Cinemática da partícula – 1ª Parte
1.1 – Derivada de um vector em ordem a um escalar
Seja um vector A
função de um escalar g : A A(g)
= Define-se
g A g
g A g g A dg
A d
g
g Δ
= Δ Δ
− Δ
= Δ → + Δ →
0
0 ( ) ( ) lim
lim
A Δ
)
( g g
A + Δ )
( g A
Notar que sendo
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⇔ +
+
=
3 2 1 3
3 2 2 1 1
A A A u
A u A u A
A
vem
dg u A d dg u
dA dg
u A d dg u
dA dg
u A d dg u
dA dg
A
d
33 3 3
2 2 2 2
1 1
1
1
+ +
+ +
+
=
pois os versores podem depender de g
!
Considere-se o caso particular em que o vector
A
é o vector posição
r
de um ponto P que se se desloca no espaço quando o tempo decorre e em que o escalar (g) é o tempo t.
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⇔ +
+
=
3 2 1 3
3 2 2 1 1
r r r u
r u r u r
r
A sua derivada em ordem ao tempo chama-se velocidade do ponto P:
dt u r d dt u
dr dt
u r d dt u
dr dt
u r d dt u
dr dt
r d t
v lim
t 0r
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
+ +
+ +
+
= Δ =
=
Δ →Δ
r Δ
) ( t t r + Δ )
(t r
P
Ao quociente
t r Δ Δ
chama-se velocidade média durante o intervalo de tempo Δt.
1.2 – Representação intrínseca da velocidade e da aceleração
Vamos estudar um sistema de coordenadas a que se chama “intrínseco” pelo facto de ser definido a partir da própria trajectória. Notar que, assim sendo, os versores irão depender não só da posição do ponto mas também da maneira como essa posição varia (trajectória).
r τ η b
x
y z
O
η τ
η τ
∧
=
⊥ b
Triedo de Frenet
( b ; τ ; η )
a) Versor da tangente
( τ )
ds r d
=
τ
É tangente, poisd r
o é;É versor, pois
d r = ds ⇒ τ = 1
b) Versor da normal
( η )
ds d K η τ
1
=
K Curvatura da linha no ponto considerado.
ds R d τ η
=
R Raio de curvatura da linha no ponto considerado.
u Por definição é
ds K d R
τ
= 1 =
, pelo que o vector
η
acima definido tem módulo 1, i.é, é versor.u Verifiquemos que é
η ⊥ τ
τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ
τ τ τ
τ τ
⊥
⇒
=
⋅
=
⋅ +
⋅
=
⋅
=
⇒
=
⋅
⇒
=
⋅
⇒
=
=
ds d ds
d ds
d ds
d ds
d
ds d
cte
0 2
) ( 0
0 ) ( 1
1
Notar que não foi o facto de o módulo ser 1 que foi relevante, mas sim o facto de o módulo ser constante!
“ Se um vector depende de um escalar mas tem módulo constante (i.é, se só a sua direcção varia) a sua derivada em relação ao escalar produz um vector que lhe é perpendicular”.
C) Velocidade
(v )
τ τ
τ
dt v s d dt
s d ds
r d dt
r v d
v
=
=
=
=
=
=
A velocidade é um vector dirigido
segundo a direcção tangente à
trajectória.
d) Aceleração (a )
) (
tan )
(
2
2
1
centrípta ou
normal aceleração
R a v
gencial aceleração
dt v a d
R a v
R a v dt
s d ds d dt como d
dt v d dt
v v d
dt d dt
v a d
t
a t v
R at
→
=
→
=
+
=
⇒
=
=
+
=
=
=
=
= =
=
η
η
η τ
τ η τ
τ τ τ
η
À aceleração normal também pode chamar-se centrípeta porque ela aponta para o centro de curvatura da trajectória.
P1 ( t1 )
P2 ( t2 )
η
1η
2 C2 C1 ++ R2 R1
O “centro de curvatura” por definição situa-se sobre a r e c t a n o r m a l , a u m a distância da curva, “para dentro”, igual ao raio de curvatura.
