Cálculo Diferencial e Integral III

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Prof. Rodrigo dos Santos Veloso Martins

Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná

(2)

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1 Fun¸c˜oes e Campos Vetoriais e Integrais de Linha 2

1.1 Fun¸c˜oes Vetoriais e Curvas Parametrizadas . . . 3

1.2 C´alculo de Fun¸c˜oes Vetoriais . . . 13

1.3 Comprimento de Arco . . . 27

1.4 Campos Vetoriais . . . 41

1.5 Integrais de Linha . . . 48

1.6 Campos Vetoriais Conservativos . . . 62

1.7 Teorema de Green . . . 68

2 Superf´ıcies Parametrizadas e Integrais de Superf´ıcie 75 2.1 Superf´ıcies Parametrizadas . . . 75

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2.3 Superf´ıcies Orientadas e Integrais de Fluxo . . . 94

2.4 Teorema da Divergˆencia de Gauss . . . 103

2.5 Teorema de Stokes . . . 105

3 Sequências e Séries Infinitas 110 3.1 Sequências de Números Reais . . . 112

3.2 Sequˆencias Mon´otonas . . . 122

3.3 Sequˆencias Recursivas . . . 128

3.4 S´eries de N´umeros Reais . . . 130

3.5 Teste do Termo Geral e Propriedades B´asicas . . . 137

3.6 Teste da Integral . . . 140

3.7 Testes da Compara¸c˜ao . . . 144

3.8 Testes da Raz˜ao e da Raiz . . . 148

3.9 S´eries Alternadas, Convergˆencia Absoluta e Condicional . . . 152

4 Séries de Potências 158 4.1 Polinômios de Taylor e MacLaurin . . . 159

4.2 S´eries de Potˆencias . . . 170

4.3 Convergˆencia de s´eries de Taylor . . . 179

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5.1 Defini¸cão e Opera¸cões Básicas . . . 184 5.2 Representa¸cão Gráfica e Forma Polar de Números Complexos . . . 188 5.3 Fun¸cões Complexas . . . 192

(6)

FUNC

¸ ˜

OES E CAMPOS VETORIAIS E

INTEGRAIS DE LINHA

Considere um carro que se desloca ao longo de uma estrada sob a¸c˜ao do vento1_{. Podemos}

nos fazer as seguintes perguntas:

• Qual o efeito que o vento tem sobre o deslocamento do carro? • H´a algum impacto no combust´ıvel consumido?

Neste cap´ıtulo estudaremos conceitos do Cálculo Vetorial que são úteis no estudo de um problema como este. Mais precisamente, estudaremos nas Se¸cões ?? a 1.3 curvas parame-trizadas no plano: estes objetos permitem descrever não só a estrada como o deslocamento

1_{Como exemplos de problemas an´}_{alogos temos: trem se deslocando ao longo de uma ferrovia e um navio}

seguindo um trajeto bem definido sob a influˆencia de correntes mar´ıtimas.

(7)

do carro, levando em conta grandezas como sua velocidade e acelera¸cão em cada ponto ou instante de tempo. Estenderemos este tudo para curvas no espa¸co, com comentários sobre poss´ıveis aplica¸cões neste contexto.

A a¸cão do vento será estudada na Se¸cão 1.4. Nele estudaremos fun¸cões matemática que denominamos campos vetoriais: a cada ponto do plano (ou do espa¸co) temos um vetor associado. Isto permite descrever a a¸cão do vento quando a mesma não é constante em todo a região estudada; de forma análoga, podemos estudar correntes mar´ıtimas distribu´ıdas no plano de maneira não uniforme. Ainda neste cap´ıtulo, na Se¸cão 1.5, introduzimos o conceito de integrais de linha: será através deste conceito que estudaremos a itera¸cão do vento em uma dada região com o deslocamento de um carro ao longo de uma estrada, que fornecerá uma estimativa para a questão introduzida acima.

1.1 Fun¸

c˜

oes Vetoriais e Curvas Parametrizadas

Considere um carro se deslocando ao longo de uma estrada, conforme o problema introdu-zido no in´ıcio do cap´ıtulo. Podemos interpretar esta situa¸cão como a de uma part´ıcula se deslocando no plano cartesiano R2. Como um ponto do plano é descrito por coordenadas (x,y), é natural pensar na localiza¸cão da part´ıcula (ou do carro) através de fun¸cões do tempo:

x = f (t), y = g(t).

Dizemos que estas equa¸cões são as equa¸cões paramétricas do deslocamento da part´ıcula.

Defini¸c˜ao 1.1.1. O conjunto C de pontos (x,y) que satisfazem equa¸c˜oes da forma x = f (t), y = g(t),

onde t é uma variável independente, é dita uma curva. As equa¸cões acima são ditas as equa¸cões paramétricas da curva C e t é dito o parâmetro das equa¸cões.

(8)

Exemplo 1.1.2. O caso mais natural de uma curva descrita por equa¸cões paramétricas é possivelmente o do c´ırculo trigonométrico:

x = cos t, y = sen t. (1.1)

Note que a partir das Equa¸c˜oes (1.1) conclu´ımos que

x2+ y2 = cos2t + sen2t = 1,

isto é, os pontos desta curva possuem distância 1 a origem; isto define um c´ırculo de raio 1 e centro em (0,0). Abaixo temos os valores de (x,y) para alguns valores de t e o esbo¸co do gráfico das Equa¸cões (1.1).

t x y ..0.. 0.0 1.0 0 1 0− π/6 √3/2 1/2 π/2 0 1 π −1 0 . . .

(9)

Exemplo 1.1.3. Considere as equa¸c˜oes param´etricas

x = t − 3 sen t, y = 4 − 3 cos t. (1.2)

Abaixo temos os valores de (x,y) para alguns valores de t e o esbo¸co do gr´afico das Equa¸c˜oes (1.2). t x y ..0.. 0.0 1.0 1 −1.5 2.4− 2 −0.7 5.2 3 2.6 7.0 4 6.3 6.0 5 7.9 3.1 6 6.8 1.1 . . .

Figura 1.2: Gr´afico das Equa¸c˜oes (1.2).

Destacamos a imagem da fun¸cão nos pontos t = 1, . . . , 6, enquanto a trajetória foi tra¸cada até o valor t = 10. Como não foi definido nenhum intervalo para t nas Equa¸cões (1.2), supomos que são considerados todos os valores reais poss´ıveis para t, inclusive negativos. Entretanto, em muitos casos as fun¸cões acima descrevem o deslocamento de uma part´ıcula

(10)

em um intervalo finito de tempo [a,b]; neste caso as equa¸cões paramétricas são fornecidas com um intervalo espec´ıfico para o parâmetro:

x = f (t), y = g(t), t ∈ [a,b]. Dizemos que t = a ´e o ponto inicial e t = b ´e o ponto terminal.

Exerc´ıcio 1.1.4. Considere uma part´ıcula que se desloca no plano no intervalo de tempo [0,π] de acordo com as equa¸c˜oes abaixo:

C1: x = cos t, y = sen t, t ∈ [0,π].

Determine a localiza¸c˜ao da part´ıcula nos instantes de tempo t = 0, t = π/6, t = π/2 e t = π. Esboce a trajet´oria da part´ıcula no plano.

Exerc´ıcio 1.1.5. Fa¸ca o mesmo no caso das equa¸c˜oes param´etricas abaixo.

(i) C2: x = cos t, y = sen t, t ∈ [0, 2π].

(ii) C3: x = cos t, y = − sen t, t ∈ [0, 2π].

(iii) C4: x = cos(2t), y = sen(2t), t ∈ [0, 2π].

Note que no Exerc´ıcio 1.1.5 as curvas C2 e C3 definem o mesmo conjunto de pontos no

plano: note que para as equa¸c˜oes param´etricas de C2 e C3 temos

x2+ y2 = cos2t + sen2t = 1,

o que prova que o trajeto da part´ıcula em ambos os casos está contido no c´ırculo unitário. No entanto, uma investiga¸cão mais atenta mostra que o c´ırculo é percorrido pelo parâmetro t em sentidos opostos. Isto motiva a defini¸cão abaixo, onde faremos distin¸cão entre as curvas C2 e C3.

(11)

Defini¸cão 1.1.6. Considere uma curva C com equa¸cões paramétricas x = f (t), y = g(t). (i) A dire¸cão em que o parâmetro percorre C é dita a orienta¸cão da curva.

(ii) Uma curva descrita por equa¸cões paramétricas com uma orienta¸cão espec´ıfica é dita uma curva paramétrica.

Dizemos, no caso do Exerc´ıcio 1.1.5, que as curvas paramétricas C2 e C3 têm orienta¸cões

opostas. Podemos interpretar este conceito da seguinte forma: as equa¸c˜oes param´etricas de C2 e C3 descrevem o deslocamento de carros r1 e r2 ao longo da mesma estrada circular, no

entanto, esta estrada ´e percorrida por r1 e r2 em sentidos opostos.

Curvas parametrizadas no espa¸co. Problemas análogos àquele apresentado no in´ıcio do cap´ıtulo podem ser encontrados em deslocamentos no espa¸co. Por exemplo, podemos nos perguntar qual se a a¸cão do vento pode influenciar fortemente na trajetória de um drone. A trajetória do drone pode ser descrita analogamente: se uma part´ıcula se desloca no espa¸co R3, suas coordenadas x, y e z variam, a princ´ıpio, com o tempo, de modo que podem ser escritas como

x = f (t), y = g(t), z = h(t).

As mesmas defini¸c˜oes e terminologia da Defini¸c˜ao 1.1.1 se aplicam neste caso.

As defini¸cões introduzidas acima já foram vistas, de certa forma, no curso de Geometria Anal´ıtica. Veja o Exemplo 1.1.7 abaixo, que utilizamos para relembrar a equa¸cão vetorial de uma reta de R3_.

Exemplo 1.1.7. Um inseto se desloca no espa¸co partindo do ponto (0,0,1) com vetor ve-locidade constante em metros por segundos dado por ~v = (−2,0,3). Determine as equa¸cões paramétricas do seu movimento e a sua localiza¸cão após 3 segundos.

