Theorie du Potential Newtonien

Texto

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(2) 1. ^bi^^^^^^^ttîWK»J^^. 1. viiiit. 'â'axb. ûnlap. ODiiscrliatorg. Dr......C.« ..A......Ç.hant. April.l^,.. 19.55.... 1 1 Kbô7Ô06. Library of the. University of Toronto. ^.

(3) ,. .4m. ^''. ''^*^.

(4) //.. Digitized by the Internet Archive in. 2010 with funding from University of Ottawa. http://www.archive.org/details/c1thoriedupotent00poin.

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(9) THEOHIE. POTENTIEL NEWTONIEN.

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(11) THEORIE DU. POTENTIEL NEWTONIEN LEÇONS PROFESSEES PENDANT. l'KKMIKK. I, l:. A EA. S E. M. KSTK K. SORBONNE l8t)4-l8f)5. PAR. POIXCARÉ. H. M. E. DE. MBRE. I.. '. I. NSTITUT. REDIGEES Edouard LE. ROY. Georges. Ancien élève de l'EcoU' iiormale supérieure. Docteur es sciences.. VINCENT. AsrégO-pr/parateur. ;i. l'École. normale. supérieure.. é. §J PARIS Georges. CARRÉ 3. ,. XAUD, Éditeurs. et G.. R uE. nAC. •899. I. XE. ,. 3.

(12) /. o<^ o.

(13) THKORII';. POTENTIEL NEWTOXIEX. Cil. API TUE l'IiEMlEll. POTENTIEL EN IN l'OINT EXTÉRIEUR AUX MASSES AGISSANTES ÉQUATION DE LAPLACE. EXEMPLES.. —. DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES. Définition du potentiel en général.. 1.. attiré. par n points fixos P,,. X, V, z les. a;, bj, c,. par. r^. celles. du point. distance MPj.. tance est donnée par. if=(x. —. Pn-. Sttit iiu fig-. point mobile. Pj, et. ('ctte disla relation. — + — Iv'+z — ai)-. Enfin, soit. i'y. 1/. (rj). la. :. c./.. valeur de. l'attraction qu'exerce le point P,. ^^ 1-ig.. sur le point M. Les composantes. de. cette. attraction sont. :. Xi=r,(rO-li. r.W-iî^. Y.. z, POi>"CARÉ. Potent. Ncwt.. =. f,. .M. L. Désignons par. coordonnées du point M,. par. la. P,,.... ..

(14) NEWTOMEN. THÉORIE DU POTENTIEL. 2. La résultante des actions exercées sur points P a pour composante suivant OX. M. point. le. par les n. :. X. =. i\. (r,. *. '. ^^^^=^^ :. r.. +. f '. (r J. -^^^^ 1. .,). +. .. . .. +. r'„ (r. J. ^^^ 1. .,. n. ^. 1. ou, pour abréger,. x=VrM "-^ r. Les deux autres composantes sont pareillement. :. Z' Nous appellerons potentiel. la. fonction. :. v=-;^r(,.). Ses dérivées premières sont liées aux composantes de l'attraction par les relations. :. ÔV. X. Ox. OV. Y. ^}-. oy_. Z Oz. —. 2. Potentiel ne-wtonien.. varie. obtenu s'appelle .... y;o/e/t//e/. ,. ,. •. '. = —m;. 4-. i-i. i. '. Si. suppose que l'attraction. l'on. du carré de. en raison inverse. On. newtoiiien. „. et. la. ,. mi désigne la masse du point attirant masse du point attiré M.. .. ri). fi. ri". '. distance, a,. dans. =. •. P;, l'unité. le. potentiel. ce cas,. m ;. r;. choisie étant la.

(15) n. .. '. POTEyriEL LOGMUTIlMiqU L'expression du potentiel est donc. et celle des. composantes de. l'attraction. =. A. :. m. > /,. :. -.. ,. 1.-. ^--2 z. S'il. =. y. C. n'y a qu'un point attirant et. 7.. sa. si. expressions précédentes deviennent. masse. est égale. ;i. 1,. les. :. r. logarithmique.. 3. Potentiel. —. On. appelle ainsi. le. potentiel. obtenu en supposant que l'attraction varie en raison inverse de la. distance.. On '. r„. a. i. donc. i^'O. :. = ^r^. î. l''i). =. ï«g. "li. —. désignant une constante.. On. en déduit sans peine les formules suivantes. V=y^mlog-^, ,. X. L. —X = ox— = v^ \ m a. V. ^;^. ^j. r-. Ov. /_j. r-. = —Oz— =. \. m t. ;. V-. ,. :.

(16) ^. THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN. 4. — Supposons que. Remaiique.. ^. y. tendra vers 0.. Au. M s'éloigne indéfiniment, m log-^ tendra vers — co.. point. le. >. contraire,. Ainsi Ton peut dire qu'à l'infini le potentiel newtonien s'annule,. au lieu que. le. potentiel logarithmique est égal à. —. 4. Equation de Laplace. 0-V O'V 0-V. — — — -. -,. dy-. ôx". .. ,. du. :. ,. Formons. les. —x. dérivées. .. .. .. secondes. ,.. ,. .. newtonien en un point distinct des. ])otentiel. Oz-. points attirants.. 6. \ m. ——,. \. j— r^. ^X7^. *^^V. (b (h. —. v^ m. v)'V)^. 5. — ^=3ym"-''"-y ^ z)«. (c. ^. <>z-. r*^. m '. r^. membre à membre et appelons, AV la somme des trois dérivées. Ajoutons ces trois relations suivant la notation connue,. secondes que nous venons de calculer. (x-a)^. AV. =. Le. potentiel newtonien. il. ;. vient. + — b)^+ (z(y. satisfait. dimensions, à V équation de Laplace. :. c. donc, dans Vespace à. \N. =. trois. en tout point distinct. des points attirants.. Pareillement,. a. t. AV. le. potentiel logaritlunicjue satisfait, dans. équation de Laplace-—-. =. —— =. os.'. 0.. On. a. \. ^^^-. en effet pour ce potentiel. Ox^. (). Oy-. ^2Ym^^^-;"''. le. plan. que Ion cent encore ^. :. -y-^. .^_2Vm-iiir:lil-V-.

(17) !:. membre. Ajoutons. nos. Q UA. DE LA PLACE. membre. à. en remarquant que. (a-x)^+(b-y)^=r^ nous aurons. :. 0.. Ox-. On. peut, de. même,. M'. '. définir,. dans l'espace. à. n dimensions, un. potentiel analogue au potentiel newtonien dans l'espace à trois. dimensions. et. X,, x^,...x„ les. sions. au potentiel logarithmique dans. généralisation de l'équation de Laplace.. Le potentiel. Ox.-. Ox.. '. désigne toujours. point attirant. la. loin,. à. une attraction proportionnelle. distance du point attiré. (aj,a^,..., a^) et est. (Xj, x,,...,. donné par l'expression. + Limites supérieures des dérivées de — — Avant .,)^. 5.. :. obtenu correspond. ainsi r. la. dimen-. de n variables. en question sera une fonction. satisfaisant à l'équation. qui est. Appelons. à n. \. le potentiel. ;. le plan.. coordonnées d'un point de l'espace. + (x,-a,}^+. (x... .. :i. à. —-—^. xj. à. :. un. :. V-=. d'aller plus. nous allons indiquer des limites supérieures pour quelques-. unes des dérivées de. —. .. Ces limites. r. utiles. dans. On. la suite.. V. r/. a. a. supérieures nous seront ^. :. —X. Ox. Kl). 3. i'a. —. x}^. 1 •. 1.5. Ox'^. \v ÔX'. ). 15. ^-"^^. j... 9. ^-V.

(18) THÉORIE DU rOTESTIEL yEWTOXIEy. 6. des formules analogues pour les dérivées en y et en conclut sans peine de ces formules les inégalités suivantes. et. z.. On. :. 1. de suite.. et ainsi. 6.. Potentiel des corps continus.. — Jusqu'ici nous n'avons con-. sidéré que des points attirants discrets. Considérons maintenant. des distributions continues de masses attirantes trois sortes. ;. y en a de. il. volumes, surfaces, lignes. Nous allons étudier leur. :. action sur un point. ^NI. (x,y,z) portant l'unité de. un potentiel. Nous envisagerons d'abord extérieur aux. masses. masse où. le cas. agissantes, c'est-a-dire. tel. le. et définir. point. M. est. qu'on puisse. entourer ce point d'une surface fermée de dimensions finies ne. contenant aucune des masses considérées.. i" d-', x',. 1. ubiDies (tllininls.. —. Soit un tel. volume. ;. appelons. un élément de ce volume; y',. z'.. les. coordonnées de son centre de gravité. ;. (fig. 2).

(19) rOTESTIEL DES COUPS coxrfxus •j.',. l;i. densité en co point. X, V, z, •JL. est. les. l/el»'Mnent jtaiallèle à. (. ;. coordonncM's dn point. une (onction de. x. y, z. ,. M. exerce sur. cIt. )\ est. 7. iitlin-j. .. une attiaelion dont. la. composante. :. —. a'dTi'x'— x) , ^-y i-=i,,x. xj-;. r. la. composante. relative au. volume /•. •. les. dT. x'. ^J~ /'. /'. et le potentiel. —. a'dTiv'. u'dT. z'. :. x^l '. ?. deux antres composantes sont de ,,. les. |Jl.. tout entier est. même. — —. :. v). z"). :. intégrales étant étendues au volume considéré. Y, X, Y,. sont des fonctions de x, y,. z.. (lalculons les dérivées du premier ordre de A sulfît,. pour. signe. les obtenir,. et d'écrire. de difïerentier. par exemple. la. :. Ox effet. :. r. On. a. Y=J;^ï(x,y,. .. Montrons qu. fonction qui est sous. I. Posons en. Z. z)ch'.. il. le.

