sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI
UTILIZA ¸ C ˜ AO DA SOLU ¸ C ˜ AO DE NAVEGA ¸ C ˜ AO DO GPS PARA DETERMINA ¸ C ˜ AO DE ´ ORBITA DE SAT´ ELITES
Jorge Martins do Nascimento
Disserta¸c˜ ao de Mestrado do Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecˆ anica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. H´ elio Koiti Kuga, e Antˆ onio Fernando Bertachini de Almeida Prado, aprovada em 06 de junho de 1997.
URL do documento original:
<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5 >
INPE
S˜ ao Jos´ e dos Campos
2010
PUBLICADO POR:
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UTILIZA ¸ C ˜ AO DA SOLU ¸ C ˜ AO DE NAVEGA ¸ C ˜ AO DO GPS PARA DETERMINA ¸ C ˜ AO DE ´ ORBITA DE SAT´ ELITES
Jorge Martins do Nascimento
Disserta¸c˜ ao de Mestrado do Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecˆ anica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. H´ elio Koiti Kuga, e Antˆ onio Fernando Bertachini de Almeida Prado, aprovada em 06 de junho de 1997.
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S˜ ao Jos´ e dos Campos
2010
Dados Internacionais de Cataloga¸c˜ao na Publica¸c˜ao (CIP)
Nascimento, Jorge Martins do.
N17u Utiliza¸c˜ao da solu¸c˜ao de navega¸c˜ao do GPS para determina¸c˜ao de ´orbita de sat´elites / Jorge Martins do Nascimento. – S˜ao Jos´e dos Campos : INPE, 2010.
xxiv + 70 p. ;(sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI)
Disserta¸c˜ao (Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaci- ais/Mecˆanica Espacial e Controle) – Instituto Nacional de Pes- quisas Espaciais, S˜ao Jos´e dos Campos, 1997.
Orientadores : Drs. H´elio Koiti Kuga, e Antˆonio Fernando Ber- tachini de Almeida Prado.
1. Determina¸c˜ao de ´orbita. 2. Sistema de Navega¸c˜ao por Sa- t´elites (GPS). 3. M´etodo dos m´ınimos quadrados. 4. Navega¸c˜ao.
5. Sat´elites . I.T´ıtulo.
CDU 629.783
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ii
iv
v
Longe é um lugar que não existe
Richard Bach
vi
vii
À memória de meu pai Arthur Chrisóstomo do Nascimento que sempre me incentivou aos estudos.
À minha mãe Elizabeth Martins Costa que com seu apoio e sua fé muito me
subsidiou em mais esta jornada.
viii
ix
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por permitir minha existência, nesta pequena partícula do Universo, denominada Planeta Terra.
À Empresa Brasileira de Telecomunicações (EMBRATEL), que na pessoa do seu então presidente Renato Archer, com seu programa de valorização técnico-profissional, me permitiu a participação nestes estudos.
À CAPES que também financiou este trabalho.
Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), que me acolheu em suas dependências, particularmente na Divisão de Mecânica Espacial e Controle (DMC), onde adquiri os conhecimentos necessários à elaboração deste trabalho.
Ao engenheiro Rodolpho Knorr (EMBRATEL), que recomendou, incentivou, e apoiou o ingresso neste Instituto, com vistas à realização deste estudo.
Ao Dr. Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, meu orientador, que me despertou para o tema deste trabalho e me deu as diretrizes de como conduzi-lo, sempre com seu bom humor, atenção e motivação.
Ao Dr. Hélio Koiti Kuga, meu orientador, que com sua vasta
experiência, didática, calma, tranquilidade e boa vontade, me instruiu e apoiou
nos momentos mais difíceis da elaboração deste trabalho.
x
Ao doutorando Ernesto Vieira Neto, meu particular grande amigo, sem o qual, com sua vivência em programação computacional além dos conhecimentos profissionais aliados a um grande senso de presteza, não teria sido possível a execução deste trabalho. Muito obrigado, Ernesto.
Aos membros da banca examinadora, pelas relevantes contribuições ao enriquecimento deste trabalho.
Aos meus amigos e colegas não somente da EMBRATEL como também aos conquistados no INPE, pelo apoio, carinho e prazer da convivência.
Aos meus companheiros, colegas e amigos.
Enfim, a todos aqueles que se fizeram presente.
xi
RESUMO
Neste trabalho, é analisado o problema da determinação de órbita de
um satélite artificial terrestre, posicionado a baixa altitude. Esse tipo de tarefa
pode ser efetuado de várias maneiras, dependendo do hardware disponível no
satélite e em terra. Neste trabalho, essa tarefa será feita com o uso de medidas
obtidas a partir dos satélites da constelação do GPS (Sistema de
Posicionamento Global). Esse sistema é constituído por satélites em órbita da
Terra, cuja função é enviar sinais capazes de serem captados por receptores,
no espaço ou em terra. Essas informações permitem o cálculo da posição
desse receptor. Assim sendo, é assumido que o satélite alvo, cuja órbita se
deseja determinar, estará portando um receptor deste tipo, especialmente
projetado para funcionar no espaço. Para a realização dessa tarefa, são
necessários os seguintes passos: i) Simulação do movimento dos satélites
GPS e do satélite usuário; ii) Cálculo de todas as distâncias entre os satélites
GPS e o satélite usuário; iii) Estudo de quais satélites GPS são visíveis a partir
do satélite usuário; iv) Corrompimento, através da adição de uma variável
aleatória, de todas essas medidas; v) Desenvolvimento de um procedimento
computacional capaz de, com o uso da teoria dos mínimos quadrados, obter a
solução de navegação (x,y,z) em cada ponto da órbita; vi) Elaboração de um
outro procedimento também baseado na teoria dos mínimos quadrados, que
obtém o vetor de estado (posição e velocidade) do satélite usuário a cada
instante, a partir da solução de navegação. Esse trabalho foi motivado pelo
planejamento do INPE de executar uma missão desse tipo num futuro próximo,
dado que é um sistema barato e preciso de determinação de órbita. Deve-se
também salientar que o objetivo aqui proposto não é o de obter a máxima
precisão que o sistema pode oferecer, mas sim obter uma precisão suficiente
para se manter o acompanhamento e permitir o controle do satélite.