Vamos determinar inicialmente a coordenada z da posi¸c˜ao do inseto ap´os 3 segundos. O vetor velocidade ~v = (−2,0,3) indica que, com respeito ao eixo z, o inseto se desloca com

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velocidade constante de 3m/s. Após três segundos ele terá se deslocado 3 · 3 = 9 metros. Como sua posi¸cão inicial com respeito ao eixo z é z0 = 1, sua posi¸cão após três segundos é

dada por z = 1 + 9 = 10. O mesmo cálculo pode ser conduzido para as coordenadas x e y. Alternativamente, podemos efetuar o cálculo em nota¸cão vetorial: após 3 segundos o deslocamento é dado pelo vetor 3~v = (−6,0,9). A soma do vetor deslocamento com o vetor posi¸cão inicial fornece a posi¸cão do inseto ap´_{os 3 segundos: (0,0,1) + (6,0,9) = (−6,0,10).}

Considere agora, mais geralmente, o movimento de uma part´ıcula com posi¸c˜ao inicial P0 =

(x0, y0, z0) e velocidade constante dada pelo vetor ~v = (a,b,c). Como o vetor velocidade n˜ao

tem altera¸cão em sua dire¸cão ou sentido, a trajetória do inseto é uma reta. Um argumento análogo ao do Exemplo 1.1.7 mostra que sua posi¸cão após t segundos é dada por

r : (x,y,z) = P0+ t~v = (x0, y0, z0) + t(a,b,c) = (x0+ at, y0+ bt, z0+ ct). (1.3)

Reciprocamente, a Equa¸c˜_{ao (1.3) descreve todas as retas de R}3_{: uma reta r de R}3 _{que cont´}_em

um ponto P e possui vetor diretor ~v possui equa¸c˜ao vetorial dada pela Equa¸c˜ao (1.3); veja o Exemplo 1.1.8 abaixo2_.

Exemplo 1.1.8. As equa¸c˜oes param´_{etricas da reta a r de R}3 _{que cont´}_{em o ponto P =}

(2,1, − 3) e tem vetor diretor ~v = (−1,2,2) s˜ao dadas por

(x,y,z) = (2,1, − 3) + t(−1,2,2) = (2 − t, 1 + 2t, −3 + 2t).

A equa¸cão vetorial acima pode ser escrita coordenada a coordenada, fornecendo as equa¸cões paramétricas:          x = 2 − t, y = 1 + 2t, z = −3 + 2t. . . . 2

A reta de R3 que cont´_{em dois pontos P,Q ∈ R}3´e obtida a partir deste modelo: consideramos neste caso o vetor diretor ~v = Q − P ou ~v = P − Q.

(13)

A reta ´_{e o exemplo mais simples de uma curva de R}3. No Exemplo 1.1.9 temos uma curva com geometria mais complexa.

Exemplo 1.1.9. Esboce a curva de R3 que é o gráfico de equa¸cões paramétricas abaixo: x = cos t, y = sen t, z = t.

As equa¸c˜oes acima descrevem uma curva que possui a seguinte propriedade: suas coorde-nadas x e y satisfazem a equa¸c˜ao x2_{+ y}2 _{= 1. Segue que os pontos desta curva se encontram}

diretamente acima desta circunferˆencia do plano xy, com coordenada z determinada por z = t.

`

A medida que o parâmetro t evolui a partir de t = 0 temos no plano xy uma situa¸cão idêntica àquela do Exemplo 1.1.4. A equa¸cão z = t mostra que a coordenada z cresce à medida que t evolui: quando a part´ıcula dá uma volta inteira no c´ırculo trigonométrico, sua altura evolui de z = 0 até z = 2π; na próxima volta sua altura evoluirá de z = 2π a z = 4π, e assim por diante. Essa curva paramétrica é descrita por uma hélice. Veja a Figura 1.3.

Cabe ressaltar que as equa¸cões paramétricas dadas estão definidas para todo t real, de modo que na Figura 1.3 temos esbo¸cada apenas uma parte da curva; esta se estende infi-nitamente acima e abaixo do plano xy, pontos que correspondem respectivamente a valores positivos e negativos do parˆ_{ametro. . .}

Fun¸cões vetoriais. Estudamos nesta se¸cão as equa¸cões paramétricas de uma curva através de suas fun¸cões coordenadas. Uma fun¸cão vetorial consiste simplesmente em uma maneira diferente de escrever matematicamente esta associa¸cão. Em uma fun¸c˜_{ao vetorial de R}3_,

associamos a cada valor do parˆametro t um ponto do espa¸co (x,y,z). Isto define uma fun¸c˜ao r : t 7−→ r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

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Figura 1.3: Gr´afico das Equa¸c˜oes (x,y,z) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0,2pi].

Este ponto (x(t), y(t), z(t)) pode ser interpretado também como um vetor: da´ı o nome fun¸cão vetorial, pois estas fun¸cões possuem vetores como imagem.

´

E importante lembrar que vetores podem ser escritos de outra maneira. Ent˜ao a imagem (x(t), y(t), z(t)) da fun¸c˜ao r pode ser escrita como

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (x(t),0,0) + (0,y(t),0) + (0,0,z(t)), isto ´e,

r(t) = x(t)(1,0,0) + y(t)(0,1,0) + z(t)(0,0,1), Utilizando a nota¸c˜ao i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) obtemos

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.

Utilizaremos fonte em negrito para representar vetores: temos em negrito na equa¸c˜ao acima r, i, j e k, que representam vetores de R3_{; j´}_{a t, x, y e z representam n´}_{umeros reais, por isso}

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Defini¸c˜_{ao 1.1.10. Seja D um conjunto qualquer de R. Uma fun¸cão r que associa a cada} n´_{umero real t ∈ D um vetor r = x(t)i + y(t)j de R}2 é dita uma fun¸cão vetorial. As fun¸cões x(t), y(t) são ditas as fun¸cões componente de r.

Analogamente, uma fun¸cão r que associa a cada número real t ∈ D um vetor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k é dita uma fun¸cão vetorial. As fun¸cões x(t), y(t), z(t) são ditas as fun¸cões componente de r.

Trataremos neste texto apenas de fun¸cões vetoriais de duas ou três dimensões. A menos de men¸cão expl´ıcita do contrário, ao representar graficamente uma fun¸cão vetorial, sem-pre adotaremos a resem-presenta¸cão de r(t) que possui seu ponto inicial na origem do espa¸co considerado.

Exemplo 1.1.11. Considere a fun¸c˜ao vetorial

r(t) = cos ti + sen tj + 2k.

Suas fun¸cões componente são x(t) = cos t, y(t) = sen t e z(t) = 2. Como não há men¸cão expl´ıcita ao seu dom´ınio, supomos que ele é o maior conjunto poss´ıvel da reta, isto ´_{e, D = R.} O esbo¸co da curva parametrizada pode ser compreendido de maneira semelhante àquela do Exemplo 1.1.9. As coordenadas x e y dos pontos desta curva satisfazem a equa¸cão x2 _{+ y}2 _{= 1, donde conclu´ımos que os pontos da curva se encontram na dire¸c˜}_{ao deste}

c´ırculo de R2; equivalentemente, podemos dizer que os pontos da curva pertencem ao cilindro x2 _{+ y}2 _{= 1. A componente 2k da fun¸c˜}_{ao r(t) determina que a coordenada z dos pontos}

´

e constante e igual a 2. Conclu´ımos que a fun¸c˜_{ao vetorial r(t) descreve um c´ırculo em R}3 contido no plano z = 2. Veja a Figura 1.4. . .

No exemplo abaixo vemos uma outra técnica para compreender a geometria de curvas parametrizadas: obter uma equa¸cão y = f (x) ou x = g(y) e utilizar as ferramentas de cálculo de fun¸cões de uma variável

(16)

Figura 1.4: Gr´afico das equa¸c˜oes no Exemplo 1.1.11.

Exemplo 1.1.12. Esboce a curva parametrizada definida por r(t) = ti + t2j.

A partir da defini¸cão da fun¸cão vetorial r(t) obtemos as equa¸cões 





x = t, y = t2_.

Substituindo x = t na segunda equa¸cão obtemos y = x2. Com isso provamos que os pontos da curva parametrizada satisfazem a equa¸cão de uma parábola. Como o dom´ınio da fun¸cão r(t) é dado por todos os números reais, a curva parametrizada consiste de toda a parábola y = x2_{. A orienta¸c˜}_{ao pode ser definida ao avaliar r(t) em dois valores t}

1, t2`a escolha ou ainda

observamos que a equa¸cão x = t define a orienta¸cão da curva através do sentido positivo do eixo x. Veja a Figura 1.5. . .

Exerc´ıcio 1.1.13. Esboce ou descreva a trajet´oria da part´ıcula descrita por cada uma das fun¸c˜oes vetoriais abaixo.

(17)

Figura 1.5: Gr´afico das equa¸c˜oes no Exemplo 1.1.12.

(ii) r(t) = −3i + (1 − t2)j + tk. (iii) r(t) = ti + cos tj + sen tk.

Exerc´ıcio 1.1.14. Mostre que o gr´afico da fun¸c˜ao vetorial r(t) = sen ti + 2 cos tj +√3 sen tk ´

e um c´ırculo e determine o seu centro e raio.

Sugest˜ao: Mostre que a curva se situa em uma esfera e tamb´em em um plano.

Importante!

As componentes x(t), y(t) de uma fun¸cão vetorial r(t) = x(t)i + y(t)j são fun¸cões reais de uma variável real, fun¸cões usualmente vistas no curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Logo, embora o conceito de fun¸cão vetorial esteja sendo apresentado aqui, ele é constru´ıdo através de fun¸cões com as quais o aluno já está familiarizado. Este fato será explorado na Se¸cão 1.2.

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1.2 C´

alculo de Fun¸

c˜

oes Vetoriais

Limite e continuidade de fun¸cões vetoriais. As no¸cões apresentadas no restante desta se¸cão de cálculo vetorial para curvas paramétricas são extensões de conceitos de Cálculo Diferencial e Integral de uma variável. O limite lim

t→ar(t) = L em uma curva C parametrizada

por r(t) é definido da seguinte maneira: à medida que o valor do parâmetro t se aproxima de t = a, o vetor r(t) deve se aproximar cada vez mais do vetor L no limite; mais precisamente, a norma kr(t) − Lk se aproxima cada vez mais de zero3_{. Veja as Figuras 1.6 e 1.7.}

Figura 1.6: Limite lim

t→ar(t) = L em curva param´etrica: r(t) cada vez mais pr´oximo de L.

Figura 1.7: Limite lim

t→ar(t) = L em curva param´etrica: kr(t) − Lk se aproxima de zero.

