C O D I G O S L I N E A R E S
NOME: DA R I O NOLLI
O R I E N T A D O R : PROF. GUR DIAL, Ph. D. DATA: F L O R I A N O P O L I S , 08 DE A G O S T O DE 1985
por
D A R I O N O L L I
Esta d i s s e r t a ç ã o foi j u l g a d a a d e q u a d a para a o b t e n ç ã o do t í t u l o de
" M E S T R E E M C I Ê N C I A S "
e s p e c i a l i d a d e em M a t e m á t i c a e a p r o v a d a em sua form a final pelo cur S C de p ó s - g r a d u a ç ã o em M a t e m á t i c a da U n i v e r s i d a d e Federal de Santa C a t a r i n a . Prof. W i l l i a m Glen n W h i t l e y , Ph. D C o o r d e n a d o r Ba nca Ex am in a d o r a : ia Ap areci á a a ju Pr of ? Mari a A p a r e c i d a P e r r e , D r a . r / h 'n
\
ß i r ~ .A meus pais, Pedro e Ol Tm pi a, pela vida e formaç ão .
A minha esposa Dilma, pelo apoio, in cen t iv o e ded i ca çã o.
Ao Pr of e s s o r Gur Dial, pela o r i e n t a ç ã o e p a c i ê n c i a na r e a lização deste trabalho.
Aos col ega s de curso, pela am iz ad e e apoio.
Ao Jânio Pedro e Os v a l d i n a , pelo tr ab a l h o de c o r r e ç ã o da li ng u a g e m e d a t i l o g r a f i a .
Aos f u n c i o n á r i o s Aldo, Nilda e Ju ss ar a, que de algum a for^ ma de ram sua c o l a b o r a ç ã o .
Este t r ab al ho , trata de um estudo dos cÕd i go s li ne ar es co_r retores de erros al e a t ó r i o s e pedaços de erro.
No pr im ei ro ca pí t u l o estão in tr od u z i d o s os c o n c e i t o s f u n d ^ men t ai s sobre os có dig os line ar es c o r r e t o r e s de erro al ea tó ri o.
0 se gu ndo e o t e rc ei ro c a p í t u l o t r at am do e s tu do dos códi^ gos lineares co r r e t o r e s e de t e c t o r e s de pe daços de erro, com a re^
trição de pêso, tanto ao có di go qu an to ao pedaço. E a p r e s e n t a d a ainda a c o n s t r u ç ã o de alguns destes cÓdigos.
This wo rk deals with a study of linea r c o r r e c t i n g codes for r a nd om and bu rst errors.
In the first c h a p t e r the fu nd am en ta l co nc e p t s abou t linea r c o r r e c t i n g codes for r a nd om erro rs are int rod uc ed .
The recor d and third c h a p t e r deal with the study of line ar d e t e c t i n g and c o r r e c t i n g codes for burst erro rs with w e i g h t c o n ^ tr ai nt on the code as well as on the burst. Some codes of these ty pe are c o n s t r u c t e d .
1 - C O N C E I T O S R E L E V A N T E S SO BR E C O D I G O S LI NE A R E S P a g . 1.1 - In t r o d u ç ã o 1 1.2 - M a t r i z G e r a t r i z 8 1.3 - Ma tr iz de V e r i f i c a ç ã o de Pa ri da de 13 1.4 - P r o p r i e d a d e s de um Codig o Li ne ar 19 1.5 - A r r a nj o Padrão 21 1.6 - sT nd ro me e suas Pr op ri e d a d e s 25
1.7 - Limi te sobre a D i st ân ci a Mínim a para Cõ di go s 29
2 - E S T U D O DOS C O D I G O S L I N E A R E S C O R R E T O R E S DE P E D A Ç O S DE ERRO
2.1 - Cõdigos Co r r e t o r e s de Pedaços de Erro 42
2.2 - Re s u l t a d o s sobre o Pêso dos Pedaços 50
2.3 - Li mites sobre o Pêso M í ni mo dos Pedaços 59
2.4 - Funções G e r a t r i z e s de e wj 62
3 - E S TU DO DOS C Õ D I G O S L I N E A R E S C O R R E T O R E S DE P E D A ÇO S DE ERROS COM C R I T É R I O PÊSO
3.1 - Limit e de V a r s h a r m o v - G i 1 bert E x te nd id o 6 8
3.2 - Cõd igo s De t e c t o r e s de Pedaços de Erro 74 3.3 - Cõd igo s com Pêso M í ni mo Co r r e t o r e s de Pedaços
de Erro 78
3.4 - Cõd igo s Co r r e t o r e s de Pedaços de Erros e
Erros A l e a t õ r i o s 82
C O N C L U S Ã O 88
C O N C E I T O S R E L E V A N T E S SO B R E C Ö D I G O S L I N E A R E S
T.l - I N T R O D U Ç Ã O
Nas úl tim as três déc a da s a busca de e f i c i e n t e s e c o nf iá veis si st em as de t r a n s m i s s ã o de dados di gi t a i s tem sido a c e l e r a d a pelo uso c r e s c e n t e de p r oc es so s a u t o m á t i c o s de dados e a n e c e s s i d ^ de c r e s c e n t e para a c o m u n i c a ç ã o de longo alcan ce.
Um dos sérios pr ob le ma s em q u a l q u e r sis t em a de t r a n s m i s s ã o de dados é a o c o r r ê n c i a de erros. 0 pr ob l e m a de como c o n t r o l a r e^ ses erros é de uma i m p o r t â n c i a bási ca e os c Õ d i go s fo ra m i n v e n t ^ dos para c o r r e ç ã o dess es erros.
Na l i t e r a t u r a da te or ia de c o d i f i c a ç ã o v á ri os tipos de cõ digos tem sido i n v e n t ad os , tais como, c ó d i go s l i ne ar es , não linea res e c o n v o l u c i o n a i s .
O B S E R V A Ç Õ E S :
1) Em nosso es tu do nos at er em os apen as aos c Ó d i g o s linea res .
mãti c a .
Na m a io ri a dos sist ema s de c o m u n i c a ç ã o de dados dig i ta is , a in f o r m a ç ã o é u s u a l m e n t e co mp os ta na forma bi ná ria , isto é, o c^ nal uti l iz a dTg itos b i ná ri os , "
0
" ou "1
" , ou na forma de ci ma l, ou ainda algum a forma de in fo rm aç ão al fa bé ti ca .De um modo geral, c o n s i d e r a m o s q como sendo o núme ro de dj^ gitos (ou sTmbolo s) di st i n t o s e a r b i t r á r i o s e m p r e g a d o s num canal.
Co n s i d e r e m o s a se gu in te figura:
A Font e, que pode ser uma pessoa ou uma m á q u i n a , prod uz as m e n s a g e n s .
0 C o d i f i c a d o r t r a n s f o r m a estas m e n s a g e n s ( i n f or ma çõ es ) em pa la vra s que vão ser t r a n s m i t i d a s .
0 Canal é o meio pelo qual as pala vra s são t r a n s m i t i d a s .
0 pr oc es so de c o d i f i c a ç ã o co ns i s t e de duas etapa s básicas: (1) A s e qu ên ci a de in fo rm aç õe s é s e g m e n t a d a em blocos meji
sagens, cada bloco c o n s i s t i n d o de k dTg i to s s u c e ss iv os de in fo rma ção ;
(2) 0 c o d i f i c a d o r de acord o com certas reg ras, tr a n s f o r m a um bloco m e n s a g e m em um bloco de n(n à k) dTg i to s (uma n-upla) que o d e n o m i n a m o s uma pal avra cõdigo.
k Como cada bloco m e n s a g e m c o n s i s t e de k dT gi t o s , ter emo s q
k - r
pos si v ei s blocos d i s t i n t o s , c o n s e q u e n t e m e n t e te rem os q po ss ív ei s pa la vr as cõdigo, p r o d uz id as pelo c o d i f i c a d o r , c o r r e s p o n d e n t e s aos
k -r
q pos sT v ei s blocos me ns age m.
k - -
Ao co nj u n t o de q pa la vr as co di go e que d e n o m i n a m o s de um bloco cõ digo, ou s i m p l e s m e n t e cõdigo.
D e f i n i ç ã o 1.1.1
-
-
k -Um bloco c o di go e um co nj u n t o de q se q u e n c i a s de sí mb olo s u t i l i z a d o s no canal, cada uma das quais de c o m p r i m e n t o n.
1) F r e q u e n t e m e n t e uma pal a vr a co di go é t a m b é m c h a m a d a um vetor cõ dig o, porq ue esta e uma n- up la do e s pa ço veto- rial, V p , de todas as n- upl as to mad as sobre um corpo de q ele m en to s.
2) Em nosso es tu do sempr e que nos re fe r i m o s a um c o rp o, su b e n t e n d e - s e um corp o fini to de q e l e m e n t o s e assim, q se rã primo ou uma po tê n c i a de um primo.
3) GF(q) d e n o t a r á um co rp o de Galoi s com q e l e m en to s.