(20) TllÉOnif:. «. Pal- définition. /. li ". Ox. '. h. facile. p.. I. (x. +. de voir que. h. 11,. —. y, z; fh'. donne. 0, ce qui. quand h tend vers. est. AEWTOMEA. :. 1. OA'. 11. POIFISTIEL. IJI. / |j.'r. zi Jt'. ,. :. :. +. j[xi^"j ix. Oh, y,. z) dT',. avec h; car, en vertu des inégalités. tend vers. (x,y,. (1),. on. a. :. r;M^+^H«y. z^[<^, r. désignant. la. coordonnées x x', y'^ z', r. distance au point. +. est inférieur à M''. Q. Q,. Or, quel que soit. désignant. plus rapproché du point M". Bref on. a. rv^(x+eh,y,z). l3). du point M'' qui. x', y', z'. Oh, y, z (fig. 2).. le. a. pour point. le. point du volume le. :. M"Q. M. tend vers M et M"Q tend vers une limite différente de zéro, puisque M est extérieur au volume attirant; donc le produit. De. plus, lorsque h tend. vers zéro,. ". :. hfV(x lend vers zéro avec h. et,. + eh,y,z),. en vertu de. [xT^fx.y,. Ox. démontre. on. a. :. "(-,.. ÔV. ce qui. la relation (1),. la. z) à-z-. ^—^^'^'-. proposition annoncée,. Remplaçons maintenantOx. X. J. ^. —. par sa valeur,— prend la lorme Ox. r'.

(21) .. POTESTIEL DES CORPS COSTISUS Pareillement. foi'miiles. 9. :. identiques. que nous avons trouvées. à eelles. clans le cas. d'un potentiel de points attirants diserets.. Comme signe. nous avons din'érentié. pour. et. I. deuxième. Le polentiel. 2" Surfaces. le. \. .. On. :. cV un. Laplace en tous. sous. lois. obtenir ainsi les dfMivées secondes de. et. lois. première. pouvons diflérentier une. nièine raison, nous. la. peut donc écrire. une. les. volume attirant. satisfait. points extérieurs. attirantes.. —. aux. donc à fcrjuation de. niasses agissantes.. Lignes attirantes.. —. mêmes. Les. considérations s'appliquent aux surfaces et aux lignes attirantes.. Désignons par dw' un élément d'une surface attirante (S. et par dr un élément de longueur d'une ligne attirante iL), les. mêmes. autres notations gardant les. ment. ;. on. a. pour. Ligne la. :. :. îi. V. =. /. ^—. àV. à la surface entière. tous les éléments de lono;ueur de. le. signe. I. :. Surface Ox etc. et la. la lierne.. Les composantes de l'attraction s'obtiennent de rentiant sous. :. ^. première intégrale étant étendue. seconde. précédem-. expressions suivantes. les potentiels les. Surface. signi(icati(>ns ([ue. même. en. diffé-.

(22) THÉORIE DU rOTEyriEL. yEWTOMEN i. Ligne. X=. :. Enfin les dérivées secondes s'obtiennent encore par différen tiation sons le signe. Laplace. par conséquent l'équation de. et vérifient. 1. :. AV. =. 0.. Tout ceci ne s'applique, comme pour. volumes,. les. qu'aux. points extérieurs aux masses agissantes. 3**. Potentiel logaritlunique.. —. Il. possède dans. jours en dehors des masses agissantes. —. le. pour. plan. — tou-. les aires et les. lignes attirantes les propriétés que nous venons de reconnaître. au potentiel newtonien dans l'espace. 7.. Propriétés à. attiré. M. ;. quand. l'infini.. M. —. Soit. o la. distance. à. l'origine. s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire. du point quand p. z. croit. en '^'. ]M. indéfiniment,. tend vers. 0.. le. potentiel ueAvtonicn. V. C'est ce que nous allons. prouver en montrant que. le. produit oV tend. vers une limite finie et en calculant cette limite..

(23) 1. OPH1. /' li. T !: s A L I.M f.M. /•;. 1. Soit fio-. 3 T uu volume attirant, d-: un T'iémcnt de ce volume, V son centre de gravité, a la distance de P à l'origine O des coordonnées, M le point attiré, r la distance PM et z la distance O.M. On a :. p et.. h. —. par suite, on peut poser. étant compris entre I.e. Y. potentiel. Formons. a. o. +1.. et. i. :. :. étendues au volume T.. on. l'égalité (4),. :. pour expression. produit z\. le. les intéiri'ales étant. De. —. <r<p + a,. a. tire. :. \v_ù'd.=-/îi^. On donc. que. voit sans peine. é'galité. tend. le. quand. vers. second membre de cette dernière c. augmente indéfiniment.. On. a. :. LimfpV. — |';jLdT'j=. U,. ou. Lim pY -= fach' en appelant. M. la. masse attirante. = M,. totale.. Le raisonnement s'étend sans aucune modification au cas d'une surface. attirante,. d'une ligne attirante. volumes, de surfaces 8.. — Passons au. et. cas. ou d'un ensemble de. de lignes.. du potentiel logarithmique dans le plan. Le potentiel Y en un point M. Soit S une surface plane attirante..

(24) ,2. THÉORIE BU POTENTIEL NEWTONIEN. de son plan. (fig.. connues. 4. pour expression, en reprenant. a. les notations. :. =/:-'iog-^. dit)'.. Fiî. Y. Voyons comment. ^ô. M. désignant. point. M. la. masse attirante. Formons. a l'origine.. 1. a. comporte. Posons. à l'infini.. :. = log-^r|/dco' = Mlog^,. Y-Y„=Jj.' Or on. se. la. totale. et. différence. distance du. la. p. Y — Y^. :. = -j',. log-^±^. log-^ doV. doj'.. :. Oa. ?. =. log(i+. —. <—<—. f)a. <. P. a désignant une limite supérieure de a. Y. —Y. <. I. —. [i-o. étant une limite supérieure de. de. la. surface attirante, on a. d(0'. [jl'.. :. =Jdco',. ^ a. P. ?. on en conclut. ;. <— Si. :. f. a. a. /*. /a'. a. |JL. /. d(o',. Ton désigne par S. l'aire.

(25) V. POTESTIEL y-EWTOMES D'iSE et l'on voit. que. Si. REACE SPIIÉRIQUE HOMOGÈNE. il. :. <T-^S par consé([ueiit. :. Kim (luaiul. On. 3. I. V—. 0,. augmente indéfiniment.. peut donc écrire l'égalité asympt()ti([ue. :. VcoM. log-^. Cl t. 9.. Potentiel newtonien d'vine siirface sphérique homogène.. Nous. allons,. à. d'exemples, calculer. titre. le. —. potentiel dans quel-. ques cas simples. Soit une surface attirante sphérique,. soient. son. centre, a. son rayon. fig.. Fig.. ."). homogène, de densité ;j.'; et M, un point extérieur.. j.. pour lequel nous voulons avoir la valeur du potentiel. Soit P centre de gravité d'un élément dw' de la sphère; menons diamètre x\B issu de M. Posons. :. MP = r; OP = a; OM = p; Le potentiel en. M. a. pour valeur. :. angle. MOP='i.. le. le.

(26) .. THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEX. i4. masse. OU, en supposant l'unité de. telle. que. ;j.'= i.. .=/-icuy, l'intéo-rale. étant étendue à la surface de la sphère. C'est cette. intégrale que nous nous proposons d'évaluer.. A. Décrivons, de. et. B comme. cles sur la surface de la. une infinité de sphère; nous découpons ainsi pôles,. petits cerla surlace. sphère en une infinité de zones infiniment étroites. Projecjue nous prendrons tons la figure sur un plan passant par de. la. OM. Fi g. 6.. pour plan de. figure. la. (fig.. base de l'une des zones; L'aire. dw' de dw'. La. cette. =2. densité. TOI.. de. C"D". zone. C"D". est. =2. potentiel auquel elle. donne. et. DD'. Y. de. la. a sin B dB. attirante. = 2 -a^ étant. sin. 2. B. dB. éo-ale. à. masse répandue sur. la. lieu en. M. est. o. :. surface sphérique est donc /"=. (<>). de. :. 27ra^sin6d^. Le potentiel. les plans. est sa hauteur.. 2 7:a- sinOdB représente aussi la le. CC. donnée par. Tia.. matière. la. Soient. G).. 7ta^. «. in 9. do.. l'unité,. zone. et.