] A componente tangencial da aceleração está associada (é igual, aliás) à variação do módulo da velocidade isto é, à variação da “rapidez”.
] A componente normal da aceleração está associada à variação da direcção do vector velocidade:
dt v d a
nτ
=
Assim, as acelerações ( ⇒ forças ) são necessárias não só para fazer variar a rapidez de um movimento mas também necessárias para fazer variar a direcção da trajectória.
Casos particulares
t a
dt a v d dt v d dt
v v d
dt d dt
v a d
te cons direcção cte
t
=
= +
=
=
=
=
=
=
→
τ τ τ
τ τ
0
) (
) tan (
º 1
È claro que neste caso a trajectória é uma recta como se pode verificar
0 ,
0 );
(
2 2
=
∞
=
⇒
=
⇒
= +
=
K R R
v dt
a dv é caso neste
geral R
v dt a dv
τ η
τ
Uma linha com curvatura nula (ou, equivalentemente, com raio de curvatura infinito) é uma recta.
2º v = cte.
(movimento “uniforme” no que respeita à rapidez)
η
ητ τ τ
η
R a v dt v d dt
v v d
dt d dt
v a d
a
= = = + = =
=
=
2
0
) (
O caso R = const. ⎯ movimento circular ⎯ é um caso particular deste caso particular.
1.3 – Lei do movimento
Descrever um movimento é fornecer a lei do movimento, isto é, especificar a posição do ponto em estudo num dado sistema de referência em todos os instantes de tempo por meio de uma expressão
⎩ ⎨
⇔ ⎧
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
=
=
⇔
= ( . .)
) (
) (
) ( )
( qq sist de coord
t z z
t y y
t x x t
r
r
È claro que as equações anteriores são as equações paramétricas da trajectória, sendo o tempo, o parâmetro. As equações cartesianas da trajectória obtêm-se pois por eliminação do tempo.
Ex .
a trajectóri da cartesiana eq
a trajectóri da paramétricas eq
z y x
z t y
t x t
t j
t i t r
.
2
.
2 2
2
0 4 0
2 0
2 2
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
⇒ =
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
=
=
⇔
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⇔ +
=
1.3.1 – Problemas fundamentais da cinemática
(
) (
;
; :
tempo do função iniciais
condições o
o
v a t
r
Dados
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
⇔ ) (
) (
) (
) ( )
( : min
t z
movimento do
lei t
y t x t
r ar
Deter
È o problema mais frequente. Vejamos o método de resolução no caso particular de o vector aceleração ser constante.
) 0 (
) (
0 0
0 0
0 0
= +
=
⇒
−
=
−
=
=
→
=
∫
∫
t se t
a v v
t t a v v
dt a v d
dt a v dt d
v a d
t t v
v
∫
∫
∫
=
−
=
=
→
=
t t t t r
r
dt v r
r
dt v r d
dt v r dt d
r v d
0 0 0
0
2 0
0
2
1 ,
t a t
v r r Logo
= + +
Ex .
x y
r
0v
0j g g
−
=
trajectória ?
Dados : r
02 j ; v
0( i j ) ; a g ( cte )
= +
=
=
z y x t g t
t t
g t
t r
t a t v r r
as paramétric eq
.
2 2
2 0
0
0 2 2 1
2 0 1 0 0
0 2 0
2 1
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
− +
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
− +
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
+
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
⇔ +
+
=
A equação cartesiana da trajectória obtém-se como vimos, por substituição do parâmetro t;
2
2 2 x 1 g x y
t x
− +
=
⇒
=
(Parábola)
1.3.2 – Alguns casos particulares
1.3.2.1 - Movimento com aceleração constante e rectilíneo ( a = cte
→⋅ )
Neste caso, e escolhendo para eixo do x a própria recta sobre a qual se efectua o movimento, temos que
r r v v e a
0 0
; ;
;
têm todos a mesma direcção, tendo componentes apenas segundo aquele eixo. Notar em particular quea
tem a direcção de
v
(de outro modo, a trajectória encurvaria !!).
