Apostila 5

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CCEN - Departamento de F´ısica

F´ısica Experimental L1

Instrumenta¸

c˜

ao para o ensino 1

2

o

semestre de 2013

Apostila 5 - Lineariza¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Transforma¸c˜ao de vari´aveis 2

2.1 O aux´ılio da teoria . . . 3 2.2 Arbitrariedade nas escolhas . . . 5

3 Gr´aficos Logaritmo 6

3.1 Leis de potˆencia . . . 6 3.2 A escala logar´ıtmica . . . 7

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1 Introdu¸

c˜

ao

Nesta parte final do curso estamos interessados em determinar a dependência de uma gran-deza Y com uma segunda grangran-deza X. Para que possamos fazer a análise de forma séria, é imprescind´ıvel manter todas as grandezas que não sejam X ou Y fixas, para depois variar o valor da grandeza “de controle” X, e assim se verá como a grandeza Y é afetada.

A constru¸cão da tabela não será clara quanto ao que acontece. O indicado é construir-se um gráfico e observar como os pares (X,Y ) se comportam. Geralmente é poss´ıvel identificar se a rela¸cão é linear ou não, conforme discutimos na apostila anterior. Caso seja linear, podemos obter os coeficientes da reta de ajuste (seja por método visual ou por m´ınimos quadrados) e podemos acessar grandezas de interesse (que foram mantidas constantes durante a prática). Exemplo 1 Uma certa experiência consistiu em investigar a distância percorrida d por um bloco de massa m que foi lan¸cado horizontalmente com certa velocidade inicial v0 sobre pisos

com diferentes rugosidades. A tabela abaixo apresenta valores medidos de d, em metros, e de v0, em metros por segundo, para 4 pisos distintos. A rela¸c˜ao entre d e v0 ´e linear?

v0 (m/s) Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4

2,0 0,41 0,31 0,26 0,20

4,0 1,63 1,26 1,02 0,816

8,0 6,53 5,02 4,08 3,26

12,0 14,7 11,3 9,18 7,35

Tabela 1: Distˆancia d em metros percorrida por um bloco sobre 4 diferentes pisos para quatro valores de velocidade inicial v0.

Pela tabela já dá para perceber que a rela¸cão entre as grandezas não é linear, mas isto exige um certo cálculo. Quando o valor de v0 (primeira coluna) sobe de 2 m/s para 4 m/s, o bloco

aumenta sua distância percorrida, no piso 1, de 0,41 m para 1,63 m. Se a rela¸cão fosse linear, a velocidade iria manter este aumento de 1,22 m a cada acréscimo de 2 m/s à velocidade, mas quando vamos de 4 m/s para 8 m/s a distância percorrida aumenta 4,9 (que está longe do dobro de 1,22) metros. Esta não linearidade vale para os outros pisos, basta comparar quaisquer velocidades.

A maneira mais natural de representar os dados para tentar ter uma idéia da rela¸cão en-tre a distância e a velocidade inicial de lan¸camento é construir o gráfico, veja a figura 1 para vislumbrar o resultado. Note que obter qual o valor de cada distância com as casas decimais

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se torna trabalhoso nesta representa¸cão, mas não estamos interessados nisto neste ponto: que-remos saber se a rela¸cão é linear ou não. O gráfico mostra todos os pisos simultaneamente, usando legendas: o circulo, o quadrado, o triângulo e o losango mostram os dados do piso 1, 2, 3 e 4, respectivamente. A partir do gráfico fica mais simples observar que a distância per-corrida aumenta bastante (e de forma não linear) quando a velocidade inicial de lan¸camento ´

e aumentada, e podemos dizer isto para todos os pisos de uma vez só! Note que não é preciso mostrar no gráfico a posi¸cão exata dos dados experimentais, apenas uma escala simples já nos dá idéia de onde os pontos estão.

Figura 1: Distˆancia d em metros percorrida por um bloco sobre 4 diferentes pisos para quatro valores de velocidade inicial v0.

Com a constru¸cão do gráfico chegamos a um resultado claro: a rela¸cão é não linear, e agora? Como devemos proceder para conhecer a fun¸cão que relaciona Y (que no nosso exemplo é d) com X (que no exemplo é v0)? O reconhecimento de uma rela¸cão não é uma coisa trivial de se

fazer e existem m´etodos para isso, mas aqui veremos apenas dois dos principais.

