C
F · dr, onde F(x,y) = −yi + xj e C ´e a curva orientada dada.
(i) C : x2+ y2 = 3, orientada no sentido hor´ario. (ii) C : x2+ y2 = 3, orientada no sentido anti-hor´ario. (iii) C : r(t) = ti + 2tj, t ∈ [0,1].
Os itens (i) e (ii) do Exerc´ıcio 1.5.14 representam um caso particular do seguinte resultado.
Teorema 1.5.15. Seja F um campo vetorial cont´ınuo de Rne C uma curva orientada suave de Rn. Ent˜ao: −C F · T ds = − C F · T ds e −C F · dr = − C F · dr.
1.6 Campos Vetoriais Conservativos
Considere novamente o problema de um carro se deslocando a a¸c˜ao de ventos de alta velici-dade, na Se¸c˜ao 1.5. Em alguns casos o trabalho realizado pela a¸c˜ao do vento n˜ao depende da trajet´oria do carro, apenas dos pontos inicial e final! Veja o exerc´ıcio a seguir.
Exerc´ıcio 1.6.1. Calcule a integral de linha
C
F · dr se F(x,y) = yi + xj e a curva C ´e dada em cada um dos itens abaixo.
(i) O segmento de reta y = x de (0,0) a (1,1). (ii) A par´abola y = x2 de (0,0) a (1,1).
As integrais de linha do Exerc´ıcio 1.6.1 s˜ao todas iguais a 1. Isto ocorre devido ao fato de que o campo vetorial em quest˜ao ´e conservativo, isto ´e, F(x,y) = ∇φ(x,y), onde φ(x,y) = xy. Nestes casos a integral de linha do campo vetorial sobre uma curva lisa ´e calculada de maneira an´aloga `aquelas de fun¸c˜oes reais f (x) de uma vari´avel real: se F0(x) = f (x), ent˜ao
b
a
f (x) dx = F (b) − F (a). Veja o teorema abaixo.
Teorema 1.6.2. Seja C uma curva lisa por partes de Rn com pontos inicial e final P e Q, respectivamente. Se F um campo vetorial conservativo em alguma regi˜ao aberta D contendo C com fun¸c˜ao potencial φ, ent˜ao
C F · dr = φ(Q) − φ(P ). Em outras palavras: (i) se P = (x0, y0) e Q = (x1, y1), ent˜ao C F · dr = φ(x1, y1) − φ(x0, y0); (ii) se F(x,y,z) = ∇φ(x,y,z), P = (x0, y0, z0) e Q = (x1, y1, z1), ent˜ao
C
F · dr = φ(x1, y1, z1) − φ(x0, y0, z0).
Demonstra¸c˜ao: Suponha que C ´e uma curva lisa parametrizada por uma fun¸c˜ao vetorial11
r(t) = x(t)i + y(t)j, t ∈ [a,b]. Se F(x,y) = ∇φ(x,y), ent˜ao F(x,y) = φx(x,y)i + φy(x,y)j. Logo, C F(x,y) · dr = b a φxdx + φydy dt = b a φx(x(t),y(t))x0(t) + φy(x(t),y(t))y0(t) dt.
11O caso em que C ´e uma curva lisa por partes ´e obtido atrav´es do mesmo argumento e a Equa¸c˜ao 1.23. O caso tridimensional provado analogamente.
Segue da regra da cadeia que C F(x,y) · dr = b a d dtφ(x(t),y(t)) dt, e, pelo Teorema Fundamental do C´alculo,
C F(x,y) · dr = φ(x(t),y(t)) b a = φ(x(b),y(b)) − φ(x(a),y(a)), onde
φ(x(b),y(b)) = φ(r(b)) = (x1, y1) e φ(x(a),y(a)) = φ(r(a)) = (x0, y0), como gostar´ıamos.
O Teorema 1.6.2 pode ainda ser escrito da seguinte maneira: no caso bidimensional temos C ∇φ(x,y) · dr = φ(x1, y1) − φ(x0, y0), enquanto em R3, C ∇φ(x,y) · dr = φ(x1, y1, z1) − φ(x0, y0, z0).
