O Teorema do Mapeamento Espectral

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O Teorema do Mapeamento Espectral

Gabriel Bonuccelli Heringer Lisboa 7994044

Prof^a. Dr^a. Nataliia Goloshchapova

Universidade de S˜ao Paulo

S˜ao Paulo, 2020

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Enunciado

X é um espa¸co de Banach complexo, salvo indica¸cão em contrário;T ∈B(X)

ρ(T) ={λ∈C|λI−T :D(T)→X é bije¸cão emX}é o conjunto resolvente do operadorT

σ(T) ={λ∈C|λI −T :D(T)→X não é bije¸cão emX}

=C\ρ(T) ´e oespectro do operadorT

”Teorema do Mapeamento Espectral”

Sef :σ(T)→Cé uma fun¸cão cont´ınua, entãoσ(f(T)) é o fecho do conjuntof(σ(T)), isto é,

σ(f(T)) =f(σ(T)).

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Indica¸c˜ ao em contr´ ario: TME em dimens˜ ao finita

SejamX =V um espa¸co vetorial com dim V =n<+∞ sobre C, eA∈M_n(C) a forma matricial de um operador linear emV e f ∈C[x] um polinômio qualquer. Sem perda de generalidade, assuma queA está em sua forma canônica de Jordan (para aplicarmosP⁻¹f(A)P =f(P⁻¹AP), ondeP é a matriz mudan¸ca de base invers´ıvel do TFCJ). Assim

A=







J₁ 0 · · · 0 0 J2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · J_m







, com J_k =







λ_k 1 · · · 0 0 λ_k · · · ... ... ... . .. 1 0 0 · · · λ_k







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Após aplicarmos uma série de potências nesta decomposi¸cão, considerando a expansão de Taylor paraf se for o caso, obteremos

f(A) =







f(J₁) 0 · · · 0 0 f(J₂) · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · f(Jm)







, onde cada f(Jk) ´e uma

matriz triangular inferior com elementos diagonaisf(λ_k). Isto implica que os autovalores def(A) s˜ao precisamente as entradas diagonais def(J_k)¹, a saber, f(λ_i), ondeλ_i s˜ao os autovalores de A. Segue σ(f(A)) =f(σ(A)).

Esta prova generaliza o TME para qualquer espa¸co vetorialV de dimensão finita sobre qualquer corpoK: basta incluirmos Kno seu fecho algébrico Ke levantarV sobre K, onde é poss´ıvel obter a

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Caso geral - X um espa¸co de Banach

Defini¸c˜ao 1 (aula 13)

Uma fun¸cão T(.) :R≥0→B(X) é dito umC₀−semigrupo se satisfaz as seguintes condi¸cões:

T(0) =I e T(s+t) =T(s)T(t), para todo s,t∈R≥0

(condi¸c˜ao de semigrupo)

Para cadax ∈X, a órbitaT(.)x:R≥0 →X;t 7→T(t)x é cont´ınua (condi¸cão de fortemente cont´ınua)

Outra nota¸cão usada paraT(.) é uma fam´ılia de fun¸cões {T(t)}_0≤t≤∞.

Note que substituindoR≥0 por R, obtemos um C₀−grupo com geradorA.

T(t) ´e uniformemente cont´ınuo se lim

t→0⁺kT(t)−Ik= 0

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Preliminares

Defini¸c˜ao 2

Ogerador (infinitesimal) A do C0-semigrupo T(.) ´e dado por:

D(A) ={x ∈X| ∃ lim

x→0⁺

T(t)x−x t }, Ax = lim

t→0⁺

T(t)x−x

t = d⁺T(t)x dt

t=0,∀x∈ D(A).

Inicialmente,Aé um operador fechado e densamente definido num espa¸co de Banach - mas é do escopo deste trabalho discutir as consequências de mudar tais hipóteses.

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Motiva¸c˜ ao: o problema de Cauchy

Consideremos um sistema linear de equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao dado por (u⁰(t) =Au(t),

u(0) =u₀ ,t ≥0

noespa¸co de estados B(X) de um dado operador linear limitado A, fechado e densamente definido, com condi¸c˜ao inicial u₀ ∈ D(A).

Queremos encontrar umestado u(t)∈X que descreve o sistema governado porA no tempo t≥0.

Ideia

Caracterizar a solu¸cão deste sistema por um semigrupo de operadores em um espa¸co de fun¸cões definidas num espa¸co de Banach. Por sua vez, iremos descrever tal semigrupo através do espectro de seu gerador.

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Mais precisamente,achar a solu¸cão única u∈B(X) deste sistema, que dependa continuamente de u₀, é equivalente ao fato de que A gera o C₀-semigrupo T(.), e fornece a solu¸cão u(t) =T(t)u₀. Ainda no contexto do problema de Cauchy, diremos queT(.) ouA satisfazem oteorema do mapeamento espectral se valer

σ(T(t))\ {0}=e^tσ(A)

para todot ≥0, onde definimos e^t∅ =∅. Note que 0∈/ e^tσ(A). Pergunta

Quais os espa¸cos de fun¸c˜oes ”admiss´ıveis” para o teorema? Quais classes de fun¸c˜oes?