3_{Note que kr(t) − Lk ´}_{e um n´}_{umero real, de modo que a fun¸}_c˜_{ao t 7−→ kr(t) − Lk se enquadra naquelas}

(19)

Defini¸cão 1.2.1. Seja r(t) uma fun¸cão vetorial definida em um intervalo contendo t = a, exceto talvez no ponto t = a. Dizemos que o limite de r(t) quando t se aproxima de a é L se

lim

t→akr(t) − Lk = 0.

Escrevemos neste caso

lim

t→ar(t) = L.

O teorema abaixo afirma que temos o limite acima se e somente se os limites correspon-dentes nas componentes ocorrem. Veja a Figura 1.8. Um resultado análogo é válido para fun¸c˜_{oes vetoriais de R}3.

Teorema 1.2.2. Seja r(t) uma fun¸c˜ao vetorial definida em um intervalo contendo t = a, exceto talvez no ponto t = a.

(i) Se r(t) = x(t)i + y(t)j e L = x0i + y0j, ent˜ao lim

t→ar(t) = L se e somente se

lim

t→ax(t) = x0 e limt→ay(t) = y0.

Em outras palavras, se o limite lim

t→ar(t) existe, ent˜ao

lim t→ar(t) = lim t→ax(t) i +lim t→ay(t) j.

(ii) Se r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k e L = x0i + y0j + z0k, ent˜ao lim

t→ar(t) = L se e somente se

lim

t→ax(t) = x0, limt→ay(t) = y0 e limt→az(t) = z0.

Em outras palavras, se o limite lim

t→ar(t) existe, ent˜ao

lim t→ar(t) = lim t→ax(t) i + lim t→ay(t) j + lim t→az(t) k.

Exemplo 1.2.3. Calcule o limite da fun¸c˜ao vetorial r(t) = t2_{i + e}t_{j − 2 cos(πt)k quando t}

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Figura 1.8: Limite das componentes de uma fun¸c˜ao vetorial: x(t) → x0 e y(t) → y0.

O c´alculo do limite ´e efetuado coordenada a coordenada, de acordo com o Teorema 1.2.2: lim t→0r(t) = lim t→0t 2_{i +}_lim t→0e t_{j −}_lim t→02 cos(πt) k = 0i + 1j − 2k. . . .

Note que o limite limt→ar(t) calculado no Exemplo 1.2.3 ´e igual simplesmente ao valor

de r(a). Esta propriedade é esperada no caso do deslocamento de part´ıculas: à medida que analisamos um instante de tempo cada vez mais próximos de t = a, esperamos que a posi¸cão da part´ıcula se aproxime cada vez mais de r(a), isto é, sua posi¸cão no instante t = a. Diremos também no caso de fun¸cões vetoriais que tais fun¸cões são cont´ınuas em t = a.

Defini¸cão 1.2.4. Seja r(t) uma fun¸cão vetorial definida em um intervalo contendo t = a. Dizemos que r(t) é cont´ınua em t = a se

lim

t→ar(t) = r(a).

Dizemos que r é cont´ınua em um conjunto A se r é cont´ınua em todo ponto t ∈ A. Dizemos que r é cont´ınua se r é cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio.

(21)

Diferenciabilidade. A defini¸cão de derivada de fun¸cões vetoriais é análoga àquela de fun¸cões reais de uma variável, e possui também a mesma motiva¸cão. A derivada r0(t) re-presenta fisicamente a velocidade de uma part´ıcula que se desloca ao logo de uma curva C de acordo com a parametriza¸cão r(t). Entretanto, como a trajetória desta part´ıcula não é necessariamente retil´ınea, sua velocidade deve ser representada por um vetor, e não apenas por um escalar : a velocidade deve ser fornecida através de sua magnitude, dire¸cão e sentido. De fato, definimos a derivada r0(t) como um vetor, e não como um número real.

A defini¸cão de derivada de uma fun¸cão vetorial, constru´ıda também através de um pro-cesso de limite, é ilustrada na Figura 1.9. A diferen¸ca r(t + h) - r(t) indica o vetor desloca-mento no intervalo de tempo [t, t + h]. O quociente

r(t + h) − r(t) h

representa, num certo sentido, o vetor velocidade m´edia da part´ıcula no intervalo [t,t + h]. O limite deste quociente quando h se aproxima de zero fornece a velocidade instantˆanea no instante de tempo t.

Defini¸cão 1.2.5. Seja r(t) uma fun¸cão vetorial definida em um intervalo contendo t = a. A derivada de r(t) em t = a é definida como o vetor

r0(a) = lim

h→0

r(a + h) − r(a)

h ,

se o limite existir. Dizemos nesse caso que r(t) é diferenciável em t = a. O dom´ınio da fun¸cão derivada r0(t) consiste do conjunto de todos os valores reais t para os quais a fun¸cão r0(t) está bem definida.

Utilizamos a nota¸c˜ao usual para derivada: r0(t), r0, dr

dt ou d dt[r(t)].

(22)

Figura 1.9: Quociente que define a derivada de uma fun¸c˜ao vetorial.

Importante!

A derivada r0(t) de uma fun¸cão vetorial r é um vetor, e não um número real.

Verificamos agora que a derivada de uma fun¸cão vetorial também pode ser escrita com-ponente a comcom-ponente. Note que, se r(t) = x(t)i + y(t)j, então

r(t + h) − r(t)

h =

[x(t + h)i + y(t + h)j] − [x(t)i + y(t)j]

h , isto ´e, r(t + h) − r(t) h = (x(t + h) − x(t)) i + (y(t + h) − y(t)) j h .

Segue que se o limite que define a derivada r0(t) existe, então ele é dado por r0(t) = lim h→0 x(t + h) − x(t) h i + lim h→0 y(t + h) − y(t) h j. Os limites em parênteses definem a derivada das fun¸cões componente, logo

r0(t) = dx dt i + dy dt j. (1.4)

(23)

Teorema 1.2.6. Seja r(t) uma fun¸c˜ao vetorial definida em um intervalo contendo t = a. (i) Se r(t) = x(t)i + y(t)j, ent˜ao

r0(t) = dx dt i + dy dt j.

(ii) Se r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, ent˜ao r0(t) = dx dt i + dy dt j + dz dt k.

Exemplo 1.2.7. Considere a fun¸c˜ao vetorial r(t) =√ti + (2 − t)j.

(i) Calcule a derivada de r0(1).

(ii) Esboce a curva representada por r(t) e o vetor r0(1).

Segue do Teorema 1.2.6 que a fun¸c˜ao derivada r0(t) ´e dada por r0(t) = 1 2√t i + (−1) j, logo, r0(1) = 1 2i − j.

O vetor derivada r0(1) e a curva parametrizada por r(t) se encontram esbo¸cados na Figura 1.10. . .

Algumas regras de deriva¸cão de fun¸cões reais de uma variável real também se aplicam no caso de fun¸cões vetoriais; isto é uma consequência direta do Teorema 1.2.6.

(24)

Figura 1.10: Vetor derivada do Exemplo 1.2.7.

Teorema 1.2.8. Sejam r1(t), r2(t) fun¸cões vetoriais diferenciáveis em t = a. Então:

(i) d

dt[c] = 0, para todo vetor c; (ii) d

dt[kr1(t)] = k d

dt[r1(t)], para todo n´umero real k; (iii) d dt[r1(t) + r2(t)] = d dt[r1(t)] + d dt[r2(t)]; (iv) d dt[r1(t) − r2(t)] = d dt[r1(t)] − d dt[r2(t)]; (v) d dt[f (t)r1(t)] = d dt[f (t)]r1(t)+f (t) d

dt[r1(t)], para toda fun¸c˜ao escalar diferenci´avel f (t); (vi) d dt[r1(t) · r2(t)] = d dt[r1(t)] · r2(t) + r1(t) · d dt[r2(t)]; (vii) d dt[r1(t) × r2(t)] = d dt[r1(t)] × r2(t) + r1(t) × d dt[r2(t)].

Voltamos agora a nossa aten¸cão para as propriedades geométricas da derivada r0(t) de uma fun¸cão vetorial. A Figura 1.11 sugere que o vetor deslocamento r(t + h) − r(t), em verde, tem a sua dire¸cão cada vez mais próxima da reta tangente à curva no ponto r(t), em laranja. Ter´ıamos assim no limite quando h → 0 um vetor r0(t) que tem a mesma dire¸cão da reta tangente. Além disso, a Figura 1.11 indica que o vetor r(t + h) representa a posi¸cão

(25)

de uma part´ıcula num instante de tempo posterior a t, logo a posi¸cão desta part´ıcula se encontra mais à frente na trajetória representada pela curva parametrizada por r(t). Então os vetores r(t + h) − r(t) e 1_h(r(t + h) − r(t)) sempre têm o sentido definido pela orienta¸cão da curva; segue que o vetor r0(t) tem esta mesma propriedade. Este argumento motiva a defini¸cão abaixo.

Figura 1.11: Dire¸c˜ao limite da derivada de uma fun¸c˜ao vetorial.

Defini¸cão 1.2.9. Seja r(t) uma fun¸cão vetorial definida em um intervalo contendo t = a e seja C a curva gráfico de r. Se r0(a) existe e r0(a) 6= 0, dizemos que r0(a) é o vetor tangente a C em r(a). O vetor tangente unitário a C em r(a) é definido como

T(a) = r

0_(a)

kr0_(a)k.

Dizemos que a reta contendo r(a) e com vetor diretor r0(a) ´e a reta tangente a C em r(a). Argumentos de Geometria Anal´ıtica mostram que, se C ´_{e uma curva de R}3 _{parametrizada}

por parametrizada por r(t), ent˜ao a reta tangente a C no ponto r(a) ´e dada por

(x,y,z) = r(a) + t · r0(a). (1.5)

Note que na equa¸cão acima a mesma variável t, que representa o parâmetro da curva C, é utilizada como parâmetro na equa¸cão vetorial da reta tangente.

(26)

Exerc´ıcio 1.2.10. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva C parametrizada por r(t) = t2_{i + t}3_{j no ponto r(1).}

Segue do Teorema 1.2.6 que a fun¸c˜ao derivada r0(t) ´e dada por r0(t) = 2ti + 3t2j,

logo,

r0(1) = 2i + 3j.