Podemos pois escrever a seguinte relação escalar:
2 0
0
2
1 a t t
v x
x = + +
Não esquecer que pode ser
a > 0 ⇒
aceleração positiva⇒ (
movimento uniformemente acelerado)a < 0 ⇒
aceleração negativa⇒ (
movimento uniformemente retardado)a = 0 ⇒
aceleração nula (⇒ v = v
o) ⇒ (
movimento uniforme)1.3.2.2 – Movimento circular
Neste caso é preferível utilizar a representação polar:
x y
R
O
θ
τ
≡ u
u
ρη d θ
⎩ ⎨
⎧
−
≡
≡ η τ
ρ
θ
u u ds
Velocidade / aceleração:
ρ θ
ρ
θ θ
η
θ θ
η τ
θ θ θ
τ τ
u R u R a Então
u
R dt R
d dt
s d dt dv
R v dt a dv
cte R dt R
R d v d
R dt ds
v ds dt v v ds
2 2
2 2
:
) ( )
(
.) (
; )
(
−
=
−
=
=
=
= +
=
•
•
=
=
=
⇒
=
=
=
=
•
θ -ângulo de rotação [rad]
ω -velocidade angular [rad/s]
α - aceleração angular [rad/s
2]
⎪ ⎪
⎩
⎪⎪ ⎨
⎧
→
=
=
=
→
=
=
angular Aceleração
dt d dt d
angular Velocidade
dt d
θ θ α ω
θ θ ω
2 2
Vector velocidade angular, ou Vector rotação
Define-se vector velocidade angular um vector tal que
a trajectóri
R r
Notar
vector do
A em momento M
v R
v
A⊥
∧
=
∧
=
⇔
∧
=
ω
ω ω
ω ω
ω
º 2
º 1
:
) (
Existe uma correspondência entre os movimentos de rotação e os de translação, que pode ser expressa pelas seguintes relações:
) (
) (
α θ
ω θ
θ ou a
ou v
x
↔
↔
↔
ω θ α
θ θ ω
=
=
=
=
=
=
dt d dt
a dv
dt d dt
v dx
;
;
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
−
−
−
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
∧
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
x y y x
z x x z
y z z y
z y x
z y x
z y x
r r
r r
r r
r r r v
v v
. .
. .
. .
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
z
R v
∧
= ω
r
x y
ω
R
O
A
Assim, e por exemplo, sabendo que para um movimento de translação com aceleração constante se tem
t a v v
t a t v x x
±
=
± +
=
0
2 0
0
2
1
pode escrever-se imediatamente a expressão para um movimento de rotação com aceleração constante:
2
2 1 t
o
t
o
ω α
θ
θ = ± ±
o
α t ω ω = ±
Exemplo de aplicação: Determinar para a posição representada na figura, a velocidade linear de uma partícula que executa uma trajectória circular com um raio de 1,5 m e com velocidade angular constante de 10 rad/s.
k r j r i r
r x y z + +
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
0 ) 45 ( sin
) 45 ( cos r r r
r r r
z y
xk j
i y z
x
ω ω
ω
ω
= + +⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
θ ω
ω ω ω
0
0
z y x
k v j v i v
v x y z + +
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧−
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧−
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
×
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
×
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
0 61 . 10
61 . 10 0
) 45 ( cos
) 45 sin(
0 ) 45 sin(
) 45 cos(
0 0
r r r
r r
v v v v
z y x
θ θ θ
ω
y
x r
v
× ω
=
ω r
o θ=45º
x z
o y
Vesfera/Carro
vcarro
Vesfera/carro- Velocidade da esfera em relação ao carro Vesfera/solo- Velocidade do carro
2 - Cinemática da partícula – 2ª Parte
2.1 - Movimento Relativo de Translação
xo zo
yo
x1 z1
y1 rA
A
B B r
A /
rB
Referencial fixo
Referencial móvel solidário com A
Na figura seguinte estão representados a posição de duas partículas onde os vectores rA e rB são as posições absolutas dessas partículas. A posição relativa entre as duas partículas é definida pelo vector rB/A, e representa a posição da partícula B em relação à partícula A.
