UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

▼❡t❛❤❡✉ríst✐❝❛s ❞❡ ❇✉s❝❛ ▲♦❝❛❧ ♣❛r❛ ♦

Pr♦❜❧❡♠❛ ❞❡ ❙❡q✉❡♥❝✐❛♠❡♥t♦ ❞❡

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Pr❡♣❛r❛çã♦ ❉❡♣❡♥❞❡♥t❡ ❞❛ ❙❡q✉ê♥❝✐❛

Cristiano Lu´ıs Turbino de Fran¸

ca e Silva

Orientador: Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos

Coorientador: Prof. Me. T´

ulio Angelo Machado Toffolo

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Cristiano Lu´ıs Turbino de Fran¸

ca e Silva

cristianoltfs@gmail.com

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Pr♦❜❧❡♠❛ ❞❡ ❙❡q✉❡♥❝✐❛♠❡♥t♦ ❞❡

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Pr❡♣❛r❛çã♦ ❉❡♣❡♥❞❡♥t❡ ❞❛ ❙❡q✉ê♥❝✐❛

Disserta¸cão submetida ao Instituto de Ciências Exatas e Biológicas da Universidade Federal de Ouro Preto para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computa¸cão

Orientador: Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos

Coorientador: Prof. Me. T´

ulio Angelo Machado Toffolo

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S586m Silva, Cristiano Lu´ıs Turbino de Fran¸ca e.

Metaheur´ısticas de busca local para o problema de sequenciamento de tarefas em máquinas paralelas não relacionadas com tempo de prepara¸cão dependente da sequência [manuscrito] / Cristiano Lu´ıs Turbino de Fran¸ca e Silva. – 2014.

61f.: il. color.; grafs.; tabs.

Orientador: Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos.

Disserta¸cão (Mestrado) – Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Computa¸cão. Programa de Pós-gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão.

´

Area de concentra¸cão: Ciência da Computa¸cão

1. Otimiza¸cão combinatória – Teses. 2. Simulated Annealing (Matemática) – Teses. 3. Processo seqüencial (Computa¸cão) – Teses. 4. Programa¸cão paralela (Computa¸cão) – Teses. I. Santos, Haroldo Gambini. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. T´ıtulo.

CDU: 004.42

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(6)

Agradecimentos

Agrade¸co `a Deus.

Aos meus pais pelo amor em todos os momentos da minha vida e por incentivarem constante meus estudos.

`

A minha esposa Alba, pelo amor, paciência e por estar comigo em todos os momentos. Ao meu irmão e melhor amigo Thiago, e à sua namorada Carol.

Ao meu orientador Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos, pelos ensinamentos, pelo apoio e principalmente pela amizade que constru´ımos.

Ao coorientador T´ulio e ao colega Lucas.

Aos membros da banca por disponibilizarem seus tempos preciosos para avaliarem meu trabalho.

Ao amigo Danny pelo aux´ılio. Ao amigo Helton.

A todos meus colegas de trabalho. Meus av´os, tios, tias, primos e primas.

`

A minha sogra, sogro e cunhada, assim como todos da “nova” fam´ılia. Aos professores do Departamento de Computa¸c˜ao da UFOP.

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“Procurai suportar com ˆanimo tudo aquilo que precisa ser feito.”

“Digo que me encontro no conhecimento de uma ´unica ciˆencia: a do amor.”

(8)

Declara¸

c˜

ao

Esta disserta¸cão é resultado de meu próprio trabalho, exceto onde referência expl´ıcita é feita ao trabalho de outros, e não foi submetida para outra qualifica¸cão nesta nem em outra universidade.

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Resumo

Este trabalho apresenta uma proposta e a avalia¸cão computacional de quatro méto-dos de busca local estocástica para o problema de sequenciamento de tarefas em máquinas paralelas não relacionadas com tempo de prepara¸cão dependente da se-quência (UPMSP - unrelated parallel machine scheduling problem with sequence de-pendent setup times). As quatro abordagens metaheur´ısticas que são analisadas para o UPMSP baseam-se em: Simulated Annealing (SA), Iterated Local Search (ILS),

Late Acceptance Hill Climbing (LAHC) e Step Counting Hill Climbing (SCHC). A estrutura das vizinhan¸cas, bem como os parâmetros dos algoritmos, foram ampla-mente testados e analisados, sendo poss´ıvel verificar como os parâmetros afetam o comportamento de cada algoritmo implementado e pesquisar os melhores parâme-tros. As compara¸cões dos resultados obtidos foram realizadas com os resultados apresentados por Vallada e Ruiz (2011), proponentes do conjunto de 50 instâncias consideradas e, mais recentemente, por Haddad (2012). O método que obteve o me-lhor resultado nessas 50 instâncias foi testado para todas as 1.000 instâncias grandes, apresentadas por Vallada e Ruiz (2011), melhorando em 96,6% (966 instâncias) a melhor solu¸cão conhecida encontrada por esses últimos autores.

(10)

Abstract

This paper presents a proposal and a computational review of four methods of stochastic local search to the unrelated parallel machine scheduling problem with sequence dependent setup times (UPMSP). The four metaheuristics approaches that are analyzed for the UPMSP are based in: Simulated Annealing (SA), Iterated Lo-cal Search (ILS), Late Acceptance Hill Climbing (LAHC) and Step Counting Hill Climbing (SCHC). The structure of neighborhoods, as well as the parameters of the algorithms, were widely tested and analyzed, being possible verify how the pa-rameters affect the behavior of each algorithm implemented and search the best parameters. The comparisons of the results were accomplished with the results pre-sented by Vallada and Ruiz (2011), who proposed the set of 50 instances considered, and, more recently, by Haddad (2012). The method that got the best result in these 50 instances was tested for every 1.000 large instances, presented by Vallada and Ruiz (2011), improving in 96.6% (966 instances) the best known solution found by this last authors.

(11)

Lista de abreviaturas e siglas

GOAL Grupo de Otimiza¸c˜ao e Algoritmos

ILS Iterated Local Search

LAHC Late Acceptance Hill Climbing

Mi Mixed Strategy (estrat´egia mista)

Mk Makespan Based Machine Selection Strategy (estratégia baseada na se-le¸cão da máquina makespan que contém o tempo makespan)

MRP Manufacturing Resource Planning (planejamento dos recursos de ma-nufatura)

R Random Machine Selection Strategy (estratégia baseada na sele¸cão ale-atória)

RNA Randomized Non-Ascendent

SA Simulated Annealing

SCHC Step Counting Hill Climbing

SLS Stochastic Local Search

(12)

Lista de ilustra¸

c˜

oes

Figura 1 Solu¸c˜oes para o problema P . . . 19

Figura 2 Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸ca task move . . . 31

Figura 3 Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸ca shift . . . 31

Figura 4 Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸ca switch . . . 31

Figura 5 Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸ca swap . . . 32

Figura 6 Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸ca 2-realloc . . . 32

Figura 7 LAHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R . . . 37

Figura 8 LAHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk . . . 37

Figura 9 LAHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi . . . 38

Figura 10 Melhores do LAHC . . . 39

Figura 11 SCHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R . . . 40

Figura 12 SCHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk . . . 41

Figura 13 SCHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi . . . 42

Figura 14 Melhores do SCHC . . . 42

Figura 15 ILS usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R . . . 44

Figura 16 ILS usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk . . . 44

Figura 17 ILS usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi . . . 45

Figura 18 Melhores do ILS . . . 45

Figura 19 SA usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R . . . 48

Figura 20 SA usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk . . . 49

Figura 21 SA usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi . . . 50

Figura 22 Melhores do SA . . . 51

Figura 23 Melhores resultados - vizinhan¸ca Mi . . . 51

Figura 24 Evolu¸c˜ao dos melhores resultados - vizinhan¸ca Mi. . . 52

Figura 25 Resultados para as 1.000 instˆancias com o m´etodo SA-Mi . . . 56

(13)

Lista de tabelas

Tabela 1 Tempo de processamento das tarefas em uma m´aquina do problema P 18 Tabela 2 Tempo de setup entre duas tarefas para cada m´aquina do problema P 19