A reta tangente contém o ponto r(1) = (1,1) e possui vetor diretor r0(1) = (2,3), logo sua equa¸cão vetorial é dada por

(x,y) = r(1) + t · r0(1) = (1,1) + t(2,3) = (1 + 2t, 1 + 3t).

A seguir obtermos a equa¸c˜ao da reta tangente em sua forma usual. Podemos a partir da equa¸c˜ao acima obter o seguinte do sistema:

   x = 1 + 2t, y = 1 + 3t, ⇐⇒    t = 1₂(x − 1), y = 1 + 3t. Substituindo a primeira equa¸c˜ao na segunda obtemos

y = 1 + 3 2(x − 1), isto ´e, y = 3 2x − 1 2.

Exerc´ıcio 1.2.11. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva C parametrizada por r(t) = (1 + 2√t)i + (t3_{− t)j + (t}3_{+ t)k no ponto (3,0,2).}

A derivada de fun¸cões vetoriais também possui a seguinte propriedade: se kr(t)k é cons-tante em um certo intervalo, então r0(t) é sempre ortogonal ao vetor posi¸cão r(t). A condi¸cão sobre kr(t)k possui a seguinte interpreta¸cão: se kr(t)k = c dentro de um certo intervalo, para algum c > 0, então a trajetória da part´ıcula associada está restrita ao c´ırculo de raio c e centro na origem; neste caso o vetor posi¸cão r(t) é radial e o vetor derivada r0(t) é tangente

(27)

ao c´ırculo, donde conclu´ımos que r(t) e r0(t) são ortogonais. Veja a Figura 1.12: nela temos ilustrada uma curva C onde seu trecho com kr(t)k constante está destacado com tra¸cado cont´ınuo, enquanto o restante da curva está apenas pontilhado.

Figura 1.12: Dire¸c˜ao limite da derivada de uma fun¸c˜ao vetorial.

Teorema 1.2.12. Seja r(t) uma fun¸cão vetorial diferenciável em t = a. Se kr(t)k é constante em um intervalo contendo t = a, então r0(t) é ortogonal a r(t), isto é,

r0(t) · r(t) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Note que o item (vi) do Teorema 1.2.8 fornece, para r1 = r2 = r,

d dt[r(t) · r(t)] = d dt[r(t)] · r(t) + r(t) · d dt[r(t)] = 2r(t) · r 0 (t). (1.6)

Por outro lado, temos que r(t) · r(t) = kr(t)k2_{. Como kr(t)k ´}_{e constante em torno de t = a}

por hip´otese, e portanto kr(t)k2 tamb´em, temos d

dtkr(t)k

2 ₌ d

dt[r(t) · r(t)] = 0. (1.7)

Segue das Equa¸c˜oes (1.6) e (1.7) que

2r(t) · r0(t) = 0, como gostar´ıamos.

(28)

Neste texto evitaremos, de um modo geral, curvas com um comportamento errático. Nos restringiremos a curvas suaves, de acordo com a Defini¸cão 1.2.13 abaixo. O Exerc´ıcio ?? ilustra o que pode ocorrer quando a Defini¸cão 1.2.13 não é atendida.

Defini¸c˜_{ao 1.2.13. Seja C uma curva de R}n _{parametrizada por uma fun¸c˜}_{ao vetorial r(t).}

Dizemos que C ´e uma curva suave se:

(i) as fun¸c˜oes componente de r tˆem derivadas cont´ınuas; (ii) r0(t) 6= 0 para todo t.

Dizemos nesse caso que r é fun¸cão vetorial suave ou uma parametriza¸cão lisa de C. Exemplo 1.2.14. Determine se as fun¸cões vetoriais abaixo são suaves ou não.

(i) r1(t) = a cos ti + a sen tj + ctk, para a,c > 0.

(ii) r2(t) = t2i + t3j.

A fun¸cão vetorial r1 possui fun¸cões coordenada infinitamente diferenciáveis para todo

valor de t, logo a condi¸cão (i) da Defini¸cão 1.2.13 é satisfeita. Seu vetor derivada é dado por r0₁(t) = −a sen ti + a cos tj + ck,

de modo que r0₁(t) = 0 se e somente se          −a sen t = 0, a cos t = 0, c = 0.

Este sistema não tem solu¸cão: além de c = 0 não ocorrer por hipótese, não é poss´ıvel termos sen t = cos t = 0 para algum valor de t. Segue que r1 é fun¸cão vetorial suave.

(29)

A curva r2 também tem fun¸cões coordenada infinitamente diferenciáveis, no entanto r0₂(t) = 0 se e somente se    2t = 0, 3t2 _{= 0.}

Este sistema possui solu¸cão t = 0, isto é, temos r0₂(0) = 0. A fun¸cão vetorial r2 não é

portanto suave. Veja na Figura 1.13 o que ocorre no ponto r2(0): a joaninha se desloca

pelo quarto quadrando em dire¸cão à origem e tem uma mudan¸ca de dire¸cão não-natural no ponto r2(0). Podemos entender que esta é a razão da não-suavidade de r2 e da curva

correspondente. . .

Figura 1.13: Curva parametrizada por r(t) = t2_{i + t}3_j.

Integrais de fun¸cões vetoriais. Vimos que se uma part´ıcula se desloca no plano ou no espa¸co de acordo com uma fun¸cão vetorial r(t), t ∈ [a,b], então seu vetor velocidade no instante de tempo t é dado por r0(t). Mas se temos uma expressão para o vetor velocidade r0(t), é poss´ıvel obter a fun¸cão vetorial r(t) que descreve a posi¸cão da part´ıcula? Abordamos este problema com o conceito de integral indefinida de fun¸cões vetoriais, mas primeiramente definimos a integral definida.

A integral definida de uma fun¸cão vetorial em um intervalo a ≤ t ≤ b é definida através de um processo semelhante àquele de fun¸cões reais de uma variável real. Particionamos o

(30)

intervalo [a,b] de acordo com pontos a = t0, t1, . . . , tn−1, tn = b, onde tk − tk−1 = ∆t =

(b − a)/n, e escolhemos um ponto t∗_k em cada intervalo [tk−1, tk]. O limite da soma de

Riemann

n

X

k=1

r(t∗_k)∆tk

quando n se aproxima de infinito fornece a defini¸c˜ao desejada.

Defini¸cão 1.2.15. Seja r(t) uma fun¸cão vetorial cont´ınua no intervalo a ≤ t ≤ b. A integral definida de r(t) no intervalo [a,b] é definida como

b a r(t) dt = lim n→∞ n X k=1 r(t∗_k)∆tk, se o limite existir.

A integral definida da Defini¸cão 1.2.15 pode ser calculada também componente a com-ponente. De fato, seja r(t) = x(t)i + y(t)j uma fun¸c˜_{ao vetorial de R}2. Então,

n X k=1 r(t∗_k)∆tk= n X k=1 (x(t∗_k)i + y(t∗_k)j)∆tk = n X k=1 (x(t∗ k)∆tk)i + (y(t∗k)∆tk)j, isto ´e, n X k=1 r(t∗_k)∆tk= n X k=1 (x(t∗_k)∆tk)i + n X k=1 (y(t∗_k)∆tk)j.

O limite de uma fun¸cão vetorial é dado pelo limite de suas fun¸cões coordenadas, então b a r(t) dt = lim n→∞ n X k=1 r(t∗_k)∆tk= lim n→∞ n X k=1 x(t∗_k)∆tk ! i + lim n→∞ n X k=1 y(t∗_k)∆tk ! j. Em cada coordenada na equa¸cão acima temos a defini¸cão de integral definida de uma fun¸cão de uma variável real. Portanto,

b a r(t) dt = b a x(t) dt i + b a y(t) dt j. (1.8)

Um argumento an´alogo prova o mesmo resultado para fun¸c˜_{oes vetoriais de R}3_{: se r(t) =}

x(t)i + y(t)j + z(t)k, ent˜ao b a r(t) dt = b a x(t) dt i + b a y(t) dt j + b a z(t) dt k. (1.9)

(31)

Exemplo 1.2.16. Calcule a integral da fun¸c˜ao vetorial r(t) = t2i + etj − (2 cos(πt))k no intervalo [0,1].

Segue da Equa¸c˜ao (1.8) que 1 0 r(t) dt = 1 0 t2dt i + 1 0 etdt j + 1 0 [−2 cos(πt)] dt k, onde 1 0 t2dt = t 3 3 1 0 = 1 3, 1 0 etdt = et 1 0 = e − 1, e, usando a substitui¸c˜ao u = πt =⇒ du = π dt, 1 0 [−2 cos(πt)] dt = −2 πsen(πt) 1 0 = 0. Segue que 1 0 r(t) dt = 1 3i + (e − 1)j + 0k. . . .

A integral definida de fun¸cões vetoriais satisfaz propriedades semelhantes àquelas que temos no caso escalar, também devido ao fato de que o cálculo da integral pode ser feito coordenada a coordenada.

Teorema 1.2.17. Sejam r1(t), r2(t) fun¸c˜oes vetoriais de Rn e suponha que r1(t), r2(t) s˜ao

cont´ınuas no intervalo [a,b]. Ent˜ao: (i) b a kr1(t) dt = k b a

r1(t) dt, para todo n´umero real k;

(ii) b a [r1(t) + r1(t)] dt = b a r1(t) dt + b a r2(t) dt; (iii) b a [r1(t) − r1(t)] dt = b a r1(t) dt − b a r2(t) dt.

(32)

Também temos o conceito de integrais indefinidas para fun¸cões vetoriais. Dizemos que R(t) é uma antiderivada da fun¸cão vetorial r(t) se

R0(t) = r(t).

A integral indefinida de r(t) representa a classe de fun¸c˜oes cuja derivada coincide com r(t),

isto ´e,

r(t) dt = R(t) + C, (1.10)

onde C ´e uma constante vetorial. Veja no exerc´ıcio a seguir a interpreta¸c˜ao f´ısica desta constante vetorial.

Exemplo 1.2.18. Uma part´ıcula se encontra no instante de tempo t = 0 no ponto (x0, y0)

do plano e inicia um deslocamento com velocidade constante v(t) = (a,b) unidades de tempo por segundo. Encontre a parametriza¸c˜ao r(t) de sua trajet´oria.

Temos que v(t) = r0(t). Devemos encontrar a fun¸c˜ao r(t) cuja derivada coincide com v(t), isto ´e, r(t) = v(t) dt = [ai + bj] dt.