Trajectória da partícula A
rA
- Posição absoluta da partícula A rB
- Posição absoluta da partícula B
- Posição relativa da partícula B em relação à partícula A e ao eixo móvel.
A /
rB
Ø Posição:A posição da partícula B é definida como a soma vectorial da posição absoluta da partícula A e a posição relativa da partícula B em relação à partícula A
rA
rB
A /
rB
A B A
B r r
r / +
=
Ø Velocidade:A velocidade da partícula B é determinada a partir das derivadas dos vectores posição em ordem ao tempo.
A B A
B v v
v / +
=
fixo.
l referencia do
partir a medidos são
porque , absolutas velociades
dt são r v d dt e
r v d
Onde A A B B
=
=
móvel refrencial do
partir a observada dt é
r v d
relativa de
A velocida B/A B/A
=
vB
vA A /
vB
Ø Aceleração:Através da derivada no tempo da velocidade é obtido aceleração absoluta e relativa, cuja relação é semelhante à obtida com os vectores posição.
A B A
B a a
a / +
=
aA
aB A /
aB
1 1 1 A B/A
/ B
z , y , x móvel eixo o com solidário
e A em colocado está
se quando observamos
que B aceleração a
dt é v a d
Onde
=
Exemplo de aplicação:
Um comboio desloca-se a uma velocidade constante de 60km/h, atravessando uma estrada conforme a figura mostra. Se o carro se deslocar à velocidade de 45km/h, determine a velocidade relativa do comboio em relação ao carro.
A B A
B v v
v / +
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
z ) A / B (
y ) A / B (
x ) A / B (
Az Ay Ax
Bz By Bx
v v v v
v v v
v v
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
z A B
y A B
x A B
v v v
) / (
) / (
) / (
0 ) 45 sin(
45
) 45 cos(
45 0
0 60
[
km/h]
0 82 . 31
18 . 28 0
) 45 ( sen 45
) 45 cos(
45 60 v
v v
z ) A / B (
y ) A / B (
x ) A / B (
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
[
km h]
j i
v 28.18 31.82 /
−
=
2.2 – Sistemas em movimento relativo de rotação
Considerem-se dois sistemas de referência centrados em O, um OXYZ fixo e outro rotativo em torno do eixo fixo OA; seja Ω a velocidade angular do sistema Oxyz num dado instante (ver figura). Considere-se agora uma função vectorial Q (t) representada pelo vector Q aplicado em O; como o tempo t varia, tanto o módulo como a direcção de Q variam. Como a variação de Q vista por um observador que usa o sistema OXYZ como referência é diferente da variação de Q vista por um que usa o sistema Oxyz, deve-se esperar que a derivada de Q dependa do sistema que for tomado como referência.
Portanto, devemos designar por (Q) OXYZ a derivada de Q em relação ao sistema fixo OXYZ e por (Q) Oxyz a derivada em relação ao sistema rotativo Oxyz. Propomo-nos determinar a relação entre estas duas derivadas.
O X
Y
Z z
x y
i j
k A
Ω
Q
Em primeiro lugar iremos decompor o vector Q em componentes segundo os eixos x, y e z do sistema rotativo. Designando por i, j e k os versores correspondentes, escrevemos
k Q j Q i Q
Q
x
y
z + +
=
Derivando a expressão anterior em ordem ao tempo, e considerando os versores i, j e k como fixos (pois para um observador em Oxyz são fixos), obtemos a derivada de Q em relação ao sistema rotativo Oxyz.