2 Transforma¸

c˜

ao de vari´

aveis

A rela¸cão entre X e Y não é linear? Então não tem o que fazer: Y 6= AX + B e seria incorreto aplicar qualquer método que fora estudado para a reta. A solu¸cão? Transformar as variáveis. Se Y não vai com X, que tal com X2, X3, ln(X) ou exp(X)? Todo um universo de possibilidades se abre à nossa frente, mas embora o método da tentativa e erro seja

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importante em diversas ocasiões da vida, ele é contra indicado no procedimento cient´ıfico por gastar muito tempo e muitas vezes não obter resultados certos, só aparentes.

2.1 O aux´ılio da teoria

Na grande maioria das vezes que realizamos um experimento f´ısico temos alguma idéia de como as grandezas se comportam: temos teorias sobre o fenômeno em estudo. A teoria, então, irá nos dizer alguma coisa como “Y vai com exp(X)” e nos bastará fazer a transforma¸cão de variável (de X para exp(X), neste exemplo) para checar se a rela¸cão vai se tornar linear. Em caso afirmativo, Y = A exp(X) + B será a rela¸cão entre a variável X e Y , em caso negativo temos que procurar outra explica¸cão (e rever a teoria).

Exemplo 2 Se voltarmos ao problema exposto no exemplo 1, podemos recorrer à fisica básica e obter qual é a rela¸cão esperada entre as variáveis d e v0. Fa¸ca as contas e chegue na expressão

d = 1

2gµ

!

v₀2,

onde g é a acelera¸cão da gravidade e µ é o coeficiente de atrito entre o bloco e o piso. Escrevemos a rela¸cão desta maneira porque d é variável dependente (nosso Y ) enquanto v0 está relacionado

com a variável independente X (pois foi controlada pelo experimentador). A rela¸cão acima diz “veja: d não varia com v0, mas com v02”. Portanto, ao invés de ficarmos tentando e errando

diversas vezes, vamos direto fazer X = v2 0.

Figura 2: Distˆancia d em fun¸c˜ao de v₀2 para os quatro pisos do exemplo 1.

A figura 2 mostra o que acontece se usarmos X = v₀2. O resultado parece bastante com uma rela¸c˜ao linear. Neste caso Y = d e X = v2

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expressão teórica, o valor que multiplica a variável X é _2gµ1 e o valor que fica somado é nulo. Observe como a reta aparenta passar na origem e como as inclina¸cões das retas são diferentes. Segundo a teoria, as inclina¸cões são diferentes porque os coeficientes de atrito são diferentes.

O que realizamos foi uma lineariza¸cão da fun¸cão que relaciona as variáveis medidas. Uma vez encontrada uma rela¸cão linear, podemos acessar as grandezas f´ısicas que foram mantidas no experimento, bastando usar algum método de ajuste (que estudamos na apostila anterior) a esta nova reta e obter os valores desconhecidos.

Exemplo 3 Considerando a acelera¸c˜ao da gravidade g = 9,78 m/s2, qual ´e o coeficiente de atrito µ dos pisos do exemplo 1?

Para responder esta pergunta precisamos trazer os valores numéricos à tona. Antes devemos reconhecer as rela¸cões entre os parâmetros da equa¸cão e os coeficientes da reta que iremos ajustar aos dados experimentais:

A equa¸cão teórica é

d = 1

2gµ

!

v₀2, e a rela¸c˜ao obtida foi

Y = AX + B. Podemos ent˜ao identificar:

Y = d, X = v2₀, A = 1

2gµ, B = 0.

Ajustando uma reta aos dados do piso 1 obtemos A1 = 0,102 s2/m e B1 = -0,001 m. Note

que B1 ≈ 0 ´e um resultado muito bom, o valor de A1 nos permite calcular µ1:

µ = 1

2gA,

logo µ1 = 0,50 para o piso 1. A incerteza do coeficiente A poder´a ser propagada usando a

f´ormula acima e as regras de propaga¸c˜ao de erro.