A integral de fun¸cões vetoriais é calculada coordenada a coordenada, então r(t) = a dt i + b dt j = (at + C1)i + (bt + C2)j.

O dom´ınio da fun¸cão r(t) é dado por t ∈ [0, +∞). As constantes de integra¸cão C1, C2 podem

ser obtidas da seguinte maneira: sabemos que a posi¸c˜ao r(0) da part´ıcula no instante t = 0 ´

e dada por (x0, y0), logo, usando a express˜ao r(t) = (at + C1)i + (bt + C2)j,

(x0, y0) = r(0) = C1i + C2j.

Conclu´ımos que C1 = x0 e C2 = y0, de modo que a fun¸c˜ao r(t) ´e dada por

r(t) = (x0+ at)i + (y0+ bt)j, t ≥ 0.

(33)

No teorema abaixo temos versões vetoriais do Teorema Fundamental do Cálculo. Teorema 1.2.19. Seja r(t) uma fun¸c˜_{ao vetorial cont´ınua de R}n. Então:

d dt r(t) dt = r(t), e, se R(t) é uma primitiva de r(t), b a r0(t) dt = R(t) b a = R(b) − R(a). Se r(t) é diferenciável, então

r0(t) dt = r(t) + C.

1.3 Comprimento de Arco

Considere uma part´ıcula ou um inseto se deslocando ao longo de uma curva C parametrizada por uma fun¸cão vetorial r(t), como na Figura 1.2. Vejamos agora como podemos expressar a distância percorrida por esta part´ıcula em um intervalo de tempo [a,b]: esta quantidade é também chamada de comprimento de arco de C de t = a até t = b. Seja r(t) = f (t)i + g(t)j, para t ∈ [a,b], uma parametriza¸cão suave da curva C. Consideramos uma parti¸cão do intervalo [a,b] de acordo com pontos a = t0, t1, . . . , tn−1, tn = b, onde tk − tk−1 = ∆t =

(b − a)/n. Sejam P0, P1, . . . , Pn a imagem de cada um dos pontos da parti¸c˜ao, isto ´e, Pk =

r(tk) = (xk, yk), t = 0, 1, . . . , n. Veja a Figura 1.14.

O comprimento de arco L de C é definido como o limite das aproxima¸cões poligonais ilustradas pelas Figuras 1.14 e 1.15. Cada aproxima¸cão é definida pela soma do comprimento dos segmentos Pk−1Pk, de modo que definimos

L = lim n→∞ n X k=1 kPk−1Pkk. (1.11)

(34)

Figura 1.14: Defini¸c˜ao de comprimento de arco.

Figura 1.15: Defini¸c˜ao de comprimento de arco.

Note que kPk−1Pkk = p(xk− xk−1)2+ (yk− yk−1)2. Denotando xk− xk−1 = ∆xk e yk−

yk−1= ∆yk, temos

kPk−1Pkk =

q ∆x2

k+ ∆yk2. (1.12)

Como r(t) = f (t)i + g(t)j, podemos escrever ∆xk = f (tk) − f (tk−1). Como f ´e diferenci´avel

no intervalo [tk−1, tk], segue do Teorema do Valor M´edio que

∆xk = f (tk) − f (tk−1) = f0(t∗k)(tk− tk−1) = f0(t∗k)∆t, (1.13)

onde t∗_k ∈ (tk−1, tk). Analogamente temos

∆yk= g0(t∗∗k )∆t, (1.14)

onde t∗∗_k ∈ (tk−1, tk). Segue das Equa¸c˜oes (1.12), (1.13) e (1.14) que

kPk−1Pkk = q [f0_(t∗ k)∆t]2+ [g0(t ∗∗ k )∆t]2 = q [f0_(t∗ k)]2+ [g0(t ∗∗ k )]2∆t.

Segue da Equa¸c˜ao (1.11) e da defini¸c˜ao de comprimento de arco que L = lim n→∞ n X k=1 q [f0_(t∗ k)]2+ [g0(t ∗∗ k )]2∆t. ´

E poss´ıvel provar que o limite acima existe quando f0 e g0 s˜ao cont´ınuas e, al´em disso, L =

b a

p

(35)

Teorema 1.3.1. Seja C uma curva de Rn _{e seja r(t), para t ∈ [a,b], uma parametriza¸c˜}_{ao de}

C cujas fun¸c˜oes coordenadas possuem derivada cont´ınua. Suponha que C ´e percorrida uma ´

unica vez pela parametriza¸cão r(t). Então o comprimento de arco de C é dado por L =

b a

kr0(t)k dt.

Exemplo 1.3.2. Calcule o comprimento de arco da curva r(t) = 1i + t2_{j + t}3_{k de t = 0 at´}_e

t = 1.

Temos r0(t) = 0i + 2tj + 3t2_{k, logo}

kr0(t)k =p02_{+ (2t)}2 _{+ (3t}2₎2 ₌√_4t2_{+ 9t}4_.

Segue do Teorema 1.5.2 que

L = 1

0

√

4t2_{+ 9t}4_dt.

Podemos reescrever o integrando acima como √ 4t2_{+ 9t}4 ₌ s 4t2 1 + 9t 2 4 = 2|t| r 1 + 9t 2 4 . Como |t| = t no intervalo de integra¸c˜ao [0,1], temos

L = 1 0 2t r 1 + 9t 2 4 dt. Através da substitui¸cão u = 1 + 9t2_{/4 =⇒ du =} 9t 2 dt conclu´ımos que L = 4 9 2 3 1 + 9t 2 4 3/2 1 0 = 8 27 133/2 8 − 1 . . . . Exemplo 1.3.3. Determine o valor da constante c de modo que comprimento de arco da hélice r(t) = cos ti + sen tj + ctk, c > 0 de t = 0 até t = 2π seja igual a 8π.

(36)

Temos r0(t) = − sen ti + cos tj + ck, logo

kr0(t)k =√sen2_{t + cos}2_{t + c}2 ₌√_{1 + c}2_.

Segue do Teorema 1.5.2 que L = 2π 0 √ 1 + c2_{dt = 2π}√_{1 + c}2_. Temos L = 8π se e somente se 2π√1 + c2 _{= 8π ⇐⇒}√_{1 + c}2 _{= 4 ⇐⇒ 1 + c}2 _{= 16 ⇐⇒ c = ±}√_15.

Como c ´e uma constante positiva por hip´otese, segue que c =√_{15. . .}

Exerc´ıcio 1.3.4. Explique como diferentes valores da constante c do Exemplo 1.3.3 inter-ferem na geometria da respectiva curva.

Exerc´ıcio 1.3.5. Calcule o comprimento de arco da curva r(t) = eti + e−tj +√2tk de t = 0 at´e t = 1.

Mudan¸ca de parˆametro. Considere part´ıculas que se deslocam no plano de acordo com as fun¸c˜oes vetoriais abaixo:

r1(t) = ti + t2j, t ∈ [0,1], r2(t) = ₂ti + t 2 4j, t ∈ [0,2], r3(t) = 2ti + 4t2j, t ∈ [0,1₂], r4(t) = t2i + t4j, t ∈ [0,1]. (1.15)

Note que as fun¸cões componente das três fun¸cões vetoriais satisfazem a equa¸cão y = x2_{, logo}

r1, r2 e r3 descrevem um peda¸co desta par´abola; temos ainda o ponto inicial (0,0) e ponto

final (1,1) em todos os casos. Em outras palavras, as fun¸cões vetoriais nas Equa¸cões (1.15) representam parametriza¸cões diferentes da mesma curva C. Mais precisamente, podemos

(37)

enxergar r2(t), r3(t) e r4(t) como fun¸c˜oes vetoriais obtidas a partir de r1(t) atrav´es de uma

mudan¸ca de parâmetro: uma mudan¸ca de parâmetro em uma fun¸cão vetorial r(t) é uma mudan¸ca de variáveis t = g(τ ) que produz uma nova fun¸cão vetorial ˜r(τ ) = r(g(τ )) com o mesmo gráfico, mas percorrido possivelmente de uma maneira diferente. Veja o exemplo abaixo.

Exemplo 1.3.6. Considere a curva C com parametriza¸c˜ao r(t) = cos ti + sen tj + tk, t ∈ [0, 2π].

Veja a Figura 1.16. A mudan¸ca de parâmetro τ = t/2 ⇐⇒ t = 2τ fornece uma fun¸cão vetorial cuja gráfico coincide com a curva C da Figura 1.16:

˜

r(τ ) = r(2τ ) = cos(2τ )i + sen(2τ )j + 2τ k, τ ∈ [0,π].

Em ambos os casos temos x2 _{+ y}2 _{= 1, indicando que os pontos dos respectivos gr´}_{aficos se}

encontram na superf´ıcie do cilindro da Figura 1.16. Al´em disso, em ambas parametriza¸c˜oes temos ponto inicial (1,0,0) e ponto terminal (1,0,2π) . . .

Figura 1.16: Curva C com parametriza¸c˜ao r(t) = cos ti + sen tj + tk, t ∈ [0, 2π].

Nos encontramos então diante da seguinte pergunta: qual a diferen¸ca em um movimento parametrizado pelas fun¸cões vetoriais r1, . . . , r4 das Equa¸cões (1.15)? Qual a rela¸cão entre as

(38)

parametriza¸cões r(t) e ˜r(t) no Exemplo 1.3.6? Podemos entender esta situa¸cão da seguinte maneira: estas fun¸cões vetoriais descrevem part´ıculas em deslocamento ao longo da mesma estrada (isto é, a mesma curva), porém com a velocidade e a acelera¸cão evoluindo de maneira diferentes ao longo do percurso. Observe o dom´ınio das fun¸cões vetoriais nas Equa¸cões (1.15): um dom´ınio maior para a variável t pode ser interpretado como um intervalo de tempo maior para percorrer um dado trajeto. Compreendemos melhor esta ideia com o teorema abaixo, que fornece uma rela¸cão entre os vetores derivada (vetores velocidade) de diferentes parametriza¸cões de uma mesma curva.

Teorema 1.3.7. Seja r(t) uma fun¸c˜_{ao vetorial de R}n _diferenci´_{avel com rela¸c˜}_{ao a t. Se}

t = g(τ ) é uma mudan¸ca de parâmetro diferenciável com rela¸cão a τ , então ˜r(τ ) = r(g(τ )) ´

e diferenci´avel com rela¸c˜ao a τ e

d˜r dτ = dr dt dt dτ.