Tabela 3 Varia¸c˜ao do parˆametro l nos experimentos do LAHC . . . 36

Tabela 4 Varia¸c˜ao do parˆametro cnos experimentos do SCHC . . . 40

Tabela 5 Varia¸c˜ao dos parˆametros nos experimentos do ILS . . . 43

Tabela 6 Varia¸c˜ao dos parˆametros nos experimentos do SA . . . 46

Tabela 7 Resultados das metaheur´ısticas, cada um com o melhor ajuste de pa-râmetro encontrado, dentro de um tempo limite de 60 segundos, com duas exeu¸cões por instância. . . 54

Tabela 8 Melhores solu¸cões encontradas em cada método proposto e melhor solu¸cão apresentada por Vallada e Ruiz (2011), em SOA-ITI. . . 55

(14)

Lista de Algoritmos

Algoritmo 1 Simulated Annealing . . . 26

Algoritmo 2 Iterated Local Search . . . 28

Algoritmo 3 Late Acceptance Hill Climbing . . . 29

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Sum´

ario

✶ ■♥tr♦❞✉çã♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 15

1.2 Objetivo . . . 15

1.2.1 Objetivo geral . . . 15

1.2.2 Objetivos espec´ıficos . . . 16

1.3 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . 16

✷ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛çã♦ t❡ór✐❝❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ 2.1 Descri¸c˜ao do Problema . . . 17

2.1.1 O problema UPMSP . . . 17

2.1.2 Formula¸c˜ao matem´atica . . . 19

2.2 Algumas abordagens encontradas na literatura . . . 21

2.3 Metaheur´ısticas . . . 22

2.3.1 Simulated Annealing . . . 22

2.3.2 Iterated Local Search . . . 23

2.3.3 Late Acceptance Hill Climbing . . . 23

2.3.4 Step Counting Hill Climbing . . . 24

✸ ❚é❝♥✐❝❛s ❞❡ ❜✉s❝❛ ❧♦❝❛❧ ♣❛r❛ ♦ ❯P▼❙P ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ 3.1 Algoritmos . . . 25

3.1.1 Simulated Annealing . . . 25

3.1.2 Iterated Local Search . . . 26

3.1.3 Late Acceptance Hill Climbing . . . 28

3.1.4 Step Counting Hill Climbing . . . 29

3.2 M´etodo construtivo . . . 30

3.3 Estruturas de vizinhan¸ca . . . 31

3.4 Sele¸c˜ao das trocas . . . 33

✹ ❘❡s✉❧t❛❞♦s ❖❜t✐❞♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹ 4.1 Sele¸c˜ao de parˆametros . . . 35

4.2 Resultados e discuss˜oes . . . 36

4.2.1 LAHC . . . 36

4.2.2 SCHC . . . 39

4.2.3 ILS . . . 43

4.2.4 SA . . . 45

(16)

✺ ❈♦♥s✐❞❡r❛çõ❡s ❋✐♥❛✐s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

5.1 Conclus˜oes . . . 57 5.2 Trabalhos Futuros . . . 58

(17)

15

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Este trabalho apresenta quatro metaheur´ısticas de busca local eficientes para o pro-blema de sequenciamento de tarefas em máquinas paralelas não relacionadas com tempo de prepara¸cão dependente da sequência (UPMSP -Unrelated Parallel Machine Scheduling Problem With Sequence Dependent Setup Times). As quatro abordagens metaheur´ısticas que são analisadas para o UPMSP são: Simulated Annealing (SA), Iterated Local Search

(ILS), Late Acceptance Hill Climbing (LAHC) e oStep Counting Hill Climbing (SCHC).

✶✳✶ ▼♦t✐✈❛çã♦

O estudo do UPMSP é relevante, do ponto de vista prático, pois é poss´ıvel encontrar vários exemplos de sua utiliza¸cão no mundo real. Um exemplo é a indústria têxtil, a qual envolve a produ¸cão de tecidos de cores diferentes, em máquinas paralelas não rela-cionadas (o gargalo de produ¸cão), com tempos de prepara¸cão de longa dura¸cão (LOPES; CARVALHO, 2007). É poss´ıvel verificar que esse problema está relacionado com o plane-jamento de recurso de fabrica¸cão (MRP - Manufacturing Resource Planning).

Outro fator importante é que o UPMSP pertence à classeN P-dif´ıcil (GLASS; POTTS; STRUSEVICH, 2001), apresentando grande importância, também, do ponto de vista teórico, para a Ciência da Computa¸cão.

✶✳✷ ❖❜❥❡t✐✈♦

✶✳✷✳✶ ❖❜❥❡t✐✈♦ ❣❡r❛❧

(18)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 16

✶✳✷✳✷ ❖❜❥❡t✐✈♦s ❡s♣❡❝í✜❝♦s

• implementar metaheur´ısticas baseadas em SA, ILS, LAHC e SCHC para o UPMSP;

• implementar e avaliar, computacionalmente, m´etodos estoc´asticos de busca em m´ ulti-plas vizinhan¸cas;

• investigar as contribui¸c˜oes dos operadores de busca na vizinhan¸ca;

• compreender como os parˆametros afetam o comportamento das metaheur´ısticas im-plementadas;

• pesquisar os melhores parˆametros para cada m´etodo implementado;

• realizar compara¸c˜oes entre os resultados obtidos e alguns resultados recentes, apre-sentados por Haddad (2012) e Vallada e Ruiz (2011).

✶✳✸ ❖r❣❛♥✐③❛çã♦ ❞❛ ❉✐ss❡rt❛çã♦

Os pr´oximos cap´ıtulos do trabalho est˜ao organizados da seguinte maneira:

• Cap´ıtulo 2: apresenta¸cão da fundamenta¸cão teórica ao estudo. São referenciados: descri¸cão do UPMSP, juntamente com a formula¸cão matemática do mesmo; abor-dagens encontradas na literatura desse problema; os métodos heur´ısticos SA, ILS, LAHC e SCHC.

• Cap´ıtulo 3: descri¸c˜ao das t´ecnicas que foram desenvolvidas para o UPMSP.

• Cap´ıtulo 4: apresenta¸cão dos resultados obtidos, focando a sele¸cão de parâmetros e as compara¸cões dos dados;

(19)

17

Cap´ıtulo 2

Fundamenta¸

c˜

ao te´

orica

Este cap´ıtulo apresenta, na Se¸cão 2.1, a descri¸cão do UPMSP, juntamente com a formula¸cão matemática; na Se¸cão 2.2, algumas abordagens encontradas na literatura para esse problema e na Se¸cão 2.3, os quatro algoritmos metaheur´ısticos utilizados.

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No problema UPMSP existe um conjunto de tarefas que devem ser processadas em um conjunto de máquinas, sendo que cada tarefa deve ser processada somente em uma máquina. O tempo de execu¸cão de cada tarefa está associado a cada máquina. Esse tempo pode variar dependendo do equipamento escolhido. Entre duas tarefas há, também, um tempo de prepara¸cão, o qual depende da sequência dessas tarefas e da máquina associada. Essas máquinas são paralelas, ou seja, trabalham de forma independente umas das outras. O objetivo é minimizar o tempo de conclusão de todas essas tarefas, conhecido como

makespan.

Seja N = {j1, ..., jn} o conjunto de n tarefas e M = {i1, ..., im} o conjunto de m

m´aquinas, de tal forma que:

• cada tarefa j deve ser executada apenas uma vez e por apenas uma m´aquinai;

• cada tarefaj tem um tempo de processamentopij, se for executado pela m´aquina i;

• existe um tempo de prepara¸c˜ao Sijk, tamb´em conhecido como tempo de setup, que

prepara a máquina i para executar a tarefa k, logo após a execu¸cão da tarefa j. Para a tarefa inicial, o tempo de prepara¸cão é zero.

(20)

Cap´ıtulo 2. Fundamenta¸c˜ao te´orica 18

Allahverdi et al. (2008) realizam um levantamento dos problemas de programa¸cão com tempos desetup, apresentando as principais diferen¸cas e uma série de algoritmos para essa classe de problemas. O problema UPMSP é estudado, também, por Rabadi, Moraga e Al-Salem (2006), Urlings, Ruiz e Serifoglu (2010) e Vallada e Ruiz (2011).