(27) POTENTIEL D'VyE SPHERE PLEISE une prcmiî're. (l'est. inons-la encore. on. ;. inodificalioii. a. riiiir'grale. Ç)^.. Transfoi-. :. r-. d'où. de. "> i. = + — 2 ao cos p'. a-. 0,. :. rdr. = as sin. Odf>,. et. sinfidO. dr. r. ap. en portant cette valeur dans l'expression. et. V=. (7). Or 4-a-. ^dr = -^ de. est la valeur. donc écrire. 2 -a. /^r" '^Tra-. /'?"'. 6). :. 4 -a^. ch-=-^.. masse totale attirante M; on peut. la. :. v=2L, comme. masse entière. si la. M, au. Si le point le cas. (7). serait alors. condensée au centre.. lieu d'être extérieur à la. précédent de. l'intégrale. était. la figure. seraient a. —. 6-, était p. sphère. et a -|- p. ;. la. 2 -a p. r'^'<. cL?. ~'^'". ~. 4-aa. ~. Ainsi, h l'intérieur de la sphère, le potentiel ,. esfal. ^. M a —. M a est. *. constant. et. ,,. .. ;. 1. attraction est nulle.. a. 10. Potentiel d'une sphère pleine. le. de. valeur du potentiel. :. ~ ,. comme dans. intérieur, les limites. potentiel. d'une. couche. —. Commençons par calculer homogène infiniment. sphérique. mince. Soit. (fig.. 7]J. une sphère de rayon. matière attirante dont. dont l'épaisseur. élément P de. la. est. la densité,. a recouverte d'une. couche de. constante, est égale à. uniforme, très petite. et. égale à. u.'. s.. et. Un. sphère, dont l'aire est doi', porte une quantité.

(28) THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN. ,6. (le. matière égale à. rieur est. £;jl'cIoj'.. Son potentiel en un point. exté-. :. 1. I. Le potentiel. V. de. f. la. couche. est. d(o'. ,. '. donc /'. ,. :. d(o'. 4 -a. (.'s.. le calcul est le. même que pour une. sité serait £tjL';. 4 -a- sa' n'est autre que la masse totale. couche. M. et. Ton. a. surface attirante dont la den-. ÎNI. de. la. :. P. La dérivée (ournit f? Pareillement, et égal à. le. pleine. valeur de l'attraction .. .. le. .. M :. ^, .. ^. potentiel en un point intérieur est constant. :. potentiel. On. la. étant constant à l'intérieur, l'attraction. en conclut sans peine. la. est nulle.. valeur du potentiel d'une sphère. composée de couches concentriques homogènes. En un. point extérieujv, on. a. encore. :. p.

(29) E. .. POTESTIEL DT.XE SPHERE Tout. comme. se passe. masse. la. si. P L E IS. totale était. 17. condensée au. centre de la sphère.. Considérons maintenant une masse attirante comprise entre deux sphères concentriques dont les rayons a et b ont une diflerence. finie (fig. 8), et. supposons. concentriques homogènes.. A. la. matière distribuée en couches. l'extérieur de la grande sphère, le. potentiel est encore égal à. p. du point. étant la distance au centre. Dans. la cavité,. même. en est donc de. oii. l'on évalue le potentiel.. le potentiel. pour. de chaque couche. est. la. masse. Evaluons-le au centre. Le potentiel en ce point,. d'une. constant,. totale.. au contraire,. il. couche de rayon. OC. ^. total est. donc. Y = 4 -'X f L'attraction. est nulle. potentiel de. d'épaisseur de, est. c et. :. 4 -cdc.. <x.. Le potentiel. le. :. cdc. =2. T.'j.. (b^. en tout point de. —. a^'). la. cavité,. puisque. le. potentiel est constant. Il. nous reste. d'une. à calculer. maintenant l'attraction. sphère pleine homogène en un point. sphère.. Ici,. le. M. et le potentiel. intérieur à. la. point attiré est intérieur aux masses agissantes:. nous n'avons encore. traité. aucun cas de ce genre, mais. les. con-. sidérations qui précèdent vont nous en donner immédiatement POi>CARÉ. Potcnt. Ncwt.. 2.

(30) i8. THÉORIE DU POTEXTIEL yEWTOXIEX. la solution.. Traçons. sphère concentiique. la. (fig. 9). à. la. sphère. donnée et de rayon 0^1. Le potentiel Y en M se compose de deux parties 1" Le potentiel V, de la sphère de rayon OM :=:= b 2° Le potentiel V, de la masse comprise entre les deux sphères :. ;. Le point on. a. M. donc. comme. peut être considéré. extérieur à la sphère. OM. ;. :. étant la masse de cette sphère.. yi. D'ailleurs^ cette. comme. M. sphère étant enlevée,. intérieur à la cavité. par suite,. et,. peut être considéré potentiel \^ de la. le. niasse restante est égal, d'après le calcul effectué plus haut, à. :. V,= 2T:;jL(a2_b^}. On. a. donc. :. V = V,+V, = mais. M. a. pour valeur. V=. ^+. 4 -r-T:u.b';. ~ T:ab^+. 2. TTf. (a-^. donc. -. b.). (Calculons maintenant l'attraction. compose de deux parties et. dont. valeur est. la. :. 2T:j.(a^-b^);. 1° celle. :. =2 en. ::;... M. qu'exerce. (a^. - -fj. cette. :. la. .. atti'action. se. sphère de rayon b. :. M 2° l'attraction exercée par la. masse restante. nulle, puisque. M. lèvement de. sphère. OM. -—-. par. masse. exercée en nelle à. 11-. la. M. se trouve. la. dans. ,. cette dernière est. la cavité. déterminée par l'en-. donc. valeur de l'attraction. est. totale.. la. Cette valeur est proportion-. ]).. —. On. peut obtenir tous ces résultats par une autre mé-.

(31) or F. -v m:. /'. thodo,. i.. r y /: s r ii /: n k v. u'. nous allons exposer. ([lie. i.. i: i .v i:. •y. nne. suilae*' splié-. clans le cas d. riqiie honioî'ne.. (!()ninien(;ons. ('.itèiicur. par eUecluer. cavité. la. léi'ieui- (le. le. ealeul pour un point slUn- a. point de cette. Tout. splieriipie.. aux niasses agissantes. potentiel. le. et. \. v. 1. in-. cavité est satislail. ii. l'équation de I.aplacc. AV. 1. Or, en vertu de \. la. 0.. l'honionénéité. de. On. peut écrire. f>,. couche superficielle.. distance du |)oint attiré. _. X. d\' \. le. centre de. données, on. a. la. I. étant. sj)hi're. pris. origine des coor-. [)our. :. ,2. -. \-. v^ -+- z-. et. On. a (\v. même OV. d\'. OV. d\. i^z. do. z. et. Ov. Calculons. les. dérivées secondes. *VV. ,^. i-v. De. :. /dV. IV. d\' r. x^. -.. X-. 1. I. même <vv. O. :. OV. car. la. M au centre sphère; cela nous permet de lianslornier léquation ^'l\. dépend seulement de. de. —. d-\ r-V. v^. d\. cvv. d-v. z-. (IV r. »>z-. do-. r. I. ^'-^. Ov-. ^1?. I. L ?. f\.

(32) .. NEWTOMEX. THÉORIE DU POTENTIEL. 20. membre. Ajoutons ces trois dernières relations, vient. à. membre;. il. :. ,.. L'équation. (1). (PV. 2. dV. do-. p. dy. devient donc. :. d-V. 2. à\. p. dp. 0.. (2). do-. '. Nous avons remplacé l'équation aux dérivées partielles par une équation différentielle linéaire du second ordre. Or nous conce naissons deux intégrales particulières de cette équation ;. sont. :. Y=. y. et. i. L'intéorale crénérale est donc. A. B. et. A. centre,. tégrale p. B. étant des constantes.. Calculons. Au. =0,. 1. :. V = A-. (3). =—. /. et B.. potentiel. le. ]x'. r. ,. \ doit. égal. doit être. est égal. a,. ii. se réduire a. —M. ,. ,. car,. dans. l'in-. rayon du cercle. Donc, pour. ce qui exige que. ,. A=. ii. B. =. 1. on. ait. :. 0,. a. et ce qui .. ,.. .. nous montre que .. ,. .. intérieur et égal a ^. Voyons ce qui. le. potentiel est constant en tout point. M .. a. se passe. pour un point extérieur. ii. la. sphère.. l']n. tout point extérieur, l'équation (2) est vérifiée et le potentiel. est. encore de. même. la. l'orme (3), les constantes. valeurs; pour cela, remarquons que,. on. a. A. et. B. n'ayant pas. la. valeur que dans le cas précédent. Calculons ces nouvelles si p. :. Lim. oV=M.. augmente indéfiniment,.

(33) POTKSTJEL LOGAItl rilM IQL ce qui exige que l'on. ;iit. K IJL.\E C IRC O S F É RE X C E. il. :. A ==. =.M. B par suite,. et,. J. =. 12. Potentiel logarithmique d'une circonférence.. eirconlérence attirante honi(»<)ène, aont. —. Soit. une. centre est à l'orio-inc. le. acs cooraonnées. Proposons-nous àe calculer le potentiel loga-. rithmique. Y. en un point. M. àe son plan. Remarquons que. une fonction àe àenx variables seulement, x rieur. comme. à. Aq. l'extérieur. :. '-'-. '^'^^. 4). Ox-. Dans. V. i^y-. '. nous occupe,. le cas parlleulifr cpii. liomogène,. est. circonférence, celte fonction. la. àe Laplace. satisfait à l'équation. V. et y, et qu'à Tinté-. ne aépena que àe. la. la. aistance. circonfi-rence étant. du point attirant. z. au centre. Nous pouvons alors transformer léfjualion aux dérivées partielles (4) en. ordre.. On. une équation ailférentielle linéaire. a en effet. et. :. p-. = + x-. ov. av. .Ox. àz. y-,. X ' t. 1. ov. av. V. *\v. t»?. ?. '. (V'V. Ox-. ~. /av Ox. x\. Az. \. ?. X. /. .'. X-. an'. z'-. i\f. 0-V. /av\. (^. Ox \ àz J a\' /. '. V-. an'. z'. i.w. i\z. a-.. av. t^. clc. Ox. x^ \. 1. \z. fj'. a\' / '. '. V- \. 1. o\/'. \ z. a'où. on'. (T-V 1. »^x^. '. Ov^. —. ,v\. V. av. z. àz. 1. kW. '. au secontl.