O Teorema 1.3.7 relaciona, atrav´es da regra da cadeia, os vetores derivada d˜r dτ e

dr dt. Estes vetores representam o vetor velocidade nas respectivas parametriza¸c˜oes, de modo que o Teorema 1.3.7 pode ser interpretado da seguinte maneira: o novo vetor velocidade d˜r

dτ ´e dado pelo vetor velocidade original dr

dt multiplicado por dt dτ.

Vejamos agora como o Teorema 1.3.7 pode ser utilizado para interpretar as fun¸cões ve-toriais nas Equa¸cões (1.15). Reescrevemos r2, r3 e r4 como fun¸cões de τ para compará-las

com a fun¸c˜ao vetorial r1, como no Teorema 1.3.7:

r1(t) = ti + t2j, t ∈ [0,1], r2(τ ) = τ 2i + τ2 4 j, τ ∈ [0,2], r3(τ ) = 2τ i + 4τ2j, τ ∈ [0,1₂], r4(τ ) = τ2i + τ4j, τ ∈ [0,1].

(39)

Podemos agora reescrever cada uma das fun¸c˜oes vetoriais r2(τ ), r3(τ ) e r4(τ ) como r1(g(τ )): r2(τ ) = r1(t) t=τ /2 =⇒ t = g(τ ) = τ 2 =⇒ dt dτ = 1 2, r3(τ ) = r1(t) t=2τ =⇒ t = g(τ ) = 2τ =⇒ dt dτ = 2, r4(τ ) = r1(t) t=τ2 =⇒ t = g(τ ) = τ 2 _=⇒ dt dτ = 2τ. Segue do Teorema 1.3.7 que

dr2 dτ = 1 2 dr1 dt , dr3 dτ = 2 dr1 dt e dr4 dτ = 2τ dr1 dt .

Estas equa¸c˜oes podem ser interpretadas da seguinte maneira: uma part´ıcula com desloca-mento parametrizado por r2(τ ) se desloca com metade da velocidade de daquela

parametri-zada por r1(t). Analogamente, uma part´ıcula com deslocamento parametrizado por r3(τ )

tem o dobro da velocidade daquela parametrizada por r1(t). A rela¸c˜ao observada no caso de

r4(τ ) pode ser interpretada de maneira semelhante.

Exemplo 1.3.8. Encontre uma mudan¸ca de parˆametro t = g(τ ) para o c´ırculo C : r(t) = cos ti + sen tj, t ∈ [0, 2π],

tal que:

(i) o c´ırculo é percorrido no sentido anti-horário à medida que τ cresce no intervalo [0,1]; (ii) o c´ırculo é percorrido no sentido horário à medida que τ cresce no intervalo [0,2π]. (iii) o c´ırculo é percorrido no sentido horário à medida que τ cresce no intervalo [0,1].

No item (i) desejamos encontrar uma mudan¸ca de parˆametro t = g(τ ) tal que ˜r1(τ ) tenha

a mesma orienta¸c˜ao de r(t) mas percorra o mesmo trajeto no intervalo τ ∈ [0,1]. Devemos ter a seguinte correspondˆencia:

t = 0 ⇐⇒ τ = 0, t = 2π ⇐⇒ τ = 1.

(40)

A escolha mais simples para a fun¸cão g que satisfaz essas condi¸cões é t = g(τ ) = 2πτ , fornecendo

˜

r1(τ ) = cos(2πτ )i + sen(2πτ )j, τ ∈ [0,1].

Note que o Teorema 1.3.7 fornece neste caso dt

dτ = 2π, indicando que os vetores derivadas são múltiplos positivos um do outro, indicando que possuem a mesma dire¸cão e sentido. A derivada positiva dt

dτ indica que t é fun¸cão crescente de τ neste caso: veja a Figura ??. No caso do item (ii) desejamos percorrer a curva com orienta¸cão contrária no mesmo intervalo τ ∈ [0,2π]. Devemos então ter o ponto inicial de r(t) coincidindo com o ponto final de ˜r2(τ ) e vice-versa:

t = 0 ⇐⇒ τ = 2π, t = 2π ⇐⇒ τ = 0. A fun¸c˜ao t = g(τ ) = 2π − τ satisfaz estas condi¸c˜oes:

˜

r2(τ ) = cos(2π − τ )i + sen(2π − τ )j, τ ∈ [0,2π].

Destacamos que neste caso temos dt

dτ = −1, indicando vetores velocidade com mesma dire¸cão mas sentidos opostos (Teorema 1.3.7). Neste caso t é fun¸cão decrescente de τ , como indicado na Figura 1.17.

A parametriza¸c˜ao ˜r3(τ ) do item (iii) pode ser obtida a partir de ˜r2(τ ), que reescrevemos

como

˜

r2(t) = cos(2π − t)i + sen(2π − t)j, t ∈ [0,2π].

por ser o “ponto de partida” de nossa mudan¸ca de parˆametro. Como desejamos percorrer a curva no intervalo [0,1], devemos ter

t = 0 ⇐⇒ τ = 0, t = 2π ⇐⇒ τ = 1,

de modo que escolhemos, como no item (i), a mudan¸ca de parˆametro t = g(τ ) = 2πτ aplicada `

a fun¸cão ˜r2(t) do item (ii), que já possui a orienta¸cão desejada:

˜

(41)

Esta mudan¸ca poderia ter sido efetuada diretamente a partir da fun¸c˜ao r(t) do enunciado como t = g(τ ) = 2π − 2πτ = 2π(1 − τ ). . .

Figura 1.17: Mudan¸cas de parˆametro do Exemplo 1.3.8.

Exerc´ıcio 1.3.9. Considere a fun¸c˜ao vetorial r(t) = et_{i + 4e}−t_{j e a fun¸c˜}_{ao ˜}_{r(τ ) obtida pela}

mudan¸ca de parˆametro t = τ2_{. Calcule a derivada} dr

dτ utilizando a regra da cadeia e compare com o resultado obtido ao calcular a derivada diretamente ap´os expressar r em fun¸c˜ao de τ .

Dizemos que uma mudan¸ca de parâmetro t = g(τ ) é uma mudan¸ca de parâmetro suave se r(t) suave implica em r(g(τ )) suave. Isto ocorre se dt

dτ ´e cont´ınua e n˜ao nula para todos os valores de τ . Segue que a derivada dt

dτ apresenta um dos dois seguintes comportamentos.

(i) Temos dt

dτ > 0 para todo valor de τ , caso em que dizemos que t = g(τ ) é uma mudan¸ca de parâmetro positiva; neste caso a orienta¸cão da curva é mantida.

(ii) Temos dt

dτ < 0 para todo valor de τ , caso em que dizemos que t = g(τ ) é uma mudan¸ca de parâmetro negativa; neste caso a orienta¸cão da curva é invertida.

Comprimento de arco como parâmetro. Considere uma fam´ılia está viajando de carro ao longo de um trajeto especificado. A parametriza¸cão do deslocamento desta fam´ılia associa

(42)

a cada instante de tempo t o ponto r(t) em que ela se encontra dentro de sua trajet´oria:

(tempo transcorrido) (localiza¸c˜ao da part´ıcula)

t 7−→ r(t).

(1.16)

Mas podemos, no entanto, nos perguntar: onde a fam´ılia se encontra depois de skm percor-ridos? Nesta situa¸cão desejamos determinar a posi¸cão da “part´ıcula” a partir da distância s percorrida, e não a partir do tempo t transcorrido:

(distˆancia percorrida) (localiza¸c˜ao da part´ıcula)

s 7−→ ˜r(s).

(1.17)

Note que em (1.17) estamos utilizando um parâmetro diferente na fun¸cão vetorial: nela estamos utilizando como parâmetro o comprimento de arco; em outras palavras, esta é a parametriza¸cão por comprimento de arco da curva original4_.

A parametriza¸c˜ao por comprimento de arco de uma curva qualquer do plano pode ser definida da seguinte maneira:

1. Escolha um ponto P0 qualquer como referencial na curva (em geral o ponto inicial).

2. Dentre as dire¸c˜oes em que uma part´ıcula pode se deslocar sobre a curva a partir de P0,

defina uma delas como a dire¸c˜ao positiva e a outra como a dire¸c˜ao negativa.

3. Associe a qualquer ponto P da curva o comprimento de arco s de P0 a P ; s carregar´a

o sinal positivo se P se encontra na dire¸c˜ao positiva fixada no Item 2 acima, e o sinal negativo caso contr´ario.

Veja a Figura 1.18.

4_{O comprimento de arco ´}_{e uma grandeza geom´}_{etrica que n˜}_{ao depende do sistema de coordenadas utilizado.}

Por este motivo pode ser interessante utilizar o comprimento de arco, conforme apresentado no Teorema 1.3.1, como parˆ_{ametro para uma curva de R}n_.

(43)

Figura 1.18: Parametriza¸c˜ao por comprimento de arco de uma curva qualquer.

A seguir apresentamos um método geral para obter a parametriza¸cão de uma curva parametrizada de acordo com o comprimento de arco. Seja C uma curva suave de Rn e seja r(t), para t ∈ [a,b], uma parametriza¸cão suave de C. A parametriza¸cão r(t) fornece a posi¸cão da part´ıcula como fun¸cão do instante de tempo t escolhido, como em (1.16). Para obter a parametriza¸cão em (1.17), faremos uma mudan¸ca de parâmetro t = g(s) na fun¸cão r(t): informada a distância percorrida s, o método que apresentamos determina o instante de tempo t = g(s) em que essa a¸cão foi conclu´ıda; a substitui¸cão de t = g(s) na parametriza¸cão original r(t) fornecerá a posi¸cão r(g(s)) = ˜r(s) desejada da part´ıcula.

De acordo com o procedimento ilustrado na Figura 1.18, desejamos adotar um ponto de referência na curva para a parametriza¸cão por comprimento de arco. Sejam t = a e r(a) respectivamente o instante de tempo e a posi¸cão referência para a nova parametriza¸cão. O comprimento de arco s(t) de r(a) até um ponto r(t) qualquer da curva é dado pelo Teorema 1.3.1:5

s = s(t) = t

a

kr0_{(u)k du.} _(1.18)

Esta equa¸cão já fornece uma rela¸cão entre o parâmetro s e o parâmetro t, porém na forma s = h(t); devemos invertê-la e escrever t = g(s) para proceder como descrita acima. Veja o Exemplo abaixo.

