Lógica para Computação (IF61B) Introdução à Lógica

Introdução à Lógica

Slides da disciplina “Lógica para Computação”, ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.

(_{kaestner@dainf.ct.utfpr.edu.br) entre 2007 e 2008.} Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto

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Três citações*

1. É razoável esperar que a relação entre a

computação e a lógica matemática produza tantos frutos ... quanto a que se instalou entre a Análise Matemática e a Física no curso do século XIX (John McCarthy, 1963).

(*) extraídas de “Logique: Méthodes pour l´informatique fondamentale”, de Paul Gochet e Pascal Gribomont, Hermes, Paris, 1990.

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Três citações

1. Ao longo da maior parte do século XX, a Lógica Matemática foi principalmente utilizada para a

introspecção. Como ferramenta para a criação de provas na prática cotidiana, ainda não teve sua chance. Para que possa realizar todas as

potencialidades parece ser necessário conceber o objetivo da Lógica como sendo não de mimetizar o pensamento humano, mas como o de fornecer um

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Três citações

1. As conexões entre a Lógica e a Informática

crescem e se aprofundam rapidamente. Ao lado da demonstração automática, da programação em

lógica, da especificação e verificação de

programas, outros setores revelam uma fascinante interação mútua com a Lógica, como a teoria de

tipos, a teoria do paralelismo, a inteligência artificial, a teoria da complexidade, as bases de dados, a

semântica operacional e as técnicas de compilação (José Meseguer).

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_{História da Lógica:}

http://pt.wikipedia.org/wiki/História_da_lógica

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Lógica:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica

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O que é Lógica ?

1. O estudo da Lógica é o estudo dos métodos e

princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto (“Introdução à Lógica”, Irving M. Copi, Ed. Mestre Jou, São Paulo, 1968);

2. A Lógica formal é uma ciência que determina as

formas corretas (ou válidas) de raciocínio (“Noções de Lógica Formal”, Joseph Dopp, Ed. Herder, São

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O que é Lógica ?

1. Lógica é o estudo de argumentos. Um argumento é uma seqüência de enunciados na qual um dos

enunciados é a conclusão e os demais são

premissas, as quais servem para provar, ou pelo

menos fornecer alguma evidência para a conclusão (“Lógica”, John Nolt e Dennis Rohatyn, Makron

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O que é Lógica ?

1. Lógica, hoje, designa uma vasta área do

conhecimento, com implicações em praticamente todas os demais domínios da investigação. Da

antiga disciplina que estudava "o raciocínio correto", ou as "formas válidas de inferência (ou de

raciocínio)", a lógica transformou-se em uma

disciplina que alcançou resultados que, em termos de complexidade e profundidade,nada ficam

devendo aos maiores resultados da matemática. Aliás, a lógica é, presentemente, uma disciplina de características matemáticas... (“Lógica: uma visão geral da lógica atual”, Newton C.A. da Costa e

• No artigo intitulado “Truth of a proposition, evidence of

a judgment, validity of a proof” o lógico-matemático P.

Martin-Löf constata que não se pode expor a Lógica (ou uma lógica) sem utilizar 5 noções primitivas:

1. A noção de proposição;

2. A noção de verdade de uma proposição; 3. A noção de asserção ou julgamento;

4. A noção de evidência ou de prova de um julgamento; 5. A noção de correção ou validade de uma prova.

• Outros conceitos:

1. Termos gerais (ou universais) X termos singulares (ou individuais);

1. Designação por intenção X por extensão;

– Intenção: qualidades ou propriedades que constituem o conceito;

– Extensão: consiste dos elementos (exemplos) que constituem o conceito.

• Conceito de proposição (desde Platão):

• Combinação de um substantivo e de um verbo,

constituindo um sentença declarativa à qual se pode atribuir um valor verdade (no caso clássico, verdadeiro ou falso):

“O homem aprende”; “O céu é azul”;

“Hoje é terça-feira”.

• A tradição aristotélica: lógica é o estudo da concepção, do julgamento, e do raciocínio;

– Os conceitos são expressos por termos gerais; – Os julgamentos são expressos por proposições; – Os raciocínios são seqüências de proposições.

• Em Aristóteles as proposições são constituídas por dois termos gerais ligados pelo verbo ser na forma “é” ou

“não é” (ligação chamada de cópula lógica).

• As proposições são relacionadas logicamente de acordo com o “quadrado lógico” ou “ tábua de oposições”.

Tábua de oposições

A

O

I

E

• Tipos de proposições e exemplos:

– A: afirmação universal (todo homem é mortal); – E: negação universal (nenhum homem é mortal); – I: afirmação particular (algum homem é mortal);

– O: negação particular (algum homem não é mortal).