(34) THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN. •22. réquation. clifTérentielle. cherchée. est. d:'\. 1. dV. dp-. p. dp. donc. :. 0.. On. connaît deux solutions particulières de cette équation. V=l V=logp. L'intégrale générale est donc de. V=A. (5). qiii est. lorme. la. :. + B.log-^,. une combinaison linéaire des deux précédentes. A et B pour un point intérieur.. Calculons. Au. centre, le potentiel est. :. pog-^|ji'dVo a étant le rayon de se. réduire à. M. log. la. —^. = M.log-^,. circonférence. L'expression. pour. A. p. =. 0.. doit. (5). Ce qui exige que. donc. l'on ait. :. = M.W-^ ^ a. B=(). Le potentiel valeur. donc constant en tout point intérieur. est. et a. pour. :. ^ a. M. a. même. toujours la. signification. :. c'est la. masse. totale de la. circonférence.. Passons au cas d'un point extérieur au cercle. ;. nous. au paragraphe. (8). :. quand. p. nous. sur une propriété démontrée augmente indéfiniment, on a. appuierons, pour traiter ce cas,. Lim(v— M log-^)=. :. 0..

(35) DISE. CI llC O S E É R E S C E. on. aiionuMitcr. l'OTESTIEL LOG.iniTIIMIQLE Donc, quand, dans nient,. V. formule. la. (5),. lait. ï\. indrliiii-. •:. doit se réduire à. MlogA, que Ion. ce qui exige. ait. :. = B = M, A. et. donne pour. la valeui'. 0,. du potentiel. :. V = Mlog-^. t. Tout se passe centre du. 13.. —. comme. la. si. masse. totale. concentrée au. était. cercle.. méthode pour obtenir. Iudi([uons encore une troisième. le potentiel. newtonien d'une sphère. logarithmique. et le potentiel. d'une circonférence. Cette méthode repose sur la propriété suivante. Soient une sphère de centre pas sur. la. qui sur. AB. Si si. M est. sphère,. AB. le. O. diamètre issu de M, enfin. triano-les. o. .PM=r',. un point quelconque de semblables. OPM -. et. la. point. P. surface de la sphère,. OPM' donnent. = const. =. r. le. n'est. point. :. — quand. M. le. conjugué harmonique de M par rap[)()rt a A et B. extérieur, M' est intérieur, et réciproquement; de plus,. l'on pose. étant. M. :. un point qui. est. PM = r, P. (fig.. 10 >,. la relation. les. :. -=-•.. a. se déplace sur la sphère.. Cette propriété est vraie également de. la. circonférence. de. cercle.. Cela posé, proposons-nous de calculer d'une surface sphéri([ne homogène.. le. [)otentiel. newtonien.

(36) THÉORIE DU POTESTIEL. 24. Supposons qu'on connaisse. la. NEWTOMEN. valeur constante. M_ a. du potentiel à Tintérieur; on peut en déduire l'expression du M. Soient, en effet, V le. potentiel en un point extérieur quelconque. potentiel cherché en. de M: on a. V d'où. M. V. et. le. potentiel au point M' conjugué. :. = r_^,. v'=r—. :. V :\i. Or M'. est intérieur,. donc \. '. ;. a. P. Inversement déduit. le. :. connaissant. le. la relation (6). a. a. potentiel. à. donne. V. l'extérieur,. on en. potentiel à l'intérieur.. Par le même procédé, on peut trouver le potentiel logarithmique d'une circonférence en un point extérieur, quand on le connaît à l'intérieur du cercle. Soit, en effet, M le point extérieur où l'on veut calculer et. V. le. le potentiel. potentiel en M'; on a. V=/log-^ds',. V; soient. JNI'. le. conjugué de. :. V'=Jlog^ds',. M.

(37) ATTRACTIOX D'iWE DROITE ds' étant. rélémcnt traie de. O M O GL XE. eireonréreuee dont. la. On. supp( )osée égale à l'unité.. II. a. la. 'l'i. densité est. :. Mloo-. Or. V=M donc. 1(. :. M. V 14. Attraction d'une droite. Soit une droite attirante. de densité. jx'. (fig. il).. A. 13,. log. homogène. sur un point extérieur.. homttgi'ne,. Supposons d'abord. cette droite limitée aux points. proposons-nous de calculer. A. le. et. 13. et. potentiel. newtonien de cette droite en un point. M. extérieur.. Prenons. AB. la droite. Soient. sur la droite,. Q. la. z et. entie les points. A. projection du point. M. choisissons l'origine et B.. pour axe des. P un élément de longueur. la longueur de cet élément; enfin appelons x,y, z les coordon-. de celle-ci, ds'. nées du point M,. x',. y', z'. P, et r la distance ]MP. x'. =. 0.. On. celles a. du point Fig.. :. v'. =. QP =. ds'. 0.. z'. —. z,. V^ Posons en outre. OA = a, OB = — b. ;. =. dz',. n.. —.

(38) .. THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEX. •i6. b sont des quantités positives. a et. direction de l'axe des. la. si. du segment BA. en M a pour expression potentiel Le. z. est celle. V. a as. =. /. ^. (B,. La valeur de l'intégrale indéfinie. (B). est. — + + y^+(z'— = [7.'log[QP — MP].. ;/log. |(z'. MP. Remarquons que est. :. \/x^'. z). z}-].. est essentiellement positif au lieu. que. PQ. doué de signe.. L'intégrale définie. V. a. pour valeur. ,.. ce qui peut s'écrire. QA+MA. -. ,. :. :. + MA)(MB + BQ) MB^ — B(r = ^'log(QA + MA) + log (MB 4- BQ) — log [mF^ — BQ^' = log (QA 4- MA) + log (MB + BQ) — log M(J. MA+QA. ^. (QA. MB — BQ. ^. '. a'. a'. '/. Supposons mais. que. X,. y, z. la. droite très longue, c'est-à-dire a et b très grands,. Nous pourrons négliger des quotients. finis.. tels. :. —X La somme. sullil. y. -^,...etc.. est alors très voisine. = 2 OA +. (:\I. de 2a; en. effet. :. — OA) + (QA — OA). A. de montrer que l'erreur relative commise en négligeanl. les dillerences. d'abord. X -^,. ,. QA+MA. QA + M A Il. |. a'. p/. la. (MA— OA). et. seconde difTérence. OA. (QA. — OA). QA — OA. ;. est très petite. A'oyons. on. _0A = — OO. ;. a. :.

(39) .. ATTRACTIOy D'USE DROirK lIOMOGESf: rcMTCur rclativo coininise en. négligeant est. la. 00 OA. :. z '. a. qui est néglifôable en vertu de la remarque précédente, ^'o\()ns. maintenant. donne. la. deuxième dilTérence. MA — OA.. Le triangle. .M(^.\. :. MA<MQ + QA, donc. :. I. ou. MA — OA <. 1. M(^). I. + QA — OA. |. ,. :. MA — OA < I. I. I. MQ— 00. ;. I. MQ. Terreur relative est donc négligeable, puisque de l'ordre de. finis et. somme. Bref, la. QB-4-MB écrire. est. QA + MA même. de. OQ. et. soni. x, y, z.. voisine de 2a; la somnir. est très. très. voisine. de 2. On. b.. peut. donc. :. V = /[log2a. (1). + log2b-21ogoJ = 4ab — 2 log âb = 2 a — = 2 M— Y-'. o ^: i. en posant. '. u.. 1. log. 2. [log. r„. V. loo-. .. (hiant a. Ainsi. i-. — r„. ,. loo-. :. r„. même. z]. le. que. 1. = \/idr .. ,,. attraction, elle a '. pour expression ^. A. potentiel newtonien d'une le. potentiel logarithmique. C>ela cesse d'être vrai si le. point. M. 2M. +b. 1. —,. a. .. z. droite très longue est le. d'un point situé en. s'éloigne indéfiniment,. dans ce cas on ne peut plus négliger les quotients. —X. ().. car. X ,. •j-,...elc.. Cela explique un paradoxe un potentiel newtonien identi(|ue un potentiel logarithmique semble un résultat contradictoire. :. ;i. car à l'infini le premier s'annule, tandis que le second est infini.. Dans l'exemple précédent, nous avons vu que. cette identité n a.

