Módulo de Regressão e Séries S Temporais

Texto

(1)

monica@mbarros.com

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M ó dulo de Regressão e Sé dulo de Regressão e S é ries ries Temporais

Temporais

Parte Parte 33

Mônica Barros,

Mônica Barros, D.Sc.D.Sc.

Julho de 2007 Julho de 2007

monica@mbarros.com

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‰ Mônica Barros

‰Doutora em Séries Temporais – PUC-Rio

‰Mestre em Estatística – University of Texas at Austin, EUA

‰Bacharel em Matemática – University of Washington, Seattle, EUA

‰Professora da PUC-Rio (Depto. De Eng.

Elétrica)

‰E-mails: monica@ele.puc-rio.br, monica@mbarros.com

‰Home page: http://www.mbarros.com

Programa do Curso Programa do Curso

‰ Modelagem ARIMA de Box & Jenkins sazonal e não sazonal

‰Função de autocorrelação e autocorrelação parcial

‰Modelo

‰Identificação de (p, q, d, P, Q, D)

‰Estimação

‰Estatísticas de ajuste e análise dos resíduos

‰Exercícios

MODELO

BOX & JENKINS UNIVARIADO

(Não Sazonal e Sazonal)

(2)

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PROCESSO ESTOC

PROCESSO ESTOCÁÁSTICOSTICO

Toda variável aleatória que evolui no tempo, i.e., guarda uma estrutura de dependência no tempo é um processo estocástico.

SÉRIE TEMPORAL

É uma realização particular de um processo estocástico.

Exemplo: Inflação, Retornos Financeiros, Demanda, etc...

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( )t

Z =E Z

μ

MÉDIA de um processo (série)

Teórico

Estimador

VARIÂNCIA de um processo (série) Teórico

Estimador T

Z m

T

t t Z

=

= 1

( )

1

1

2 2

=

=

T m Z S

T

t

Z t Z

( )

{ 2}

2

Z t

Z =E Z μ

σ

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AUTOCOVARIÂNCIA de um processo (série) Teórico

Estimador

Onde k = 1 , 2 . . . é o “lag” ou defasagem

( )( )

{ t Z t k Z }

k E Z μ Z μ

γ = +

( )( t k Z)

k T

t

Z t

k Z m Z m

c T

= +

=

1 1

1

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AUTOCORRELAÇÃO de um processo (série) É a medida padronizada da dependência linear de lag k, (é a autocovariância padronizada)

Teórico

Lembrar que:

( )

( )t ( t k)

k t t k

k

Z VAR Z

VAR

Z Z COV

+

= +

= ,

γ0

ρ γ

( )= ( )= =constante

= 2

0 COV Zt,Zt VAR Zt σZ

γ

(3)

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Então: para todos os lags 1, 2, 3,...

Estimador rk(autocorrelação estimada de lag k)

‰ O gráfico de r(k) versus k é chamado correlograma

correlograma do processo (ou da série Zt) . 1

1 +

ρk

( )( )

( )

=

= +

=

= T

t

Z t k

T

t

Z k t Z t k

k

m Z

m Z m Z c

r c

1

2 1

0

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PROCESSO ESTACIONÁRIO (de 2ª ordem)

‰ Um processo estocástico é dito estácionário de 2ª ordem se:

(i) para qualquer t

(ii) (constante) para qualquer t (iii) Cov [Zt, Zt+k ] = função apenas do lag k para

qualquer instante t

i.e , o processo tem média e variância constantes e a autocovariância só depende do lag k

[ ]

E Zt = μ z

[ ]

E Zt μz 2 =σ2z

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‰ Exemplos

Zt

Não Estacionário na Variância t

Estacionário Não Estacionário na Média

Não Estacionário na Média E na Variância

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PROCESSO RUÍDO BRANCO

Um processo estocástico é chamado de ruruíído brancodo branco e denotado por atse, além de estacionário de 2ª ordem, ele não apresenta qualquer dependência serial, ou seja,

‰ Ou seja, um ruído branco é uma seqüência de observações com média e variância constantes e autocorrelações nulas em todos os lags.

ρk para k para k

= =

>

1 0

0 0

, ,

(4)

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‰

‰ Objetivo de AnObjetivo de Anáálise de Slise de Séérie Temporalrie Temporal

‰ Dada uma série temporal Ztque não é “branca”, isto é, que exibe uma estrutura de dependência serial,achar o melhor modelomatemático que descreva esta dependência serial e a transforme num ruído branco.

‰ Se uma série já é ruído branco, então não existe modelo univariado para ela!

