cientes em C, possui pelo menos uma raíz complexa.

Demonstração: Podemos supor que o polinômio tem a forma:

p(z) = zn+ a1zn−1+ ... + an (1)

Caso contrário, poderiamo dividir o polinômio pelo coeciente não nulo que multiplica a maior potência de z e, mesmo assim, não alteraríamos as raízes do polinômio.

Agora, suponha por absurdo que p(z) não possui raízes e, para cada número complexo r ≥ 0, dena

fr(s) =

p(r_{· exp(2πis))/p(r)}

Observe que fr(s)dene um caminho fechado em S1, uma vez que fr(0) = fr(1)e |fr(s)| = 1

para todo s ∈ I = [0, 1], fr(s) é contínua, pois estamos supondo que p(z) não possui raízes.

Seja, H(s, t) = ( ft/1−t(s), 0≤ s ≤ 1, 0 ≤ t < 1 exp(2πi(ns)), 0_{≤ s ≤ 1, t = 1} . Note que: lim t→1H(s, t) = limt→1ft/1−t(s) =|r|→+∞lim fr(s) ∗ = (exp(2πis))n= exp(2πi(ns)).

Onde a igualdade ∗ é obtida substituindo p(r·exp(2πis)) na equação (1). Logo H é contínua.

Por outro lado, H(s, 0) = f0(s)que é o caminho constante e H(s, 1) = exp(2πi(ns)), isto é, H

é uma homotopia entre f0 e f1 então:

0 = φ([f0]) = φ([f1]) = n

onde φ é a função denida na demonstração do Teorema 6.1, o que é uma contradição. Logo

p(z) possui pelo menos uma raíz. 

8 O Grupo Fundamental do Espaço Projetivo Real

Considere RPn _{o espaço projetivo real de dimensão n. Não é difícil provar que a projeção}

Π : Sn_{→ RP}n

é aberta e, ∀U ⊂ Sn _{aberto , temos que}

Π−1(Π(U )) = U_{∪ (−U),}

onde −U representa o conjunto dos pontos antipodais de U. Em linguagem conjuntista:

−U := {x ∈ Sn_;

−x ∈ U}

Note também que Π : Sn _{→ RP}n_{é um homeomorsmo local. Com efeito, considere p ∈ RP}n_,

então p = {x, −x}. Seja eU _{⊂ S}n _{uma vizinhança de x que não contém nenhum ponto}

antípo-dal de seus pontos, ou seja Ue ∩ (− eU ) = ∅. Então, Π( eU ) = U é uma vizinhança de p, tal que

Π−1(U ) = eU _{∪ (− e}U ), da onde segue que, Π|

e

U é um homeomorsmo sobre U e , portanto, Π é

um homeomorsmo local.

Neste caso, a vizinhança U é chamada vizinhança distinguida do ponto p ∈ RPn_.

Vejamos agora que, assim como no caso de S1_{, também há levantamento dos caminhos em}

Teorema 8.1. Sejam α : I = [t0, t1] → RPn e x0 ∈ Sn tal que Π(x0) = α(t0). Então existe

um único caminho α : Ie → S

n tal que

e

α(t0) = x0 e α = Π ◦αe, isto é, o diagrama abaixo é

comutativo: Sn Π  I _α // e α == RPn

Demonstração:Vejamos que, se α(I) ⊂ U e U ⊂ RPn_{é uma vizinhança distinguida do ponto}

p =_{x0,−x0}, tal que

Π−1(U ) = eU _{∪ (− e}U ), então o teorema é válido.

Neste caso, para x0 ∈ eU, considerando π = Π|Ue, temos que π : Ue → U é um homeomorsmo.

Basta, então, considerar α = πe

−1

◦ α.

Observe que o teorema também é válido no seguinte caso: Quando

I =[Ii , (i = 1, 2),

onde Ii são intervalos fechados com um extremo t2 em comum, de tal maneira que o teorema

seja válido para α|I1 = α1 e α|I2 = α2. Pois, aplicando o teorema a cada intervalo, obtemos

e α1 : I1 → Sn tal que e α1(t0) = x0 , Π◦αe1 = α1 e,αe2 : I2 → S n _{tal que} e α2(t2) = αe1(t2) , Π◦αe2 = α2.