Rabadi, Moraga e Al-Salem (2006) implementaram um algoritmo de “busca gulosa randômica adaptativa” (Greedy Randomized Adaptative Search), apresentado por Feo e Resende (1995), e também propuseram algumas instâncias. Mais tarde, Vallada e Ruiz (2011) criaram um conjunto de 1.640 instâncias desafiadoras para esse problema, dispon´ıveis em SOA-ITI (2013). Essas instâncias estão divididas em dois grupos: o primeiro, composto por 640 instâncias pequenas, e o segundo, por 1.000 instâncias grandes. Nesse primeiro grupo, existem as seguintes combina¸cões de números de tarefas (n) e máquinas (m): n={6, 8, 10, 12} e m={2, 3, 4, 5}. No segundo, as combina¸cões são:

n={50, 100, 150, 200, 250} e m={10, 15, 20, 25, 30}. Vallada e Ruiz (2011) implemen-taram um algoritmo gen´etico e conclu´ıram que esse algoritmo era capaz de alcan¸car bons resultados em pouco tempo.

Segue um exemplo do problema, que será denominado pela letra P. Na Tabela 1 mostra-se os tempos de processamento de seis tarefas em cada uma das duas máquinas dispon´ıveis para o problema P. As linhas representam as máquinas (i1, i2) e as colunas

representam as tarefas (j1, j2, j3, j4, j5, j6).

Tabela 1 – Tempo de processamento das tarefas em uma m´aquina do problemaP

j1 j2 j3 j4 j5 j6

i1 8 42 72 45 4 25

i2 77 4 52 73 10 53

Na Tabela 2 mostra-se os tempos de setup entre duas tarefas em cada uma das m´aquinas para essas seis tarefas, que s˜ao representados por sijk. Cada valor dessa tabela

significa o tempo de setup quando a tarefa j precede, imediatamente, a tarefa k, na m´aquina i, para todo j diferente de k. Nesta tabela, a interse¸c˜ao da linha 2 (j2) com a

coluna 1 (k1) da m´aquina 1 (i1) possui o valor 23, que significa o tempo desetup quando

(21)

Tabela 2 – Tempo desetupentre duas tarefas para cada m´aquina do problemaP

i1 k1 k2 k3 k4 k5 k6 i2 k1 k2 k3 k4 k5 k6

j1 0 40 31 13 41 24 j1 0 23 19 9 44 24

j2 23 0 3 33 33 21 j2 7 0 46 31 29 5

j3 12 29 0 18 5 42 j3 22 2 0 35 7 10

j4 29 42 2 0 33 33 j4 5 18 31 0 22 29

j5 42 18 41 40 0 46 j5 15 35 21 5 0 35

j6 4 13 26 37 39 0 j6 48 11 40 21 35 0

A Figura 1(a) ilustra uma solu¸cão viável qualquer para o problema P. Nesta solu¸cão, as tarefas 2, 1 e 4 são processadas, nessa ordem, pela máquina 1, enquanto as tarefas 5, 3 e 6 são processadas, também nessa ordem, pela máquina 2. As caixas brancas representam o tempo de processamento de uma tarefa e as caixas em cinza representam os tempos de

setup entre as duas tarefas consecutivas.

A Figura 1(b) ilustra a solu¸cão ótima para o problema P. É poss´ıvel observar que a solu¸cão ótima reduz omakespande 146 para 95 unidades de tempo, melhorando a solu¸cão em 51 unidades de tempo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 131 146

Unidades de tempo

i₁ j₂ j₁ j₄

i₂ j₅ j₃ j₆

(a) Solu¸c˜ao qualquer.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 89 95 110 120 130 140 150

Unidades de tempo

i₁ j₆ j₁ j₄

i₂ j₅ j₃ j₂

(b) Solu¸c˜ao ´otima.

Figura 1 – Solu¸c˜oes para o problemaP

✷✳✶✳✷ ❋♦r♠✉❧❛çã♦ ♠❛t❡♠át✐❝❛

Para modelar o problema UPMSP, foi utilizada uma formula¸c˜ao matem´atica proposta por Vallada e Ruiz (2011), que tem o objetivo de minimizar o makespan.

(22)

N : conjunto de tarefas que ser˜ao processadas;

M : conjunto de m´aquinas paralelas n˜ao relacionadas;

pij : parˆametro que armazena o tempo de processamento da tarefa j na m´aquina i;

sijk : parˆametro que armazena o tempo de prepara¸c˜ao quando a tarefa j precede,

imediatamente, a tarefa k na m´aquina i;

xijk : vari´avel bin´aria que assume o valor 1 se a tarefa j preceder, imediatamente, a

tarefa k, na m´aquina i, ou o valor 0, caso contr´ario;

cij : variável que armazena o tempo de conclusão da tarefa j na máquina i;

cmax : vari´avel que armazena o tempo total de processamento de todas as tarefas,

ou seja, o valor do makespan. Pode ser interpretado, também, como o maior tempo de conclusão das máquinas que processam as tarefas programadas.

A fun¸cão objetivo é dada pela equa¸cão (2.1):

mincmax. (2.1)

Nesse modelo, ´e inclu´ıda uma tarefa T0, significando uma tarefa fict´ıcia, com tempo

de conclusão e tempo de prepara¸cão igual a zero. Essa tarefa é utilizada para vir antes da primeira, ou seja, no in´ıcio da programa¸cão, conforme as equa¸cões (2.2), (2.3) e (2.4):

xijk ∈ {0,1},∀j ∈ {0} ∪ {N},∀k ∈N, j 6=k,∀i∈M. (2.2)

A equa¸c˜ao (2.3) determina o tempo de prepara¸c˜ao, sendo zero para todas as tarefas fict´ıcias:

si0_k = 0,∀i∈M,∀k ∈N. (2.3)

A equa¸c˜ao (2.4) faz com que o tempo de conclus˜ao seja 0 para as tarefas fict´ıcias:

ci0 = 0,∀i∈M. (2.4)

As restri¸cões representadas pela equa¸cão (2.5) fazem com que cada tarefa fique asso-ciada a somente uma máquina e possua exatamente uma predecessora:

X

i∈M X

j∈{0}∪{N}

j6=_k

xijk = 1,∀k ∈N. (2.5)

As restri¸cões representadas pela equa¸cão (2.6) determinam que o número máximo de sucessoras, para cada tarefa, deve ser 1. As últimas tarefas não possuem sucessoras, portanto, ficam com valor igual a 0:

X

i∈M X

k∈N

j6=k

xijk ≤1,∀j ∈N. (2.6)

As restri¸cões representadas pela equa¸cão (2.7) definem que o número máximo de suces-soras das tarefas fict´ıcias deve ser igual a 1 em cada máquina:

X

k∈N

(23)

As restri¸cões representadas pela equa¸cão (2.8) verificam se a tarefa j é processada na máquina i. Em caso afirmativo, existe a predecessora h, nessa mesma máquina i:

X

h∈{0_}∪{N}

h6=k,h6=j

xihj ≥xijk,∀j, k ∈N, j 6=k,∀i∈M. (2.8)

As restri¸c˜oes representadas pela equa¸c˜ao (2.9) determinam que se xijk = 1, o tempo

para completar a tarefa k (cik) deve ser maior ou igual ao tempo para completar a tarefa

j (cij), adicionado ao tempo desetup sijk e ao tempo de processamento da tarefa k (pik).

Por outro lado, se xijk = 0, a constante V (uma constante com valor grande) torna a

restri¸c˜ao redundante:

cik ≥cij +sijk+pik−V(1−xijk),∀j ∈ {0} ∪ {N},∀k ∈N, j 6=k,∀i∈M. (2.9)

As restri¸cões representadas pela equa¸cão (2.10) determinam que o tempo de conclusão das tarefas regulares (tarefas não fict´ıcias) deve ser não-negativo:

cij ≥0,∀i∈M,∀j ∈N. (2.10)

As restri¸cões representadas pela equa¸cão (2.11) definem o tempo de conclusão máximo:

cmax ≥cij,∀i∈M,∀j ∈N. (2.11)

Com a formula¸cão matemática apresentada, é poss´ıvel uma melhor compreensão do problema abordado.

✷✳✷ ❆❧❣✉♠❛s ❛❜♦r❞❛❣❡♥s ❡♥❝♦♥tr❛❞❛s ♥❛ ❧✐t❡r❛t✉r❛

Alguns trabalhos com referˆencias mais recentes, que abordam o UPMSP, s˜ao apresen-tadas a seguir.

