Como uma pr im e i r a e x i g ê n c i a , vist o que o c õ di go e para cor rigir todas as c o m b i n a ç õ e s de pêso m e n o r ou igual a ra , a colu na h. para ser a d i c i o n a d a dever a ser tal que, não e uma c o m b i n a ç ã o l i ne ar de q u a i s q u e r 2m - 1 co lu na s a n t e r i o r e s ou menos. Q u a i s q u a ’ 2m -
1
colunas ou menos fora das j - 1 co lun as po de m ser escolhj^ das em[ 1 + (q - 1) 1 (60)
manei r a s .
Em se gu ida , des de que, o co di go com ve tor es de erro de pe so m e n o r ou igual a m e x i g i d o para c o r r i g i r simul t a n e a m e n t e todos os erros que são pedaços de c o m p r i m e n t o m e n o r ou igual a
b
,a sTn dro me de q u a l q u e r ve to r de erro de pêso m e n o r ou igual a m não será igual a de q u a l q u e r ve to r de erro que e um peda ço de c o m p r i me nt o me n o r ou igual ab .
A in e q u a ç ã o (61) ab ai xo , a s s e g u r a que a s T n d r o m e de q u a l quer veto r de erro de pêso m e n o r ou igual a m não e igual a de q u a l q u e r ve to r de erro que e um pedaço .de c o m p r i m e n t o m e n o r ou igual a
b
fora das j c o m p o n e n t e s e x ce to q u an do o pe da ço inclue a úl ti ma c o m p o n e n t e , isto e, a j - e s i m a e o ve to r de pêso m corre to e e s c o l h i d o das pri me i ra s j -b - 1
c o m p o n e n t e s que e agora c u i d a d o pela in eq u a ç ã o (62) .Assi m, a seg u nd a e x i g ê n c i a sobre
h.
e que ü hj , (dj hj + + <‘’t, *'t, * '’t, '’t, ' 1 2 2 ••• m-1 , ''t ,)m-1 + (61) ^‘^j-b+l '^j-b+1 S ‘-b+2 ^•-b+2 + ••• + ^j-i + + (d. h. + d. h. + ... + d. h. ) ^1 ^1 ^2 ^2 ^m ^m (62)onde as h's sao q u a i s q u e r b co lun as c o n s e c u t i v a s e h!s são
s u
q u a i s q u e r m - 1 co lu na s entre as , hg, ^'j-l ^
q u a i s q u e r m col una s entre as , h ^ , com todos os dls não nulos. Visto que todas as c o m b i n a ç õ e s li ne ar es de 2m - 1 c o lu na s ou menos são in clu ido s em (60) e s c o l h e r e m o s c o e f i c i e n t e s em (61) e (62) tais que os últ im os 2m a^s e b^s to mad os ao m e ^ mo tempo e os úl tim os m c.js são não nulos.
Com 0 fim de as si m e s c o l h e r a^s e r£ b^s tais que + P2 à 2m . (Os m a i o r e s va lor es que e T2 pod em a t i n g i r são b e m - 1 , r e s p e c t i v a m e n t e . )
Ag or a, a^s que de um pe da ço de c o m p r i m e n t o m e n o r ou igual a b com peso num ve t o r de c o m p r i m e n t o j - 1 , pode m ser e s c o l h i d o s em
K (q , j ; b , r ^ (63)
m a n e i r a s (onde, K(q, j •, b, r-j) d e no ta a e x p r e s s ã o dada no enunci^ ado do Te or ema ) e r2 b^s em
‘í ’ ’ ) ( 6 4 )
^ I
ma ne ir as . Al em diss o, pelo menos m c.s pode m ser e s c o l h i d o s em J
b-1 h 1 i
I ('’:') (q - 1)
i=m ^ (65)
m a n e i r a s , e n q u a n t o o nú me ro de opçõe s em que todos os d!s não n^ los pode m ser e s c o l h i d o s é
( 6 6 )
F i n a l m e n t e , a p o s s i b i l i d a d e da me sm a sT nd r o m e de q u a i s q u e r dois vet o re s de erro cada um dos quais e um peda ço de c o m p r i m e n t o me n o r ou igual a b es tã ex clu Tda . P o rt an to , a t e r c e i r a ex i g ê n c i a força que
\ + ®k+t '’k+i + 'k+b-1 '’k+b-i* *
**’j-b+1 *'j-b+1 fj-b+2 "j-b+2 + ••• + fj-1 '’j-l' (67)
onde hj^s são q u a i s q u e r b colu na s c o n s e c u t i v a s en tre as h ^ , h2 » ..., . Te ndo em vista as s i tu aç õe s c o n s i d e r a d a s an te r i o r m e n t e .
_ 0
e claro que pelo me nos m f.s j u n t a m e n t e com pelo menos (m + 1 )
serão to rn ad os não nulos. 0 númer o de m a n e i r a s em que pelo menos m f.s pode m ser e s c o l h i d o s jã foi dado na e x p r e s s ã o (65).
