ALGUMAS CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS E CONCEITUAIS SOBRE A RAIZ QUADRADA DE DOIS

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS E CONCEITUAIS SOBRE A RAIZ QUADRADA DE DOIS

Ricardo Fajardo Universidade Federal de Santa Maria rfaj@smail.ufsm.br

Resumo: Este artigo surgiu da intenção de comentar sobre o por quê de algumas regras de matemática, em particular, 2 2₌ 12. O mesmo enquadra-se no objetivo específico do evento: contribuir para a qualificação teórico-prática de profissionais em educação. Nele, navegamos ora na aprendizagem da sala de aula, ora em conteúdos e conceitos mais formais de Matemática. Sugerimos algumas atividades que envolvem o número 2 para serem executadas na sala de aula que visam auxiliar o aluno no seu processo de aprendizagem. As atividades são apresentadas numa ordem específica. No entanto, a ordem ideal fica a critério de cada professor. É aconselhável que o professor execute a atividade complemente antes de apresentá-la à classe. Somente desta forma, ele poderá mediar as dificuldades do aluno, que se apresentarem. Além do mais, a sua execução prévia proporcionará que o professor investigue todos os detalhes. Inicialmente, sugerimos um problema motivador e, após, formulamos o problema matemático ideal, juntamente com algumas discussões que achamos relevantes. Após, com o auxílio do Teorema de Pitágoras, introduzimos a plausibilidade da definição para

2. Chamamos a atenção para a unicidade do número 2. Não provamos a existência do mesmo. Este fato pode ser encontrado na literatura em geral. Mostramos a sua localização geométrica e a sugerimos como uma atividade a ser utilizada na sala de aula. Apresentamos uma atividade que modela a função raiz quadrada a partir de uma ocorrência natural e também trabalhamos com atividade de fixação de conceitos envolvendo tal função. Finalmente, apresentamos uma argumentação matemática para explicar a regra 2 2₌ 12; de maneira mais

geral,

( )

Palavras-chave: regra, raiz quadrada, práticas, conceitos.

Introdução:

O presente artigo enquadra-se no objetivo específico do evento que é contribuir para a qualificação teórico-prática de profissionais em educação, em particular, na Educação

apresentá-la à classe. Somente desta forma, ele poderá mediar as dificuldades do aluno, que se apresentarem. Além do mais, a sua execução prévia proporcionará que o professor investigue todos os detalhes.

Desenvolvimento:

O professor de matemática entra na sala ao iniciar o período e escreve na lousa: Radiação

1 2

2 2= =1, 41421…

Os alunos parecem perplexos. Um comenta: “eu já não entendo bem essa potenciação, o que será essa radiação?” Ainda, outro replica: “para que serve isso?”; e assim por diante.

Nos defrontamos com vários desafios, pois se não motivarmos o aluno, como ele irá se interessar pela matemática? Ubiratan D’Ambrósio (D’AMBROSIO, 1996, p.98) diz que “praticamente tudo o que se nota na realidade dá oportunidade de ser tratado criticamente como um instrumento matemático. Como um exemplo temos os jornais, que todos os dias trazem muitos assuntos que podem ser explorados matematicamente”. Com esta reflexão e antes de incluirmos um problema motivador perante os alunos, sugerimos a seguinte atividade.

Figura 1

A atividade consiste em apresentar aos alunos papel quadriculado (o mesmo usado para produzir as tiras de papel), as três tiras de medidas como exemplificado acima e propor que investiguem sobre a possibilidade de usar essas “réguas” para medir o comprimento e a altura do papel quadriculado. No final da atividade incluir uma discussão geral sobre as possíveis relações entre as tiras de papel e o papel quadriculado, questionamentos tais como: como vocês acham que estas tiras de medidas foram construídas?, se vocês usarem uma régua para medir as tiras qual será o resultado?, vocês conseguem pensar numa maneira de construir uma tira de papel com uma medida diferente das anteriores que pode ser usada para determinar as dimensões do papel quadriculado?

Após essa atividade poderíamos incluir um problema motivador tal como: um terreno no formato de um triângulo retângulo possui as seguintes medidas, conforme a figura abaixo.

Figura 2

Se desejamos cercá-lo, quantos metros de cerca precisaríamos aproximadamente? [1]

Neste momento, seria importante salientar que, na realidade, não seria possível ter um triângulo retângulo perfeito. Basta observar a natureza a sua volta. Mas sim, trabalhamos com uma aproximação, que nos possibilita efetuar cálculos. No nosso caso, a forma em questão é mais parecida com um triângulo retângulo, visto que desejamos trabalhar com a quantidade

2.