As integrais de linha do Teorema 1.6.6 s˜ao ditas independentes de caminho, conforme definido a seguir. Veja a Figura 1.33. Na defini¸c˜ao abaixo consideramos regi˜oes conexas de Rn: uma regi˜ao D ⊆ Rn ´e dita conexa se, dados quaisquer pontos P,Q ∈ D, existe uma curva lisa por partes que conecta P a Q.
Defini¸c˜ao 1.6.3. Seja F um campo vetorial de Rn definido em uma regi˜ao conexa D ⊆ Rn. Dizemos que a integral de linha
C F · dr ´e independente de caminho se C1 F · dr = C2 F · dr
para todo par de curvas C1, C2 lisas por partes contidas em D tais que seus pontos iniciais e finais coincidem.
Figura 1.33: Curvas C1, C2, C3 com mesmos pontos inicial e final.
Exerc´ıcio 1.6.4. Calcule as integrais de linha do Exerc´ıcio 1.6.1 usando o Teorema 1.6.2.
Exerc´ıcio 1.6.5. Em cada um dos casos abaixo, encontre uma fun¸c˜ao real φ(x,y) tal que ∇φ = F e calcule a integral de linha de F sobre a curva indicada.
(i) F(x,y) = x2i + y2j e C o arco da par´abola y = 2x2 de (−1,2) a (2,8). (ii) F(x,y) = yzi + xzj + (xy + 2z)k e C ´e o segmento de (1,0, − 2) a (4,6,3).
Integrais de linha ao longo de caminhos fechados. Dizemos que uma curva pa-ram´etrica C : r(t), t ∈ [a,b], ´e fechada se r(a) = r(b). Em outras palavras, interpretando r(t) como o movimento de uma part´ıcula em Rn no intervalo de tempo [a,b], sua trajet´oria se inicia e se conclui no mesmo ponto. Veja a Figura 1.34. Segue que a integral de linha de um campo vetorial conservativo F = ∇φ sobre esta curva satisfaz
C
F · dr = φ(r(b)) − φ(r(a)) = 0. (1.26)
Com o teorema abaixo podemos dizer, num certo sentido, que a rec´ıproca tamb´em ´e verda-deira.
Figura 1.34: Curva fechada de R2.
Teorema 1.6.6. Seja D ⊆ Rn uma regi˜ao conexa. Ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equi-valentes (todas verdadeiras ou todas falsas).
(i) F ´e campo vetorial conservativo na regi˜ao D. (ii)
C
F · dr = 0 para toda curva C fechada lista por partes contida em D.
(iii) A integral de linha
C
F · dr ´e independente de caminho.
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao deste teorema ´e obtida ao se provar as trˆes implica¸c˜oes abaixo:
• (i) =⇒ (ii), • (ii) =⇒ (iii), • (iii) =⇒ (i).
Assim temos que, sempre que um dos itens for verdadeiro, os outros tamb´em o ser˜ao. Em outras palavras, as implica¸c˜oes acima mostra a equivalˆencia dos itens (i), (ii) e (iii).
J´a provamos que (i) =⇒ (ii) com a Equa¸c˜ao (1.26). A fim de provar que (ii) =⇒ (iii), considere curvas C1, C2 com mesmos pontos inicial e final, como na Figura 1.33; provaremos
que C1 F · dr = C2 F · dr. Considere a curva C = C1∪ (−C2). Ent˜ao
C F · dr = C1 F · dr + −C2 F · dr, (1.27)
onde, pela hip´otese (ii), temos C1 F · dr + −C2 F · dr = 0, isto ´e, C1 F · dr = − −C2 F · dr.
Segue do Teorema 1.5.15 que −
−C2
F · dr =
−C2
F · dr, ent˜ao temos da Equa¸c˜ao (1.27) que C1 F · dr = C2 F · dr,
como gostar´ıamos. Isto conclui a demonstra¸c˜ao da implica¸c˜ao (ii) =⇒ (iii).