Arnaout, Rabadi e Musa (2010) propuseram o algoritmo Ant Colony Optimization

ACO. Seu desempenho é avaliado por meio da compara¸cão de suas solu¸cões com as solu¸cões obtidas usando Busca Tabu. Os resultados mostram que ACO superou o método que utilizou Busca Tabu.

Chang e Chen (2011) introduzem uma nova metaheur´ıstica, através da integra¸cão das propriedades de dominância com algoritmo genético. O desempenho desta metaheur´ıstica é avaliada usando problemas de referência da literatura. Os resultados experimentais intensivos mostram que foi poss´ıvel encontrar todas as solu¸cões ideais para os problemas pequenos e superou as solu¸cões obtidas pelas heur´ısticas para problemas maiores.

Fleszar, Charalambous e Hindi (2011) apresentam um algoritmo que inicia com o

Multistart e o Variable Neighourhood Descent. Em seguida, um modelo de programa¸c˜ao

(24)

Vallada e Ruiz (2011) implementaram dois Algoritmos Genéticos que diferem entre si pelos parâmetros adotados. Esses autores geram os conjuntos de instâncias que são utilizados neste trabalho, conforme explicado na Subse¸cão 2.1.1.

Ying, Lee e Lin (2012) desenvolveram um algoritmo restricted simulated annealing

(RSA), que incorpora uma estratégia de pesquisa restrita. O algoritmo RSA proposto reduz o esfor¸co de pesquisa necessário para encontrar a melhor solu¸cão, eliminando movi-mentos ineficazes. A eficácia do algoritmo RSA proposto é comparado com o simulated annealing básico. Resultados computacionais indicam que o algoritmo RSA proposto supera, significativamente, o algoritmo de simulated annealing básico.

Haddad (2012) desenvolveu trˆes algoritmos heur´ısticos h´ıbridos. O primeiro combina os procedimentos heur´ısticos Iterated Local Search,Variable Neighborhood Descent ePath Relinking; o segundo difere do primeiro pelo fato de gerar a solu¸c˜ao inicial pela fase de

constru¸cão Greedy Randomized Adaptive Search Procedure, e não por um método guloso; o terceiro difere dos outros dois na fase Path Relinking, nas vizinhan¸cas que formam o Variable Neighborhood Descent e, no Greedy Randomized Adaptive Search Procedure, inclui um módulo de busca local feita por um resolvedor de programa¸cão matemática. Esse autor utilizou em seus experimentos as instâncias criadas por Vallada e Ruiz (2011).

✷✳✸ ▼❡t❛❤❡✉ríst✐❝❛s

Desde o desenvolvimento de computadores digitais, muitos pesquisadores têm estudado o problema de otimizar uma fun¸cão objetivo. Uma abordagem é a otimiza¸cão estocástica, que busca a solu¸cão ideal, utilizando a aleatoriedade (FOUSKAKIS; DRAPER, 2002).

Souza (2009) explica que as metaheur´ısticas baseadas em busca local exploram o es-pa¸co de solu¸cões através de movimentos que são aplicados a cada passo sobre a solu¸cão corrente, gerando outra solu¸cão promissora em sua vizinhan¸ca. É importante esclare-cer que uma metaheur´ıstica é um procedimento destinado a encontrar uma solu¸cão boa, sendo que essa solu¸cão pode ser ótima. Dullaert et al. (2007) mostram que a utitliza¸cão de metaheur´ısticas para encontrar solu¸cão de problemas complexos da vida real estão ficando cada vez mais frequentes.

✷✳✸✳✶ ❙✐♠✉❧❛t❡❞ ❆♥♥❡❛❧✐♥❣

Proposto por Kirkpatrick, Gelatt e Vecchi (1983), a metaheur´ıstica SA é um método probabil´ıstico, baseado em uma analogia com a termodinâmica, simulando o resfriamento de um conjunto de átomos aquecidos. Essa técnica come¸ca a busca a partir de uma solu¸cão inicial. O procedimento principal consiste em um la¸co de repeti¸cão que gera, aleatoriamente, em cada itera¸cão, um vizinho s′ _{da atual solu¸cão} _s_{. Seja ∆ a varia¸cão}

do valor da fun¸c˜ao objetivo, obtida a partir da mudan¸ca para o vizinho candidato (∆ =

(25)

se ∆ < 0. Por outro lado, se ∆ ≥ 0, o vizinho pode ser aceito com uma probabilidade

e−∆_/T

, em que T é um parâmetro do método, chamado de temperatura, o qual regula a probabilidade de aceitar solu¸cões piores que a atual.

A temperatura pode assumir, inicialmente, um elevado valor T0. Depois de um

de-terminado número de itera¸cões SAmax (que representa o número de itera¸cões necessárias

para que o sistema atinja o equil´ıbrio t´ermico a uma dada temperatura), a temperatura ´e, gradualmente, reduzida por uma taxaαde arrefecimento, de modo queTk ←α Tk−1, para

0< α <1. Com este procedimento, uma maior chance de evitar m´ınimos locais ocorre na itera¸cão inicial e, quando T se aproxima de zero, o algoritmo passa a se comportar como um método de descida, uma vez que reduz a probabilidade de aceita¸cão de movimentos de piora (GLOVER; KOCHENBERGER, 2003).

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O método ILS (LOURENCO; MARTIN; STUTZLE, 2003) é baseado na ideia de que um procedimento de busca local pode alcan¸car melhores resultados através da otimiza¸cão de diferentes solu¸cões, geradas através de perturba¸cões na solu¸cão do ótimo local.

O algoritmo ILS come¸ca a partir de uma solu¸c˜ao inicials0 e faz dist´urbios de tamanho

psize sobs0, seguido por um método de descida. A perturba¸cão é a aceita¸cão incondicional

de um vizinho gerado por qualquer um dos movimentos de troca apresentados no Cap´ıtulo 3. A fase de descida usa um método aleatório não-ascendente, que aceita os vizinhos se o seu valor da fun¸cão objetivo for melhor ou igual ao atual com rna itera¸cões.

A busca local produz uma solu¸c˜ao s′_{, que ser´a aceita se for melhor do que a melhor}

solu¸c˜ao s∗ _{encontrada. Nesse caso, o tamanho da perturba¸c˜ao} _p

size volta ao tamanho

inicial p0. Se a itera¸cão Iter atinge um limite de Iter_max, o tamanho da perturba¸cão é

incrementado. No entanto, se o tamanho da perturba¸c˜ao atinge um limite pmax, ele volta

para o tamanho inicial p0.

✷✳✸✳✸ ▲❛t❡ ❆❝❝❡♣t❛♥❝❡ ❍✐❧❧ ❈❧✐♠❜✐♥❣

A metaheur´ıstica LAHC foi recentemente proposta por Burke e Bykov (2008). Ela consiste em uma adapta¸cão do método de subida mais clássico. Essa metaheur´ıstica baseia-se na compara¸cão de uma nova solu¸cão de candidato com as últimas l solu¸cões consideradas anteriormente, antes de aceitar ou rejeitar o movimento de troca. Nota-se que a solu¸cão candidata pode ser aceita, mesmo que seja pior do que a solu¸cão atual, uma vez que é comparada à solu¸cão da itera¸cão atual.

(26)

Neste m´etodo, ser´a armazenada uma lista f′

k = {f0, ..., fl−1}, com os custos das

solu¸cões. Inicialmente, esta lista é preenchida com o custo da solu¸cão inicial s, ou seja:

f′

k ← f(s) ∀k ∈ {0, ..., l−1}. A cada itera¸cão i, uma solu¸cão candidata s′ é gerada.

A solu¸cão candidata é aceita se o seu custo é menor ou igual ao custo armazenado na posi¸cão i modl da lista f′_{. Além disso, se esta solu¸cão é melhor do que a melhor solu¸cão}

encontrada, ele é atualizado: s∗ _← _s′_{. Depois, a posi¸cão} _v ₌ _i _mod _l _e _f′ _{é atualizada:}

f′

v ←f(s′). Esse processo se repete at´e que um crit´erio de parada seja atingido.

✷✳✸✳✹ ❙t❡♣ ❈♦✉♥t✐♥❣ ❍✐❧❧ ❈❧✐♠❜✐♥❣

Muito parecido com a metaheur´ıstica LAHC, o método SCHC (BYKOV; PETROVIC, 2013) foi projetado para realizar uma busca que combina diversifica¸cão e intensifica¸cão das estratégias de busca, semelhante ao algoritmo SA.