(40) ,. .. NEWTOMEN. THÉORIE DU POTENTIEL. •23. lieu. que pour des points. une petite distance de. situés à. la droite. attirante, distance négligeable devant leurs distances aux extré-. mités de la droite.. Remarquons encore que l'expression de V ne dépend que de. =. -(-. \/x''^. seul,. V. y- et. non de. varie très lentement. formule. cela veut. z;. =2. ro. Y dépende du. semble que. prend deux origines Y change. l'expression de. la. des z. l'axe. a. El. v/. choix de l'origine;. et 0' à distance finie. :. z'. Proposons-nous. de. cylindre en un point. = =—. ;. où. la. densité. ]jj. de. dont. à. b.. la. matière. la. newtonien. potentiel. le. le calcul. x' et y'. M. les. éléments. dto'. \\. et. de. Q dépend Q et non. décomposons. cylindre en une. puis découpons le. de cylindres élémentaires parallèles. vement pour bases. dans l'hypothèse. un point. attirante en. section droite S qui passe par doj',. de ce. distance au cylindre est négli-. nous effectuerons. S en éléments. Un. l'une de l'autre,. deux sections droites dont. seulement des deux premières coordonnées de la troisième coordonnée z'. dont. l'on. a,. calculer 1\I. geable devant a et b. infinité. si. —. z'. Traçons. mais,. très peu.. rempli de matière attirante et limité. l'aire. la. newtonien d'un cylindre. Soit (^fig. 12) un cylinsection droite est une courbe quelconque. Prenons parallèle aux génératrices. Supposons ce cylindre. les cotes sont. la. que. nous avons trouvé. ;. 15. Potentiel. dre dont. effet,. z varie. n'est qu'approximative.. (i). Faisons une dernière remarque. il. en. faut se souvenir,. il. ;. quand. dire que,. OZ. ayant respecti-. de S.. cylindre élémentaire est assimilable à une droite attirante la. perce. densité linéaire serait. la. jji'dc.)';. soit. C. section S en Q; son potentiel en. 1. en posant. MO. =. r (voir. .^. \j.. doj. 14) et. .. log. r„. l'un des cylindres;. M. est. —. = 2 ^^.. :. il.

(41) .. CAS DU CYLISDRE DE nÈVOLlTIOS Le potentiel du. eyliiulre total en. Y. = Cl [i\W.. l'intéorale étant étendue. à. M. est. Ion-. doue. i»). :. -^,. tous les éléments. d(.). de. la. seetion. Le ealeul du potentiel ncw Ionien eherelK' est donc ramené à celui du potentiel logarithmique de la seetion droit*qui passe par M. On ramène de même le potentiel newtonien d'une surface cylindrique au potentiel logarithmique du contour droite S.. de. la. seetion droite.. U Jrig.. 16. Cas. jZ'r.fc. J-ig.. 12.. du cylindre de révolution.. —. i". IJ.. Surface cylindrique. — Les considérations précédentes nous permettent de. calculer le. potentiel newtonien. 13). gène de révolution. rithmique de. la. d'une surlace cylindrique. Ce potentiel. se. ramène au potentiel. section droite qui passe par. c'est-à-dire au potentiel logarithmique d'une voit sans peine. que. le potentiel. (fig.. le. loga-. point attiré M,. circonférence.. newtonien cherché. Y = 2;/yds'.log-^,. homo-. est. :. On.

(42) THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN. •o. ".. M. du point. la distance. désignant. On. cation habituelle 2 /ab.. Y. Taxe. à. et r^. peut donc écrire. ayant. la signifi-. :. = 21og-^/Vtls';. dans ces deux expressions, ds' est l'élément d'arc de la circonféla masse totale rence. SIL estla longueur de la circonférence, de. surface cylindrique, a et. la. ,_ M. —b _. ^~~S"~ d'où. M. les cotes. des bases, on. a. :. M. L(a. +. '. b). :. jVcls'=l.jds'=;.'.L=_p^; donc on. a. :. V 9 — .-—-j-; \=21og ^J. '". 1. on en conclut sans peine. Tout. se. comme si On. passe. sur l'axe du cylindre.. en prenant. l'attraction la. masse. attirante. même. volt de. R. désignant. le. :. ^'. .•^" 9 loo -T^-1. R. dérivée.. concentrée. sans dllficulté qu'à l'In-. térieur le potentiel est constant et égal a. 2.. la. était. a. +b. rayon de cylindre. Quant. à l'attraction, elle. est. nulle.. Tout cela suppose. le. cylindre infiniment allongé.. on partage. —. Le calcul est encore très simple; volume en couches cylindriques très minces, con-. 2" Vohintc cijlindririitc. le. centriques et assimilables à des surfaces cylindriques attirantes;. on. est ainsi. En un z. rameué au cas précédent.. point extt'rieur l'attraction et. seulement;. ils. condensée sur. En un. ont. la. même. valeur. potentiel dépendent de. (pie si toute. la. masse. était. l'axe.. point Intérieur, les choses se passent difleremment. résultat se déduit de la considération 3°. le. Masse uUircmlc. conipvisc. riilrc. ;. le. du cas suivant.. deux. ci/li/idrcs. conccn-.

(43) CAS DU CYLlSDIii: DE RÉVOLU II OS. 3i. —. Nous supposons c[ue la dinV'rence des deux rayons est une quantité finie. Kn un point M extérieur au plus grand cylindre fig. i4\ le potentiel est, comme l'attraction, une fonction seulement: tout se passe donc comme si la masse était conde densée sur l'axe le raisonnement est le même que dans le cas frififtes.. ;. précédent. :. on décompose. la. masse attirante en une. infinité. de. couches cylindriques, concentri(iues, assiniilahles à des surfaces.. Fig.. En. tout point Mj intérieur à. et l'attraction. les. Fig-.. 1. la cavité, le. nulle, cartons les points. i:. potentiel est constant. Mj sont intérieurs. a toutes. couches cylindriques.. Si lion. donc. fig.. 15). en un point. M. nous voulons évaluer intérieur a. le potentiel. un cylindre. serons ce volume en deux parties. premier et passant parle point. M. 1". :. 2** ;. plein,. et lattrac-. nous décompo-. un cylindre concentrique au le reste du volume, c'est-à-. deux cylindres. Le potentiel en M est la somme des potentiels de ces deux volumes et l'atcelle du cvlindre intérieur. Le raisonnement traction se réduit. dire la portion comprise entre les. il.

(44) NEWTOMEX. THÉORIE DU POTENTIEL. 32. exactement le même que celui que nous avons une sphère pleine. est. n.. nous de calculer le potentiel. Représentons. OZ. (fig.. M. 10) pour. —. Proposonsnewtonien d'une circonférence en. Potentiel newtonien d'une circonférence.. un point quelconque. lait (§. de l'espace.. C en perspective. Soient P un point de celle-ci, r sa disun élément d'arc de C le potentiel V en M. 16) la circonférence. l'axe de cette circonférence,. tance au point est. M;, ds'. ;. :. ds'.. nous supposons. Si. est constante. et l'on. la. circonférence homogène,. peut écrire. J Projetons en. Q. le. point. INI. la. densité. [x. :. V. sur le plan du cercle et joignons. Fig. i6.. OQ,. cette droite. enfin. menons. OP = a; et. appelons. co. coupe. la. les droites. circonférence en deux points. MA. et. OQ=p; l'angle. POQ. (fig.. MB. et. posons. MP = r; 16).. A. et. :. QM=z;. B. ;.

(45) E. •. VOTKSriEL SEWTOSIES D'USE. On. C IRC O.VEÉ R E .\C. 33. a. (ls= adto,. = z^+ + p)S Pu- = + — 2 ap cos = ÂÎQ- + PQ- = + + — 2 ap cos w. M]P. a. p-. a-. r-. r^. /. o. o. z-. + a-H-p". )\. .. ==. I. / I. la. —. manière suivante. —. '"^ / |-sin--7T-l. ''^. .1. cos-. p-. a'. z-. peut encore s'écrire de. r-=:(. oj,. •. >. —. :. '"' / o 2 ap cos-—. — -^+ + (a+p)= MA-cos-'-:^—hÎB-sin- —. z-4-. 'a. cos-. p)-. •. .. z-. siu"^.. I. Le potentiel prend donc. la. lornie. adfi). y MA\»os'Or,. donc. l'on désigne par. si. :. Z*^'. ,. ^+MB^sin'- -^. M la masse attirante M = 2T:ajx';. totale,. on. a. :. /. On. 2-\/MÂ^cos-^-^. + M"B^sin2-î^. peut donc poser,. V= et si l'on. pose en outre. .p(MA, MB),. :. -^ 2. on peut écrire. =. M- '. :. :MA,MB). =2 2-. POiNCARÉ. Potent. Newt.. •>. ^"^. sin--;y-. I. y MA- cos- ^r + MB- sin- W 3. ^ I.

(46) TlIKOniE DU. i\. Enfin remarquons que fonction périodique. VO'I. EMIEL yEWTOSIES. t'o. «•. a,. (MA, MB). = 2-. — la. «-. forme suivante. :. ^MA- cos- W + MB- sin- M' ;. La valeur de cette fonction ne change pas quand on permute. MB. On. entre elles les valeurs de ^LV et. en. W. on u donc. ^. en remarquant que. et. 2'*. MB. Supposons. ,(MA,MA) 'i(MA,MB). l/fxpi'ession. =. MB). ]\IA;. en changeant. :. = .5(MB,MA;.. on. a. :. = [ ^ZMA=llAi. est. homogène en. MA. et. "2^ =. MB. et. W—. de degré. L. :. MA donc homogène. du rapport. le voit,. :. cp(MA,. est. une. '^.. L°. ;V'. est. calculer nous y parvienpropriétés en démontrant trois importantes de la fonc-. drons. M". 1. Il. C'est cette intégrale qu'il s'agit de. tion. signe. le. par suite.. t:. La fonction '^MA, ]MB) prend. 9. sous. fonction. la. que l'on. et. et. cp. (MA, MB). de degré. et.. par suite, ne dépend que. MB -j^.. Soient alors. (fig.. 17). deux points. R. et R',. situés. sur. AB. et. conjugués harmoniques par rapport il A et B; traçons, sur \\[\ comme diamètre, la circonférence Cj dont le plan est pei-pendi-.