‰ O operador B, conhecido como Operador de Atraso ou “Backward Shift Operator“ é bastante usado por na descrição dos modelos e é definido como:

BkZt = Zt-k

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‰ Exemplos

‰ 1)

‰ 2)

Zt =α1Zt2 +α2Zt4+β1at1+β2at

at Zt B3 3 Zt

B2 2 BZ t

Zt = α1 + α + α +

at Zt 3) 3B B2 B 2 ( 1

Zt = α +α +α +

Zt =α1B Z2 t+α2B Z4 t+β1Bat+β2at Zt =(α1B2+α2B4)Zt+(β1B+β2)at

Zt = α1Zt1 + α2Zt2 + α3Zt3 + at

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‰

‰ FunFunçção de autocorrelaão de autocorrelaçção parcial de lag ão parcial de lag kk

‰ É uma medida de dependência linear ou correlação linear entre Zt e Zt+k

eliminando a dependência dos termos intermediários Zt+1 , Zt+2 . . . Zt+k-1 i.e.:

(

, + | +1, , + 1

)

= t t k t t k

kk CorrZ Z Z KZ

φ

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‰ MODELO ARIMA de Box e Jenkins

‰ Seja Zt uma série estacionária de 2ª

ordem . A modelagem BJ propõe modelos lineares para Zt, conhecidos como

ARIMA(p, d, q).

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‰ Casos Particulares do ARIMA(p, d, q)

‰ AR(p) = modelo autoregressivo de ordem p

‰ MA(q) = modelo médias móveis de ordem q

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( )

AR(1) : Z =t φ1Zt -1+at, 1φ1B Zt =at

( )

AR(2) : Z =t φ1Zt -1+φ2Zt -2+at, 1φ1Bφ2B2 Zt =at

( )

AR(p) : Z =t φ1Zt -1+φ2Zt -2+ +K φpZt -p+ t 1φ1 φ2 2− −K φp Zt=

p

a , B B B at

MODELOS AR(p)

Modelo Autoregressivo de ordem p

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‰ Problema

‰ Se a ordem “p” do modelo cresce, teremos muitos parâmetros φi; i = 1, . . . , p para estimar, o que requer séries de tamanhos elevados, nem sempre disponíveis .

‰ Solução encontrada

‰ Reduzir a ordem “p” da parte AR através da inclusão no modelo de defasagens no ruído branco (além das defasagens da própria série temporal). Isso eqüivale a adicionar uma

estrutura MA ao modelo (média móvel = “Moving Average”)

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‰ Modelos MA(q) = Médias Móveis de ordem q

( )

MA(q) : Z = at tθ1at -1θ2at -2− −K θqat -q Zt= 1θ1 θ2 2− −K θq q

B B B at

,

( )

MA(1) : Z = at t θ1at-1, Zt = 1θ1B at

( )

MA(2) : Z = at t θ1at -1θ2at -2, Zt = 1θ1Bθ2B2 at

(6)

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‰ Exemplo (modelo MA(1))

‰ Exemplo (modelo AR com infinitos lags)

( )

t t

t t

t t

a Z

Z Z

a Z B

B

= + +

+

= +

+ +

...

, 1

2 2 1 1

2 2 1

θ θ

θ

θ K

( )

t

t Z

a B

at t B

t Z t a t a Z

⎟⎟

⎜⎜

=

=

=

1 1

1

1 1 1,

1 θ

θ θ istoé:

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‰ Como no caso do AR (p) , para ordens MA altas é melhor trabalhar com o AR invertido que terá, certamente, menos parâmetros a serem estimados.

‰ Princípio da Parcimônia!

AR( )∞ ≡ MA q( ) MA( )∞ ≡ AR p( )

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( ) ( ) t

t a B B a

a 1 1 1

1 θ 1 φ 1 θ

φ t-1= t-1 t=

t- Z Z

Z : ARMA(1,1)

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‰ Modelos ARMA (p, q)

(

1φ1Bφ2B2− −K φpBp

)

Zt = −

(

1 θ1Bθ2B2− −K θqBq

)

at

(

1φ1Bφ2B2

)

Zt = −

(

1 θ1Bθ2B a2

)

t

ARMA(2,2) : Z -t φ1Zt -1-φ2Zt -2 = at θ1at -1θ2at -2

ARMA(p, q) : Z -t φ1Zt-1-K-φpZt-p =at θ1at-1− −K -θqat-q

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‰ Fundamento teórico dos modelos BJ

‰ Passagem de um ruído branco por um filtro linear de memória infinita gera um

processo estacionário de 2a ordem. (Teoria geral de sistemas lineares)

ψ ( ) B

Z =t at ψ1at1ψ2at2 ψ3at3K

( )

Z =t 1ψ1Bψ2B2ψ3B3Kat

( )

Z =t ψ B at

at Zt

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‰ Fundamento Teórico

‰ Como contém infinitos parâmetros, então BJ sugerem escrevê-lo como a razão de dois polinômios:

‰ ou seja

‰ Logo, a modelagem BJ consiste em achar a estrutura ARMA (i.e., as defasagens p e q) mais adequada para a série Zt.