xii
xiii
USING THE GPS NAVIGATION SOLUTION FOR SATELLITE ORBIT DETERMINATION
ABASTRACT
In this work the orbit determination problem of a low orbit earth artificial satellite
is analyzed. This kind of problem can be solved by several ways, and the
choice depends on the hardware available in the spacecraft and in the ground
station. In this work this problem is solved using the GPS (Global Positioning
System) constellation satellites data. This system is composed of an Earth
orbiting satellites group with the purpose of sending signals to be received by
receivers that can be located in the space or in the ground. These information
allow the receiver to calculate its own position. It's assumed that the target
satellite (which orbit has to be determined) will carry a receptor of this kind,
specially designed to work in the space environment. To perform this work, one
needs the following steps: i) To simulate the motion of the GPS and the target
satellite; ii) To calculate ali the distances between the GPS satellites and the
target satellite; iii) To determine which GPS satellites are visible by the target
satellite; iv) To corrupt those data by adding a random variable; v) To develop a
software, that is able to get a navigation solution on each point of the orbit,
using least squares theory; vi) To develop a new software to get the target
satellite state vector (position and velocity) from the navigation solution, also
using least squares theory. This work was motivated by the INPE's plans of
performing this kind of mission in a near future, since this is a cheap and
accurate orbit determination system. It must be emphasized that the goal of this
work is not to provide the system maximum accuracy, but a sufficient accuracy
to track and control the satellite
xiv
xv
LISTA DE FIGURAS
Pág
2.1 - Constelação do GPS ... 8
2.2 - Satélite TOPEX/POSEIDON... 12
2.3 - Sistema de rastreio do TOPEXlPOSEIDON ... 12
2.4 - Região visível e utilizável em órbita baixa ... 14
2.5 - Satélites visíveis em órbita baixa ... 14
2.6 - Satélites utilizáveis em órbita aixa... 15
3.1 - Órbita observada e órbita modelada ... 21
3.2 - Determinação de posição utilizando GPS ... 25
3.3 - Comparação qualitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico... 27
3.4 - Comparação quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico... 27
4.1 - Erro édio... 45
5.1 - Geometria do critério de visibilidade ... 52
5.2 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real ... 55
5.3 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real... 55
5.4 . Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada... 56
5.5 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real ... 57
5.6 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real ... 58
5.7 - Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada... 58
5.8 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real... 60
5.9 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real... 60
5.10 - Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada... 61
xvi
xvii
LISTA DE TABELAS
‘Pág
2.1 - Sinais transmitidos pela constelação GPS ... 10
4.1 - Elementos Keplerianos a serem propagados ... 40
xviii
xix
LISTA DE SÍMBOLOS
a semieixo maior
ã vetor aceleração
AA aceleração do arrasto aerodinâmico A
Gaceleração do campo gravitacional terrestre A
Laceleração de atração da Lua
Ao aceleração devido a outras perturbações
As aceleração de atração do Sol A
MLaceleração devido às marés da Lua A
MSaceleração devido às marés do Sol A
pRaceleração de pressão de radiação solar Co coeficiente de arrasto atmosférico
J
2coeficiente de achatamento terrestre
J
acoeficiente da expansão do polinômio do potencial gravitacional terrestre
R, raio equatorial terrestre (6380 km)
V
Rvetor velocidade do satélite em relação à atmosfera terrestre 5 área efetiva de contato
O força de arrasto
Q quantidade escalar
W matriz peso
H matriz ou vetor de derivadas parciais
L função custo a ser minimizada
P matriz de covarianças de erros
e excentricidade
xx
M anomalia média
I inclinação
k número de amostras de um evento X vetor nx1 de estado
U potencial gravitacional terrestre I matriz identidade
O vetor nulo
t tempo
x,y,z componentes cartesianas de posição X, y, z componentes cartesianas de velocidade r vetor posição (em x,y,z)
r distância do centro da Terra ao satélite i vetor velocidade (em x,y,z)
X derivada no tempo do vetor de estado
SÍMBOLOS GREGOS
∆ variação de uma variável ρ alcance (range)
ρ densidade local do ar
Ω ascensão reta do nodo ascendente σ desvio padrão
ω argumento do perigeu φ matriz de transição
ρ latitude geocêntrica do satélite
µ constante gravitacional terrestre (3980,64 Km
3/s
2)
ν ruído no estado
xxi
ÍNDICES SUPERIORES
Τ transição de uma matriz ou vetor
^ vetor estimado
__ vetor propagado
ÍNDICES INFERIORES
GPSi i-ésimo satélite GPS
k instante de tempo
o instante inicial
xxii
xxiii
SUMÁRIO
Pág
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ... 1 1.1 Motivação ... Erro! Indicador não definido. 1 1.2 Metodologia ...2 1.3 Organização do trabalho ... Erro! Indicador não definido. 4
CAPÍTULO 2 – SISTEMA GPS... 7 2.1 Introdução ... 7 2.2 O que é o GPS? ... 8 2.3 Antecedentes do GPS ... 11
CAPÍTULO 3 - CONCEITOS BÁSICOS ... Erro! Indicador não definido. 17 3.1 Introdução ...17 3.2 Métodos para determinação de órbita utilizando o GPS ... 17 3.2.1 Método Dinâmico ... 18 3.2.2 Método da dinâmica reduzida ... 22 3.2.3 Método geométrico ou cinemático ... 24 3.3 Teorias de estimação ... 28 3.4 Teoria básica de Mínimos Quadrados ... 30 3.5 Mínimos Quadrados com informação a priori, incluindo o Modelo Dinâmico ... 35
CAPÍTULO 4 - MÉTODO UTILIZADO ... Erro! Indicador não definido. 39 4.1 Introdução ...39 4.2 Desenvolvimentos do Programa ... 39
CAPÍTULO 5 - TESTES E RESULTADOS ... Erro! Indicador não definido. 51
5.1 Introdução ...51
5.2 Testes realizados ... 53
5.3 Análise dos resultados ... 62
xxiv
CAPÍTULO 6 - COMENTÁRIOS FINAIS ... Erro! Indicador não definido. 65
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... Erro! Indicador não definido. 67
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
O objetivo principal deste trabalho é apresentar e propor uma solução para o problema da determinação de órbita de um satélite artificial, situado a uma altitude de aproximadamente 1000 km, que possui a bordo um receptor capaz de receber sinais transmitidos por uma constelação de satélites posicionados a uma altitude de aproximadamente 20000 km. Essa constelação é constituida pelos satélites que compõem o Sistema de Posicionamento Global (GPS). Esse trabalho também discorre sobre alguns métodos utilizados na determinação de órbita através do GPS, faz um apanhado geral sobre a teoria de estimação e, a partir daí, descreve o método utilizado.