k Q j Q i Q
Q
Oxyz
x
y
z + +
=
⋅
Para obter a derivada de Q em relação ao sistema fixo OXYZ, devemos considerar os versores i,j e k como varáveis (móveis) quando derivamos Q
) (
) (
) (
) (
) (
] [
dt k Q d dt
j Q d dt
i Q d k
Q j Q i Q Q
dt k Q d k dt Q
j Q d j dt Q
i Q d i Q Q
k Q j Q i dt Q Q d
z y
x Q
z y
x OXYZ
z z
y y
x x
OXYZ
z y
x OXYZ
Oxyz
+ +
+ +
+
=
= +
+ +
+ +
=
= +
+
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
se o vector Q estivesse fixo dentro do sistema Oxyz, uma vez que
Observamos que a derivada de (Q) OXYZ se reduziria aos três últimos termos da expressão anterior Q)Oxyz
( seria então nulo.
Mas, neste caso, (Q) OXYZ representaria a velocidade de um ponto material localizado na ponta de Q e pertencente a um corpo rigidamente ligado ao sistema Oxyz. Então os três últimos termos da referida expressão representam a velocidade desse ponto material; como o sistema Oxyz tem uma velocidade angular Ω em relação a OXYZ, no instante considerado, escrevemos
dt Q k Q d dt
j Q d dt
i Q d
dt k k d dt j
j d dt i
i d
z y
x
∧ Ω
= +
+
⇒
⎪ ⎪
⎪
⎭
⎪ ⎪
⎪
⎬
⎫
∧ Ω
=
∧ Ω
=
∧ Ω
=
) (
Sendo assim, obtemos a relação fundamental:
Q Q
Q
OXYZ
Oxyz
∧ Ω +
=
⋅
2.2.1 – Movimento tridimensional de um ponto material em relação a um sistema rotativo. Aceleração de Coriolis
Vimos anteriormente que, uma dada função vectorial Q(t) e dois sistemas de referência centrados em O — um sistema fixo OXYZ e um sistema móvel Oxyz — as derivadas de Q em relação aos dois sistemas satisfazem a relação
Q Q
Q
OXYZ
Oxyz
∧ Ω +
=
⋅
Supusemos, então, que o sistema Oxyz fora construído para girar em torno de um eixo fixo OA.
Entretanto, a derivada, permanece válida quando o sistema Oxyz é obrigado a ter somente um ponto fixo O. Sob esta suposição mais geral, o eixo OA representa o eixo instantâneo de rotação do sistema Oxyz, e o vector Ω, a sua velocidade angular no instante considerado.
Consideremos agora o movimento tridimensional de um ponto material P em relação ao sistema rotativo Oxyz que tem uma origem fixa O. Se o vector Q representar o vector posição r de um ponto P num dado instante e Ω a velocidade angular do sistema Oxyz em relação ao sistema fixo OXYZ no mesmo instante (ver figura), então a velocidade absoluta vP do ponto material é definida como a velocidade observada do sistema fixo OXYZ e é igual à derivada (r) OXYZ de r em relação ao sistema.
r r
r
v
P
OXYZ
Oxyz
∧ Ω +
=
=
M P p
P
v v
v +
=
ʹ′móvel sistema
ao relação em
P de velocidade v
P com coincide que
móvel sistema
do P ponto do
velocidade v
P material ponto
do absoluta velocidade
v onde
M P P P
=
= ʹ′
=
ʹ′
O XY
Z z
x y
i j
k
Ω r
P
r
OxyzMas define a velocidade
v
P Mdo ponto P em relação ao sistema móvel Oxyz.