— k
Vamos c o n s i d e r a r co di go s cuja e s t r u t u r a e tal que, os q vet o re s c õ di go s f o rm am um s u b e s p a ç o vetorial k - d i m e n s i o n a l de todas as n-up las .
Defi ni ção 1.1.2
0 c o n j u n t o de todos os q vet ore s de c o m p r i m e n t o n(n-uplas) é dito um C õ d i g o L i n e a r se, e so me nt e se ele é um s u b e s p a ç o do e^ paço veto ria l de todas as n-up las .
N o t a ç ã o : D e n o t a r e m o s por [n,k] o c Õ di go li ne ar de c o m p r i m e n t o n com k dT gi to s de i n f o r m a ç ã o (k e t a m b é m dito d i m e n s ã o do c Õ d ^ go) e n-k dTgi to s de ve ri fi c a ç ã o . E x e m p l o 1.1.1 Cõ di go B i n á r i o [5,3] em que o c o d i f i c a d o r t r a n s f o r m a uma s e q u ê n c i a de três d T g i to s em vet ore s c o di go de cinc o d T g i tos , a s s i m : M e n s a g e m 000
100
010
001
110
101
011
111
C o d i f i c a d o r V e t o r cõ di go 0 0 0 0 0 10 0 1 10 1 0 1 0
0 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 1 1 1
1 1 1 0 0
tores cõdig o di st in to s. Cada m e n s a g e m é t r a n s f o r m a d a pelo co di fi ca dor em um vetor cõdig o de cinco dTgitos.
O B S E R V A Ç Ã O :
Podemos notar que o co nj u n t o de ve tor es cõ di go forma um s u be sp aç o 3-d i me ns io na l do es pa ço vetorial de todas as 5- -uplas. Po rta nt o, é um cõdi go linear.
D e f i n i ç ã o 1.1.3
ü Pêso de H a m m i n g de um vetor x, de no t a d o por W ( x) , ê defj_ nido como o númer o de c o m p o n e n t e s não nulas de x.
E x em pl o 1.1.2
a) q = 2 . Seja x = ( 1 00 11 10 1) , então, W(x) = 5 . b) q = 3 . Seja x = ( 1 2 1 2 0 1 0 0 1 ) , então, W(x) = 6 .
D e f i n i ç ã o 1.1.4
A Di s t â n c i a de H a m m i n g entre dois vet ores u e v, de no t a d a por d( u, v) , ê de fi ni da como o númer o de c o m p o n e n t e s em que eles diferem.
E x e m pl o 1.1.3
q = 2 . Seja m u = ( 1 00101100) e v = ( 1 1 0 0 1 0 1 0 1 ) , então , d(u ,v) = 5 .
O B S E R V A Ç A O :
Seja q = 2 , a di st â n c i a entre dois vetores c õ di go u e v de um cõdi go linear é igual ao pêso de seu ve tor s o m a u + v , isto ê, d(u ,v) = W(u + v) .
De fato, fa zen do uma indução sobre n te remos: se n = 1 , eni tão, u = O e v = í e d(u,v) = W(u + v) = 1 .
Se ja m u = U2 • • • z^ e ^ = v^ temos então , duas p o s s i b i l i d a d e s :
1?) Se z,| = Z2 j não hã 0 que provar, isto e, d(u ,v) = W(u + v) = n .
2?) Se z,j ^ Z2 , então , d(u,v ) = n + 1 e como
u + V = u-| + ... z^ + Zg , onde + 2 2 ^ 0 , te mos que W(u + v) = n + 1 , logo d(u, v) = W(u + v) = = n + 1 . Po rt a n t o , d(u , v) = W(u + v) . E x e m p i0 1.1.4 C o n s i d e r e m o s os ve tor es u e v do E x e m pl o 1.1.3 . u + V = (010 11 10 01 ) W(u + v) = 5 = d(u,v)
Dado um c o di go linear, podemos c a l c u l a r a d i s t â n c i a entre todos os pares de ve tor es co di go , ã me no r desta s d i s t â n c i a s e deno m i n a d a D i s t â n c i a M í n i m a do C õ di go e e d e n o t a d a por, d . , ou m m sim— p l e s m e n t e d .
Se u e V são dois ve tor es c õ di go de um c o di go linear, en tão, u - V t a m b é m é um vetor cõ digo. P o rt an to , por d e f i n i ç ã o , a d i s t â n c i a ent re q u a i s q u e r dois vet ore s c Õ di go é igual ao peso de um t e r c e i r o veto r cÕdigo. As si m, a d i s t a n c i a m í n i m a de um cõ di go l i ne ar é igual ao pêso m í n i m o de seus ve to res cõ di go não nulos.
O B S E R V A Ç D E S : 1) A noção de d i s t â n c i a m í n i m a ou pêso m í n i m o é im p o r t a n t e na a n á l i s e da c a p a c i d a d e de c o r r e ç ã o de erro de um cÕdi^ go linear. 2) Um c õ di go li ne ar de c o m p r i m e n t o n , d i m e n s ã o k e d i £ tâ nc ia m í n i m a d será d e n o t a d a por [n,k ,d] . E x e m p l o 1.1.5 C o n t i n u a ç ã o do Exe mp lo 1.1.1 .
Al ém dessa de fi n i ç ã o de pêso e d i s t â n c i a de H a mm in g ex is te outra d e f i n i ç ã o que é devid a a Lee.
D e f i n i ç ã o 1.1.5
0 Pêso de Lee de uma n-up la ... , a^, ag), a^ esco Ihida do c o n j u n t o {0 ,1,2 , ... , q - U , onde q é um inteiro po si t i v o a r b i t r á r i o , é d e f i n i d o como w. n- 1 i = 0 a. 1 onde a . 1 q - a . , _ < a . S q - 1 1 2 ^ ■ Ex e m pl o 1.1.6 Seja q = 5 e n = 6 , a 6-upla (013424) . Então, w, = Li a .1 onde a1. = 5 - a . , i < a . á 4 i ’ 2 1 -W — 0 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 — 7 Li D e f i n i ç ã o 1.1.6
A D i s t â n c i a de Lee entre duas n- uplas é d e f i n i d a como o pé so de Lee de sua di fe ren ça.
E x e m p l o 1.1.7 Seja q = 5, n = 6 e as 6-uplas u =(4002 34) e v =(104210) A d i f e r e n ç a m õ d u l o - 5 é u - v = (301024) . A Di s t â n c i a de Lee é (u - v) = E ^ i=0 U. - V. 1 1 onde
OB SE RV A Ç Õ E S :
= 5 - (u. - v^) , I < - V. á 4
W ( u - v ) = 2 + 0 + 1 + 0 + 2 + 1 = 6
L
1) Para os casos bi ná ri o e t e r n ã r i o as d i s t â n c i a s de Lee e H a m m in g c o i n c i d e m , para q > 3 , a d i s t â n c i a de Lee entre duas n-u p la s e m a i o r ou igual a d i s t â n c i a de Ham ming entre as me sm as duas n-uplas.
2) Em nosso e s tu do us ar em os s o me nt e a d i s t â n c i a e o peso no s e n t id o de Hammi ng.
Um c õ di go li ne ar [n,k] é um s u b s p a ç o do e s pa ço vetorial de todas as n- up la s, V^, po rt a n t o pode ser dado por uma base. Para e^ te s u b s p a ç o i possTvel e n c o n t r a r um c o n j u n t o de k n- up la s linearmen te i n d e p e n d e n t e s (L.I.).
Se ja m v^ , V2 , ... » V|<. os v e t o re s L.I. Q u a l q u e r outro vetor do s u b s p a ç o pode ser e s c r i t o da se gu i n t e forma:
V = a^i V*1 + a2 V2 + ... + ot|^ V|^, onde a.j = 0 ,1, . ..,q - 1
para i = 1,2 ,. . . , k .
Po de mo s, desta forma, d e s c r e v e r um cõ di go li ne ar [n,k] por me io de um c o n j u n t o de k v e t o re s cÕ di go l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s .
C o n s i d e r e m o s este c o n j u n t o v-] , V2 , ... , V|^ de k vet or es c õ di go l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s como k linhas de uma m a t r i z k x n, d e n o t a d a por G , G = ^1 ^ 1 1 v i2 • • • ^1n V2 V21 V2 2 • • • ^2n k 4 • ""kl ^^k2 ^ k n
( 1)
onde Vi = (vii , Vi 2 , ... , Vin), i = 1 ,2 ,...,k .Seja u = (u^i , U2 , ... , U|^) um bloco me ns a g e m . Então,
0 ve to r cõ di go c o r r e s p o n d e n t e pode ser dado por:
X = (xi , X 2 , ... , Xj^) = u G VI
V«
= V-] + U 2 V 2 + vk
Isto i, 0 ve to r cõ di go x , c o r r e s p o n d e n t e a m e n s a g e m u e uma combi_ nação li ne ar das linhas de G . P o rt an to , o c o n j u n t o de todas as com bi na çõ es linea res das linhas de G forma um s u b s p a ç o k - d i m e n s i o n a l de Vn , e 0 ch am am os de e s p a ç o linha de G .
é c h am ad a M a t r i z G e r a t r i z do Cõ digo.