(27)

25

Cap´ıtulo 3

T´

ecnicas de busca local para o

UPMSP

Neste cap´ıtulo, são apresentadas as quatro metaheur´ısticas implementadas, o método construtivo utilizado na solu¸cão inicial, as estruturas de vizinhan¸ca e a sele¸cão de trocas.

✸✳✶ ❆❧❣♦r✐t♠♦s

Quatro metaheur´ısticas foram implementadas para resolver o problema UPMSP. A primeira delas é o método SA; a segunda, o ILS; a terceira, o LAHC; e, a última, o SCHC. Todos esses quatro métodos utilizam as estruturas de vizinhan¸ca apresentadas na Se¸cão 3.3 e um filtro, para selecionar essas vizinhan¸cas por máquinas, apresentado na Se¸cão 3.4. As metaheur´ısticas implementadas são detalhadas a seguir.

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O Algoritmo 1 mostra a implementa¸cão do pseudo-código para o SA. Nesse algoritmo, o método selectN eighborhood(.) retorna um dos vizinhos escolhidos aleatoriamente, des-critos na Se¸cão 3.3. Nk(.) é a estrutura de vizinhan¸ca k e f(.) é a fun¸cão objetivo. O

algoritmo SA apresenta os seguintes parˆametros:

• s: solu¸c˜ao inicial vi´avel;

• T0: temperatura inicial;

• α: taxa de resfriamento;

• SAmax: n´umero de itera¸c˜oes em cada temperatura;

(28)

Cap´ıtulo 3. T´ecnicas de busca local para o UPMSP 26

Algoritmo 1: Simulated Annealing

Input: s, T0, α,SAmax, timeout

Output: Best solution s∗ _found.

s∗ _←_s_; 1

T ←T0;

2

it←0;

3

while elapsedT ime < timeoutdo

4

while it <SAmax do

5

it←it+ 1;

6

k←selectN eighborhood();

7

Generate a random neighbor s′ _∈_N

k(s);

8

∆ =f(s′₎₋_f₍_s_); 9

if ∆<0 then

10

s←s′_; 11

if f(s′₎_{< f}₍_s∗₎ _then _s∗ _←_s′_; 12

else

13

Takex∈[0,1];

14

if x < e−∆/T _then _s _←_s′_; 15

T ←α×T;

16

it←0;

17

if T < ε then

18

T ←T0

19

return s∗_; 20

Uma das principais questões do SA é o seu elevado número de parâmetros. O parâme-troT0é cr´ıtico, mas uma estimativa razoável pode ser feita automaticamente. Ben-Ameur

(2004) mostra algumas formas de calcular a temperatura inicial para obter uma deter-minada propor¸cão de aceita¸cão. Neste trabalho, foi utilizado um método simples para calcular o valor de T0. Dada uma solu¸cão inicial s, uma amostragem de mti vizinhos

aleatórios é analisada e o pior ∆ obtido é armazenado. Esse ∆ é, basicamente, um valor de T0, em que todos os mti vizinhos analisados são aceitos. Em seguida, esse valor de ∆

é multiplicado por um valor pro, em que proé a % de aceita¸cão considerada. O valor de

T0 ´e o pior ∆ encontrado multiplicado por pro.

✸✳✶✳✷ ■t❡r❛t❡❞ ▲♦❝❛❧ ❙❡❛r❝❤

O Algoritmo 2 apresenta o pseudo-código dos ILS implementado. Nesse algoritmo,f(.) é a fun¸cão objetivo,Nk(.) a estrutura de vizinhan¸cak,selectNeighborhood(.) é um método

(29)

representa a fase de descida. Nessa fase, os vizinhos são gerados em movimentos aleatórios e apenas os que pioram a solu¸cão atual não são aceitos. O algoritmo ILS apresenta os seguintes parâmetros:

• s: solu¸c˜ao inicial vi´avel;

• p0: n´umero de movimentos realizados na fase de perturba¸c˜ao inicial;

• pmax: número máximo de movimentos feitos em uma perturba¸cão;

• ILSmax: n´umero de itera¸c˜oes;

• rna: n´umero de itera¸c˜oes na fase de decida;

(30)

Algoritmo 2: Iterated Local Search

Input: s, ILSmax, p0, pmax, timeout

s←descentP hase(s, rna);

1

s∗ _←_s_; 2

psize ←p0;

3

it←0;

4

5

for j ←0 to psize do

6

7

k(s);

8

s←s′_; 9

s′ _←_{descentP hase}₍_{s, rna}_); 10

if f(s′₎_{< f}₍_s∗₎₎ _then 11

s←s′_; 12

s∗ _←_s′_; 13

it←0;

14

psize ←p0;

15

else

16

s←s∗_; 17

it←it+ 1;

18

if it≥ILSmax then

19

it←0;

20

psize ←psize +p0;

21

if psize ≥pmax then psize ←p0;

22

return s∗_; 23

✸✳✶✳✸ ▲❛t❡ ❆❝❝❡♣t❛♥❝❡ ❍✐❧❧ ❈❧✐♠❜✐♥❣

O Algoritmo 3 apresenta a implementa¸c˜ao do LAHC. Esse algoritmo apresenta os seguintes parˆametros:

• l: tamanho da lista;

(31)

Algoritmo 3: Late Acceptance Hill Climbing

Input: s,l

f′

k ←f(s)∀k ∈ {0, ..., l - 1};

1

s∗ _←_s_; 2

i←0;

3

4

5

k(s);

6

v ←i modl;

7

if f(s′₎_≤_f′

v then

8

s←s′_; 9

if f(s)< f(s∗₎ _then 10

s∗ _←_s_; 11

f′

v ←f(s);

12

i←i+ 1;

13

return s∗_; 14

Além da implementa¸cão do LAHC ser simples, o ajuste do parâmetro também é sim-ples, pois existe um único parâmetro, ou seja, o tamanho da listal. Apesar dessa simpli-cidade, os resultados alcan¸cados por tal implementa¸cão são competitivos, em compara¸cão com os métodos que foram propostos.

✸✳✶✳✹ ❙t❡♣ ❈♦✉♥t✐♥❣ ❍✐❧❧ ❈❧✐♠❜✐♥❣

A implementa¸cão do SCHC é representada no Algoritmo 4. Esse algoritmo apresenta os seguintes parâmetros:

• c: contador limite;

(32)

Algoritmo 4: Step Counting Hill Climbing

Input: s,c

i←0;

1

b←f(s);

2

s∗ _←_s_; 3

4

i←i+ 1;

5

6

k(s);

7

if f(s′₎_{< b} _or _f₍_s₎_≤_f₍_s′₎ _then 8

if f(s′₎_≤_f₍_s∗₎_then 9

s∗ _←_s′ 10

if i≥cthen

11

b←f(s∗_); 12

i←0;

13

s←s′ 14

return s∗_; 15

Assim como ocorre com o algoritmo LAHC, a implementa¸cão e o ajuste de parâmetro do SCHC também são simples. O único parâmetro que possui é o contador limite c. Ainda assim, o SCHC alcan¸ca resultados competitivos, em compara¸cão com os métodos que foram propostos.

✸✳✷ ▼ét♦❞♦ ❝♦♥str✉t✐✈♦

Tendo em vista que o objetivo deste trabalho é avaliar a robustez de metaheur´ısticas de busca local, que devem funcionar bem, independentemente da qualidade da solu¸cão inicial, um algoritmo construtivo rápido e simples foi desenvolvido. Como esses algoritmos serão comparados para verificar o desempenho de cada método, é interessante que todos come-cem na mesma solu¸cão inicial. Neste método construtivo, as tarefas são, sequencialmente, alocadas para as máquinas e cada máquina i recebe j/i tarefas.

(33)

✸✳✸ ❊str✉t✉r❛s ❞❡ ✈✐③✐♥❤❛♥ç❛

Existem metaheur´ısticas cujo objetivo é escapar de ótimos locais, a fim de prosseguirem na explora¸cão do espa¸co de busca, para encontrarem valores melhores. Essas metaheur´ıs-ticas podem trabalhar com várias estruturas de vizinhan¸ca, para explorar o espa¸co de busca (BLUM; ROLI, 2003).