(47) POTES riKL SEWTOSIKS DISE culair»'. sur crhii. MA. {|t>. même. ,. ,.. .. est le. (].. et. 1. Pour tous. même. '^. le. HCO S E É RE S C E. les points. M. de. î"). le rapixtrl. (ij,. (MA. MB).. valeur qu au point. en K', conelui'c. I. expression. MA a la. (. il. On. .. peut clone, du p(»tenti(d. potentiel en un point <[ueleon([ne de. et,. (l^. par. Fig. 17.. conséquent,. si. du eerele. (pii. (!. sans peine. 18.. —. le. l'on eounait. !<•. potentiel eu tous les points. du plan. sont intérieurs à sa ciiconlerence, on connaitia. potentiel en. ["(Hite la. un. cpieleonque de Tespace.. ])oint. question est donc ramenée au calcul du poten-. Fisr. 18.. tiel. en un point situé dans. le. plan du cercle C àrintérieui- de sa. circonférence.. Prenons ce plan. comme. point intérieur quelconque. plan de ;. la. menons. figure. le. (fig.. diamètre. 18. AB. .. Soit. M. un. passant par.

(48) .. NEWTOMEN. THÉORIE DU POTENTIEL. 36. ce point. Soit, en outre,. P un point de. point infiniment voisin. Posons. circonférence et P' un. la. :. PM = r,. OM = p,. PP'. =. ds',. = OP = OP' = angle MPO = angle P'MP = àW angle PMO = W,. OA = OB. a,. Enfin, prenons pour unité de masse. aura. totale. M. On. :. M=l Projetons. le. Mais on. a aussi. en conclut. '. MP. en. =. H. -. 2-a. on. ;. a. :. = P'Msin(dir)=rdW. :. Le potentiel V, qui. = ds'cosQ.. pour expression. a. '. OPM. donne. /. —. ;—,. ^-^. sin. W. :. a. cos. V prend. la. =. \/a". —. p'siu". forme suivante. M. :. dW ^. 2. 7T. peut donc. J cose. d'ailleurs la relation. sin Q. Le potentiel. e.. :. rd^'. Le triangle. u.'. = PP' cos PPII = ds'cos. P'II. On. et. point P' sur. P'H. d'où. masse. la. 8,. Va" —. p^ sin-. W. :. s. écrire.

(49) :. OTESTIEL NEWfO.XfE.y DISE. qu'on peut écrire. CI RC OS E E R E S C E. 3;. :. 2-^. + cos-M' —. a-(sin-M'. W. p-sin-. dT 2. On tion. t:. Va-. + —. c'os" M'. (ir. p'. ). siir U'. peut donc poser, en se souveniml delà déiinilion de. '^. =. V Or, on. a. vu. ([ue. :i[a,v'a'. —. ?-]•. :. V=.p(MA,MB)='^(a-p,a Donc. +. ?).. :. cp. (. a. Remarquons que tités a. la Jonc-. :. —. p. et a. +. —. p. ,. a. + =^ p". a est la. moyenne. que. p et. [a,. \. —. a-. p-. ^\r. (a,. b). =. '0. =. (a,, b,). -.p. \-. arithnK'ti([ue des. en est. trique; on peut donc écrire en général cp. —f. deux. ([uau-. moyenne géomé-. la. :. >„ bj. =. .... etc.. en posant. ^ = V/ab,. 2. a,+b,. ^ = V/a,b,,. 2. etc.. etc.. C'est là une propriété fondamentale de la fonction. '^.. Remarquons cjue la moyenne géométrique est toujours intérieure à la moyenne arithmétique. Or, supposons a>b, ce qui est toujours possible, puisqu'on peut intervertir ces tités. sans changer la valeur de a. —b> — aj. 1^1. c;. ;. nous aurons. > a^ — b^>. :. etc.. ;. deux quan-.

(50) yEWTOMEN. THÉORIE DU POTENTIEL. }8. Les clifFcronces. a„. —. b„. En. qu'elles tendent vers 0. a,. diminuent quand n augmente. Je effet,. — l>i<«, —. a,. JJ. =. on. a. :. puisque. 1^. I). -;. l)j. >. —. a. b;. = 2. donc. dis. '. I.. ,. de. même a,. —. a. 1),. —b. et. i'u— b„<. Ainsi. la. finiment. ment. ;. diirérence. a„. d'ailleurs,. il. que. et. commune. les a. —. .. ^^. quand n augmente. b^ tend vers. que. est évident. les. décroissent; donc. a„. indé-. b croissent constamet. opt une. b„. limite. on l'appelle moijenne arilhmètico-gèomèlrique des deux quantités a et b. De l'existence de cette limite, on conclut que, et. si. a. ;. a désigne la. MB, on. a. moyenne arithmético-géométrique de. MA. :. =. 'ifMA,MB). 1. a. L'analyse qui précède est due valeur du potentiel. V. au point. M. à. Gauss.. l'Ule. donne, pour. la. :. a si. la. masse attirante. niasse est. valeur, on. dOii. exprimée a. totale est prise. à l'aide. pour unité. ;. mais,. d'une unité arbitraire et. si. cette. si. M. est sa. :. la l'ègle. suivante. :. on considère. la. plus grande et. la. plus.

(51) roKMii.i: courte distance du point. 19.. clrconféience. la. ii. tv,. ;. (mi. chrichc. la. arithmético-géonu'tii([uc de ces deux nouïhres. Lo po-. moyenne tentiel. .M. ciii.ex. iji:. M. en. est le ([uolient. Formule de Green.. —. la. niasse totale par cette. Uevcnons. ii. la. moyenne.. théorie générale du. par établir quehincs ioiiiuilcs dont nous. Commençons. potentiel.. de. ferons un fréquent usage dans la suite. Soit. par. a,. un volume T limité par une surface IfrnK'c S; désignons ,j,. v les cosinus diicclciiis de. surl'acc S.. Soit. la. iioiinalc exti-rieure a la. F une lonclion quelcon<[ue de. x, y, z. continue. que ses dérivées partielles du premier ordre dans et lume T soient euiin d-r un élément intinitt'slmal de. ainsi. 1". ;. (d(Muent de. la. On. surface S.. formules suivantes. a les. le d(-). vo-. nu. :. /'4^dT=raFdco .'. t'X. J. (Â-. =. (1). les. ('pV.U.. intégrales triples étant étendues au volume. orales. doubles. à la surface S.. T et. inté-. les. Chacune de ces formules. se dé-. montre sans peine à l'aide d'une intégration par parties. Soient maintenant deux Jonctions Uj et V, assujetties aux mêmes conditions de continuité que F. Posons. F=U,V, La première des trois formules précédentes nous donne. jV.4X.a_j;r,v,,,„-/V,^.h.. :.

(52) TUKOniE DU rOTEMIEL AEnïOAÊX. 4o il. vient. :. Les deux autres lormules. ô-V. r. ,. (1). nous donnent de. OV. ... /'. ,. /".-^'•^-M-lf"-./ Ajoutons. membre. membre. à. /V cw j \7>r. i)u,. Si l'on pose. pour abréger (^V. ,,. Ox. on aura. la. dT.. dz. ùz. (U\. _^_^^. Ô^^ÔT""^. Oz "Ô7.^. *^'". :. dY Ov. '. OY. _ dV. Oz. dn. ÔY OU,. OY OU,. OY OU,. V^ OY. OU,. Ox. Ov. Oz. /. Ox. Ox. Oy. Oz. dT, -i. Ox. :. lormule bien connue sous. On. OV OU.. ces trois dernières relations. ov. ^. Ox. même. le. nom. de for mule de Greeii.. met souvent sous une forme plus symétrique; on. effaçant les indices. en. :. mais, en vertu de la symétrie des termes sous le signe le. a,. premier membre, on. a. également. :. 1. dans.

(53) FOHMri.i: Retranclions meinbrc à. membre. 4i. (Ji{/:i:.\. i)i:. ces deux deniicies relations. :. /(tuv_v.u;a.=/(uiI-viH-)a.„. U. Les ronclions. et. V. doivent être. des dérivées premières continues. finies, eoiilimies et. admettre. et (';<ralemeiit finies. l'Hles doi-. vent avoir, en outre, des dérivées secondes finies les discontinuités de ces dérivées,. y en. s'il. a,. et intégral)les. ;. doivent se trouver. sur une surface algébrique.. Les théorèmes sont encore vrais pour des aires planes limitées par des contours fermés.. On. plaçant les éléments de volume. éléments de surface. et les. sagé. ;. les. doj. intégrales triples. les. exprime de même, en rem-. d-: ])ar. des éléments de surface. par des éléments du eonlour envi-. deviennent doubles. les. ;. doubles. deviennent simples.. 20.. sons. — Replaçons-nous dans l'espace U==i. dans. la. formule de dreen. J Faisons maintenant. Green donnera. Si,. en outre,. U=V,. J. ;. à trois. elle. dimensions. deviendia. et fai-. :. dn. au lieu de. U=l. :. la. formule de. :. U. satisfait à l'équation. obtiendra finalement. de Laplace. AU. ^. U,. on. :. /"-^"-./i:(4^)''ce qui nous montre que l'Intégrale. /. U. J formules seront utilisées dans. -. dw. est positive.. Ces. dn. la suite.. Tous les théorèmes que nous venons de démontrer s'appliquent à des volumes connexes, quel que soit leur ordre de con-.