Se considerarmos que o ponto P foi ligado ao sistema móvel, então vP/M representará a velocidade relativa. Por outro lado o termo Ω ∧ r representará a velocidade vPʼ dum ponto Pʼ do sistema móvel que coincide com P no instante considerado e costuma designar-se por velocidade de transporte. Temos, então,
A aceleração absoluta aP do ponto material é definida como a derivada de vP em relação ao sistema fixo OXYZ. Calculando as derivadas em relação a OXYZ dos termos da relação fundamental, escrevemos
] [
OxyzP
P
r
dt r d r
v
a
+
∧ Ω +
∧ Ω
=
=
onde todas as derivadas estão definidas em relação a OXYZ, excepto onde for indicado de outro modo. Relembrando a relação fundamental, observamos que o último termo da expressão anterior pode ser expresso como:
Oxyz Oxyz
Oxyz
r r
dt r
d [ ] = + Ω ∧
Por outro lado,
r
representa a velocidade vP e pode ser substituído pelo membro do lado direito da expressão representativa da velocidade absoluta vP apresentada anteriormente. Assim, ficaráOxyz Oxyz
P
Oxyz Oxyz
Oxyz P
r r
r r
a
r r
r r
r a
∧ Ω +
∧ Ω
∧ Ω +
∧ Ω +
=
∧ Ω + +
∧ Ω +
∧ Ω +
∧ Ω
=
2 ) (
) (
) (
O primeiro termo desta última relação representa a aceleração relativa aP/M do ponto P em relação ao sistema rotativo. A aceleração de transporte será a que existir quando a velocidade relativa (e portanto também a aceleração relativa) for nula e corresponde à soma do 2º e 3º termo da expressão anterior e está associada à aceleração aPʼ do ponto Pʼ do sistema móvel que coincide com P no instante considerado. Ao termo que “sobra” chama-se “aceleração complementar ou de Coriolis” em homenagem ao matemático francês De Coriolis (1792 – 1843).
Note-se que a aceleração de Coriolis só existe se existirem simultaneamente :
) ( .
) ( .
M P to
to
v relativo
mov
transporte de
mov
→
Ω
→
e se além disso, não for
v
PMΩ //
c M P p
P
a a a
a
+ +
=
ʹ′Exemplo de aplicação:
Considere-se um ponto P materializado por uma cursor que se move em translação (parâmetros
) com velocidade constanteu
ao longo de uma barra OB, que por sua vez gira com velocidade angular constante ω em torno de O e no plano vertical.Determinar a aceleração do ponto P.
c M P p
P
a a a
a
+ +
=
ʹ′s
P B
s u =
O
ω
u a
c= 2 ω
'
s ω
2a
P=
x
y
M P c
M P p
v a
const é
u pois a
OP OP
a
∧
=
=
∧
∧ +
∧
=
→ →= ʹ′
ω
ω ω ω
2
.) (
0
) (
0
Ficará:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω ω
−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ω−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω
∧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω
∧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ω
=
=
=
0 u 2
S a
0 u 2
0 0
0 S 0
u 2
0 0
S 0 0
0 a
0 0 u 0 0 2 ) 0 0 S 0 0 ( 0 0 a
2 P
2 P
a a
P
c '
P
2.2.2 – Sistema de referência em movimento geral
Considere-se um sistema fixo de referência OXYZ e um sistema Axyz que se desloca de maneira conhecida em relação a OXYZ (gira e translada). Seja P um ponto material que se movimenta no espaço. A posição de P é definida, em qualquer instante, pelo vecto rP no sistema fixo, e pelo vector rp/A no sistema móvel. Designando por rA o vector posição de A no sistema fixo, virá
X Y
Z
x y
z
Xʼ Yʼ
Zʼ
P
r
Ar
P Ar
PΩ
A P A A P A P
A P A P
v v r
r v
r r r
+
= +
=
⇒ +
=
Mas a velocidade vP/A de P em relação a AXʼYʼZʼ pode ser obtida aplicando a relação fundamental, bastando substituir o vector Q pelo vector rP/A naquela equação. Assim virá:
P A
v
Axyz A P A
P A
P
v r r
v
=
+
∧ Ω +
= ( )
A aceleração absoluta aP/A do ponto material é obtida derivando-se a expressão anterior, e escrevemos
A
A vP
Axyz A P Axyz
A P A
P A
P v
A P
A P A P P
r r
r r
a a
v v v a
= =
+
∧ Ω +
∧ Ω
∧ Ω +
∧ Ω +
=
⇒ +
=
=
) ( )
( 2
)
(
3 - Cinemática de Corpos Rígidos 3.1 - Movimento no Plano
O movimento plano de corpos rígidos pode ser decompostos em três tipos de movimento diferentes, classificados a seguir por ordem crescente de complexidade:
Movimento de Translação
Movimento de Translação: Graficamente regista-se este tipo de movimento quando um qualquer segmento de recta formado por dois pontos do corpo, permanece sempre paralelo e igual ao segmento original durante o movimento sendo a trajectória dos pontos sempre equidistante.