Para explorar o espa¸co de busca de solu¸cões diferentes, foram desenvolvidas cinco estruturas de vizinhan¸ca. Tais vizinhan¸cas são utilizadas nas rotinas das metaheur´ısticas implementadas durante a fase de busca local e são apresentadas a seguir.

• Task move: gera um vizinho retirando uma tarefa de uma m´aquina Mx e alocando

essa tarefa em outra máquina My. As posi¸cões de retirada e inser¸cão da tarefa são

aleat´orias. A Figura 2 ilustra um exemplo da gera¸c˜ao de um vizinho a partir desse movimento:

M

x j1 j4 j10 j9 j8 j7

M

x j1 j4 j9 j8 j7

M

y j2 j5 j6 j3

M

y j2 j5 j10 j6 j3

Figura 2 – Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸catask move

• Shift: gera um vizinho pela troca da posi¸c˜ao de uma tarefa em uma m´aquina Mx.

As posi¸cões de retirada e inser¸cão da tarefa são aleatórias. A Figura 3 ilustra um exemplo da gera¸cão de um vizinho a partir desse movimento:

M

x j1 j4 j10 j9 j8 j7

M

x j1 j10 j9 j8 j4 j7

Figura 3 – Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸cashift

• Switch: gera um vizinho atrav´es da troca entre duas tarefas em uma m´aquina Mx.

A Figura 4 ilustra um exemplo da gera¸c˜ao de um vizinho a partir desse movimento:

M

x j1 j4 j10 j9 j8 j7

M

x j1 j8 j10 j9 j4 j7

(34)

• Swap: gera um vizinho realizando a troca de duas tarefas entre duas máquinas, uma tarefa na máquina Mx e outra na máquinaMy. A tarefa retirada da máquinaMx é

alocada na máquina My e a tarefa retirada da máquina My é alocada na máquina

Mx. As posi¸cões de retirada e inser¸cão das tarefas são aleatórias. É importante

notar que as tarefas trocadas podem ser colocadas em qualquer posi¸c˜ao. A Figura 5 ilustra um exemplo da gera¸c˜ao de um vizinho a partir desse movimento:

M

x j1 j4 j10 j9 j8 j7

M

x j1 j5 j4 j10 j8 j7

M

y j2 j5 j6 j3

M

y j2 j6 j9 j3

Figura 5 – Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸caswap

• 2-realloc: gera um vizinho pela mudan¸ca da posi¸c˜ao de duas tarefas em uma m´aquina

Mx. Essa mudan¸ca é realizada em posi¸cões aleatórias. A Figura 6 ilustra um

exemplo da gera¸c˜ao de um vizinho a partir desse movimento:

M

x j1 j4 j10 j9 j8 j7

M

x j4 j7 j10 j9 j1 j8

Figura 6 – Exemplo de um movimento utilizando a vizinhan¸ca2-realloc

Essas vizinhan¸cas apresentadas realizam movimentos para escapar de ótimos locais. São realizados movimentos envolvendo diferentes máquinas e outros que mudam a se-quência de processamento em uma mesma máquina. Para selecionar uma vizinhan¸ca de troca, é utilizada uma abordagem de busca local estocástica (SLS - Stochastic Local Search_{). Hoos e Stützle (2004) mostram que, nos algoritmos SLS, as decisões de percorrer}

as vizinhan¸cas s˜ao randomizadas.

No caso do presente trabalho, em que se busca a minimiza¸cão, serão aceitos movimen-tos que reduzem o valor corrente domakespan ou movimentos que não alteram esse valor. Tais tipos de movimentos se enquadram no método randômico nãoascendente (RNA

(35)

✸✳✹ ❙❡❧❡çã♦ ❞❛s tr♦❝❛s

A sele¸cão dessas trocas, apresentadas na Se¸cão 3.3, são realizadas segundo um critério que envolve a máquina que contém o valor do makespan. Esse critério será denominado “filtro das vizinhan¸cas por máquina”, conforme descrito a seguir:

• trocas realizadas envolvendo todas as máquinas, com igual probabilidade de serem sorteadas de forma aleatória. Permite chances iguais de um movimento ocorrer em qualquer máquina e será denotada por Estratégia de Sele¸cão de Máquina Aleatório (R - Random Machine Selection Strategy);

• trocas realizadas somente envolvendo a máquina que contém o valor do makespan. Seleciona movimentos somente que envolvam a máquina que determina o valor do

makespan e será denotada por Estratégia de Sele¸cão Baseada na Máquina Makespan (Mk - Makespan Based Machine Selection Strategy);

• trocas realizadas envolvendo todas as máquinas, dando mais chance para sortear a máquina que contém o valor domakespan. Uma Estratégia Mista (Mi -Mixed Strat-egy) considera todas as máquinas a serem selecionados na gera¸cão de movimentos, mas a máquina que determina o valor do makespan tem mais chance de se envolver no movimento gerado. No caso da estratégia Mi, a cada itera¸cão, é selecionada aleatoriamente, a estratégia R ou Mk.

(36)

34

Cap´ıtulo 4

Resultados Obtidos

Nesta se¸cão, os experimentos computacionais são detalhados. As instâncias de Vallada e Ruiz (2011) foram utilizados para avaliar os algoritmos implementados. Esse mesmo autor propôs um total de 1.640 instâncias, sendo 640 pequenas e 1.000 grandes. Além de gerar instâncias com tamanhos diferentes, gerou, também, instâncias com diferentes faixas de processamento e tempos de prepara¸cão. Durante os testes, observou-se que essas diferentes faixas de processamento e tempos de prepara¸cão não afetam a dificuldade do problema. Assim, os casos com faixas intermediárias para os tempos de processamento foram eliminados e apenas casos com faixa mais restrita (9) e mais extensa (124) foram mantidos nos testes. Como pode ser visto a seguir, resultados muito semelhantes foram obtidos para esse conjunto de faixas.

O conjunto resultante para testes consiste em 50 instâncias grandes, com vários valores diferentes para o número de tarefas n = {50,100,150,200,250}, número de máquinas

m ={10,15,20,25,30}, faixa restrita r ={1,124} e sempre a primeira instância, das 10 que são apresentadas por Vallada e Ruiz (2011), para cada uma dessas combina¸cões. Os testes para as instâncias menores produziram a melhor solu¸cão conhecida. As solu¸cões geradas para todas as 1.000 instâncias grandes, bem como os relatórios e os softwares desenvolvidos, estão dispon´ıveis em GOAL-UFOP (2013).

Os algoritmos foram codificados na linguagem de programa¸cão C, em conformidade com o ANSI 99 C standard. A implementa¸cão computacional dos algoritmos foi elaborada com cuidado, para que as opera¸cões dos métodos de busca local fossem realizadas de modo eficiente, evitando recálculos desnecessários. O código foi compilado com o GNU Compiler Collection, versão 4.6.3, com a op¸cão de otimiza¸cão-O3. Os experimentos foram realizados em um computador com processador IntelR Core i7-3770 3.4Ghz e 24 Gb de memória

RAM, rodando o sistema operacional linux openSUSE 12.1.

(37)

Cap´ıtulo 4. Resultados Obtidos 35

✹✳✶ ❙❡❧❡çã♦ ❞❡ ♣❛râ♠❡tr♦s

Grande parte do trabalho de constru¸cão de modelos estat´ısticos envolve a estima-tiva dos parâmetros do modelo e valida¸cão desses modelos (CHATTERJEE; LAUDATO; LYNCH, 1996). Um grande conjunto de experimentos foi realizado, a fim de tentar encon-trar a melhor configura¸cão poss´ıvel de parâmetros e entender o impacto desses parâmetros no desempenho de cada método em todas as instâncias selecionadas.

Inicialmente, um conjunto de valores foi escolhido, manualmente, para cada parâme-tro. Em seguida, foi realizada uma avalia¸cão do comportamento de cada algoritmo para esses valores, e novos valores foram considerados, realizando combina¸cões com outros parâmetros. Esse processo se repetiu até chegar aos resultados finais. Nesta fase, o obje-tivo foi compreender as poss´ıveis correla¸cões entre os parâmetros e, também, verificar a sensibilidade de cada algoritmo, em rela¸cão às diferentes configura¸cões desses parâmetros. Na gera¸cão de vizinhos, foram consideradas três estratégias que intensificam ou não a explora¸cão de movimentos na máquina que determina o valor do makespan. A primeira estratégia é a R, a segunda Mk e a terceira Mi, coforme apresentadas na subse¸cão 3.4. Es-tas três estratégias (R, Mk e Mi) foram avaliadas manualmente, ou seja, a escolha de qual estratégia adotar representa um parâmetro de entrada de cada algoritmo desenvolvido.