5_N˜_{ao podemos utilizar a vari´}_{avel t como vari´}_{avel de integra¸}_c˜_{ao pois ela j´}_{a est´}_{a sendo utilizada para}

definir o intervalo [a,t] que define o arco em quest˜ao. Utilizamos aqui a vari´avel u para percorrer este arco na integral.

(44)

Exemplo 1.3.10. Obtenha a parametriza¸c˜ao por comprimento de arco da curva param´etrica r(t) = (1 + 2t)i + (1 + 3t)j + (6 − 6t)k, t ∈ [0,3].

adotando t = 0 como referˆencia.

Calculamos, de acordo com a Equa¸c˜ao (1.18), o comprimento de arco no intervalo [0,t]: s = s(t) = t 0 kr0(u)k du = t 0 p 22_{+ 3}3_{+ (−6)}2_{du =} t 0 √ 49 du = 7t.

A equa¸cão s = 7t descreve s como fun¸cão de t: dado o instante de tempo t = 1, obtemos a distância percorrida s = s(1) = 7 no intervalo de tempo [0,1]. Reciprocamente, dada a distância percorrida s = 1, determinamos o instante de tempo correspondente através da equa¸cão t = g(s) = s/7. Esta mudan¸ca de parâmetro fornece a parametriza¸cão por comprimento de arco: ˜ r(s) = r(g(s)) = 1 + 2s 7 i + 1 + 3s 7 j + 6 −6s 7 k, s ∈ [0,21],

onde o intervalo [0,21] foi determinado a partir do intervalo original e a equa¸c˜ao s = 7t: t = 3 corresponde a s = 21, indicando 21 de comprimento de arco de t = 0 a t = 3; analogamente t = 0 corresponde a s = 0. . .

O Exemplo 1.3.10 ilustra como obtemos a parametriza¸cão por comprimento de arco: utilizamos a Equa¸cão (1.18) para obter uma expressão para s em fun¸cão de t; encontra-mos a expressão equivalente t = g(s); por fim efetuamos essa mudan¸ca de parâmetros na parametriza¸cão original r(t).

Cabe ressaltar que diferenciando a Equa¸cão (1.18) com rela¸cão a t e utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo obtemos uma outra forma de escrevê-la:

ds dt = kr

0

(t)k.

A equa¸cão acima possui uma interpreta¸cão interessante no deslocamento de uma part´ıcula: à esquerda temos a taxa de varia¸cão da distância percorrida, que é dada, pela equa¸cão acima,

(45)

pela intensidade do vetor velocidade. O fato de este teorema condizer com a nossa intui¸cão a respeito dos deslocamentos do dia-a-dia é evidência de uma teoria sólida. Enunciamos este resultado abaixo como um teorema devido à sua importância.

Teorema 1.3.11. Seja C o gr´afico de uma fun¸c˜_{ao vetorial r(t) de R}n _{e seja r(a) um ponto}

qualquer de C. Ent˜ao a equa¸c˜ao

s = s(t) = t

a

kr0(u)k du.

define uma mudan¸ca de parâmetro positiva de t = g(s), onde s é o parâmetro de comprimento de arco a partir de r(t0). Em particular, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,

ds dt = kr

0

(t)k.

Exemplo 1.3.12. Um inseto se desloca ao redor do tronco de uma ´arvore de acordo com a h´elice

r(t) = cos ti + sen tj + tk, t ≥ 0.

Qual a localiza¸cão do inseto após uma distância percorrida de 10 unidades de comprimento? Determinamos primeiramente a parametriza¸cão por comprimento de arco ˜r(s) da curva: a imagem ˜r(10) fornece a localiza¸cão do inseto após a distância percorrida de 10 unidades de comprimento. O comprimento de arco referente ao intervalo [0,t] fornece a distância percorrida após t unidades de tempo:

s = s(t) = t

0

kr0(u)k du,

onde r0(u) = − sen ui + cos uj + k. Segue que kr0(u)k =√sen2_{u + cos}2_{u + 1 =}√_{2 e ent˜}_ao

s = t

0

√

2 du = t√2.

Podemos ent˜ao escrever t = s/√2 e concluir que a parametriza¸c˜ao por comprimento de arco ´ e dada por ˜ r(s) = r s √ 2 = cos s √ 2 i + sen s √ 2 j + √s 2k, s ≥ 0.

(46)

A posi¸cão do inseto após 10 unidades de comprimento percorridas é ˜ r(10) = cos 10√ 2 i + sen 10√ 2 j +√10 2k. . . . Exemplo 1.3.13. Encontre a parametriza¸cão por comprimento de arco da curva

r(t) = etcos ti + etsen tj, t ∈ [0,π/2], que possua a mesma orienta¸c˜ao e o ponto r(0) como origem.

Temos r0(u) = (eu_{cos u − e}u_{sen u)i + (e}u_{sen u + e}u_{cos u)j. Fatorando o termo e}u _{em cada}

uma das fun¸c˜oes coordenada de r0(u) obtemos

kr0(u)k = (e2u(cos2−2 cos u sen u + sen2_{u) + e}2u_(cos2_{+2 cos u sen u + sen}2_u))1/2_,

isto ´e,

kr0(u)k = (e2u(cos2+ sen2u + cos2+ sen2u))1/2 = (2e2u)1/2 = eu√2. Segue que s = s(t) = t 0 kr0(u)k du = t 0 eu√2 du =√2(et− 1).

A mudan¸ca de parâmetros t = g(s) é obtida a partir da equa¸cão s =√2(et_{− 1):}

s =√2(et− 1) ⇐⇒ √s 2 = e

t_{− 1 ⇐⇒ e}t

= 1 + √s 2,

ou seja, t = ln(1 + s/√2). Como exp(ln(1 + s/√2)) = 1 + s/√2, temos que a parametriza¸c˜ao por comprimento de arco ´e dada por

˜r(s) = 1 + √s 2 cos ln 1 + √s 2 i + 1 + √s 2 sen ln 1 + √s 2 j, para 0 ≤ s ≤√2(eπ/2_{− 1). . .}

(47)

Parametriza¸cão por comprimento de arco e o vetor derivada. Seja r(s) a parame-triza¸cão por comprimento de arco de uma curva. Ela pode ser vista como a parametriza¸cão do deslocamento de uma part´ıcula que, após s = t unidades de tempo, se encontra na posi¸cão r(s). A defini¸cão de parametriza¸cão por comprimento de arco implica que ter´ıamos assim que a distância percorrida em um intervalo de tempo seria igual ao comprimento deste in-tervalo. Em uma situa¸cão mais simples, como no Movimento Retil´ıneo Uniforme (MRU), esta propriedade é verificada se a velocidade média Vm é igual a 1: se um objeto se desloca

com velocidade constante de 1km/h, a distância percorrida após s horas é de s quilômetros. O Teorema 1.3.14 mostra que esse racioc´ınio se estende aos deslocamentos estudados neste texto: a intensidade constante

dr ds

= 1 da velocidade caracteriza as parametriza¸c˜oes por comprimento de arco.

Teorema 1.3.14. Seja C uma curva parametrizada por r(s), onde s é o parâmetro de comprimento de arco. Então, para todo valor de s, o vetor tangente a C é unitário:

dr ds = 1.

Além disso, a parametriza¸cão por comprimento de arco é a única que possui esta propriedade no seguinte sentido. Seja C o gráfico de uma fun¸c˜_{ao vetorial r(t) em R}n _{tal que kr}0_{(t)k = 1}

para todo valor de t. Se t0 é um valor qualquer para o parâmetro t, então o parâmetro

s = t − t0 ´e o parˆametro de comprimento de arco C com origem no ponto r(t0).

Demonstra¸cão: A primeira parte do teorema é provada fazendo t = s no Teorema 1.3.11. Para provar a segunda parte do teorema, fixe um valor t = t0 qualquer para o parâmetro t.

Segue do Teorema 1.3.1 que

s = t

t0

kr0_{(u)k du}

define o comprimento de arco de C de r(t0) a r(t). Como kr0(t)k = 1 para todo t, temos

s = t

t0

du = t − t0,

(48)

1.4 Campos Vetoriais

Na Se¸cão 1.1 estudamos fun¸cões que tinham como imagem vetores, enquanto no dom´ınio t´ınhamos números reais. Nesta se¸cão veremos o conceito de campos vetoriais, onde associ-amos a cada ponto de Rn _{um vetor de R}n_{; novamente nosso foco ser´}_{a em dimens˜}_{oes dois e}

três. Considere as seguintes situa¸cões práticas, aplica¸cões do conceito de campo vetorial:

(i) condi¸cões atmosféricas, como a velocidade e dire¸cão do vento (Figura 1.19)6_;

(ii) velocidade de part´ıculas de um fluido (Figuras 1.20 e 1.21).

Figura 1.19: Evolu¸cão do Furacão Katrina. Fonte: página pessoal do Professor James R. Miller, The University of Kansas.

Nas aplica¸cões ilustradas nas Figuras 1.19, 1.20 e 1.21 temos presente o mesmo conceito: a cada ponto P do plano associamos um vetor F(P) que indica o deslocamento de uma part´ıcula do fluido (ar ou água) naquele ponto. Este tipo associa¸cão é chamada de campo vetorial.

Defini¸c˜_{ao 1.4.1. Seja D um conjunto qualquer de R}n_{. Um campo vetorial de R}n ´e uma fun¸c˜_{ao F que associa a cada ponto P ∈ D um vetor F(P) de R}n_{. O conjunto D ´}_{e dito}

dom´ınio do campo vetorial F.

6_{Veja a p´}

agina do Professor Miller em https://people.eecs.ku.edu/~miller/WorldWindProjects/ VectorFieldVis/index.php.

(49)

Figura 1.20: Simula¸c˜ao de um rio fluindo. Fonte: p´agina pessoal do

Professor Evy A. Salcedo T., Universidade Federal de Santa Catarina.

Figura 1.21: Correntes mar´ıtimas na costa oeste dos EUA. Fonte: p´agina do Departamento de Ciˆencias da Terra e do

Clima, San Francisco State University.

Nosso foco neste texto ´_{e em campos vetoriais de R}2 _{e R}3_{. No caso de um campo vetorial}

do plano, temos como imagem um vetor F(P) que possui uma abcissa e uma ordenada que dependem do ponto P = (x,y) do dom´ınio. Escrevemos ent˜ao

F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j.