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Contraexemplo

Onde n˜ao vale

Considere o espa¸co de Banach

X :=C₁⁰([0,1]) ={f ∈C⁰([0,1])|f(1) = 0}das fun¸c˜oes

cont´ınuas em [0,1] que se anulam emt = 1 munido da norma do supremok.k:X →R≥0,

f 7→ kfk:=kfk_∞= sup

t∈[0,1]

|f(t)|.

Astransla¸c˜oes `a esquerda T_E dadas por (T_E(s)f)(t) :=

(f(s+t) paras+t ≤1, 0 paras+t >1

definem umC₀−semigrupoT_E(.) emX cujo gerador A´e dado por:

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Af =f⁰,

D(A) ={f ∈X ∩C¹([0,1])|f ∈C¹(R+),f⁰∈X}.

Verifica-se que, dadosλ∈Ce g ∈X, a equa¸cão λf −f⁰ =g admite solu¸cão únicaf ∈X dada por

f(s) = Z 1

s

e^λ(s−t)g(t) dt.

Ou seja,σ(A) =∅. Por outro lado, ∀s ≥0, o operador linear T(s)

´e limitado, logoσ(T(s))6=∅,∀s ≥0.

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Estabilidade exponencial e dicotomia

Defini¸c˜ao 3

UmC0-semigrupoT(.) ´e dito(uniformemente) exponencialmente est´avel se existirem constantesM, >0 tais que

kT(t)k ≤Me^−t,∀t≥0

ou equivalentementekT(t)xk ≤Me^−tkxk,∀x ∈X,∀t ≥0.

Em particular, o casoM = 1 condiz com oteorema de Lummer-Phillips:

kT(t)k ≤e^−t para todot ≥0 ⇐⇒ A−I ´e dissipativo.

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Validade do Teorema

Relembrando (aula 4) N´os definimos os conjuntos

σ_p(A) :={λ∈C|λI−A´e n˜ao injetor}o espectro pontual de A;

σ_ap(A) :={λ∈C| ∃(x_n)n∈N⊂ D(A) :kx_nk= 1,

kλx_n−Axnk →0 (n→ ∞)}o espectro pontual aproximado deA; e

σr(A) :={λ∈C|R_λ(A)6=X}, i.e.,λ∈Ctais queR_λ(A) n˜ao ´e denso em X, oespectro residual de A.

Sua propriedades incluem:

σ_ap(A) =σ_p(A)∪ {λ∈C|R_λ(A)6=R_λ(A)},

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Algumas vers˜oes do TME s´o valem para ”partes” do espectro:

Teorema da Inclus˜ao Espectral

SejaAum gerador para oC0-semigrupo T(.). Ent˜ao valem

e^tσ(A)⊆σ(T(t)) e e^tσ^p^(A)⊆σ_p(T(t)), e^tσ^ap^(A) ⊆σ_ap(T(t)),

e^tσ^r^(A)⊆σr(T(t)).

Prova:

Antes, provaremos um lema:

Lema: Seja A o gerador do C₀-semigrupo (T(t))t∈≥0. Ent˜ao, para todoλ∈Ce t>0, vale a seguinte identidade:

e^−λtT(t)x−x =

((A−λ)Rt

0 e^−λsT(s)xds, sex∈X, Rt

0 e^−λsT(s)(A−λ)xds sex ∈ D(A).

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Prova do lema: Primeiro, observe queA−λ´e gerador do C₀-semigrupo (e^−λtT(t))t∈≥0, de mesmo dom´ınio deA. Da´ı, temos que:

1 h

e^−λhT(h) Z t

0

e^−λsT(s)x ds− Z t

0

e^−λsT(s)x ds

= 1 h

Z t 0

e^−λ(s+h)T(s+h)x ds− 1 h

Z t 0

e^−λsT(s)x ds

= 1 h

Z t+h 0

e^−λsT(s)x ds−1 h

Z t 0

e^−λsT(s)x ds

= 1 h

Z t+h t

e^−λsT(s)x ds−1 h

Z h 0

e^−λsT(s)x ds que converge parae^−λtT(t)x−x, conforme h→0⁺.

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Em particular, sex∈ D(A), sabemos que as fun¸c˜oes s 7→e^−λsT(s)

e^−λhT(h)x−x h

convergem uniformemente em [0,t]

paras 7→e^−λsT(s)Ax quandoh→0⁺. Portanto

h→0lim⁺ 1

h(e^−λhT(h)−I) Z t

0

e^−λsT(s)x ds

= lim

h→0⁺

Z t 0

e^−λsT(s)1

h(e^−λhT(h)−I)x ds = Z t

0

e^−λsT(s)Ax ds A identidade do lema anterior implica que, se (λ−A) não é uma bije¸cão, então (e^λt−T(t) também não é, provando a inclusão

e^tσ(A)⊆σ(T(t)).