A partir do problema prático, chegamos ao problema ideal: um triângulo retângulo perfeito, cujos catetos medem 1 quilômetro (1.000 metros) cada um. Acabamos de formular um modelo matemático. Tira de papel medindo três quadrados Tira de papel medindo quatro quadrados

Para responder a nossa pergunta [1] acima, torna-se necessário calcular o comprimento do terceiro lado do triângulo. Logo, utilizamos o Teorema de Pitágoras:

2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 x x x = + = + = Figura 3

É nesta simples expressão que se encontra a definição de 2.

Definição 1: Um número que multiplicado por si mesmo resulta 2 é representado por

2.

Ou seja, [2] 2 ₂

x x× =x = . Mais tarde faremos uso desta noção com a finalidade de

avançar no nosso entendimento e concluirmos que 2 2₌ 12.

Antes de prosseguirmos, salientamos alguns aspectos conceituais. Quando consideramos a lei fundamental da divisão: para cada dois números dados a e b existe

sempre um terceiro, c , tal que se verifique b c× =a; vemos que deste enunciado rompemos a

barreira dos números inteiros e penetramos no conjunto dos números racionais. De forma análoga, observamos que a descoberta do Teorema de Pitágoras possibilitou o rompimento da fronteira dos racionais e a eventual imersão no mundos dos números irracionais.

A prova da existência de 2 requer o uso da Propriedade do Supremo e poder ser encontrada em, por exemplo, BARTLE, 1976, p. 40. A prova da irracionalidade de 2 poder ser encontrada em COURANT & ROBBINS, 2000, p. 71. Do ponto de vista geométrico, podemos encarar os números 1 e 2 como comprimentos de segmentos de retas, respectivamente, os intervalos [0,1] e [0, 2 ]. Desta forma, não existem números inteiros

1

1

positivos m e n tais que: m× = ×1 n 2. Ou seja, os segmentos [0,1] e [0, 2 ] não são comensuráveis. Não é possível ter-se a igualdade 2 m

n

= , para m e n números inteiros.

Conforme o desenho abaixo temos uma construção geométrica para 2 , assim como a sua posição na reta real.

Figura 4

O círculo acima está centrado em 0 e tem raio 2 (a diagonal do quadrado de lado medindo uma unidade). Logo, com relação ao segmento horizontal, o círculo possui duas interseções com a reta real, a saber − 2 e 2 . Com relação a unicidade da definição 1, vemos que se x e y satisfizerem [2], então:

2 ₂ x = e y =2 2 2 ₂ 2 x = = y 2 2 x = y 2 2 ₀ x −y =

(

)(

)

temos somente duas possibilidades, a saber, o valor e o seu oposto. Portanto, se considerarmos a parte principal da raiz quadrada de dois, a resposta será única, o que concorda com a construção na figura 4.

Retornamos, agora, à sala de aula, e consideramos outras atividades para estudar e explorar o número 2 . Uma atividade seria a sua localização na reta real através do uso de régua e compasso, conforme ilustra a figura 5 acima. Outra atividade seria a utilização da

0 1 2

-1 -2

calculadora para estimar a 2 . Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Terceiro e Quatro Ciclos do Ensino Fundamental indicam nesse sentido: “... a calculadora pode ser um eficiente recurso por possibilitar a construção e análise de estratégias que auxiliam na consolidação dos significados das operações e no reconhecimento e aplicação de suas propriedades. ... A calculadora também é um recurso interessante para que o aluno aperfeiçoe e potencialize sua capacidade de estimar.”

As novas tecnologias estão cada vez mais presentes no nosso viver diário. Não parece viável convivermos na sala de aula com o lápis, o papel, o cálculo mental e estimativas sem incluir a calculadora que, queiramos ou não, afeta o cotidiano de todos. A calculadora é um recurso útil para comparar resultados e fazer estimativas que, de outra forma, se tornariam trabalhosos. Com base nesta proposta, podemos formular atividades que objetivem estimar a

2 . Formamos grupos compostos de três ou quatro alunos.

Atividade 1: Encontre os valores que faltam na tabela 1 abaixo. Após, escreva uma regra para a tabela que explica como é possível encontrar o valor de saída a partir do valor de entrada. Expresse a regra numa sentença completa e mais clara possível.