Cabe ressaltar que f (x,y) e g(x,y) são fun¸cões cujas imagens são números reais (coordenadas do vetor imagem). Analogamente, um campo vetorial de R3 pode ser escrito como

F(x,y,z) = f (x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k.

Ao representar graficamente um campo vetorial, em geral escolhemos a representa¸c˜ao do vetor imagem F(P) com origem no ponto P. Veja os Exemplos 1.4.2 e 1.4.3.

Exemplo 1.4.2. Considere o campo vetorial

(50)

Segue a imagem de alguns pontos de R2: F(1,0) = −j = (0, − 1), F(1,1) = i − j = (1, − 1), F(0,1) = i = (1,0), F(−1,1) = i + j = (1,1), F(−1,0) = j = (0,1).

A Figura 1.22 mostra uma representa¸c˜ao gr´_{afica deste campo vetorial. . .}

Exemplo 1.4.3. Considere o campo vetorial

F(x,y,z) = xi − yj − zk. Segue a imagem de alguns pontos de R3_:

F(1,0,0) = i = (1,0,0), F(0,1,0) = −j = (0, − 1,0), F(0,0,1) = −k = (0,0, − 1), F(1,1,1) = i − j − k = (1, − 1, − 1), F(−1,1,1) = −i − j − k = (−1, − 1, − 1), F(1, − 1,1) = i + j − k = (1,1, − 1), F(1,1, − 1) = i − j + k = (1, − 1,1).

A Figura 1.24 mostra uma representa¸c˜ao gr´_{afica deste campo vetorial. . .}

Exemplo 1.4.4. Considere uma carga elétrica Q situada na origem. De acordo com a Lei de Coulomb, a for¸ca exercida por esta carga em uma outra carga q depende da localiza¸cão de q. Escrevemos agora, em uma nota¸cão mais concisa, x = (x,y) na defini¸cão do campo vetorial: se q se encontra no ponto x = (x,y), então a for¸ca é dada por

F(x) = kqQ kxk3x,

(51)

onde k = 9 · 109N·m2

C2 ´e uma constante. Para q = Q = 2 · 10

−6_{C temos} F(x) = 3.6 · 10 −2 (x2_{+ y}2₎3/2(xi + yj) = 3.6 · 10−2_x (x2 _{+ y}2₎3/2 i + 3.6 · 10 −2_y (x2_{+ y}2₎3/2 j.

Na Figura 1.23 temos ilustrado o campo vetorial F gerado: em cada ponto P do plano esbo¸camos o vetor que indica a for¸ca exercida pela carga Q em uma carga q situada neste ponto. Note que, como q e Q s˜ao positivas no nosso exemplo, a for¸ca ´e de repuls˜_{ao. . . .}

Figura 1.22: Campo vetorial do Exemplo 1.4.2.

Em geral, o primeiro exemplo que vemos de campo vetorial ´e o de campo gradiente, isto ´

e, o campo vetorial ∇φ(·) que associa a cada ponto x no dom´ınio de uma fun¸c˜ao escalar7 φ o vetor gradiente ∇φ(x).

Exemplo 1.4.5. Considere a fun¸c˜ao real

φ(x,y) = x2− y2_.

Note que φ não é uma fun¸cão vetorial pois, a cada ponto (x,y) do plano, φ associa o número real φ(x,y) = x2_{− y}2_{. Por exemplo, a imagem do ponto (x,y) = (2,1) ´}_{e dada pelo n´}_umero

real φ(2,1) = 22− 12 _{= 4 − 1 = 3. Entretanto, temos um campo vetorial associado `}_{a fun¸c˜}_ao

φ: o campo gradiente de φ ´e dado por

∇φ(x,y) = φx(x,y)i + φy(x,y)j = 2xi − 2yj.

(52)

Veja a Figura 1.25, onde est˜ao ilustrados o campo vetorial ∇φ e as curvas de n´ıvel φ(x,y) = 1 e φ(x,y) = −1. . .

(53)

Defini¸c˜_{ao 1.4.6. Um campo vetorial F de R}n _´_{e dito conservativo em uma regi˜}_{ao D ⊆ R}n

se F é o campo gradiente de alguma fun¸cão real φ em D, isto é, se F(x) = ∇φ(x),

para todo x ∈ D. Dizemos neste caso que φ ´e uma fun¸c˜ao potencial de F em D.

Exemplo 1.4.7. Verifique se os campos vetoriais dados possuem as respectivas fun¸c˜oes reais como fun¸c˜ao potencial.

(i) F(x,y) = (6xy − y3_{)i + (4y + 3x}2_{− 3xy}2_{)j, φ(x,y) = 2y}2_{+ 3x}2_{y − xy}3_.

(ii) F(x,y) = (sen z + y cos x)i + (sen x + z cos y)j + (sen y + x cos z)j, φ(x,y,z) = x sen z + y sen x + z sen y.

Escrevendo F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j, devemos verificar se φx = f e φy = g.

Temos no item (i) que φx(x,y) = ∂ ∂x(2y 2_+3x2_y−xy3_{) = 6xy−y}3 _e _φ y(x,y) = ∂ ∂y(2y

2_+3x2_y−xy3_{) = 4y+3x}2_−3xy2_,

logo F(x,y) é campo conservativo com fun¸cão potencial φ. A verifica¸cão no item (ii) é análoga:

φx(x,y) =

∂

∂x(x sen z + y sen x + z sen y) = sen z + y cos x, φy(x,y) =

∂

∂y(x sen z + y sen x + z sen y) = sen x + z cos y, φz(x,y) =

∂

∂z(x sen z + y sen x + z sen y) = x cos z + sen y.

(54)

Divergente e rotacional. Considere um campo vetorial F(x,y,z) que representa o campo de velocidade de um fluido, como nas Figuras 1.20 e 1.21. Suponha que uma pequena bolinha com pás se encontra em um ponto (x,y,z) com o fluido escoando por ela. É poss´ıvel determinar, a partir do campo vetorial F(x,y,z), se esta bolinha entrará em um movimento de rota¸cão? Se sim, qual a dire¸cão e intensidade deste movimento? Estas perguntas são respondidas com o conceito de rotacional, que introduzimos abaixo8_.

Defini¸c˜ao 1.4.8. O rotacional de um campo vetorial F(x,y,z) = f (x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k ´e definido como o vetor

rot F(x,y,z) = ∂h ∂y − ∂g ∂z i + ∂f ∂z − ∂h ∂x j + ∂g ∂x − ∂f ∂y k.

O rotacional de um campo vetorial F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j ´e definido como o rotacional do campo vetorial F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j + 0k.

´

E conveniente lembrar da express˜ao para o rotacional atrav´es do produto vetorial:

Em R3: rot F = ∇ × F = ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z × (f,g,h) = i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z f g h , Em R2_{: rot F = ∇ × F =} ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z × (f,g,0) = i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z f g 0 .

Exerc´ıcio 1.4.9. Calcule o rotacional do campo vetorial F(x,y) = cos(x+2y)i+sen(x−2y)j no ponto (π/2, π/4).

Exerc´ıcio 1.4.10. Calcule o rotacional do campo vetorial F(x,y,z) = xzi + xyzj − y2_{k no}

ponto (1,2, − 1).

(55)

Considere novamente um campo vetorial que representa o campo de velocidade de um gás. Um gás tem a propriedade de compressibilidade, isto é, ele pode se expandir ou se comprimir. O divergente de um tal campo vetorial em um ponto (x,y,z) representa se este fenômeno ocorre neste ponto: o divergente é positivo se o gás está se expandindo neste ponto; se o gás está se comprimindo neste ponto, então o divergente é negativo. Veja a Figura 1.26: as regiões em vermelho (divergente positivo) indicam pontos “fonte” do fluido, enquanto os azuis (divergente negativo) indicam “po¸cos”. A grandeza que traduz este comportamento é um escalar, definido na Defini¸cão 1.4.11 abaixo.

Figura 1.26: Divergente de campo vetorial: azul para valores baixos, vermelho para os altos.

Defini¸c˜ao 1.4.11. O divergente de um campo vetorial F(x,y,z) = f (x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k de R3 _´_{e definido como o escalar}

div F(x,y,z) = ∂f ∂x + ∂g ∂y + ∂h ∂z.

O divergente de um campo vetorial F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j de R2 ´e definido como o escalar

div F(x,y,z) = ∂f ∂x +

∂g ∂y.

(56)

Enquanto o rotacional pode ser escrito atrav´es de um produto vetorial, podemos escrever o divergente utilizando o produto escalar como um operador:

Em R3: div F = ∇ · F = ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z · (f,g,h) = ∂f ∂x + ∂g ∂y + ∂h ∂z, Em R2_{: div F = ∇ · F =} ∂ ∂x, ∂ ∂y · (f,g) = ∂f ∂x + ∂g ∂y.

Exerc´ıcio 1.4.12. Calcule o divergente do campo vetorial F(x,y) = cos(x+2y)i+sen(x−2y)j no ponto (π/4, π/8).

1.5 Integrais de Linha

Considere um fio muito fino disposto no espa¸co cuja densidade linear de massa (massa por unidades de comprimento) é conhecida através a fun¸cão f (x,y,z). Em outras palavras, em cada ponto (x,y,z) do fio podemos ter um material mais ou menos denso; essa densidade é dada pelo valor de f (x,y,z). Introduzimos aqui o conceito de integral de linha de uma fun¸cão escalar f (x,y,z) através do cálculo da massa deste fio. A massa M do fio será obtida através de um processo semelhante àquele que define as integrais definidas vistas anteriormente; veja a Se¸cão 1.3 e, em particular, as Figuras 1.14 e 1.15. Dividimos a curva C em peda¸cos menores C1, . . . , Cn e obtemos uma aproxima¸cão para a massa Mk de cada peda¸co Ck do

fio. A soma destas aproxima¸cões resultará em uma aproxima¸cão para M que, através de um processo de limite, se tornará cada vez mais precisa.

Suponha que C é o gráfico de uma fun¸cão vetorial suave r(t) para t ∈ [a,b]. Consideramos uma parti¸cão do intervalo [a,b] em subintervalos de acordo com os pontos

a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn= b,

onde tk − tk−1 = (b − a)/n para todo k = 1, . . . , n. Os pontos Pk = r(tk) definem uma a