Ajustando uma reta aos dados do piso 2 obtemos A2 = 0,078 s2/m e B2 = -0,000 m. Note

que B2 = 0 ´e o resultado ideal, o valor de A2 nos permite calcular µ2 = 0,65. O piso 3 e o piso

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2.2 Arbitrariedade nas escolhas

Mesmo com o “aux´ılio da teoria”, a transforma¸cão de variáveis é uma escolha arbitrária. No entanto, as quantidades f´ısicas obtidas pelo procedimento são as mesmas, então esperamos o mesmo resultado. Por exemplo, se as grandezas f e g estão relacionadas por f ∼ 2g5 _podemos

escolher como uma transforma¸cão Y = f e X = g5 e iremos medir uma inclina¸cão igual a A = 2, mas poder´ıamos escolher uma segunda transforma¸cao de variáveis onde Y = f1/5 _{e X = g e}

isto também deverá linearizar a curva, mas dará um coeficiente angular diferente A2 = 21/5.

Exemplo 4 Se, no exemplo 2, tivéssemos tomado a seguinte transforma¸cão de variável: √ d = s 1 2gµv0, comparando com Y = AX + B,

ter´ıamos rela¸c˜oes diferentes entre os parˆametros da reta e as grandezas f´ısicas

Y =√d, X = v0, A =

s

1

2gµ, B = 0.

A figura 3 mostra o resultado desta transforma¸cão graficamente. Para o piso 1 a inclina¸cão da reta mais provável é A1 = 0,319 (m/s2)−1/2, o que corresponde a µ1 = _2gA12

1

= 0,50: o mesmo resultado obtido com a primeira transforma¸cão de variáveis. Como esperado, o coeficiente de atrito está alheio ao método que usamos para encontrá-lo.

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3 Gr´

aficos Logaritmo

Uma das transforma¸cões mais aplicadas em f´ısica experimental envolve a aplica¸cão do loga-ritmo. Este procedimento é tão comum que existem gráficos cuja escala é apropriada para esta transforma¸cão: os gráficos log-log e mono-log. Para maior simplicidade, vamos antes estudar um pouco as leis de potência.

3.1 Leis de potˆ

encia

Uma lei de potência é uma rela¸cão entre as variáveis dada por uma potência. Escreve-se

y = kxp (1)

como a expressão matemática t´ıpica de uma lei de potência. A constante k é apenas um fator multiplicativo, e dependendo do valor do expoente p, uma lei de potência pode dar origem a uma diversidade de curvas. A figura 4 mostra quatro leis de potência, onde o expoente p tem valores distintos.

Figura 4: Exemplos de lei de potˆencias

Caso o expoente p da equa¸cão 1 seja positivo, a curva passa pela origem e é uma fun¸cão crescente. Caso o expoente seja negativo, isto quer dizer que estamos dividindo por uma potência de x, logo em x → 0 a fun¸cão tem valores muito altos e à medida que x aumenta a curva decresce. Além disto, a curva pode ter concavidade positiva ou negativa se p > 1 ou 0 < p < 1, respectivamente. O caso de transi¸cão acontece quando p = 1, onde a lei de potência ´

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Você pode folhear seu livro de f´ısica básica 1 procurando por leis de potência, você irá se surpreender como uma boa parte do conteúdo do livro é descrito por equa¸cões na forma da equa¸cão 1: pêndulo simples, gravita¸cão, energia cinética, etc. Esta tendência continua em f´ısica 2, 3 e 4 e em diversas áreas de pesquisa atual como fenômenos cr´ıticos, dimensões fracionárias, etc.

Exemplo 5 A partir do exemplo 2, obtemos que a distância que um bloco percorre sobre um piso rugoso depende de sua velocidade inicial através da rela¸cão

d = 1

2gµ

!

v₀2,

que é uma lei de potência. Se Y = d e X = v0, podemos reconhecer os parâmetros k e p

comparando esta express˜ao com a equa¸c˜ao 1:

k = 1

2gµ, p = 2.