(54) yEWTONIEy. TIIFOniE DU POTEXTIEL. Il. iiexion. ils. ;. s'appliquent, par exemple,. un volume doublement. èi. connexe. comme. triques. mais, en appliquant les formules,. ;. oarde au sens de. volume. compris entre deux sphères concen-. celui qui est. la. normale extérieure. est limité par les surfaces des. prendre. faut bien. il. dans Texemple. ;. deux sphères. cité, le. et les inté-. grales de surface doivent être étendues aux surfaces de ces deux. sphères. ;. sens de la normale e.rtcricure sur. le. de. est celui. la. portion de normale qui sort de. de. traire, sur la suilace. T. au volume. la petite. sphère,. est dirigée vers l'intérieur. direction dans laquelle on sort du. 21-. —. Comme. de rayon ravon. p. a et. une sphère. au con-. la cavité,. car c'est. la. volume T considéré.. volume compris entre une sphère S. le. S'. concentrique à. la. précédente. et. de. > a.. I^crivons la lormule de Gr.een dans ce cas. :. OV dV }^^'^+^VIr^'-i' dn— (UI. /\,. ,. ,. d(o. -j. :^). ;. des considérations précédentes,. application. prenons pour volume T. sphère. normale extérieure. la. de. grande sphère. la. la. ICC-. L'intégrale du. deuxième membre. est. étendue. à. chacune des. '^^'. mais— —. V est, d après ce que nous avons on dit, la dérivée suivant la normale extérieure à S et la dérivée suivant la normale intérieure à S. Si nous prenons ces dérivées suivant les normales extérieures, dans les deux cas nous écrirons. deux sphères h 1. et. b. ;. -. j. :. r,. /. L. dV —. — dn j. J la. dto. =^. r L. /. J,s.,. dV —. — dn j. première intégrale du deuxième. surlace S' et la. Supposons. tUo. —. dV. /'. —. L. I. membre. — dw,. étant étendue. deuxième à la surface S. augmente indélinimenl, lintégrale,. (pie, si p. c'fS'). dn. tende vers zéro. Alors l'égalité (1) se réduiia. J. j. <în. ^/(Sj. J jLu. t)x. Ox. c'(S). à. :. dn. à. la.

(55) DE. l'OLY.\OMi:S. Li:. CES DUE. i3. dette circonstance se présente (juaiul les fonctions. des potentiels dns,. M. ,. le. premier. à. une masse M,. l'autre. l". d. \'. sont. une niasse. ii. répandues dans des volumes, sur des surfaces ou des lignes,. in;iis. contenues l'une. Montrons, en. et l'autre à l'intérieur. eflet,. de S.. que. dans ce cas, /'. —. —dn dw,. L. i. tend vers zéro.. Pour. considérons. cela,. lieu au potentiel. masses positives des piemières. et. la. M. qui donne. U; dans cette masse totale, il peut y avoir des des masses néfçatives; appelons M, la somme M, la somme des secondes on a. —. = M. la. M.. niasse totale. masses positives des négatives. P un point de. U. "chT. dy_. <. < <. M. (jui. corresponil. à \. .. :. M'=M, — Soit, maintenant,. :. :. Séparons, de même, dans. et.. totale. et. M les. masse attirante. la. m;. sjihère. S. ;. on. a. en ce point. :. M,-+-M,. M.. + M,. M'.. + Mv. M,. M,. + MV. M.. + m;. par suite,. l. I. J. -rdu. doj. <. + Mj. Cette inégalité montre bien que l'intéo-iale ^ ^ ^. zéro quand. 22.. z. /. J. U. ._, d\" -r- dto. dn. tend vers. augmente indéfiniment.. Polynômes de Legendre.. masses attirantes quelconques.. —. Soit ^. un potentiel dû. à. des.

(56) r. THÉORIE DU POTENTIEL. 44. NEWTOMEN. Je suppose loriglne des cooràonnée?, extérieure. on peut donc. tracer, autour de l'origine prise. \\. ces mas„?s. comme. ;. centre, une. sphère X tout entière extérieure aux masses agissantes. Nous nous proposons de démontrer la proposition suivante :. En. V. tout point situé à /'intérieur de lu sphère ^, la fonction. est dés'eloppable en série de pohjnonies /lonioiiènes en. Cette démonstration repose sur. le. .r,. y,. z.. développement de l'expres-. sion 1. A:. — 2pcos Y+ f. v'i. suivant les puissances croissantes de. p.. Commençons donc par. effectuer ce développement. 11. sera de la forme. (1). :. A=S1V-. ^. Or, on. a. :. 1. d'où. _2 p cos Y + f= (1 — pe^ï) (1 — pe-. 'r. ),. :. A=(l_pe'rr-^-(l-pe-"v)-f. De. plus on. a,. si. p. |. est inférieur à 1. [. (i_p;rT_i. (2). :. —2 0-1^ 1. ^^. 1.3....(2n—. i.;î. ,. -0. 2.4. -4-. '. 1;. 2.4.. Tous tifs.. On. les coellicients a. en outre. j-. -r-. ;. 2. k^^. ^r. ,0"'ï-. -t-. 1 2.4... .2. n. 2.. 2n. 4. Ces développements résultent du développement est égal a 1,. \. pc''. et posi-. 1.3....(2n—. 1 2=i + _peir +. ;i— pe'r). i. de ce développement sont réels. :. |. est aussi égal à 1.. De. (2),. '. car, si |. p. plus, ces trois séries. f.

(57) POLYSOMES DE LEGESDRE sont absolument convergentes nières menihie. (1. membre. ;i. —2. ;. on peut nnilliplier. les. deux. dei-'. et «'crire. + f). cos Y. 4'>. =y. '. apa„c'ï!-''' p""'''. en posant 1.3 (3). les. formules. l). —. 1). 2p. l.\. Comparons. le. (2p. et (3);. ou en. tire. signe S portant sur Tensemble des termes pour lesquels. somme. n. p. -[-. a la. Les a étant. pour Y =. Or. ;. faisons. A. même. réels. positils,. et. on en conclut. *'. =. ^. la. valeur. le. maximum. de. P„+|,. a. lieu. :. dans l'expression de. A. ;. il. vient. :. 1 i i. On. a. donc. V. ^='n^-p=i^. le. signe S portant. tels. que. comme. n + p = C'^. plus haut sur l'ensemble des termes. Bref on Pn. l'égalité ayant lieu. pour v. Cela posé, supposons. p. = >. a. :. ^1,. ().. 0;. la série. 2"".="'.

(58) THÉORIE DU POTESTIEL est. convergente pour. on arrête. A. p. <. |. Calculons l'erreur commise quand. |-. I. moindre que Rn. I. terme. (n -|- 1)". = P„+P,p + P,?^'+. l'erreur cherchée est. c'est-à-dire. |. développement au. le. yEWTOMES. <P''^'. ;. posons. :. + P„p" + R„; [RJ. ;. or. + P"^^+. :. ,. :. <. R,. i. P. Les coefficients. degré est égal. leur sont des polynômes entiers en cos y P„ est de degré n. Ces polynômes ;. à leur indice. sont connus sous. le. nom. ;. de polijnomes de Lcgetich-e.. Les polynômes de Legendre sont alternativement pairs et impairs en cos y. Povir le voir, il suflit de changer, dans A, y en. V. -(-. t:. et p. en. —. p. ;. A. ne change pas. ï'ig-. et,. par suite, un terme. 19-. quelconque P„p" de la série reste le même; donc P„ ne doit pas changer de signe et, par conséquent, doit être pair, si n est pair; il. doit, au contraire,. en cos y,. si. changer de signe,. et. par suite, être impair. n est impair.. 23. Développement du potentiel new^tonien en série de polynômes sphériques. Les considérations ({ui précèdent vont trou-. —. ver leur application dans l'élude du potentiel newtonien..

(59) Soit. I. un Noliimc. posro oxkM'ieure. M. un point situé. à. des coordoiiiK-cs,. (tiigiiic. I. sriiE riqles. ou peut lincer uue sphère. ;. et tout entière extérieure. P un point. Soiiîut, eu outre. et. volume. pour centre. point. le. ;iUir;iiil et (). ce. ii. de poi.ysomes. skrii:. Di: \/:i.oi>i>i:M/:yT e.\. iittirnnt. intérieur de. 1. ];i. T. \\. i. .\-. sii|»-. ;iv;iiil. fig. lid.. quelconque du volume T sphi're. Appelons x, v, z. coordonnées rectilignes et p,0,'i les coordonnées polaires de M x', v', z' et o', fj', 'i' les coordonnées rectiligues et les coordonenfin r la distance Mi^ et v langleMOP. Ou nées polaires de V les. :. ;. a les. r-. relations suivantes. = —X 'x'. cos. -. v'. -f*'. :. —. = eos. v"--|-. eos. —. yJ. -(- sin. 7.. -. —2 — cos. -^= z'-. sin. 'i. = + y'-+z'-, oo'cos ^ yv'-jp'-. potentiel iiew tonien \. xx'-(-. M. en. J. =. "-'. c. ;. on. a. -)- 0-.. ,. zz'.. expression. a j)()Ui-. :. y. et c'est une Fonction des coordonnées z, nous de développei' cette lonetion suivant. santes de. 'i'. •'. x'-. "'. I,e. cos. 00'. tp. de. les. M. ;. proposons-. puissances crois-. :. 2^2 COS-'-hO-,. -. ;=. —p.. ,. cos. Keportons-nous au développement du paragraphe précédent on peut écrire. 1=^+1',-^. (1}. et. :. Ion. a. R„. <. n. ,/n-l. R„,. ;.