( )

ψ θ

B φ B

= ( )B ( ) ( )

ψB

( )( ) t ( ) t ( ) t

t a BZ B a

B

Z B φ θ

φ

θ =

=

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‰ Processos Não-Estacionários Homogêneos

Yté não Estacionário na Média

Seja Zt= Yt- Yt-1 Zt= Yt- BYt Zt= (1-B)Yt

Zt= ∇Yt(série estacionária)

Xté não Estacionário na Média Yt= ∇Xt=Xt - Xt-1

Yt: Não Estacionário na Média Zt= ∇Yt= ∇ ∇Xt

Zt= ∇2Xt(série estacionária)

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‰ Generalização

‰ Um processo estocástico é não

estacionário homogêneo se ele se torna estacionário após a aplicação de “d”

diferenças

‰ Se Yt é não estacionário homogêneo então:

t d

t Y

Z = é estacionário!

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‰ Modelo ARIMA (p,d,q)

‰ φ( )B dZt = θ( )B at

φ( )B = −1 φ1Bφ2B2− −K φpBp θ( )B = −1 θ1Bθ2B2− −K θqBq

∇ = −d (1 B)d

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‰ Exemplos

‰ i) ARIMA (1,1,1)

‰ ii) ARIMA (0,2,2)

Zt- (φ1+1)Zt1 +φ1Zt2= atθ1at1

[1- (φ1+1)B +φ1B2] Zt= (1 -θ1B a) t

(1 -φ1B) (1 -B Z) t = (1 -θ1B a) t

Zt =1 +1)Zt-1 -φ1Zt-2 + at -θ1at-1

( )

( ) ( )

2 2 1 1 2

1

2 2 1 1 2

1

2 2 1 2

2 2 1 2

2 2

1 2

1 1

+

=

= +

= +

=

t t t t t t

t t t t t t

t t

t t

a a a Z Z Z

a a a Z Z Z

a B B Z

B B

a B B Z

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

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‰ II) MODELO BJ

‰ Fluxograma Operacional

==> ∇d ==> θ(B) , φ(B) ==> at Zt

Yt

Série estacionária após d diferenças

Série original (não estacionária)

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‰ Fluxo Operacional BJ

Operador diferença

Ordem AR(p) e MA(q)

Estimação

Ruído é branco

Previsão Não

Identificação

Estimação

Testes

Sim

Yt

~

Zt

~

$ $

φ θ

ie j

at

~

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‰APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰Identificação

‰Valores de p,d,q para Yt.

‰i) d através dos gráficos de ∇dYt.

‰ii) p e q através das ACF e PACF

(correlograma e correlograma parcial de ∇dYt).

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‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ No gráfico a seguir está uma série não estacionária, para a qual são necessárias duas diferenças até encontrar uma série estacionária.

500 1000 1500 2000 2500 3000

0 5 10 15 20 25

Gráfico da Série original

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‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ A autocorrelação (ACF) da série original decresce MUITO lentamente, como mostrado a seguir.

BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ O gráfico da 1a. diferença da série é:

0 5 10 15

0 5 10 15 20 25

BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ A ACF da série diferenciada é:

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‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ A série duplamente diferenciada é:

-2 -1 0 1 2 3

0 5 10 15 20 25

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‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ E sua função de Autocorrelação:

‰Logo, foram necessárias duas diferenças para tornar a série original estacionária.

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‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ Estimação

φi’s e θj’s são estimados minimizando a soma dos quadrados dos resíduos (ou erro de previsão), i.e.

t

φi’s e θj’s tais que Σ at2 seja mínima

t=1

‰ Obs: Os erros padrões estimados permitem testar as hipóteses nulas

Ho: φi= 0 e Ho:θj= 0

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BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰

‰ Testes de sobrefixaTestes de sobrefixaççãoão – ajuste modelos

“maiores” (mais elaborados) – substitua p por p + 1 e q por q + 1 e verifique se os parâmetros são significantes

‰‰ Testes nos ResíTestes nos Resíduosduos

‰ Devem ser ruído branco, com média nula e variância pequena

‰ NÃO DEVE EXISTIR AUTOCORRELAÇÃO NOS RESÍDUOS!!!!