O B S E R V A Ç D E S :
1) Como um s u b s p a ç o pode ter mais que .uma base, assim, um c õ di go li ne ar pode ter mais que uma m a tr iz geratr iz.
2) Como um c õ di go li ne ar e c o m p l e t a m e n t e e s p e c i f i c a d o pela m a t r i z ge ra t r i z o t a m a nh o da a r m a z e n a g e m do c o d i f i c a d o r é reduzid o.
3) 0 c o d i f i c a d o r pre cis a a r m a z e n a r k linhas de G em lugar
k - -
de a r m a z e n a r os q ve to re s co di go do codigo.
E x e m p l o 1.2.1
C o n t i n u a ç ã o do Exe m pl o 1.1.1, o cõ di go [5,3] é ge ra do por q u a l q u e r uma das duas m a t r i z e s se gu in tes :
1001 1 1001 1 01010 s - 11001 00101 11100 0 ve to r c õ di go x coírrespondente a m e n s a g e m u = (1 1 0) u s an do e x = (1 1 0) '^l V2 = l.v^ + 1.V2 + O . V3 = = 1.(1 0 0 1 1) + 1.(0 1 0 1 0) + 0.(0 0 1 0 1) = = (1 1 0 0 1) 0 ve to r cõ di go x c o r r e s p o n d e n t e a m e n s a g e m u = (1 1 0) u s an do G2 é: X = (1 1 0) 1 V 2 V3 = (0 1 0 1 0)
E as si m p r o c e d e n d o com to do s os dema is blocos m e n s a g e m o b t e r e m o s t o dos os 8 ve to re s c õ di go do cõdigo.
Po de mos o b s e r v a r que usand o a m a t r i z g e r a t r i z Gj os primei ros 3 (três) dT git os de cada ve to r cÕ di go obt i do , são os 3 (três)
d T g i to s da m e n s a g e m , t r a n s f o r m a d a pelo c o d i f i c a d o r , fato este que nem sempr e o c or re us an do a m a tr iz ge ra t r i z G2 .
Assi m, é possTvel c o d i f i c a r cada bloco m e n s a g e m em um vetor cõ di go de tal mo do que os p r im ei ro s k dTg i to s do ve to r c õ di go são e x a t a m e n t e os m e sm os do bloco m e n s a g e m e os últ imo s n - k dT gi tos são d T g i to s r e d u n d a n t e s (dTgitos de v e r i f i c a ç ã o de pa ri dad e) que são fun çõe s dos dTg i to s cfe i n f o r m a ç ã o .
Podemos i l u s t r a r da se gu i n t e mane ira :
Mensagem Mensagem Dígitos Redundantes
u = Cu^,...,Uk)
I«.---k --- ^1 1l ^ k --- .>! — n - k
---D e f i n i ç ã o 1.2.1
Um c õ di go cujos ve tor es cõ di go a s s u m e m esta forma i dito um C õ d i g o S i s t e m á t i c o .
Um [n,k] cõ di go li ne ar s i s t e m á t i c o pode ser d e s c r i t o por uma m a tr iz g e r a t r i z k x n da forma: 1 0 0 . . . Oa-|i 3-12 0 1 0 . . . 0 a2i 322 0 0 1 . . . 0 a3i 3^2 000 ^ k1 ‘k 2 • “ ^1 . n - k • • ^ 2 , n - k • • ^ 3 , n - k ^k ,n-k (
2
) onde = 0,1,2 , . . . ,q-1 Seja 1|^ a m a t r i z i d e n t i d a d e k x k e seja A a m a tr iz k X in - k) de a^j . Então a m a tr iz ge ra t r i z de um c õ di go s i s t e m á tico pode ser e s c r it a na forma seguin te:g‘ = [Ik : A] (3)
Esta m a t r i z g' pode ser ob ti da da m a t r i z g e r a t r i z G, defi_ nida a n t e r i o r m e n t e , pela c o m b i n a ç ã o de o p e r a ç õ e s e l e m e n t a r e s das
linhas e p e r m u t a ç õ e s das col una s de G . Po rt a n t o G e G sao matrj_ zes ditas c o m b i n a t o r i a m e n t e e q u i v a l e n t e s .
A s si m, e x i s t e uma m a t r i z do tipo g' (da fo rm a (2) ) que é c o m b i n a t o r i a m e n t e e q u i v a l e n t e a cada m a t r i z g e r a t r i z G (da forma (1) ), e to do c õ d i g o l i n e a r é e q u i v a l e n t e a um c õ d i g o l i n e a r sis te mã ti co.
Agora , seja um bloco m e n s a g e m u = ( u ^ , U2 ,. . . , ). U s an do a m a t r i z g e r a t r i z g' da e q u a ç ã o (2), o ve to r cõ di go c o r r e s p o n d e n t e e 1 00 010 001 . 0 a As si m, x.j = u.,- para i = 1 , 2, .. ., k ® ^k+j = ^ i j*^1 + ^2j^ 2 + ••• + akj^k para j = 1 , 2,... ,n-k Ou mais r e s u m i d a m e n t e X = ( U i , ü 2 , . . . , U k , y ^ , Y 2 , . . . , y n - k ) onde 1 1 . 0 a21 31 0 0 0 ... 1 a kl J E Ui a i=1 ^ 1 , n - k ^ 2 , n - k ^ 3 , n - k ^k , n - k (4) (5) (6) (7) (
8
) Das eq ua ç õ e s (5) e (6 ), ou mais r e s u m i d a m e n t e (7) e (8 ), po dem os ver que as p r im ei ra s k c o m p o n e n t e s do ve to r c õ d i g o s ã o just^ m e n t e os dTg i to s de i n f o r m a ç ã o ; as ú l t i ma s n - k c o m p o n e n t e s sãofu nções dos d T g i to s de in f o r m a ç ã o , ou seja, cada uma das úl ti ma s n - k c o m p o n e n t e s é uma c o m b i n a ç ã o li ne ar das pr im e i r a s k componen^ tes.
As eq ua ç õ e s (6) ou (8) são ch am a d a s as e q u a ç õ e s de v e r i f i ca çã o de p a r i d a d e do cõdigo.
E x e m pl O 1.2.2
(C on ti n u a ç ã o do Ex emplo 1.1.1 .)
0 cõdig o [5,3] tem a m a tr iz ger a tr iz ,
1001 1
G = 0 1 0 1 0
00101
0 vetor cõ di go c o r r e s p o n d e n t e ao bloco m e n s a g e m u = (U'|,U2 »U3) é X = (xi ,X2 ,X3 ,X4 ,X5) 1001 1 = ( u ^ U2 U 3 ) G = ( u i u-^ U 3 ) 0 1 0 1 0 00101 = ( , U2 , U3 , u^ + U2 + U 3 ) Assim , x^ = u.| , x^ = X-3 = u3 , X4 = ui + U2 e X5 = + U3
Es c r e v e n d o os 2^ = 8 ve tores cõ dig os c o r r e s p o n d e n t e s aos 8 blocos me n s a g e n s , t e m o s : u 000 1 00 010 001 1 10 101 01 1 111 00000 1001 1 0 1 0 1 0 00101 1 1001 10110 01111 1 1 100
1.3 - M A T R I Z DE V E R I F I C A Ç A O DE P A R I D A D E
Se ja m u e v £ sobre GF (q ). D e f i n i m o s o p r o d ut o in te rno de u e V como
U . V = + . . • + Li^v^ (mod. q)
Se u . V = 0, entã o, u e v são ditos o r t o g o n a i s .
Para q u a l q u e r k x n m a tr iz G com k linhas l i n e a r m e n t e in d £ pe n d e n t e s e x i s t e uma (n - k)x n m a t r i z H com n - k linhas
l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s . ' Ni ^12 . * • hIn »>2 ^21 ^22 . . . h„2n H = : = • \ - k » ' n-k, 1 h , „ n-k, 2 . . . h n-k,n. e q u a l q u e r ve t o r ^r no e s p a ç o linha de G é or to gon al a (9)
nhas de H, isto e, o p r o d ut o in te rn o v . h- = 0 para 1 s j á n-k.
\l
Desde que g^- e um ve to r no e s p a ç o linha de G , o p r o d ut o i nt er no
g. . h. = 0 , para l á i á k e 1 á j á n - k
* <J
Seja t um ve t o r no e s pa ço linha de H . Entã-o, t e uma combi_ nação li ne ar das linhas de H ,
t = onde para <1^ = 0 , 1, 2... q-1 0 pr od ut o int e rn o de t por v e t . V = (d^h^ + à ^ 2 + • • • n-k *^n-k^ ' = d^(h^ . v) + d^(h2 . v) + ... + d^_|^(h^_j^ . v) . Desde que, h. . v = 0, temos que t . v = 0 . Isto e, q u a l q u e r ve
J
tor V no e s pa ço linha de G e q u a l q u e r v e t o r t no e s p a ç o linha de H são o r t o g o n a i s , isto é, t . v = 0 .
0 es pa ço linha de G é c h a m a d o e s pa ço nulo de H, ou vice--versa.