1.1 Motivação
Com o avanço e a evolução dos requisitos de uma missão
espacial, torna-se necessário, com uma precisão cada vez maior, a
observação efetiva dos satélites em órbita terrestre. Atualmente os satélites
são observados através de rastreio, efetuado por estações localizadas ao
longo da superfície da Terra. Existe, porém, um limite na precisão que pode ser
obtida na determinação de órbita com o uso dessa técnica. Essa maior
demanda por precisão é a razão principal de se utilizar o sistema GPS, pois
esse recurso permite proceder à determinação da órbita de satélites a baixa
altitude com alto grau de precisão, podendo-se chegar muitas vezes a algo em
torno de centímetros. Essa precisão depende fundamentalmente do método
adotado para a determinação da órbita, envolvendo modelos dinâmicos,
processamento das medidas, e procedimentos numéricos.
2
O Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) tem como objetivo para suas missões futuras a utilização de receptores GPS embarcados em seus próximos satélites. O principal objetivo é analisar a viabilidade de determinar a órbita do satélite com precisão, aliado a um baixo custo financeiro e facilidade de projeto. Neste contexto, um dos projetos em andamento na divisão de mecânica espacial e controle é o desenvolvimento de um software para determinação de órbita utilizando sinais da constelação GPS. O potencial de utilização de tal sistema para navegação, geodesia, monitoramento de entidades móveis na superfície terrestre (pessoas, carros, ônibus, etc...) entre outras, está sendo firmemente difundido conforme atestam vários trabalhos sobre o assunto (BERTIE et all, 1994)
A utilização do GPS a bordo de um satélite traz diversas vantagens tais como, baixo custo de investimento em equipamentos tanto a bordo do satélite como em terra, uma vez que as informações recebidas pelo satélite podem ser enviadas a um centro de controle em terra através de telemetria, não necessitando assim de equipamentos especiais para comunicação de dados, como por exemplo um canal de rádio. Como o GPS fornece uma série de informações em sua mensagem de navegação, essas não precisam ser tratadas a bordo, podendo ser diretamente enviadas ao centro de controle, também por telemetria. Embarcado no satélite basta apenas uma placa do receptor GPS. Enfim, tudo isso torna a missão mais leve e de mais baixo custo.
1.2 Metodologia
De posse dos elementos orbitais conhecidos dos 24 satélites da
constelação GPS e do satélite denominado “usuário” propaga-se suas órbitas
por um período de tempo pré-fixado, que neste trabalho é de duas horas e
meia. Para efetuar essa tarefa, na maioria dos casos utiliza-se um software
3
propagador de órbita. O passo seguinte é criar uma rotina computacional em linguagem “FORTRAN”, onde se determina os “pseudo-ranges” ou pseudo- distâncias, também conhecida como distância teórica, que é calculada pelo tempo que a informação gasta para "viajar" entre o satélite GPS e o satélite alvo. Essa medida é corrompida por um erro aleatório de distribuição Gaussiana e média nula e tem por objetivo a simulação da órbita do satélite usuário, fornecendo um vetor posição (x, y, z), ou vetor posição atual.
Com esses dados em mãos e utilizando como ferramenta matemática a teoria de mínimos quadrados, desenvolve-se outra rotina em linguagem “FORTRAN” com o objetivo de obter-se a solução de navegação
(
x y z$,$,$) , ou seja, a posição estimada. Com isso pode-se compará-la com a solução simulada para verificar o desvio em posição. Em seguida, procede-se a uma análise estatística da média e do desvio padrão desse resultado.
O passo seguinte é a determinação da órbita do satélite usuário, ou seja, a determinação da sua trajetória inicial. Para tal é necessário a obtenção da matriz de covariança do passo anterior e o vetor posição estimado. Resolve-se então a equação diferencial do movimento orbital em posição e velocidade, utilizando-se novamente a teoria de mínimos quadrados para modelar um estimador de época, onde, a informação de entrada é a solução de navegação. A esse estimador é acrescentado um modelo dinâmico incluindo o coeficiente J
2,no sentido de se verificar a órbita não só kepleriana como também a órbita perturbada pela dinâmica. No intuito de tornar este estimador robusto se utiliza dentro da solução computacional matemática a ortogonalização de Householder.
Finalmente, procede-se aos testes de validade do método, onde
se verifica a convergência do filtro adotado com a teoria de mínimos
quadrados. Verifica-se também a precisão do determinador de órbita para o
caso de dinâmica Kepleriana pura, e da órbita com dinâmica Kepleriana mais o
4
efeito de J
2,e também o caso de curtos arcos de observação dentro do período de estimação. Também são analisados os resíduos em posição entre a órbita determinada e a órbita real e procede-se a uma exposição gráfica e uma análise dos resultados apresentados pelos testes acima descritos.
1.3 Organização do trabalho
Este trabalho está dividido em seis capítulos.
No Capítulo 1 realiza-se uma introdução sobre os objetivos do trabalho. Este capítulo é subdividido em três unidades que tratam respectivamente da motivação para o trabalho, da metodologia utilizada e, finalmente, da divisão do trabalho.
No Capítulo 2, tem-se um histórico do GPS, objeto deste trabalho, e são apresentadas experiências já realizadas com o GPS.
O Capítulo 3 contém os conceitos teóricos básicos de mecânica celeste, no que se refere à determinação de órbita, um apanhado geral sobre a teoria de estimação, uma conceituação sobre a teoria de mínimos quadrados e, uma teoria sobre mínimos quadrados com informação a priori, considerando ainda o modelo dinâmico adotado.
O Capítulo 4 trata espeficamente do método utilizado e desenvolvido em nível de software para a determinação de órbita.
O Capítulo 5 apresenta os testes realizados e os resultados
obtidos com a utilização do método apresentado no capítulo 4. Ao final se faz
uma análise acerca dos resultados.