A avalia¸cão de cada parâmetro selecionado foi realizada utilizando uma métrica que não é sens´ıvel às escalas: o Desvio de Porcentagem Relativa (RPD - Relative Percentual Deviation) (VALLADA; RUIZ, 2011), conforme se verifica na equa¸cão (4.1). Nessa

equa¸cão,Algoritmosolé o valor da fun¸cão objetivo (makespan), obtido por um dos

algorit-mos que foram implementados, eM elhorsolé o valor da fun¸cão objetivo da melhor solu¸cão

apresentada em SOA-ITI. ´E importante lembrar que M elhorsol sempre ser´a diferente de

zero. O valor do RPD para um determinado método define a qualidade da solu¸cão, sendo que, quanto menor for esse valor, melhor será a qualidade desse método.

RP D= 100× Algoritmosol−M elhorsol

M elhorsol

, M elhorsol 6= 0 (4.1)

A partir da Equa¸cão 4.1, é poss´ıvel concluir que os valores negativos para RPD indicam que a abordagem proposta superou a melhor solu¸cão apresentada em SOA-ITI, já que os menores valores do makespan são melhores. Os valores positivos indicam o oposto. Os valores da M elhorsol foram obtidos de Vallada e Ruiz (2011), em SOA-ITI, e são

apresentados na Tabela 8 (coluna SOA Melhor). Nessa tabela, são apresentadas, também, as melhores solu¸cões produzidas com cada um dos métodos propostos.

Para compara¸cão dos dados, será utilizado o modelo de gráfico conhecido como dia-grama de caixa, ou boxplot. Mason, Gunst e Hess (2003) explicam que o boxplot destaca, visualmente, a localiza¸cão e dissemina¸cão de um conjunto de dados e, muitas vezes, é al-tamente sugestiva para comparar dados. Bussab e Moretin (2002) enfatizam que oboxplot

(38)

´

util para revelar o centro, a dispersão e a distribui¸cão dos dados, além da presen¸ca de

outlliers. Todos os gr´aficos foram gerados no software livre“R”.

✹✳✷ ❘❡s✉❧t❛❞♦s ❡ ❞✐s❝✉ssõ❡s

As figuras apresentadas nas subse¸cões a seguir ilustram os resultados de diferentes ajustes de parâmetros para cada metaheur´ısitica. Foram realizados três testes em cada parâmetro e obtido o RPD médio. Para todos os casos, considera-se o RPD médio e um tempo limite de 60 segundos por execu¸cão. Os ajustes dos parâmetros foram realizados manualmente. Para cada parâmetro, são verificadas as três estratégias de vizinhan¸ca: R, Mk e Mi.

✹✳✷✳✶ ▲❆❍❈

O ajuste de parâmetros da metaheur´ıstica LAHC é simples, pois essa metaheur´ıstica possui apenas um parâmetro. O parâmetro utilizado para esse ajuste é o tamanho da lista, chamado de l. Na Tabela 3, estão representados os números dos experimentos com os respectivos valores do parâmetro l.

Tabela 3 – Varia¸c˜ao do parˆametrol _{nos experimentos do LAHC}

Experimento l Experimento l Experimento l

1 1 10 70 19 700

2 4 11 80 20 800

3 7 12 90 21 900

4 10 13 100 22 1.000

5 20 14 200 23 10.000

6 30 15 300 24 100.000

7 40 16 400 25 1.000.000

8 50 17 500 26 10.000.000

9 60 18 600

Na Figura 7(a), é poss´ıvel observar que valores menores de lista geram resultados melhores para a vizinhan¸ca R. Na Figura 7(b), a escala do eixo RPD médio é ampliada, para verificar um valor da lista l que fornece um melhor resultado. Será considerado melhor resultado, arbitrariamente, o experimento 3, com tamanho de lista igual a 7.

(39)

Cap´ıtulo 4. Resultados Obtidos 37 ● ● ●●●●●● ●●●●● ●●●● ●●● ●● ● _●●●● ●●● ●●● ● Experimento RPD médio −30 70 170 270 370 470 570 670 770 870 970 1070

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(a) Escala total

● ● Experimento RPD médio −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(b) Escala ampliada

Figura 7 – LAHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R

● ● ● _● ● ● _● ● ● ● Experimento RPD médio 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(40)

Na Figura 9(a), percebe-se um comportamento semelhante ao da Figura 7(a), ou seja, valores menores de lista geram resultados melhores para a vizinhan¸ca Mi. Na Figura 9(b), a escala do eixo RPD médio é ampliada para verificar um valor da listal que fornece um melhor resultado. Será considerado melhor resultado, arbitrariamente, o experimento 22, com tamanho de lista igual a 1.000.

A Figura 10 ilustra o resultado dos melhores experimentos do LAHC para as vizinhan-¸cas R, Mk e Mi. É poss´ıvel observar que as vizinhan¸cas R e Mi obtiveram resultados bem próximos, sendo a Mi um pouco melhor. Fica claro que selecionar sempre a máquina que determina o valor do makespan é a pior op¸cão. A sele¸cão de vizinhos envolvendo todas as máquinas é extremamente importante para produzir melhores resultados.

● _● ● ● ●

Experimento

RPD médio

−30 20 70 120 170 220 270 320 370 420 470

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(a) Escala total

●

● ●

Experimento

RPD médio

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(b) Escala ampliada

(41)

Experimento

RPD médio

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

24−Mk 3−R 22−Mi

Figura 10 – Melhores do LAHC

De forma geral, considerando-se o parâmetro “tamanho da lista l”, os resultados são piores para valores maiores. Dependendo da estratégia de sele¸cão de máquina, diferentes valores de l são melhores. Em particular, quando se utiliza a estratégia de sele¸cão Mk, é melhor ter valores maiores de l(até 100.000), o que é explicado pelo fato das modifica¸cões mais profundas na solu¸cão exigirem movimentos de piora. De qualquer forma, os melhores resultados foram obtidos usando a estratégia Mi, com pequenos valores de l. É poss´ıvel observar, na Figura 10, que o experimento 22, da vizinhan¸ca Mi, com tamanho de lista igual a 1.000, é o melhor do método LAHC.

✹✳✷✳✷ ❙❈❍❈

O ajuste de parâmetros da metaheur´ıstica SCHC é simples, pois essa metaheur´ıstica, assim como a LAHC, possui apenas um parâmetro. O parâmetro utilizado para esse ajuste é o c. Na Tabela 4, está representado o número do experimento com o respectivo valor do parâmetro c.

(42)

Tabela 4 – Varia¸c˜ao do parˆametroc _{nos experimentos do SCHC}

Experimento c Experimento c Experimento c

1 1 10 70 19 700

2 4 11 80 20 800

3 7 12 90 21 900

4 10 13 100 22 1.000

5 20 14 200 23 10.000

6 30 15 300 24 100.000

7 40 16 400 25 1.000.000

8 50 17 500 26 10.000.000

9 60 18 600

● ● ● ● ● ●

●

Experimento

RPD médio

−30 70 170 270 370 470 570 670 770 870

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

(a) Escala total

● ●

Experimento

RPD médio

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

(b) Escala ampliada

(43)

Na Figura 12, observa-se um comportamento diferente da Figura 11(a). Para a vizi-nhan¸ca Mk, o experimento 23 obt´em o melhor resultado, com um valor para o parˆametroc

igual a 10.000. Valores decmenores ou maiores, dentro do intervalo que foram realizados os testes, geram resultados piores.

● ●

● ● ● ● ●

●

● ●

● ● ● ●

● ● ●

● _● ●●

Experimento

RPD médio

−30 20 70 120 170 220 270 320 370 420 470 520 570

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

Figura 12 – SCHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk

Na Figura 13(a), percebe-se um comportamento semelhante ao da Figura 11(a), ou seja, valores menores de c geram resultados melhores para a vizinhan¸ca Mi. Na Figura 13(b), a escala do eixo RPD médio é ampliada, para verificar um melhor valor para o parâmetroc. Para valores decaté 10.000 (experimento 23), os resultados são semelhantes e, para valores de c acima de 10.000, os resultados pioram. O experimento 18, com valor de cigual a 600, será, arbitrariamente, considerado o melhor.