P o rt an to , para q u a l q u e r k x n m a t r i z G e x i s t e uma (n-k)x n m a t r i z H tal que o e s pa ço linha de G e or tog ona l a H .
C o n s i d e r e m o s a m a t r i z H da e q u a ç ã o (9) e seja
um vetor no es pa ço linha de G . Entao,
= ( 0 0 ... 0) (1 0)
onde ê a ma tr iz t r a n s p o s t a da ma tr iz H . As eq ua ç õ e s (10) podem ainda ser es cr i t a s como
X . hj = x,hj, + Xghjg + ... + x^hj^ = 0 (11) para j = l , 2 , ... , n - k .
Assim, 0 s i g n i f i c a d o das eq ua çõ es (10) é que as c o m p o n e n tes de X de ve m s a t i s f a z e r um c o n j u n t o de n - k eq ua ç õ e s l i n e a r m e n te in de p e n d e n t e s . N a t u r a l m e n t e , q u a l q u e r c o m b i n a ç ã o linea r das equ^ ções (1 1) t a m b é m dã uma e q u a çã o que as c o m p o n e n t e s de x d e ve m sati^ fazer, e isto c o r r e s p o n d e ao fato que x é ortogonal a cada vetor do es pa ço linha de H . Estas eq ua çõ es são c h am ad as e q u a ç õ e s genera liz adas de v e r i f i c a ç ã o de par id a de , porqu e no caso bin á ri o elassão s i m p l e s m e n t e para v e r i f i c a r a pa ri da de par sobre ce rt os co n j u n t o s de sTmb olo s na pa lav ra cÕdigo.
Podemos d e f i n i r o cÕdig o linear, ta mbém, da se gu i n t e manei^ ra :
D e f i n i ç ã o 1.3.1
í x é um veto r cõ digo, se, e som ent e se, xH^ = 0 .
A m a tr iz H é cha mad a M a t r i z de V e r i f i c a ç ã o de P a r i d a d e do c Õ d i g o .
O B S E R V A Ç A O :
As op er a ç õ e s nas eq ua çõ es (10) e (11) são e f e t u a d a s mó du lo q •
Seja a m a tr iz ge ra tr iz G, de um cÕdig o lin ear, que est ã ,n a forma (2). Então, ex is te uma m a n e ir a simples para e n c o n t r a r a m ^ triz de v e r i f i c a ç ã o de pa ri da de H, c o n f o r m e o te or em a seguinte:
T e o r em a 1.3.1
Se V é 0 es pa ço linha da m a tr iz G = [Ij^ j A], onde éuma k X k m a tr iz i d e n ti da de e A é uma k x (n - k) mat r iz , então, V é o es pa ço nulo da ma tr iz H = C - ^ ^ j l n - k ^ ’ ^n-k ® ^
D e m o n s t r a ç a o :
Vimos que q u a l q u e r vet or no e s pa ço linha de G é o r to go nal a todas as linhas de H, isto e, o pro d ut o in ter no g.
para I s i á k e l á j á n - k . Isto quer di ze r que q u a l q u e r ve to r no e s pa ço linha de G e q u a l q u e r veto r no e s pa ço linha de H são o r t o g o n a i s . Ou seja, as linhas de G e H são o r t o g o n a i s umas as outras.
E claro que G tem posto k e H tem posto n - k T
logo H = [ -A
Assi m, H i dada por:
H = - a - a 11 12 - a 21 \ l - a 22 - a,k2 1 0 0 1 0 0 - a 1 ,n-k - a„ 2,n-k , . . . - a, k,n-k, 0 0 1 ( 12) □ As e q u a ç õ e s de v e r i f i c a ç ã o de p a r i d a d e (6) ou (8 ) podem ser o b t i da s de H . De f a t o , se X = (x,j ,X2 , . . po nd en te a m e n s a g e m u = ( u p u2 » •• desde que
xh
”*^ =0
, en tão temos:x^) é um ve tor cõ dig o, corre^ U|^) , onde x.j = u.^ para 1 á i < k
^kj^k ^ ^ k j ^ para j = 1,2 , eq ua ç õ e s (6 ) . , n - k , que e e x a t a m e n t e o me sm o c o n j u n t o de O B S E R V A Ç Ã O :
E c o n v e n i e n t e , mas não e s s e n c i a l , que H tenha a forma m o £ trada em (1 2), pois, neste caso, os pr im e i r o s k d T g i to s em cada pa la vr a c õ di go são d T gi to s de i n f o r m a ç ã o (m en sa ge m) , e os úl ti mo s n - k são d T g i t o s d e v e r i f i c a ç ã o de par id a de . Como a e q u a ç ã o (10) vale para cada um dos k vet o re s da b^ se da m a t r i z G, estas k e q u a ç õ e s po de m ser e x p r e s s a d a s por:
Ex e m pl o 1.3.1
(C on ti n u a ç ã o do Ex emplo 1.1.1 .) Sab emos que a ma tr iz ge ra tr iz é
1001 1 G = [I|^ ; A] = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 Se gu nd o o T e o r em a 1.3.1 , a ma tr iz de v e r i f i c a ç a o de p a r i dade é 11010 10101 OB SE RVA ÇÃO : No caso bi ná ri o -A^ = A^ . 0 ve to r cõdi go x c o r r e s p o n d e n t e ao bloco m e n s a g e m u = (u^ Up u.,) é tal que xH^ = 0
1 1 Seja X = ( x ^, X2 .Xg ,x^ ,Xg) e HT 10 01 10 01 entao, (x^ »x2;,x2 ,x^,xg) de onde temos: 10 01 10 01 X4 = x^ + X2 Xg - x^ + X3 = 0 onde x^ = u^; X2 = e X3 = .
Agora e s c r e v e n d o os 2^ = 8 vet ore s cõdig o c o r r e s p o n d e n t e s aos 8
u 000 100 010 001 1 10 101 01 1 111 00000 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 00101 1 1 00 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 que são os v e t o re s c o di go do Ex em pl o 1.2.2 E x e m p l o 1.3.2 Seja 0 c õ di go t e r n ã r i o [4,2] cuja m a t r i z g e r a t r i z é: 1022 G = 0121 Hã 32 = 9 ve to re s cõdigo. A m a tr iz de v e r i f i c a ç ã o de p a r i d a d e é H = 1 1 1 0 1201
Os v e t o re s c Õ di go x são tais que xH =-0 e dados por: u 00 01 02 10 1 1 12
20
21 22 X 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 2 1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 1 2 1 0 22220
P r o v ar em os no teorema se gu in te uma re la çã o de d e p e n d ê n c i a linear entre as colunas de H e os ve tor es cõdig o de um cõ di go 1in^ a r .
Te o r e m a 1.3.2
Seja C um cõ di go linear que ê o espa ço nulo de uma m a tr iz H . Então, para cada veto r cõdi go com pêso H a m m in g W , ex is te uma re laç ão de d e p e n d ê n c i a line ar entre H col una s de H , e r e c i p r o c a mente, para cada re la ção de d e p e n d ê n c i a li ne ar e n v o l v e n d o W colunas de H , ex is te um veto r cõ di go de pêso W .
D e m o n s t r a ç ã o :
Um veto r x = (x^ , X 2 ,. . . , x ^ ) ê um vet or cÕ di go se, e someji te se, x H ^ = 0 , ou se o i- esi mo vet or colun a na m a t r i z H e denota do por hj , entã o n
E X, h. = 0 .
i=1 ^ ^
Isto ê e x a t a m e n t e uma re la çã o de d e p e n d ê n c i a li ne ar en tre colunas de H , e 0 nume ro de colunas de H que apa r ec e com c o e f i c i e n t e s não nulos ê 0 núme ro de c o m p o n e n t e s não nulos x.j de x , que ê exatamejn te 0 pêso de x . Po rt ant o, para cada ve to r cõdi go com pêso de H a m ming W , e x is te uma re laç ão de d e p e n d ê n c i a line ar en tr e VI co lunas de H .
A n a l o g a m e n t e , os c o e f i c i e n t e s de q u a l q u e r re la çã o de depeji dência line ar entre col una s de H são c o m p o n e n t e s de um ve to r que deve es ta r no e s pa ço nulo de H . Por ta n to , para cada re la çã o de de pe nd ên ci a li ne ar e n v o l v e n d o U colunas de H , ex is te um ve t o r c õ d i go de pêso W.
□ Co ro lã ri o 1.3.3
0 cõdi go linea r C tem pêso m T n i m o d se, e s o m e nt e se, d é
0 ma i o r núme ro tal que, cada d - 1 co lun as de q u a l q u e r ma tr iz de v e r i f i c a ç ã o de pa ri d a d e H de C são independentes.
D e m o n s t r a ç a o ;
1.4 - P R O P R I E D A D E S DE UM C O D I G O LI NE AR
- T T
1.4.1 - X é um ve tor cõ di go se, e so men te se xH = 0 , ou Hx = 0.