A pergunta que se faz agora é: existe alguma forma de se medir o expoente da lei de potência? Felizmente existe sim, basta aplicar o logaritmo na equa¸cão 1.

log y = log kxp = log k + log xp = log k + p log x,

aqui usamos que o logaritmo do produto ´e a soma dos logaritmos e que log xp = p log x, propriedades do logaritmo (revise-as!). Segundo esta express˜ao, se escolhermos Y = log y e X = log x, obteremos

Y = log k + pX,

isto é, uma reta de inclina¸cão A = p e coeficiente linear B = log k. Agora poderemos aplicar nosso método de ajuste nesta nova reta encontrada, e o coeficiente angular será uma medida do expoente p.

3.2 A escala logar´ıtmica

A escala que usamos em nossos gráficos até agora era a escala decimal simples. Agora passaremos a usar uma escala diferente, própria para análises envolvendo grandes varia¸cões nas variáveis. Para construir esta escala, vamos calcular o logaritmo na base 10 de alguns números. O resultado é mostrado na tabela 2. Note que a distância entre os logaritmos, como esperado, não é linear. Outra coisa interessante é que o logaritmo dos números da metade de baixo da tabela são iguais ao logaritmo dos números de cima, adicionados de 1.

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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 log n 0,000 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778 0,845 0,903 0,954 1,000

n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

log n 1,000 1,301 1,477 1,602 1,699 1,778 1,845 1,903 1,954 2,000 Tabela 2: Logaritmo de alguns n´umeros naturais

Na figura 5 os valores dos logaritmos são mostrados pela seta sobre a escala linear. A primeira seta mostra a posi¸cão, na escala linear, do logaritmo de 1: zero. A última seta mostra a posi¸cão do logaritmo de 100: 2. Note que os logaritmos vão se aproximando à medida que se aproximam da dezena. A posi¸cão como as setas estão dispostas na figura 5 é exatamente a posi¸cão das linhas que surgem em um gráfico com escala logar´ıtmica.

Figura 5: Compara¸c˜ao entre a escala linear (em preto) com a escala logar´ıtmica (dada pelas setas).

Na escala linear mostramos um intervalo total de 2 unidades, enquanto que na escala lo-gar´ıtmica o intervalo total mostrado vai de 1 a 100, é um intervalo bem maior. Note que o intervalo de 1 a 2 no linear, representado pela metade direita, está representado na escala lo-gar´ıtmica entre a primeira e a segunda seta. Todos os dados da tabela 2 estão representados na escala acima. Devemos listar algumas observa¸cões:

• Na escala logar´ıtmica n˜ao h´a necessidade de escrever nenhum “log”, deve-se escrever apenas os valores, como fizemos na escala superior da figura 5.

• Na escala linear, duas grada¸cões cuja diferen¸ca é fixa estão a uma distância constante, enquanto que na escala logar´ıtmica duas grada¸cões cuja razão seja fixa estão a uma distância constante.

• Costuma-se chamar cada bloco da escala logar´ıtica de década. Em geral, quanto mais décadas os dados possuirem, mais confiável é o resultado final.

(10)

• Costuma-se colocar um 10 (dez) no in´ıcio de cada década. Para distinguir os valores entre as décadas usa-se a potência apropriada: -2,-1, 0 , 1, 2, etc... Isto evita o excesso de zero e os pontos já são mostrados em nota¸cão cient´ıfica. Exemplo: na casa das unidades: 100_,

na casa dos microssegundos: 10−6 s; os demais números não são alterados.

Exemplo 6 Como ficam as leis de potˆencia mostradas na figura 4 em escala logar´ıtica? Pas-sando os pontos para a escala logar´ıtmica obtemos os gr´aficos mostrados na figura 6

Figura 6: As leis de potˆencias em escala logar´ıtmica.

O gr´afico logar´ıtmo ajuda a obter os expoentes da figura 6: no primeiro gr´afico temos

∆y ∆x ≈

2 d´ecadas

1 d´ecada logo p ≈ 2; no superior direito temos ∆y ∆x ≈

1 d´ecada

2 d´ecadas logo p ≈ 0,5; no gr´afico

inferior esquerdo ∆y_∆x ≈ −1 d´ecada

2 d´ecadas logo p ≈ - 0,5; e no inferior direito temos ∆y ∆x ≈

3 d´ecadas 3 d´ecadas logo

p ≈ 1,0; Os valores estão aproximados porque não calculamos a sério, estimamos as inclina¸cões a “olho nu”. Para calcular a sério, devemos aplicar os métodos de ajuste já estudados.