5
No Capítulo 6, descrevem-se as conclusões extraídas deste trabalho e os comentários finais para extensões futuras do mesmo.
O trabalho é finalizado então com a bibliografia consultada e
necessária à sua realização.
6
7
CAPÍTULO 2
SISTEMA GPS
2.1 Introdução
A idéia da utilização de corpos celestes para navegação remonta aos primórdios da humanidade. Embora hoje o homem consiga ter um vasto conhecimento da disposição destes corpos celeste, a navegação astronômica apresenta sérios inconvenientes, pois os astros têm que ser observados em qualquer ponto e a qualquer hora para prover ao usuário informações de posição em tempo real.
A partir da década de 60, a utilização de satélites artificiais permitiu à introdução de novos sistemas de navegação, e particularmente nas décadas de 70 e 80, a evolução se deu mais intensamente, com os estudos desenvolvidos pela Força Aérea dos Estados Unidos da América, o que culminou com a adoção de um sistema de navegação por satélites denominado GPS.
O GPS tem como objetivo o auxílio à navegação em três
dimensões com elevada precisão nos cálculos de posição mesmo que o
usuário esteja sujeito às mais variadas intensidades de dinâmica, permitindo
inclusive informações em tempo real. Apresenta ainda alta imunidade às
interferências eletromagnéticas, uma vez que as variações de relevo não têm
influência sobre suas transmissões e por operar em altas frequências, estas
são mais precisas se comparadas com as transmissões de rádio em baixas
frequências. O GPS permite ainda uma cobertura global 24 horas por dia, além
de permitir uma rápida obtenção das informações transmitidas por sua
constelação.
8
A seguir, apresentamos o que é o GPS.
2.2 O que é o GPS?
O sistema GPS foi idealizado pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos da América na década de 60, inicialmente com o objetivo de aplicações militares, para disseminação do tempo, determinação de posição, e navegação. Posteriormente foi colocado à disposição para atividades com propósitos civis (LEICK, 1994).
O primeiro conjunto de satélites, chamado de BLOCO I, foi colocado em órbita a partir de fevereiro de 1978, a uma altitude de 20200 km e com uma inclinação de 63 graus. Recentemente, em fevereiro de 1994, o BLOCO II-A ficou também disponível para uso. O último “sobrevivente” do BLOCO I foi desativado, sendo que nove do BLOCO II e quinze do BLOCO II- A, num total de 24 satélites, operam regularmente em órbita circular, distribuídos em 6 planos orbitais, inclinados de 55 graus, e com separação nodal de 60 graus (DOW et al, 1994).
A Figura 2.1 ilustra a distribuição das órbitas dos satélites GPS.
Figura. 2.1 Constelação do GPS.
FONTE: Bertiger et al (1994)
9
Os satélites que compõem a constelação do GPS apresentam uma estrutura de transmissão de sinais conforme se segue:
As informações transmitidas pelos satélites GPS são baseadas no conceito de ondas eletromagnéticas. Todas as transmissões dos satélites são coerentemente derivadas de uma frequência fundamental de 10.23 MHz, e esta é provida a partir de um conjunto de referências de relógio, com referência atômica, embarcados no próprio satélite. Multiplicando a frequência fundamental por 154 e por 120, tem-se respectivamente as chamadas frequências portadoras L1 = 1575.42 MHz e L2 = 1227.60 MHz. O objetivo destas duas frequências é essencialmente eliminar a maior fonte de erro nas medidas, que é a refração ionosférica (WELLENHOF et all, 1992).
Os pseudo-ranges ou pseudo-distâncias são medidos pelos receptores de GPS, a partir do tempo de transmissão dos sinais de cada satélite. A esses sinais são introduzidas as sequências pseudo-aleatórias em ambas as frequências, L1 e L2, ou seja, as portadoras são moduladas com um código.
O primeiro código, chamado de “C/A-code” do inglês
“Coarse/Acquisition-code”, que é um código de precisão inferior, é designado pelo “Standard Positioning Service (SPS)”, ou, Serviço de Posicionamento Padrão, para utilização em aplicações civis. Este código com um comprimento de onda de 300 m modula a portadora L1 exclusivamente, sendo omitido na portadora L2 (WELLENHOF et al, 1992).
O segundo código, chamado de “P-code” do inglês “Precision-
code”, ou, código preciso, é também designado pelo Serviço de
Posicionamento Padrão e é reservado ao uso exclusivo das Forças Armadas
dos Estados Unidos e instituições autorizadas. Este código modula tanto a
portadora L1 como a L2 e apresenta um comprimento de onda de 30 m. O
acesso a esse código foi permitido até que o sistema foi declarado
10 completamente operacional.
Em adição aos códigos introduzidos, as portadoras também são moduladas com informações das efemérides, dos coeficientes do modelo ionosférico, com informações de estado, com o sistema de tempo e com as referências dos relógios dos satélites GPS. A essas informações dá-se o nome de mensagem de navegação, que também é chamada de telemetria, e esta modula ambas as portadoras a uma taxa de transmissão de 50 bits por segundo. A tabela 2.1 resume as informações sobre os sinais transmitidos pela constelação GPS.
Tabela 2.1 sinais transmitidos pela constelação GPS.
BANDAS DE TRANSMISSÃO
TAXA DE MODULAÇÃO
Frequência MHz Código P Código C/A Dados
L1 1575,42 10,23 Mbs 1,023 Mbs 50 bps
L2 1227,60 10,23 Mbs --- 50 bps
Existem dois tipos de observações das informações do GPS: a pseudo-distância e a fase da portadora. Para o caso de se desejar uma alta precisão, se adota a medida a partir da fase da portadora. No entanto a combinação dos dois tipos é comumente utilizada, uma vez que o receptor GPS pode medir o tempo de transmissão e calcular a pseudo-distância ou medir a fase da portadora e calcular a razão da pseudo-distância.