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‰ APLICAÇÃO DO MÉTODO

‰ Teste de Ljung e Box (ou Portmanteau)

Estatística de teste é calculada a partir das ACFs estimadas dos resíduos. A estatística de Ljung e Box mede a magnitude da ACF dos resíduos para diversos lags, ou seja, estende a estatística de Durbin-Watson (só lag 1).

Q n n r i

n k

a i

k

= +

= -

Σ

( ) ( )

( )

2

2

1

Sob a hipótese de um ruído branco, Q é uma variável com densidade Qui-quadrado com M graus de liberdade.

Onde

M = k-(p+q) n = T-d

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‰ MODELOS PARA SÉRIES SAZONAIS (SARIMA)

‰ BJ propõem uma estrutura similar ao modelo ARIMA(p,d,q) para as séries sazonais,

considerando o intervalo de "S" (S; período sazonal, e.g. S = 12, S = 4, etc.) ao invés do intervalo unitário dos modelos simples.

‰ Modelo MA(Q) Puramente Sazonal

‰ MA(Q)sazonal ≡MA(QS) simples com parâmetros não-nulos somente nos lags S, 2S,...,QS.

BOX & JENKINS BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ Correlograma do MA(Q)

‰ Ou seja: não existe qualquer tipo de

dependência dentro de um período sazonal;

só existem dependências entre períodos sazonais.

....

S 2S 3S QS

ρk

k

BOX & JENKINS BOX & JENKINS BOX & JENKINS

12 24 ρ

k

K

Exemplo: S = 12; MA(2) Sazonal Exemplo: S = 12; MA(2) Sazonal

Pelo visto anteriormente para o modelo simples, a PACF do Pelo visto anteriormente para o modelo simples, a PACF do MA(Q) sazonal

MA(Q) sazonal éécomposta de exponenciais e/ou sencomposta de exponenciais e/ou senóóides ides amortecidas nos lags S, 2S, 3S,

amortecidas nos lags S, 2S, 3S, ........

wt= at-Θ1at-12 -Θ2at-24

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Modelo AR(P) Puramente Sazonal Modelo AR(P) Puramente Sazonal

DaDaíí::AR(P)AR(P)Sazonal = AR(PS)Sazonal = AR(PS)Simples com parâmetroSimples com parâmetro não

não--nulos somente nos lag's S, 2S, ..., PSnulos somente nos lag's S, 2S, ..., PS

Por analogia (e dualidade) as fun

Por analogia (e dualidade) as funçções ACF e PACF do AR(P) Sazonalões ACF e PACF do AR(P) Sazonalsão:são:

w w

t t s t s p t ps

t

s s

p ps

t

w w w

ou B B B a

= + + +

= + + + +

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

1 2 2

1 2

1 2

...

: ( ... )

S 2S PS (P+1)S

ρ k

.... K

....

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S 2S PS

φ kk

.... K

Modelo ARMA(P,Q) puramente Sazonal.

Modelo ARMA(P,Q) puramente Sazonal.

w w w w a a a

ou w

t t s t s P t Ps t t s Q t Qs

s s

P ps

t

s s Qs

=Φ +Φ + +Φ + Θ − −Θ

Φ Φ Φ Θ Θ Θ

1 2 2 1

2

... ...

: (1- 1B - 2B2 - B ) = (1- 1B - 2B -...- QB )at

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TambTambéém conhecido como ARIMA multiplicativom conhecido como ARIMA multiplicativo

Z t

(S)ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q)

S

Onde SD= (1-BS)D

a

t b

t

θ(B)/φ(B)d Θ(B s )/Φ(B s).∇s D

φ(B)dbt= θ(B)at Φ(Bs).∇sDZt= Θ(Bs)bt

...

Φ(BS). (φ B).∇ ∇sD dZt =Θ(Bs). (θ B a). t

grau PS + p + SD + d grau QS + q

14 4424 4 43 14424 43

BOX & JENKINS

BOX & JENKINS Modelos SARIMAModelos SARIMA

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‰‰Exemplo: Modelo AirlineExemplo: Modelo Airline

ÉÉo modelo sazonal multiplicativo que representa so modelo sazonal multiplicativo que representa sééries sazonais que ries sazonais que exibem uma tendência e sobreposta a esta, uma componente sazonal exibem uma tendência e sobreposta a esta, uma componente sazonal multiplicativa, t

multiplicativa, tíípica de dados de negpica de dados de negóócios e, particular, de vendas de cios e, particular, de vendas de passagens a

passagens aééreas. O modelo reas. O modelo éé::