Assim, podemos denir α : Ie → S

n por: e α(t) = ( e α1(t), t∈ I1 e α2(t), t∈ I2

No caso mais geral, basta notar que, como I é compacto, podemos decompô-lo da seguinte maneira:

I = I1∪ I2∪ ... ∪ Ik

de tal meneira que α(Ii) ∈ Ui, para cada i, onde Ui é uma vizinhança distinguida e cada

intervalo Ii possui extremidade em comum com o intervalo Ii+1 conforme o caso anterior.

Vejamos, agora, a unicidade de α: Suponhamos que existem α, ee β : I → S

n _{tais que}

Π_◦α = Π_{e ◦ e}β.

Então, para todo t ∈ I, devemos ter α(t) = ee β(t) ou α(t) =e −eβ(t). Do produto interno de

Rn+1, temos < α(t), ee β(t) >= ±1, para todo t ∈ I, uma vez que α(t), ee β(t) ∈ S

n_{. Por outro}

lado, como I é conexo, o produto interno anterior deve ser constante, caso contrário não seria contínuo. Portanto, como α(te 0) = eβ(t0), temos que α(t) = ee β(t) para todo t ∈ I. 

Observe que o levantamento de um caminho fechado em Sn _{nem sempre é um caminho} fechado em RPn_{. De fato, se} e α : I _{→ S}n é tal que α = Π ◦ e α e se α_e é fechado, o caminho α

possui levantamento fechado. Se os extremos do caminho αe são antipodais, α é um caminho

fechado em RPn _{mas seu levantamento}

e

α não é fechado.

Desta forma, temos que cada caminho α : I → RPn _{possui dois levantamentos, o}

levanta-mento que é fechado em S1 _{e o levantamento que não é. O resultado a seguir mostra que, para}

n _{≥ 2, os caminhos fechados de cada um destes tipos são homotópicos entre si.}

Proposição 8.1. Seja n ≥ 2; xando x0 ∈ Sn e p0 = Π(x0) ∈ RPn e considerando α, β :

I _{→ RP}n caminhos fechados de base p0, denotemos por α, ee β : I → S

n _{os correspondentes}

levantamentos com origem em x0. Com as notações anteriores, temos que α(1) = ee β(1) se, e

somente se, α ' β.

Demonstração: Se α, ee β : I → S

n _{são tais que}

e

α(1) = eβ(1), ter que α ' β segue direto do

fato de Sn _{ser conexo.}

Por outro lado, se α = Π ◦ αe ' Π ◦ eβ = β, como α(0) = ee β(0) = x0, α(1) =e ±x0 e

e

β(1) =_±x0. Considerando as hipóteses, teremos que α(1) = ee β(1) somente se α(1)e e eβ(1) não

são antipodais, isto é, |eα(1)_{− e}β(1)_{| 6= 2, onde | · | é a norma induzida em RP}n pela norma

de Rn+1. Em particular, se |α(t) − β(t)| 6= 2, para todo t ∈ I, isto é, α(t) e β(t) nunca são

antipodais, então |eα(t) _{− e}β(t)_{| 6= 2, para todo t ∈ I; como} α(0) = e_e β(0), não podemos ter

|eα(1)_{− e}β(1)_{| = 2.}

No caso geral, considere a homotopia H : α ' β; pela continuidade uniforme de H, existem 0 < t0 < t1 < ... < tn = 1 tais que |H(s, ti−1)− H(s, ti)| < 2, para todo s ∈ I e i = 1, ..., n.

Denamos os caminhos fechados em p0 : αi(s) = H(s, ti); os pontos αi(s) e αi+1(s)não podem

ser antipodais, logo αei(1) =αei+1(1). Então, e

α0(1) =αe1(1) = ... =αen(1) = eβ(1)



Por meio dos resultados anteriores, já podemos dizer qual é o Grupo Fundamental de RPn_.

Com exceção de RP1 _{que é homeomorfo a S}1 _{(e, portanto, π}

1(RP1, po) ∼= Z), existem apenas

duas classes de caminhos fechados em RPn_{, com ponto base p}

0: a classe dos caminhos cujo

levantamento é fechado e os que possuem levantamento não fechado. Logo, π1(RPn, p0)' Z2.

Referências

[1] Munkres, J., Topology, a rst course, Prentice-Hall, Inc., Englewood Clis/New Jersey-U.S.A., 1st edition, 1975

[2] Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press/Cambridge-U.K., 2001 [3] Lima, E. L., Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento, IMPA, Projeto Euclides/Rio

de Janeiro, 1st edição, 1993

[4] Vilches, M. A., Introdução a topologia algébrica, URRJ/Rio de Janeiro