No sistema de navegação GPS, informações de tempo preciso e
das efemérides são oriundas dos sinais recebidos de qualquer um dos satélites
11
da constelação GPS. Esses sinais são demodulados em tempo e fase, de forma correlacionada (WELLS, 1987), e processada de modo a fornecer medidas de pseudo-distância e de razão de pseudo-distância. Estas medidas estão corrompidas pelo desvio do relógio do usuário, daí a denominação de
“pseudo”. De posse da mensagem de navegação, o usuário extrai as efemérides do satélite GPS e os termos de correção de tempo, podendo então determinar sua posição e velocidade (NEGREIROS DE PAIVA, 1990). Caso em determinado instante haja um número suficiente, de satélites GPS visíveis, pode-se geometricamente determinar a posição e a deriva do relógio do receptor com certa precisão, chamada de solução de navegação.
2.3 Antecedentes do GPS
Em 10 de agosto de 1992, foi lançado o satélite TOPEX/POSEIDON, fruto de um projeto conjunto entre o “National Aeronautics and Space Adminitration” (NASA) e o “Centre National d’Etudes Spatiales”
(CNES). O objetivo foi o estudo da circulação dos oceanos e de suas marés, através das medidas da topografia de suas superfícies. Vários sistemas sofisticados de medidas foram utilizados pelo TOPEX/POSEIDON, incluindo um receptor GPS de duas frequências.
O projeto TOPEX/POSEIDON possui a bordo um receptor GPS, como experimento, que é assistido por uma rede de telemetria e um sistema de processamento de dados em terra. Os elementos que compõem o sistema de rastreio do GPS são: a constelação de GPS, o receptor GPS a bordo do TOPEX/POSEIDON, uma rede global de receptores do GPS para prover uma referência terrestre e um centro de monitoramento, controle e processamento.
As Figuras 2.2 e 2.3 mostram respectivamente o satélite TOPEX/POSEIDON e
o seu sistema de rastreio.
12
Figura. 2.2 Satélite TOPEX/POSEIDON.
FONTE: Bertiger et al (1994)
Figura. 2.3. Sistema de rastreio do TOPEX/POSEIDON.
FONTE: Bertiger et al (1994)
A experiência de determinação de órbita utilizando o receptor
GPS, embarcado no TOPEX/POSEIDON, denominada de “PRECISION ORBIT
DETERMINATION” (POD), ou seja, determinação precisa de órbita requer um
rastreio contínuo da constelação GPS, que por sua vez é simultaneamente
observável pelos receptores de terra e de bordo.
13
Existe uma grande quantidade de artigos que discorrem sobre a determinação de órbita através do GPS e seus vários métodos. De um modo geral, estudos demonstraram que sua utilização permite uma precisão que pode chegar ao nível de poucos centímetros para a determinação da posição radial (altitude) da órbita de satélites a baixa altitude (aproximadamente 1000 km). Porém o maior problema é a escolha de um sistema de rastreio que permita a maior cobertura possível da órbita e isso depende do compromisso entre o objetivo da missão e as ferramentas disponíveis (CRETAUX, 1993).
A utilização do GPS permite, sob todas as condições ambientais e durante as 24 horas do dia, obter uma alta precisão de posicionamento a partir de um conjunto mínimo de 4 satélites.
Para o caso de Satélites de Baixa Altitude (SBA), existem
algumas considerações a fazer. A primeira diz respeito ao atraso de tempo, o
que confere ao receptor do GPS um erro de alguns quilômetros, uma vez que o
SBA se desloca com uma velocidade em torno de 7 km/s. A segunda se refere
à cobertura proporcionada pela constelação do GPS, pois na superfície
terrestre essa cobertura é conferida por um número de satélites maior do que
no espaço, conforme mostra a Figura 2.4. As Figuras 2.5 e 2.6 mostram,
respectivamente, o número de satélites visíveis e utilizáveis ao longo de um
determinado período de tempo. Cabe salientar, que essas considerações são
previstas e devem ser corrigidas pelo algorítmo utilizado no problema da
determinação de órbita (ZHANG; YANG, 1993).
14
Figura. 2.4. Região visível e utilizável em órbita terrestre baixa.
FONTE: Zhang e Yang (1993)
Figura. 2.5. Satélites visíveis em órbita baixa.
FONTE: Zhang e Yang (1993)
15
Figura. 2.6 Satélites utilizáveis em órbita baixa.
FONTE: Zhang e Yang (1993)
16
17
CAPÍTULO 3
CONCEITOS BÁSICOS
3.1 Introdução
Neste capítulo, faz-se uma revisão dos conceitos básicos e teóricos, utilizados neste trabalho. Esta revisão desde os processos de determinação de órbita, passando pelos conceitos de estimação e chega ao método matemático que é utilizado na elaboração de um software, cuja aplicação fim é a determinação de órbita utilizando as informações provenientes do sistema GPS.
Os modelos matemáticos utilizados para a determinação de órbita, devido a problemas de implementação computacional, tempo de processamento, dentre outros, não consegue abranger todas as perturbações que possam afetar a órbita de um satélite. Assim sendo, é necessário que se faça a correção de certos parâmetros periodicamente. Por isso, faz-se necessário conhecer as medidas ou se proceder às observações do satélite, e utilizar alguma técnica de estimação para que se possa fazer as devidas correções, a partir dos dados medidos (VIEIRA NETO, 1994).
3.2 Métodos para determinação de órbita utilizando o GPS
A determinação de órbita, de um modo geral, envolve vários aspectos de natureza distinta. Envolvem modelagem da dinâmica e dos dados mensurados, estabilidade numérica dos algoritmos de processamento, e o esquema de estimação de estado, todos contribuindo em maior ou menor grau para a precisão final.
O problema da determinação de órbita consiste basicamente no
18
processo de obtenção dos valores dos parâmetros que especificam completamente o movimento (a trajetória) de um corpo espacial (no caso um satélite artificial), através do espaço baseado num conjunto de observações do corpo (RAOL; SINHA, 1985). Estas observações podem ser coletadas através de uma rede de rastreio terrestre ou através de sensores, que no caso deste trabalho são os receptores GPS, embarcadas no próprio satélite.
Os métodos ou processos utilizados na determinação de órbita através dos receptores GPS são basicamente os seguintes:
MÉTODO DINÂMICO
MÉTODO DA DINÂMICA REDUZIDA
MÉTODO GEOMÉTRICO ou CINEMÁTICO
3.2.1 Método Dinâmico
Os satélites artificiais terrestres são influenciados constantemente por forças perturbadoras (KONDAPALLI, 1986), tais como:
* atração gravitacional devido a imperfeições do corpo central (não esfericidade, densidade variável, etc.);
* atração gravitacional devido ao Sol e a Lua;
* força de arrasto aerodinâmico;
* força de marés devido ao Sol e a Lua;
* força de pressão de radiação solar.