Conclusões muito semelhantes ao experimento LAHC, apresentado na subse¸cão 4.2.1, podem ser tiradas para os resultados do SCHC. De forma geral, considerando-se o pa-râmetro c, os resultados são piores para valores maiores. Dependendo da estratégia de sele¸cão de máquinas diferentes, os valores de csão melhores.

(44)

Cap´ıtulo 4. Resultados Obtidos 42 ● _● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Experimento RPD médio −30 70 170 270 370 470 570 670

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(a) Escala total

● ● ● ● ● ● ● ● Experimento RPD médio −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆

(b) Escala ampliada

Figura 13 – SCHC usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi

Experimento RPD médio −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35

23−Mk 21−R 18−Mi

(45)

De forma semelhante ao que ocorre no LAHC, quando se utiliza a estratégia de sele¸cão Mk no SCHC é melhor ter valores maiores dec(até 10.000). Os melhores resultados foram obtidos usando a estratégia Mi e com pequenos valores de c. Conforme é poss´ıvel verificar na Figura 14, o experimento 18, da vizinhan¸ca Mi com parâmetrocigual a 600, é o melhor do método SCHC.

✹✳✷✳✸ ■▲❙

A metaheur´ıstica ILS implementada possui quatro parˆametros para serem ajustados:

rna, p0, ils_max e p_max. Na Tabela 5, est˜ao representados os n´umeros dos experimentos

com os respectivos valores desses parˆametros.

Tabela 5 – Varia¸c˜ao dos parˆametros nos experimentos do ILS

Experimento rna p0 ils_max p_max

1 1.000.000 100 5 1.000

2 1.000.000 300 5 1.000

3 1.000.000 500 5 1.000

4 10.000.000 10 10 100

5 10.000.000 30 10 100

6 10.000.000 50 10 100

7 10.000.000 70 10 100

8 10.000.000 100 5 1.000

9 10.000.000 300 20 1.000

10 10.000.000 300 60 1.000

11 10.000.000 300 1.000 1.000

12 10.000.000 300 6.000 1.000

13 10.000.000 300 11.000 1.000

14 100.000.000 100 5 1.000

Na Figura 15, é poss´ıvel observar que valores maiores dernageram resultados melhores para a vizinhan¸ca R. Os outros parâmetros (p0,ilsmax e pmax) não alteram os resultados

(46)

Cap´ıtulo 4. Resultados Obtidos 44 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Experimento RPD médio −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄

Figura 15 – ILS usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R

Na Figura 16, pode-se observar que os valores estão próximos para todas varia¸cões de parâmetros que foram realizadas na vizinhan¸ca Mk. Existe uma pequena melhora nos resultados para valores menores de rna e de p0. Os outros parâmetros não alteram

os resultados de forma significativa. O experimento 4, do ILS com vizinhan¸ca Mk, ´e o melhor. Experimento RPD médio 0 10 20 30 40 50 60 70 80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄

Figura 16 – ILS usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk

Na Figura 17, é poss´ıvel observar que os valores dos parâmetros do ILS, para a vizi-nhan¸ca Mi, estão semelhantes aos valores da vizivizi-nhan¸ca R representados na Figura 15. O experimento 14, do ILS com vizinhan¸ca Mi, será considerado o melhor.

(47)

● ●

● ● ●●

● _●_● ●_●● _●

●

Experimento

RPD médio

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄

Figura 17 – ILS usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi

Experimento

RPD médio

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

4−Mk 14−R 14−Mi

Figura 18 – Melhores do ILS

Os resultados do ILS tamb´em obtiveram melhores resultados utilizando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mi. Observou-se que valores pequenos de p0 (p0 = 10) e altos valores de rna

(rna= 107

ou rna= 108

) produziram resultados muito bons. Os outros dois parˆametros que foram considerados, ilsmax e pmax, n˜ao foram muito influentes nos resultados. O

experimento 14, da vizinhan¸ca Mi, ser´a considerado o melhor do m´etodo ILS.

✹✳✷✳✹ ❙❆

A metaheur´ıstica SA implementada possui quatro parˆametros para serem ajustados:

samax, α, pro emti. Na Tabela 6 est˜ao representados os n´umeros dos experimentos com

(48)

O valor para a temperatura inicial é determinado por simula¸cão da seguinte forma: realizam-semtitrocas aleatórias na vizinhan¸ca da solu¸cão inicial; o maior valor encontrado da fun¸cão objetivo é gravado e multiplicado por pro; esse valor que foi multiplicado por

pro ser´a a temperatura inicial.

Tabela 6 – Varia¸c˜ao dos parˆametros nos experimentos do SA

Experimento samax α pro mti

1 10.000 0,98 0,05 1.000

2 40.000 0,98 0,05 1.000

3 70.000 0,98 0,05 1.000

4 100.000 0,98 0,05 1.000

5 200.000 0,98 0,05 1.000

6 300.000 0,98 0,05 1.000

7 400.000 0,98 0,05 1.000

8 500.000 0,98 0,05 1.000

9 1.000.000 0,98 0,05 1.000

10 2.000.000 0,98 0,05 1.000

11 10.000 0,99 0,05 1.000

12 40.000 0,99 0,05 1.000

13 70.000 0,99 0,05 1.000

14 100.000 0,99 0,05 1.000

15 200.000 0,99 0,05 1.000

16 300.000 0,99 0,05 1.000

17 400.000 0,99 0,05 1.000

18 500.000 0,99 0,05 1.000

19 200.000 0,99 0,05 200

20 200.000 0,99 0,05 400

21 200.000 0,99 0,05 600

22 200.000 0,99 0,05 800

23 200.000 0,99 0,05 1.300

24 200.000 0,99 0,05 1.600

25 200.000 0,99 0,05 1.900

26 200.000 0,99 0,05 2.200

27 200.000 0,99 0,10 1.000

28 200.000 0,99 0,01 1.000

(49)

resultados do SA com estratégia de vizinhan¸ca R. Na Figura 19(b), a escala do eixoRPD médio é ampliada para verificar, de forma mais leg´ıvel, as varia¸cões dos parâmetros em cada experimento. Nessas duas últimas figuras citadas, é poss´ıvel observar que, para valores de α igual a 0,98, o melhor resultado é obtido com o samax em torno de 400.000

(experimento 7). Caso o valor do α seja aumentado de 0,98 para 0,99, percebe-se um melhor resultado para um valor de samax em torno de 200.000 (experimento 15). Nessa

rela¸c˜ao entre αesamax´e bem interessante observar um comportamento de forma inversa,

ou seja, para realizar um aumento no valor de α deve-se reduzir o valor de samax caso

deseje alcan¸car resultados semelhantes.

(50)

Cap´ıtulo 4. Resultados Obtidos 48 ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Experimento RPD médio −30 20 70 120 170 220 270 320 370 420 470 520 570

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆ ₂₇ ₂₈

(a) Escala total

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Experimento RPD médio −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆ ₂₇ ₂₈

(b) Escala ampliada

Figura 19 – SA usando a estrat´egia de vizinhan¸ca R

(51)

● ●

●

Experimento

RPD médio

−20 10 40 70 100 130 160 190 220

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆ ₂₇ ₂₈

(a) Escala total

Experimento

RPD médio

−20 −15 −10 −5 0 5 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆ ₂₇ ₂₈

(b) Escala ampliada

Figura 20 – SA usando a estrat´egia de vizinhan¸ca Mk

Na Figura 21(a), é poss´ıvel observar como a varia¸cão de parâmetros interfere nos resultados do SA, com estratégia de vizinhan¸ca Mi. Na Figura 21(b), a escala do eixoRPD médio é ampliada para verificar, de forma mais leg´ıvel, as varia¸cões dos parâmetros, em cada experimento. Nessas duas últimas figuras pode-se observar um comportamento bem diferente do SA, com vizinhan¸ca R e Mk, sendo a vizinhan¸ca Mi bem melhor. Em mais de 70% dos diferentes ajustes dos parâmetros testados, os resultados são sempre melhores ou iguais às solu¸cões apresentadas por Vallada e Ruiz (2011), em SOA-ITI. Observou-se que os valores de samax, na faixa de 40.000 à 500.000, com α= 0,98 ou α= 0,99, são ótimas