Entrada Saída 1 1 1× = _{1 1=} 2 2 =4 _{4 2}= ? _{9 3}= 5 5 25× = ? ? _{49 7=} Tabela 1

Salientamos que, embora já tenhamos introduzido o número 2 com o problema motivador da figura 2 e fizemos sentido da definição 1, para os alunos este conceito deve ser ainda mais trabalhado. A atividade 1, proposta acima, pontua a busca de um padrão que enfoca a definição 1. Como 2 não se encontra na tabela, o aluno deveria questionar por que 2 não está na tabela 1. Se tal pergunta não vier à tona, então o professor deverá perguntá-la e procurar salientar que na coluna da direita temos somente números inteiros à direita do sinal de igualdade. Este questionamento nos leva à próxima atividade.

Certamente, a segunda atividade torna-se muito trabalhosa sem o uso de uma calculadora. O objetivo da mesma é trabalhar, mais uma vez, com a definição 1 e, também, compreender sobre estimativas. É claro que, após esta atividade o aluno, provavelmente, desejará usar somente a calculadora.

Vimos que a raiz quadrada de dois surgiu a partir de um problema real cuja modelagem gerou um triângulo retângulo ideal. No entanto, se produzirmos uma atividade de aula onde o aluno terá que coletar dados e, após, plotá-los no papel quadriculado, veremos que, dependendo da situação, o gráfico aproximado de y= x aparece.

Entrada Saída 1 1 =1 ₁< ₂

(

)

(

)

(

)

(

)

Atividade 3: Material: uma garrafa de plástico pela metade, um medidor em centímetros, algodão e uma semente de feijão. Cola-se o medidor num lado de fora da garrafa. Preenchemos o fundo da garrafa com algodão úmido e plantamos uma semente de feijão ali, conforme a figura 6. Observamos todos os dias e coletamos os dados diariamente numa tabela.

Dia 1 2 3 ...

Comprimento

Tabela 3

Finalmente, ao plotarmos esses dados num papel quadriculado, veremos que o seu gráfico aproxima-se ao gráfico da função y= x. Esta atividade torna-se interessante pois a

função raiz quadrada surge de uma observação da natureza. Para completar, seria interessante

desenhar o gráfico de y= x com a utilização de uma tabela e comparar com o gráfico da

tabela 3.

x 1 2 3 ...

x

Tabela 4

Retornamos, desta vez, ao aspecto conceitual de 2 . Na definição 1 vimos que a quantidade 2 é o símbolo utilizado para expressar o número que multiplicado por si mesmo resulta 2:

2× 2 2= [4].

Por outro lado, ao utilizarmos o Princípio da Indução Finita, provamos que: 2m 2n 2m n+

× = [5],

para m e n números naturais (consultar COURANT, R. & ROBBINS, H., 2000, p. 12). Entretanto, desejamos que a propriedade [5] continue válida mesmo quando rompemos a barreiro dos naturais e passamos para os racionais positivos. Isto é, estendendo a estrutura algébrica sem alterar a propriedade, o que acontece?

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + × = × = × = [6]

Ao confrontarmos as expressões [4] e [6], juntamente com [3], somos levados a concluir que 2 2₌ 12! Um raciocínio análogo nos leva a concluir que _{a =a}12, para a

número real não-negativo.

Utilizamos um raciocínio análogo ao acima para concluirmos que:

( )

2

3 3

2 = 2 =2 [7]. Para tanto, fazemos uso da igualdade:

( )

= [8],

Ora, já sabemos que 2 2₌ 12 [9]. Portanto,

( )

( )

3 3

2 = 2 . Por [8] e [9], temos que

( )

( )

( )

O mesmo argumento pode ser usado para concluir que n 2 2₌ 1n e, de forma mais

genérica,

_{( )}

n m

n _{= = . Com um raciocínio análogo, podemos concluir que}

( )

n m

n m n

a = a =a , sendo a um número real não-negativo.

Conclusão:

Sim, existem regras na Matemática. Mas, essas regras têm uma razão para existirem. No entanto, não queremos inferir que a explicação que se apresenta acima deveria ser apresentada aos alunos da educação básica. Serve para termos autoconfiança no caso de sermos questionados a respeito do assunto. Entretanto, na qualidade de educadores, não deveríamos simplesmente repetir essas regras, mas procurar atividades que motivem a introdução do conteúdo.

Referências Bibliográficas:

BARTLE, R. G. The Elements of Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1976. COURANT, R. & ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2000.