19
Na prática uma órbita verdadeira nunca segue uma órbita Kepleriana. Não obstante, os elementos orbitais da órbita Kepleriana são determinados a partir de uma análise convenientemente aproximada da órbita real (CHOBOTOV, 1991).
Devido à forma complexa da dinâmica de órbita, uma solução analítica não é disponível para uma órbita real, onde atuam múltiplas forças como as mencionadas. Um corpo tem sempre sua órbita determinada a partir de um modelo matemático e dos dados observados.
A equação geral das forças que atuam em um satélite e definem o seu movimento é dada por:
&&
r=AG+AA+AL +AS+APR+AML +AMS+AO
(3.1)
onde:
A
G:aceleração do campo gravitacional terrestre A
A: aceleração de arrasto aerodinâmico
A
L:aceleração de atração da Lua A
S:aceleração de atração do Sol
A
PR:aceleração de pressão de radiação solar A
ML:aceleração devido às marés da Lua A
MS: aceleração devido às marés do Sol
A
O: aceleração devido a outras perturbações não mencionadas acima
O conceito do método dinâmico para a determinação de órbita
leva em conta todas as parcelas da equação de movimento. Obviamente que
parcelas como, por exemplo, a atração do campo gravitacional terrestre são
20
expandidas em série até o harmônico onde se deseja truncar a série, de acordo com a precisão necessária em função do modelo para geopotencial adotado.
As forças perturbadoras são incluídas no modelo conforme a situação física apresentada e com a precisão que se pretende para a determinação da órbita. Por exemplo, para satélites de baixa altitude é fundamental a inclusão do arrasto aerodinâmico, além obviamente do geopotencial (BROWN, 1992), enquanto que para satélites de grande altitude, torna-se necessário levar em conta a pressão de radiação solar, e a perturbação lunissolar, ficando o truncamento do geopotencial a critério do grau de refinamento que se deseja do modelo.
Um exemplo de expressão para o potencial gravitacional terrestre (WERTZ, 1978) até o terceiro harmônico, considerando apenas os harmônicos zonais, é dado por:
U r J R
r sen J R
r sen sen
e e
= +
−
−
−
µ 1 1 φ φ φ
2 3 2
5 2
3
2 2
2
2 3
3
3
(3.2)
No caso da força de arrasto, ela é devido ao atrito causado pelo movimento do satélite na atmosfera terrestre. Esta força tende a “freiar” o satélite, atuando no sentido contrário ao seu movimento.
A expressão para a força de arrasto é dada por:
D = - 1
2 ρ C
DSv
R(3.3)
:
onde:
21
ρ
: densidade local do ar
C
D: coeficiente de arrasto atmosférico S : área efetiva de contato
V
R: vetor velocidade do satélite em relação à atmosfera terrestre
Convém lembrar que, na modelagem do método dinâmico, todos os parâmetros necessários ao cálculo do arrasto são modelados para a situação em que se deseja determinar a órbita.
Conforme a Figura 3.1, pode-se notar que a idéia é tentar “tornar”
a órbita observada o mais próximo possível da órbita modelada. Isto é conseguido reduzindo-se o erro residual entre a órbita observada e a órbita dada pelo modelo dinâmico utilizado.
Figura. 3.1 Órbita observada e órbita modelada.
FONTE: Adaptada de Bertiger et al (1994).
Fliegel et al (1992), para o caso particular do satélite TOPEX/POSEIDON, utilizou o modelo dinâmico “JOINT GRAVITY MODEL-2”
(JGM-2), enquanto que o modelo usado pelos satélites GPS, neste
experimento, continha somente duas componentes: o modelo do campo
22
gravitacional JGM-2 de ordem 12 e o modelo da força de radiação solar conhecido como T10 e T20.
Quando se utiliza um modelo dinâmico com um grande número de parâmetros, o movimento orbital do satélite é restringido pelo modelo dinâmico. As deficiências daquele modelo podem resultar em grandes erros na determinação da órbita, uma vez que as componentes do vetor de estado são fracamente observadas porque o processo dos mínimos quadrados conduz os erros do modelo àquelas componentes (MELBOURNE et al, 1994).
O modelo completo necessita de um maior número de satélites observáveis da constelação GPS e, para um satélite posicionado a baixa altitude, este número é reduzido sobremaneira, tornando difícil a modelagem da força de atração gravitacional terrestre e o arrasto aerodinâmico. Tudo isso diminui a precisão da determinação da órbita. Esses dados foram observados por Willian G. Melbourne e outros, do “Jet Propulsion Laboratory” (JPL), na Califórnia, em suas experiências com o TOPEX/POSEIDON.
Uma alternativa que vem sendo bastante utilizada, no sentido de minimizar os erros na determinação de órbita com o receptor GPS, é a adoção de um método denominado de DINÂMICA REDUZIDA, cuja descrição será mostrada a seguir.
3.2.2 Método da dinâmica reduzida
Esta técnica permite combinar o método de determinação dinâmico com o não dinâmico (geométrico), onde se utiliza apenas as informações de posição obtidas através do receptor GPS.
No caso da dinâmica reduzida, pode-se ou não subtrair alguns
elementos perturbadores do modelo dinâmico, dependendo da experiência a
23
ser realizada e do que se pretende depreender dela. Esta redução se deve também ao fato de que os coeficientes das expansões em série, passam a ter certa ponderação ou peso em relação aos demais.
O principal atrativo da dinâmica reduzida está na combinação entre o método dinâmico e o não dinâmico, uma vez que este descarta as informações associadas ao modelo dinâmico, o que torna possível a redução dos erros na determinação de órbita e também reduz a complexidade do processo da solução. Embora ambos os métodos tenham o seu valor independentemente, uma combinação entre eles pode ser bastante proveitosa.