• Relacionamento entre proposições :

– A e E são ditos contrários; se a proposição A é verdadeira então E é falsa;

– A e O e também E e I são contraditórios: não podem ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;

– I e O são sub-contrários: não podem ser ambos falsos;

– I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então O também o é.

• Relacionamento entre proposições:

– A existência de quatro tipos de proposições não é coincidência: representam as quatro relações possíveis entre as extensões dos termos gerais;

– O matemático Euler representou as quatro relações lógicas na forma de diagramas de conjuntos (diagramas de Venn-Euler).

• Se S é o termo sujeito e se P é um predicado então as proposições correspondem aos diagramas a seguir.

• Proposição A: inclusão total (todo S é P)

• Proposição E: exclusão total (nenhum S é P)

• Proposição I: inclusão parcial de S em P (algum S é P)

• Proposição O: exclusão parcial de S em P (algum S não é P) S P P P S S S P

• Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de seqüências de

proposições geradas por inferências imediatas obtidas da tábua de oposições.

• Um silogismo é um discurso no qual, estando dadas certas

proposições premissas, uma nova proposição conclusão é obtida necessariamente e unicamente a partir das premissas.

• Usualmente os silogismos são apresentados da seguinte forma:

» Premissa maior » Premissa menor » Conclusão

• O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o termo maior (P) é o predicado da conclusão, e o termo comum às premissas é o termo

• Exemplos:

– Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior) – Todos os homens são mamíferos (premissa menor) portanto

– Todos os homens são vertebrados (conclusão).

• Neste caso o termo menor S é “todos os homens”, o termo maior P é “vertebrados”, e o termo médio M é “mamíferos”.

• Este silogismo tem portanto a forma: • Todas as proposições são do tipo A.

MP SM SP

• Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O) então há 43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou seja 256 silogismos

no total;

• As figuras do silogismo são:

1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura

Premissa maior

_MP

_PM

_MP

_PM

Premissa menor

_SM

_SM

_MS

_MS

• Nem todos os silogismos são válidos; o estudo da Lógica por Aristóteles, e posteriormente na idade média, buscou separar os silogismos válidos, ou seja, aqueles em que a conclusão segue necessariamente das premissas;

• Pode-se deduzir a validade ou não de um silogismo a partir dos diagramas de Venn-Euler correspondentes;

• Exemplo:

– Nenhum peixe (M) é mamífero (P) <tipo E>; – Todos os robalos (S) são peixes (M) <tipo A>; portanto

– Nenhum robalo (S) é mamífero (P) <tipo E>. • Ou, esquematicamente: S M P MP<E> SM<A>

• Exemplo:

– Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>; – Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>; portanto

– Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>. • Esquematicamente: S M P MP<A> SM<I> SP<I>

• Em alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam o inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo, várias representações geométricas; • Exemplo: S M P MP<E> SM<I> SP<O> S M P S M P

• Verdade e validade (ou correção):

– Um silogismo é válido (correto) se e somente se (sse) a verdade da conclusão segue necessariamente da verdade das premissas;

– Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das premissas à conclusão;

– Esta definição exclui a possibilidade de que um silogismo válido possa ter premissas verdadeiras e conclusão falsa;

– Isto não exclui a possibilidade de que a conclusão de um silogismo válido seja falsa; neste caso alguma das premissas é falsa.

• Exemplo:

– Todos os animais marinhos são peixes; – Todas as baleias são animais marinhos;

Exercícios introdutórios:

1. Consulte os links indicados e navegue sobre assuntos relacionados à história da Lógica e à sua definição;

2. Pesquise a definição de paradoxo e exemplifique este conceito;

• Exercícios sobre lógica aristotélica:

1. Indique a forma do silogismo (termos, figura, diagrama), e indique se mesmo é válido ou não:

a) Todos os gregos são homens; Todos os atenienses são gregos; Todos os atenienses são homens. b) Todos os socialistas são marxistas;

Alguns governantes são marxistas; Alguns governantes são socialistas.

c) Todas as ações penais são atos cruéis;

d) Alguns papagaios não são animais nocivos; Todos os papagaios são animais de estimação; Nenhum animal de estimação é nocivo.

e) Nenhum ator dramático é um homem feliz; Alguns comediantes não são homens felizes;

Alguns comediantes não são atores dramáticos. f) Todos os coelhos são corredores muito velozes;

Alguns cavalos são corredores muito velozes; Alguns cavalos são coelhos.

2. Escreva na forma típica, indique termos, figura, diagrama, e verifique a validade:

a) Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio

mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio mercante, visto que todos os submarinos de propulsão nuclear são vasos de guerra;

b) Alguns conservadores não são defensores de tarifas

elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas são republicanos, e alguns republicanos não são conservadores; c) Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro é

bom professor; portanto, como algumas pessoas bem