Movimento de rotação
em torno de um eixo fixo Movimento de Geral no Plano
Movimento de rotação em torno de um eixo fixo: No movimento de rotação os pontos não pertencentes ao eixo fixo têm trajectórias circulares.
Movimento Geral no Plano: Quando um corpo está sujeito ao movimento geral no plano, este pode ser sempre decomposto numa combinação de um movimento translação e num movimento de rotação.
Movimento de translação Movimento Geral
Movimento de rotação
Num corpo rígido sujeito a uma translação no plano x o y, a localização dos pontos A e B são definidos para um eixo fixo x,y através dos vectores rA e rB. O sistema em translação de coordenadas xʼ, yʼ está fixo ao corpo com origem no ponto A.
Movimento de Translação
o x y
A xʼ yʼ
B
r
A
Sistema de coordenadas em translação
Sistema de fixo coordenadas
r
B r
B/AØ Posição: A posição dos pontos A e B são definidas respectivamente, pelos vectores rA e rB. A posição relativa do ponto B em relação ao ponto A é definida pelo vector rB/A. Estes relacionam-se entre si pela seguinte expressão:
Ø Velocidade: A velocidade é determinada pela derivada do respectivo vector posição em ordem ao tempo. Sendo que o vector da velocidade relativa de B em relação a A é nulo, pois o corpo é considerado indeformável.
A / B A
B
r r
r
= +
Ø Aceleração: A aceleração é calculada a partir da derivada do vector velocidade.
Para o movimento de translação é expressa pela seguinte relação.
A B
a a
=
Movimento de Rotação
No movimento de rotação em torno de um eixo, o movimento dos pontos que formam o corpo é caracterizado pelas seguintes quantidades: posição angular, velocidade angular e aceleração angular:
• Posição angular é definida pela variável dθ [rad]
• Vector velocidade angular é definido pela variável ω [rad/s] e a relação entre a velocidade e a posição é expressa por:
• Vector aceleração angular é definido pela variável α [rad/s2] e a relação entre as outras quantidades vem definida por:
dt dθ
= ω
dt dω
= α
2 2
dt d θ
= α
velocidade linear que se relaciona com a velocidade angular do corpo. Para um ponto P genérico, a velocidade linear nesse ponto é definida por:
P
P
r
v
∧
= ω
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
ω ω ω
= ω
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
=
z y x P z y x
Pz Py Px P
r r r r e ,
v v v v
que
em
z y
x
z y
x P
P
r r
r
k j
i r
v = ω ∧ = ω ω ω
A partir do módulo do vector velocidade linear obtemos somente a intensidade da velocidade. No sistema a duas dimensões, a direcção e sentido do vector velocidade podem ser conhecidos a partir da normal ao plano formado pelo vectores velocidade angular ω e r e por aplicação da regra da mão direita; roda- se o vector velocidade angular ω no sentido do vector r.
Aceleração Linear- Por conveniência, a aceleração linear de um ponto P que não pertence a esse eixo é decomposto em duas componentes; componente tangencial e componente normal a seguir definidas e representadas nas figuras.
o
r a
r a
t n
α ω
=
=
2( )
dt r r d
dt r d
dt d dt
v
a d
P P P
= = ∧ = ω ∧ + ω ∧
ω
2
2P P
P
r
dt r v d dt e
mas d
= ω = = ω ∧
α
(
P)
P