Existem situações onde o método geométrico é bom e o dinâmico não. Então um acréscimo de informações dinâmicas não justifica a pequena melhoria de precisão, devido à sua complexidade. Por outro lado, em situações onde o geométrico é ruim e o dinâmico bom, um acréscimo de informações dinâmicas pode conduzir a uma substancial melhora de precisão (WU et all, 1991).
Portanto, a técnica da dinâmica reduzida contempla a utilização dos dois métodos, dinâmico e não dinâmico, onde cada um tem o seu peso apropriado.
A ponderação sobre as informações dinâmicas é controlada através do ajuste dos parâmetros de ruído representados por uma força fictícia em 3 dimensões, ou seja: a = a
G+ a
D+a
O+ a
F, onde a aceleração total (a) é dada pelo somatório do geopotencial (a
G), arrasto aerodinâmico (a
D), outras perturbações (a
O) e uma força em três dimensões (a
F).
A solução dinâmica baseia-se no ajuste de um conjunto mínimo
de parâmetros, preservando-se ao máximo o peso dos dados e produzindo o
mínimo de erros formais gerados pelos ruídos. Porém, esse método pode
24
sofrer grandes erros provenientes da má modelagem de alguns parâmetros dinâmicos. Já o modelo geométrico ou cinemático, elimina completamente o erro de modelagem, uma vez que é baseado apenas nos dados de observação da órbita. Portanto, seus erros podem crescer imensamente (WU et all,1991).
O que se faz para conseguir uma modelagem de dinâmica reduzida é utilizar um filtro sequencial de Kalman aliado a uma análise de covariança. Desta forma, permite-se a combinação das duas técnicas, dinâmica e geométrica, tendo como produto final a redução do erro global, aumentando assim a precisão na determinação da órbita para algo em torno de alguns centímetros em esquemas mais sofisticados (WU et all, 1991).
3.2.3 Método geométrico ou cinemático
Este é o método mais simplificado para a determinação da órbita de um satélite. É uma técnica que não requer nenhuma modelagem dinâmica, ou seja, não leva em conta informações sobre o geopotencial, arrasto aerodinâmico ou qualquer outro tipo de perturbação. Baseia-se apenas nas informações instantâneas de posição e, por conseguinte não necessita de implementações computacionais complexas.
O método geométrico pode ser usado onde não se demande precisão da ordem de centímetros. Em geral, ele permite um posicionamento com uma precisão que vai de dezenas a centenas de metros.
O erro introduzido por este método deve-se basicamente a erros
advindos do sistema GPS e erros do receptor do satélite usuário. O sistema
GPS produz duas fontes básicas de erros oriundos do SA (“Selective
Availability”), qual sejam: erros de corrupção do relógio GPS e erros nas suas
efemérides transmitidas. O receptor do usuário, por outro lado, apresenta
25 erros devido à deriva do seu oscilador.
A Figura 3.2 fornece a idéia básica de como se determina a posição de um satélite, utilizando o método geométrico.
GPS1
GPS2
GPS3
USU r2
r3
r1
(X1,Y1,Z1) (X3,Y3,Z3)
(X2,Y2,Z2)
(x,y,z)
Terra
Figura. 3.2 Determinação de posição utilizando GPS.
Numa situação ideal, sem deriva do receptor, obtém-se um sistema de três equações a três incógnitas. Daí pode-se determinar a posição do receptor do satélite a cada instante desejado. Essas equações são as seguintes:
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
r X x Y y Z z
r X x Y y Z z
r X x Y y Z z
1 1
2 1
2 1
2 1 2
2 2
2 2
2 2
2 1 2
3 3
2 3
2 3
2 1 2
= − + − + −
= − + − + −
= − + − + −
(3.4)
onde r
i, i = 1,2,3 é a distância entre o satélite usuário, de coordenadas x,y,z; e
o i-ésimo satélite GPS, de coordenadas X
i,Y
i, Z
i.
26
A partir das informações dos valores de X
i, Y
i, Z
i, fornecidas ou pela mensagem transmitida, ou através das efemérides precisas do
“International GPS Geodynamics Service” - IGS (Serviço Internacional de GPS para Geodinâmica) pode-se determinar as coordenadas de posição (x, y, z) do satélite. Porém, para a obtenção de resultados mais precisos, são utilizados no mínimo 4 satélites da constelação GPS para se determinar a constante de tempo t
ooque representa o erro de sincronização do relógio do satélite usuário.
Desta forma, usa-se o sistema formado pelas quatro equações e quatro incógnitas mostrado abaixo:
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
C t−t0 =D1= X1−x + Y −y + Z −z
2 1
2 1
2 1 2
(3.5)
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
C t−t0 =D2= X2−x + Y −y + Z −z
2 2
2 2
2 1 2
(3.6)
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
C t−t0 =D3= X3−x + Y −y + Z −z
2 3
2 3
2 1 2
(3.7)
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
C t−t0 =D4= X4−x + Y −y + Z −z
2 4
2 4
2 1 2
(3.8)
Como se está considerando um satélite em órbita baixa, a partir de quatro satélites GPS pode-se ter uma boa precisão na determinação de sua posição. Como se pode notar, a álgebra envolvida é bastante simples, bem como computacionalmente não existe qualquer complexidade. Os problemas que surgem neste método estão relacionados à escolha dos 4 satélites GPS melhor posicionados geometricamente que produzem a maior precisão.
As Figuras 3.3 e 3.4 fazem, respectivamente, uma ilustração
qualitativa e quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico, e
os resultados alcançados por cada um deles.
27
Figura. 3.3 Comparação qualitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico.
FONTE: Wu et al (1991)
Figura. 3.4 Comparação quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico.
FONTE: Wu et all (1991)
Conforme se pode notar pela Figura 3.3, o método dinâmico
tende a “suavizar” a órbita verdadeira, aproximando-a da órbita estimada. Já a
Figura 3.4 mostra que os erros introduzidos pelo modelo geométrico resultam
num erro maior na determinação de órbita do que quando se utiliza o modelo
de dinâmica reduzida.
28
Em outras palavras, observando-se a amplitude do erro residual, este é bastante reduzido pelo método dinâmico, se comparado com o método geométrico; contudo o método da dinâmica reduzida aproxima sobremaneira a órbita verdadeira da órbita estimada.