1.4.2 - M a t r i z G e r a t r i z e M a tr iz de V e r i f i c a ç ã o de P a r i d a d e
U s u a l m e n t e a m a tr iz ge ra tr iz e uma k x n m a tr iz da forma G = [Ir, : A] e a ma tri z de v e r i f i c a ç ã o de p a ri da de é uma (n - k)x n
T ■ - k
ma tr iz da forma H = [ -A j ® ° co di go tem q pa la vra s codj^ go sati s f a z e n d o (1 0).
O B S E R V A Ç Õ E S :
1) 0 fato de q pa la vr as no cÕdi go ainda é c o r r et o se H não estã na forma acima, desd e que H tenha n colu na s e n - k linhas l i n e a r m e n t e i n de pe nd en te s.
2) Quand o H tem a forma acima, os vetores cõ di go são da fO£ m a : X = X. . . , X, X, , . . . X __________ K. ,k.... "V + 1__________ V- u, d í g i t o s d e d í g i t o s de i n f o r m a ç ã o v e r i f i c a ç ã o 1.4.3 - Os P a r â m e t r o s de
um
C õ di go L i n e a r [n , k , d] n = c o m p r i m e n t o do cõdigo. k = d i m e n s ã o do cõdigo. d = d i s t â n c i a m T ni ma do cõdigo. — k A Ta xa ou E f i c i ê n c i a do C o di go e de fi ni da por R = n E x e m p l o 1.4.1 3 0 co di go [5,3] tem taxa R = 5 1.4.4 - Outr as m a t r i z e s g e r a t r i z e de v e r i f i c a ç ã o d e p a r i d a d eUm cõdi go linea r pode ter mais de uma m a t r i z ge ra tri z. De fato, qua 1 quer co nj u n t o m á x i m o de ve to res cÕdig o l i n e a r m e n t e indepeji de nt es, tomados de um dado cõ digo, pode ser usado como as linhas de uma ma tr iz ge ra tr iz para aque le codigo.
Uma v e r i f i c a ç ã o de pa ri da de sobre um codi go e q u a l q u e r ve^ tor linha h tal que x h ^ = 0 para todo ve to r cõ di go x p e r t e n c e n t e ao cõdigo.
A n a l o g a m e n t e , q u a l q u e r co nj u n t o m á x i m o de v e r i f i c a ç õ e s de pa ri d a d e l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s pode ser usado como as linhas de uma m a tr iz de v e r i f i c a ç ã o de pa ri da de H para o cõdigo.
1.4.5 - L i n e a r i d a d e
Se X e y são vetores cõ di go de um dado cÕ dig o, então, x - y é ta mb ém um veto r cõdigo, porque (x - y)H"^ = xh"^ - yH*'' = 0 .
Se a é q u a l q u e r e l e m e n t o do corpo de q e l e m e n t o s , então, ax t a mb ém é um veto r cõdigo, porque (ax)H^ = axH^ = a . 0 = 0 .
O B S E R V A Ç A O :
Um cõdig o linea r é ta mb ém um grupo ad it iv o e um e s pa ço ye torial sobre o corpo.
1.5 - A R R A N J O P A DR AQ
k
C o n s i d e r e m o s um c o di go li ne ar [n,k] com q ve to re s codigo. Para q u a l q u e r v e t o r cõ di go que é t r a n s m i t i d o em um canal r u i d os o 0 ve t o r r e c e b i d o r pode ser q u a l q u e r uma das q*^ n-uplas.
Q u a l q u e r e s q u e m a de d e c o d i f i c a ç ã o us ad o no d e c o d i f i c a d o r e uma regra (lei) para d i v i d i r as q'^ n- up la s em q*^ s u b c o n j u n t o s d i ^ j u nt os D-j , Dg, ...» Dqk tais que o s u b c o n j u n t o c o n t é m som e nt e um v e t o r c Õ di go x-j . A s s i m , cada s u b c o n j u n t o D^. está em correspoji d ê nc ia b i u n T v o c a com um ve t o r c õ di go .
Desta forma, se o ve t o r r e c e b i d o r é e n c o n t r a d o no s u b c o n ju nt o , então , o decodi fi ca do r i denti f i ca x como o ve t o r cõ dig o transmi tido.
A decodi fi.cação cor r et a é feita se o v e t o r r e c e b i d o está no s u b c o n j u n t o D^. que c o r r e s p o n d e ao ve to r cõ di go t r a n s m i t i d o .
Uma d e c o d i f i c a ç ã o in co r r e t a re su lt a se o ve t o r r e c e b i d o e^ tã no s u b c o n j u n t o que não c o r r e s p o n d e ao ve to r c õ di go t r a n s m i t i d o .
Uma m a n e i r a para d i v i d i r as q*^ n- upl as é d e s c r i t a como se gue. E este p r o c e s s o de d i v i s ã o é c o n h e c i d o como a r r a n j o padrão.
k - _
Todos os q vet o re s c o di go sao c o l o c a d o s numa linha com o ve t o r nulo x^ = (0 ,0 ,. .. ,0) como o p r i m e i r o e l e m e n t o (ã es q u e r d a ) .
n k —
De todas as q -q n- up l a s , uma n-upl a e e s c o l h i d a e e c o l o c a d a d e b a i x o do ve to r co di go x ^ . Então, a se gu nd a linha é com pl et ad a s o m a nd o 0 2 a cada ve to r co di go x ^ , isto é, c o l o c a n d o debaj[ xo de cada ve t o r c Õ di go x^- o ve to r soma .
A n a l o g a m e n t e , entre todas as n- up la s r e s t a n t e s , não usadas, uma é e s c o l h i d a e é c o l o c a d a na pr im e i r a co lun a, e a te rc ei ra linha é c o m p l e t a d a . 0 p r o c e s s o co nt i n u a até que todas as n- uplas são us ad as, isto é, até que cada n- up la a p a r eç a em al gu m lugar na t a be la abaixo. Então, ob te mo s um a r r a n j o de linhas e co lu n a s , em que cada linha c o n s i s t e de q n- up la s, c o n f o r m e a tabela:
^ 2 • • • X - , . . . X q k 62 e2 + X2 . . . ®2 ■*' • • • ^2 ^ 63 63 + X2 • - • 63 + X- . . . 63 + x^k ejl + ^2 • • • •" V Sqn-k + X2 . . . e^^-k + H * * * ®qU-k + Pr ov ar em os no Te or em a se gu in te al gu mas p r o p r i e d a d e s do a_r ranjo padrão. T e o r e m a 1.5.1
(1) Duas n- uplas na mes ma linha do a r r a nj o não são i d ê n t i cas .
(2) Ne nhu ma n-upla a p a r ec e em linhas di fe re nt es .
D e m o n s t r a ç ã o :
(1) S u p o n h a m o s que duas n- uplas na Ji-ésima linha são idênti^ cas, isto ê: ej;, + = 0£ + Xj com i ^ j . Então, temos x.,* = Xj que é im p o s s í v e l , pois x^ e xj são vet or es cõdigo. P o rt an to , duas n- uplas na me sm a linha do a r ra nj o não são idênticas.
(2) Su p o n h a m o s que uma n-upl a ap ar ec e na £- êsima linha e na t - ê s im a linha, com í, < t . Então, esta n-upl a deve ser igual a e^ + x.j para al gu m i e deve ser igual a + Xj para al gu m j. P ort ant o, e^;, + x-j = e^ + Xj de onde obtemos + ( x ^ - Xj) desde que x-í e x^- são ve tor es cõ digo, ta mb ém 0 é x , - x . Seja
J • J
x ^ = x.j - Xj . Entao, + x^^ . 0 que implica que a n-upla estã na £-êsima linha, o que co n t r a d i z a regra de c o n s t r u ç ã o do a r r a nj o que diz ser o pr im e i r o el em e n t o da t- és im a linha que não ap ar ec eu em nen h um a linha an te rio r. Po rta nto , c o n c l u i m o s que
nen huma n-upla ap ar ec e em linhas di fe re nt es . □
s-te de q n- up la s d i st in ta s e p o rt an to , todas as linhas são disjuji tas. Isto ë, cada n-upla a p ar ec e uma e s o m e nt e uma vez no arranjo.
As si m hã linhas di sti n ta s. .
q k
Um a r r a nj o as si m c o n s t r u i d o é c h a m ad o A r r a n j o Pa dr ão para um dado cõdig o line ar [n,k], onde as linhas são ch am ad as "cosets" e as n- up las da pr im ei ra coluna do a r r a nj o são ditas re p r é s e n t a n t e s dos "cosets" (ou "coset lideres").
E x e m p l o 1.5.1
C o n s i d e r e m o s o cÕdi go linear bin á ri o [5,3] do Exe m pl o 1.1.1.
0 a r r a nj o padr ão para este cõdi go é: "coset líder" 00000 10011 01010 11001 00101 10110 01111 11100 00001 10010 01011 11000 00100 10111 01110 11101 0 0010 10001 01000 11011 0011 1 10100 01101 11110 10000 00011 11010 01001 10101 001 10 11111 0 1100
0 "coset líder" em cada 1i nha , sempre foi e s c o l h i d o o v de m e n o r pêso entre os re stante s.
Todas as 2^ = 32 5- uplas a p a r e c e m no a r r a n j o padrão.