J
Do me sm o modo, pelo me nos ( m + 1 ) 6|^s , que f o r m a m um p e d ^ ço de c o m p r i m e n t o m e n o r ou igual a b tendo pêso m a i o r ou igual a m + 1 em um ve to r de c o m p r i m e n t o j - b , podem ser e s c o l h i d o s em
L (q , j ; b , m) (68)
m a n e i r a s (onde, L(q, j ; b, m) denot a a e x p r e s s ã o dada no e n u n c i a do do T e o r e m a ). De (60), (63), (64), (65), (66) e (67), o n ú me ro total de c o m b i n a ç õ e s line are s é - . r.+rp=b+m-1 C 1 +(q-1) 1 + £ [K(q.j;b.r2)(j'')(q-1) ] + r^+r2=2m + (‘'•b (q-1)'l [('^■^■'') (q-1)"’ + L ( q , j ; b , m ) ] '-i=m ^ J m (gg)
Logo, um ve to r h. para todas as es co l h a s dos coeficie nt es J deve e x i s t i r se / • I P r.+r2=b+m-1 1 > [1 + (q-1)] 1 + j; [K(q, j; b, r2)(J:b(q-1) ^] + r^+r2=2m b 1 * + r E (^ : b (q-1)'l [('^■^’b (q-1)"’ + L ( q , j ; b , m ) ] M = m ^ (70) Assim, um cõ di go [n,k] ex is t i r a se a in eq u a ç ã o (70) e sa t i sf ei ta para j = n e então ob te r e m o s (59). □ O B S E R V AÇ ÃO :
0 T e o r e m a acima foi p r o v ad o para m < b . C o n t u d o , s e m ^ b a c o n s i d e r a ç ã o de pedaço to rn a - s e r e d u n d a n t e e o se gu nd o termo em (69), isto ê, o s o m a t õ r i o em ® '*2 ® ^ e x p r e ^
sao (65), isto é, 0 s o m a t o r i o em i d e s a p a r e c e m .
Então, 0 limi te ob tid o em (59) se reduz ao limit e de Varshar^ m o v - 6 i 1 b e r t .
C o r o l á r i o 3. 4. 2
S e p a r a n d o a c o n d i ç ã o c o r r e ç ã o de erro a l e a t ó r i o , i^ to é, pondo m = 0 , 0 s o m a t ó r i o na in eq u a ç ã o (59) se divi^ de no pro d ut o de dois termos s e p a r a d o s a saber
2 K ( q , n ; b , r ^ ) ri=0 m-1 E '2 ^ (n-1,-1) [1 +(q-1)] = 0 Do m e s m o modo, para m = 0 [ 1 + (q - 1 ) ^ b-1 K 1 E (q-1) i =m b-1 ('^■^■^(q-l)"’ + L(q, n; b, m) = 1 + L(q, n: b, 0) = q^'^ C(q-1)(n-2b+1)+ 1] .
Assim, como no C o r o l á r i o 3.3.2 , o limite em (59) se reduz ao r e s u l t a d o dado no T e o r em a 2.1.5 , f a ze nd o b = bg + 1 E x e m p l o 3.4.1 C o n s i d e r e m o s um có dig o l i ne ar b i ná ri o [8,2] c o n s t r u T d o coji forme T e o r e m a 3.4.1 , t o r n a n d o m = 2 e b = 3 cuja m ^ triz de v e r i f i c a ç ã o de pa ri da de e 10000010 01000011 00100001 0 0 0 1 0 0 1 0 00001011 00000101
As s T nd ro me s dos vet o re s de erro único , dupl o e tr ip lo ad j a c e n t e s são d i f e r e n t e s , p o rt an to , este c ó d i g o pode corrj^ gir todos os erros a l e a t ó r i o s de pêso m e n o r ou igual a 2 e todos os pe daç os de c o m p r i m e n t o m e n o r ou igual a 3, i£ to ê, c o r r i g e todos os erros únicos, duplo s e tr ip lo s a d j ^ c e n t e s .
Os C Õ d i g o s line ar es p o d e m ser usad os para c o r r e ç ã o e detec ção de erros a l e a t ó r i o s e ou pe da ço s de erros.
Uma das v a n t a g e n s destes c Ó di go s é que pod em ser implemeni tados fa ci lm en te .
Neste tr ab a l h o os c Ó d i go s li ne ar es fo ram d e s e n v o l v i d o s a^ s o ci an do um c r i t é r i o de pêso para o pedaç o e sobre os c ó d i g o s usa dos para c o r r e ç ã o de pedaços.
E s pe ra mo s com a u t i l i z a ç ã o deste s tipos de c Ó d i g o s poder; mos e c o n o m i z a r dT gi to s de v e r i f i c a ç ã o e, c o n s e q u e n t e m e n t e , incre^ m e n t a r a taxa do código.
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