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Mais ainda: se existex ∈ D(A)\ {0} tal queλx=Ax, ent˜ao e^λtx =T(t)x. Ou seja,x ´e um autovetor deT(t) associado ao autovalore^λt ∈σ_p(T(t))

∴e^tσ^p^(A)⊆σ_p(T(t)).

Sejam (xn)⊂ D(A) os autovetores aproximados deA

correspondentes ao autovalor aproximadoλ∈σap(A). Assim, ke^txn−T(t)xnk ≤ckλx_n−Axnk →0

conformen → ∞, para alguma contantec >0. Ou seja, (xn) s˜ao autovetores aproximados deT(t) associados ae^λt ∈σ_ap(T(t)),

∀t≥0

∴e^tσ^ap^(A)⊆σap(T(t)).

Finalmente, se (I −A)D(A)6=X n˜ao for denso emX, pelo lema

λt − ⊂ −

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TME pontual

Teorema do Mapeamento Espectral para o Espectro Pontual SejaAum gerador para oC₀-semigrupo T(.). Ent˜ao vale

σ_p(T(t))\ {0}=e^tσ^p^(A),∀t ≥0.

Prova: Basta mostrarσp(T(t))\ {0} ⊆e^tσ^p^(A).

Tomet0 >0,λ∈Ce x∈X \ {0}tais quee^λt⁰x =T(t0)x. Da´ı podemos ”reparametrizar” o problema para a seguinte forma:

Consideret0A−log(λ) o gerador doC0-semigrupo

(e^−tlog^λT(t0t))t≥0. Note que T(t0)x=x, ou seja, 1 ´e autovalor de−λT(t₀) quandot₀= 1 e λ= 1, de modo que podemos assumi-los assim desde o come¸co.

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Agora, consideremos o subconjunto fechado

Y :={y ∈X|T(1)y =y} ⊂X não-trivial. É fácil ver que ele é (T(t))t≥0-invariante. Da´ı o semigrupo (T(t)Y)t≥0 restrito aY é periódico com per´ıodo ∈N⁻¹. Por uma caracteriza¸cão de

semigrupos peri´odicos, podemos encontra um n∈Z tal que µ:= 2πin∈σ_p(AY).

Masσp(AY)⊂σp(A), logo 1∈σp(A)∴σp(T(t))\ {0} ⊆e^tσ^p^(A), σp(T(t))\ {0}=e^tσ^p^(A).

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TME aproximado

Teorema do Mapeamento Espectral para o Espectro Aproximado SejaAum gerador para oC₀-semigrupo T(.). Ent˜ao vale

σap(T(t))\ {0}=e^tσ^ap^(A),∀t≥0.

A dificuldade de estender os arguentos anteriores reside no fato de que nem sempreT(.)∗é fortemente cont´ınuo. E.g.: os adjuntos T(.)∗ das transla¸cões à esquerdaT(.) emL¹(R) são as transla¸cões

à direita emL^∞(R), que não são fortemente cont´ınuas.

Defini¸c˜ao

O conjuntoX={x^∗∈X^∗|T(t)^∗x^∗ →x^∗(t →0)}é denominado odual sol de X. Seu gerador é denotado porA. Pode-se provar queXé um subespa¸co fechado deX^∗ e invariante sobT(.)^∗

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As provas dos seguintes resultados ser˜ao omitidas:

σp(A) =σp(A) e σp(T(t)) =σp(T(t)),∀t≥0, σ(A) =σ(A) e σ(T(t)) =σ(T(t)),∀t ≥0.

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TME residual

Teorema do Mapeamento Espectral para o Espectro Residual SejaAum gerador para oC₀-semigrupo T(.). Ent˜ao vale

σ_r(T(t))\ {0}=e^tσ^r^(A),∀t ≥0.

Prova: Parat ≥0, combinamos os resultados e obtemos

σr(T(t))\ {0}=σp(T(t)^∗)\ {0}=σp(T(t))\ {0}

=e^tσ^p^(A^∗⁾=e^tσ^p^(A⁾

=e^tσ^r^(A).

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Considera¸c˜ oes e um exemplo

O Teorema do Mapeamento Espectral falha quando n˜ao ´e poss´ıvel ”transportar” os autovetores aproximados deT(t) para A.

A seguir, um modelo matemático na Biologia ilustra uma aplica¸cão do teorema do mapeamento espectral. Trata-se de uma descri¸cão doproblema da divisão celular, em que estuda-se o comportamento e expansão das células de uma determinada espécie, levando-se em considera¸cão sua taxa de reprodu¸cão, divisão e outros fatores.

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Problema da Divis˜ ao Celular

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Referˆ encias Bibliogr´ aficas

Engel, K., Nagel, R., One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations.63,Semigroup Forum, 2001.

Schnaubelt, RolandLecture Notes on Evolution Equations.

Karlsruhe, 2019.