Deve-se ter em mente que o tipo de método a ser escolhido depende do tipo de missão que se tem em estudo, das “ferramentas”
disponíveis, dos objetivos pretendidos, da precisão que se deseja nas medidas, no nível de erros admissíveis. Enfim, depende de uma série de considerações que devem ser levadas em conta quando se pretende determinar a órbita de um satélite.
3.3 Teorias de estimação
A teoria de estimação, como a própria palavra já define, trata da estimação de um fato a partir de dados observados ao longo de um determinado período de tempo.
A teoria de estimação (LIEBELT, 1967) se aplica em várias áreas, tais como: economia, física, química, engenharia em suas diversas especialidades, biologia, enfim, em todos os campos onde se deseja ou se pretende conhecer melhor o fenômeno.
No caso da área aeroespacial, pode-se, por exemplo, lançar uma sonda espacial, acompanhar sua trajetória orbital, gravar ou armazenar esses dados, estimar sua posição atual no espaço e então predizer sua posição futura.
O problema geral de estimação pode ser formulado da maneira
descrita nos parágrafos abaixo.
29
Considera-se X como sendo o vetor cujas componentes são as variáveis a serem estimadas. Ele é assumido como sendo uma função de um θθθθ , que corresponde às observações realizadas. No caso de θθθθ ser uma função contínua do tempo, suas componentes constituem vários tipos de dados contínuos e temos o problema de estimação contínua. No caso das observações serem realizadas em tempos discretos, temos o problema de estimação discreta e, as m componentes de θθθθ representam diferentes tipos de dados em um mesmo ou em diferentes instantes de tempo. Em qualquer caso, é assumido que existe uma função conhecida que relaciona θθθθ com o vetor X, ou seja:
θθθθ = θθθθ (X) (3.9)
Por outro lado pode-se analisar o problema da estimação não linear, que consiste na estimação do vetor X baseado em um conjunto de observações de θθθθ.
Um bom exemplo deste problema é a aplicação espacial, conforme já citado anteriormente, onde o vetor X representa o estado (posição e velocidade) de uma sonda espacial em um determinado tempo t
0, podendo incluir também mais uma constante física. O vetor de observação consiste em um conjunto de medidas de distância, taxa de variação de distância e de ângulos relativos a um dado radar de rastreio. Podemos então estimar o estado (posição e velocidade) X(t
0) inicial da sonda e as constantes físicas e então prever a sua órbita futura.
Em geral, problemas de estimação como o mostrado acima são
de difícil solução, seja analítica ou numericamente. Isso ocorre porque não
existe uma única solução, uma vez que existem várias estimativas para o
problema. Qual a solução escolhida irá depender do critério de estimação
adotado.
30
Desde que a estimação geralmente implica em um erro entre o valor verdadeiro ou nominal e os valores decorrentes do processo de estimação, é natural tentarmos minimizá-lo (LIEBELT, 1967).
Pode-se ter um estimador que se utiliza da teoria do filtro de Kalman ou da teoria dos mínimos quadrados. Para o caso da solução do nosso problema de determinação de órbita utilizando a solução de navegação do GPS, adotamos a teoria dos mínimos quadrados como método de determinação de órbita.
Para verificar a viabilidade do procedimento, utiliza-se a teoria de mínimos quadrados por ser um processo mais robusto. Dependendo do uso pode-se optar pelo melhor procedimento para cada caso. Assim, no caso de navegação autônoma, usar-se-á naturalmente, o filtro de Kalman por ser um estimador de tempo real. Se a determinação de órbita for realizada “off-line”
em computadores em terra, pode ser preferível o método dos mínimos quadrados, que produz um resultado estatístico mais suave.
3.4 Teoria básica de Mínimos Quadrados
Estimação de órbita é um problema de grande importância no que tange à órbita de satélites artificiais. Ela envolve a comparação entre as observações realizadas por estações de rastreio e a órbita predita ou propagada, obtida a partir de um modelo matemático (KONDAPALLI, 1987).
Neste caso o método dos mínimos quadrados pode ser visto como um procedimento numérico que trata dos dados observados da trajetória do satélite para obter uma estimação dos parâmetros do mesmo.
Discorrem-se agora alguns conceitos sobre a teoria dos Mínimos
31 Quadrados.
Fa-se
xe
ydois vetores reais de forma que representem um estado físico e um estado observável de um sistema dinâmico. Desta forma podemos assumir que
yé relacionado a
xatravés de uma Função Vetorial do tipo:
y=f x( )
(3.10)
Considerando que qualquer processo de observação envolve imperfeições que não podem ser modeladas de uma maneira determinística, assume-se que as imperfeições observadas em
ysão modeladas de maneira randômica e representadas por um vetor
n. Assim sendo, a equação anterior fica na forma:
y=f x( )+n
, (3.11)
que é denominada de equação não linear regressiva.
O objetivo é tentar estimar um valor de
xque minimize a soma ponderada do quadrado dos resíduos da observação, entre a observação atual e a observação computada a partir da utilização de um modelo matemático.
Obviamente que está implícito se assumir que o modelo matemático apresenta uma precisão suficiente.
Matematicamente, existe uma quantidade escalar dada por:
[ ] [ ]
Q x ( ) = y − f x ( )
TW y − f x ( ) (3.12)
onde W é a matriz peso e Q é a função custo a ser minimizada.
32
No processo de minimização, uma informação a priori de estimação do estado
xzeroé assumido ser conhecido. O desvio de
x0a partir do valor nominal do estado é considerado como sendo de média zero e sua matriz de covariança é assumido também ser conhecida (NASA, 1976).
A condição necessária para minimizar
Q x( )com relação à
xé a derivada parcial em relação à
xque dever ser zero, ou seja:
∂
∂ Q
x = 0 (3.13)
Desta maneira, o valor de
xque minimiza Q é a raiz da equação:
[ ) ]
∂
∂
∂
∂ Q
x y f x W f
x
= − 2 − (
T= 0 (3.14)
Uma maneira de solucionar a Equação 3.14 é fazendo sua linearização, isto é, expandindo
f( )
xnuma Série de Taylor em torno de
x0e extraindo os termos de primeira ordem. Assim procedendo, temos:
( ) ( )
f x = f x
0+ H x ∆ (3.15)
onde:
∆ x = − x x
0(3.16)
e
33
H f
x
x x=
=