SARIMA (0, 1, 1) x (0, 1, 1) SARIMA (0, 1, 1) x (0, 1, 1)1212

É

Éfacil mostrar que o correlograma do modelo airline apresenta vafacil mostrar que o correlograma do modelo airline apresenta valores lores não nulos nos lag's 1, 11, 12 e 13, como abaixo:

não nulos nos lag's 1, 11, 12 e 13, como abaixo:

BOX & JENKINS BOX & JENKINS BOX & JENKINS

ρk

1 11 12 13 K

(13)

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‰ Modelo Airline (SARIMA(0,1,1)x(0,1,1)S)

‰

‰ Exemplo: Exemplo:

‰

‰ Modelo Airline para dados trimestrais (s = 4)Modelo Airline para dados trimestrais (s = 4)

‰‰ De uma maneira geral, se o períDe uma maneira geral, se o período sazonal odo sazonal ééS, o modelo torna-S, o modelo torna-se:se:

(

1B

) (

1B4

)

Zt =

(

1θB

) (

1ΘB4

)

at

( ) ( ) ( ) ( )

t

S t

S Z B B a

B

B = Θ

1 1 1

1 θ

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‰ Define-se variável de intervenção, como a série temporal, denotada por Xit, composta de

valores "0“ e "1", onde "0" representa a ausência de um fenômeno.

‰ O modelo BJ com intervençãoé dado por:

‰ onde wié o "efeito" da variável de intervenção Xitem Zt .

‰ bié o lag de defasamento do efeito da variável Xitem Zt.

( )

B dZt =θ

( )

B at +wtBbiXit

φ

BOX & JENKINS BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰

‰Tipos de IntervenTipos de Intervenççãoão

1

PulsoSazonal X 3t(j+ks) ; j=1,...,S ; k=1,2...

X3t(j+ks)

j j+s j+2s j+3s ... t

BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ Exemplo – Série não sazonal

‰ PIB a preços de 2006 (1947 a 2006)

5 10 15 20

X 1E+005

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Legend PIB_R$_2006

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‰ A série é claramente não

estacionária, portanto a identificação das ordens p e q irá requerer a

diferenciação prévia da série.

‰ Mas, qual “a cara” da ACF e PACF da série sem diferenciação?

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‰ ACF da série sem diferenciação

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BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ PACF da série sem diferenciação

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BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ ACF da série após a 1ª. Diferença

(15)

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‰ PACF da série após a 2ª. Diferença

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‰ Pelos gráficos anteriores...

‰ACF da série diferenciada sugere MA(1) ou MA(2).

‰PACF da série diferenciada sugere AR(1).

‰Opções:

‰ARIMA(1,1,2) ou

‰ARIMA(1,1,1)

BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ Ajuste de ARIMA(1,1,2)

Forecast Model for PIB_R$_2006 ARIMA(1,1,2)

Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance

--- a[1] 0.6697 0.1639 4.0854 0.9999

b[1] 0.1754 0.1842 0.9524 0.6550 <- b[2] -0.3098 0.1476 -2.0987 0.9596 Within-Sample Statistics

--- Sample size 60 Number of parameters 3

Mean 1.021e+006 Standard deviation 6.939e+005 R-square 0.9969 Adjusted R-square 0.9968 Durbin-Watson 2.052 Ljung-Box(18)=26.9 P=0.919 Forecast error 3.922e+004 BIC 4.235e+004

MAPE 0.02674 RMSE 3.823e+004 MAD 2.519e+004

BOX & JENKINS BOX & JENKINS

‰ Ajuste de ARIMA(1,1,1)

Forecast Model for PIB_R$_2006 ARIMA(1,1,1)

Term Coefficient Std. Error t-Statistic Significance

--- a[1] 0.9996 0.0278 35.9010 1.0000

b[1] 0.7978 0.0965 8.2696 1.0000 Within-Sample Statistics

--- Sample size 60 Number of parameters 2

Mean 1.021e+006 Standard deviation 6.939e+005 R-square 0.997 Adjusted R-square 0.9969

Durbin-Watson 1.71 * Ljung-Box(18)=34.11 P=0.9878 Forecast error 3.852e+004 BIC 4.054e+004

MAPE 0.02642 RMSE 3.787e+004 MAD 2.607e+004

Todos os coefs.

significantes, mas alguns dos erros

“in sample”

ligeiramente maiores que no modelo anterior

‰Expert selection do FPW sugere este modelo

Imagem

Referências

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