A implica¸c˜ao (iii) =⇒ (i) ´e mais delicada. Fixamos um ponto P0 ∈ D qualquer e conside-ramos, para P ∈ D, as curvas C contidas em D com ponto inicial P0 e ponto final P . Todas estas curvas fornecem, pela hip´otese (iii), o mesmo valor para a integral
C
F · dr. Como o ponto P0 ´e fixo, o valor desta integral depende apenas do ponto P escolhido. Em outras palavras fun¸c˜ao o valor desta integral pode ser escrito como uma fun¸c˜ao real φ que depende apenas de P : φ(P ) = P P0 F · dr. ´
E poss´ıvel provar que ∇φ = F, isto ´e, F ´e campo vetorial conservativo com fun¸c˜ao potencial φ. N˜ao daremos detalhes desta demonstra¸c˜ao aqui, mas o leitor pode encontr´a-los na Se¸c˜ao 15.3 do livro C´alculo Volume 2, Anton, Bivens e Davis.
Um teste para campos vetoriais conservativos. E importante notar que o Teorema´ 1.27 n˜ao fornece um m´etodo pr´atico para verificar se um dado campo vetorial ´e conservativo: n˜ao podemos esperar que seja poss´ıvel, por exemplo, verificar que todas as curvas fechadas
lisas por partes em uma dada regi˜ao D satisfa¸cam a condi¸c˜ao do item (ii). A fim de enunciar uma caracteriza¸c˜ao de campos conservativos com fins pr´aticos, precisamos introduzir algumas defini¸c˜oes. Uma curva C ´e dita uma curva fechada simples se intersecta a si mesma apenas em seus extremos. Um conjunto conexo D ⊆ Rn ´e dito simplesmente conexo se toda curva simples fechada contida em D envolver apenas pontos do conjunto D; em outras palavras, uma regi˜ao ´e simplesmente conexa se ela n˜ao contiver buracos.
Teorema 1.6.7. Sejam f (x,y) e g(x,y) fun¸c˜oes com derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas em uma alguma regi˜ao aberta D ⊆ R2. Se o campo vetorial F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j ´e conservativo em D ent˜ao, para todo (x,y) ∈ D,
∂f ∂y =
∂g ∂x.
Reciprocamente, se D ´e regi˜ao simplesmente conexa e a igualdade acima vale em todo ponto (x,y) ∈ D, ent˜ao F(x,y) = f (x,y)i + g(x,y)j ´e um campo vetorial conservativo.
Teorema 1.6.8. Sejam f (x,y,z), g(x,y,z) e h(x,y,z) fun¸c˜oes com derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas em uma alguma regi˜ao aberta D ⊆ R3. Se o campo vetorial F(x,y,z) = f (x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k ´e conservativo em D ent˜ao, para todo (x,y,z) ∈ D,
∂f ∂y = ∂g ∂x, ∂f ∂z = ∂h ∂x e ∂g ∂z = ∂h ∂y.
Reciprocamente, se D ´e regi˜ao simplesmente conexa e as igualdades acima valem em todo ponto (x,y,z) ∈ D, ent˜ao F(x,y,z) = f (x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k ´e um campo vetorial conservativo.
Exerc´ıcio 1.6.9. Use o Teorema 1.6.7 para determinar se o campo vetorial abaixo ´e con-servativo:
Exerc´ıcio 1.6.10. Use o Teorema 1.6.7 para determinar se o campo vetorial abaixo ´e con-servativo:
F(x,y) = (3 + 2xy)i + (x2− 3y2)j. Exerc´ıcio 1.6.11. Sabendo que o campo vetorial
F(x,y) = (3 + 2xy)i + (x2 − 3y2)j ´
e conservativo (Exerc´ıcio 1.6.10), encontre a fun¸c˜ao φ(x,y) tal que F = ∇φ e calcule a integral
C
F · dr, onde C ´e a curva
C : r(t) = etsen ti + etcos tj, t ∈ [0,π].