No a r r a n j o padrão do codig o [n,k] d e n o t e m o s a j - ê s i m a c o l ^ na como D j , então
Dj = {xj; 6 2 + Xj; 6 3 + Xj ; e n-k + Xj} (13) onde Xj ê 0 j - e s i m o ve tor cõ di go e e2 »C3 »• • . »e^n-k são os "cosets líderes". Por ta n to , o ar ra nj o padrã o di vi de as q*' n- upl as em q*^ subconjuntos d i sj un to s D, ; Dj
veto r re ce bi do será d e c o d i f i c a d o c o r r e t a m e n t e em xj
Su p o n h a m o s que o vetor xj é t r a n s m i t i d o por um canal ru^ doso. Pela equ a çã o (13), vimos que o vet or re ce bi do r está em Dj se 0 ve tor de erro ca us ad o pelo canal é um "coset líder". Então, o
Por outro lado, se o vetor de erro c a u s ad o pelo canal não ê um "coset líder" r e su l t a r á uma d e c o d i f i c a ç ã o in correta. Assi m, o vet or de erro e cau s ad o pelo canal deve es tar em al gu m "coset" e d e b a i x o de algu m veto r cõ digo, seja o £-é sim o "coset" e de ba ix o do ve to r cÕ dig oxj . Então, e = e„ + X-
^
e o ve to r re ce b i d o seráJ
0 vetor r e c e b i d o está em D e é d e c o d i f i c a d o em x que é uma deco
a s —
d i f i c a ç ã o inc o rr et a. Po r t a n t o , qu an do um a r r a n j o pa dr ão i usad o pa ra a d e c o d i f i c a ç ã o , a d e c o d i f i c a ç ã o e c o r r e t a se, e s o me nt e se o vet or de erro c a u s a d o pelo canal é um "coset iTder".
S e j a m e- e e. dois ve to res de erro com peso W( e- ) e W(e.)
* ü • 1 J
r e s p e c t i v a m e n t e . Para um canal s i m é t r i c o bi ná r i o , se W(e.) < W(e.),
-N» j
en tã o e. oc or re mais p r o v a v e l m e n t e que e.. . Po rt a n t o , em cada caso,
— J
0 "cose t lider" seria e s c o l h i d o como um ve to r com pêso m T n i m o e£ tre os v e to re s r e s t an te s.
1.6 - S I N D R O M E E SU AS P R O P R I E D A D E S
1.6.1 - S T n d r o m e
C o n s i d e r e m o s um cõ di go linear com ma tr iz ge ra t r i z G e m ^ triz de v e r i f i c a ç ã o de pa ri dad e H .
Seja X um vetor cÕdi go que é t r a n s m i t i d o atr avé s do canal. No r e c e p t o r ob tem os um vetor r = >^2' • • ’ ’ *'n) pode ser d i f e r e n t e de x . Seja r a soma do veto r cÕ di go original x e um vetor de erro e , isto é:
r = x + e ou e = r - x 0 ob je t i v o do d e c o d i f i c a d o r é r e c u p e r a r x de r . Para d e c o d i f i c a r r i n t r o d u z i r e m o s o c o n c e i t o de sTndrome. D e f i n i ç ã o 1 .6 .1 .1 0 ve to r S = rH"*" é cha mad o a sT nd ro me do ve to r r e c e b i d o r. O B S E R V A Ç Ã O :
A s T nd ro me de um vetor re ce bi do serã usada para c o r r e ç ã o e de te c ç ã o de erros.
Exe m pl o 1.6 .1.1
C o n s i d e r e m o s o cõdi go line ar bi nár io [5,3] do Ex emp lo 1.3.1 ’lOOl 1 ' ► ^ 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 e H = 0 0 1 0 1 > > ^ 1 0 1 0 1 /
Seja 0 vetor re ce bi do r = (11110) que nao é um ve to r cõ digo. A sT nd ro me deste veto r é:
S = (11110) 1 1 10 01 10 01 S / = (1 0)
Seja 0 ve tor re ce bi do r = (11001) que é um ve to r cõdi go c o r r e s p o n d e n t e a m e n s a g e m u = (110) . Então:
S = (11001 ) 1 1 10 01 10 01 1.6.2 - P r o p r i e d a d e s da ST nd r o m e 1.6.2.1 - S é um ve to r de c o m p r i m e n t o n - k .
1.6 .2.2 - A sT nd r o m e de r , S = rH^ , é zero se, e so men te se r é um ve to r co di go (pela d e f i n i ç ã o do cõdigo).
1. 6.2.3 - Se n e nh um erro oc or re u, a sT nd r o m e de r é zero (mas,. a r e cT pr oc a não é ve rd ad ei ra ).
1.6 .2 .4 - Para um cõ di go bi ná rio , a sT nd ro me é igual a soma das co lunas de H onde o c o r r e r a m erros. (Assim, S é c h a m a d o a s T nd r o m e porq ue dá os sint oma s de erros.)
D e m o n s t r a ç ã o ;
Sejam x um ve to r cõdig o t r a n s m i t i d o , e um ve to r de erro e r 0 vetor rec eb i do , então:
r = X + e
Pela d e f i n i ç ã o de sT nd ro me
S = = (x + e) = xH^ + eH^ = eH^ (14)
Se o c o r r e r a m erros nas po si çõe s a, b, c, ..., de tal modo que e = 0 ... o i o . . . i . . . i . . . 0 , a b c entao, da e q u a ç a o ( 1 4 ) , temos: S = E e . h. (h. = i-ésima colu na de H) i ' ^ = h + h i + h + ... a b c
Po rt ant o, a s T nd ro me é igual a soma das colunas de H onde ocorreram e r r o s .
Uma v a n t a g e m do uso da sT nd r o m e e que ela s i m p l i f i c a o pr £ cesso de d e c o d i f i c a ç ã o d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e , sen ão veja mos .
Se C é um c ó d i g o de c o m p r i m e n t o n , entã o, o a r r a n j o padrão c o n s i s t i r á de q e l e m e n t o s , que t e rí am os de a r m a z e n a r e i n v e s t i g a r para l o c a l i z a r um ve t o r re ceb i do , ü uso da s T n d r o m e , isto é, c a l c ^ lando a s T n d r o m e do ve t o r re ce b i d o te m- se o "coset iT de r" , isto i,
0 ve t o r de erro pr ov á v e l c a u s a d o pelo cana l, que s u b t r a i n d o - o do ve t o r re ce b i d o te m-s e o ve t o r c Õ di go que p r o v a v e l m e n t e foi transmj^ tido.
P r o v a r e m o s no t e or em a s e g u i n t e , com uso da s T n d r o m e , uma p r o p r i e d a d e m u i t o i m p o r t a n t e do a r r a n j o pa dr ão que pode ser usada para s i m p l i f i c a r o p r o c e s s o de d e c o d i f i c a ç ã o .
T e o r e m a 1 .6.3.1
k
(1) Todas as q n-u p la s de um "coset" tem me sm a sT nd rom e. (2 ) As s T n d r o m e s para d i f e r e n t e s "c osets" são d i f e r e n t e s .
D e m o n s t r a ç ã o :
C o n s i d e r e m o s uma m a t r i z de v e r i f i c a ç ã o de p a r i d a d e H para um dado có di go l i ne ar [n,k].
(1) C o n s i d e r e m o s o z - es im o "coset" cujo "coset iTder" é e . Uma n- up la ne st e "coset" é igual a e« + x- para a l g u m i . A
A* . . . I
s T n d r o m e desta n - up la e
(ex. + = ej, + x. H^
De sde que x- e um ve t o r c ó di go que estã no e s pa ço nulo de H , então
T T T
X^H = 0 . A s s i m (e^ + ) H = H . Isto e, a s T n d r o m e de q u a l q u e r n-upl a num "coset" é igual a do "coset iTder". P o rt an to , todas as n-u p la s de um "coset" tem a me sm a sTndro me.
(2) S u p o n h a m o s que as sT nd r o m e s do £ - é s i m o "coset" e do t - é s i m o "coset" (s, < t) são iguais. Da parte (1) temos que
Então, (e^ - e^) = 0 . 0 que im pli ca que a n- up la (e^ - ) d £ ve ser um ve t o r có di go , qual seja Xj . As si m, + Xj . Isto é, estã no Ji-esimo "coset", o que c o n t r a d i z a regra de constr^ ção do a r r a n j o p a dr ão que s e g u nd o a qual o "coset iTder" não seria usad o a n t e r i o r m e n t e . Po rt a n t o , c o n c l u i m o s que
£ ^ t , ^ ,
isto é, as sT ndr o me s de d i f e r e n t e s "cosets" são di fe re nt es .
□ O BSE RVA ÇÃ O:
Pelo Teo r em a 1.6 .3.1 , exis te uma c o r r e s p o n d ê n c i a bi un Tv o- ca entre um "coset líder" e uma sindrome.