(60) THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN cest-à-dire. R„. désigne. Si a. le. rayon de. On. son intérieur.. îa,. aura. 1, telle. que. le. point. M. par suite,. <. R.. V. On. voit. volume T. et. les. du point. — t]A. quand n augmente indéfiniment point P a l'intérieur du. que R„ tend vers. que soient. quelles. La. <. étant. s. :. < sa < a < p'. p. et,. sphère, on peut toujours construire. la. une autre sphère de rayon soit à. <-. positions du. de la sphère de rayon sa. donc uniformément convergente dans ces conpeut l'intégrer terme à terme. On a par suite ^1 à l'intérieur. série (1) est. ditions et l'on. :. 'P.pdT'. V. '2). un polynôme entier homogène et de degré n en x, y, z. En effet, d'après ce que nous avons dit au paragraphe précédent, P„ est un polynôme entier et de degré n Considérons P„p". c'est. ;. en cosv.. Or on. a. xx'. +. y v'. +. x:. zz'. T^. de plus,. P.^p. est pair. vv. -/\/^'. en cos y. et P,p +. i. est impair; P,p est. donc. entier et de degré n par rapport à. W. x^ et. p-f". Pgp est. entier,. + + y^. homogène. et. z^. de degré p par rapport à.

(61) uk pousumes sr/iÉniQUEs. ij/-:vEfA)pr/:Mi:.\T e.\ skii/k zz'i' el X- -|- }'. et. yy -h de degré 2p par rapport. et. de degré 2 p. (xx' -(-. -j- 1. + ii. z" et, p;ir suite,. x, y,. par rappoit. /,.. ii. (îiaiit. ;i. cntici,, l*.,|,. .. ,,. il. 49. h(mionriir est entier. :. V'x^4-v--hzil. doue égal au produit de cette expression par un polynôme. est. entier et de degré p par rapport à. (xx'4-yy'. •. enfin. le. produit. homogène. ,. p-p^' ne contient plus -|- 1. en. x, y, z.. de radical et est. 13ref,. quelle que soit. de n, P„p°est un polynôme entier, homogène. la parité. deffré. P,j, ^. de degré 2p. et. + zz7. n en. de. x, v, z.. Si l'on considère alors le. terme général de 1. j. et. de deoré. On démontre. „P. polvnome entier en. x, v,. z,. n.. en outre que ces ])olynomes X„ satisfont. tion de Laplacc. AX„ Ce sont des. la série (2). 9. on voit que ce terme est aussi un. homooènc. et. =. Téqua-. à. 0.. polijiionics sphcriqiicsj car. on appelle, en général,. nom. des polynômes homogènes en x, y, z satisfaisant l'écjuation de Laplace. Le potentiel Y est ainsi développé en. de ce. série de la. ii. forme. Y=X, + X,+ T)onc. nômes. le. + X„+.. potentiel iiewtonden est dèveloppable en série de poly-. sphèri(pies oiitour de l'origine, fjnand l\)riiiine est exté-. aux masses agissantes. Dans ce développement, les termes de même degré sont grou-. rieure. pés ensemble;. si. l'on essayait. de. les. grouper autrement,. la série. pourrait cesser d'être convergente. C'est là un. fait. général pour les séries qui ne sont pas absolu-. POINCARÉ. Potent. Xcwt.. 4.

(62) THEORIE DU POTEyjIEL. 5o. ment convergentes. ;. on. ne peut. .\. E. ]]. TO .\I E .\. modifier. ]);is. lubitrairement. En voici un exemple simple; de polynômes homogènes. l'ordre des termes.. vante. la série. sui-. :. l+'x + iy. +. 4- x. iv. + x + iv"+. ^'+. ,. où l'on suppose. ^+iy <. I. convergente. est. l,. pour somme. et a. 1. i-^x+iy) en. la. comme développée. considérant. sances de x et de. à la. (ois. suivant les puis-. v.. Elle n'est pas absolument convergente, dans tous les cas où elle. converge. Groupons, en. efï'et,. termes dans un autre ordre;. les. par exemple, effectuons les puissances les. termes; considérons. le. indiquées. et. séparons. terme ':>. n. Quand n augmente indéfiniment, module de ce terme est. '. la. valeur asymptotique du. :. (2n,^". e-^" n-". ou, en supposant x. := y. .. -y/A-n ^„^,.. Y^-'n-. e. :. Vtm ce terme ne peut tendre vers zéro que. <. si. l'on a. 1. i. Si. donc. loppement. le. module de x. ;i. ^,. le. nouveau déve-. est cei'taineinent divergenl, alors (jue le. encore convei-gent. ^'^^. est suj)érieui'. pour toutes. les. valeuis. de. .r. premier. <>st. inlc'rieures.

(63) sinAM'. i)i:\ i:i.()i>i>i:.Mi:sr. Une. 24.. pas. |)r<''S»'iite. que. z.. — Uevcnoiis au potentiel. \(nis. le j)<)tciitiel. hypothèse,. l'origine,. 51. l'origine,. la. quand. les. V. de polv-. s(>rie. (cllc-ci est exté-. Moulions niainlcnant. fonction. puissances. avous tlénion-. newtouieii est développable en. sphéi-lques autour de. rieure aux niasses agissantes. nitîue. /.. les s«'ries. poiii'. Développement du potentiel new^tonien suivant. nomes. r,. .v,. positils.. entières de x, y, lié. i>lissa.sci:s /i.\'m:fi/:s ur.. piucille circonstancr ne so. termes. il. les. (pie,. dans. est lioloniorpitc au voisinafê. la. do. que, dans une sphèi-e assez petite avant. e'est-;i-dire. pour centre lOiigine,. devehtppahle en sciic de. elle est. hi. (01 iiic. Vavvva m,n,p étant des nombres entiers les valeurs entières. Pour. le voir,. de zéro. rappelons que Ton. \'. posons. et. H- y- -^. a,. c-. 0'-. cp'. xx'. y'-. '. zz'. v'. 2 xx'. +2. en comparant. vv'. r' et. +2 — — — X-. zz'. X. V-. z-. :. l-X},. r-^=:o'-'. d'où. :. :. X= On. z-. ;i. = — 2 cos Y H— 2 +2y +2 +x + +. r-. =. prenihe toutes. positifs pouv;int. à l'iiifini.. :. 1. Développons(i^. — X;. 1. 1. i_. 2;. on. a. :. ^1— X)"~=a„ + a,X + aA^+ et, j)ar. .1). Dans. + ;',.X"+.. conséquent,. — = + a.X + y-,.. 7.,X-. +. +. 'y,,X". +. cette série, les coeMicients a sont tous>().. z'-.

(64) -. THÉORIE DU POTEM'IEL. 5i. X. Développons maintenant. NEWTOMEN. en série entière. ;. nous sommes 1. ainsi conduits, en transformant la relation (i). a représenter la l'orme. une série de. — =Y et. représenter. il. - par. V. par. la série. =S. ^^. (2). Ax•"y"z^. suivante. :. '^ '^''^'. ^"'''''^'''. '. /. Ce développement est-il convergent et représente-t-il bien la l'onction V? Nous allons le démontrer en prouvant que ce développement. Vx-y"."/Au'dT',. (a). une. est. A. série. absolument. cet effet, posons. 2X. en appelant. o'. x^y^z,,. uniformément convergente.. et. :. -4-. 2 V. o'. -h 2. 7. c' -+-. \. modules de x,y. les. -. -^-. et z.. v. -. et. -4-. z. considérons. le. développement suivant. -i-(l-X„r-^=a,,. (3). = Etudions. + a,X^,+ > A. + a„X;+. x'"v"z''. la série. E. 0) Comparons d'abord. AyXo'Vo'zi;.. les coeflicients A„. aux coefficients corres-. pondants A.. Tous. les coefficients. donc tous. les. X^ sont positifs; tous les a. termes du développement. suite, les Ag le sont. sances égales de. X. i\\). le. sont aussi;. sont positifs, et par. également. Considérons, en outre, deux puiset. X^. :. X'" et. X^';. chaque terme de. X„''. est plus.

(65) DÉVELOl'PEMKyr SiIVA.\T LES l'ilSSASCES petit. en module que. tenue correspondant de. le. clut l'inégalité suivante. E.\TIÈIiES X,,'. DE ;. X, Y,. /.. 51. on en con-. :. Ao>lA|. Cela posé, reprenons. la série (b). ;. dans quel cas converge-t-ellc?. Elle convergera,. si. comme on. eu se leportant aux égalités. le voit. Pour que X„. l'on a. soit plus petit ([ue 1,. 2p';x„. (4). or on a. a. il. sufllt. (3).. que. l'on ait. :. + + z,;+p^<p'^; y„. :. + + K' = ?% Xo'. ô'. on. :. donc aussi. :. et la condition ^4) sera remplie. si. l'on a. :. ou bien. c'est-à-dire. rp^pV3-<4p^ c'est-à-dire eniin. :. ?<?':2-\/3), et, à fortiori, si. Ton. a. :. p<a;2-v/J), a. désignant. sphère. fixe,. comme. au paragraphe précédent. le. rayon d'une. ayant l'origine pour centre, tracée de manière à. lais-. ser à son extérieur toutes les masses agissantes, enfin contenant. point. le. M. où l'on étudie. Supposons donc à. i; la série (b). vante icS. le. développement du potentiel.. cette condition remplie; alors X^ est inférieur. converge. Considérons maintenant. (c). ^. \"'v"zP. /. A a. d-:. la série sui-.