1.7 - L I M I T E S S O B R E A D I S T A N C I A M l N I M A PA RA C O D I G O S
E i m p o r t a n t e sabe r a c a p a c i d a d e e l i m i t a ç ã o dos c o d i g o s c o r re to res de erros. Esta i n f o r m a ç ã o j u n t a m e n t e com o c o n h e c i m e n t o , o que é p r a t i c a m e n t e a t i n g í v e l , indi ca quais os p r o b l e m a s que estão r e s o l v i d o s e quais ainda p r e c i s a m de mais i n v e s t i g a ç ã o .
P r o v a r e m o s i n i c i a l m e n t e três lemas que us ar e m o s na d e d u ç ã o de algun s li mites i n f e r i o r e s e s u p e r i o r e s sobre a d i s t â n c i a m í ni ma at in gív el com um c ó d i g o linear.
Lema 1.7.1
Se todos os vet o re s có di go em um có di go l i ne ar [n,k] são a r r u m a d o s como linhas de uma m a t r i z , e se n e n h um a colun a c o n s i s t e toda de ''O s (toda nula), entã o, cada e l e m e n to do cor po apareceq*^"^ vezes em cada coluna.
D e m o n s t r a ç ã o :
P r o v a r e m o s o r e s u l t a d o para uma col una. qual q u e r . E s c o l h e mos a pri m ei ra . Vamos e s c r e v e r os vet o re s c Õ di go da s e g u i n t e manei_
r a , os que c o m e ç a m por o --- ► 0 . . . ; 0 . 1 ^ q -1 ---- *► q - 1 ... ; q - 1 C o n s i d e r e m o s os e l e m e n t o s da p r i m e i r a coluna. S a be mo s que os q ve to re s c o di go f o r m a m um e s p a ç o vetorial sobre o corp o de q el e m e n t o s . 0 c o n j u n t o dos ve to re s c ó di go que co m e ç a m por 0 ou 1 ou 2 ou ... ou q-1 , f o r m a m cada um, um s u b s p a ç o vetorial do e s pa ço vetorial das n-u p la s sobre o corpo de q ele me ntos.
C o n s i d e r e m o - l o s como "c os ets ", temos p o r t a n t o um total de q "cosets".
Como todos os "cosets" tem o me s m o nú me ro de e l e m e n t o s ,ch^ me mo s de x o n ú me ro de e l e m e n t o s de cada "coset". Então, o pr od ut o do nú me ro de "cos ets " pelo n ú me ro de e l e m e n t o s de cada "coset" dã
qX = ==» X = , p o rt an to , cada "coset" tem qf^"^ e l e m e n t o s .
E s c r e v e n d o cada el em e n t o do "coset" como uma linha de uma matri z M temos : ✓ 0 . . . k-1 M 0 1 q-k-1 q-1 . . .
P ort ant o, cada el em e n t o do corpo a p a r ec e na pr im e i r a colu-k 1
na q vezes. Como a p r im ei ra coluna foi e s c o l h i d a arbi trar i ameji te, vale o re su l t a d o para todas as colunas.
□
E x e m pl o 1.7.1
Seja 0 códi go line ar bi ná rio [6,3] com m a t r i z ge ra tr iz
1 0 0 0 1 1 0 1 0101 001 1 10
E s c r e v e n d o os 8 ve tor es cõdi go como linhas de uma m a tr iz M temos :
M 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 Cada e l e m e n t o 0 e 1 do corpo a p a r e c e 2 em cada coluna. ok-1 = 2^ = 4 vezes E x e m p l0 1 .7 . Z
Seja 0 cõ di go linea r te rn ã r i o [4,2] com m a tr iz ge ra tr iz
1022
0121
E s c r e v e n d o os 3^ = 9 veto res cõ di go como linhas de uma m ^ triz M , temos; 00 0 0 0 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 2 M = 1 1 1 0 1 20 1 201 1 2102 2220 Cada el em e n t o vezes em cada coluna.
k-1
,
2-1 0, 1 e 2 do corpo ap ar ec e q = 3 = 3Lema 1.7.2
A soma dos pêsos de todos os ve tor es cõdi go em um cõdigo li_ near [n,k], quand o a r ru ma do s como linhas de uma m a tr iz M onde nen h um a colun a e toda nula, é
D e m o n s t r a ç a o :
E s c r e v e n d o os ve tor es có di go do co di go line ar [n,k] como linhas de uma ma tri z M , c o n f o r m e Lema 1.7.1 , temos:
N = 0
1
q-1
q -1 . .
0 nú me ro de dT gi tos não nulos em cada linha é e x t a m e n t e ^ gual ao númer o de dTg i to s não nulos em cada e l e m e n t o do "coset". Cada e l e m e n t o do "coset" é uma n- upla, o que nos p e rm it e a f i r m a r
k-1
que a m a tr iz M tem n colunas. Cada "coset" tem q e l e m e n t o s , c o nf o r m e Lema 1.7.1 . Em cada colu na da m a tr iz M temos q-1 dTgitos
k-1
nao nulos, onde cada um deles ap ar ec e q vezes, c o n f o r m e Lema 1.7.1 e por h i pó te se , nen h um a colun a e toda nula. Po rt an to , na
k l ~
m a t r i z H temos um total de n(q-l) q ~ dT git os nao nulos. Por d e f i ni çã o, o piso de um veto r có dig o, no se nt id o de H a m m in g é dado pelo nú me ro de dT git os não nulos do mesmo. Assi m, a soma dos pêsos de todos os vet ore s cÓdig o de um cÓ di go li ne ar [n,k] e dada pela soma do núme ro de dT gi to s não nulos de todos os vet o re s c ó di go do mesmo, que é igual ao númer o de dTg itos não nulos da m a tr iz M que
n(q-1 ) qk-1
□
E x e m p l o 1.7.3
V e t o r e s C ó d i g o P e s o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 3 0 10101 3 0 1 10 11 4 100011 3 101101 4 1 10 11 0 4 1 1 1 000 3
A soma total dos pisos dos ve to res códig o é
q' 24 = 6(2 - 1 ) 23-1 = n(q - 1 )
Lema 1.7.3
Num có di go linea r bin á ri o ou todos os ve tor es cÓ di go tem pêso par ou m e ta de tem pêso par e m e ta de Tmpar.
D e m o n s t r a ç ã o :
Basta m o s t r a r que os ve tores c ó di go de pêso par f o rm am um s u b g r u p o .
0 c o n j u n t o C dos vet ore s códig o do códig o [n,k] fo rm am um grupo com re sp e i t o a adição.
C o n s i d e r e m o s so men te o co nj u n t o P dos ve tor es có di go de pê so par. Para m o s t r a r que P é um su gr up o de C basta m o s t r a r que P é fec h ad o e que a in versa exis te no co nj u n t o P .
No c o n j u n t o P a ad iç ão é fe ch ad a, pois o que res ult a e sem pre um veto r có dig o de pêso par.
Como 0 corpo ê bi ná ri o, o in verso de cada ve to r có di go é ele mesm o, logo a inversa exist e no co nj u n t o P . P o rt an to , o c o n junt o P de todos os vet ore s códi go de peso par forma um su bg ru po do grupo de todos os ve tores cÓdi go do código.
Diante disto, temos duas s i tu aç õe s a examin ar:
P
=C
ouP C C
Se P = C , então, todos os ve tores cÓdi go tem pêso par. Se P C C , c o n s i d e r e m o s um veto r cÓdig o c 6 C ta1 que ? , então (c + P) = P , isto é, (c + P ] ) f í P para todo
Pi £ P , fo rm am um co nj u n t o Q de ve tor es de peso Tmpa r c o nt id o em C . P o r t a n t o , C = P U Q •
Como P e Q tem o mesm o númer o de e l e m e n t o s , temos que, a me ta de dos ve tor es cõ di go tem pêso par e a m e ta de tem peso Tmpar.
Logo, no cõ di go linear bi ná ri o [n,k] todos os ve tor es cõ digo tem peso par ou a m e ta de tem peso par e m e ta de Tmpar.
□
E x e m p l0 1.7.4
No cõ di go bin á ri o [6,3] do Exe mpl o 1.7.1 , c o n s i d e r e m o s os vet ore s cõ di go de peso par e c h am em os ao c o n j u n t o destes d e :
P = { 0 00000 ; 011011 ; 101101 ; 110110} .
A ad iç ão é fec had a em P , isto é
0 1 1 0 1 1 + 1 0 1 1 0 1 = 1 1 0 1 1 0 6 P
0 1 10 11 + 1 10 11 0 = 101101 e P
1 1 0 1 1 0 + 1 0 1 1 0 1 = 0 1 1 0 1 1 € p
0 in ve rso de cada vet or cõ di go é ele me sm o, consequentemeji te a i d e n ti da de (000000) é P .
Logo, P é um su bg ru po do cõdig o bin á ri o [6,3] com respeito a adição.
Lema 1.7.4
0 pêso m T n i m o de um ve to r cÕdi go em um cõ di go li ne ar [n,k] é no m á x i m o tão gran de qu ant o o pêso mé dio
n(q - 1 )
D e m o n s t r a ç a o :
Pelo Lema 1.7.2 , a soma dos pêsos de todos os ve to re s cÕ digo de um cõ di go line ar [n,k] cujos dí gi to s são to mad os sobre um corpo de q el em e n t o s ê n(q - 1) q*^~^ . Como num cõ di go [n,k] há
k - k - ~
q vetores co digo, sendo que q - 1 tem peso nao nulo, e o vetò r c õ di go de pêso m T ni mo tem no m á x i m o o pêso mê di o, d e n o t e m o s por
k-1
Seja B(n,d) o númer o m á x i m o de ve tor es co di go po ss ív ei s em um codig o line ar de c o m p r i m e n t o n com piso m í n i m o pelo menos d.
Lema 1.7.5
Se n > d , B(n,d) á q B(n - 1 , d)
D e m o n s t r a ç a o :
Seja C um cÕdi go de c o m p r i m e n t o n e piso m T n i m o pelo menos d que tem B(n,d) vet ore s código. Seja o c o n j u n t o F de to^ dos os ve tores cÓ di go de C em que o ú l ti mo dT gi to é "0" .
Como a soma de q u a i s q u e r dois e l e m e n t o s de F está em F, e q u a l q u e r m ú l t i p l o e s c a l a r de um e l e m e n t o de F es tá em F , e ^ tão , F forma um su bs p a ç o de C .
F =
Como cada e l e m e n t o do corpo pode a p a r e c e r na úl ti ma posição e x i s te m q "cosets" de F em C . A s s i m uma fr aç ão _ J _ dos ele
-q me nt os de C esta em F .
1
Entao, 0 s u bg ru po F e um cÓ di go linea r com B(n,d) símb ol os e peso m T ni mo pelo menos d , cujos ve to re s cada um tem a
Ú l ti ma c o m p o n e n t e "0 " ,
D e s p r e z a n d o o últim o sT mb ol o temos um có di go linea r de n-1 dí g i t o s sem a f et ar o núme ro de ve tor es có di go no su bg r u p o ou o pê so mí ni mo. Pode e x i s t i r outras co lunas todas nulas no c ó di go resu2. tante F , mas estas podem ser s u b s t i t u í d a s por q u a l q u e r outro t^ po de colun a sem r e d u zi r o pêso mínimo. (Notar que B(n-1 , n-1) = = q , c o s i s t i n d o o cÓdi go de n - 1 re p e t i ç õ e s de um único d i g i t o de inf ormação. As si m, com a su po s i ç ã o que n > d , são po s s í v e i s co lunas não nulas no có di go de c o m p r i m e n t o n - 1 .)
P o rt an to , B ( n-1 , d) 2 - J— B(n ,d) , i sto ê: q B(n,d) á q B(n-1 , d) T e o r e m a 1.7.6 Se n s ~ V , 0 nú me ro de dí gi to s de v e r i f i c a ç ã o reque^ q_- 1 ^
ridos para ob te r piso m í n i m o d, em um códig o li ne ar de comprimen< to n i pelo menos
3 ^ - 1 - log, d .
D e m o n s t r a ç a o :
C o n s i d e r e m o s um códig o [i,k,d]. Usan do o Lema 1.7.4 temos que
d á ^ ~ ^ ^ ^---- = * d(q*^ - 1) á i(q - 1) q*^~^ = > qX - 1
=* dq*^ - d á iq*^ - iq*^"^ =» dq*^ - iq^ + iq^~^ á d =>
k-1 k
=> q " (dq + i - iq) s d => q (dq + i - iq) á qd e se dq + i - iq > 0 , então, q*^ á ---3.^
---q d + i - i ---q
Como q*^ = B(i,d) então, q*^ = B ( i , d) < S A ---qd + 1 - i q
E s c o l h e n d o i tal que ~ ] = i + f onde i é um in tei ro e q - 1
0 á f < 1 , temos
Então ,
q'‘ = B ( i , d ) a - ----. « q--- I n — TT q d + i - i q 1 + f ( q - 1)
Se n à 1 , por (n - i - 1 ) a p l i c a ç õ e s do Lema 1.7.5 , temos B(n,d) á q"-'' B(i,d) Us an do (15) vem que B(n,d) sq"-' B(,,d)s ' V T W / ‘‘‘‘ -1 + (q-1)f 1 + (q-1 )f n _ qd - 1 f = q q - 1 __ !__ g___ d e ) 1 + (q - i)f Para s i m p l i f i c a r (16) m o s t r e m o s que q^ á 1 + f (q - 1) . C o n s i d e r a - s e a funç ão F(q) = 1 + f (q - 1) - q^ .
Esta funçã o é co nt Tn ua e di fe r e n c i ã v e l , então,
M s l = f - fqf- 1= f(1 - q^"^) = f ( 1 ---1— )
dq q1-f
Como — -— á l v - q = 1 ^ O á f < 1 temos que q 1 - f f (1 - q ^ ' M ã 0 isto é -4LLqJ_ s 0 , po rt a n t o dq F(q) é cres ce nte . Mas F(l) = 0 e V q è 1 F(q) > F(1) =» 1 +f(q-1) - q^ ã 0 =* = » 1 + f ( q -1j à q^ . Po rta nt o, q á 1 + f(q-1) . S u b s t i t u i n d o em (16) temos B(n,d) s q " ' . Cl . f ( q - 1 ) ] q d ^ 1 + f (q - 1) isto é qd - 1 B (n , d ) á q q - 1 . q d
Desde que B(n,d) = q para o codi go com m a x i m a d i s t a n c i a m í ni ma onde K é 0 núme ro de sí mb ol os de in f o r m a ç ã o para aq ue le cÕ digo, temos, então,
k n q*^ - ]
to ma nd o l o ga ri tm o com base q , temos que
K < n - ' ■ ^ + 1 + log^ d q - 1
Como n à 3^— 1— L , temos, que o númer o de dTg it os de v e r i f i c a ç ã o q - 1
n - k será
„ . K à _ 1 _ io g„ d
q - 1 ** □
O B S E R V A Ç Ã O :
Se d é muit o grande, os úl tim os dois termos na e x p r e s s ã o acima pod em ser d e sp re za do s.
E x e m p l o 1.7.5 Seja n = 4 , q = 3 e d = 3 . S e n s ~ - = * 4 à 4. q - 1 n - k è a l _ L _ L _ 1 _ log d =*> n - k è 4 - 1 - log. 3 = q - 1 ^ = 2 =* n - k à 2
Po rta nt o, o códi go n e ce ss it a de pelo menos 2 dT gi to s de ve r i fi ca çã o de paridade.
Pr ov ar em os no Te or em a se gu in te o limite s u p e r i o r de Hamming sobre d .
T e o r e m a 1.7.7
Para q u a l q u e r códi go line ar [n,k] com pêso m T n i m o ma i o r ou igual a 2t + 1 , o núme ro de dT git os de v e r i f i c a ç ã o sa ti sf az
1. - k slog^i [1 + (ÍJ) (q - 1) + (J) ( q - 1)* + ... + ({) (q - 1)*] •
Demonstração:
C o n s i d e r e m o s um códi go line ar [n,k] .
Se 0 códi go e para c o r r i g i r todas as c o m b i n a ç õ e s de t ou menos erros, então todos os ve to res de peso me n o r ou igual a t de
^ n — Ic
vem ser "coset lideres". Mas o nume ro de "cosets" e q . Assim ,
0 número de ve tores de pêso m e n o r ou igual a t deve ser não m a i or que 0 número de ""co set s", isto é:
1 + (f) (q - 1) + (?) (q - D ' + ... + (J) (q - D * . Tomando logaritmo vem que:
n - k i log^ [1 + (?) ( q - 1 ) + (J) (q - 1)' + ... + (J) ( q - D * ] □ Teorema 1.7.8 (0 limite de Si ng le to n. ) Se C é um c ó di go line ar [n,k,d], então n - k s d - 1 . D e m o n s t r a ç ã o :
Uma pal avr a códig o com so men te um di g i t o não nulo de infor. mação tem pêso no m á x i m o n - k + í . A s s i m
d s
n
- k +1
ou n - k à d - 1E x e m p l o 1.7.6
Seja 0 c ó di go line ar bi ná ri o [6,3,3], então
n - k à d - 1 = > 6 - 3 > 3 - 1 = > 3 > 2
Este T e o r em a prova um limite s u p e r i o r para o t a ma nh o do cõ digo com uma dada d i s t â n c i a mí nima. No Te or em a se gu i n t e p r o v ar em os um limite in fe r i o r que diz que bons cÓd igo s li ne ar es ex istem.
T e o r e m a 1.7.9
(Varsh ar mov - Gilbert .)
£ possível c o n s t r u i r um [n,k] códi go com d i s t â n c i a mT ni ma pelo menos d para o qual a se gu i n t e in eq ua çã o vale:
,n. , ^ n -k
I (í) (q - D * a q'
i= 0 ’D e m o n s t r a ç a o
Pelo T e o r em a 1.3.2 , se uma m a tr iz H , de v e r i f i c a ç ã o de pa ri da de , pode ser d e t e r m i n a d a de tal modo que n e nh um c o n j u n t o de d - 1 c o lu na s, ou meno s, ê l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e , o espaço nulo
